ARTheque - STEF - ENS Cachan | Exemples de calculs de liaisons complètes par adhérence

EXEMPLES DE CALCULS DE LIAISONS COMPLETES

PAR ADHERENCE

par MICHEL BANGUET

Dans l'étude suivante, on se proposed'évalueretde comparer les capacités (effort et moment transmissibles) desdifféréntes liaisons complètes par adhérence courantes construltes à partir de formes derévolutionsimples (section d'arbre circulaire).,

Au départ, une recherche systématique des liaisons complètes par adhérence obtenues à partir des formes de pénétration courantes (cylindrique, conique, prlsmatlque) peut être effectuée en précisant les solutions utilisées pratiquement: assemblages par arc-boutement, frettés, par pincement, par colncement coni-que ou plan, par vis de pression. Il pourra être intéressant (avant calculs d'évaluation) de demander aux élèves de comparer à priori les capacités de ces divers assemblages.

Puis, en.adoptantpour tous ces assemblages les mêmes caracté-ristiques (dimensions. coefficients de frottement... ), on calculera en particulier l'effort axial et le.momentaxial transmissibles, ce qui permettra de conclure par lIlle cpmp,arQison justifiée.

Ces calculs, outre l'utilisation évidente dans le domaine des projets de mécanismes, permettent, aux élèves de classes prépara-toires d'être confrontés à des problèmes de statique bien réels desquels ils doivent tirer des schémas de calculs en formulant des hypothèses compatibles avec lesphénomènespbysiques, ce qui les amène à prendre conscience de l'importance des pressions de contact, en particulier.

Cette démarche, plus proche du réel, ouvre l'esprit de l'élève, qui, s'll ne résolvait que lesnombreux exercices simples et conven-tionnels de statique et de résistance des matériaux, auraittendance

à ne plus voir, que des modèles simplifiés et des forces concentrées. Les calculs de tletsons qui .sulvent, (intégraient parfaitement bien dans les programmes, des anciennEisclasses préparatoires à l'École Normale,' Supérieure', de l'Enseignement Technique section S. Ils trouvent une place intéressante dans le cours de construction des nouvelles classes. de Mathématiques Supérieures ou Spéciales Technologiques, bien que leurs programmes, sur certains points, paraissent plus limitatifs :elCemple : «le frettage ne fera l'objet d'aucun calcul ... » -v .

(cf: Commentaires sur les programmes S.O.E.Nn0₃₉

d'octobre1975). ,. .

~R~AMSULE:

++LIAISON" assemblage par contact direct entre deux pièces (par extension, deux blocs de pièces liées complètement), ++COMPLETE ou d'ENCASTREMENT" aucune mobilité entre

les deux pièces ne subsiste.. Le système de forces transmissible par une llalsoncomplète est quelconque à priori (te torseur associé n'à pas à priori d'élément de réduetio/J nul).

++On peut distinguer deux catégories de liaisons complètes: - Lieison par adhérence : les éondltlons d'adhérence sont réalisées en tout pointdèla'surface dellalson(par un système de liaison évelltu'ellement).

- Liaison par obstacle : il intervient en parallèle deux liaisons ou plus; la condition d'adhérence n'est pas réalisée en tout point, nécessité d'un obstacle.

1 -INTRODUCTION A L'ÉTUDE

Cas particulier:

pas de système de liaison, d'où (T_d1oAIS) ,. 0 exemple : assemblages frettés

~tudesous charges:

sur S, le torseur des charges extérieures (Text/S) est donné. L'équilibre de S,donne:

(TL AIS)+ (T~A/S)+ (Text/S) ,. 0 d'où 2 torseurs inconnus:

(TL AIS) modifié en général par rapport à (TLo AIS) et (Td~ AIS) transformé de (TdF6 AIS)

Résolution du problème:

- simple dans le cas particulier ou il n'y a' pas de système de

liaison: ( ) ( )

T Lo A/S ,. TL A/S ,. 0

- compliquée dans le cas général, d'où la nécessité d'hypothèses simplificatrices:

a. le système de liaison a une rigidité très faible devant celle de A et

B,

d'où (T Lo AIS) pratiquement égal à (TL AIS) et on a alors le système d'équationsde statique:

(T Lo A/S)

+

(TdFo Ais) ,. 0

(TLAIS)

+

(Td1 A/S)

+

_{(Text/S) ,.} 0cette 2e équation

-+ -+----+

devient en posant dF ,. dFo

+

è>.. dF (variation) soit _{(Td1)" (Td~)}

+

,(Tè>.~)

l'équation: (T~A/S) + (Text/S) ,. 0

En général, pour arriver à la résolution complète, il est nécessaire de choisir des hypothèses supplémentaires au niveau de la réparti-tion des pressions de contact (hypothèses compatibles : avec le système à la pose et sous charges, les déformations, respectant les symétries... )

b. le système de liaison aune rigidité de même ordre que celle de A ou S. Le problème est encore plus complexe; nécessité d'hypo-thèses simplificatrices. (Seule l'expérimentation permettra de vérifier la validité deshvpothèses).

Conditions d'adhérence :

- si (T_ext/s) sollicite la liaison au glissement: il faut conserver -+

angle de la projection de dF, surle.plan tangent en M, avec une référence

ïi

angle ~

limitée aux liaisons complètes par adl1érence Il n'y a pas de mouvement relatif entre les deux pièces; donc pas d'étude cinématique mais uniquement: .

- étude statique des 2 solides A et S en contact 'suivant une surface (S) ;

- un dispositif de liaison applique les 2 surfaces l'une sur l'autre par un système de forces (TL) en l'absence de toute force exté-rieure appliquée sur A ou S, donc «à la pose». (FIG. 1)

paramètres

Contact élémentaire: En chaque point (matérialisé par une aire élémentaire dS) de la surface de contact, agit un effort élémentaire_{-+ ' ,} dF caractérisé par3paramètres. (voir FIG 2)

press~nde~tactp

(dF Also n" p. dS effort normal) -+ -+

angle Cl: (n, dF)'

Condition d'adhérence:

Cl:

<

li'

a angle limite d'adhérence -+

(dF à l'intérieur du cône d'adhérence) Ëtude à la pose: pas d'effort extérieur sur A ou S.

L'équilibre de la pièce S donne: (T Lo AIS) + (Td10 AIS) ,.0 avec: (T Lo AIS)" torseur du système de liaison transmis.

de A à S

(TdF6 A/S)" torseur des actions de contact de A sur S.

3 - ARC·BOUTEMENT

dans un guidage, problème général

HypotMse:l'étude est limitée à une configuration plane

Isolement du coutlsseeu :voir FIG4.

Expression de

a

el') fonction du jeu: D/cosa·d (x) donne tg

a

= ="":-=-:h:.:o..;:;;:.-.::..

Ëtude de l'équilibre du coulisseau (FIG

41

2 inconnues N_l et N₂pour 3 équations d'où 1 relation Proj/Ox :. N_l - N₂- F = 0 soit N₁- N₂ = F (11 Proj/Oy: N l.f+ N2. f .P = 0 soit Nl+ N2 = PIf (2) Moments/O: N2.f.~'_{Nl·f.,Q - (Nl}+_N2) (!l.-9.19

a

1

cos

a

L 2 2 2

+

P (a+c.tga)cosa + F (c-a.tgal cosœ = 0

soit: (N2-Nllf.~·t(Nl_{+ N2}

1

(h.cosa - d.sinal

+

P Ia.cosœ

+c.sln

a )

+

F (c.ecs

œ-

a.stn

œ

1= 0 (31

La relation (3) va donner, après utilisation de (1) et (2), une relation entre les paramètres pour que le glissement se produise. La résolution apparalt compliquée.

Recherchons uned;scuss;ons;mplifiéedans le cas où :P ~,et c = 0 (FIG

51

_{on a alors: Nl = N2 =21} et(31se réduit à:

_-f..

(h.cos

a -

d.slnœ) + p.à.cos

a

= 0

2f

d'où - h + d.tg

a

+ 2 a.f

=

0 et tg

a

=

h - 2 a.f d

le torseur des forces extérieures se réduit enQ.à un glisseur: 2 composantes PetF(P/axe y etF/axex)

torseurdes actionsdé contact : en,A. N

₁

e1:

N

l

I>

isolement à la limite du glissement en B : N:z et N_2.f ) .coulisseau / glissière

paramètres caractérisant la géométrie : D,d,hi d'oùCl! caractérisant les actions : P, F, f (coeff,de

frot-tement) donnés Nl' N2 inconnus Reèherche des c:bnditions d'are-bolltement ou de 'non are-bolitllment :

- Relation entre les paramètres géométriques: mouvement plan défini par 3 paramètres indépendants.

d'où 1 relation D = d,

rosa

+ h.sin

a

(xl Intérêt d'un calcul sans dimension en introduisant: le jeu diamétral relatif, soit: et la portée relative:

• h

m..

+

À=cr

et pour

a

petit: Cl!

=

j/h Non-are-boutement si tg

a

<

h· 2 a.f d soit en posant: a

=

f..L .d

X

<

À. • 2f..L •f -1: Adhérence = llalscn complète C,,;,c''''nl l'km Arc.hou{,"t.t AI,.1"1f pitle.NIt";'

Recherche méthodique menée avec les élèves. On distinguera:

liaisons directes:

r

cylindrique

Iiollh /&f90"(.?).. No.r.JU """ hn".tJ(J,,$ ...

F,~~ ,,- ..ob.t""k

(v,\ ••,....,) ... ;que

.~

l'adhérenceest assuree uniquement au contact desdeuxpiècesllées, .

liaisons indirectes: utilisation de' l'adhérence entre une pièce intermédiaire et les solides liés.

Recherche à partir des formes de pénétration courantes ; on retrouvera, bien sür, des. solutions connues pour lesquelles on essaiera de donner .l'ordre de grandeur lie l'effort axial transmis-sible F et du moment axial transmlsslble

C.

POurFete: 0= nul; 1 = faible ;2= moyen; 3 =important

Obst, '" non évalué (effet d'obstacle) Cette rechercheapparatr dansle tableau FIG3.

On peut"einarqll~r que les liaiS9ns cQmplètes par adhérence recenséesà partir des fÇlf!nelldepéri~rationcourantesr-soritenfait

des liaisons admettant, à priori, une (ou lies)mobllltésupprimée

pélr l'éldlTél'ence., .

Pénétration

2

~DIVERSTYPESDE

I.,IAISONS

COMPLETES PAR AIlHI:RENCE

en tout point l'adhérence, que la presSion de contact soit ou non modifiée par rapport à la posé ;

~ si (Text/B) ne sollicite pas la liaison au glissen;tent: il faut conserver le contact en tout point de la surface de Ilalsonpour éviter la corrosion de contact (les mouvements relatifs de. glis-sement oscillatoires sous pression dus aux déformations créée nt un enlèvement continuel de la pellicule protectrice, d'où la corrosion de surface au,qmentée encore par la corrosion de contrainte). .

= llalson

verrou~

J

~ llalson rotolde • conique = liaison rotoïde prismatique = liaison glissière

Plus généréllement, toute liaison simple (Appui simple, appui linéaire, gouttière, rotule ou appui plan], peut se comporter en liaison complète par adhérence, mais ceci fait l'objet d'une autre étude.

Le cas de l'arc-bouternent étant assez particulier, nous aborderons "étude parcelul-ct,

ff,wlfN!lon ey/mtl,ifut

On s'éloignera des risques d'are-boutement :

Cette étude théorique sera illustrée par un problèmeconcret relatif à un mécanisme réel : arrêt de porte da ris laquelo" 'utilise le phénomèned'arc-boutement,

1. -

L'utilisateur exerce avec le pied un effort Fuvertlcal, de haut en bas, sur le bouton (1) et l'ensemble de l'axe (3) et du patin (2) commence à descendre.

a. Montrer que quel que soit l'effort F

5/2exercé par le ressort (5) sur la palette, celle-cl reste dans la position du dessin (position haute). Sachant que la différence de niveau vertical entre A et B est de. 1;5 mm,quele diamètre de l'axe (3) est deBrnm, quela dis-tance deC à ",'fixe est de 8mm, que' l'épaisseur de la palette est 1,2mm, et eMin que le coefficient de frottement deglissernent en A et B est 0,3,calculer tes actions exercées sur la palette (2). b. L'utlllsateur exerçant toujours l'effort Fu (valant alors 200 N), le patin touche le sol. Calculer "intensité de l'action de contact

verticale sol/patin (4), en tenant compte des actions des ressorts et de la palette sur l'axe (l'axe est descendude.Brnml.

2. -

L'utilisateur n'exerce plus d'effort sur lebouton (1) et on suppose que l'action normale acquise en 1.2 au contact sol/patin est conservée (hvpothêse valable : palette (2) déjà en position haute, remontée de (3) faible et (4) en matériau très élastique). a. Calculerles actions de contact exercées enA, 8 et

ç

sur la pa.l(Jtte(axe (3) toujours à 6mm de scnpolnt haut) ; hypothèse : actlonsénA et B également inclinées sur leur normale respective, b.. Oesacticins exercées sur la porte tendent à 'la refermer. La limite de glissement est atteinte au contact sol/patin (coefficient de frottement estiméà0,5).

Montrer quePerc-boutement est toujours assuré et calculer les actiqf]s:desguides en0etE.

Nota : E à 21 mm du sol et 0 à 66mm du sol. Axe (3) à 6mm du point haut.

3. -

L'utilisateurexerce un effort Fd (vertical de haut en bas) sur lapal~tteafindedébloquerla porte(F d.à 15mm del'axe (3)).

Isoler la palette et montrer qu'on peut calculer l'effort Fd à exercer. (coefficient de frottement toujours égal à 0,3 enA,et B). et a

a

>

JL

(1

:..m.l

2f À2

Cette relation est à rapprocher de celle obtenue dans l'étude graphique classique (voir FIG 6) dans laquelle: à la limite de glisSem!ll'1t (point deconcours Io]on a:

ig'fi

= f pratic/ue!!18nt

...:.!!..-

soit a_lim=_h_ 2 a 2 f

doncaro-bouternent si a

>

'..J!.

à rapprocher de la relation 2f

précédente en négligeant..!!!. devant l'unité. À2 en falsent crortrei d, À et h erlfaisantdëcroltrs: m,j, f,

p.

Are-boutement. si

PROBLEME

ARRET DE PORTE

tg 'fi= 0,3 ; cos 'fi= 0,958 ; sin 'fi= 0,291

Corrigé du problème: ARRET DE PORTE

Question1 :

-+ -+

a. FA 32 et FB 32 écartés de'fi (tg

cp

= 0,3) de la normale, -+

et concourants en1à droite de F_52" -+

Effort F_C2vertical à gauchlUle l'axe. (voir FIG 8)

-+ -+ -+

La résultante de FC2 et F52 doit passer par 1,d'où FC2 vers le bas L'équilibre est toujours possible.

F5~= 2,55 N flèche de pose 3mm d'où

Ëcrivons maintenant les équations d'équilibre :

Proj/Y'y: _{F52 - FC2 • FA 32,sin}'fi._{FB 32. sin}'fi= 0

Proj/x'x : FA 32'cOS'fi -_{FB 32'cOS} 'fi_{= 0 d'ou FA 32 = FB 32} et _{F52= FC2}

+

2 FA 32,sin'fl

Moments/B: _{3 F52}

+

_{5 FC2- 1,5 FA 32 0cos} 'fi-6 FA 32,sin'fi= 0 soit: FC2 = F52 - 2 FA 320 sin'fi

F _

_ 8 F_{5 2}

et, après réduction

A 32 1,5cos~of 16 sin

(p

Gd4

Raideur de (5) = - - = 0,85 N/ mm ; 8n 0 3

Données: lemécanismeest représenté FIG 7à l'échelle 2 ;les dimensions non précisées seront relevées sur le dessin. ReSsort (5) :

f/J

D' d'enroulement =,8 mm

i/J

d' du fil = 0,6 mm n' = 3 spires utiles flèche de pose = 3 mm G = 8 X 104 _{M.Pa (module de} Coulomb) . Ressort (6) :

f/J

0= 8mm

i/J

d du fil = 1 mm n = 14 spires utiles flèche de pose = 4 mm G = 8 x 104_M.Pa

Axe (3) : course maximale = 8 mm La symétrie par rapport au plan de coupe permet d'adopter un schéma de calcul plan.

Le contact en C de la palette (2) avec la carcasse sera assimilé à un appui simple parfait. Les contacts en A et B seront supposés ponctuels avec le frottement (la normale de référence pour les actions de contact sera celle relative à l'axe (3) ). Les guides de ce poussoir (3) seront assimilés à 2 liaisons gouttières 0 et E sans frot-tement.

NOTA : on ne considère le frotte-ment que lorsqu'il intervient comme une fonction de base dans ce méca-nisme ; c'est justement le cas de l'arc-boutement entre (2) et (3).

Tsol/3 '" 0,5F501/3= 92,025 N TE3 ..T03 =T501/3

Moments/E: 45 T_{0 3} = 21 T sol/ 3

b. I,.'équilibre précédent de (3) +«2) à la questlcnz.t, ,«plus» l'équilibre de (3) + (2) avec uniquement l'action tangentielle T

sol/3 donne parsuperposiion l'équilibre effectif de (3) + (2) :

• FIG 12 E_'I',(".. voir • F f4@+@

r

pr'F,-;I,;",

t

,

li

fv"

r;;:;;:;;;...

'Tf1

~, ''b.~

T!!'II

. TÔ3 =' 42,9N T_E3 13,4,925N d'où les actions en 0 et E définis sur la :figure 13 suivant

le sens de Tsol/ 3 " ,

W2$N

'~

,__

"'~~4FN

_{, (Svl'.rl'D4;hon)}

Question ,3:, Isolementçlehipalette (2) seule, 1r : ' F.4

voir FIG 14

/Au

.,

onconnait,F A 32 = FB 32

et on a toujours 2 FA 32 0si,:, !p= F63 + Fsor/3 = 198,05 N d'où FA 32 = 340 N 2'FA_{32osin!p= Fd + FC2-F52} 3 F52 + 5 FC2' 18 Fd' 1.,5 FA 32ocos!P + 6 FA 32osin!P= 0 d'où: 1,5 FA 32

P;s

!p= S'FC2

~

15 Fd = 489 N 2 FA 320 sin!p = Fd + FC2 • F52 = 198,05 N ce systèmedonne: F_C2 =,152 NetFd= 48,6 N

NOTA: La précision avec laquelle sont donnés certains résultats, peut -parattra, pour le moins, superflue 1Lebut est simplement de faciliter

III

correction en disposant desvaleurs précises. . voir FIG 10.

Question2:

e. Isolement de l'ensemble: al(e(3) + palette(2) l'équilibre donne: F C2=

f

52 + F63+ Fsol/3 = 200,6 N et F_{0 3=F E3} Moments/O: 8 FC2 = 45 F_{0 3,} d'oÙ F_{0 3}= F_E3 '" 35,65N F

_C2=200,6

N d'où _{FA 32 = FB 32 = 3,35 N} et F_C2= 0,6 N b. Isolement de l'ensemble mobile (1) (3) (4) voir FIG 9 Fu = 2 FA 23osin!P+ F63 + Fsol/3e

Fsol/ 3 .. Fu' F63• 2 FA 230sin !p Raideur de (6) :1,4 NI

mm

flèchetotale= 10mm d'où F₆₃=14 N on tire alors Fsol/3 '" 184,05 N

Isolementdela palette (2) seule, voir FIG 11 :

FA 3,2.c,osa=

FB32·co~a

,

~,',~~

_

L

~J

d'où FA32=FB32

~..c

2 FA 320sin

a

= FC2' F52

~>O~;':t:e

Jo.

r~

@

Moments/B: _{5'F C2 + 3F52+6FA32.sina = 1,5 FA 32 0cos}a

d'où 8 FC2 = 1,5 FA 320cOS a FÀ32ocosa = 1070N _{FA 32osina= 99,025N} d'oùtg a'" 0,0925 et a 5,280 sin

a '"

0,0924 FA 32 F B 32 1072 N

24