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Academic year: 2021

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Texte intégral

(1)

Introduction

MTH8415

S. Le Digabel, Polytechnique Montr´eal

H2020

(2)

Plan

1. Introduction

2. Exemples de probl`emes

3. Algorithmes

(3)

1. Introduction

2. Exemples de probl`emes 3. Algorithmes

(4)

Termes importants du cours

I Recherche op´erationnelle (RO) : Ensemble de techniques math´ematiques appliqu´ees `a la mod´elisation, l’optimisation et l’analyse d’un processus

I Mod´elisation I Optimisation :

I Continue I Lin´eaire(OL) I Non lin´eaire(ONL) I Combinatoire (OC) I Ennombres entiers(ONE)

I Th´eorie des Graphes:

I Cheminements optimaux I Flots.

(5)

Probl`

eme d’optimisation

L’optimisationest un domaine qui ´etudie les probl`emes de la forme min

x∈X{f (x) : x ∈ Ω}

o`u

I X est un ensemble de dimension n :

Les variables d’optimisation

I Ω ⊆ X est l’ensemble des solutions r´ealisables : Les contraintes

(6)

Mod`

ele d’optimisation

I Pour un probl`eme donn´e, l’expression de f , X et Ω permet d’obtenir un mod`ele d’optimisation

I Optimisation continue (OL et ONL) : X = Rn

I OC : X est un ensemblediscret

I ONE : X = Zn ou Nn ou {0, 1}n

I En th´eorie des graphes, il n’est pas forc´ement n´ecessaire d’exprimer un mod`ele d’optimisation. On se sert directement d’un graphepour repr´esenter le probl`eme

(7)

Mod`

ele d’optimisation (continue) non lin´

eaire

min x∈X =Rnf (x) s.c.            g1(x) ≤ 0 g2(x) ≤ 0 . . . gm(x) ≤ 0 ` ≤ x ≤ u

I f : Rn→ R diff´erentiable : Fonction objectif

I gi(x) ≤ 0, i ∈ {1, 2, . . . , m} : Contraintes

I gi : Rn→ R diff´erentiable, i ∈ {1, 2, . . . , m} : Membres de

gauche des contraintes

I `, u ∈ Rn:Bornes sur les variables x. Peuvent ˆetre ±∞ I Ω = {x ∈ Rn: gi(x) ≤ 0 ∀i ∈ {1, 2, . . . , m}, ` ≤ x ≤ u}

(8)

Mod`

ele d’optimisation lin´

eaire (forme standard)

max x∈Rn f (x) = n P j=1 cjxj s.c.    n P j=1 aijxj ≤ bi i ∈ {1, 2, . . . , m} xj ≥ 0 j ∈ {1, 2, . . . , n}

Peut ˆetre exprim´e de fa¸con matricielle : max x∈Rn f (x) = c >x s.c.  Ax ≤ b x ≥ 0

(9)

Notes

I Fonction objectif (pas objective)

I Optimisation et pas programmation

I min et max sont ´equivalents

I Contraintes ´egalit´e (=) et contraintes in´egalit´e (≤ et ≥). On peut transformer des ´egalit´es en in´egalit´es et vice-versa

(10)

Optimisation combinatoire (OC)

L’ONE et la th´eorie des graphes sont de l’OC.

I En th´eorie, une solution optimale peut ˆetre obtenue en ´

enum´erant toutes les solutions r´ealisables et en conservant la meilleure. En pratique, ce proc´ed´e est trop long.

I Pour les probl`emes faciles, une r´esolution exacte en un temps court est envisageable.

I Un grand nombre de probl`emes sont difficiles. Des solutions exactes sont envisageables, mais dans un d´elai acceptable, on se contentera de solutions approch´ees obtenues par des m´ethodes heuristiques.

(11)

Termes importants

I Optimumlocal vsglobal. I Algorithme exactvsheuristique.

I En OL, on aura un optimum global.

I En ONL, la plupart du temps, un optimum local, et si le probl`eme est convexe, on aura un optimum global.

I En OC, on aura soit une solution exacte (=un optimum

global), soit un optimum local qui d´epend d’un voisinage, ou alors une solution heuristique.

(12)

Extensions

I Optimisation sans d´eriv´ees I Optimisation multiobjectifs I Optimisation multi-niveaux I Optimisation stochastique I Optimisation robuste I Optimisation conique . . .

(13)
(14)

1. Introduction

2. Exemples de probl`emes

3. Algorithmes 4. Documentation

(15)

Probl`

eme v.s. Instance

I Unprobl`emecorrespond au mod`ele min

x∈X{fa(x) : x ∈ Ωa}

dans lequel a est un ensemble deparam`etresnon d´etermin´e (c’est le cas g´en´eral)

I Uneinstance du probl`eme est une formulation du mod`ele dans laquelle aest d´etermin´e (c’est un cas particulier)

I En pratique, on con¸coit souvent des algorithmes pour des probl`emes, qu’on teste sur plusieurs instances

I On peut aussi s’int´eresser `a une seule instance ou a une famille d’instances particuli`eres. Dans ce cas on concevra une m´ethode plus sp´ecialis´ee

(16)

Voyageur de commerce (TSP)

Un voyageur de commerce doit visiter un certain nombre de villes, et chaque ville une et une seule fois. ´Etant donn´e des distances entre chaque paire de villes, il doit minimiser la distance totale parcourue

(17)

Probl`

eme d’affectation

I n tˆaches `a affecter `a n machines de telle sorte que chaque machine soit affect´ee `a une seule tˆache et chaque tˆache soit affect´ee `a une seule machine

I Le coˆut d’affecter la tˆache j `a la machine i est cij

I L’objectif est de minimiser la somme des coˆuts

I Ω est l’ensemble de toutes les affectations possibles des n tˆaches aux n machines. Il y en a n!

I Mod`ele en variables binaires : min x∈X={0,1}n2 f (x) = n X i=1 n X j=1 cijxij

sujet aux 2n contraintes

 Pn

j=1xij = 1, i = 1, 2, . . . , n

Pn

i=1xij = 1, j = 1, 2, . . . , n

(18)

Liste non exhaustive de probl`

emes et applications

I OC (th´eorie des graphes et ONE) :

I Coloration de graphes I Routage I Satisfaisabilit´e I Classification I Horaires I etc.

I ONL : G´enie chimique, g´enie industriel, g´enie m´ecanique, estimation de param`etres, apprentissage machine, etc. I OL : Applications dans quasiment tous les domaines

(transport, ´energie, planification, production, distribution, t´el´ecommunications, finance, etc.)

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1. Introduction

2. Exemples de probl`emes

3. Algorithmes

(20)

Algorithme

Un algorithme est la description d’une s´equences d’instructions `a entreprendre afin de r´esoudre un probl`eme. Par exemple :

(21)

Il faut choisir un algorithme selon les exigences sur laqualit´e de la solutionet le temps de calcul. Ces objectifs sont souvent

contradictoires.

I Algorithmes exacts: garantissent une solution optimale globale mais peuvent ˆetre tr`es longs si le probl`eme est difficile.

I S´eparation et ´evaluation (branch and bound) pour l’ONE. I Le simplexe pour l’OL.

I Programmation dynamique.

I Algorithmes locaux : garantissent une solution locale.

I M´ethodes de descente (OC et ONL). I Gradient / Newton pour l’ONL.

I Heuristiques et m´etaheuristiques: tr`es peu de garanties sur la qualit´e de la solution, mais convergent rapidement.

I Algorithme glouton.

I Recherche tabou, `a voisinages variables (VNS). I Algorithmes g´en´etiques.

(22)

1. Introduction

2. Exemples de probl`emes 3. Algorithmes

(23)

Liste non exhaustive de r´

ef´

erences

I OL : V. Chv´atal, Linear programming, 1983

I OL et ONL : D.G. Luenberger et Y. Ye, Linear and Nonlinear Programming, 2016

I Graphes et r´eseaux : R.K. Ahuja, T.L. Magnanti, et J.B. Orlin, Network Flows : Theory, Algorithms, and Applications, 1993 I G´en´eral : D. de Werra, T.-M. Liebling, et J.-F. Hˆeche,

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