Solutions multiples pour des problèmes aux limites du premier et du second ordre avec opérateur différentiel non linéaire φ

1

UNIVERSITÉ MOHAMMED -V RABAT

FACULTÉ DES SCIENCES

Nd'ordre : 2736

Thèse de Doctorat

Présentée par :

Noureddine AYYADI

Discipline : Mathématiques.

Spécialité : Équations diérentielles non linéaires.

Solutions multiples pour des problèmes aux limites

du premier et du second ordre avec opérateur

différentiel non linéaire φ.

Soutenue le lundi 1 décembre 2014, devant le jury composé de : Président :

Hamza BOUJEMAA P.E.S à la Faculté des Sciences, Université Mohammed V-Rabat.

Examinateurs :

Noha EL KHATTABI P.E.S à la Faculté des Sciences, Université Mohammed V-Rabat.

Marlène FRIGON P.E.S Université de Montréal, Montréal .

Nadia RAISSI P.E.S à la Faculté des Sciences, Université Mohammed V-Rabat.

Zine-el-abidine GUENOUN P.E.S à la Faculté des Sciences, Université Mohammed V-Rabat.

2

UNIVERSITÉ MOHAMMED -V RABAT

FACULTÉ DES SCIENCES

Nd'ordre : 2736

Thèse de Doctorat

Présentée par :

Noureddine AYYADI

Discipline : Mathématiques.

Spécialité : Équations diérentielles non linéaires.

Solutions multiples pour des problèmes aux limites

du premier et du second ordre avec opérateur

différentiel non linéaire φ.

Soutenue le lundi 1 décembre 2014, devant le jury composé de : Président :

Hamza BOUJEMAA P.E.S à la Faculté des Sciences, Université Mohammed V-Rabat.

Examinateurs :

Noha EL KHATTABI P.E.S à la Faculté des Sciences, Université Mohammed V-Rabat.

Marlène FRIGON P.E.S Université de Montréal, Montréal .

Nadia RAISSI P.E.S à la Faculté des Sciences, Université Mohammed V-Rabat.

Zine-el-abidine GUENOUN P.E.S à la Faculté des Sciences, Université Mohammed V-Rabat.

3

Dédicace

Je dédie cette thèse :

À ma femme

Ilham

, qui m'a aidé par sa patience et son encouragement à

surmonter toutes les dicultés rencontrées au cours de cette thèse. À mon ls

Houssam

et à ma petite jolie lle

Israe

.

À mon père

Miloud

, à ma mère

Chrifa

et à ma belle-mère

Zahra

.

À mes frères, mes s÷urs, mes neveux, mes nièces, mes beaux-frères, mes belles-s÷urs et toute la famille.

À tous mes enseignants.

À tous mes amis, mes collègues et mes élèves. À tous ceux qui m'ont soutenu de près ou de loin. À tous ceux qui me sont chers et proches.

Je dédie plus particulièrement cette thèse :

À la mémoire, de mon ls

Yassine

avec lequel je n'aurais pas le plaisir de partagé cet événement, car il nous a quitté le 28-07-2013 d'un âge de seize ans, au cours de la rédaction de cette thèse, mais il demeurera dans mon c÷ur et à jamais. Qu'ALLAH l'accueille dans son paradis. Amiin.

Je vous en prie, laissez-moi simplement parler de mon enfant. Je vous en prie, mentionnez le nom de mon enfant.

Je vous en prie, laissez-moi simplement pleurer. Rita MORAN

4

Remerciements

Cette thèse a été eectuée au sein du Laboratoire Analyse, Algèbre et Aide à la déci-sion Département de Mathématiques de la Faculté des sciences Université Mohammed-V Rabat, sous la direction du professeur Noha EL KHATTABI et sous la codirection du professeur Marlène FRIGON.

M

es premiers remerciements vont, comme il se doit, à ma directrice de thèse le pro-fesseur Mme _{Noha EL KHATTABI. Je la remercie d'abord pour l'intéressant sujet}

qu'elle m'a proposé, et elle aura toujours su, par la suite, me proposer des pistes de re-cherche très pertinentes. Je la remercie encore, pour son aide, sa patience, ses conseils, ses encouragements, sa grande disponibilité et son ouverture d'esprit qui m'ont aidé à mener à bien ce travail. Je me sens privilégié d'avoir été encadré par cette personne très persévérante, très rigoureuse et aussi très humaine. Elle a toujours manifesté beaucoup de compréhensions au niveau de mes contraintes de nature professionnelle. Je la remercie également pour ses nombreux conseils au niveau de la rédaction et de la mise en page des résultats. Sans ses idées et son expertise, la réalisation de cette thèse n'aurait pas été possible. Il est impossible de lui exprimer toute ma gratitude en quelques lignes seulement.

J'adresse mes plus vifs remerciements à ma co-directrice Mme _{Marlène FRIGON,}

professeur à la Faculté des arts et des sciences Université de Montréal, CANADA, pour ses suggestions et propositions très utiles pour l'amélioration de ce travail, par son soutien, son suivi et l'intérêt apportés à cette thèse. Ce qui nous a permis le bon développement de certains résultats et une bonne mise au point.

Je tiens à remercier vivement Monsieur Hamza BOUJEMAA, professeur à la Fa-culté des sciences Université Mohammed-V Rabat, pour l'honneur qu'il m'a fait en ac-ceptant de présider mon jury de thèse. Je suis très sensible à l'amablité de votre accueil et à votre gentillesse.

J'adresse également un grand remerciement à Mme _{Nadia RAISSI, professeur à la}

Faculté des sciences Université Mohammed-V Rabat, d'avoir accepté avec beaucoup de gentillesse d'examiner cette thèse et de m'avoir honoré par sa présence parmi les membres

5

du jury.

Je remercie inniment Monsieur Z.e.a GUENNOUN, professeur à la Faculté des sciences Université Mohammed-V Rabat, qui a toujours été prêt à m'accuellir et à m'ai-der par ses directives et ses idées. C'est en partie, grâce à lui que j'ai entamé des études doctorales. Il a toujours eu conance en mes capacités. Je le remercie encore, d'avoir accepté de rapporter cette thèse et de faire partie de mon jury.

Mes remerciements vont à Monsieur Hassan HBID, professeur à la Faculté des sciences Semlalia de Marrakech. Université Cadi Ayyad, d'avoir accepté d'être mon rap-porteur de thèse et de m'avoir honoré par sa présence parmi les membres du jury.

Je tiens également à adresser mes remerciements à la Direction des relations interna-tionales et au Département de mathématiques et de statistiques Faculté des arts et des sciences de l'Université de Montréal Canada, qui m'ont accueilli durant deux semaines, pendant lesquelles j'ai approfondi mes recherches sur mon sujet de thèse. Cette expérience a imprimé dans ma mémoire des souvenirs très agréables.

Je n'oublie pas mes parents, ma famille et mes amis qui m'ont encouragé de près ou de loin durant cette thèse.

Finalement, je remercie plus particulièrement mon épouse Ilham ASMIRI, pour son support, ses encouragements et pour avoir facilité ma conciliation entre le travail à temps plein et la rédaction de thèse au cours des deux dernières années. Je suis chanceux de pouvoir partager ma vie avec une personne aussi merveilleuse qui m'apporte amour, tendresse et réconfort.

6

Titre de la thèse :

Solutions multiples pour des problèmes aux limites du

premier et du second ordre avec opérateur diérentiel

non linéaire φ

Résumé :

Nous présentons dans cette thèse des théorèmes d'existence et de multiplicité pour des équations diérentielles non-linéaires du premier et du deuxième ordre avec φ-Laplacien.

Le premier chapitre est destiné à des généralités nécessaires pour la suite. Dans le deuxième chapitre, nous considérons le problème du premier ordre de la forme :

(φ(u(t)))0 = f (t, u(t)), p.p.t ∈ [0, T ] u ∈ B,

où B désigne une condition à valeur initiale ou périodique, f est une fonction de Cara-théodory et φ :]a, b[→ R est un homéomorphisme croissant avec −∞ ≤ a ≤ b ≤ +∞. Lorsque le domaine de φ est ]a, b[= R, nous introduirons la paire (α, β) de sous et sur-solutions bien ordonnée ou inversement ordonnée pour établir les théorèmes d'existence. D'autre part, quand l'opérateur φ n'est pas déni sur R tout entier (semi-inni ou ouvert), on aaiblit les hypothèses des sous et sur-solutions. Pour la multiplicité des solutions, nous introduirons une notion de sous et sur solutions strictes.

Dans la dernière section de ce chapitre, nous étudions les systèmes d'équations diéren-tielles d'ordre un de la forme :

(φ(u(t)))0 = f (t, u(t)), p.p. t ∈ [0, T ] φ(u(0)) = r, _{r ∈ R}n,

où f : [0, T ] × Rn _{→ R}n est une fonction de Carathéodory vériant la condition de

croissance de type

kf (t, x)k ≤ q(t)ψ kφ(x)k
, p.p. t ∈ I.

Nous étudions dans le troisième chapitre, les théorèmes d'existence et de multiplicité de solution des problèmes du second ordre avec φ -Laplacien sous la forme suivante :

(φ(u0(t)))0 = f (t, u(t), u0(t)) p.p. t ∈ [0, T ],

7

où B désigne une condition aux bords de Dirichlet, périodique ou de Neumann, la fonction f : [0, T ] × R2 _{→ R est une fonction de Carathéodory qui satisfait une condition de}

croissance de type Wintner-Nagumo

|f (t, x, y)| ≤ ψ(|y|) l(t) + c(t)|y|(p−1)/p
, et φ : R → R est un homéomorphisme croissant tel que φ(R) = R.

La technique utilisée dans nos preuves est la majoration a priori des solutions et les prin-cipaux théorèmes obtenus découlent soit du théorème de point xe de Schauder soit de la théorie de l'indice de point xe qui convient particulièrement aux espaces ANR.

Mots clés :

Equations et systèmes diérentielles non-linéaires, indice de points xes, sous et sur-solution, solutions multiples, condition de Wintner-Nagumo, théorème de point xe de Schauder.

Faculté des Sciences, 4 Avenue Ibn Battouta B.P. 1014 RP, Rabat - Maroc Tel +212 (0) 37 77 18 34/35/38, Fax : +212 (0) 37 77 42 61,

8

Title :

Multiple solutions of boundary value problems of the

rst and second order with non linear dierential

opera-tors φ.

Summary :

In this thesis, we present existence and multiplicity theorems for rst order nonli-near dierential equations and for second order nonlinonli-near dierential equations with φ-Laplacian.

In the second chapter, we consider the rst-order initial value problem of the form : (φ(u(t)))0 = f (t, u(t)), a.e. t ∈ [0, T ]

u ∈ B,

where B denotes the periodic boundary value or the initial value conditions, f is a Ca-rathéodory function and φ :]a, b[→ R is an increasing homeomorphism with −∞ ≤ a ≤ b ≤ +∞. When the domain of φ is ]a, b[= R, we introduce the pair of lower and upper solutions to establish existence theorems. On the other hand when φ is not dened on the whole real line, the assumption of existence of upper and lower solutions can be weaken. To establish multiplicity results, we introduce the notions of strict upper and lower solu-tions. In last section of this chapter, we study systems of rst order nonlinear dierential equations of the form :

(φ(u(t)))0 = f (t, u(t)), a.e. t ∈ [0, T ] φ(u(0)) = r, _{r ∈ R}n,

where f : [0, T ] × Rn

→ Rn _{is a Carathéodory function satisfying a growth condition of}

Wintner type

kf (t, x)k ≤ q(t)ψ kφ(x)k
, a.e. t ∈ I.

dierential equations with φ-Laplacian of the form :

(φ(u0(t)))0 = f (t, u(t), u0(t)) a.e. t ∈ [0, T ],

u ∈ B; (2)

where B denotes the Dirichlet, periodic, or Neumann boundary conditions. Here, f : [0, T ] × R2 _{→ R is a Carathéodory function satisfying a growth condition of}

Wintner-Nagumo type

|f (t, x, y)| ≤ ψ(|y|) l(t) + c(t)|y|(p−1)/p
_,

and φ : R → R is a bijective increasing homeomorphism.

In our proof, we use the technique of a priori bounds, the Schauder xed point Theorem and the xed point index.

Keywords :

Nonlinear dierential equations and systems, xed point index theory, lower- and upper-solution, multiple solutions, Wintner-Nagumo condition, Schauder xed point Theorem.

Faculté des Sciences, 4 Avenue Ibn Battouta B.P. 1014 RP, Rabat - Maroc Tel +212 (0) 37 77 18 34/35/38, Fax : +212 (0) 37 77 42 61,

Solutions multiples pour des problèmes

aux limites du premier et du second ordre

avec opérateur diérentiel non linéaire φ

Noureddine Ayyadi

1 Décembre 2014

Table des matières

Dédicace . . . 3 Remerciements 4 Introduction 5 Introduction . . . 5 1 Notations et Préliminaires. . . 11 1.1 Notations et dénitions. . . 11

1.2 Théorèmes de point xe. . . 12

1.3 Indice de point xe dans les espaces ANR. . . 13

1.4 L'opérateur φ-Laplacien. . . 16

1.5 Méthode de sous et sur- solutions. . . 19

1.6 Condition de Wintner-Nagumo. . . 22

2 Multiples solutions pour les problèmes non linéaires du premier ordre sous la forme (φ(u(t)))0 _{= f (t, u(t)). . . . 25}

2.1 Notations et préliminaires. . . 26

2.2 Le problème périodique . . . 31

2.2.1 Sous et Sur-solutions bien ordonnées. . . 31

2.2.2 Sous et Sur-solutions inversement ordonnées. . . 37

2.3 Autres résultats pour le problème périodique. . . 41

2.4 Problème à valeur initiale. . . 46

2.5 Autres résultats pour le problème à valeur initiale. . . 48

TABLE DES MATIÈRES TABLE DES MATIÈRES

2.6.1 Cas où φ : Ba⊂ Rn → Rn . . . 51

2.6.2 Cas où φ : Rn _{→ R}n _{. . . . 52}

3 Problèmes aux limites non linéaires du deuxième ordre avec φ-laplacien. 55 3.1 Préliminaires. . . 56

3.2 Conditions aux limites de Dirichlet. . . 64

3.3 Problèmes périodiques du second ordre. . . 69

3.4 Problèmes de Neumann. . . 74

3.5 Existence de multiples solutions . . . 80

Conclusion 83 Conclusion . . . 84

Introduction

Nous présentons dans cette thèse des théorèmes d'existence et de multiplicité pour des équations diérentielles non-linéaires du premier ordre et pour des équations diérentielles non-linéaires du deuxième ordre avec φ-Laplacien et qui sont obtenus par des méthodes topologiques.

Le problème du premier ordre sous la forme

(φ(u(t)))0 = f (t, u(t)), p.p.t ∈ [0, T ]

u(0) = u(T ) ou φ(u(0)) = r; (0.0.3)

a été étudié par de nombreux auteurs dans le cas particulier φ(u) = u, qui font appel à la technique appelée sous et sur-solutions. Il semble que les travaux ont débuté par Peano [21] pour les problèmes à conditions initiales. Cette méthode a été aussi appliquée pour le problème périodique par Knobloch [23] lorsque f est localement Lipschitzienne en u, par Mawhin [24] quand f est continue et par Nkashama [40] lorsque f est de Carathéodory. Cette méthode a été également appliquée par Cabada [2] et Franco, Nieto et O'Regan [15] ont considéré le cas avec des conditions aux limites non linéaires.

La notion de sous et sur-solutions sera généralisée par plusieurs auteurs an d'examiner les fonctions non absolument continues ou ayant des discontinuités, voir [2], [17], [31], [32], [40]. On retrouve dans, [30] [49] le cas où f est une application multivoque.

Les problèmes du premier ordre étudiés dans cette thèse peuvent être considérés comme des problèmes avec singularités puisque φ0 _{peut s'annuler en quelques points de [a, b]. La}

méthode de sous et sur-solutions a été utilisée pour établir l'existence des solutions pour les problèmes d'équations diérentielles du premier ordre ayant des singularités, voir [31],

INTRODUCTION

[51].

Dans la littérature, on trouve peu de résultats concernant l'existence des multiples solutions pour les problèmes du premier ordre. Les résultats de type Ambrosetti - Prodi ont été obtenus par Mawhin [24] et Nkashama [40] pour les problèmes périodiques avec φ(u) = u. Récemment, Graef et Kong [26] ont établi l'existence de trois solutions T-périodique d'une équation diérentielle fonctionnelle. L'existence de multiple solutions pour des systèmes d'inclusions diérentielles du premier ordre a été obtenue par M. Frigon et M. Lotpour [33].

De même, la littérature est beaucoup moins volumineuse pour notre problème du pre-mier ordre avec l'opérateur non-linéaire φ, d'où la pertinence d'en avoir fait un volet de la thèse. Nous traitons les cas où le domaine de φ est ]a, b[= R et ]a, b[6= R et pour obtenir des résultats de multiplicité pour le problème périodique, nous introduisons également les notions des sous et sur-solutions strictes bien ordonnées et inversement ordonnées.

Dans la dernière section du deuxième chapitre, nous nous intéresserons aux problèmes d'existence de solutions pour les systèmes d'équations diérentielles non linéaires du pre-mier ordre de la forme suivante

(φ(u(t)))0 = f (t, u(t)), p.p.t ∈ [0, T ] φ(u(0)) = r, _{r ∈ R}n,

où f : [0, T ] × Rn _{→ R}n est une fonction de Carathéodory vériant la condition de

croissance de type

kf (t, x)k ≤ q(t)ψ kφ(x)k
, _{p.p. t ∈ I,}

et φ est un homéomorphisme qui satisfait une des assertions suivantes :

(i) φ : Ba ⊂ Rn→ Rn , où Ba est la boule ouverte de centre 0 et de rayon a.

(ii) φ : Rn_{→ R}n_.

INTRODUCTION

de solution de problèmes du second ordre avec φ -Laplacien sous la forme suivante : (φ(u0(t)))0 = f (t, u(t), u0(t)) p.p. t ∈ [0, T ],

u ∈ B; (0.0.4)

où f : [0, T ] × R2

→ R est une fonction de Carathéodory qui satisfait une condition de croissance de type Wintner-Nagumo

|f (t, x, y)| ≤ ψ(|y|) l(t) + c(t)|y|(p−1)/p
_,

φ : R → R est un homéomorphisme croissant tel que φ(R) = R, et B désigne une des conditions aux bords suivantes :

(1) Conditions de Dirichlet sur [0,T],

u(0) = µ, u(T ) = ν; (2) Conditions périodiques sur [0,T],

u(0) = u(T ), φ(u0(0)) = φ(u0(T )); (3) Conditions de Neumann sur [0,T],

φ(u0(0)) = µ, φ(u0(T )) = ν.

Le problème (0.0.4) a été étudié par de nombreux auteurs. La méthode de sur et sous-solutions a été largement utilisée pour obtenir des résultats d'existence, voir par exemple [1], [54] et leurs références.

Concernant la multiplicité des solutions, de nombreux résultats ont été obtenus par la méthode sur et sous- solutions strictes avec des problèmes dont le membre de droite est une fonction de Carathéodory qui ne dépend pas de la dérivée, f(t, u).

De Coster [13] semble être le premier à obtenir des résultats de multiplicité de ce problème avec la condition de Dirichlet. Ben Naoum et De Coster [1] ont examiné la condition de Sturm -Liouville dans le cas où φ est le p- Laplacien.

Bereanu et Mawhin [12] ont établi l'existence des solutions multiples dans le cas où f (t, u) = e(t) − g(u) + c et φ est borné ou a un domaine borné.

INTRODUCTION

une application continue f(t, u, u0_{), qui dépend de la dérivée et qui vérie la condition de}

Nagumo.

Le cas où f est une fonction de Carathéodory et φ = id a été étudié par El Khattabi [42] en imposant sur f une condition à croissance au plus linéaire, et aussi par Goudreau [20] avec une condition de Wintner-Nagumo sur f.

Des résultats d'existence ont été établis pour le problème (0.0.4) avec la condition de croissance de Nagumo sous la forme :

|f (t, x, y)| ≤ θ(|y|)k(t), (0.0.5) avec min ( Z ∞ φ(d) φ−1(s)(p−1)/p θ φ−1_(s)
ds, Z φ(−d) −∞ φ−1(s)(p−1)/p θ φ−1_(s)
ds ) > c,

où c,d sont des constantes appropriées. En particulier, l'existence d'une solution a été obtenue par O'Regan [44] lorsque le membre de droite du problème est sous la forme q(t)f (t, u, u0) avec f continue, et avec la condition de Dirichlet ou avec des conditions mixtes. Ces résultats ont été étendus dans [52] et dans [53] pour une fonction de Cara-théodory.

Cabada et Pouso [4] ont aussi considéré f de Carathéodory, et ils ont établi l'existence d'une solution au problème de Neumann et périodique.

Des conditions aux limites plus générales avec des hypothèses moins restrictives sur φ ont été traitées dans [3], [4], [5], [25], [28]. Tous ces résultats reposent sur le théorème du point xe de Schauder.

Notre contribution, dans ce deuxième chapitre est de considérer que f est une fonction de Carathéodory satisfaisant une condition de croissance de type Wintner - Nagumo :

|f (t, x, y)| ≤ ψ(|y|) l(t) + c(t)|y|(p−1)/p
_.

Noter que cette condition est diérente de (0.0.5).

À l'aide de la méthode des sous et sur-solutions et la théorie d'indice de point xe, on établit des résultats d'existence et de multiplicité pour le problème (0.0.4) avec des condi-tions Dirichlet, Neumann ou périodiques.

Après avoir rappelé dans le premier chapitre quelques résultats de base sur l'Analyse non-linéaire et l'opérateur φ-Laplacien servant à obtenir l'existence de solutions pour les

INTRODUCTION

problèmes qui seront étudiés, le second chapitre est consacré aux résultats d'existence et de multiplicité pour les équations diérentielles non-linéaires du premier ordre. Pour montrer l'existence, nous introduirons la notion des sous et sur -solutions et on discute les deux cas lorsque α et β sont respectivement sous et sur solutions bien ordonnées et lorsqu'elles sont inversement ordonnées. D'autre part quand l'opérateur φ n'est pas déni sur R tout entier, on aaiblit les hypothèses des sous et sur-solutions. Puis on étudie l'existence d'au moins trois solutions pour le problème avec l'hypothèse α et β sont res-pectivement sous et sur solutions strictes.

Le troisième chapitre de cette thèse est dédié à établir des théorèmes d'existence et de multiplicité pour l'équation diérentielle du deuxième ordre avec divers conditions aux bords. L'opérateur diérentiel est non linéaire et déni à l'aide d'un homéomorphisme φ. Ce chapitre est organisé comme suit : la première section présente la plupart des ou-tils mathématiques qui seront utilisés tout au long de ce chapitre. La deuxième section est réservée à étudier le problème de Dirichlet. La troisième est consacrée au problème périodique. Dans la quatrième section, on établit l'existence de solution pour le problème de Neumann. La solution éventuelle se trouvant dans un ensemble où on ne peut pas appliquer le degré topologique. On a fait appel à la théorie de l'indice de point xe dans les espaces ANR. Finalement, nous nous intéresserons dans la dernière section à des ré-sultats de multiplicité.

Voici le schéma général de nos démonstrations pour résoudre les problèmes :

(φ(u(t)))0 = f (t, u(t)), p.p.t ∈ [0, T ] (0.0.6) (φ(u0(t)))0 = f (t, u(t), u0(t)), p.p.t ∈ [0, T ] (0.0.7) Dans un un premier temps, nous introduisons un problème modiée ( c'est un problème auxiliaire) de la forme

(φ(u(t)))0 = fλ(t, u(t)) p.p.t ∈ I, (0.0.8λ)

(φ(u0(t)))0 = fλ(t, u(t), u0(t)) p.p.t ∈ I, (0.0.9λ)

où fλ est obtenue par une modication judicieuse de f.

Par la méthode des sous et sur-solutions. On montre que toute solution éventuelle u de (0.0.8λ) ou (0.0.9λ) est bornée par une indépendante de u.

INTRODUCTION

Dans le cas du problème du second ordre, par la condition de Wintner-Nagumo nous donnons une majoration a priori des dérivées des solutions de (0.0.9λ).

On reformule, ensuite, le problème en un problème de point xe sous la forme H(λ, u) = uet on utilise les théorèmes de point xe adaptés, an de déduire l'existence d'une solution u pour chaque λ ∈ [0, 1] et en particulier pour λ = 1.

Chapitre

1

Notations et Préliminaires.

Sommaire

1.1 Notations et dénitions. . . 11

1.2 Théorèmes de point xe. . . 12

1.3 Indice de point xe dans les espaces ANR. . . 13

1.4 L'opérateur φ-Laplacien. . . 16

1.5 Méthode de sous et sur- solutions. . . 19

1.6 Condition de Wintner-Nagumo. . . 22

Dans ce chapitre, nous allons donner les notations, dénitions et résultats qui seront utilisés par la suite.

1.1 Notations et dénitions.

 Soient I = [0, T ] et n un entier positif, la norme euclidienne de Rn

est notée k · k.

 Ck_{(I)désigne l'espace des fonctions à valeurs réelles continûment diérentiables}

jus-qu'à l'ordre k (k ∈ N). On munit Ck_{(I)de la norme}

1.2. THÉORÈMES DE POINT FIXE.

 Pour p ≥ 1, Lp_{(I, R}n_{) est l'espace des fonctions mesurables u telles que kuk}p _est

integrable. Lp _{est muni de la norme usuelle kuk} p =

RT

0 ku(t)k p_dt
1_p

si p < ∞, et kuk∞= inf{a ∈ R : ku(t)k ≤ a, p.p.t ∈ I}.

 W1,1_{(I) = {u ∈ C(I) : φ(u)} absolument continue et (φ(u))0 _{∈ L}1_(I)}.

 W2,1_{(I) = {u ∈ C}1_{(I) : φ(u}0_{) absolument continue et (φ(u}0₎₎0 _{∈ L}1_(I)}.

 C(I; Rn_{) désigne l'espace des fonctions continues à valeurs dans R}n_.

Dénition 1.1. Une fonction f : [0, T ] × Rm _{−→ R}n _{est une fonction de Carathéodory si}

i) x 7−→ f(t, x) est continue p.p.tout t ∈ [0, T ] ; ii) t 7−→ f(t, x) est mesurable pour tout x ∈ Rm_;

iii) pour tout R > 0 il existe hR ∈ L1(I, [0, ∞)) tel que , si ||x|| ≤ R alors ||f(t, x)|| ≤

hR(t) p.p.t ∈ I.

Lemme 1.1. Chaque fonction f de Carathéodory induit un opérateur Nf : C(I) −→ C(I)

déni par :

Nf(x)(t) =

Z t

0

f (s, x(s))ds (1.1.1)

tel que Nf est continu et complètement continu.

Le lecteur intéressé pourra trouver une preuve dans [9], [32].

Dénition 1.2. Si E et F sont des espaces topologiques et f : E → F est une fonction continue, on dit que f est compacte si f(E) est compact.

Si en plus, E est un espace normé, on dit que f est complètement continue si f(B) est compact pour tout sous-ensemble borné B ⊂ E.

1.2 Théorèmes de point xe.

Théorème 1.1. (point xe de Brouwer)

1.3. INDICE DE POINT FIXE DANS LES ESPACES ANR.

Ce théorème a une extension en dimension innie, le théorème de point xe de Schau-der.

Théorème 1.2. (point xe de Schauder)

Soit E un espace de Banach, C un sous ensemble convexe de E et f : C → C une application compacte. Alors f admet un point xe dans C (i.e il existe un point x0 dans

C tel que f(x0) = x0).

Pour la démonstration des théorèmes 1.1 et 1.2 voir [7].

Dénition 1.3. ( Applications homotopes) Soient E, F deux espaces topologiques et f, g : E → F deux applications continues. On dit que f est homotope à g s'il existe une application continue H : [0, 1] × E → F telle que

∀x ∈ E, H(0, x) = f (x) et H(1, x) = g(x). On dit alors que H est une homotopie de f à g.

Remarque 1.1. Supposons que nous voulons résoudre f(u) = u dans un espace de Ba-nach mais que la résolution n'est pas évidente.

Par ailleurs supposons qu'un problème plus simple g(u) = u est résoluble, et qu'il existe une homotopie H(λ, u) compacte entre les applications f et g, alors, avec une hypothèse supplimentaire, on pourra déduire que le problème f(u) = u admet une solution.

1.3 Indice de point xe dans les espaces ANR.

Le degré topologique est un outil fondamental pour prouver l'existence d'une solution pour diérents types d'équations diérentielles non-linéaires.

Depuis le travail classique de Leray et Schauder de nombreux auteurs ont apporté une contribution à ce domaine, notament, en considérant des espaces plus généraux.

Ainsi, l'indice de point xe généralise le degré topologique, il est également déni dans des situations où la théorie de degré n'est pas applicable, par exemple lorsque X est un ensemble convexe fermé d'intérieur vide dans un espace de Banach.

1.3. INDICE DE POINT FIXE DANS LES ESPACES ANR.

Dénition 1.4. On dit qu'un espace X est un rétracte absolu de voisinage et on écrit X ∈ ANR 1 si

(i) X est métrisable ;

(ii) pour tout Y métrisable, tout ensemble fermé A ⊂ Y et toute fonction continue f : A → X, il existe U un voisinage de A et ˆf : U → X une fonction continue qui prolonge f.

Remarque 1.2. Les rétractes absolus de voisinage sont des espaces dont la structure topologique est particulièrement simple, ressemblant à celle des polyèdres.

C'est pourquoi certains auteurs les appellent quasi-complexes.

Proposition 1.1. (1) Si X1, . . . Xn sont des ANR, alors Qn_i=1Xi est un ANR.

(2) Si X est un espace vectoriel normé, alors X est un ANR.

(3) Si X est un sous-ensemle convexe d'un espace vectoriel normé, alors X est un ANR.

Pour établir nos résultats d'existence dans le deuxième et le troisième chapitre, nous aurons besoin de la théorie d'Indice de point xe. Dans cette section, nous en rappelons les propriétés que l'on peut trouver dans [7].

Pour X un ANR et U ⊂ X ouvert, on note

F (U ) = {f : U → X : f est continue, compacte et

Fix(f) = {x ∈ U : x = f(x)} est compact}. Théorème 1.3. Soit X un ANR. Pour tout U ⊂ X ouvert, il existe une fonction appelée indice de point xe, index(·, U) : F(U) → Z vériant les propriétés suivantes :

(1) (Existence) : Si index(f, U) 6= 0, alors

il existe x ∈ U tel que f(x) = x. (1.3.1) (2) (Normalisation) : Si u0 ∈ U et f(x) = u0 pour tout x ∈ U, alors

index(f, U) = 1. (1.3.2)

1.3. INDICE DE POINT FIXE DANS LES ESPACES ANR.

(3) (Additivité) : Si U1 et U2 sont deux ouverts disjoints inclus dans U et tels que

Fix(f) ⊂ U1∪ U2, alors

index(f, U) = index(f, U1) +index(f, U2). (1.3.3)

(4) (Invariance par homotopie) : Si H : [0, 1] × U → X est une fonction continue et compacte telle que Sλ∈[0,1]Fix H(λ, ·)
est compact, alors

index(H(λ, ·), U) = index(H(0, ·), U) ∀λ ∈ [0, 1]. (1.3.4) (5) (Excision) : Si V ⊂ U est ouvert et Fix(f) ⊂ V , alors f|V ∈ F (V ) et

index(f, U) = index(f|V, V ). (1.3.5)

Remarque 1.3. Si f(x) 6= x pour tout x ∈ ∂U, alors l'ensemble Fix(f) = {x ∈ U : x = f(x)} est compact .

Théorème 1.4. Soient X1 et X2 des ANR et U1 ⊂ X1, U2 ⊂ X2 des ouverts. Alors les

propriétés suivantes sont vériées :

(1) (Multiplicativité) : Soient f1 ∈ F (U1)et f2 ∈ F (U2)et soit la fonction f1× f2 :

U1× U2 → X1× X2 dénie par (f1× f2)(x1, x2) = (f1(x1), f2(x2)).

Alors (f1 × f2) ∈ F (U1× U2) et

index(f1× f2, U1× U2) =index(f1, U1) ·index(f2, U2).

(2) (Commutativité) : Soient f : U1 → X2 et g : U2 → X1 des fonctions continues

telles que f ou g est compact. Soient

V1 = f−1(U2), V2 = g−1(U1), g ◦ f : V1 → X1 et f ◦ g : V2 → X2.

Si g ◦ f ∈ F(V1) et f ◦ g ∈ F(V2), alors

1.4. L'OPÉRATEUR φ-LAPLACIEN.

Théorème 1.5. (Contraction) Soient X un ANR et A ⊂ X fermé et ANR. Soient U ⊂ X ouvert et f ∈ F(U). Alors la propriété suivante est vériée :

Si f(U) ⊂ A, on dénit

fU ∩A: U ∩ A → A par fU ∩A(x) = f (x) ∀x ∈ U ∩ A.

Alors

index(f, U) = index(fU ∩A, U ∩ A). (1.3.7)

Corollaire 1.1. Soient E un espace vectoriel normé et L ⊂ E un sous-espace fermé. Soient U ⊂ E ouvert et f ∈ F(U) telle que f(U) ⊂ L. Alors

index(f, U) = index(fU ∩L, U ∩ L).

Nous citons maintenant deux théorèmes qui nous permettent de calculer facilement l'indice de point xe pour des applications simples.

Théorème 1.6. Si X = Rm _{et f ∈ C}1_{(U, R}m_{) ∩ F (U ) est telle que}

{x ∈ U : x = f (x)} = {x1, ..., xn} et det(id − f0(xi) 6= 0 pour i = 1, ..., n, alors

index(f, U ) =

i=n

X

i=1

sgn det(id − f0(xi)).

Théorème 1.7. Soit f : R → R une fonction continue et U =]a, b[, alors

index(f, U ) = 1 2sgn b − f (b)
− 1 2sgn a − f (a)

1.4 L'opérateur φ-Laplacien.

L'opérateur p−Laplacien est un modèle d'opérateurs quasi-linéaires qui permet de modéliser des phénomènes physiques tels que les problèmes de uides non-Newtoniens, réaction-diusion, élasticité non-linéaire, extraction de pétrole, courant à travers les mi-lieux poreux, etc...

1.4. L'OPÉRATEUR φ-LAPLACIEN.

Par conséquent, plusieurs auteurs ont proposé d'étudier le problème d'équation diéren-tielle suivant avec p−Laplacien :

(φp(u0))0 = f (t, u, u0) où φp(y) = |y|p−2y (p > 1) pour y ∈ R

au cours des dernières décennies, certains résultats d'existence pour le problème non-linéaire de deuxième ordre avec p−Laplacien en présence des sous et sur-solutions ont été étendus à un homéomorphisme arbitraire φ : (−a, a) → (−b, b) qui sera présenté sous plusieurs modèles.

Le modèle φ : R → (−b, b) où b < +∞ est dit borné, un exemple de ce modèle est l'opérateur de courbure moyenne suivante :

φ : R → (−1, 1) s → √ s

1 + s2,

(1.4.1)

D'autre part, si a < +∞ alors le φ-Laplacien est dit singulier suivant la terminologie de Bereanu et Mawhin ou a domaine borné, et dans ce cas, un exemple de ce modèle est l'opérateur relativiste

φ : (−1, 1) → R s → √ s

1 − s2,

(1.4.2)

voir [6] et [11] et les références incluses.

Le nombre de références concernant le φ-Laplacien est énorme, nous référons entre autre le lecteur à [4], [10], [11], [46], [47].

On peut citer quelques phénomènes physiques, pour lesquels l'opérateur φ-Laplacien intervient.

Exemple 1.1. Position d'une particule dans un champ électromagnétique. On cherche à déterminer la position de la particule e qui se déplace avec une grande vitesse dans les deux champs : magnétique et électrostatique (−→B ,−→E ) .

Soit r(t) la position de particule au moment t dans la base (o,−→i ,−→j ,−→k ) avec

1.4. L'OPÉRATEUR φ-LAPLACIEN.

base (o,−→i ,−→j ,−→k ) avec p : R −→ R3_{, (p = νm} 0v = 1 r 1 −v c 2m0v) la force de Lorenz .

On a les relations suivantes :

(1) r0(t) = p(t) p1 + (p(t))2 , (2) p 0 (t) = −e 2 hc[E(t, r(t)) + r 0 (t) × B(t, r(t))], où E, B : R × R3 _{−→ R}3_. On a r0(t) = p(t) p1 + |p(t)|2 ⇐⇒ (3) p(t) = r0(t) p1 − |r0_(t)|2.

On remplace (3) dans (2) on trouve le système diérentiel P(E,B) :

( r 0_(t) p1 − |r0_(t)|2) 0 = −e 2 hc[E(t, r(t)) + r 0 (t) × B(t, r(t))] ⇐⇒ (φ(r0))0 = f (t, r, r0) où φ(u) = u p1 − |u|2, u ∈] − 1, 1[.

Exemple 1.2. Oscillations périodiques du pendule relativiste avec frottement.

L'équation diérentielle d'un pendule soumis à un frottement visqueux en mécanique relativiste est donnée par :

 θ0 q

1 − θ_c022

0

+ kθ0+ a sin θ = p(t) (1.4.3) où θ désigne l'angle entre la verticale passant par le point de suspension et la direction du l, c > 0 est la vitesse de la lumière dans le vide, k coecient de frottement, p une fonction continue telle que p =Z T

0

p(s)ds = 0, cette équation peut s'écrire sous la forme (φ(θ0(t)))0 = f (t, θ(t), θ0(t))

où φ(s) = q s 1 − s2

c2

, s ∈] − c, c[ et f (t, x, y) = p(t) − a sin x − ky.

On constate qu'en mécanique newtonienne la vitesse θ0 _{est négligeable relativement à c}

donc θ0

c ' 0,par suite l'équation (1.4.3) devient

1.5. MÉTHODE DE SOUS ET SUR- SOLUTIONS.

cette équation a des solutions pseudo périodiques contrairement à la mécanique relativiste dans laquelle les solutions de (1.4.3) sont périodiques [46].

Exemple 1.3. Fluides non Newtoniens. L'équation non linéaire suivante :

(φp(u0))0− λu = 0 p > 1, λ > 0; (1.4.4)

où φp(s) = s|s|p−2, apparaît dans l'étude des uides non newtoniens.

L'équation du mouvement d'un uide newtonien dans le plan est donnée par τ = µdu

dx (1.4.5)

où τ est la contrainte de cisaillement exercée par le uide, µ est la viscosité du uide - une constante de proportionnalité caractéristique du matériau-, du

dx est le taux de déformation.

Ainsi, toutes les substances pour lesquelles µ ne dépend pas de la contrainte de cisaille-ment, c'est-à-dire, n'est pas fonction que de la température et de la pression extérieures sont appelées uides newtoniens ou " parfaitement visqueux".

Mais, lorsque la viscosité d'un uide dépendra du taux de cisaillement, il sera appelé uide non-newtonien et ne vérie pas la relation (1.4.5). On a plutôt une relation de la forme

τ = µ     du dx     p−2 du dx, p > 1; (1.4.6)

une telle équation est souvent rencontrée en Rhéologie. Les quantités µ et p sont appelées les caractéristiques rhéologiques du milieu.

L'étude des propriétés du mouvement d'un uide non-newtonien ayant une conductivité dans un champ électromagnétique, conduit par normalisation à des équations du type (1.4.4).

Voir aussi [29], [27].

1.5 Méthode de sous et sur- solutions.

La méthode de sous et sur-solutions a été introduite pour la première fois par Picard, en 1890 pour les équations aux dérivées partielles [18] et en 1893 pour les équations

1.5. MÉTHODE DE SOUS ET SUR- SOLUTIONS.

diérentielles ordinaires [19]. Et elle a été développée en 1931 par Scorza Dragoni dans son papier [22], qui introduit cette notion pour le problème aux limites du type :

u00(t) = f (t, u(t), u0(t)) p.p. t ∈ [0, T ],

u(a) = A , u(b) = B; (1.5.1)

avec α, β ∈ C2_{([a, b])} telle que

α00(t) ≥ f (t, α(t), α0(t)), α(a) ≤ A , α(b) ≤ B; β00(t) ≤ f (t, β(t), β0(t)), β(a) ≥ A , β(b) ≥ B;

alors, l'existence de la solution u est localisée entre la sur et la sous-solution c'est à dire α(t) ≤ u(t) ≤ β(t), pour tout t ∈ [a, b].

La méthode des sous et sur-solutions donne une localisation d'une solution d'un problème aux limites en présence d'un couple de fonctions, appelées sous-solution et sur-solution, bien ordonné.

Ces sous et sur-solutions peuvent être considérées comme des approximations de la solu-tion avec une erreur de signe constant.

La méthode des sous et des sur-solutions est devenue, par sa simplicité, un outil stan-dard pour la recherche des solutions des problèmes du type

1.5. MÉTHODE DE SOUS ET SUR- SOLUTIONS.

Le fait qu'il existe une borne uniforme pour toute solution du problème transformé per-met de démontrer l'existence d'une solution à ce problème en faisant appel à des outils d'analyse non-linéaire tels que les théorèmes d'indice de point xe.

Exemple d'application.

Considérons le problème périodique suivant : u00= f (t, u);

u(a) = u(b); u0(a) = u0(b). (1.5.2) Théorème 1.8. Supposons que le problème (1.5.2) admet une sous-solution α et une sur-solution β tel que α ≤ β, et considérons E = {(t, u) ∈ [a, b] × R/ α(t) ≤ u ≤ β(t)} et f : E → R est continue. Alors le problème (1.5.2)admet au moins une solution u ∈ C2([a, b]) qui vérie α(t) ≤ u(t) ≤ β pour tout t ∈ [a, b].

Pour la démonstration voir [14], page25.

Exemple 1.4. On considère le problème([14], page28) : u00+ u4− u2 _{= g(t);}

u(a) = u(b); u0(a) = u0(b) (1.5.3) où g ∈ C([a, b]) tel que −1

4 ≤ g(t) ≤ 0.

On vérie facilement que α1(t) = −1 et α2(t) = 0 sont deux sous-solutions de (1.5.3) et

β1(t) = − √ 2 2 et β2(t) = √ 2

2 sont deux sur-solutions de (1.5.3), donc d'après le théorème

1.8 il existe deux solutions u1 et u2 telque −1 ≤ u1(t) ≤ − √ 2 2 et 0 ≤ u2(t) ≤ √ 2 2 pour tout t ∈ [a, b].

Lorsque f dépend de u0_{, l'existence d'une paire de sous et sur solution ne sura pas}

pour l'existence d'une solution. Nous aurons aussi besoin d'une majoration des dérivés, an d'appliquer le théorème de Schauder, théorème de degré topologique ou l'Indice de point xe.

Le contre exemple suivant illustrera ceci.

Contre-exemple 1.1. On considère le problème : u00 = (1 + u02)2(u − p(t));

1.6. CONDITION DE WINTNER-NAGUMO.

où p est une fonction continue, tel que

p(t) =          2 si t ∈ [0,T₃], −2 ≤ p(t) ≤ 2 si t ∈ [T 3, 2T 3 ], −2 si t ∈ [2T 3 , T ]. (1.5.5)

On vérie facilement que α(t) = −3 et β(t) = 3 sont respectivement sous et sur solution pour le problème (1.5.4).

Si T > 0 est susamment grand, le problème (1.5.4) n'admettra pas de solution. Pour la démonstration voir [14] page 43.

Notez que, Nagumo [39] en 1954 a été le premier qui a construit un exemple dans lequel l'existence d'une paire de sous et sur-solutions bien ordonnée n'est pas susante pour assurer l'existence d'une solution pour un problème de Dirichlet.

1.6 Condition de Wintner-Nagumo.

En 1912, S.Berstein [50] a été le premier qui a introduit une majoration a priori, pour les dérivées des solutions éventuelles pour une équation diérentielle non-linéaire de deuxième ordre, lorsque le terme à droite dépend de cette dérivée. Il considérait le problème

u00= f (t, u, u0);

u ∈ B; (où B désigne une condition aux limites) (1.6.1) où f est une fonction continue satisfait la condition de croissance suivante :

|f (t, u, v)| ≤ A + Bv2_.

Il a prouvé que pour tout r > 0, il existe R > 0 tel que pour toute solution u de problème (1.6.1) qui vérie kuk0 ≤ r. On a ku0k0 ≤ R.

En 1937, M.Nagumo a généralisé cette idée de Berstein, par la condition |f (t, u, v)| ≤ ϕ(|v|)

1.6. CONDITION DE WINTNER-NAGUMO.

où ϕ : R+_{→ R une fonction continue positive tel que}

Z ∞

0

sds

ϕ(s) = ∞.

Les résultats obtenus par S.Berstein ont été généralisés en 1978 par Granas, Guenther et Lee [8]. Ces derniers considéraient les hypothèses :

1) |f(t, u, v)| ≤ A(t, u)+B(t, u)v2 _{avec A et B bornées sur [0, 1]×[−k, k] pour tout}

k ≥ 0;

2) il existe M ≥ 0 tel que uf(t, u, 0) > 0 pour |u| ≥ M. Ils obtenaient alors l'existence d'une solution u ∈ C2_.

Après, plusieurs résultats ont été généralisés aux fonctions de Carathéodory.

Pour notre problème de deuxième ordre, on a introduit une condition de Wintner-Nagumo |f (t, x, y)| ≤ ψ(|y|) l(t) + c(t)|y|(p−1)/p
_,

tel que 1 ψ ◦ φ−1 ∈ L 1 loc(R), Z ∞ −∞ ds ψ |φ−1_(s)|
= ∞.

Chapitre

2

Multiples solutions pour les problèmes

non linéaires du premier ordre sous la

forme (φ(u(t)))

0

_{= f (t, u(t))}

_.

Sommaire

2.1 Notations et préliminaires. . . 26

2.2 Le problème périodique . . . 31

2.2.1 Sous et Sur-solutions bien ordonnées. . . 31

2.2.2 Sous et Sur-solutions inversement ordonnées. . . 37

2.3 Autres résultats pour le problème périodique. . . 41

2.4 Problème à valeur initiale. . . 46

2.5 Autres résultats pour le problème à valeur initiale. . . 48

2.6 Systèmes d'équations diérentielles. . . 50

2.6.1 Cas où φ : Ba⊂ Rn→ Rn . . . 51

2.1. NOTATIONS ET PRÉLIMINAIRES.

Dans ce chapitre1_{, nous nous intéressons au problème d'existence de solutions aux}

équations diérentielles non linéaires du premier ordre.

(φ(u(t)))0 = f (t, u(t)), p.p. t ∈ [0, T ]

u ∈ B; (2.0.1)

où f : [0, T ] × R → R est une fonction de Carathéodory et φ est un homéomorphisme croissant, et B désigne une des conditions aux bords suivantes :

(1) Condition périodique sur [0,T],

u(0) = u(T ); (2.0.2)

(2) Condition de Cauchy sur [0,T],

u(0) = r; (2.0.3)

Pour établir des résultats d'existence et de multiplicité pour le problème (2.0.1). Nous introduisons la notion de sous et sur-solution stricte. Nous traitons les cas où le domaine de φ est ]a, b[= R et ]a, b[6= R. Dans ce dernier cas, an d'aboutir à des résultats de multiplicité pour le problème périodique (2.0.1) (2.0.2), nous introduisons également les notions des sous et sur-solutions strictes bien ordonnées et inversement ordonnées. Nos résultats s'appuient sur la théorie de l'indice du point xe.

Ce chapitre est divisé en cinq sections, la première est consacrée aux notations et à des résultats préliminaires. Dans la deuxième section, nous obtenons des résultats d'existence et de multiplicité pour le problème périodique avec φ déni sur R. Dans la troisième section, nous traitons le cas où φ n'est pas déni sur toute la droite réelle. La quatrième section est consacrée aux résultats de multiplicité et d'existence pour le problème à valeur initiale.

Et nalement nous présentons, dans la dernière section des résultats d'existence pour les systèmes d'équations diérentielles d'ordre un.

2.1 Notations et préliminaires.

Nous introduisons ici les notions de sous et sur-solutions de (2.0.1)

2.1. NOTATIONS ET PRÉLIMINAIRES.

Dénition 2.1. On dit que α ∈ W1,1_{(I) est une sous-solution de (2.0.1) si}

(φ(α(t)))0 ≤ f (t, α(t)), p.p. t ∈ I; (2.1.1) et si de plus α vérie

i) α(0) ≤ α(T ), si B désigne la condition périodique (2.0.2) ; ii) α(0) ≤ r, si B désigne la condition initiale (2.0.3).

Dénition 2.2. On dit que β ∈ W1,1_{(I) est une sur-solution de (2.0.1) si}

(φ(β(t)))0 ≥ f (t, β(t)), p.p. t ∈ I; (2.1.2) et si de plus β vérie

i) β(0) ≥ β(T ), si B désigne la condition périodique (2.0.2) ; ii) β(0) ≥ r, si B désigne la condition initiale (2.0.3).

Nous citons maintenant les dénitions de sous et sur-solutions strictes de (2.0.1). Dénition 2.3. On dit que α ∈ W1,1_{(I) est une sous-solution stricte de (2.0.1) si pour}

tout t0 ∈ ]0, T [, il existe ε > 0 et un voisinage Ut0 de t0 dans I tel que

(φ(α(t)))0 ≤ f (t, x), p.p. t ∈ Ut0, ∀x ∈ [α(t), α(t) + ε]; (2.1.3)

et en plus,

i) α(0) < α(T ), si B désigne la condition périodique (2.0.2) ; ii) α(0) < r, si B désigne la condition initiale (2.0.3).

Dénition 2.4. On dit que β ∈ W1,1_{(I) est une sur-solution stricte de (2.0.1) si pour}

tout t0 ∈ ]0, T [, il existe ε > 0 et un voisinage Ut0 de t0 dans I tel que

(φ(β(t)))0 ≥ f (t, x), p.p. t ∈ Ut0, ∀x ∈ [β(t) − ε, β(t)], (2.1.4)

et en plus,

i) β(0) > β(T ), si B désigne la condition périodique (2.0.2) ; ii) β(0) > r, si B désigne la condition initiale (2.0.3).

Dénition 2.5. On dit que α ∈ W1,1_{(I)est une sous-solution stricte inversée de (2.0.1) (2.0.2)}

si α(0) < α(T ) et pour tout t0 ∈ ]0, T [, il existe ε > 0 et un voisinage Ut0 de t0 dans I

tel que

2.1. NOTATIONS ET PRÉLIMINAIRES.

Dénition 2.6. On dit que β ∈ W1,1_{(I)est une sur-solution stricte inversée de (2.0.1) (2.0.2)}

si β(0) > α(T ) et pour tout t0 ∈ ]0, T [, il existe ε > 0 et un voisinage Ut0 de t0 dans I

tel que

(φ(β(t)))0 ≥ f (t, x), p.p. t ∈ Ut0, ∀x ∈ [β(t), β(t) + ε]; (2.1.6)

Nous utilisons par la suite les notations suivantes :

(Hφ) φ :]a, b[→ R est un homéomorphisme croissant avec −∞ ≤ a < b ≤ +∞.

(Hf) La fonction f : I × R → R est de Carathéodory.

(LB) Il existe α ∈ W1,1(I) sous-solution de (2.0.1).

(UB) Il existe β ∈ W1,1(I) sur-solution de (2.0.1).

Dans ce qui suit, (UB)resp (LB) sera remplacée par (UP) ou (UI)resp (LP) ou

(LI)  selon si B dénote respectivement la condition périodique (2.0.2) ou la condition

initiale (2.0.3).

Les résultats de comparaison suivants jouent un rôle crucial pour la suite : Lemme 2.1. Supposons que (Hφ) est satisfaite. Soit v, w ∈ W1,1(I) tel que

(φ(v(t)))0 ≥ (φ(w(t)))0 p.p. t ∈ {t ∈ I : v(t) < w(t)}. (2.1.7) Et si en plus, nous avons une des assertions suivantes :

(i) v(0) ≥ w(0) ;

(ii) φ(v(T )) − φ(w(T )) ≤ φ(v(0)) − φ(w(0)).

Alors, v(t) ≥ w(t) pour tout t ∈ I, ou il existe un réel c > 0 tel que φ(v(t)) = φ(w(t)) − c pour tout t ∈ I.

Démonstration. Supposons que

A = {t ∈ I : v(t) < w(t)} 6= ∅. Posons Am = n τ ∈ I : φ(w(τ )) − φ(v(τ )) = max t∈I {φ(w(t)) − φ(v(t))} o .

2.1. NOTATIONS ET PRÉLIMINAIRES.

On constate que Am 6= ∅ et Am ⊂ A, et nous distinguons deux cas.

1ercas : Am = [0, T ], dans ce cas, il existe c > 0 tel que

φ(w(t)) − φ(v(t)) = c ∀t ∈ [0, T ], (2.1.8) mais ce cas, ne peut pas être réalisé si v(0) ≥ w(0).

2èmecas : Am 6= [0, T ], soit ˆt= max Am et montrons que

ˆ

t > 0 et ∃ρ ∈ [0, ˆt]\Am. (2.1.9)

En eet, si i) est satisfaite, alors 0 6∈ Am, d'où ˆt> 0 et 0 ∈ [0, ˆt]\Am.

Si ii) est satisfaite, on a

φ(w(0)) − φ(v(0)) ≤ φ(w(T )) − φ(v(T )),

donc si 0 ∈ Am, alors ˆt= T et comme Am 6= [0, T ], on aura [0, ˆt]\Am = [0, T ]\Am 6= ∅.

D'autre part, si 0 6∈ Am, alors ˆt> 0 et 0 ∈ [0, ˆt]\Am.

Soit ρ déni en (2.1.9) et choisissons

t1 = min([ρ, T ] ∩ Am) et t0 =

(

0, si [0, t1] ⊂ A,

max([0, t1]\A), sinon,

donc t1 ∈ Am et ]t0, t1[⊂ A\Am. Par conséquent, φ(w(t0)) − φ(v(t0)) < φ(w(t1)) − φ(v(t1)) et ∀t ∈]t0, t1[ (φ(v(t)))0 ≥ (φ(w(t)))0. D'où φ(v(t1)) − φ(v(t0)) = Z t1 t0 (φ(v(s)))0ds ≥ Z t1 t0 (φ(w(s)))0ds = φ(w(t1)) − φ(w(t0));

2.1. NOTATIONS ET PRÉLIMINAIRES.

Lemme 2.2. Supposons que (Hφ) est satisfaite. Soit v, w ∈ W1,1(I) tel que

(φ(v(t)))0 ≤ (φ(w(t)))0 p.p. t ∈ {t ∈ I : v(t) < w(t)}. Et si en plus, nous avons une des assertions suivantes :

(i) v(T ) ≥ w(T ) ;

(ii) φ(v(T )) − φ(w(T )) ≥ φ(v(0)) − φ(w(0)).

Alors, v(t) ≥ w(t) pour tout t ∈ I, ou il existe un réel c > 0 tel que φ(v(t)) = φ(w(t)) − c pour tout t ∈ I.

Lemme 2.3. Supposons que (Hφ) et (Hf) soient satisfaites.

(1) Soit α ∈ W1,1_{(I) une sous-solution stricte de (2.0.1).}

Si u ∈ W1,1_{(I)est une solution de (2.0.1) tel que u(t) ≥ α(t) pour tout t ∈ I, alors}

u(t) > α(t) pour tout t ∈ I.

(2) Soit β ∈ W1,1_{(I) une sur-solution stricte de (2.0.1).}

Si u(t) ≤ β(t) pour tout t ∈ I, alors u(t) < β(t) pour tout t ∈ I.

Démonstration. 1) Soit u ∈ W1,1_{(I)une solution de (2.0.1) tel que u(t) ≥ α(t)}

pour tout t ∈ I. Supposons que

A = {t ∈ I : α(t) = u(t)} 6= ∅. Montrons que

0 6∈ A. (2.1.10)

C'est trivial si B désigne la condition à valeur initiale.

Si B désigne la condition périodique, alors par la dénition 2.3 i)

u(0) − α(0) > u(T ) − α(T ) ≥ 0. Soit t1 = min A ∈]0, T ], donc par (2.1.10) et (Hφ), on a

φ(u(t1)) = φ(α(t1)) et φ(u(t)) > φ(α(t)) ∀t ∈ [0, t1[. (2.1.11)

Et, par la dénition 2.3 il existe ε > 0 et un voisinage Ut1 de t1 dans I tel que

2.2. LE PROBLÈME PÉRIODIQUE

Comme u ∈ C(I), il existe t0 ∈]0, t1[ tel que u(t) ∈]α(t), α(t) + ε[ pour tout t ∈]t0, t1[.

Le fait que φ est croissant, on en déduit que

φ(α(t1)) − φ(α(t0)) > φ(u(t1)) − φ(u(t0)) = Z t1 t0 f (s, u(s))ds ≥ Z t1 t0 (φ(α(s)))0ds = φ(α(t1)) − φ(α(t0));

ce qui est contradictoire, par suite A = ∅, donc α(t) < u(t) pour tout t ∈ I. 2) De la même façon.

Le lemme suivant se démontre de façon similaire.

Lemme 2.4. Supposons que (Hφ) et (Hf) soient satisfaites.

(1) Soit α ∈ W1,1_{(I) une sous-solution stricte inversée de (2.0.1) (2.0.2).}

Si u ∈ W1,1_{(I) est une solution de (2.0.1) (2.0.2) tel que u(t) ≤ α(t) pour tout}

t ∈ I, alors u(t) < α(t) pour tout t ∈ I.

(2) Soit β ∈ W1,1_{(I) une sur-solution stricte inversée de (2.0.1) (2.0.2).}

Si u(t) ≥ β(t) pour tout t ∈ I, alors u(t) > β(t) pour tout t ∈ I.

2.2 Le problème périodique

2.2.1

Sous et Sur-solutions bien ordonnées.

Dans cette section nous étudierons l'existence de solution pour le problème (2.0.1) (2.0.2) avec l'existence d'une paire de sous et sur-solutions bien ordonnées.

Nous supposons que (LP) et (UP) sont vériées et nous considérons pour chaque λ ∈ [0, 1],

la famille de problèmes : (φ(u(t)))0 = λf+(t, u(t)) + (1 − λ) T Z T 0 f+(t, u(t)) dt p.p.t ∈ I, u(0) = u(T ); (2.2.1+ λ)

2.2. LE PROBLÈME PÉRIODIQUE

où f+ _{: [0, T ] × R → R est dénie par}

f+(t, x) =          f (t, β(t)) − Mβ(t)(x − β(t)) si x > β(t), f (t, x) si α(t) ≤ x ≤ β(t), f (t, α(t)) + mα(t)(x − α(t)) si x < α(t) ; (2.2.2)

avec mα, Mβ ∈ L1(I) qui sont choisies de telle sorte que

mα(t) < min{0, f (t, α(t))} et Mβ(t) > max{0, f (t, β(t))}. (2.2.3)

Considérons les opérateurs P+ _{: [0, 1] × C(I) → C(I)} et H+ _{: [0, 1] × C(I) → C(I)} dénis

par : P+_{(λ, u)(t) = λ}_N f+(u)(t) − t TNf+(u)(T )  (2.2.4) H+_{(λ, u) = Φ}_{φ(u(0)) −} 1 TNf+(u)(T ) + P +_{(λ, u)} _(2.2.5)

où Nf+ déni en (1.1.1) et Φ : C(I) → C(I) déni par :

Φ(u)(t) = φ−1(u(t)) (2.2.6)

Proposition 2.1. Supposons que (Hφ), (Hf), (LP) et (UP) sont vériées.

Si α(t) ≤ β(t) pour tout t ∈ I, alors, il existe R+ _{> max{kαk}

0, kβk0} tel que

index(H+_{(λ, ·), U}+_{) = −1 pour tout λ ∈ [0, 1],}

où U+ _{= {u ∈ C(I) : kuk}

0 < R+}.

En particulier, le problème (2.2.1+

λ) admet au moins une solution pour chaque λ ∈ [0, 1].

Démonstration. Il découle de (Hφ) et du lemme 1.1 que l'opérateur H+ est continu et

complètement continu.

On constate que tout point xe de H+ est une solution de (2.2.1+

λ). En eet, si u = H+_{(λ, u), on a} φ(u(t)) = φ(u(0)) − 1 TNf+(u)(T ) + λ  Nf+(u)(t) − t TNf+(u)(T )  ∀t ∈ I. Donc, pour t = 0 et pour t = T , on obtient

2.2. LE PROBLÈME PÉRIODIQUE

φ(u(T )) = φ(u(0)) − _T1Nf+(u)(T ) + λ

 Nf+(u)(T ) − N_f+(u)(T )  . Par suite Nf+(u)(T ) = Z T 0

f+(t, u(t))dt = 0 et φ(u(0)) = φ(u(T )). (2.2.7) Comme φ est injective, u(0) = u(T ), et par dérivation, on obtient

(φ(u(t)))0 = λf+(t, u(t)) − 1 T Z T 0 f+(t, u(t))dt = λf+(t, u(t)) + 1 − λ T Z T 0 f+(t, u(t))dt.

D'où u est une solution de (2.2.1+ λ).

Fixons R > 0e tel que

− eR ≤ min

t∈I α(t) − 1 et R ≥ maxe t∈I β(t) + 1.

On va montrer que toute solution u de (2.2.1+

λ) vérie kuk0 < eR.

Par (UP), (2.2.7) et la dénition de f+, on aura pour tout t ∈ {t ∈ I : u(t) >R}e (φ(u(t)))0 = λf (t, β(t)) − Mβ(t)(u(t) − β(t))

 ≤ λ f (t, β(t)) − Mβ(t))

≤ 0,

et par le lemme 2.1, on en déduit que u(t) ≤Re pour tout t ∈ I ou il existe c > 0 tel que φ(u(t)) = φ( eR) + c pour tout t ∈ I.

Si ce dernier cas est vérié, alors par (2.2.7) et le fait que φ est croissant, on a

0 = Z T 0 f+(t, u(t))dt = Z T 0  f (t, β(t)) − Mβ(t) u(t) − β(t))  dt ≤ Z T 0  f (t, β(t)) − Mβ(t) eR − β(t))  dt < 0.

Ce qui est contradictoire. D'où u(t) ≤Re pour tout t ∈ I.

2.2. LE PROBLÈME PÉRIODIQUE

Nous choisissons R+ _{> eR, et nous posons}

U+_{= {u ∈ C(I) : kuk}

0 < R+}. (2.2.8)

On constate que u 6= H+_{(λ, u) pour tout (λ, u) ∈ [0, 1] × ∂U}+_{. Donc, par homotopie}

d'indice de point xe, on a

index(H+_{(λ, ·), U}+_{) = index(H}+_{(0, ·), U}+_{) ∀λ ∈ [0, 1]. (2.2.9)} Ensuite, on a H+_{(0, u) = Φ}_{φ(u(0)) −} 1 TNf+(u)(T )  ∈ R, et ∂(U+_{∩ R) = {−R}+_{, R}+_{}. Comme R}+_{> kβk} 0+ 1 et Mβ(t) > max{0, f (t, β(t)}, alors φ(H+(0, R+)) = φ(R+) − 1 T Z T 0 f+(t, R+)dt = φ(R+) − 1 T Z T 0  f (t, β(t)) − Mβ(t)(R+− β(t))  dt > φ(R+).

D'une manière similaire φ(H+_{(0, −R}+_{)) < φ(−R}+_).

On sait par la propriété d'invariance par homotopie que toutes les fonctions homotopes à une fonction H+_{(0, .) ont le même index de point xe.}

Pour H+_{(0, .) : [−R}+_{, R}+

] → R tel que H+(0, R+) 6= R+ et H+(0, −R+) 6= −R+, on a H+_{(0, .)} est homotope à la fonction ane passant par les points (−R+_{, H}+_{(0, −R}+₎₎et

(R+_{, H}+_{(0, R}+_{)), i.e. g : [−R}+_{, R}+_{] → R dénie par}

g(x) = 1 2R+  H+_{(0, R}+_{) − H}+_{(0, −R}+₎_{(x + R}+_{) + H}+_{(0, −R}+_). Donc, index(H+_{(0, ·), ] − R}+_{, R}+_{[) = index(g, ] − R}+_{, R}+_[).

Dans le cas d'une fonction ane, l'index est facile à calculer. D'après le théorème 1.6 Il est donné par le signe de la dérivée de x − g(x), i.e. le signe de

1 − 1 2R+(H

2.2. LE PROBLÈME PÉRIODIQUE

Homotopie entre id − H+_{(0, .) et l'application ane id − g}

Comme H+_{(0, R}+_{) < R}+ _{et H}+_{(0, −R}+_{) > −R}+_{, le signe est négatif et l'index est -1.}

Donc,

index(H+_{(0, ·), ] − R}+_{, R}+_{[) = −1.}

Par la propriété de contraction de l'indice de point xe (1.3.7), index(H+_{(0, ·), U}+_{) =index(H}+_{(0, ·), (U}+ ∩ R)) =index(H+(0, ·), ] − R+, R+[) = −1. (2.2.10) Il découle de (2.2.10) et (2.2.9) que

index(H+_{(λ, ·), U}+_{) = −1 pour tout λ ∈ [0, 1].}

Donc, pour tout λ ∈ [0, 1], H+_{(λ, ·)admet un point xe, et par suite le problème (2.2.1}+ λ)

admet au moins une solution.

2.2. LE PROBLÈME PÉRIODIQUE

Théorème 2.1. Supposons que (Hφ), (Hf) sont vériées, et supposons aussi que (LP) et

(UP) sont satisfaites avec α(t) ≤ β(t) pour tout t ∈ I.

Alors le problème périodique (2.0.1) (2.0.2) admet une solution u ∈ W1,1_{(I) tel que}

α(t) ≤ u(t) ≤ β(t) pour tout t ∈ I.

Démonstration. Si α(t) ≤ β(t) pour tout t ∈ I, la proposition 2.1 assure l'existence d'une solution u ∈ W1,1_{(I) de (2.2.1}+

λ) pour λ = 1.

Pour conclure, il reste à vérier que α(t) ≤ u(t) ≤ β(t) pour tout t ∈ I et par suite f+(t, x) = f (t, x) pour x ∈ [α(t), β(t)]. On constate que 0 = φ(u(T )) − φ(u(0)) = Z T 0 f+(t, u(t))dt, ainsi, par (LP), (2.2.2) et (2.2.3) (φ(u(t)))0 = f (t, α(t)) + mα(t)(u(t) − α(t)) > f (t, α(t)) ≥ (φ(α(t)))0, p.p.t ∈ {t ∈ I : u(t) < α(t)}. Il découle de lemme 2.1 que u(t) ≥ α(t) pour tout t ∈ I.

D'une façon similaire, on montre que u(t) ≤ β(t) pour tout t ∈ I.

L'existence des paires de sous et sur-solutions strictes bien ordonnées peut nous donner l'existence d'au moins trois solutions pour le problème périodique (2.0.1) (2.0.2). Théorème 2.2. Si les hypothèses (Hφ), (Hf)sont satisfaites et si en plus, nous avons

l'armation suivante : (H+

P) Pour i = 1, 2 il existe αi(t), βi(t) ∈ W1,1(I) respectivement sous et sur-solutions

strictes de (2.0.1) (2.0.2) tel que αi(t) < βi(t) , α1(t) ≤ α2(t), β1(t) ≤ β2(t)

pour tout t ∈ I, et {t ∈ I : α2(t) > β1(t)} 6= ∅.

Alors, le problème périodique (2.0.1) (2.0.2) admet au moins trois solutions u1, u2, u3 tel

que α1(t) < u3(t) < β2(t) , αi(t) < ui(t) < βi(t) ∀t ∈ I et i = 1, 2 et {t ∈ I : β1(t) ≤

u3(t) ≤ α2(t)} 6= ∅.

Démonstration. Considérons les opérateurs H+ 1, H

+ 2 et H

+

3 dénis en (2.2.5) qui sont

respectivement associés à des paires de sous et sur-solutions (α1, β1), (α2, β2) et (α1, β2).

Soient les ouverts U+

i ⊂ C(I)dénis en (2.2.8) associés aux opérateurs H +

i pour i = 1, 2, 3.

Par la proposition 2.1, on obtient index(H+

i (1, ·), U +

2.2. LE PROBLÈME PÉRIODIQUE

Il découle de la démonstration de Théorème 2.1 que tout point xe u de H+

i (1, ·) est une

solution de (2.0.1) (2.0.2) tel que pour i = 1, 2, on a αi(t) ≤ u(t) ≤ βi(t) ∀t ∈ I

et pour i = 3, on a α1(t) ≤ u(t) ≤ β2(t) ∀t ∈ I.

En utilisant le fait que αi(t) et βi(t) sont respectivement sous et sur-solutions strictes

de (2.0.1) (2.0.2), il résulte de lemme 2.3 que H+

i (1, ·) n'admet pas des points xes sur

U+ i \V

+ i , avec

V+

i = {u ∈ C(I) : αi(t) < u(t) < βi(t) ∀t ∈ I} pour i = 1, 2,

V+

3 = {u ∈ C(I) : α1(t) < u(t) < β2(t) ∀t ∈ I}.

Ainsi, par la propriété d'excision de l'indice de point xe, index(H+

i (1, ·), V +

i ) = −1 pour i = 1, 2, 3.

Comme α1(t) ≤ β1(t) ≤ β2(t), α1(t) ≤ α2(t) ≤ β2(t) pour tout t ∈ I et {t ∈ I : α2(t) >

β1(t)} 6= ∅, on aura V₁+∪ V₂+⊂ V₃+, et V₃+\V₁+∪ V₂+6= ∅, et comme V+ i ⊂ V + 3 , i = 1, 2, on aura H+ i (1, u) = H + 3(1, u) ∀u ∈ V + i , i = 1, 2.

Combinant ceci avec l'additivité de l'indice de point xe (1.3.3), on obtient indexH+ 3(1, ·), V + 3 \  V+ 1 ∪ V + 2  =index(H+₃(1, ·), V₃+) −index(H+ 3(1, ·), V + 1 ) −index(H + 3(1, ·), V + 2 ) = 1.

Par conséquent, le problème (2.0.1) (2.0.2) possède au moins trois solutions u1 ∈ V1+,

u2 ∈ V2+ et u3 ∈ V3+\



V₁+∪ V₂+.

2.2.2

Sous et Sur-solutions inversement ordonnées.

Dans cette section nous étudierons l'existence de solution pour le problème (2.0.1) (2.0.2) avec l'existence d'une paire de sous et sur-solutions inversement ordonnées.

2.2. LE PROBLÈME PÉRIODIQUE

Nous supposons que (LP) et (UP) sont vériées et considérons pour chaque λ ∈ [0, 1], la

famille de problèmes : (φ(u(t)))0 = λf−(t, u(t)) + (1 − λ) T Z T 0 f−(t, u(t)) dt p.p.t ∈ I, u(0) = u(T ); (2.2.11− λ) où f−

: [0, T ] × R → R est dénie par

f−(t, x) =          f (t, β(t)) + Mβ(t)(x − β(t)) si x < β(t), f (t, x) si α(t) ≥ x ≥ β(t), f (t, α(t)) − mα(t)(x − α(t)) si x > α(t) ; (2.2.12)

avec mα, Mβ ∈ L1(I) dénies en (2.2.3).

Considérons les opérateurs P− _{: [0, 1] × C(I) → C(I) et H}− _{: [0, 1] × C(I) → C(I)}

dénis par : P−(λ, u)(t) = λNf−(u)(t) − t TNf−(u)(T )  (2.2.13) H−(λ, u) = Φφ(u(0)) − 1 TNf−(u)(T ) + P − (λ, u) (2.2.14) où Nf− déni en (1.1.1) et Φ déni en (2.2.6).

Proposition 2.2. Supposons que (Hφ), (Hf), (LP) et (UP) sont vériées.

Si α(t) ≥ β(t) pour tout t ∈ I, alors, il existe R− _{> max{kαk}

0, kβk0} tel que

index(H−

(λ, ·), U−) = 1 pour tout λ ∈ [0, 1], où U− _{= {u ∈ C(I) : kuk}

0 < R−}.

En particulier, le problème (2.2.11−

λ) admet au moins une solution pour tout λ ∈ [0, 1].

Démonstration. D'une façon analogue que la preuve de la proposition 2.1, tout point xe de H− _{est solution de (2.2.11}−

λ), et on peut trouver

R−> 1 + max

t∈I α(t) > −1 + mint∈I β(t) > −R −

tel que toute solution u de (2.2.11−

λ) vérie kuk0 < R −_.

Posons

2.2. LE PROBLÈME PÉRIODIQUE

Par homotopie de l'indice de point xe, on a index(H− (λ, ·), U−) = index(H−(0, ·), U−) ∀λ ∈ [0, 1]. (2.2.16) Ensuite, on a ∂(U+_{∩ R) = {−R}+_{, R}+_{}, et} H−(0, u) = Φφ(u(0)) − 1 TNf−(u)(T )  ∈ R. On obtient, donc φ(H−(0, R−)) = φ(R−) − 1 T Z T 0 f−(t, R−)dt = φ(R−) − 1 T Z T 0  f (t, α(t)) − mα(t)(R−− α(t))  dt < φ(R−).

D'une façon analogue, φ(H−_{(0, −R}−_{)) > φ(−R}−_).

Donc, d'après le théorème 1.7, on a index(H− (0, ·), (U−_{∩ R)) = index}H−(0, ·), ] − R−, R−[ = 1 2sgn(R −_{− H}− (0, R−)) −1 2sgn(−R −_{− H}− (0, −R−)) = 1.

Par la propriété de contraction de l'indice de point xe (1.3.7), index(H−

(0, ·), U−) =index(H−(0, ·), (U−_{∩ R)) = 1.} (2.2.17) En combinant (2.2.16) et (2.2.17), on trouve

index(H−

(λ, ·), U−) = 1 pour tout λ ∈ [0, 1].

Donc, pour tout λ ∈ [0, 1], H−_{(λ, ·)admet un point xe, et par suite le problème (2.2.11}− λ)

admet au moins une solution.

Maintenant, nous allons établir l'existence de solutions de (2.0.1) (2.0.2).

Théorème 2.3. Supposons que (Hφ), (Hf) sont vériées, et supposons aussi que (LP) et

(UP) sont satisfaites avec α(t) ≥ β(t) pour tout t ∈ I.

Alors le problème périodique (2.0.1) (2.0.2) admet une solution u ∈ W1,1_{(I) tel que}

2.2. LE PROBLÈME PÉRIODIQUE

Démonstration. Si α(t) ≥ β(t) pour tout t ∈ I, par la proposition 2.2 et une démons-tration analogue à celle de la proposition 2.1, on obtient le résultat.

Exemple 2.1. On considère le problème :

u0(t) = u

3_{(t) + 1 − 2t}

u4_(t)√_t p.p t ∈ [0, 1];

u(0) = u(1).

(2.2.18)

Ici, l'homéomorphisme φ : R → R est φ(x) = x5 et la fonction de Carathéodory

f : [0, 1] × R → R est f (t, x) = 5(x

3_{+ 1 − 2t)}

√

t . On vérie facilement que f (t, 1) ≥ 0 ≥ f (t, −1) p.p t ∈ [0, 1].

Par conséquent, α(t) = 1 et β(t) = −1 sont respectivement sous et sur-solutions inverse-ment ordonnées de (2.2.18). D'après le théorème (2.3), le problème (2.2.18) admet au moins une solution u tel que |u(t)| ≤ 1 pour tout t ∈ [0, 1].

L'existence des paires de sous et sur-solutions strictes inversement ordonnées peut nous donner l'existence d'au moins trois solutions pour le problème périodique (2.0.1) (2.0.2).

Théorème 2.4. Si les hypothèses (Hφ), (Hf)sont satisfaites et si en plus, nous avons

l'armation suivante : (H−

P) Pour i = 1, 2 il existe αi(t), βi(t) ∈ W1,1(I) respectivement sous et sur-solutions

strictes de (2.0.1) (2.0.2) tel que αi(t) > βi(t) , α1(t) ≥ α2(t), β1(t) ≥ β2(t)

pour tout t ∈ I, et {t ∈ I : α2(t) < β1(t)} 6= ∅.

Alors, le problème périodique (2.0.1) (2.0.2) admet au moins trois solutions u1, u2, u3 tel

que α1(t) > u3(t) > β2(t) , αi(t) > ui(t) > βi(t) ∀t ∈ I et i = 1, 2 et {t ∈ I : β1(t) ≥

u3(t) ≥ α2(t)} 6= ∅.

Démonstration. Considérons les opérateurs H− 1, H

− 2 et H

−

3 dénis en (2.2.14) qui sont

respectivement associés à des paires de sous et sur-solutions (α1, β1), (α2, β2) et (α1, β2).

Soient les ouverts U−

i ⊂ C(I) dénis en (2.2.15) associés aux opérateurs H −

i pour i =

1, 2, 3. Par la proposition 2.2, on obtient index(H−

i (1, ·), U −

2.3. AUTRES RÉSULTATS POUR LE PROBLÈME PÉRIODIQUE.

Il découle de la démonstration de Théorème 2.3 que tout point xe u de H−

i (1, ·) est une

solution de (2.0.1) (2.0.2) tel que αi(t) ≥ u(t) ≥ βi(t) ∀t ∈ I et i = 1, 2 et α1(t) ≥ u(t) ≥

β2(t) ∀t ∈ I si i = 3.

En utilisant le fait que αi(t) et βi(t) sont respectivement sous et sur-solutions strictes

inversées de (2.0.1) (2.0.2), il résulte du lemme 2.4 que H−

i (1, ·) n'admet pas des points

xes sur U− i \V

− i , avec

V_i− = {u ∈ C(I) : αi(t) > u(t) > βi(t) ∀t ∈ I} pour i = 1, 2,

V₃− = {u ∈ C(I) : α1(t) > u(t) > β2(t) ∀t ∈ I}.

Ainsi, par la propriété d'excision de l'indice de point xe (1.3.5), index(H−

i (1, ·), V −

i ) = 1 pour i = 1, 2, 3.

Comme α1(t) ≥ β1(t) ≥ β2(t), α1(t) ≥ α2(t) ≥ β2(t) pour tout t ∈ I et {t ∈ I : α2(t) <

β1(t)} 6= ∅, on aura V− 1 ∪ V − 2 ⊂ V − 3 et V − 3 \  V₁−∪ V₂−6= ∅, et H−_i (1, u) = H−₃(1, u) ∀u ∈ V_i−, i = 1, 2.

Combinant ceci avec l'additivité de l'indice de point xe (1.3.3), on obtient indexH−₃(1, ·), V₃−\V₁−∪ V₂−=index(H−₃(1, ·), V₃−)

−index(H−₃(1, ·), V₁−) −index(H−₃(1, ·), V₂−) = −1.

Par conséquent, le problème (2.0.1) (2.0.2) possède au moins trois solutions u1 ∈ V1−,

u2 ∈ V2− et u3 ∈ V3−\  V− 1 ∪ V − 2 .

2.3 Autres résultats pour le problème périodique.

Si l'homéomorphisme φ n'est pas déni sur R tout entier, on peut aaiblir l'hypothèse des sous et sur-solutions de problème (2.0.1) (2.0.2).

Considérons pour chaque λ ∈ [0, 1] et i = 1, 2, 3 les familles des problèmes : (φ(u(t)))0 = λfi(t, u(t)) + (1 − λ) T Z T 0 fi(t, u(t)) dt p.p.t ∈ I, u(0) = u(T ); (2.3.1i λ)