Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/ Page 1 Cours Dérivabilité 4ème Mathématiques
I) Rappels
* Soit
𝑓 et 𝑔 deux fonctions dérivables sur un intervalle 𝐼(𝑓 + 𝑔)′ = 𝑓′ + 𝑔′ (𝑓. 𝑔)′ = 𝑓′. 𝑔 + 𝑔′. 𝑓 ((𝑓)𝑛)′ = 𝑛𝑓′𝑓𝑛−1 si 𝑎 ∈ ℝ (𝑎𝑓(𝑥))′ = 𝑎𝑓′(𝑥) si 𝑔(𝑥) ≠ 0 (𝑓 𝑔) ′ = 𝑓′.𝑔−𝑔′.𝑓 𝑔2 si 𝑓(𝑥) ≠ 0 ( 1 𝑓) ′ =−𝑓′ 𝑓2 si 𝑓(𝑥) > 0 (√𝑓)′ = 𝑓′ 2√𝑓
si 𝑥 ∈ ℝ (sin(𝑎𝑥 + 𝑏))′ = 𝑎 cos(𝑎𝑥 + 𝑏) (cos(𝑎𝑥 + 𝑏))′ = −𝑎 sin(𝑎𝑥 + 𝑏)
si 𝑥 ∈ ℝ\{𝜋 2+ 𝑘𝜋 , 𝑘 ∈ ℤ} (tan 𝑥) ′ = 1 + 𝑡𝑎𝑛2(𝑥)
* Si
𝑙𝑖𝑚 𝑥→𝑎± 𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎) 𝑥−𝑎 = 𝑏 ; 𝑏 ∈ 𝐼𝑅alors 𝑓 est dérivable à gauche en 𝑎 (resp à droite en 𝑎) et 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎± 𝑓(𝑥)=𝑓(𝑎) 𝑥−𝑎 = 𝑓 ′(𝑎)
* Si
𝑙𝑖𝑚 𝑥→𝑎± 𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎)𝑥−𝑎 = ±∞ alors 𝑓 est n’est pas dérivable à gauche en a respectivement à droite
en 𝑎 et la courbe de 𝑓 admet à gauche en 𝑎 (resp à droite en ) une demi tangente verticale dirigée vers le haut ou vers le bas ( on respecte la règle de signe )
* Soit
𝑓 une fonction dérivable en un réel 𝑥0 et 𝑇 la tangente à,𝐶𝑓 au point d’abscisse 𝑥0 alors 𝑇 ∶ 𝑦 = 𝑓′(𝑥0)(𝑥 − 𝑥0) + 𝑓(𝑥0)Exercice 1
Dans chacun des cas suivants déterminer le domaine de dérivabilité 𝐼 de la fonction 𝑓 et calculer 𝑓’(𝑥) pour tout 𝑥 ∈ 𝐼
* 𝑓(𝑥) = −3𝑥2+ 4𝑥 − 5 * 𝑓(𝑥) = 𝑥2−2𝑥+3
𝑥2−1 * 𝑓(𝑥) = √−𝑥2 + 4𝑥 − 3
* 𝑓(𝑥) = (2𝑥3− 3𝑥2 + 4𝑥 − 5)4 * 𝑓(𝑥) = (𝑥2 + 2𝑥)√𝑥2+ 𝑥 + 1
* 𝑓(𝑥) = (2𝑥 − 1) cos(3𝑥 − 3) * 𝑓(𝑥) = (3𝑥2− 1) sin(−2𝑥 + 1) * 𝑓(𝑥) = (−𝑥2− 𝑥)tan 𝑥
* 𝑓(𝑥) = (1 − 𝑥 − 3𝑥3)(𝑥2+ 2𝑥)3 * 𝑓(𝑥) = cos(3𝑥) − sin(2𝑥) * 𝑓(𝑥) = sin 𝑥 1−cos 𝑥 * 𝑓(𝑥) = √𝑥−1 𝑥+1 * 𝑓(𝑥) = √𝑥−2 √𝑥+2 * 𝑓(𝑥) = (𝑥+1)3 𝑥2
Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/ Page 2
* Activité Soit 𝑎 un réel et 𝑓 une fonction dérivable en 𝑎 et 𝑔 une fonction dérivable en 𝑓(𝑎) = 𝑏 𝑓 est dérivable en 𝑎 ⇨ 𝑙𝑖𝑚 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎) 𝑥−𝑎 = 𝑔 est dérivable en 𝑏 ⇨ 𝑙𝑖𝑚 𝑥→𝑏 or 𝑙𝑖𝑚 𝑥→𝑎 (𝑔 𝜊 𝑓)(𝑥)−(𝑔 𝜊 𝑓)(𝑎) 𝑥−𝑎 = 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎 𝑔(𝑓(𝑥))−𝑔(𝑓(𝑎)) 𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎) × or 𝑙𝑖𝑚 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎) 𝑥−𝑎 = 𝑓′(𝑎) ∈ ℝ
posons 𝑋 = 𝑓(𝑥) ; 𝑓 est dérivable en 𝑎 donc 𝑓 est continue en 𝑎 donc lorsque 𝑥 → 𝑎 alors 𝑋 →
d’où 𝑙𝑖𝑚 𝑥→𝑎 𝑔(𝑓(𝑥))−𝑔(𝑓(𝑎)) 𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎) = = et par suite 𝑙𝑖𝑚 𝑥→𝑎 (𝑔 𝜊 𝑓)(𝑥)−(𝑔 𝜊 𝑓)(𝑎) 𝑥−𝑎 =
donc la fonction (𝑔 𝜊 𝑓) est dérivable en 𝑎 et (𝑔 𝜊 𝑓)′(𝑎) =
* Théorème Soit 𝑓 une fonction dérivable en un réel 𝑎 et 𝑔 une fonction dérivable en 𝑓(𝑎). Alors la fonction (𝑔 𝜊 𝑓) est dérivable en et (𝑔 𝜊 𝑓)′(𝑎) =
* Conséquence Soit 𝑓 et 𝑔 deux fonctions Si ¤ 𝑓 est dérivable sur un intervalle 𝐼
¤ 𝑔 est dérivable sur un intervalle 𝐽
¤ ∀𝑥 ∈ 𝐼 on a 𝑓(𝑥) ∈ 𝐽
alors la fonction (𝑔 𝜊 𝑓) est et ∀𝑥 ∈ on a (𝑔 𝜊 𝑓)′(𝑥) =
* Exemples
* Montrons que la fonction 𝑓: 𝑥 ↦ cos(𝑥2+ 3) est dérivable sur ℝ
¤ la fonction : 𝑥 ↦ 𝑥2+ 3 est
¤ la fonction : 𝑥 ↦ cos 𝑥 est
¤ ∀𝑥 ∈ on a (𝑥2+ 3)
donc la fonction 𝑓 est
∀𝑥 ∈ ℝ ; 𝑓′(𝑥) = = =
* Montrons que la fonction 𝑔: 𝑥 ↦ sin (√1 − cos(𝜋𝑥)) est dérivable sur l’intervalle ]0 , 2[
¤ la fonction : 𝑥 ↦ 1 − cos(𝜋𝑥) est
donc la fonction : 𝑥 ↦ est dérivable sur l’intervalle sur l’intervalle
Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/ Page 3
¤ ∀𝑥 ∈ on a donc la fonction 𝑔
et ∀𝑥 ∈ ]0 , 2[ 𝑔′(𝑥) = =
* Montrons que la fonction ℎ: 𝑥 ↦ tan(𝑥 cos 𝑥) est dérivable sur l’intervalle ]0 ,𝜋
2[ ¤ la fonction : 𝑥 ↦ ¤ la fonction : 𝑥 ↦ ¤ ∀𝑥 ∈ on a {… < 𝑥 < ⋯ … cos 𝑥 … donc 𝑥 cos 𝑥 ∈
d’où la fonction ℎ est et ∀𝑥 ∈ ]0 ,𝜋
2[ ℎ′(𝑥) = =
III) Théorème et inégalités des acrroissement finies
1) Théorème des accroissements finies
c
La courbe (𝐶) ci-dessus est celle d’une fonction 𝑓 qui est sur [𝑎 , 𝑏] et sur ]𝑎 , 𝑏[
on constate que la courbe (𝐶) admet au moins une tangente 𝑇 en un point d’abscisse 𝑐 ; qui est à la droite (𝐴𝐵)
𝑇 est (𝐴𝐵) sont donc elles ont le même donc
⇨ 𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎) =
* Théorème Soit 𝑓 une fonction continue sur un intervalle [𝑎 , 𝑏] ( avec 𝑎 < 𝑏 ) et dérivable sur ]𝑎 , 𝑏[ alors il existe au moins un réel 𝑐 ∈ tel que 𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)=
. * Théorème de Rolle Soit 𝑓 une fonction continue sur un intervalle [𝑎 , 𝑏] ( avec 𝑎 < 𝑏 ) et dérivable sur ]𝑎 , 𝑏[
Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/ Page 4
Si 𝑓(𝑎)=𝑓(𝑏) alors il existe au moins un réel 𝑐 ∈ tel que 𝑓′(𝑐)= * Applications
1) Déterminons une valeur approchée de sin ( 𝜋
1000)
¤ la fonction 𝑓 ∶ 𝑥 ↦ sin 𝑥 est sur l’intervalle [0 , 𝜋
1000] et
sur l’intervalle ]0 , 𝜋
1000[ donc il existe au moins un réel tel que
𝑓 ( 𝜋 1000) − 𝑓(0) = ⇨ or 𝑐 ∈ ]… , …[ donc 𝑐 ≃ ⇨ 𝑓′(𝑐) ≃ d’où sin ( 𝜋 1000) ≃
2) Montrons que lim
𝑥→0+ sin 𝑥
𝑥 = 1
¤ Soit 𝑥 ∈ ℝ∗
+ ; la fonction 𝑓 ∶ 𝑡 ↦ sin 𝑡 est sur l’interval [0 , 𝑥]
et sur l’interval ]0 , 𝑥[ alors tel que 𝑓(𝑥) − 𝑓(0) = ⇨ sin 𝑥 𝑥 = or 𝑐 ∈ ]0 , 𝑥[ donc lorsque 𝑥 → 0 + alors 𝑐 → d’où lim 𝑥→0+ sin 𝑥 𝑥 = lim𝑐→0+ =
2) inégalités des accroissements finis
* Activité Soit 𝑓 une fonction continue sur un intervalle [𝑎 , 𝑏] ( avec 𝑎 < 𝑏 ) et dérivable sur ]𝑎 , 𝑏[ alors
on suppose qu’ils existent deux réel 𝑚 et 𝑀 tels que pour tout 𝑥 ∈ ]𝑎 , 𝑏[ ; 𝑚 ≤ 𝑓′(𝑥) ≤ 𝑀 or 𝑐 ∈ ]𝑎 , 𝑏[ donc ≤ 𝑓′(𝑐) ≤
⇨ ≤ 𝑓′(𝑐)(𝑏 − 𝑎) ≤ ⇨ ≤ ≤
* Théorème Soit 𝑓 une fonction continue sur un intervalle [𝑎 , 𝑏] ( avec 𝑎 < 𝑏 ) et dérivable sur ]𝑎 , 𝑏[ alors il existe deux réels 𝑚 et 𝑀 tels que ∀𝑥 ∈ ]𝑎 , 𝑏[ on a :
𝑚 ≤ 𝑓′(𝑥) ≤ 𝑀 alors ≤ ≤ Exercice 2
1) Montrer que pour tout réels 𝑥 et 𝑦 de l’interval [𝜋 6 , 𝜋 4] avec 𝑥 < 𝑦 on a : √2 2 (𝑦 − 𝑥) ≤ sin 𝑦 − sin 𝑥 ≤ √3 2 (𝑦 − 𝑥)
Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/ Page 5 2) En déduire que √2 12 ≤ √2−1 𝜋 ≤ √3 12 Exercice 3
Soit 𝑓 la fonction définie sur [𝜋
4 , 𝜋 2] par : 𝑓(𝑥) = { 1 tan 𝑥 si 𝑥 ≠ 𝜋 2 0 si 𝑥 = 𝜋 2
1) Montrer que 𝑓 est dérivable sur [𝜋 4 ,
𝜋 2]
2) Montrer que pour tout 𝑥 ∈ [𝜋
4 , 𝜋
2[ : −2 ≤ 𝑓
′(𝑥) ≤ −1
3) En déduire que pour tout 𝑥 ∈ [𝜋
4 , 𝜋 2[ ; 𝜋 2− 2𝑥 ≤ 1−tan 𝑥 tan 𝑥 ≤ 𝜋 4− 𝑥
* Activité Soit 𝑓 une fonction dérvable sur un intervalle 𝐼 et 𝑀 un réel strictement positif tel que ∀𝑥 ∈ 𝐼 on a : |𝑓′(𝑥)| ≤ 𝑀 . Soient 𝑎 et 𝑏 deux réels de l’intervalle 𝐼
¤ Si 𝑎 = 𝑏 on a : |𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)| = 𝑀|𝑏 − 𝑎| = donc |𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)| ≤ 𝑀|𝑏 − 𝑎|
¤ Si 𝑎 < 𝑏 𝑓 est continue sur [𝑎 , 𝑏] et dérivable sur ]𝑎 , 𝑏[ et ∀𝑥 ∈ ]𝑎 , 𝑏[ on a : |𝑓′(𝑥)| ≤ 𝑀 ⇨ 𝑓′(𝑥)
⇨ 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) ⇨ |𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)|
¤ Si 𝑎 > 𝑏 on a |𝑓(𝑎) − 𝑓(𝑏)| ≤
⇨ |𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)|
* Théorème Soit 𝑓 une fonction dérvable sur un intervalle 𝐼 et 𝑀 un réel strictement positif tel que ∀𝑥 ∈ 𝐼 on a : |𝑓′(𝑥)| ≤ 𝑀
Alors pour tous réel 𝑎 et 𝑏 de 𝐼 on a : Exercice 4
Soit 𝑓 la fonction définie sur [0 ,𝜋
2[ par 𝑓(𝑥) = tan 𝑥
1) a) Etudier 𝑓 et tracer sa courbe représentative dans un repère orthonormé (𝑂 , 𝑖⃗ , 𝑗⃗ ) , en
précisant la demi tangente au point d’abscisse 0. b) Montrer que pour tout réel 𝑥 de [0 ,𝜋
Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/ Page 6
2) a) Montrer que l’équation tan 𝑥 = 2𝑥 admet autre que 0 une unique solution 𝛼 dans [0 ,𝜋
2[
et vérifier que 𝛼 > 𝜋
3
b) Déterminer le signe de tan 𝑥 − 2𝑥 sur [0 ,𝜋
2[
3) Soit (𝑈𝑛) la suite définie par 𝑈0 =𝜋
3 et pour tout entier naturel 𝑛 ; 𝑈𝑛+1 = tan(𝑈𝑛) − 𝑈𝑛
a) Montrer que 0 ≤ 𝑈𝑛 ≤ 𝜋
3
b) Montrer que la suite (𝑈𝑛) est décroissante c) Montrer que la suite (𝑈𝑛) converge vers 0 Exercice 5
1) Montrer que l’équation (𝐸) ∶ 𝑥3− 10𝑥2− 1 = 0 admet dans ℝ une unique solution 𝛼 et
vérifier que 𝛼 ∈ ]10 , 11[
2) Vérifier que (𝐸) est équivaut à 𝑥 = 10 + 1
𝑥2
3) Soit 𝑓 la fonction définie sur [10 , +∞[ par 𝑓(𝑥) = 10 + 1
𝑥2
a) Déterminer 𝑓([10 , +∞[).
4) Soit (𝑈𝑛) la suite définie sur ℕ par 𝑈0 = 10 et 𝑈𝑛+1 = 𝑓(𝑈𝑛)
a) Montrer que 𝑥 ∈ [10 , +∞[ on a : 𝑓′(𝑥) ≤ 1 500 5) a) Montrer que 𝑛 ∈ ℕ on a :|𝑈𝑛+1 − 𝛼| ≤ 1 500|𝑈𝑛− 𝛼| b) En déduire que |𝑈𝑛 − 𝛼| ≤ 1 500|𝑈0− 𝛼|
c) Déterminer les six premières décimales de 𝛼 IV) Sens de variation d’une fonction
* Activité Soit 𝑓 une fonction dérvable sur un intervalle 𝐼 alors pour tous réels 𝑎 et 𝑏 de 𝐼 tel que : 𝑎 < 𝑏 𝑓 est continue sur [𝑎 , 𝑏] et dérivable sur ]𝑎 , 𝑏[ donc
donc tel que 𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)
𝑏−𝑎 =
d’où le théorème suivant
* Activité Soit 𝑓 une fonction dérvable sur un intervalle 𝐼
¤ Si ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑓′(𝑥) ≥ 0 (resp 𝑓′(𝑥) > 0 ) alors la fonction 𝑓 est
( resp ) sur 𝐼
Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/ Page 7
( resp ) sur 𝐼
¤ Si ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑓′(𝑥) = 0 alors la fonction 𝑓 est sur 𝐼
* Théorème Soit 𝐼 un intervalle de l’une des formes suivantes [𝑎 , 𝑏] ou [𝑎 , 𝑏[ ou ]𝑎 , 𝑏] où 𝑎 et 𝑏 sont des réels tel que 𝑎 < 𝑏 et 𝑓 une fonction continue sur 𝐼 et dérivable sur ]𝑎 , 𝑏[
¤ Si ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑓′(𝑥) ≥ 0 (resp 𝑓′(𝑥) > 0 ) alors la fonction 𝑓 est
( resp ) sur 𝐼
¤ Si ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑓′(𝑥) ≤ 0 (resp 𝑓′(𝑥) < 0 ) alors la fonction 𝑓 est
( resp ) sur 𝐼
¤ Si ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑓′(𝑥) = 0 alors la fonction 𝑓 est sur 𝐼
* Théorème Soit 𝑓 une fonction dérivable sur un intervalle 𝐼 telle que sa fonction dérivée 𝑓′ n’est nulle sur aucun intervalle contenu dans 𝐼
¤ Si ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑓′(𝑥) ≥ 0 alors la fonction 𝑓 est ¤ Si ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑓′(𝑥) ≤ 0 alors la fonction 𝑓 est Exercice 6
1) On considère la fonction 𝑓 définie sur [0 , 2] par 𝑓(𝑥) = √3
4𝑥
2 + 1
a) Vérifier que pour tout 𝑥 ∈ [0 , 2] ; 𝑓′(𝑥) = 3
4 𝑥 √3
4𝑥2+1
b) Montrer que pour tout 𝑥 ∈ [0 , 2] ; 𝑥 ≤ √3
4𝑥
2+ 1
c) En déduire que pour tout 𝑥 ∈ [0 , 2] ; 0 ≤ 𝑓′(𝑥) ≤ 3
4
d) Montrer que pour tout 𝑥 ∈ [0 , 2] ; 0 ≤ 2 − 𝑓(𝑥) ≤ 3
4(2 − 𝑥)
2) Soit (𝑈𝑛) la suite réelle définie sur ℕ par 𝑈0 = 1 et 𝑈𝑛+1 = 𝑓(𝑈𝑛)
a) Montrer que pour tout 𝑛 ∈ ℕ ; 0 <𝑈𝑛< 2
b) Etudier la monotonie la limite de suite (𝑈𝑛) c) Calculer la limite de suite (𝑈𝑛)
3) Montrer que pour tout 𝑛 ∈ ℕ ; 0 ≤ 2 − 𝑈𝑛+1 ≤ 3
4(2 − 𝑈𝑛)
a) Montrer que pour tout 𝑛 ∈ ℕ ; 0 ≤ 2 − 𝑈𝑛 ≤ (3
4) 𝑛
b) Retrouver alors la limite de suite (𝑈𝑛)
Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/ Page 8
a) Montrer que pour tout 𝑛 ∈ ℕ∗ ; 2𝑛 − 4 (1 − (3 4)
𝑛
)≤ 𝑆𝑛 ≤ 2𝑛
b) Calculer alors lim
𝑥→+∞
𝑆𝑛 𝑛
