nombres et calcul

(1)

Nombres et calcul :

Journée d’étude académique

sur l’enseignement des mathématiques dans le premier degré

Nombres et calcul :

mises en perspective

Jean-François Chesné

(2)

Préambule

1. L’enseignement des maths aujourd’hui dans le cadre de la scolarité obligatoire

2. La place du calcul 2. La place du calcul 3. L’évaluation

4. Le cadre de mon intervention

(3)

Quelques idées générales

1. Les maths et les PE

2. L’exemple de la natation 3. L’exemple du handball

4. L’importance de la maîtrise de la langue 5. La numératie chez les adultes

(4)

Quelques exemples (LOLF 3

e

)

Deux tiers de 12 font : A 24 B 4 C 8 Réponse C : 49,2 %

0,3 x 0,2 est égal à : A 0,6 B 0,006 C 0,06 0,3 x 0,2 est égal à : A 0,6 B 0,006 C 0,06 Réponse C : 45,1 %

Un volume de 2 m3 est égal à :

A 20 L B 200 L C 2 000 L

(5)

Un autre exemple (LOLF 3

e

)

Le quadrilatère ABCD est un rectangle.

En utilisant les informations données sur la figure, calculer l'aire du triangle grisé. L'aire du triangle grisé est :

A 5 cm2 _{B 6 cm}2 _{C 3 cm}2

(6)

Grandeurs et mesures

L’utilisation d’unités dans les calculs sur les grandeurs est légitime. Elle est de nature à en faciliter le contrôle et à en soutenir le sens.

Programme de 5e

Les questions de changement d’unités sont reliées à l’utilisation de la proportionnalité de préférence au recours systématique à un tableau de conversion.

(7)

Eclairages différents

et confluences

1. Les programmes actuels de l’école et du collège

2. Ma propre expérience d’enseignant 2. Ma propre expérience d’enseignant 3. Mon expérience de formateur

4. Des résultats issus de la didactique 5. Des résultats statistiques

(8)

Préambule pour le collège

(nombres et calcul)

1. Acquérir différentes manières d’écrire

des nombres

2. Se représenter la droite graduée complète

3. Poursuivre l’apprentissage du calcul sous

toutes ses formes

4. Assimiler progressivement le langage

(9)

Points abordés

1. Les nombres entiers

2. Les fractions

3. Les nombres décimaux

(10)

Item 64 Eval CM2 2010

A Cent treize mille

Ecrire en chiffres les nombres dictés

B Huit milliards quatre cents millions

(11)

L’écriture chiffrée des entiers

N° de l'item Tâche Hors ZEP

2008 ZEP 2008 MAT 051 475 93,8% 92,1% MAT 052 3003 94,5% 91,9% MAT 053 627 000 77,3% 65,9% MAT 054 1 600 000 77,2% 64,2% 11

(12)

Les « grands » nombres (2)

Combien d’utilisateurs en 2006? Hélice 6e_{, Didier, 2009}

(13)

Les « grands » nombres (1)

Quelle était à peu près la population près la population mondiale en1950?

(EN 6e 2003)

(14)

Item 74 Eval CM2 2010

A 2 fois 9 B 3 fois 4 Dictée de multiplications F 8 fois 9 G 7 fois 9 B 3 fois 4 C 5 fois 5 D 6 fois 7 E 7 fois 5 G 7 fois 9 H 7 fois 8 I 9 fois 9 J 3 fois 8

(15)

Le calcul mental automatisé

N° de l'item Tâche Hors ZEP

2008 ZEP 2008 MAT 006 6 fois 8 72,8% 61,7% MAT 007 9 fois 9 91,3% 86,9% MAT 008 ? fois 5 = 35 84,2% 79,1% MAT 009 ? fois 9 = 27 77,6% 72,1% MAT 010 ? fois 8 = 56 58,1% 45,6% 15

(16)

Item 75 Eval CM2 2010

(17)

A propos des « faits numériques »

1. Le lien avec la structure des nombres

(18)

cinq

_six

quatre

Les premiers nombres?

+ ?

(19)

Et après ?

(20)

A propos des « faits numériques »

1. Le lien avec la structure des nombres

2. Le lien avec la numération

3. Le lien avec le calcul mental réfléchi 4. Le lien avec le calcul posé

(21)

Item 80 Eval CM2 2010

39 x 57 No. de l'item Tâche Hors ZEP 2008 ZEP 2008 MAT 028 876 x 34 47,8% 37,2% MAT 029 523 x 305 54,9% 43,5% EN 6e

(22)

No. de

Tâche Hors ZEP ZEP 2008

EN 6e No. de l'item Tâche Hors ZEP 2008 ZEP 2008 MAT 073 408 : 12 55,7% 43,7%

(26)

A propos des « faits numériques »

1. Le lien avec la structure des nombres 2. Le lien avec la numération

5. Le lien avec la résolution de problèmes

(27)

Une étude sur 20 ans

(28)

Une étude sur 20 ans

(29)

Une étude sur 20 ans

2007 : 45,0 %

(30)

The logic of oral multiplication

R: I want 10 coconuts (35 Cruzeiros each)

M: 3 would be 105; with 3 more, that will be 210. I need 4 more. That is…315…I think it is 350.

think it is 350.

(Terezinha Nunes)

(31)

A propos des « faits numériques »

1. Le lien avec la structure des nombres 2. Le lien avec la numération

5. Le lien avec la résolution de problèmes

(32)

2 fois 4

1 fois 4

2 fois 4 = 4 fois 2 ?

4 fois 2

+

32

(33)

Même en lignes et en colonnes

(34)

Premières conclusions

La distinction chiffres/nombres est une histoire de contenu et pas

seulement de vocabulaire.

Le travail de mémorisation des faits Le travail de mémorisation des faits

numériques est fondamental.

La nature du travail effectué sur la multiplication est sans doute

(35)

Avant de passer aux

nombres décimaux …

MaPaKettleMath.wmv

(36)

Item 65 Eval CM2 2010

D Dix-huit unités et trois centièmes

Ecrire en chiffres les nombres dictés

centièmes

E Vingt-cinq centièmes

(37)

Item 66 Eval CM2 2010

(38)

Item 67 Eval CM2 2010

(39)

Item 41 E. N. Entrée en 6

e

2008

Hors ZEP : 54,9% ZEP : 44,9 %

(40)

Item 80 E. N. Entrée en 6

e

2008

Hors ZEP : 51,8 % ZEP : 36,1 %

(41)

Item 39 E. N. Entrée en 6

e

2008

Hors ZEP : 50,9% ZEP : 35,0 %

(42)

Item 68 Eval CM2 2010

(43)

Item 101 E. N. Entrée en 6

e

2008

43

Hors ZEP : 28,6 % ZEP : 14,9 %

(44)

Quelques pistes d’enseignement

L’introduction des fractions précède celle des nombres décimaux.(CM1)

(45)

A propos des « fractions »

Programme de CM1 :

Nommer les fractions simples et décimales en utilisant le vocabulaire : demi, tiers, quart,

dixième, centième.

Programme de sixième :

À l'école élémentaire, l'écriture fractionnaire est introduite en référence au partage d'une unité. Par exemple 7/3 est « 7 fois un tiers ».

(46)

segment de longueur 1 unité

primaire

école

l

à '

3

4

46

(47)

segment de longueur 1 unité

primaire

Du partage au quotient

Programme de CM1 : Utiliser les fractions

ou

longueur = "quatre tiers de 1 unité"

(60)

Quelques pistes d’enseignement

L’introduction des fractions précède celle des nombres décimaux. (CM1)

Les désignations orales ou littérales ne doivent pas disparaître de façon prématurée.

(61)

Quelques pistes d’enseignement

L’introduction des fractions précède celle des nombres décimaux. (CM1)

Les désignations orales ou littérales ne doivent pas disparaître de façon prématurée.

L’écriture décimale (à virgule) est plus L’écriture décimale (à virgule) est plus

économique, mais s’accompagne d’une perte de sens. (Ex : 0,3 x 5 = 0,15)

Le passage d’une écriture à une autre est essentiel.

(62)

VRAI ou FAUX ?

A. 12,65 a pour partie entière 12 et pour partie décimale 65.

B. Dans 7,38 le nombre de centièmes est 8. C. Dans 2,4 le chiffre 4 vaut 2 fois le chiffre 2. D. 43/10 = 4,3 car quand on divise par 10, on décale la virgule de 1 rang vers la gauche .

(63)

Tout est FAUX !

A. 12,65 = 12 + 65/100 et a 12 pour partie

entière et 65 centièmes pour partie décimale.

B. 7,38 = 738 centièmes.

C. Dans 2,4 le chiffre 2 vaut 2 unités ou 20 dixièmes, et vaut donc 5 fois le chiffre 4.

D. 43/10 = 40 dixièmes + 3 dixièmes, soit 4 unités et 3 dixièmes .

B. 7,38 = 738 centièmes.

(64)

Quelques pistes d’enseignement

L’introduction des fractions précède celle des

nombres décimaux. (CM1)

Les désignations orales ou littérales ne doivent pas disparaître de façon prématurée.

L’écriture décimale (à virgule) est plus L’écriture décimale (à virgule) est plus

économique, mais s’accompagne d’une perte de sens. (Ex : 0,3 x 5 = 0,15)