Le groupe exceptionnel G2 /

(1)

; , 1,-\ \

LE GROUPE EXCEPTIONNEL

_G2

'par

@

Maurice Chayet

Mémoire présenté

à la

faculté des Etudes Avancées

et de la Recherche, en vue de l'obtention du grade

de Maître en Sciences.

Département

de

,Mathématiques

Université McGill

Montréal

Québec

,

, Mars 1981 Q4 } P" • \ i

(2)

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,~' _{=,[ ..} 01. , 'ri' f~ \~' ;',1. , '

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1

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..

_.-.

--....---LE

GROUPE

EXCEPTIONNEL

par ;Maurice CÎ1ayet Résumé G . 2 •

On ,déduit de la théorie de$ repré~ent~t~ons spinorielles,

tel que dévefée par C. Chevapey [10], .le principe de

tria~ité pour SOCS), l'existence des nombres d~ Cayley

ainsi que l'existe~ce de son groupe d'automorphismes G₂,

comne faisant partie d'un seul et même phénomène. NoU's

avons simplifié cette théorie en ne considérant que le '\

cas des algèbres de Clifford [11] complexes, pour en

dé-duire les cas

r~els

particuliers, comme

c~nséquenc~s

:immédiates.

Deux rés~l tat,s nouveaux sont présent~8 dans èe mémoire

\ "

l'un d'eux est une description de G

₂

qui ne dépend que

d~, la donnée d'une certaine forme trilinéaire sur un espace

vectoriel en 7 dimensions,\et l'~utre est une descript~~n

de l'espace symétrique G2,2/S0(4).

Département 'de Mathématiques Université McGill Montréal, Québec \. \ • l. \ ,

"

Mat's 1981

r

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(3)

1.

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t, \ .

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. .

,LE GRO'UPE EXCEPTIONNF;L G 2

by

Maurice Chayet

Abstract

The principle of triality ~or, SO(8), the existence of

the Cayley'numb~rs and' the existence of its group of

-automorphisms, can be deduced as p~rt of the sarne phenomenon,

,

·from the theory spi~or representations as developed

by-\

.

c.

Chevaliey [10J. ~e have simplified this theory

consider-ing only the case of comp.le", Clifford Algebras [Il] and

deducing particular real cases as immediate consequences. _,

_.

Two new results are presented in this thesis report, one of

th~m is ~~e descrfption of G

2 which depends on1y on the _,

specification of a certain trilinear form on a 7 dimensional

veetop space 'and the other is an explicit de.scription ,of thé

, [ . Department of Mathematics McGill University Montreal, QUébec _, _, ,ii March 1981,

.

' / \

.

,

(4)

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.

, , ' ~N~ _ _ " ' ' ' ' ' ' ' _ _ _ - - - ; _ _ _ - . " ' " . . . . . - - . _ . ~ . . . . ...-~~ . . . _ - " . . . . _Wl _ _ "I,~_, _ _ h i j

1

, Il

•

'06

-

,

.

. ,

o

••

-TABLE DES MATIERES

lNTRODUC,TION , , CHAPITRE l 1-2. 3. Algèbres de Clifford

Les Groupes SPIN(2n)

Les

Grou~s~ SPIN(2~~1,~)

, " \ ' , 1 4. 5. \ \ Par-al1élismes et ,Nombres ~ Le:~~t"oupes .G 2, G2, e t a de Cayley G2,2 \ CHA? ITRE' I I

-',

1. Formes Trilinéaires' Non-Dégénérées

, )

2).

Al'gèbrès, de ZOI'n 3. Formes Réelles de CHAPITRE III 1. La Sphère S6 G~ 2 2. Les EspacésCHo~ogènes _{S+ '}6

_S:'

,

3. L'Espace S~métriqu~ G . ·/SO(·4)

2,2,

56

0

'!

et

4. L'Espace Symétrique Compact G

2/SO(4) , 5. Coordonnées BIBLIOGRAPHIE / sur , \ l'Espace H~pe'rbolique

..

, iii

, ,

"',-."~ """j~.~."'.~"",;.~-i,""'-"!1"""i5F"".~~;J;'~44i~,}..,.,>;.;~ .... ~ ... 1"~;l.~.:ar:"":''''~_''_'":-. ':'-.~, ,"l"':':"~,.-~~ ... ~",""' •. - ' ."", .. -",,..,t~ !Ikfl':!:;_~.!'lr'J"~ _ _ _ ri"". _ _ _ _ _

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2 l,' 11 23 27 34

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37 49 ~ ~56 61

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₆₄

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1

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, ' \ , ' " ... _ ... ~~~..., ... ~ ...

-

...

-

... ~

..

" " , ' l' INTRODUCTION

~'\,

\\, \

Lorsque nous avons enW:repris. ce travail'rnous nous ~tions

fixés le 'but dt expliciter, s'inon de comprendr,e, certain

1

,'-'

résuitats d'Analyse Ha'rgtonique qui seraient applfquables Jux

.

groupes simples exceptionnels. G₂ , éta~:t) ,à la fois le groupe

, .

exceptionnel le moins encombrant est 'un eX,émple int~res1ant

~ \ '0;

'd"un groupe de rang 2, ~,emblait, et semb).e 'encore, êtrEf le"

càndidat tout désigné.

La prem1ère représentation de 8

2

s

;

remonte aux travau;k de _\

E. Cartan [7] et F. Engel [15]. Quo,i qu'il en,soit,' G₂ est

le ,plus fréquemment décrit comme le groupe 'd'automorphismes

'du corps' non-associatif' de nombres découvert par A. Cayley en

1.845 [9]. Le c~actè~,e\ accidentel des nombi:-es de Cayley a

cer~ainemen t été mis, en évidence par Hurwitz [20], qui a

dé-.

.

montré que! 1,2,4- et 8 étaient les seules dimen~ions pour

les-'qu'elles

il\

exi~."te

çIes multiplications

no~ées p~'~

une forme

'v~ 1

qu'âdratique. Le p~oblème a été repris par Dickson (13) qui'

,>

relié le théorème de HUI'wit'z à la détermination des algèbres

1\

1

,1

1

de Cayley. PaI'a~lèlement à ces d~velopp~ents,

w.

K. Clifford i

[12] a, introduit la classe d: algèbres, aujourd 1 hui connues' sous

1

. \

ce même nom et dorit l' histoirè mouvementée qui pass~, de l'oubli

à

la, redécouverte, aboutit

~

1935

à

la formulation par \

, ,

Brauer et H. Weyl [6] de la th~oI'ie des représentations

.. spinoriel~es. CI e~t finalement, C. Chevalley [10] qui a déduit

le principe de trialité et la constructirÎt des algèbres de

1

Cayley-Dickson, dé' la théori-e des r'eprésentations spinorielles.

iv

(6)

(

• , " " ' , '

.

-~---~ -,~ ... "'~'..,...,... .. ..:-'"l'""""r,.:" ... '''~ ',- .. ~ ... -""' ... -.~ ~ ... ".. .... __ ~..-__ '" ... _~ ... ___ ~. _ _ .. _

Nous traitons de Itoutes ces qU'estions dans le premier> chapitre, ,

\ 0

dont l'avantage est, nous le croyons, d!avoir donn~ une ap~ro'che

unifiée. ,En utilisant. la 'notion\de conjugaison c'omplexe, nous

avèns r~duit 1( prQblème de la classification ,des représentations

,spinorielles (rEelles ou complexe~) au' problème de

classifica-~

"

.

tion des représentations spinorielles des algèbres complexes "en

dimension-paire. tious avons également voulu i?diquer clair~ent

/ ' -, '\

les liens entre: l'existence de G₂,..,. le p;r'inbipe ~e trialité

et Ir existepce des -algèbres de Cayley:"DicKson. (Théopème 5\).

Le point de vue adopté au second chapitre est tout

à

fait

nouveau; en effet, ce qui caractErise 1e,8 diver>ses descr:iptions

, .,., ...

de G

2 rencontrees dans la littérature sur le slij et, 'es;t là,

double exigen~ce pour les t~nSform:ations _{G2 de}pr~server

smul tanément une mul tipli,cat . on 'et û'ne, forme quadratique. \ Cela

n'est pas nêcessa,ire, G₂ est déteri:p.iné p'ar la donn~e d'une ,

certaine classe de formes' tril in\êaires 'alternées sur un espac e

.

,

vectoriel en 7 dimensions. Nous croyons avoir eu ce

sens

r~-jo~t le point de yue de la g~ométrie mod'erne tel qu'on la

conçoit pour 1es-groupes class,iquès [IJ. '

, .

Nous avons décrit au troisième chapitre quelques espaces

homo-g~es de G₂, mais nous avons surtout insisté sur la descrip-"tion de l'espace symétrique G

2 2 /SO( ... ),

en

ut ilisant les notions

" ' <

dl involut ion et de disque de Poincar~ généralisé, -tel qu'elles

ont d~jà étés exposées I?ar C. Herz [17]. Le but ultérieur des

résultat.s exposés, dans ce dernier chapitre est, nous l'espero,ns,

de permettre d' eÎïtrep~e~~re le proj et ,initial a~c les outils"

..

'" qui' conviennent.

v

(7)

, ' " '. '.' .~) ,

'1:

1 ",""

....

)

1 " \. \ " ' " , / ' " \ , ... ~-, .... ,..,... .... ~~_ ... _ .. __ ;-'...-.l.~ ... .-... .. _"'~ ... ~,,-L..., ... _ _ _ _ ... _ _ _ _ ~ .... _ "'_". _ _ _ _

.

, , , , ,

.

Nous p~io~s l'~ventuel 'lecteuF

les explicatiohs détaillées des

> ' '

de nous excuser d tavoir omis

1.

'1" é .

.

, ' \

recours à ce procédé afin de n~

\

n01at~ons 'ut~ l.S es, on a eu

pa~

comprom,ettre le

V~lum.e

d'un

texte déjà fort long • . '

Je profite de cett-e occasion,: po~rar" exprimer ma très grande

reconnaissancQ à Carl He1?z,' qui

f

ses enseignements précieux,

\'

et, son su:pport constant a permis que j f entreprenne

èt

que je

\ • ) , 'j

m'Fe

à

terme ce projet. Sur hi d'autres points, je lui suis

1 l , '

r'edev~ble. Grace a ses s~ggestil'n6 certaines idées et

démon-strations maladroites. ont Ifait

11ac~

à

des améiioratioru; et

~

des

d~onst,.ation·s

plus cJrteSj et

:lUS

estMtiques,

su~tout

en ce qui concerne le cha;ktrejII.

,

Je\'I'e!:l.eI'cie '~gal~ent Mme. E. Massa qui a, dact,Ylographié ce

texte, dans des

1

exemplairè. \

,1

,

.

" '

conditions difficiles et avec \ un dévouement

'/

, i

1 , 1 1

vi

\ / . , ! \, \

/1

1 : 1 1 , 1 1 .: _1

(8)

l ' 1 1 r " 1 J ,

/

(

CHAPITRE l ~EPRESENTATIONS SPINOR~ELLES'

Il existe parmi les représentations fondamentalesl des groupes

orthogonaux de la série D' une pa~re . ,

n , n

+ '- qU'on

n' n ;i!: 2,

1

/ /

associe ésentation m.j:nimale du revêtement universel" de

SO(2n).

On se ' ornera le présent exposé à l'étude .de ces

représen-ites spinorielles [6,10], des groupes orthonogaux

_..

.

,

our les corps IR et', Œ •

..

,

donnee s'inspire des methodes utilisées par

C.

[lOJ, cependant l'avantage de permettre l'étude

des groupes: SO(2n,~), SO(2n) et SOo(n,n).

Comme on ura l'occasion dfr le constater, les représentations

es de SO(2n)

sont'~n

2n-1 dimensions, ce que pour

~

SO(8) a des conséquenèes intéréssantes, puisqu'il en

découle 'existence de trois représentations inéquivalentes

~

ons et donne un

sen~

concret au principe de

tria1it~2-,-., 1

1

On dédu de ce dernier accident numérique, l' existence d~s

\

/

Cayley [29,9], dont 'le groupe d'automorphismes ;G

2 y. appar Ltra comme le groupe commun aux trois représentat,:lons de

1

(no n

n+

n

n-).

-,

t

'anneau des représentations d~ dimensions finie d'un groupe

imp1e de rang k est engendré par une famille de k

repré-sent~tions dites fondamentales [32J.

est le seul parmi les groupes simples qu~ pos ède un

groupe d'automolI'phismes externes non-conunu'tatif. En

l'occuro-rence S3 le groupe des p mutations de Itr0is lett es;

l'

J

l-I

(9)

1

"

'.

-0,

... 2-1. Algèbres de Clifford n

Soit W une espace vectoriel' complexe de dimension finie.,

L'a~gèbre tensorielle sur W- [11], est l'algèbre associative

k)

à élément unité T(W), qui satisfait à la propriété universelle

suivante:

(a) I l existe une injection

l ~ image engendre T (W).

aire l W"',T(W), d6nt

(h) Toute application' linéaire R W ... A où A est une

"

algèbre associative

à

él unité, admet une et une seule

,.

extension R : TeW) ... A, a un homomorphisme d' al~èbres.

Definition. Soit W un espace vectoriel compleXe (r~sp.,

réel), on dit que W· est muni d'une structure orthogonale

.

complexe (resp. réelle)

t,

lorsque ~ est une fOI'llle

bi-linéaire symét:rique non-dégénéroée à valeurs complexes

(resp. réelles).

Soit (W,t) une structure orthogonale, on l'peut construire une

classe d'algèhroes universelles, appelées algèbres de Clifford

[-lI], se~on le pIlocéd~ suivant:

Désignons par I(W,~) l'idéal bilatère de T<W) engendré par

les éléments de la forme:

Alors l'algèbre de Cliffora C(W,~)

=

T(W)/I(W,t) est l'algèbre

universelle po~r les propriétés \suivantes:

'. , \ c' , - ' , l'" 1 i !.

(10)

.

" J -f, î ,\ 1

l'

o

(

, 0 D , / .. J " , > • " / ~/

~ .... ·_<-o'_-:...,...,~~-...~ ... ""...-.J ... ~JI!"~~ ... *lJilI _ _ _ '_._ .... 'l/<IIi .... iIo._ ... _ ... _.,If_.'-. ... â,...;.., _ _ _ _ _ _ _ ... _ ..

, ,

"

o

(a) Il existe 'une inj e'ction 'linéaire !,: W ..,. C(W',t), dont

l'image .(qu,'on identifie

à

W par conveh~io~) engerrdr;

(h) _{Toute application}_'linéaire. _{R :,} _W

""A;

~ù _Ji _{est une}

\

algèbre as~ociative ,à éléni~nt unité, et qui vérifie:

2 _ '

(R (w) ) ,~-

-t

(w , w ) lA pour tout Vl '( W,

admet un et un seul prolongement à un )o~omoI'Phis~'

'. " ,.. dt algèbres R C(.W,t) ... A. ,

w ••

, "

Il ne sera pas néqessaire par la suite de spécifier la structure

orthogonale t,sur W. Lorsque le cont~te sera clair" nous

,

écrirons pâr abus de langage' Cdim(W) (W,),

l'algèbre de Clifford C(W,4I).

, ,

Définition.", Soit (W,t)~ûn~,structure orthonal.e" un

opérateur sesquilinéaire 'Y' sur' W, est di,t, conjugaison

,

complexe hermiti(3nn~~ st i l sat'isfa:rt aux ~ondition8:

~ ~

c " ; 0

, '

et

_..

~ l~ "Mentionno~s

que èeis ,deux conditions nous a.~su~ent

q,ue. -la,

·forme

On d~ra, <le plus, qu rune

-~7t·~" l' ' , .

-,\'] <wl'w₂>

=

.t(~1''Y(W2»

est

h~,~itienne.

,conjugaison hermitienne y est poai.tivslorsque

"

<w',w>'

= .

~H~,

y(wH

~

O.

quelque~

fioit

W ,(

We .

....

, , ,

Remar'quons'

qu

tu:qe conjugaison complexe ,hermitienne, y

, " ,,(1

sur

•

" '(w ,~) _{conserve l'}id~al T(W) , _et_{a<;1met d'e ce ;ait}

une extendon naturëlle à

un~ conjug~-ison c~mpiexe

sur C(W) ,

..

, qui conserve la multiplication ... , ' _I~'1 ~

, , '/

(11)

1,,,\ , 'tli':;' 1 • , , '

"

:"

t'

.

'.

CF

.'

, '1· , . 1 i

-

\ Nous -~~-,---...---._~---,~-.... _._._ .. _ .. ---..._~p _1 ... " .... ' .... = ..

-4-\

Définition. Une involution de" \(W,~) est la donnée d'un

operateur J € Aut(W,~), (le groupe des opérateu~s qui

laissent la forme

~

invariante), tel que J2'

=

1. Si

de plus (W,~)v possède une conjuga~son hermitienne y,

on dit que

J

est réel~e pour y _~si_J'Y

=

yJ.

utiliserons le cas particuliero suivant: Soit W un-espace

vectoriel de dimension paire, il existe une involution

J • Ali t (W. t ) qu i . est r<ée100\U'

~

e conjugaison hermi

tienn~

", donnée y, e.t tel que les' espaces. propres de J:

'. \ 0

'w+

=

,{w .€

w

1

J(w) :: w} et W-

=

{w é W 1 d(w) =" -w.} s'Oient de

JIl~e dimension.

"

Dans ces conditions, on peut démontrer, qu'il existe une

iso-. iso-. iso-. ... . , , + "

-,metr1e qU1 echange les espaces propres·

W , W ;

c'est à dire

"

E E Au t (W , il> ) tel qu e : E2::: ,l, EJ + JE

=

0 et

L~e!l. Soit ·(W,~~ une stru~ture orthogonale et C(W)

ltal~~bre

de

Cliffbrra~ociée,

];·1

'~.iste .~ur

C(-W): (a). Un autàmorphisme involutif (0'2

=

1), . qui est

"il 0 /~ t ' ~

·"A!Îl.ti.~em:ent déterminé' par la 'condition" O'(w) :: -w

• l • ":'pour .w·

_.

,,€ .

\'i •

" , 1

.'

- .. .. ~ ...,

Ch")' ,Un anti;;a\Ï:t:QJD.orPhisme involutif 8, entièrement

l' • ' ' ' , ~( "

d,teI'lIlipé.

par la condition

e

(w) :: 'w, lorsque w € W •

, \1 <1 J ~ ; , " , • ' " ~ "t~ , . . t ' ~ ,a"\! '.

'

/' _,

.

,

.

, ,

-hermitienne , ' "

.

, ,,~ ( o , , ,

.

:!S El _ . 0 :-'

1

~,. ~\ , , 1 1

(12)

1 .;

l,·

t

1 i'

., , \ ~ T ~t<-j~>~ ... ",~ .... ,.., ___ ~ -...-. ... - . \ ~._,. ~ _ ~ .. "'~"""'_-.~.. 1 iiiIl'\iINI • • Ili _ _ _ _ _ _ ' _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . _ ...

c

~~

c 5

-L'existence de (J et

e

_{se déd.uit imméâiatement de là}

pro-priété universelle de l'algèbre C(W) :

Dans le premier ca.s () : W -1- C(W) définie par o(w)

=

-w '. admet

une extension a un ... homomorphisme injectif avec 02

=

l , et dans

le second

a

où

C(W)~ est l'algèbre opposée \

.

à

C(W) Ca le b

=

ba Va,b € C(W»,. s'étend "-a un isomorphisme

e

.

C(W) -1- C(W)" avec

e

2

:: I.

~,

Soi t W un esp'ace vectoriel de dimension m et ~. une

struc,-ture orthogonale sur W. Si est unEL base

t-orthonormée de' W~ les relations dans TeW) qui déterminent

l'atgèbre quotient Cm(W) peuvent se résumer aux identités

suivru.'"ltes:

1.2 -1 si i

=

\ 1,2) ••. ,m et e.e.+~.ei= lo J J 0

si

i # j

Les éléments _elE- C~ (W) ou ... l ;;: {il.' i _{2 ,· •• ,} i_k},

il < i₂ < • • • < i_k et el

=

e . • -e. •

.

..

• e. , forment une

loI loZ lo_k

ba~~ de,!' algèbre Cm (W), de sorte que: dim Cm(W)

₌

2m•

On peut faire les observations additione~les suivantes:

peut s'écrire comme' unef somme directe des sous-espaces

\ _,

engendrés par les el aVec'

1

Il . = le, 0

s

'k

s m,

ce

qui lui confère une structure d'algèbre ~-g:l'adu~e invariante

il

par 1 taction de l'automorphisme principal a et l '

anti-auto-mOJ:"phisme

e •

Lemme 2. Soit (W,~) une structure oJ:'thogonale. -Soft

~~(W) l t algèbre associ~e et \

a

l'anti-involution princ1-pale du lemme ,1. , 1 1 1 .'

(13)

,

,--- "----~ - ~ .--... ~".- "--"~_"'.)"' _ _ _ "'_f~~ _ _ ", __ .,.,,~_._"_. __ . _ .... - - -_ _ _ _ _

li._ ... , ._. ,._. _

...

1"'_' , "

-6-La forme linéairê }.. : Cm (W) ,;~ C, qui associe

à

tout'

élément s E' Cm (W) sa composante homogène de degré -0,

-"

" détermine une stlX'ucture orthogonale s~r Cm(W), ee1on:

"Démonstration,: On a par définitio.p de À: s16(s2)= À(s₁6(s2»+t

où t E Cm (W) est un élément de degré ~ 1. Or

e

conserve le

degré

.

dl homogènei té de sorte que:

8

26(Sl)

=

}..(s16(s2»-1+ 6(t) :; B(>sl's2)-1+ Set)

=

B(82,sl)·1+ set)

~

dl où la conclusion que B est symétrique.

Soit

si deux multi-indices

une base ~-orthonormée de W, on voit que

I,J c {1,2, ... , m} sont distinctslla.lors

BCeI,eJ )

=

Finalement

O. ,

BC· , .) ne

peX

être dégénérée, car si

\

l _(c,.~.f.d~

f;-/ ' ~.-' '" ...

, \ '

Lemme 3. Soit (W,~) une structure orthogoI1511e

(complexe) et y une conjugaison hermitienne positive

\

sur (W, ~) , i l

existe

(a) yez) ,= z a(z} =

m(m+l) (b) z2

=

(-1) 2 Z f Cm CW) (_l)m~ et tel que: m(m-.l) B(z)

=

(-1) 2

_{• z}

(c) z commute avec W si m. r est impair et' anti-commute

avec W _

si

m est pair:

,

\

"'1 1

(14)

.

1 r 1 " \,..,\ 1"1 " " " ., " 'th r ~ ~~ r' ,

"

~ J, " 1" " 't.,

;-\'

'< _t, ~ f 1 "

i

f- \ !

i

_~

t

i

_i

\

C

'. _ _ _ i • . . -. . . " . . , . . . - . . . . . . . ~ _ _ _ _ . . . ~ _ _ ~"'*"'-_~_.

_______ ...

_~_

... _. __ ._. _

...

* •• _ .. _ .. _._ •• __

-7-Démonstration: Rappelons qu'une conjugaison complexe su~ un

espace vectoriel W permet d'écrire W

=

Wy (!) ,r:iï. Wy où

W'Y est le sous-espace réfJZ<:i de W stable pour la conjugaison y.

Puisque y est de plus hermitienne positive, en a >lue (W Y, ~)

est une structure orthogonale réelZe 'et même positive. Soit

el' e_{2 , · · · ,}~ uhe base ~-orthonormée pour

devient une base ~-orthonormée pour (W,~),

I l suffit alors de poser z

=

e °e • _{1 ·2'}

Y(Z)

=

z et a(Z) = (-1) m z. aVec m (e.). 1

.

~ ~= y(e.)

=

e.! ~ ~ évidemment

D'après le lemme l, 6(z):eoe 0

m

m-l .•. • el' si on utilise _mem-l)

la relation 1. 2 on en arrive

à

écrire e(z) :: (-1) 2 oz, en

effectuant des permutations cycliques des termes du produit

D'autre part 9n a que z6(z)

=

(:1·e₂•••• .~).(~.em_l· ... ·el) ::

,

:: (_l)m, et qui peut ~ga,lem~'t

s'

~crire

m(m-l) 2

(-1) 2 •

z ,

Finalement pour

, m~l

wz

=

-(-1) zw

d~où la conclusion Cb) du lemme.

1 :S

i-~

m on a: eiz:: (-l)'m-l)zei'

\

quelque soit.

w.

et donc c.q.f.d.

Sauf 'mention expresse du' contraire, les hypothèses et notations utilisées dans la suite seront les suivantes:

,

West un espace vectoriel complexe de dimension paire

=

2n,

muni d'une structure orthogonale ~ et d' une conjugaison

hermitienne, positive y.,

J est une involution de la structure orthogonale JW,~)

- "

...

qui satisfait a: trac e ( J ) :: 0 , Jy ::

yJ

et E une seconde

/ \ ': " ' '~.~~" ,~~ ~~,~;,~:~·~ao\..à,-:::":,.,,.('1L.t±.::'.Sk.:.~.; .. _ ... ~!

(15)

(

\

i

t,

1

1 o

-8-(

involution orthogonale qui échange les espaces ppopres W+, W- / \

de J, de telle sorte que

yE

=

Ey

et JE

+

EJ

=-

o.

(Par

extension de

E

et J on peut supposer qu'il stag~t

d'auto-morphismes de C

2n (W» •

a et

e

sont re~pectivement: l'automorphisme de parité

et l' anti-a:utomorphisme principal, dont.{,arle le lemme '1.

Les propriétés élémentaires des algèbres Cm (W), tel que'nous

venons de les exposer, conduisent directement à' la

classifica-tion des représentaclassifica-tions de ces derriières ~

Théorème 1. Soit H un espace vectoriel complexe de

dimension 2n muni d'une structure orthogonale

A

~, i l

existe sur H:

'"

(A) Une conjugaison hermitienne

\

pour (H,~).

A-(B)' Une involution Cf

O d-e (H,CP), réelle pour Yo'

tel que

la

conjugaison complexe " 0 : : YoCJo :: 0'0 Yo'

(C)

A

(D)

,.

,soit hermitienne et positive pour'

Œ,CP).

Un opérateur Jo vérifiant

J2

₀ =

Jo Yo

=

_{yoJo '} ,

a

0 0 J :: (-l)nJo"o et

'"

_{(_l)n}_~(u,v)

cpeJoU,Jov)

=

Une représentat'ion fidèle tel que: quelque , n(n+l) (-1) 2 -l, soient

u,v (

H.

(1) ou "- v =Jy:: yJ, est une

conjugaison hermitienne qe (W,t).

1 _

(16)

; - C

"

t,·

t

l ~.; 'r_ ,-,

'"

~ ., '; ~ ï. i _ifj ~

..

;:1

o

.

, \

_ M -~ . . . . ~ . . . . ,--"--I""' ... oL.~ ... \...."..,... ..

.

~ ... 1'I'..,~~'I\Ol~,...~""""'-,~~"':o( .. ~ .... II9!I!*"';It . . . ~~ rf.1I'l! '!Np l _ _ 4!lW!1 Wb "'iL,; ~.fI"'lt;l.:W:.UJ!l'"if.i'_~_Wi ,

-9--

... (2 ) _J_OAA(

~ )J~l

₌

_A_(J_(s» _~ _{S E} _C 2n'(W). "

...

(3 ) C1 oA(s)C1o " = k(C1(S»

,

S tE: C~n (W).

A(s)t

= A(Je(s»

où. At

d~signe

le

transp~sê

de l ' op'érateur

,<"

A relativement à la structlœe

"

orthogonale

1f.

Démonstratj.<m,: .Soi t J ~e inyolution de (W, ~) . tel que

trace(J)

=

0 et )'J~ = Jy. Le théorème s'établit facilement

V

lorsqu'on prend pour modèle de l'espace vectoriel H; . la

sous-,1

algèbre en (W+) de C

2n (W) ~ ou "

w+

est 1 t espace propre de

\

,-corre sp ondant à la valeur propre +1.

, (A)

CB)

Soient: Bo (',.) la structure orthogonale associée

à

l'algèbre C

n (W+) par le lemme 2 (jouant le rôle de

~)

et )'0 la restriction de y, à l.;t spus-algèbre en (W+).

On voit que Bo (Yo(sl)'Yo(s2»

=

À(Yo(sl)·So(yo(s2») =

\

= À(Y_O_{(slB o (s2»)}c: À(sIBo(~2»

=

Bo (sl,s2) d'où 1'0

est hennitienne pour Bo(e,e).

t...,.

, ..:;t.

l'automorphisme de parité associé à Cn(W+)

,

Soit

1 •

J

va

,=

C1

o Yo

=

YoGa est une ~onjugaison complexe hermitienpé

pour BoCe ,.), puisque G

q tE:

Aut(Cn(W+),B~)

et \

Bo(",~(sl);vO(s2» :: B_{o (Yo(sl)'Yo(s2»}

=

Bo,(sl's2)~

(".-Elle est

d~

plus positive d'après

leïC~19ul

=

À,('V (s)6 0 (s», si on pose s

=

l

(lrer

a 0 0 \

r

on a: et donc 1 l'

(17)

CC)

CD)

Soit Zo € C

n (W+) l'élément déçrit par le lemme 3 et

. t

posons Jo(s)

=

sZo pout' 5 ( Cn(W ).

n(n+ 1)

Evidemment

J~(s):: sz~ ::

(-1) 2 ·s d'où

2 n (n+l)

J ...

=

(-1) 2 . I . D'autt'e pat't (1 J (s) : '0' (si"",,:

... 0 0 0 0" 1)

:: ao(s)(-l!n~o = _{<-l)nJo (1o{s) et Bo}

eJ

_o (sl),J

oCs2

»

=

= À(s

lzoEHs2zq

»

= Hs1zo6(zo)6(s2» :: '(-1)nÀ,(6le<s2'» ::

= i.t-l)nBo (61'8

2), _...-1

~

+

Soit E l'isométrie qui échange les espaces W

tout w € W s'écrit d'une et d'une seule façon:

'W !; U al B(v) où U,V €. W • +

" Posons: A: W -t-~End(C~(W+» défÎ1)ie ,par:

,

1.4

-

A (w) ( s) :: us + 1-1 C1 (s) v où w:: u III E (v ) • a o A. satisfai t

à

la pt'opriét~ ACw)2(s) : u(us+r-I

°

0 (s)v)

=

(u 2+v 2)s:= (u 2+E(v)2).s

=

ul').iverselle 1.1 c' est-à-di.;r'e: : -+

.,r:r(

a (u) <1 (s)+ 1-1 SO'

Cv»·v

= o 0 0 w2.s

=

-tew,w)·s.

/

A admet de ce fa.it un prolongement

à

un \~omomprphisme d' al~gèbres

,

.

Mentionnons ,que _{C2n (W) est Une algèbre simple [5}

J

et ,puisque \ \

• d'une part' A '1. 0 et: d' autre part dim C

2n

~w)

':'dim

En~

(en (w+

~)=

2·

2n_,

''''on conclue que A

es~

en fait

Un

isom.orphismE7

d'a1gèbt'e~.

1,2.,3 et 4 s'obtiennent' dit'ectement de la' formule

~. ~

\

tenant compte du fait que toutes les structures orthogonales sur'

les. espaces v~toriels compLexes de même dimensions sOnt

'\

-\

(18)

'., 1 ~_ • '-~"'i;' , '1}' f.~..i _

\

(~

l '

c)

Q " \ ... -... _-\"~ "!_ ... ~-~ ~--.~""~--_ .. _ - - -... .,,...,..._. - - _ . " " ___ •• ,,,. !kt -11-, . / / \ \

équj.valentes, on en arrive à traduire les conclusions obtenues

+ ~

lJ.?ur

(Cn(W ),Bo) eri de conclusions équivalentes pour (H,4».

c.q.f.d.

"If

2. Les' Groupes SPIN (2n)

Soit G le groupe des éléments inversibles de C_2n(W) qui

satisfait à la condition suivante;

ssi

G contient deux sous-groupes réel assoc}-es aux conjugaisons

.

,

complexes y et v = yJ = Jy. (Les notation~ du

#1

sont en

GY SV

.!-.... ·--I

vigeur):

₌

{s e G y(s) ::: s} _et ₌{s tE G

l

\I(s)

=

s}.

,

Lemme 4. Soit s tE G, 6(s)

=

s,S(s) est homogène de

degré 0 et l'application !J. : G -1- le • '1 est un caractère

du groupe

G.

Soient seG e;t WEW, ona: S -1 WB = W' E W

Soit

dire ws = sw', lorsqu'on applique

e:

\....

=

sW,'e(s)'" à(s)w'= wsees) .. à(s)w:iwf.(s)

w E, W. Puisque ~ engendre C

2n eW), A(s) doit

centre ZeC

2n(W» de l'algèbre C, n 2 (W); qui comme

·l'avons déjà met:ttionné, se réduit à une copie du corps des

complexés 4:.

=

sls26Cs2)e(sl)\.slà(s2)6Csl)

=

âCs

1

)à(s2).

,..', \

-q.c.f.d.

e

la sous-algèbre constitu-ée par 'les éléments paires

/ 'w_

, ;

\

(19)

:

.,

"

,

\

c)

,

"\< .... )" . . . . ~II\I' ... ~lo''''''''' ... ~...:t'''''., ''l'If~ .... ~~--<rr ... 'l~~··rr+~~'IIII!f(o~~ft~5(I 41. ~~..". ~ ... "' . . lII_*.AOOO!itllllllllf"'.1 ""'''' ,1!IItI • • IIII!$OI!!U,I!lIIIMI _ _ tftAlIlI'flllllll1lWlf('!lLU

-lt-\

.

de ~2n (W), (:)' est-à-dire le sous'-espace de .. C_2n(W) invariant

pour l'automorphisme de parité cr~ On associe au groupe

G+ ':

C2n(W)~

n G trois

repré~entations

(no,w),

~A+,H+)

et

(A -,H-) d _e d" _{l.menSl.ons. respec l.ves}t " ' 2n, 2n-l et 2n-l, _conune suit:

1)

(Ro,W) est la représentation dite régulière et définie par:

2.2 = sws -1 ou " S € G . et ' + W E W. W₁w₂ + w₂w_l

= -

241 (wl'w₂) , w_l

'*2

E: W donne: o 0 ' \ 0

°

(n

(s)(wl»(R (s)(w 2)) ,;

(n

(s){w2

»)(n

(s)(wl

»

.. - 2if1(IIO(S)Wl'~(S)W2)\= -. H(w 1 ,w2)

d'où le fàit que nO(s) E Aut(W,t).

,1

Il résulte du thé.orème l{

~ + _ao

A : CZn(W) ~> End( (H)

l'existence d'un isomorphisme,

où End:o(H) est la

sOUS-alg~bre

des operateurs

~ur

H

qui

commu\~nt

avec l'involution

a

_o

•

On a donc une d'composition en, so~e directe orthogonale

l ₊ "'~

~~

H

=

H

$

H-

et une décomposition corr&$Pondante pour

Aj

A

=

A+

$

A-,

de sorte que les restrictions de

A+,

A~ au

;P

groupe G+,

constituen~

une paire de représentations de même

dimension 2 n-l .

D~finition: SPIN(2n,t),. SPIN(2n) désignent les sous-groupes de G+,

~SPIN(n,n)'

G

Y~t GV :.

+ e +

r~spec~1ve-'ment~ qui satisfont_à la condition supplémentaire • 1 à(8)

=

8 • Ses)

=

1. 1 1 \ \ i 1

(20)

! ~ 1

(

,

.

,

.

2.3 où -13-,

.

"

Définition:'Soit W un espace vectoriel complexe de

dimension m et tune st?=,ucture ort~ogonale ,sur, W.

'On dit qu'une forme de volume west" compatible ,avec

la structure orthpgonale (W,~) ssi:

tu désigne la forme linéaire

L'existence d'une telle forme de volume !il est évidente.

,

(Il suffit de considérer le déte~minant exprimé en cOdrdonnées

relatives à une base t-orthonorrnée de

W).

Soit

une.base ~-orthonormée de

'W,

on a

(d'après ~) d'où ce qui: signifie

qu'une forme de volume w sur

W

compatible avec t n'est

déterminée qu'au signe près. Cette situation peut s'expliquer par le fait qu'une forme de volume w déterminè une

orienta-"tion de l'espace vectpriel. •

Soi~

AuteW)

le groupe des opé~ateurs inversibles de

W,

on

1

lui associe une représentation Ituniverstüle Il sur l Valgèbre des

fot'~

(Ultilinéaires '(Tco(W»

*

selon:

cr " -1 l

f (UI'U2)"'\~Ul<)'

=

fCa (ul)'.~')

a-

Cu_k

»

où f est une k-forme et cr! Aut(W) .

•

Dans le cas qui nous intéresse wO est un multiple non-nul de w et on pose: \ , , , 1 ,

..

,

(21)

•

j

t

1

_t

1 C,'

\

i

1 1 • -l~-2.4 <~

Lorsqu r on applique <1 à la relati~n '2.3 on _.::_

(~

)0 A

(~

)0 1\ • • • 1\

(~um)'O

= (Il u

l ' ... ,

Um)[d~t(a)]-l

• 1.1) u

l . u2

ou encore:

'En particulier a ~ ~ut(W,~)\. ~a

=

~ d'où on a que

w(<1(u

1), ... , O(Um»(JJ

=

(d~t(a»

-lw(u1, ... , Um1)W de sOI"te que

d~t(a}~

=,1 si <1

~ Aut(~,~).

C'est un fait connu que la composante connexe de

Aut(W,~) ~ O(2n,() est le sous-groupe Aut(W,~,w)

=

SO{2n,œ)

où !Il est une forme de volume compatible avec ~.

/ I!L . . . 1 1 1 1 1 1 l ' 1 1

n'e la même façon, si y est une conjugaisbn complexe hermetienn4

pOBi.tive~ Ault(W,~,!Il)Y '; SO(2n) - est la compdsante connexe

Aut(W,~)Y ~ O(2n). Il n'est cependant pas vraie

que-Aut(W,~,(JJ)V ; SO(n,n) soit la composante conneke de

de

'V

Aut(W,~) ~ O(n,n)., Pour s'en convaincre i l suffit d'observer

que l'espace

~omog~~e

SO(n,n)/SCO(n) x O(n» °est connexe,

alor~ que 'SeOCn) x O(ni) ne l'est pas.

\ .

Th~or~me 2. Le groupe SPIN(2n,G:) (respectivement

1 \ w

$oPIN( 2n) t resp. SPIN(n ,n» es·t le rev@tement universel

du

groupe Aut(W, t ,1.1), (resp.

v ~uto(W,t,w) ).

Remar~ue: AutoC ) d~signera,toujours ,la composant connexe

du groupe co~sid~ré.

(22)

(

()

-~~,--_.,.---_._.~"_._"

__ ..

_.,_~_.*_e._'

__

-15-Démonstration: Nous avo s déjà constaté le r~it ,que

rro(G) s:: Aut{W,<lI) , en ré lité on a les relation~:

nOCG) = Aut(W,<lI) et nO(G+) = rro(SPjN(2n,œ» = Auto(W,~).

En

effet soit T E Aut(W,~), d'après le cél~bre théorème ~e

Cartan-Dieudonné [14,25]' i l existe des vecteurs unitaires,

( <li (u , u)

=

l), ul' • , " u k '[=s 08 0 .. , 0 8 u l "' u2~· uk tel que 0 ~ k s 2n et où S (w)

=

w _ 2~(w,u) u ~(u,u) • u est

une symétrie par rapport au plan perpendiculaire à u (c'est

une opération bien définie lorsque u est non-isotrope).

"

Une telle symétrie S s'exprime simplement dans l'algèbre

"U C 2n (W) : si o(u,u) ~ 0 on a: U -1 _-- _<l/(u,u)-u et \ 2<l/(w, u) 'l)u-l = - [w -1

uwu

= (-

wu

-\ 2<l1(u,w) ] S ( ) t{u,u)'U

= -

,u w • Posons: s

=

_{ul • u}₂' ••• • u_k E: C 2n (W).

on a: sws-l

=

(-l,kT(w) où k

=

degré d'homogénéité de

Il se présente deux situations: 1

1er Cas: k lest pair et nO(s)

=

l'élément dont parle-le 'lemme 3.

puisque A(z)

₌

z"S(z) ₌(_1)2n

=

Z E: SPIN,(2n,G:) 0 0 ) JI (sz). = II .(zs / ainsi que :; 1'. -t. Soit z € C 2n(W) z anticommute avec W et l on doit avoir d'où on a: \ s.

-, 2~me èas: k est pair et alors T

=

nOCs) établissant ainsi

r la surjectivité de nO,

Précisons qu'il est i~possible d'écrire, t E Aut(W,<lI) de

deux façons; T : .noCs₁)

=

nOCs₂z) où

SI'

s2 sont de parit~

-,-\

(23)

, "

I

1 \

1

• r

... 1 ... ' r .... • _ .... t<~~l..., _ _ ... _~T.N~I"""" _ _ ~ _ _ • _ _ _ _

'._._n_ ..

r_. _

...

_3lIM' .... __ • _ _ _ _ ,_ ... t~_1'f J '-16-différente, car

=

{s ( G SWS -1 :: W ~ V Wt E W} ;: G n

'*

où

Œ • '1 est le groupe multiplicatif de n?mbres complexes.

Si tel €t~it _{le cas, on aurait S2}_Z\ _XS

1

•

"\

deg(sl) _{pair et 'deg(}s2~. impalr, . ce qui

'1

(Lè 'degré de z est pair).

Soit maintenant T E Aut(W,t,Ul), T

=

S 0

u₁

où À E: <t\{O} avec

est impos S ible •

s

o . •• 0 S

u₂ ~

=

puisque dét('t:)

=

:1.

=

~

dét(S )

=

i,=l u_k

k doit être pair, d'où le fait que

nO(SPIN<2n,t») ::

Aut(W,4l-=:~)

et à pIus forte

rais~n~

°

II (G +) =

p,.u

t (W , ~ ,111) •

L~ restriction de nO au groupe SPIN(2n,Œ> a pour noyeau:

Ker,C nO) =

V.

E

œ'*

1 À

~

= l}

=

{±l} ';: Z2'

On voit que

SPIN(in~œ~/z2 ~ Au~'(W,t,lJl).

SPIN(2n,G!) est

connexe par les a~cs; cela est une conséquence imm~diate du

fait qu'il existe. un chemin qui relie +1 et -1:

Soit St

=

Cos(nt)-1

,+

Sin(Ht)e

l oe2 0

s

t ~ 1

où e₁,e₂

~

W vérifient: ei

=

e~

=

-1 et e₁e₂+ e₂e_l :: O •

(On supposera n 2: 2).

St est de degré pair et de plus ~(St);: Sta(St)

=

l ,

St est inversible et

StWS~l;:

W", ... - St E SPIN(2n,()

si

t

=

,0 on a 50

=

+1 , èt si '1 t :: ,1 on a:, SI ::;, -1.

On en déduit que

SPIN,c:~"hn)",

_\~r, est connexe et conune d'autl.'e paX't ₄

le groupe de Poincaré [32] de SO(2n,C) est n_l (SO(2n,t» ~ Z2

pour n ~ 2, i l s"' en suit que SPIN<2n,(> est le [email protected]

universel de AUT(W,~,oo).

(24)

'.

~. , ) 1 ,

..

-17-.

_"

En ce qui concerne les grqupes r~e1s d~finis par les

conjugai-~c6mPlexes

y et \1,

o~

constate que:

nOCyes»

=

yn(s)y et

nO(\I(~)')

=

\lJIo(s)~,

de sorte que: '

o _

nO(SPIN(2n» 5 Auto(W,~) et nOCSPIN(n,n»

s

Aut(W,~,w)9.

Soit T E: Aut(W,~,w)Y, comme y est hel'mi,t;ienne poait;ive_J

i l existe des vecteurs

t(u.,u.)

=

1

1 1 et

rro (u

1 • u2• ••• • u2k) ::; t . Puisque

on a: nO(SPIN(2~»

=

Aut(W,~,w)Y.

réels p~ur y () avec

et donc

.Mu _l·u • ₂

Soit T E: " Aut(W)~,w) \1

où

\1

=

Jy

.=

yJ est une conjug~ison

hermitienne indéfinie (la forme hermitienne <w

l

,w

2>

=

::; t(wl' v (w

2

»

,est de signature (n,n» ..

•

On peut éC1:'ire

rée1s pour

v

et 4I(u.,u.)'= ±l

l, 1

est inévitable!), de sorte que On voit alors que la restriction

o S avec des

u

2k

(u.). l'

1 1=

(la possibili t€ d'avoir

6(u

1ou2o • • • 1.; ou2k) =,±l':

h(s) = 1 ... nO(SPIN(n,n»

est un sousgroupe invari~nt de 'AUT(W, t ,00) \1 d'indice 2,

Q

(il ne peut s'agir de la èomposante'connexe).

\

-1 (1

c.q.d,f.

l~

. \

\.

Lemme 5. Avec les mêmes" hypothèses et notations ~

th~orème

1; les

rép~esentations

spinorielles (A+,a+)

et (A - ,H-) du groupe / SPIN( 2n;~) 'sont 1IIinéquivalentes.

Démonstration: La sous algèbre

est semi-simple et constituée par

une

pàire d'idéaux

• c + C 2 n (W) °e -

où

v

1

"

.

.'

'

\

(

' .

(25)

- '~ " -18- _{. '}

_.

" e Ci

=, A)

~ 8 • d appa~t~enn~nt au centre e

='

0

=

ê é - -f;,' e2

=

e .'" . /

'"

D'après le théorème l et la re\lation 1'.4 on voit que

.n i" l. + 0₀ : . ' l' -' 0 , \

A (z)

=

-1 a d ' où A (e+ >. = 2 et A( e ) = , 0 ,

o ". ~ '/-.

c'est à dire ,ACe+) et .He) correspondent ~ des' projec-tibns

, '. l ' ' 1 , 1 . '

sur H+ et H- respectivement.

+' +. - -' .,

,Evidemment CA,H), et (A ,H) ~ont des r~présenta~ions

i:rréductibles de C

2n (W) +,

corr~spondant

,aux

iq~aux'

simples C

2n(Vn+.e+ et C2n<W)+.e_

~e~l?ecti~~me'nt.

' +

-Pour,que

T: H

-=->

H

soit in opérateur d'entrelacement

de CA+,H+}

_à

il doit exister t €

'c

2n,eW) .' t~l què: .

,!"\-.. ',,' ~ .'

, \ 1

.

o

ACt) =\ A(t)ACs)ACt) = A(s)

T

o

quelque soit s EC

2nCW)+ 'et finalement

.,

c'est à dire t"(e+-..e_}t

Mais

~+

- e_ E

c

2neW)+ ~

.

hypothèse d'OÙ eT - e

z

~ 0 .... et :: '0

t commute avec _{, +,}e -

è_

'par

ce qui e,st une contradiction car

Dtautre part, puisque les éléments 'de la forme u_l ·u₂• ••• ·u_2k

\ ,

appar~iennent au groupe SPIN(2n,C) (u., 0 ~ i ~ 2k 1

.. sant unitaires!). on en déduit que l'ensemble des éléments

S~INC2n,t) en~enarent l'algèbre C~n(W),. et par conséquent

la restriction des représentations (A+ ,H+), (A,-',H-)' ne

, ' ,

.

i '1 •

\

,\ 1 " 1

(26)

1 \

""UtifIWl"fI.~~,_~_, -, __ I.ll'~"'_''''' _ _ _ _ _ _ _ _ .'''_e,, _ _ _ ,_,,_* I ____ ... &"" .. ~\-' _. _____ ... __ ._. __ 1_1 _ _ _ _ UJ _ _ ••• UIIII1U _ _ ae

i y

-t

\ ,,Ji' l " " ~,

.

-19-r

peuvent être équiv~lentes.

, c.q.f.d.

Une fois ces préliminaï!:'es établis nous sommes en mesure de

don-\

ner une description complète des représentatio~s spinori

des groupif SPIN(2n) et SPIN(n,n).

l'héorème 3. Avec les mêmes hypthèses. et notations

théorème l, on a:

\

(A) Les représentations (A+,H+)

CA-,H-)

du groupe

SPIN(n~n) sont réelles et inéquiva1entes. _,

/

(B~ -Les représentat:ions du

groupe SPIN(2n) sont:

ci)

Réelles et i~équiva1entes si n

=

4k.

(2) Complexes et conjuguées, l'une de l'autre

.si n

=

4k+ 1 ou n

=

4k+ 3 •

_..

(~) Quat~rni6niques et inéquivalentes lorsque

'n

=

4k+2.

\ "

Démonstration: Rappelons les résultats ~u théorème 1:

v

=

Jy

=

yJ: est une conj ugaison de C 2n (W) et J une

in-volution tel que:

l . 2. 3. 'YoA(S.)'Yo

=

ACv(s» J oA(S)J;l

=

A(J(s») 0oA(s)oo

=

A(a(s») J2

=

_{(_1)n(n+l)/2.1} /et o \ \ • r ' l ' _ "

_,

'

.

(27)

t

\

1 t

i

_~ ,

f

{ J

,

- - -

---

---~----.., .",---

---,-,

-~--_. -;'" _.

__

..

_-

..

_

...

__

._---.---_

..

...;...-CA)

"

{

..

(S) '.: ... ~.ü4 ;) ,-'LI iiL .• " , Soit s € SPIN(n,n) , / -20-o(s·) =

s,

J(s)

_i

s,

Ms)

=

1.

On

voit que yoA(s)yo

=

A(s) de

A est réé1le pour la conjugaiso~ çomplexe

"",

~tre part

_Y

_o

et 0 commutent, et que 0

G

oACs)C'1o = Ms) , on a que (A+ H+)

,

(A-,H-)

s E' G et

sorte que y .

0 Comme

sont

réelles 'pour Yo et forcément inéquivalentes.

Posons j = y J

o 0 = Joyo' _, j est un opérateur

sesqui-linéaire sur H satisfaü~ant aux relations

\

"j 2

₌

(_l~n(~+l)

• l et cr oj

=

(-l)n jOo '

s lE SPIN (2n) se traduit par les relations de commutatiott :

jA(s)j-l :: A(s) _et

(1)

(2)

Si n :: 4k, _J.2

=

l j est une

conjugaison complexe qui laisse invariants les

sous-,espaces propres H+

,

H de 0

0,

0:;> (A+ ,H+) CA-,H-)

sont réelles pour j et inéquivalentes.

.,

Si n :: _4k+1, _J.2 :: -I et _<1oj :: _j_<10'

Posons 1.1 :: j 0'0' 1.1 est \lne conj ugai~on complexe

sur H qui anti-commute avec O'Q"

'A

est réelle pour 1.1 et 11 échange le's espaces

H+ _{et H}:... _{de sorte que (A+,H+)} (A-,H-) _sont

complexes et

co~jugJlées

l'une de 1 t autre '.

Si n

=

4+3, , .2 J :: l et = -j (J ,

o j est une'

conjugaison complexe sur H qui échange H+ et.

H-(A+,H~+) (-A-,H-) . é l' d l '

*

sont conJugu\e une e autre.

\ '0 \ , ' / t \ -, \~...- . :~.:~r'

(28)

,

f '. 1 ~ f <

C'

, <. ~ '. .;. ~ } ~"

i

~ ,

-~ ~ _\ 1 ~ ~ , . - '

o

~ '''\-~ ... - , . . " ' " ~~~.,.. ~ ... _~_"-.... ~~_ ... ""I& ... _ _ .... _ _ _ _ _ _ _ ._.~ _ _ _ .I_. _. _ .... bllll ___ ._~/""'.t'-_ _ _ _ _ _ ._~I ___ ... ' ___ .... _M

\

!

, ,

-21-(3) Si n :: 4\k+ 2, _J;2 = -1 et cr _oj = _j_cr_{0 '} puisque

yoj jyo' j est'. une

\

. .

=

structure quatern~onlque sur

H et m@me sur les espaces individuels H+ et

H-

,

.

...

(A+,H+) (11.- ,HL) . _{sont quaternioniques et in- :}

équi valentes •

Çorollaire. Avec les hypothèses et notations des théorèmes

l et 3) on a les·

rés~l t~

représe~tation . H par:

~ ( ~ , Tl ) = ~ C ~ ,0' J

(n'»

1;

,n

E: H, alors:

. 0 0

(A) fjl(1;,n) = (_1)n(n+l)/2 fjl(n,E;) èt cf> est invariante

f . . . . CA+ ,H+)

pour l action des representatl0ns

..

restraintes au groupe complexe SPIN(2n,/t). "

,

'.

(B) Si n

=

4~ cf> est une structure orthogonale positive

sur les espaces réels pour j; et les

représentations spinorieIles du groupe compact

SPIN(2n) sont orthogonales.

\

-(C) S • 1 n

=

"k l "t + ou n

=

4k+ , 3 '( A+

,H+ )

et

restreintes aux groupes compacts correspondants

(~PtN ( Bk+ 2) resp. SPIN (8k+6)J , sont unitaires

pour la structure hermitienne: '

"

CD) Si n = 4k+ 2, (A + ,H+)

CA -

,H-) restreintes au

groupe compact SPIN(8k+4) laissent invariante

!

.,

\' - , 1 'J

.

_" " , , , , 1

(29)

f " , i ,

t

}

_,

r ; ~ C • , "

,

(

"'- -~ - - •. ~--,,- - " - ' . .--•• ' ~J">_"''''''''''''-''''''''''_~'_''''''''''''-' ... ,.~-..",~ ... f~,...'IO'oW'...-·_-_ _ _ _ _ _ _ ._biMS_ .. _._, _b . _ ... _

-22-la forme hermitien,ne qu.aternionique

\

Remarque: Le corps des quaternIons ci-haut mentionné,

s'identi-,

fie-à la sous-algèbre H de En~R(H) constitutée par les

opérateurs de la forme:

,(X t j

a

où (x.

a

~ ~. La conj ugaison hermitienne da'hs H

-st~cri t: a + je

=

ëi" - j

a,

et la norme

la+jag2 = (a+jBHa+je) ::' lal 2 + lal 2

~

o.

"":.

....

• Démonstration: CA) Soit Air lrop~rateur dual de A '(/tEndeR)

"

.

relativement à l~ forme bilinéaire ~.~

D'aprè!3 ,le théoreme lCD), !I.(s)t= !I.(Je(s»'. Posons

rt( ri'" 1)

Ifl(~,n) :: -r(~,aoJon) :: (-1) 2 ~(~,n), (conséquence du He

theorème 1) et désignons la dualité relativement à 4> par ()

*,

alors: ACs)* =

J~laoA(S)\!oJ,o

::

J~lA(J9(S)~Jo

= A(9(sB:"

(d'après le D du théor~me 1).

*

Ir Donc A (s) A ( s ) :: A ( 5 ) A ( s ) = A ( se ( s

»

=

lorsque S E

SPIN(2n,().

1

.

AC.à(s»

=

A(l)

=

l L

cs>

Si n

=

4k, ~ est évidemment bilinéaire symétrique.

~

Soit .~

" Hj (l'espace réel pour j ) , j n )

=

ç;,

d'où

A

"

~

0;

l, t)

'Yo(~)

₌

Jo<t)

•.

= $(~,C1 J (E;».

=

41Q;,

\)0

(t»

₌

<t,

~>,

- -0 0 '

'--où <

,

> est comme nous l'avons constat'é, au (B) du théorème

une forme hermitienne positive.

/

(A,H.) laisse ~ invariante et comme 00 est une involution

. ' J

orthogonale pour ~, les mêmes conclusions, ont lieu en ce qu~

concerne les repr~sentations (A+,H+)" (A-,H-j.

1

-1,

,

,1

(30)

1

,

~ ~- - ... '., --... ...-,· .... ~..-_-...,.~-,·~-'l"~_ .... "" ... ____ ,.Il' ___ fMo1 ... _ . . _lQ'a .... 1t_I"' _ _ '_'",N~ .. _.e_'I_b_.".""_I ... _ _ __ _ _ _ _ _

..

...

_

-23-\

( C) Soü . ( ) * la dualité relativement à la forme hermitienne

"

<;~n>

::

,(~,vo(n».

A(s)*

=

_{VoA(s)t vo :: 0oYoAeJ6Cs»yooo :: 0oA(y(S(s»)oo}

=

:: A(ye(s» _, :: A(e(s» si S E SPIN(Sk+2) ou SPIN(8k+6),

*

d'on A{s) A(s) = A(s)A(s) :: A(6(s» :: AU) :: l ..,. (A,H) est

une représentatiort unitaire. (La conclu~ion est la même pour ' \

(A+,H+) et (A-,E-».

(D) Si n;:: 4k+2 on a j2

=

-1 et 00j

=

joo' On voit que

<j~,jll>

=

<n,~> (d'après un calcul direct),. Posons: Q(t,ll)

=

<~,n> + j<~,jn>, alors:

CHt,n) ;::

<~,n> ,- j<Ç;,jll>

=

<n,';> ..: 'j<t,jn> ::

:: <n,;> - j<j2 Cn )

,j(~»

:: <n,E> + j<n,j(t» =-Q(n,t).

Q

est donc hermitienne quaternionique est positive (car < , >

est positive). '

Q(A(s)!,A(s)n) = <A(s)~,A(s)n> + j<A(s)~,jA(s)(n»J=

=

<ç;,n> + j<A(s)(';),A(s)j<n» :: <~,Il> + j<~,j(n» :: Q(';,n),

\

et donc ,A laisse

Q

invariante.

,D'autre part

..

laissent

Q

invariante.

3. Les Groupes SPIN(2n-l,t) Cn ~ 2)

I l est intéressant de constater que les représentgtions spinorielles de la série Dn déterminent celle 'de la série

3

, Les groupes 'SO(Zn-l,t) ne possèdent qU ',,!-ne, représentati n spinorielle minimale [32J.

3

B .

(31)

" 1

,

;; ; ,

,.24-Soit (W,t) une structure orthgonale complexe avec \

dimceW)

=

2n. On peut choisir un vecteur non-isotrope e € W

tel que tCe,e)

=

1.

. Posons

';.~~

v

=

(e)J.

=

{v e:<W" t(e,v)

=

O}, est un sous-'"'espaèe

\

non dégénéré pour ~ et de dimension 2n-l.

L'application linéaire

N: V

~

C

2n

eW)+

définie par

'.c

N(v) :; e-v "Scltisfait à la propriété universelle, c'est-à-dire: {.

N(v)2

=

evev

=

v2

=

-t(v,v)·l et admet un prolongement

N : C_2n

-l (V) qui est en fait un 'isomdrphisme.

COlilnaissant les représentations de C +

2n (W) , on obtient les

Q

C

2n-l (V)',

,+

représentations de _{et C2n- l}(V) ainsi que celles

..

des groupes SPIN(2n-l,t) qui se définissent de la même façon

qu~ SPIN(2n,t). Nous nous K . serv~rQns de C_2n(W) + comme modèle

\

de l'algèbre C

2n_l (V), cela afin de ne pas'comPliquer_l~~p~ l

par l'introduction d'opérateurs d'identification qui ne jouent

aucun ré5le essentiel dans' la théorie. Il ne reste plus qu'à'

identifier l'alg~bre come sous-algèbre de C +

2n (W) •

On réalise cett-e id'entification, par construction de 1 t

auto-morphisme de parité T de C_2n__l (V) comme opérateur involutif

de

Posons:

=

ewe -1 si w e:

W

(e est le vecteur unitaire

\

perpendicula~re à, V). T' admet un prolongement à un

auto-morphisme involutif de et on a le résultat évident:

C

2n_l (V)+ (comme sous-algèbre de

C2n(W)+)_~

+

=

{s

e: C

_2n

(W)

1

T(S) =

s}.

Avant de procéder à'l'étude des représentations des groupes,

SPIN-C 2n-l, t) , revenons aux conclusions du théorème 1:

/

,

(32)

/ 1 ~"~ ... = --~,_ .. ,,~-V - - ... .",...~-.. .. _~~_~~~ ... _ _ _ ._' _ _ I11 .. _ _ _ • • _ _ - . . . _ . . _ _ _ _ _ _ 11 .... _ _ . . . . : . . . _ . . . ,

_n __

-25-a ' ~ + \ 0 La représentation fidele A : C 2n (W) ':':~ > End (H) se scinde \

en

d~ux

représentations, irréduct,ibles non-équivalent,es ' (A + ,H+)

1

(A-,H-) . / + • H- n-l

et avec d1ID H

=

d1m ~ 2, •

,

Pour. des raisons qui apparaitront par

Ra

suite, il est

'pré-..

férable de faire opérer les -représentations A+ \ et A- sur

• ' le

m~me

espade vectoriel (disons

H+).

A

cette

f~n

nous

intro-duis'ons le lemme suivant:

/

....

Lemme 6. Il existe un opérateur M € Aut CH,4l)

tel que: \

M

2 ~ (1)

=

_{l ,} _O'oM

+

_Ma

₌

0 0 (2) MA(s}M = ACT(s» Vs cr C 2n (W) c

ornorphisrne involutif introduit dans\ s précédentes),

~; ,

Demonstration:

w+

l'espace propre correspondant à la

( ... , ' -Rappelon utilisé Cl) Posons: M M«() =, ieo ( (C1 oMO'o) (t) (2) MA(w)M( ~)

₌

: =

l'involution J,' On peut, pour

simpli-+

e E: W •

la démonstration du théorème l, nous avons

comme modèle de H.

C

n (w+) + -en (W+) défini par:

où ~ E: C + M2 l évident,

n (W ).

=

est et

O'o(ieO'oC~»

=

-ie· ~

=

-M{O.

ieCuCieO + iC1~(ieE;) ·v), (en utilisant 1.4)

où w = u

œ

E(v} € W+

œ

W-

*

MAew)Meo =

=

(eue -1).(

)...~~

....

~.

1>

~'!"-".'- ,

(33)

<

1 i

t

, t

t

1·

f

l

, \ \

\

;"''.u Finalement -26-" \ ~(ME;,Mn) :: ;\(ie~)e(ien» :: " )..U;6<n» :: 4>(~,n). J -À<e~e(n)e)

=

. \ c.q.f.d •

•

-M' anti'rcommute avec cr, \

_ 0 par conséquent elle échange 'les ~

espaces de ~epr~sentati~n H, + H- et permet d'exprimer .là

1 \

repr~sentation

(A-,H-)

i '

comme représentation sur H+.

, \ Notation: c 2n

ew)+

et '(rr-,H) + désignera le représentation (A

+

,H+) la représen~ation eMoA-oM~H+) de C 2nCW) . Evidemment: (n+ ,H) (n-,H) - IC(s)

=

n+(-rCs» Définition: sont inéqhivalentes + Vs E: C 2n (W) / de \ \ SPIN(2n-l,lC) _::: { _s _e _C ( + 1 -1 2n_l V) sVs :: V et 6(s) :: l}.

Lemme '7: SPIN(2n-l,t)- est le sous-groupe de SPIN( 2n ,t)

l,

consituté par les éléments "invariants.par t, c'est-à-dire:

SPIN(2n,..l,t) :: fS''l!E: SPIN(2n,(C) 1 tes) :: s}

=

_/

=

{s ,;;' SPINC2n,f) n+cs)

=

n-Cs)}.

\ ,

D~mons:tration:

v

et .,sont les sou,s-espaces propres de T

lcorrespondant ·aux valeurs propres -1 et +1 respectivement.

Soit s E SPIN(2n,(C) tel que n+($) ::: n-(s) :: n+CtCs»,

puisque svs \ -1 E: W et '[ svs ( -1 ):: St V S ( ) -1 :: -svs -1 E: V

'..,

d'oil {s E: se'JN(2n;(C) 1 T(S)

=

s} ~ SPIN(2n-l,Œ).

Inversement sVs -1 ::: V et 6(s)::: 1 zt, S E: SPIN(2n,4!).

Indiquons, sans entrer dans les détails, que la nature des

\

représentations des groupes réels. SPIN( 2n-l) et SPINCn-l,n)

~'~~~ r~77:;:--;;77~:-;. t'~,~~;:;.:.~::: .. ~::::",-: •. :-:-. -:::-:~.-:;-. :":-.:::::"--';ë, ~--:.=,-":::'_-:~:!"-':""'. ':""'. ~_.~_.'"'!'.~. '--"'-~(""'*,""',*'l!")~1"\'~SAttil"\EW;Il;\'Ij;F~"""''''''''!''l' •. -P,J;a"". ""'k ..., .... c j~ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ /' , i , f' 1 , ; . . . 1 1 "i C~L , , : , 1

(34)

i ! f ( ",

o

-27-se déterminent facilement

à

l'aide du théorème 3 et de son

f

corrolaire.

\

4. Parallélismes et Nombres de Cayley

Deux problèmes classiques, sans rapport apparent, se trouvent

,

l '

étroitetnent liés, lorsque formulés dans le context des algèbres c"

de Clifford. _,

, 1

Le premier posé et résol par A. ~urwitz [13,20] en 1898, se

réduit

à

aéterminer les tructures orthogonales, (W,~) qui

possèdent une structure d'algèbre normée, pas nécessairement

associative. C'est-à-dire':

Il existe une application bilinéaire

w

x W .... W, (x,y) ...,. x·y

\

tel que ~(xy ,xy)

=

~(x ,x) ~(y ,y) et il existe un élément neutre e € W, ex

=

xe

=

x.

Quand au second problème, il s'agit de déterminer le nombre

optimal de champs de vecteurs orthonormés et tangeants à la

sphère Sn [4] (n est nécessairement;, impair), et dont la

solution définitive ne fut donnée que vers 1960 [1,2]. Les deux

questions se formulent dans le context~ suivant:

•

Soient (W,~). (H,~) deux structures o;thogonales, qu'on

sup-posera complexes, les càs analogues pour le corps des nombres

réels ne seront étudiés que dans la mesure o~ ils 'présentent

un intérêt particulier. Indiquons cependant que la méthode et

l~s conclusions resteront sensiblement les mêmes pour les cas

réels' corresponda"nts •

\

\ ,1