ARTheque - STEF - ENS Cachan | Leçon de technologie sur les roulements à bille

Leçons de Technologie

sur les .roulements

à

billes

par

B

Et

r n a r

d MER Y

Professeur de Construction

_ _ _ _ à

I/E.N.S.E.r.

Le

présent article pourrait ne pas être compris par un certain nombre de nos collègues

qui rechercheraient un: modèle immédiat de leçon ; son but est de montrer qu'il est

1

indispensable, ou tout; au moins très utile d'étudier un problème

à

son niveau théorique

le plus élevé pour essayer de voir comment

il

peut être possible d'en tirer des

consé-quences sur le plan pédagogique, à un niveau quelconque.

Nous soumettons cette démarche à l'ensemble de nos collègues et souhaitons vivement

recevoir leurs suggestions et leurs critiques.

Pour comprendre et justifier un certain nombre de réalisations dans le domaine des liaisons rotoïdes hyperstatiques à roulements, l'étude du comportement élastique de ces derniers est primordial. Les architec:tures de ces liaisons ne se conçoivent même que par les répercussions du comportement élastique de chaque roulement sur le comportement élastique de la liaison toute entière (c'est le cas de la plupart des liaisons rotoïdes de broch es de machines-outils). Toute étude technologique véritable de ces liaisons doit donc obligatoirement. prendre en compte ces déformations puisqu'elles sont à l'origine même des idées directrices qui président au choix des types de roulements qui y

sont utilisés et de leur architecture. .

Les liaisons rotoïdes par roulements à contact oblique (roulements à billes à contact oblique ou rou-lements à galets coniques) constituent toujours des systèmes hyperstatiques, même dans le cas simple de deux roulements montés en opposition.

A tous les niveaux il faut bien reconnaître là l'existence d'une grande difficulté, même si on ne désire faire qu'un calcul de durée de vie du roulement, puisqu'il n'est pas possible de déterminer simplement l'ensemble des forces qUe SUPPoTte le roulement.

La détermination théorique est certes difficile, mais elle est possible. Nous allons le montrer dans ce premier article. Chacun admettra, pensons-nous, qu'il n'est pas question de l'aborder sous cet aspect dans le second degré. Nous essayerons d'envisager une possibilité en passant par le biais de l'étude expérimentale et obtenir ainsi des résultats que l'on ne peut établir théoriquement à un niveau donné. Ce sera le but de notre second article.

Notre première préoccupation pourrait donc se définir par le titre :

ETUDE DU COMPORTEMENT ELASTIQUE DES ROULEMENTS A CONTACT OBLIQUE ET

CALCUL DES 'CHARGES SUPPORTEES

(Cet article n'a de sens véritable dans notre revue que par les prolongements pédagogiques élémen-taires que nous envisageons de lui donner.)

1. -' MODÈLE REPR.ÉSENTATIF DU ROULEME'NT ÉTUDIÉ

Considérons, pour fixer les idées, un roulement à billes à contact oblique, habituellement caracté-risé par l'angle de contact: «. Le nombre de billes est Z. On suppose, pour simplifier les calculs et sans toutefois fausser notablement les résultats, que les billes sont réparties symétriquement par rapport au plan x oy et qu'il' se trouve une bille définie par lei paramètre

e

= O. (Voir figure 1 qui définit les paramètres utilisés par la suite).

/

/6-.

.

cen!. Ii." "'"

centre de" hi!!u.

*

Fil!: 1

Définition des paramètres utilisés par la suite

*

Nous ferons les hypothèses suivantes:

- L'angle y reste constant quand le roulement est soumis à des .charges et la droite des contacts

M, M2 passe toujours par O.

- LB déplacement relatif des bagues (1) et (2), dû à l'élasticité des corps au voisinage des points de contact est une translation définie dans le repère choisi par:

~ ~ ~

o

~

O.

i

+

Or

j

On supposera qu'il s'agit du déplacement de (2);' (1).

- Le torseue-des actions de~'êontactau point M, (ou M2 ) est un glisseur, de moment nul en M, (ou

M2 ) .

- Les actions dynamiques sont négligées.

- L'intensite QI de la résultante enM, et M2des a etions de (1) et (2) sur la bille (B1) est fonction

~ ~

de la projection

01

de

fi

sur

b.,

La relation est donnée par les formules de Hertz Pour un contact ponctuel (roulement à billes)

avec

01

correspondant à un raccourcissement de Ml M2

(soit

01

~ 0 avec le repère choisi)

b) QI _ 0 pour

01

<

0 (absence de contact) Pour un contact linéique (roulement à galet)

b) QI _ 0

SiOl~O

si

01

<

0

En fait la déformation

01

considérée est la somme des deux déformations

011

et

012

aux points M, Mz.

012

=

K"

Qm

K , et K2 , donnés par la théorie de Hertz sont fonc tion des caractéristiques élastiques des matériaux,

coefficient de Poisson et module de Young, et des rayons de courbure principaux des surfaces en contact.

En posant }(:,'='Ki

+

K2 'orr ''Obtient encore une relation de la forme ;

01

=

K Qm

où K est un coefficient qui dépend des matériaux et de la géométrie du roulement, et est donc spécifi-que de ce dernier.

Il. -

ilELA

TlON ENTRE LES FORCES ET LES DÉFORMATIONS

~

Les déformations aux points Ml et M" se traduisent par le déplacement relatif de (2) / (1), soit

O.

Nous pourrons à l'avenir considérer comme déformations du roulement les paramètres

Oa

et

Or'

Afin de simplifier ce qui suit nous introduirons un paramètre adimensionnel de' déformation a tel que:

Oa

=

Or .

a . tg.y

~

Pour une bille (Br ) la droite Ml et M2 peut être définie par le vecteur unitaire 'bl

~ 1 cos y b1

1

sin y cos

0

1 1 siny sin

02

En remarquant que ~ -7

Oi

=

0 .

b, on a immédiatement

Oi

=

Oa

cos y

+

Or

sin y cos

Oi

soit :

REMARQUE. On peut immédiatement discuter la valeur de

Oi

en fonction du paramètre adimension-nel de déformation a et de l'angle

Oi

qui repère la position de la bille.

La relation a

+

cos

0

i

>

0

définit la valeur de l'arc où les billes sont strictement chargées, que nous désignerons par

Oc'

Exprimons la valeur de QI (Pour cela nous restons dans le cas d'un roulement à'billes).

1

Qi = - - sin y3/2

Or

3/2 (a

+

cos

Od

S/2

K3/ 2

Considérons maintenant le torseur des actions, de tOlljtes les billes sur la bague (1), qui est en fait le torseur des actions de la bague (2) sur la bague (I), et définissons le par ses éléments de réduc-tion en O.

-7

Le moment est nul puisque le moment de l'un quelconque des QI . b, est nul.

La résultante présente deux projections non nulles que nous désigneronspar Fa et Fr suivant ox et o~. respectivement.

+

Oc

Fa .sin y3/2 COS Y De la même façon sin y5/2 F'r

+ Oc

>

(a

+

cos 01)3/2

REMARQUE. Les sommes que nous ,trouvons dans les expressions de Fa et de Fr dépendent du paramètre a et du nombre de billes. De plus, lorsque l'hypothèse de symétrie faite ci-dessus n'est

~

pas réalisée la composante de la résultante suivant

oz

n'est pas tout à fait nulle. Oeci nous~onduira. plus tard, à voir d'ans ce phénomène une source de vibrations.

Pour l'étude que nous voulons faire ici une simplification est possible. On peut écrire

+

Oc

+

Sc

(a

+

cos

01)"/2 ::: Z .

1

>

z

. : rr :'"'_{_ J. :; (a,}

_{8) d8}

t :::

(a

+

cos

8)3/2

~' ::: 0 1 2rr

-Oc

Définissons la fonction ~' (a,

0) :

Pour -

Oc

~

8

~

+

8c

~

Pour

8

< -

8c

et

8

>

8c

~

+

Oc

z>

-8c

Définissons de la même façon la fonction 11" (a,

El)

Pour -

Oc

~

S

~

Sc

~ 'l" ::: (a

+

cos

8)3/2

C'Os

8

Pour

8

<

Sc

et

8

>

Sc

~ 11" ::: 0

+

8c

1

z

1 (a

+

cos

81)3/2

cos

81

=< -2rr

.:

11" (a,

8 d8)

~/ -rr 11' (a).

Les fonctions

ç;

(a) et 11' (a) sont très facilement calculables. (Voir leurs courbes représentatives

(fla, 2 a et b). Fonction ~ (a) fonction 'r(a) a '~~--+----+---~----T----'l---~ ~ Fig" 2 b ~ On a l'habitude de désigner par

f3

l'angle de F

~

et Oy, Voir figure 3.

On a alors:

-

_F

,

,

1 1 1

,

1 1 1

_,

,

1 , X

,

-Fig. 3 1 Fa 1

\-;;/

Sin y3/2 cos y

Fa::: -tg

f3 :::

Sin y"/2 ~ (a) tg

f3

cotg

y

-11' (a)

~ (a)

Désignons par f (a) le rapport - - - , Voir fig, 4 la courbe f (a), Avec la notation habituelle qui fait

'1' (a)

:Tt

intervenir l'angle u.

= - -

y

2

tg (3

=

tg a , f (a)

La direction de la résultante n'est donc fonction 6

que:

- de la géométrie du roulement (angle n) 5

du paramètre ad'imensionnel de déforma-tion a.

4

REMARQUE. Le cas des roulements à galets

coniques se traite de façon identique; les fonc-tions introduütes ci-dessus différent légèrement 3

du fait de la différence de comportement élasti-que au contact.

2

Fig, 4

Fonction. F(a)

Tourt:!.$ /es .bi/les sont en conft:rcr.

5 -1,' o O'-;---~---!---;t---r----<;---4;,--__1 1

.:

~G (a)

ra

Ca, 8) d8 2:Tt _-:Tt

avec

ra

(a, 8) Ca

+

cos 8>1'1 pour - _{fic :::;;; 8 ~ 8c}

~'11 Ca, 8)

==

0 pour 8

<

-8c

e

>

+

fic

f:

n 'l", Ca,

el de

1 'YG Ca)

=

2n avec 'l" a Ca,

8)

'p'a (a, 8>

==

0 ~a(a) fa Ca)

=

Ca

+

cos 8)1'1 cos fi pour pour -- 8c : ( 8 :(

+

8c

8

<

-8c

fi

>

+

8c

'l'a (a)

Nous considérons le cas d'une liaison rotoïde réalisée simplement par deux roulements montés en opposition, CR,,) et CR2 ) . Il importe bien sûr de préciser le sens de chacun par l'orientation des axes

-7 -7

01 Xl et O2 X2. Rappelons que les quantités Fa et Fr sont essentiellement arithmétiques. CFal est dans le

-7 -7

sens de 01 Xl et Fa 2 dans le sens de o~ x2 )

Les projectionsFn et Fr 2 sont dans le plan y 0 z.

Nous désignerons par Yl et Zl' Y2 et Z2 leurs pro] ections respectives.

Avec ce qui a été dit :

Considérons l'arbre chargé par un système de forces quelconque, déterminé par les éléments de réduc-tion en 0 du torseur associé 'i9 e.

('ige) :

La statistique nous fournit les cinq équations suivantes. (dans le cas de la figure 5)

F", - Fne X_e

en

Y,

+

Y2 y_e (2) Z,

+

Z2 Z (3) e - X , Z, _{- X2Z2 Me} (4) x,Y,

+

X2Y2 Ne (5) Fig. 5

Calcul des inconnues die liaison (R.,,)

f~

1

1 1 1 %.

'.

---:....,... o~ fi:

Les" quatre dernières équations permettent de calculer les quatre inconnues Y" Z" Y2 et Z2' (à

l'exception bien sûr des cas ou 0, et O2 sont confondus, c'est-à-dire où la liaison n'est pas une

véri-table rotoïde, mais a, au contraire, un comportement sphérique du point de vue de la statique. On peut donc calculer Frl et Fr2'

CALCUL HYPERSTATIQUE.

*

(voir fig. 6 la fonction À (a) page suivante)

*

valeurs des charges radiales. Pour cela

a

Transformons cette relation en, posant

1 a3 / 2 K L'équation (1) conduit à : Fr l tg a, f (a,) - Fr2 tg a2f (~)

=

Xe (6)

Sur le plan géométrique maintenant nous pouvons constater que le réglage axial de la liaison rotoïde introduit urie relation entre les déformations 5nl et On2 des deux roulements.

Désignons pat e la somme des déformations axiales imposées au cours du réglage

Onl

+

On2= e (7)

Cette expression rend compte des divers types de réglage possibles e

>'

0 ",le' montage est dit « préchargé».

e

<

0 ley-montage possède le jeu axial 1e 1

e = 0 le réglage est strictement sans jeu.

Il nous faut maintenant relier les déformations axiales aux nous pouvons ,exprimer Fr en fonction de On (voir ch. II).

On aboutit à :

Z cos y3!2 sin y 'If (a) ,"

Fr

=

On3/2

D

Z2/3 cos y sin y243

Ce dernier coefficient ne dépend que duroulement. Nous obtenons: :

On • À (a)

=

D

Pour chacun des deux roulements nous obtenons donc un~ équation entre a et

On

s..

À (a,) D, Fr 12/ 3 (B)

À

1

fOrTct/on

À

(a) "- 1

*

1 1 1 Fie:. 6

z

₁ 1 Calcul

1

Hyperstatique 1

,

, Fonction 1 J _"-

,

-1 À(a)

.z

voir page 14 .3

*

Fie:. 7 Résolution _ Choi» illitlal :

d

Oi _ Appe! . 5.P. I -50"" 1",·.ofJramme r

[ f(<x:)

_"

~(da1)

J

lUsol. e~uation,

(Av" aN./SPJr) ,---r-- f(a:.) _ A" 0 .

Re"sultat ,

_J'ai

~p'r0!J,.am",cJ[

l

Calcul,

Otf:(l,,,,)

[ql, _ Cal."1 A(a.) _ Ca/cv/ : - • AN,el S:P,o/..

·

--

a~ . . [ f(...}i! 6₀, 'i\(a.)] ·

--

aI. a.f ·

--

F

q1 _ Calcul: Jal.

·

- -

Fol. ÀÇ'1l.) ·

- -

Sn

• Af'Pel 5.P. T

·

--

in

[F(:!:)li 41..Â(a...)] .' Oz _ Calcul ~ Fr 2 tg

of

r r..

(Oal)]

r.,

(Oal)]

*

du système d'équations

Le système des quatre équations (6), (7). (8) et (9) est à quatre inconnues : Oal,

002.

a, et a2•

Ce système ne peut bien sûr être résolu que par approximations successives. - Soit à la main en utilisant les courbes des fonctions de a

Il convient de remarquer que toutes les relations entre les quatre inconnues sont bijectives, et que par conséquent la solution du problème est unique.

La figure 7 donne un algorithme possible pour résoudre ce système.

IV. -

MESURE DES CARACTÉRISTIQUES DE RAIDEUR DE ROULEMEMTS

Les fabricants de roulemeruts ne donnent pas, à ce jour la valeur du facteur D. li importe de voir comment l'utilisateur peut le mesurer effectivement.

Considérons pour cela le roulement chargé axialement seulement. Par raison de symétrie on obtient

Or

=

O. Le paramètre a devenant infini les expressions précédentes ne sont plus utilisables, mais il

est immédiat d'exprimer Fa en fonction de Oa Fa Z QI cos y

Pour les roulements à billes Z cos y5/2 Fa

0,3/

2 K3/ 2 K ou _Oa = F a2/ 3 Z2/ 3 cos Y513 Oa =D tg y2/3 F a2/ 3 2 2

log Oa = log D

+ -

log tg y

+ -

log Fa

3 3

Le facteur de déformabi.liJ1;é D peut donc être mesuré (à condition de connaître l'angle y) par une manipulation simple de mesure de

détor-mabïlité axiale.

Un appareillage précis est bien. sûr nécessaire, mais il reste malgré tout itrès simple. La fig. g

représente un appareil, construit à l'E.N.S.R.T. à des fins pédagogiques, qui donne entièrement

satisfaction,

Sa conception est telle qu'il permet de mesurer le coefficient D seulement pour des roulements de dramètres 35 X 62.

Un .appareil universel neseratt en fait pas beau-coup plus compliqué à réaliser.

Le lecteur transposera sans difficulté au cas des roulements à galets coniques. .

Fig. 8

AppareiLLage pour la mesure des caractéristiques

de raideur de roulements

V. -

CONSÉQUENCES SUR LE PLAN DE LA PÉDACOCIE

Il est intéressant de constater que l'indétermination peut être levée sans trop de difficulté et d'une façon rigoureuse, et que d'autre part la mesure du facteur de déformabiliJté peut être abordée au cours de manipulations simples au laboratoire de technologie.

Il est bien évident que la connaissance des quanti tés

001> 002,

al et a" permet alors sans. difficulté de déterminer les déplacemeI1lts radiaux Orl et Or2' leur direction étant d'éterminée d'ailleurs simple-ment par la d'irection de Fr 1 et Fr 2 calculées directement par la statique. il est ainsi possible de

rendre complètement compte du comportement élastique d'une liaison rotoïde à roulement à contact oblique et de bien cerner l'influence des paramètres, qu'ils soient géométriques ou élastiques. Ceci

conduit donc à de véritables critères de choix technologiques.

Le contenu de cet article peut parfaitement être abordé au niveau d'e l'enseignement Supérieur, mais probablement pas au niveau d'une classe de lycée et encore moins au niveau d'un C.E.T. Ceci nous permet peut-être de poser le problème de notre discipline et de son enseignement aux différents niveaux.

Posons nous tout d'abord les questions suivantes :

- L'exposé précédent est-il du domaine de la technologie?

- Dans l'affirmaltive, traite-t-H de l'un des problèmes essentiels du comportement des roulemends à

contact oblique ?

- S'il en est ainsi, peut-on, même à un niveau élémentaire, ignorer un des problèmes fondamen-taux du comportement de ces roulements

et

de la même façon des divers types d'e roulements, ces composants étant à la base de la plupart des liaisons rotoïdes que l'on rencontre dans les appareils modernes?

En réponse à la première question, certains pourront penser qu'il s'agit là uniquement d'un exposé de mécanique appliquée, puisqu'il s'agit de lever, par un calcul de déformation, une indétermination dûe à un montage hyperstatique. Nous sommes personnellement tourt à fait opposé à cette façon de voir.

En effet, les résultats mis en évidence montrent que le comportement de la liaison rotoïde peut être appréhendé par le projeteur au moment où il dessine le montage; L'expérimentation sur le pro-totype n'intervenant qu'à titre de vérification et de mise au point définitive. J'entends ici par com-portement de la liaison, la réponse élastique aux SIollicitations qui lui. seront appliquées. Dans tous les cas où la stabilité de rotation n'est pas primordiale pour la machine cette connaissance peut paraître superflue au technicien. Il existe par' contre un domaine où ce type de comportement est primordial : Broches de machines-outils, grands appareils de physique, machines à grande vitesse... etc.

L'étude précédente permet donc de remplacer une approche empirique par une approche logique, la préoccupation n'est bien sûr pas modifiée, elle reste d'ordre technologique.

La réponss, à la deuxième question est d'éjà amorcée semble-t-il, cherchons cependant à recenser les problèmes technologiques qui se posent à propos des roulements. Nous constatons que l'une des préoccupations importantes est relative à la résistance du roulement aux efforts supportés, sur le plan « statique» (roulement immobile). et sur Je plan « dynamique '» (roulement en rotation sous

charge) .

Les fabricants offrent dans leurs catalogues des « méthodes ». de calcul, maintenant universellement

connues des techniciens, qui permettent de déterminer Une -« charge équivalente» à un ensemble d'e

deux charges axiale et radiale. Nous ne nous étendrons pas aujourd'hui sur ce problème qui sera traité dans un autre article, mais nous constaterons que le calcul du roulement à la durée implique que l'on ait résolu le problème hyperstatiquo dont la solution figure ci-dessus. Or la solution rigou-reuse à ce problème n'est en général pas. donnée, même dans des éditions récentes d'ouvrages spécia-lisés. On se contente de formules approchées, très inexactes dans de nombreux cas, et qui consti-tuent des « recettes de cuisine dont l'enseignement n'a aucun intérêt formateur.

Le problème technologique de la résistance des roulements, considéré comme l'un des plus impor-tants, passe donc en fait par le problème des déformations s'il s'agit de roulements à contact obli-que. Le problème des déformations conduit à la connaissance de la stabiltté sous charge des liaisons à roulements. Cie problème est moins souvent évoqué... et souvent méconnu. De nombreux utilisa-teurs seraient probablement surpris de savoir qUe les déplacements axiaux et radiaux d'arbres au niveau des roulements peuvent atteindre plusieurs centièmes de millimètre, et qu'une liaison rotoïd'e réalisée sur roulement obliques (à billes ou à gal ets) Se discute à partir des critères de déformation et qu'un choix important est celui de l'angle de contact des roulements.

Un autre aspect, d'ordre statique très important, Se rattache à l'étude précédente. Nous avons vu qu'au point 0 (fig. 1) le torseur des actions de liaison dû au roulement présentait un moment nul. Le roulement se comporte donc, du point de VUe startique, comme une liaison sphêrique, et il est

légi-time de considérer en 0 des inconnues de liaison au nombre de trois (et non de cinq). Pourtant, observé globalement, le roulement a le comportement cinématique d'une rotoïde.

Nous venons de voir qu'en fait tous les calculs reposent pratiquement sur l'étude interne du roule-ment, et qu'il n'est pas possible de dissocier efforts et déformations. En réponse à notre troisième question nous sommes obligés de conclure qu'il paraît difficile d'ignorer les problèmes de déforma-tion des roulements.

Le problème est alors le suivant : Comment aborder cette étude à un niveau élémentaire ?

Nous pensons que seule une approche expérimentale est possible. Mais il est bien évident que l'approche doit être scientifique, ~ qu'il convient d'abord de préciser ce qUe l'on veut mesurer, et qui doit permettre de mettre en évidence les relations que l'on n'a pas pu ~blir théoriquement. C'est tout le problème du -«Laboratoire de technologie qui se trouve posé. Celui-ci a vu le jour... sur

le papier, par un horaire réservé, mais aucune idée directrice n'a été donnée de façon claire. Nous pensons que la présente étude a permis de poser le problème à son niveau théorlqua normal et de définir les paramètres. Nous chercherons à montrer dans un autre article comment on peut envisager une étude expérimentale qui se substituerait à certains développements théoriques et comment on peut envisager les leçons de technologie SUr les roulements à un niveau élémentaire.

(Asutvre.)

Bernard MERY, Professeur de Construction à l'EN8iET.

1111I11I11I11I111I11I11I11I11I11111111I111111111111111I11I1111I111I11I11I111111I111111I1111I11I11I11111111I1111I111I111I11I11I1

A

~1

leae(,4.1)4

01111111111I1111111I11I11111111I11I1111I1111I1111111I11111111111111I111111I111111I1 Il aurait été souhaitable que soit inséré, dès ce premier numéro, au moins un

ertrcle

relatif à l'enSieignemen,t die la te'chno,log,ie dans Jes classes où cette

discipline commence à faire son apparition dam les programmes.

Malheureusement, ce premîer bulletin n'a pu être

essoré -

pour dies raisons

matérielles - que por Iles quelquescollèques qui par ailleurs se sont occupés

du démarrage dJe l'association. Ceux-ci étant mal

plccés,

de par leur

fonc-tion, pour rédiger une frubrique, sur la techncloqle en 3e _{par exemple. Ils}

espèrent que dies responsables die cet enselqnement entameront le débat dès le prochain numéro.