MOUVEMENT OSCILLATOIRE AMORTI :
QUELQUES EXPÉRIENCES SIMPLES
Jean-Luc ZIMMERMANN*, Jean-Charles CORTHESY**
*CeC Mme. De Staël / LDES, Université de Genève ** CeC Mme. De Staël (Carouge - Genève)
MOTS-CLÉS : SCIENCES EXPÉRIMENTALES - TRAVAUX PRATIQUES - SIMULATION –
EXPLOITATION MATHÉMATIQUE - CALCULATEUR SYMBOLIQUE – ORDINATEUR
RÉSUMÉ : L'expérimentation, particulièrement dans le domaine de la mécanique, pose de nombreux
problèmes pour des élèves du niveau " lycée ". Une fois l'expérience réalisée, on constate que l'élève ne dispose que de peu de moyens mathématiques pour pouvoir exploiter les résultats.
SUMMARY : The experimentation, particularly in the area of the mechanics, many pose problems for
pupils of the level "high school". Once the realized experience, one observes that the pupil has only few mathematics ways to be able to exploit result.
1. INTRODUCTION
L'expérimentation, particulièrement dans le domaine de la mécanique, pose de nombreux problèmes pour des élèves du niveau " lycée " :
- Il n'est pas facile de réaliser des expériences simples, peu onéreuses et convaincantes à la fois.
- Si l'on dispose de matériel cher et sophistiqué (capteurs à ultrasons, jauge de contrainte, accéléromètre, etc..), l'interface électronique ou informatique entre l'élève et le phénomène constitue souvent un obstacle important.
- Une fois l'expérience réalisée et les mesures engrangées, on constate que l'élève ne dispose que de peu de moyens mathématiques pour pouvoir les exploiter ! Cet état de fait est d'autant plus vrai que le calcul différentiel, outil principal pour la théorisation des phénomènes mécaniques, est en train de disparaître des programmes de mathématique de l'enseignement secondaire au profit de l'algèbre linéaire ou de la théorie des groupes.
2. APPROCHE PAR MODÉLISATION
Cette approche reste classique :
- Étude des forces sur le système, détermination de la force résultante. Cette étape nécessite de faire différentes hypothèses sur leur nature.
- Écriture de l'équation différentielle : F résultante = m.x'' - Résolution de cette équation.
- Ajustement d'une fonction correspondant à la solution sur les données expérimentales pour vérifier la pertinence du modèle obtenu.
Si des élèves de troisième année du lycée peuvent encore arriver à déterminer la force résultante et ainsi poser l'équation différentielle correspondante, ils ne sont pas en mesure d'en donner la solution. C'est ici que nous faisons intervenir l'usage d'un calculateur symbolique (MAPLE V R3 ou R4 en version " étudiant "). Ce logiciel fournit la solution demandée grâce à la commande " dsolve " pour les équations différentiables (ou " dsolve " avec " numeric " pour les équations qui nécessitent une intégration numérique). Les élèves qui ont expérimenté cette façon de faire avaient suivi un cours de mathématiques appliquées où ils manipulaient ce genre de programme. Il faut préciser que l'usage de MAPLE n'est pas intuitive. La présence d'une personne-ressource maîtrisant bien cette application est nécessaire. L'ajustement de la solution proposée peut aussi se faire avec MAPLE mais nous avons préféré utiliser une application plus intuitive : "Graphical Analysis" de Vernier Software.
3 APPROCHE PAR SIMULATION
Cette approche ne diffère pas fondamentalement de la précédente mais elle a l’avantage d’éviter toute formalisation mathématique en recourant à un logiciel de simulation appelé STELLA. Ce logiciel
possède une interface graphique simple utilisant quelques " objets " qu’il s’agit de connecter entre eux (en utilisant la souris seulement…), ce qui demande de déterminer le mieux possible les relations de dépendance. Deux de ces " objets " ont une importance particulière : le robinet (flux) et le réservoir (stock) qui, connectés entre eux, symbolisent un intégrateur numérique. Il est facile de comprendre que si le flux est la vitesse, l’évolution du stock au cours du temps représente le chemin parcouru.
Lorsque les forces sont déterminées on en déduit la force résultante, l’accélération puis, en passant par deux intégrateurs successifs, le mouvement du système. Les caractéristiques du modèle sont faciles à modifier et il est possible de faire des études de sensitivité, c’est à dire d’observer comment il réagit à la variation d’un de ses paramètres. STELLA génère les résultats soit sous forme de table, soit directement sous forme de graphes. La comparaison de ces résultats avec les mesures effectuées au laboratoire permet de discuter de la validité du modèle ainsi construit (le frottement est-il de type laminaire ou turbulent ?) et de retrouver des paramètres physiques du système (par exemple la viscosité de différents liquides).
4. CONCLUSION
Alors, simulation ou modélisation plus classique ? Les élèves ne sont pas unanimes. Les plus "matheux" préféreront parfois l'approche par équation différentielle, les autres la modélisation avec "STELLA" ou "I THINK" bien que leur utilisation nécessite une très forte "intuition physique" du phénomène. D'autres encore ne sont à l'aise ni avec l'une ni avec l'autre méthode !
Quelles sont les aptitudes que l'apprenant met en œuvre avec chacune des méthodes ? Y a-t-il un "profil type" pour l'utilisateur de l'une ou l'autre ? Quelle méthode est susceptible d'être la plus facilement réinvestie dans d'autres branches ? Il reste beaucoup de questions à traiter.
L'une ou l'autre de ces approches nécessite une assistance informatique. On peut penser qu'il suffirait de se limiter à des problèmes simples pour s'en passer. Cette attitude, traditionnelle dans l'enseignement secondaire, a conduit les enseignants à se limiter aux problèmes "qu'on sait résoudre" ! Cela donne une image fausse des sciences expérimentales. L'élève peut en déduire que la réalité est "simple" et toujours aisément modélisable. Au contraire l'assistance de logiciels "outils", calculateurs symboliques ou intégrateurs du type STELLA va permettre à l'apprenant de se confronter à des situations bien plus intéressantes, mais toujours à sa portée. Il rencontrera des comportements chaotiques, des attracteurs étranges, etc. Cela peut constituer un puissant moyen de motivation.
BIBLIOGRAPHIE
BOURGES V., La physique avec MAPLE, Paris : Ellipses, 2000.
ROTARU P., Mathématiques avec MAPLE, Paris : Diderot Éditeur, 1997.
