Tour d’horizon sur des algèbres généralisant les octonions

Tour d’horizon sur des algèbres

généralisant les octonions

Colloque Inter’Actions : 19 – 23 mai 2014

Tour d’horizon sur des algèbres

généralisant les octonions

R C H O . . . C l3 C l4 .. . .. . O4 O5 .. . Perte de... ordre com. asso.

Cayley-Dickson

Clifford Ovsienko&

Morier-Genoud Dimension 1 2 4 8 23 24 24 25

R C H O . . . C l3 C l4 .. . .. . O4 O5 .. . Perte de... ordre com. asso.

Cayley-Dickson

Clifford Ovsienko&

Morier-Genoud Dimension 1 2 4 8 23 24 24 25

R C H O . . . C l3 C l4 .. . .. . O4 O5 .. .

Perte de... ordre com. asso.

Cayley-Dickson

Clifford Ovsienko&

Morier-Genoud Dimension 1 2 4 8 23 24 24 25

R C H O . . . C l0,3 C l0,4 .. . .. . O4 O5 .. .

Perte de... ordre com. asso.

Cayley-Dickson

Clifford Ovsienko&

Morier-Genoud Dimension 1 2 4 8 23 24 24 25

R C H O . . . C l0,3 C l0,4 .. . .. . O0,4 O0,5 .. .

Perte de... ordre com. asso.

Cayley-Dickson

Clifford Ovsienko&

Morier-Genoud Dimension 1 2 4 8 23 24 24 25

Algèbre

C l

_p,q

Définition

L’algèbreC lp,q(p + q = n ≥ 0)est une algèbre surRassociative et unitaire (l’unité est notée₁) générée par les élémentsv1, . . . , vntels que

(v_i)2=    +1 si 1 ≤ i ≤ p, −1 si p+ 1 ≤ i ≤ n, vi· vj= −vj· vi, i6= j.

Algèbre

C l

_p,q

Exemples

C l0,0' R

C l1,0' R ⊕ R et C l0,1' C

Algèbre

C l

_p,q

Théroème

Toute algèbre de Clifford est isomorphe à une algèbre de matrice à coefficients dans_R,_Cou_Hou bien à une somme directe de celles-ci.

Théroème Clp+2,q ' Clq,p⊗RCl2,0 Clp,q+2 ' Clq,p⊗RCl0,2 Clp+1,q+1 ' Clp,q⊗RCl1,1 Corollaire Clp+8,q' Clp,q+8' Clp,q⊗RMat(16, R)

Algèbre

C l

_p,q

Les éléments de base deC lp,qsont

vi1· · · vik

où1 ≤ i1< · · · < ik≤ npeuvent être codé par unn-uplet de0ou de1.

Illustration

1 ←→ (0, . . . , 0)

vi ←→ (0, . . . , 0, 1, 0 . . . , 0) = ei

Algèbre

_O

_p,q

Définition

L’ algèbre_Op,q(p + q ≥ 3)est une algèbre surRayant pour base les élémentsux,x∈ (Z2)net munie du produit

ux· uy= (−1)f(x,y)ux+y avec f_Op,q(x, y) =

_∑

1≤i<j<k≤n (xixjyk+ xiyjxk+ yixjxk) +

∑

1≤i≤j≤n xiyj+

∑

1≤i≤p xi pourx= (x1, . . . , xn),y= (y1, . . . , yn) ∈ (Z2)n. O.&M.-G.[2011]

Algèbre

_O

_p,q

Définition

L’ algèbre_Op,q(p + q ≥ 3)est une algèbre surRayant pour base les élémentsux,x∈ (Z2)net munie du produit

ux· uy= (−1)f(x,y)ux+y avec f_Op,q(x, y) =

_∑

1≤i<j<k≤n (xixjyk+ xiyjxk+ yixjxk) +

_∑

1≤i≤j≤n xiyj+

_∑

1≤i≤p xi Notation (R[Zn

Algèbre

C l

_p,q

Définition équivalente

L’ algèbreC lp,q(p + q ≥ 0)est une algèbre surRayant pour base les élémentsux,x∈ (Z2)net munie du produit

ux· uy= (−1)f(x,y)ux+y avec f_{C lp,q}(x, y) =

_∑

1≤i<j<k≤n (xixjyk+ xiyjxk+ yixjxk)+

∑

1≤i≤j≤n xiyj+

∑

1≤i≤p xi

Algèbre

_O

_p,q

Exemple (1, 1, 0) (1, 0, 0) (0, 1, 0) (1, 1, 1) (1, 0, 1) (0, 1, 1) (0, 0, 1) O0,3' O A.&M.[2000]

Algèbre

_O

_p,q

Remarques

L’unité_{1 := u(0,...,0)}

Notons|x|le poids dex∈ (Z2)n

Système de générateurs :ui= uei oùei= (0, . . . , 0, 1, 0 . . . , 0) ∈ (Z2)n

Sous algèbre associative maximaleC lp,q−1⊂ Op,q ( sélectionneruxoùx∈ (Z2)ntels que|x| ≡ 0mod2)

Résultat

Question

Existe-il unepériodicitéentre ces algèbres ?

Théorème i) _O0,n+4 ∼= O0,n ⊗C O0,5 ii) _On+4,0 ∼= On,0 ⊗R⊕R O5,0 iii) Op+2,q+2 ∼= Op,q ⊗C O2,3 ∼ = Op,q ⊗R⊕R O3,2 K. [soumis]

Résultat

Question

Existe-il unepériodicitéentre ces algèbres ?

Théorème i) _O0,n+4 ∼= O0,n ⊗C O0,5 ii) _On+4,0 ∼= On,0 ⊗R⊕R O5,0 iii) Op+2,q+2 ∼= Op,q ⊗C O2,3 ∼ = Op,q ⊗R⊕R O3,2 K. [soumis]

Résultat

Question

Existe-il unepériodicitéentre ces algèbres ?

Théorème i) _O0,n+4 ∼= O0,n ⊗C O0,5 Clp,q+2 ' Clq,p⊗RCl0,2 Clp+2,q ' Clq,p⊗RCl2,0 Clp+1,q+1 ' Clp,q⊗RCl1,1 ii) _On+4,0 ∼= On,0 ⊗R⊕R O5,0 iii) Op+2,q+2 ∼= Op,q ⊗C O2,3 ∼ = Op,q ⊗R⊕R O3,2 K. [soumis]

Forme cubique

Théorème

Dans notre cas, il existe une fonction génératrice cubique_{α : (Z2})n_{−→ Z} 2 qui caractérise complètement l’algèbre_(R[Zn₂], f )définie par

α_Op,q(x) = f_Op,q(x, x) =

_∑

1≤i<j<k≤n xixjxk+

∑

1≤i≤j≤n xixj+

∑

1≤i≤p xi M.-G.&O. [2011]

Forme cubique

Théorème

Dans notre cas, il existe une fonction génératricecubique_{α : (Z2})n_{−→ Z} 2 qui caractérise complètement l’algèbre_(R[Zn₂], f )définie par

α_Op,q(x) = f_Op,q(x, x) =

_∑

1≤i<j<k≤n xixjxk+

∑

1≤i≤j≤n xixj+

∑

1≤i≤p xi M.-G.&O. [2011]

Forme cubique

Théorème

Dans notre cas, il existe une fonction génératrice cubique_{α : (Z2})n_{−→ Z} 2 qui caractérise complètement l’algèbre_(R[Zn₂], f )définie par

α_Op,q(x) = f_Op,q(x, x) =

_∑

1≤i<j<k≤n xixjxk+

∑

1≤i≤j≤n xixj | {z } α_On(x) +

_∑

1≤i≤p xi où α_On(x) =    0si|x| ≡ 0mod4 1sinon M.-G.&O. [2011]

Forme quadratique

Dans le cas Clifford, il existe une fonction génératrice_{α : (Z2})n_{−→ Z} 2 qui caractérise complètement l’algèbre_(R[Zn₂], f )définie par

α_{C lp,q}(x) = f_{C lp,q}(x, x) =

_∑

1≤i<j<k≤n xixjxk+

∑

1≤i≤j≤n xixj | {z } α_{C ln}(x) +

_∑

1≤i≤p xi où α_{C ln}(x) =    0si|x| ≡ 0mod2 1sinon

Forme cubique

Définition

Les formes cubiquesα etα0sont équivalentes si

∃G ∈ GLn(Z2) telle que α (x) = α0(Gx).

Proposition

Si deux algèbres de groupe twistées_(K_Zn₂ , f )et_(K_Zn₂ , f0)ont des fonctions génératrices équivalentesα etα0, alors

Forme cubique et graphe triangulé

Définition α (x) =

_∑

1≤i<j<k≤n Aijkxixjxk+

∑

1≤i≤j≤n Bijxixj+

∑

1≤i≤p Cixi 1. Sixiapparait dansα (Ci= 1) ←→ •

Sixin’apparait pas dansα (Ci= 0) ←→ ◦

2. Sixixjapparait dansα(Bij= 1) ←→

Forme cubique et graphe triangulé

Exemple α (x1, x2, x3) ≡ 0 ←→ x1 x2 x3 α0,2(x1, x2) = x1x2+ x1+ x2 ←→ • • x1 x2 α0,3(x1, x2, x3) = x1x2x3+ x1x2+ x1x3+ x2x3 +x1+ x2+ x3, • • • ←→ x1 x2 x3 α1,2(x1, x2, x3) = x1x2x3+ x1x2+ x1x3+ x2x3 +x2+ x3, • • ←→ x1 x2 x3

Classification • • • ˜ α0,3 • • • • • ˜ α0,7 • • • • • • • ˜ α0,11 • • • ˜ α0,4 • • • • • ˜ α0,8 • • • • • • • ˜ α0,12 • • • ˜ α0,5 • • • • • ˜ α0,9 • • • • • • • ˜ α0,13 • • • • ˜ α0,6 • • • • • • ˜ α0,10 • • • • • • • • ˜ α0,14

(Dé)tour sur des algèbres

généralisant les octonions

Forme cubique et forme triangulée

Question ouverte

Classification des formes cubiques

"When we pass from quadratic to cubic functions, the complexity of the classification problem increases sharply."

Boolean functions in coding theory and cryptography, L., S.&Y. [2004] "With computer assist, we also determine all the cubic bent functions in 8 variables."

Cubic Bent Functions, H. [1997]

"We describe a new invariant that we have used to obtain the complete classification of the cubic forms of nine variables."

Forme cubique et forme triangulée

Question ouverte

Classification des formes cubiques

"When we pass from quadratic to cubic functions, the complexity of the classification problem increases sharply."

Boolean functions in coding theory and cryptography, L., S.&Y. [2004]

"With computer assist, we also determine all the cubic bent functions in 8 variables." Cubic Bent Functions, H. [1997]

"We describe a new invariant that we have used to obtain the complete classification of the cubic forms of nine variables."

Forme cubique et forme triangulée

Question ouverte

Classification des formes cubiques

"When we pass from quadratic to cubic functions, the complexity of the classification problem increases sharply."

Boolean functions in coding theory and cryptography, L., S.&Y. [2004] "With computer assist, we also determine all the cubic bent functions in 8 variables."

Cubic Bent Functions, H. [1997]

"We describe a new invariant that we have used to obtain the complete classification of the cubic forms of nine variables."

Forme cubique et forme triangulée

Question ouverte

Classification des formes cubiques

"When we pass from quadratic to cubic functions, the complexity of the classification problem increases sharply."

Boolean functions in coding theory and cryptography, L., S.&Y. [2004] "With computer assist, we also determine all the cubic bent functions in 8 variables."

Cubic Bent Functions, H. [1997]

"We describe a new invariant that we have used to obtain the complete classification of the cubic forms of nine variables."

Forme cubique et forme triangulée

Question ouverte Etude d’invariants

Par exemple, l’invariant de Arf ou "democratic invariant"

Question ouverte

Utiliser les propriétés des graphes pour en déduire celles des formes cubiques.

Forme cubique et forme triangulée

Question ouverte Etude d’invariants

Par exemple, l’invariant de Arf ou "democratic invariant"

Question ouverte

Utiliser les propriétés des graphes pour en déduire celles des formes cubiques.

Détour sur des algèbres

généralisant les octonions