Financement des investissements et calculs de rentabilité

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D. Babusiaux

To cite this version:

D. Babusiaux. Financement des investissements et calculs de rentabilité. [Rapport de recherche] Institut de mathématiques économiques ( IME). 1988, 28 p., ref. bib. : 25 ref. �hal-01534450�

DOCUMENT DE TRAVAIL

INSTITUT DE MATHEMATIQUES ECONOMIQUES

UNIVERSITE DE DIJON

FACULTE DE SCIENCE ECON OMIQUE ET DE GESTION

FINANCEMENT DES INVESTISSEMENTS ET CALCULS DE RENTABILITE

D. BABUSIAUX Novembre 1988

Centre d'Etudes Supérieures d'Economie et Gestion

FINANCEMENT DES INVESTISSEMENTS ET CALCULS DE RENTABILITE

D. BABUSIAUX

exposé présenté au

Colloque de l'institut de Mathématiques Economiques

DIJON

25 novembre 1988

FINANCEMENT DES INVESTISSEMENTS

ET CALCUL DE RENTABILITE

INTRODUCTION

L'objet de cet exposé est de fournir quelques éléments sur la prise en compte du financement des investissements lors des calculs de rentabilité. La première partie (section 1) sera consacrée à la comparaison des calculs de rentabilité globale et des calculs de rentabilité des capitaux propres dans le cas où l'on suppose qu'il n'y a pas de rationnement du capital.

Il s'agira d'une présentation rapide, des développements plus complets feront l'objet d'une publication ultérieure [1]. En particulier, nous ne traiterons pas ici de la méthode des Intérêts Seulement Déductibles (»Shadow interest», ou méthode d'Arditti, ou méthode du coût du capital avant impôt) qui trouve des applications dans des cas de fiscalités complexes.

Dans la deuxième partie (sections 2 et 3), nous introduirons des hypothèses de rationnement en capital. Dans un premier temps (section 2) ceci sera fait en considérant le point de vue qui correspond à celui des calculs de rentabilité globale. Nous présenterons quelques résultats relatifs aux taux d'actualisation qui peuvent être obtenus à partir des variables duales de modèles de programmation mathématique. Dans la dernière section (section 3) nous ferons intervenir des hypothèses de financement extérieur qui conduisent à raisonner sur des flux de fonds propres (point de vue de l'actionnaire).

1. RENTABILITE GLOBALE ET RENTABILITE DES CAPITAUX PROPRES Dans ce qui suit, nous considérons une entreprise qui étudie des projets d'investissement appartenant tous à une même classe de risque. Nous supposerons son ratio d'endettement stable sur la période d'étude en considérant deux sources de financement (emprunt et fonds propres) dont les coûts seront également supposés stables. L'entreprise est soumise à l'impôt sur le revenu des sociétés et présente des résultats en bénéfice sur toute la période. Le taux d’imposition sera supposé unique et constant sur la période.

Sauf mention contraire, toutes les grandeurs considérées ci-dessous (flux, coût de capital) sont supposées définies en monnaie courante pour faciliter la présentation des calculs.

1.1. Notations et formules élémentaires

a : ratio d'endettement de l’entreprise e : taux nominal des emprunts

t : taux d'imposition (lorsque celui-ci est supposé unique et constant) ê : coût après impôt des emprunts (monnaie courante)

si le taux d'imposition est constant : ê = (1 - 1) e a : coût des fonds propres

/ : coût moyen du capital après impôt / = aé + (1 - a) a

Remarquons que C.M. Linke et M.K. Kim [9] ont montré que l'utilisation d'une moyenne arithmétique pondérée est correcte dans le cas général (flux de trésorerie de l'entreprise quelconques, durée de vie finie) si le ratio d'endettement est constant pour chacune des années de la période d'étude.

N : durée de vie du projet

Fn : flux de trésorerie d'exploitation après impôt de l'année n (francs courants).

Le flux d'exploitation ne comprend aucune rentrée ou sortie de fonds relative aux emprunts. Il intègre la dépense d'impôt associée à l'exploitation du projet, le calcul du bénéfice imposable ne faisant apparaître aucune charge financière.

/„ dépense d'investissement de l'année n.

Lorque l'on supposera que la dépense d'investissement est réalisée en une seule année à l'année 0, la dépense d'investissement sera notée I.

l'année 1, ce qui permet d’écrire :

En montant de capital emprunté restant dû à l'année n. j n : intérêt des emprunts à l'année n.

Jn = eEn_ i

Le montant de capital dû En se déduit du capital dû à l'année précédente par la formule : En = (1 + e)E^x - x n

— si xn est positif, xn représente à l'année n l'annuité de remboursement (intérêt et capital).

- si xn est négatif, le montant du tirage d'emprunt de l'année n.

D„ : Flux de fonds propres à l'année n. Le flux de fonds propres intègre tous les encaissements et décaissements liés à l'emprunt.

Si le taux d'imposition est constant, la comptabilisation d'une charge d'intérêt j nà une année n entraîne un crédit d'impôt égal à tjn,soit :

D n = Fn + tjn - x n

D ^ F . - a - i i e E ^ - i E ^ - E J Dn = Fn- ( l + ê ) E ^ + E n

Remarquons que cette formulation est valable aux années d'exploitation comme aux années d'investissement au cours desquelles Fn est éventuellement négatif.

Pour un calcul de rentabilité globale, le revenu actualisé (ou valeur actuelle nette) s'écrit : N F n

R 0 = I_g

Pour un calcul de rentabilité des capitaux propres, le revenu actualisé s'écrit :

p n = o (1 + a ) n

1.2. Première comparaison des trois méthodes. Flux perpétuel constant ou

modèle à deux périodes

Nous considérons un projet dont le financement est effectué en partie par emprunt ; la part de capital emprunté est une fraction a de l'investissement initial, a étant égal au ratio d'endettement qui s'applique à l'ensemble des invetissements de l'entreprise. Le taux d'emprunt est le même pour le projet considéré et pour l'ensemble des investissements. (Le cas d'un ratio d'endettement différent pour un projet donné est étudié dans [4] et [5]).

Des résultats classiques en théorie financière, il ressort que les trois méthodes conduisent à une même décision d'acceptation ou de rejet d'un projet dans les cas suivants :

- On considère un modèle à deux périodes, une période au cours de laquelle l'investissement est réalisé, une période au cours de laquelle sont comptabilisés les recettes et dépenses d'exploitation, et éventuellement, les charges financières et le remboursement de l'emprunt ; - l'investissement est réalisé en une année, le flux d'exploitation est constant sur une période de

durée infinie, le remboursement des emprunts étant également effectué sur une période de durée infinie.

1.3. Flux et durée d'exploitation quelconques, Hypothèse 1 Hypothèses

M. Ben Horim [6] dans les deux cas particuliers cités ci-dessus, K. Boudreaux et H. Long [7] dans le cas général (flux de trésorerie quelconques, durée de vie des projets finie) ont étudié les hypothèses suivantes :

- l'investissement est réalisé en une seule année,

- le montant d'emprunt est déterminé comme égal à une fraction a fixée (ratio d'endettement de l'entreprise) non pas du seul montant d'investissement/, mais de la somme de l'investissement et du revenu actualisé,

- le montant de la dette est chaque année une fraction a de la valeur actuelle des flux de trésorerie des années suivantes (ratio d'endettement constant au cours du temps).

Ces hypothèses peuvent être justifiée par le fait que, lorsqu'un projet présente un revenu actualisé positif R, sa réalisation entraîne une augmentation de la valeur (théorique) de l’entreprise exactement égale à ce revenu actualisé. En théorie donc (en avenir certain, ou sous certaines hypothèses d'avenir incertain) si l'entreprise souhaite maintenir un ratio d'endettement constant a, elle peut emprunter non seulement a I mais a (/ + R). En effet, si elle emprunte seulement al et si la valeur des actions sur le marché augmente grâce à l'annonce de la réalisation du projet étudié, le ratio d'endettement (calculé par référence aux valeurs du marché) décroîtra au-dessous de la valeur a.

Sous ces hypothèses, K. Boudreaux et H. Long ont montré l'égalité des revenus actualisés obtenus avec un calcul de rentabilité globale classique et avec la méthode des intérêts seulement déductibles. D. Chambers, R. Harris et J. Pringle [8] ont ensuite montré l'égalité entre ces revenus actualisés et le revenu actualisé des fonds propres.

Nous reformulerons ci-dessous cette démonstration de façon à faire apparaître la valeur d'un projet comme la somme de la valeur des fonds propres et de la valeur de la dette (ce qui généralise au cas de flux quelconques sur une durée quelconque une propriété classique en théorie financière). Remarquons que ces résultats sont valables dans le cas où la dépense d'investissement est répartie sur plusieurs années.

Nous noterons :

Vn : valeur actualisée au taux / et à l'année n des flux d'exploitation F q _{postérieurs à l'année n}

N F V_., + F n.,

V = X ---q---** ^ O i n i N - l q-n* 1 ( 1 + 0 » " " 1 + 1

An : valeur actualisée au taux a et à l'année n des flux de fonds propres Dq postérieurs à l'année n N _{Dn An} + _D A = S --- -— = -Ç--- O Z n Z N - l n q = n + l ( l + i ) ^ 1 + 0 avec Dn = Fn - [1 + (1 - f)e] + En et E n = Q-Vn

A l'année N- 1 :

F n - [l + a - O e l c r t V j 4 v - i --- T T 5

---En remplaçant par (1 + i) VN_X et i par ctê + (1 - a)a, il vient : An-i = (1 - et) ^yv-i

v n- i = ^iv-i + £jv-i

La démonstration par récurrence est ensuite immédiate Vn = An + £L_{n n n}

La valeur du projet est pour une année quelconque la somme de la valeur des fonds propres (valeur actualisée au taux a des flux revenant aux actionnaires) et de la valeur de la dette.

En particulier :

V 0 = A 0 + Eq

D'où l'égalité des revenus actualisés :

Rg = Vq+Fq = A0 + F0 + E0 = Rp

Interprétation

Dans le calcul du revenu actualisé global, l'hypothèse d'un ratio d'endettement constant est implicite dans la mesure où le taux d'actualisation est défini comme une moyenne arithmétique du coût des fonds propres et du coût des emprunts. Rg est la somme qui, empruntée par un département responsable des projets à un taux égal à i (coût de cession interne du capital) en plus de la dépense d'investissement, peut être remboursée et rémunérée au taux i grâce aux revenus du projet. Emprunter Rg au taux /, c'est, implicitement, emprunter a Rg à un taux égal au coût des emprunts, et (1 - a )Rg au taux a (coûts des fonds propres). C'est donc bien en introduisant un montant total d'emprunt égal à a (/ + R) (et cette fois de façon explicite) dans un calcul de rentabilité des capitaux propres, que l'on obtiendra un même revenu actualisé Rp = Rg.

1.4. Flux et durée d'exploitation quelconques - Hypothèse 2 1 °) Hypothèse et résultat

Dans la pratique, pour une entreprise respectant sur l'ensemble de ses investissements un ratio d'endettement a, obtenir pour un projet un montant d'emprunt égal à une fraction a de la somme des coûts d'investissement et du revenu actualisé peut ne pas constituer une hypothèse réaliste, ce d'autant plus que la valeur du revenu actualisé n'est jamais certaine. Il peut donc être intéressant de comparer les résultats des deux méthodes dans le cas où la part d'emprunt pour réaliser un projet donné est égale au ratio d'endettement de l'entreprise.

Nous considérons alors les hypothèses suivantes :

- le montant d'emprunt E0 est égal à a /0. Ainsi, lorsque l'investissement est réalisé en une seule année, a est le ratio d'endettement (pour le projet) calculé en fonction des coûts (historiques) et non en fonction de la valeur théorique du projet ;

- le mode de remboursement de l'emprunt est défini de telle sorte que le ratio d'endettement du projet est constant au cours du temps ; ce ratio est calculé comme le rapport du montant d'emprunt restant dû à la valeur actuelle des flux d'exploitation futurs (valeur théorique du projet).

Les relations obtenues entre les revenus actualisés des deux méthodes sont alors : R n

g p

£ F n & F n

« = i ( l + O rt — i d + a ) n

Considérons le cas où la dépense d’investissement est effectuée en une seule année à l'année 0. Les flux d'exploitation Fn pour n > 0 sont alors généralement positifs. Les revenus actualisés seront de même signe, et les deux méthodes conduiront bien à la même décision.

Dans le cas général (investissement sur plusieurs années), ceci peut ne plus être vrai. La démonstration est donnée en annexe.

2°) Interprétation

Considérons un projet dont l'investissement est réalisé en une année, à l'année 0 (F0 = -/) et qui présente un revenu actualisé positif.

Nous remarquons en premier lieu que : a>i

entraîne :

Ceci traduit le fait que l'effet de levier (et donc le revenu actualisé des fonds propres) est inférieur, lorsque l'on emprunte al, à celui que l'on obtient en empruntant a(I+ R).

Quant à la formule elle-même, elle peut être interprétée de la façon suivante.

Soit/(0 < /< 1) un nombre tel que si l'on remplace à chaque année n le flux d'exploitation Fn par fFn le revenu actualisé global soit nul.

Considérons un projet Pf de mêmes caractéristiques que le projet initial P mais dont le flux d'exploitation à l'année n(n> 0) est/P„, le montant d'investissement, le montant d'emprunt et les modalités de remboursement étant les mêmes pour les deux projets. Le capital restant dû est alors constamment égal à une fraction de la valeur actuelle au taux i des flux d'exploitation futurs. Pour le projet Pf il s’agit d'une fraction égale à a. Pour le projet P , il s’agit d'une fraction h = a I / V 0. Or J V 0 = /, soit :

h = a f

Compe tenu des résultats du paragraphe précédent, les revenus actualisés du projet/^ correspondant aux deux méthodes sont tous les deux nuls.

Le revenu actualisé global du projet P peut alors être interprété comme une somme qui, empruntée (par le département responsable des projets au département financier) à un taux égal au taux d'actualisation i (prix de cession interne égal au coût moyen après impôt du capital) peut être remboursée et rémunérée au taux i grâce à la fraction (1 - f)Fn des flux de trésorerie Fn.

En effet, la fraction complémentaire fFn a permis de rembourser et de rémunérer l'investissement initial.

N (1 - f ) F n

R g = I

-' «=i (1 + 0"

La même interprétation peut être donnée pour le revenu actualisé des fonds propres en utilisant un taux d'actualisation égal au coût des fonds propres a.

D’où :

N (1 _{- f ) F n} Rp = _{p n * 1 (1 + à)}2 --- r

Cas particulier

Si les flux d'exploitation sont constants sur la période d'étude, la relation entre les trois revenus actualisés devient :

Ceci s’écrit :

£ 1 " 1

JT ______ £ ______

« = i ( l + / ) w — î (l+ a )n

L'annuité constante équivalente au revenu actualisé est alors la même pour chacune des deux approches. Il convient naturellement d'utiliser des taux d'actualisation définis en monnaie constante si les flux de trésorerie sont supposés constants en monnaie constante.

Remarquons par ailleurs que cette formule, plus simple que la formule générale, est assez souvent vérifiée de façon approchée pour des projets dont les flux de trésorerie ne sont pas constants au cours du temps.

1.5. Conclusion

Lorsque l'entreprise doit respecter un ratio d'endettement donné sur l'ensemble de ses investissements, c'est celui-ci qui détermine la part d'emprunt qui peut être affectée à un projet déterminé. Un calcul de rentabilité globale et un calcul de rentabilité des capitaux propres conduisent alors à préconiser la même décision, que le ratio d'endettement du projet soit défini :

- au sens de Linke et Kim (les capitaux propres étant supposés rémunérés au taux de rentabilité des capitaux propres),

- par référence à la valeur théorique du projet,

2. RATIONNEMENT DU CAPITAL GLOBAL

Au cours de cette section nous supposerons que l'entreprise dispose d'un budget limité. Le (ou les) budgets considérés sont supposés déterminés a priori, ainsi que leur financement (autofinancement, émission d'actions, emprunts). Le point de vue retenu est donc celui d'une Direction technique (rentabilité globale). Le taux d'actualisation (coût du capital) est, comme le budget, une donnée fournie par la Direction financière.

2.1. Les méthodes simplifiées

Nous ne présenterons pas en détail les méthodes simplifiées permettant de tenir compte d'un rationnement en capital, mais en rappellerons rapidement le principe et ferons une remarque sur l'interprétation des taux d'actualisation associés.

a) La première méthode consiste à déterminer une valeur du taux d'actualisation, coût de rareté du capital, qui constitue une cible économique tel que l'ensemble des projets rentables à ce taux puisse être financé avec les ressources en capital disponible.

b) La deuxième méthode conduit à utiliser un coût d'opportunité du capital par lequel il convient de multiplier chaque dépense d'investissement. Elle s'appuie sur une formulation du type :

Max I Rk k

avec Ï I k£B

où : R i est le revenu actualisé du kième projet

Ik le montant d'investissement de ce kième projet

Supposons déterminé le coefficient de Lagrange X permettant de ramener le problème posé, maximisation d'une somme de revenus actualisés sous contrainte, à un problème d'optimisation sans contrainte. Le critère qui se substitue au revenu actualisé s'écrit, pour un projet d'indice k :

L„ - R * +/*-(1 + ».) / *

Rk + Ik est la somme des flux de trésorerie postérieurs à l'année 0 actualisés. 1 + X est le coût d'opportunité du capital investi.

c) Interprétation

Notons Fn k le flux de trésorerie à l'année n d'un projet k. N F n k

Lk = I — :--- (1 +X)I

* »-1 ( 1 + 0 "

H revient au même de chercher à maximiser S Lk ou bien E L ^il + À,).

I

= ?

l + \

= 1 (1 + X.) (1 + 0”

*

« a A7

Ce critère peut être interprété en utilisant une suite de taux d'actualisation iv iN_v avec :

1 + 4 = ( 1 + X H 1 + 0

î^_j = i pour n = 2, 3, ...,N

Rechercher un coefficient X permettant de lever la contraine de disponibilité en capital revient donc à chercher la valeur du taux d'actualisation il0.

Les deux méthodes peuvent alors donner lieu à une interprétation semblable ; il s'agit dans les deux cas d'utiliser une suite de taux d'actualisation telle que l'ensemble des projets dont le revenu actualisé est positif puisse être financé au moyen du budget disponbible. Avec la deuxième méthode, seul le taux d'actualisation de l'année 1 par rapport à l'année 0 est modifié. Avec la première, tous les taux d'actualisation inw_1 sont modifiés et égaux entre eux.

2.2. Modélisation par programmation mathématique. Formulation

De nombreuses recherches ont été menées, principalement à partir des années 1960, pour étudier les problèmes de choix d'investissement en présence de rationnement de capital à l'aide de modèles de programmation mathématique.

Un des premiers modèles de choix d'investissement en présence de rationnement de capital, et auquel il est souvent fait référence est celui de Lorie et Savage [20]. Il a été reformulé en utilisant une présentation sous forme de programme linéaire par Weingartner [3].

Une première variante est relative au cas où le budget disponible pour les investissements est limité, et ceci indépendamment des encaissements réalisés. Cette variante peut être adaptée pour prendre en compte l'hypothèse d'un rationnement imposé à une division de l'entreprise. Nous nous intéresserons ici seulement à une deuxième variante, en considérant un problème de rationnement qui se pose pour l'ensemble d'une entreprise. On suppose alors que le montant de capital disponible chaque année n pour les investissements est la somme d'une disponibilité préétablie Bn et du revenu des investissements réalisés au cours des années antérieures. Les disponibilités Bn correspondent aux différentes ressources qui peuvent être dégagées indépendamment des projets étudiés (autofinancement correspondant aux invetissements antérieurs à la période d'étude et disponible après remboursement d'emprunts et versements de dividendes, emprunts, augmentations éventuelles de capital).

Le problème s'écrit :

m N F,njc

jfc=i » = o (i + o n

sous les contraintes :

-

£ ^

m nombre de projets étudiés ;

Fn jc : flux de trésorerie à l'année n d'un projet d'indice k ;

: montant d'investissement dépensé à l'année n pour réaliser un projeté.

Les premiers modèles étudiés étaient des modèles de programmation linéaire. Les projets étaient supposés indépendants et divisibles. Ces flux de trésorerie associés à un projet étant proportionnels à la fraction réalisée du projet.

Ces modèles ont été généralisés pour prendre en compte des non-linéarités, des choix binaires, des incompatibilités entre projets, des relations d'interdépendance... Ceci conduit à l'écriture d'un certain nombre de contraintes complémentaires qui ne seront pas explicitées ici. La formulation peut nécessiter l'introduction de variables entières (choix en tout ou rien). Un exemple est donné par le modèle CAPRI de la SEMA [12] qui est un modèle de programmation linéaire en variables mixtes.

Nous nous intéresserons ici seulement aux contraintes de budget. Les flux Fnk peuvent être fonctions non seulement de la taille du projet k réalisé mais également de la réalisation et de la taille des autres projets.

2.3. Utilisation des variables duales et décentralisation des décisions

Supoposons le problème global résolu par une méthode de programmation mathématique, qu'il s'agisse de programmation linéaire, non linéaire, ou de théorie du contrôle. On dispose alors des variables duales Xn associées à chacune des contraintes de budget. Il s’agit des valeurs des multiplicateurs de Lagrange qui permettent de remplacer le problème initial par un problème formulé sans contraintes de budget1).

le Lagrangien s'écrit :

Pour une décentralisation des décisions, le rationnement en capital peut être pris en compte par l'utilisation d'un coût d’opportunité égal à :

(positif ou négatif) d'une année n.

B. Coût de rareté et taux d'actualisation endogènes

Une autre interprétation, équivalente, peut être utilisée. Elle consiste à définir une suite de coefficients ou de taux d'actualisation qui correspondent à des coûts de rareté prenant en compte le rationnement en capital. Ces taux d’actualisation peuvent être qualifiés d’«endogènes».

(1) En fait, il n'y a pas équivalence stricte entre le problème initial (avec contraintes) et le problème obtenu par relaxation et utilisation des coefficients de Lagrange lorsque ces problèmes sont formulés à l'aide de la programmation linéaire. Des réserves doivent également être faites lorsque l'on utilise les multiplicateurs de Lagrange généralisés et les théorèmes d'Everett [14], [17]. Lors de l'étude de problèmes réels, les contraintes sont rarement rigides et l'équivalence stricte n'est pas indispensable.

A. Multiplicateurs de Lagrange et coût d'opportunité du capital

1 + M 1 + 0"

Le coefficient d'actualisation (endogène) d'une année p par rapport à une année n peut être défini comme égal au rapport de la valorisation marginale d'un capital disponible à l'année p à la valorisation marginale d'un capital disponible à l'année n. Or, les variables duales Xn mesurent l'accroissement de la fonction économique que permettrait la disponibilité d'un franc supplémentaire à l'année n. La valorisation marginale d'un capital disponible à l'année n est donc :

z = --- + X (1 + i)n n

En notant cnp le coefficient d'actualisation endogène de l'année n par rapport à l'année p : 1

+ X (1 + i f

l + X Q

En notant gnn+1 le taux d'actualisation endogène de l'année n + 1 par rapport à l'année n il vient : 1 , ! 1 T + l 1 Cr\ — ° 1 + So 1 + \> «+1 (1+0' 1 + C 1 _{— — + K} ( 1 + o " n

On vérifie immédiatement qu'il est bien équivalent de maximiser le Lagrangien A défini ci-dessus ou un revenu actualisé calculé avec la suite des taux d'actualisation ^ 10, gl

2

Remarquons au passage que lorsque deux contraintes de rationnement successives, relatives respectivement à une année n et une année n + 1, ne sont pas saturées, le coefficient d'actualisation endogène est égal à :

Notons enfin que les taux d'actualisation endogènes ont bien les «bonnes» propriétés que l'on attend d'un taux d'actualisation.

En effet, un projet marginal (le dernier projet retenu) est un projet dont le Lagrangien Lk est nul :

Un projet marginal, ou bien le dernier franc investi dans une gamme continue d'investissement, ont donc un revenu actualisé nul lorsque ce revenu est calculé avec les taux d'actualisation endogène. Le transfert de sommes disponibles d'une année à une autre peut donc se faire en acceptant ou rejetant des projets marginaux. Tout se passe donc comme s'il était possible d'effectuer (pour le département technique) des placements ou des prêts à un taux égal au taux d'actualisation.

2.4. Invariance de la solution optimale par rapport au taux i

Considérons le cas où les contraintes de rationnement en capital sont toutes saturées, sauf celle de la dernière année N, au cours de laquelle on peut supposer qu'il n'y a pas d'investissement. La

solution optimale (le choix et la taille des projets) est alors indépendante de la valeur du taux d'atualisation * choisie initialement. De plus, la suite des taux d'actualisation endogènes est indépendante de la valeur de i.

La justification de cette proposition est la suivante. Considérons le problème de rationnement en capital :

Considérons dans un premier temps seulement des projets qui constituent des gammes continues d'investissement indépendantes les unes des autres. Nous supposons que les flux de trésorerie Fnk sont des fonctions continues et dérivables F ^ X /J de la taille xk des projets.

Remarque. Cette formulation recouvre celle faisant appel à la programmation linéaire utilisée pour le modèle de Lotie et Savage ; pour introduire une taille de projet bornée, il suffit en effet de définir des fonctions Fnk{x^) telles que, au voisinage de la borne, le coût d'investissement croisse très rapidement, ou bien telles que les revenus chutent brutalement

Remplaçons dans la fonction objectif le critère de revenu actualisé par un critère équivalent de revenu capitalisé à la dernière année N de la période d'étude. Nous supposons de plus les contraintes de budget des N - 1 premières années saturées. Le problème s'écrit alors :

avec : F . ( x k) = Bn « = 0,1,2,...,A M (1) fc= 1 Le Lagrangien s'écrit :

A = 2 [(1 + 0 + >■„] S

Z

(2)

En dérivant par rapport à la taille xk du projet k, il vient : N -1 w dF nk dF N k

1

* + " * . 0

n=0 n fo/c tek

L'optimum est donné par le système (1) et (3) de m + N équations à m + N inconnues x \ ,

•*2» •••* ^>0’ ^1* •••> ^ N —1*

Posons 7t„= (1 + i / /_m + Xn, et remplaçons dans (3) ff-i à F ^ k àFNtk

I 1Cn -s— + -3— = 0 (4)

Le système des équations (1) et (3) est équivalent au système des équations (1) et (4). Dans l’écriture de ce dernier, le taux i n'apparaît pas. La solution optimale x*x, x*2, ..., x*m, k*0, 7c*lt • • îc*am est donc indépendante de i. La taille des projets est indépendante de i.

Compte tenu de l'interprétation économique des multiplicateurs de Lagrange et de façon semblable à ce qui a été fait au paragraphe précédent, la valorisation marginale d'un franc disponible à l'année n, en valeur capitalisée à l'année N est égale à 7tn. 7tn représente donc l'inverse du coefficient d'actualisation endogène cNn de l'année N par rapport à l'année n. La valeur à l'optimum des coefficients d'actualisation endogènes (et donc des taux d'actualisation) est indépendante de i :

c »+1 _ rc«+i

n 7C„_FK

Remarque. L'interprétation des équations (3) est alors immédiate. Elles expriment le fait que le revenu actualisé (aux taux endogènes) du dernier franc investi dans un projet k est nul. Ceci correspond bien à l'optimum du dimensionnement d'un projet lorsqu'il n'y a pas de rationnement de capital. Ici il y a rationnement de capital, mais les taux d'actualisation (endogènes) sont définis de façon que les limitations initiales ne soient pas contraignantes.

De façon plus générale, on peut avoir à considérer des projets discrets, des projets interdépendants, etc. Les hypothèses de continuité et dérivabilité peuvent ne pas être satisfaites. Il est alors possible d'utiliser des multiplicateurs de Langrange généralisés d'Everett [16]. L'écriture du Lagrangien reste dans le cas général celle de l'équation (2). Il apparaît clairement que le taux d'actualisation n'intervient que dans des termes :

7t„ = (l + if~ n+Xn

La recherche des coefficients À* permettant de lever les contraintes^) se ramène donc à la recherche des coefficients tc„, dont la valeur à l'optimum sera indépendante de i si les N - 1 contraintes de budget sont saturées. La propriété reste donc vraie dans le cas général.

2.5. Discussion, validité de l'approche

Lorsqu'il y a rationnement en capital, les coefficients d'actualisation, calculés au cout -initial- du capital, ne constituent plus des coefficients d'équivalences entre sommes d'argent disponibles à des dates différentes. En effet cette équivalence repose sur la possibilité, pour le département technique, d'emprunter (au département financier) à un taux égal au coût du capital. Cette hypothèse n'est plus vérifiée, même marginalement, lorsque les budgets sont limités. Pour de nombreux auteurs, ceci conduit à remettre en cause l'utilisation d'un critère de revenu actualisé lorsque le rationnement s'impose à l'ensemble des projets de l'entreprise.

Remarque. Pour d'autres auteurs, le coût du capital, qui inclut le coût du capital propre, tient compte des préféfences intertemporelles des actionnaires. Les possibilités d'allocation de leur consommations à différentes périodes sont données aux actionnaires par le marché des actions des entreprises de même classe de risque que l'entreprise considérée. Ils peuvent moduler leurs placements sur ce marché. Le seul taux d'actualisation valable est donc celui qui est calculé par référence au rendement du capital sur ce marché. Si les propriétaires de l'entreprise lui allouent des budget limités (en dividendes) qui ne permettent pas de réaliser tous les projets rentables au coût du capital, cela ne doit pas remettre en cause la valeur du taux d'actualisation, mais doit conduire l'entreprise à rechercher un optimum sous contraintes.

En fait, la question de la pertinence du taux d'actualisation intitial, défini comme un coût du capital, ne nous paraît pas constituer un problème réel. En effet, nous avons vu comment définir une suite de taux d'actualisation endogènes associés à un problème de maximisation de revenu actualisé sous contraintes. Les coefficients d'actualisation correspondants constituent bien comme nous l'avons vu, des coefficients d'équivalence de sommes disponibles à des dates différentes, tout au moins lorsque l'on considère des variations marginales de disponibilités en capital. Et nous avons vu qu'il était équivalent de résoudre le problème initial, maximisation d'une valeur actuelle sous contrainte, ou bien d'effectuer les calculs sans contraintes avec les taux d'actualisation endogènes.

Les deux problèmes sont équivalents : si l'on admet la pertinence de l'un, la validité de l'autre en découle.

Remarque. Les taux d'actualisation endogènes permettent une décentralisation des décisions. Ils assurent une cohérence interne aux décisions d'investissement de l'entreprise. Mais si l'on fait référence aux choix intertemporels d'un entrepreneur, les taux d'actualisation endogènes ne sont pas nécessairement égaux aux taux que l'on obtiendrait à partir des taux d'actualisation psychologiques de l'entrepreneur. En effet, limiter le budget des investissements c'est fixer a priori des choix sur les sommes allouées à la consommation de l'entrepreneur aux différentes périodes.

Sur un modèle à deux périodes tels que ceux utilisés par Hirshleiffer [18], cela signifie que le taux d'actualisation psychologique est différent du taux de rentabilité marginale. Mais c'est ce dernier qui constitue le taux d'actualisation à retenir pour une décentralisation des décisions, (cf. également [22] par exemple).

3. PROGRAMMES D'INVESTISSEMENT ET PLANS DE FINANCEMENT

Comme indiqué à la section précédente, la validité d'un critère de revenu actualisé calculé à un taux d'actualisation égal au coût du capital a été mise en cause par un certain nombre d'auteurs. Par ailleurs, une limitation de l'approche développée à la section précédente vient du fait que les budgets sont fixés a priori. La définition de ces budgets et le plan de financement peuvent ne pas être indépendants du choix des projets.

Différents auteurs ont alors proposé de construire des modèles permettant d'étudier simultanément les décisions d'investissement et les décisions de financement. Parmi ceux-ci figure le modèle CAPRI de la SEMA [12]. Nous reprendrons ici la formulation de Weingartner [3].

A . Le modèle de Weingartner. Présentation

Weingartner utilise des modèles de programmation linéaire, éventuellement en variables mixtes. Compte tenu des réserves émises sur la validité du taux d'actualisation défini comme un coût du capital, et puisque le financement constitue une inconnue, il préconise, comme les auteurs de CAPRI, d'utiliser comme critère la valeur de l'entreprise à l'année horizon (dernière année de la période d'étude). Différentes versions sont définies, en particulier suivant que l'on considère ou non plusieurs taux d'emprunt. Des taux croissants permettent en effet, selon l'auteur, de tenir compte d'un coût du risque qui s'accroît lorsque l'endettement s'accroît. Lorsqu'il y a ainsi plusieurs types d'emprunt et lorsque les projets sont indépendants et divisibles, le modèle s'écrit : m — Maximiser X Fkx k + avec : E^h£Ln,h n = 0, 1, 2, 0 1 ¿ = 1 , 2 , ...,m

Notations

xk : fraction du prosjet k réalisé (k = 1, 2,..., m) ; Fnk : flux de trésorerie à l'année n du projet k ;

Fk : valeur actuelle à l'année N des flux de trésorerie du projet k postérieurs à l'année N (y compris année N) ;

An : autofinancement disponible à l'année n et résultant des activités de l'entreprise préexistantes et indépendantes de la réalisation des projets étudies (constante) ; Mn : liquidités disponibles à l'année n pour des placements financiers ;

v : taux d'intérêt appliqué au placement des liquidités Mn ; En h : endettement à l'année n portant intérêt au taux eh ; eh : taux d'intérêt de l'emprunt d'indice h (h = 1, 2, . . q) ;

Ln h : limite imposée à l'année n à l'endettement d'indice h portant intérêt au taux eh. L'année horizon N est choisie de telle sorte que ce choix ait peu d'effets sur les décisions d'investissement à prendre au cours des années proches. L'utilisation dans la fonction économique de la valeur actualisée des flux postérieurs à l'année N peut être justifiée par le fait que le rationnement en capital devrait s’atténuer à long terme.

Un certain nombre de résultats théoriques ont été fournis par l’auteur. Nous en rappellerons deux.

Marché parfait du capital

Supposons que le taux d'intérêt soit unique et s'applique aussi bien aux placements qu'aux emprunts. Supposons de plus que l'accès à l'emprunt ne soit pas limité. Alors l'analyse du problème dual montre que les taux d'actualisation endogènes de chaque année sont égaux au taux de l'emprunt.

Cas général

Revenons au problème faisant intervenir plusieurs taux d’emprunt formulés ci-dessus. Supposons les emprunts classés par taux d'intérêt croissants. A l'optimum, le taux d'actualisation endogène d'une année est égal au taux d'intérêt du dernier emprunt utilisé lorsque le montant emprunté n'atteint pas la limite fixée pour l'année considérée.

B . Maximisation du revenu actualisé et maximisation de la valeur à l'horizon

Un projet de financement peut en fait faire l'objet de la même formulation qu'un projet d'investissement. Le problème de Weingartner formulé ci-dessus peut donc s’écrire :

m — Maximiser L Fk xk avec : m “ ^ ^n,k ^ n k= 1 0 Z x k< l

où Fn k représente maintenant le flux de trésorerie associé à un projet quelconque, qu'il s'agisse d'un projet d'investissement, d'un projet de financement (emprunt) ou de placement financier. Dans le cas d'un emprunt ou d'un placement financier, Fk correspond à une dette à rembourser ou à un solde à encaisser, produit d’un placement.

Lorsque le placement de la trésorerie à court terme est possible, il est clair que l'ensemble des contraintes sera saturé pour chacune des années 1 à N - 1.

Supposons de même que les N - 1 premières contraintes seront saturées si l'on chercher à maximiser le revenu actualisé (des fonds propres).

Le problème de maximisation de la valeur à l'horizon est alors équivalent au problème de maximisation du revenu actualisé.

En effet, il est équivalent de maximiser la valeur à l'horizon ou bien, quel que soit le taux d'actualisation a des actionnaires :

m

I F k x k

N -1 - I

k=i (1 + a f *-i (l+ a )n

puisque le deuxième terme de cette expression est une constante. Mais si toutes les contraintes sont saturées, ceci s'écrit encore :

m

I F k x k

m N — \ F . t Xl m oo F k Xl.

+ z E = 1 1

k= 1 ( 1 + a f h=\ n=0 ( 1 + a f fc=l n=0 ( 1 + à f

Nous retrouvons le résultat énoncé et démontré à la section précédente : la valeur à l’horizon étant indépendante des taux d'actualisation des années antérieures, la solution optimale est également indépendante de la valeur des taux d'actualisation des années 1 àiV.

Comme à la section précédente, une fois résolu le problème global dans ses grandes lignes, une décentralisation des décisions peut être effectuée. D suffit d'utiliser les taux d'actualisation endogènes calculés comme précédemment.

Ils permettent non seulement l'étude des décisisons d'investissement mais également celles de financement.

Remarque. A l'optimum du problème de maximisation de la valeur à l'horizon, les N - 1 contraintes sont saturées si l'on suppose qu'il y a la possibilité d'effectuer des placements d'une année sur l'autre. Ceci n'implique pas que les contraintes seront saturées à l'optimum du problème de maximisation du revenu actualisé. Les deux problèmes sont équivalents seulement si l'on peut supposer que les contraintes seront saturées à l'optimum pour chacun des problèmes pris séparément. En particulier, ils peuvent être équivalents pour certaines valeurs du taux d'actualisation (faibles valeurs) et non pour d'autres (valeurs élevées).

Conclusion

Les raisonnements précédents permettent de concilier certains points de vue qui avaient pu paraître divergents dans la littérature. En particulier, les équivalences présentées confirment la validité des approches qui s'appuient sur la maximisation d'un revenu actualisé sous contraintes

ANNEXE

Démonstration sous l'hypothèse H2 de la formule :

g p

i J ï -

i

nrnl (1 + i)n «= 1 (1 + a f

Nous remarqons que, à l’année 0, E0 = ot/0, le capital emprunté représente une fraction de la valeur du projet égale à :

_ E o _

v o v o

L'hypothèse de ratio d'endettement constant s'écrit :

En = hVn Comme: Rg = Vq- Iq (1 - a) E0 R = A0 - ( l - a ) / 0 = A0 a La relation s'écrit : E0 1 - a --- \ --- E 0 a a (Al) N F N F I " «=i (1 +/)" (1 + a f

» — --- Eh

a a

f, E n 1 - a

I — ?— I Fq

q = n+1 (1 + <? = n+l (1 + a)”"9

Rappelons que le flux de fonds propres s'écrit : D n = F n ^ ( l + ê ) E ^ l + En et: V n + F n V^i « CA2) ¿ » + A , A , = 4 — ^ (A3) »-i 1 + a

Il suffit d'utiliser la relation i = a (l - t)e + (1 - a)a pour vérifier que la relation à démontrer (Al) est vraie pour n = N -l.

Supposons-la vérfiée pour une année n quelconque. En remplaçant En par hVn, elle s'écrit :

N F aAn = ( a - h ) I --- --- + (1 -a )h V (A4) ? = «+! ( l + a f * Or d'après (A3): \ + F n ~ ( ' + ê ) E ^ + E n A - = --- ;---«-1 l + a En remplaçant : E ^ i par hV^x En par hVn

il vient :

« V , = ( « - * ) _ A _ ♦ i4 -a [ 1 + i - a d + f l V ^ ]

En remplaçant i par aê + (1 - ct)a on vérifie bien que la relation (A4) est vraie pour l’indice n - 1.

BIBLIOGRAPHIE Ouvrages :

(1) D. Babusiaux : "Décision d'investissement et calcul économique dans l'entreprise", Technip Editions, à paraître, 1989.

(2) J.C. Holl, J.P. Plas, P. Riou : "Les choix d'investissement dans l'entreprise", PUF, 1973. (3) H.M. Weingartner : "Mathematical programming and analysis of capital budgeting

problems", Practice Hall, Englewood Cliffs, 1963 (réédité Markham, Chicago, 1967, Kershaw London, 1974).

Articles : Rentabilité globale et rentabilité des capitaux propres

(4) D. Babusiaux : "Rentabilité globale, rentabilité des capitaux propres et méthodes des intérêts seulement déductibles", Revue Française de Gestion, n°13, à paraître.

(5) D. Babusiaux, J.L. Karnik : "Sur la prise en compte du mode de financement dans les calculs de rentabilité : la méthode des intérêts seulement déductibles", Revue de l'institut Français du Pétrole, Vol. 41, n°3, Mai-Juin 1986.

(6) M. Ben-Horim : "Comment on the weighted average cost of capital as a cutoff rate", Financial Management, Summer 1979.

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(9) C.M. Linke, M.K. Kim : "More on the weighted average cost of capital : comment and analysis", Journal and Financial and Quantitative Analysis, December 1974.

Articles : Rationnement de capital et modélisation

(10) M. Albouy : "Théorie financière de la firme. Séparation de l'activité financière et de l'activité technique. Incidence de la fiscalité. Stratégie financière", RAIRO Vol 10, n°2, Février 1976.

(11) M. Albouy, A. Breton : "Taux d'actualisation et modèles de croissance", Revue d'Economie Politique, 1969.

(12) J.M. Audibert, J.C. Holl, J.P. Plas : "CAPRI, un modèle de calcul de programmes d'investissement", Gestion, Juin 1968.

(13) W.J. Baumol, R.E. Quandt : "Investment and discount rates under capital rationing, a programming approach", The Economic Journal, Vol. 75, n° 298, June 1965.

(14) A. Chames, W.W. Cooper : "A note on the "Fail-Safe" properties of the generalized Lagrange Multiplier Method", Operations Research, July-August 1965.

(15) A. Chames, W.W. Cooper, M.H. Miller : "Application of linear programming to financial budgeting and the costing of funds", Journal of business, Vol. 32, n°l, January 1959.

(16) H. Everett : "Generalized Lagrange multiplier method for solving problems of optimum allocation of resources", J.O.R.S.A., Vol. 11, n°3,1963.

(17) H. Everett : "Comments on the proceeding note", Operations Research, July-August 1965. (18) J. Hishleiffer : "On the theory of optimal investment decision", Journal of Political

Economy, Vol. 66, n°5, August 1958.

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(25) G.A. Whitmore, L.R. Amey : "Capital budgeting under rationing : comments on the LUSZTIG and SCHWAB procedure", Journal of Financial and Quantitative Analysis, Vol. 8, n°l, January 1973.