2012-2013

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ISA BTP, 2◦ann´ee ANN ´EE UNIVERSITAIRE 2012-2013

CONTR ˆOLE CONTINU

S´eries num´eriques

Dur´ee : 1h30 Les calculatrices sont autoris´ees.

Tous les exercices sont ind´ependants.

Il sera tenu compte de la r´edaction et de la pr´esentation.

Exercice 1 On considère les séries (Sn) et (Tn) définies par

∀n ∈ N, Sn= n X k=0 cos(k) 2k et Tn= n X k=0 sin(k) 2k .

1. Montrer que les deux s´eries (Sn) et (Tn) sont convergentes (on pourra majorer les valeurs

absolues de leurs termes généraux pour se ramener à une série géométrique convergente). On note S et T leurs sommes respectives :

S = ∞ X n=0 cos(n) 2n T = ∞ X n=0 sin(n) 2n .

2. On considère maintenant la série complexe (Wn) définie par

∀n ∈ N, Wn = Sn + i.Tn.

(a) Montrer que la s´erie (Wn) converge et que sa somme W v´erifie W = S + i.T .

(b) Montrer que (Wn) est une série géométrique dont la raison q complexe vérifie |q| < 1

(on rappelle que pour tout θ ∈ R, on a cos(θ) + i sin(θ) = eiθ). (c) Montrer que

W = 2

2 − ei.

(d) En d´eduire les valeurs de S et T .

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Exercice 2 Soit S la série entière définie par S(x) = ∞ X n=0 3n_xn n! . 1. Montrer que S(x) existe pour tout x ∈ R.

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2. Montrer que S(x) est l’unique solution du probl`eme diff´erentiel y0_{− 3y = 0}

y(0) = 1

3. Résoudre ce problème différentiel et en déduire S(x) sous forme explicite.

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Exercice 3 1. Rappeler le développement en série entière de la fonction

u 7−→ 1

1 − u et pr´eciser son rayon de convergence R.

2. En déduire le développement en série entière de la fonction u 7→ ln(1 + u) et préciser son rayon de convergence R. 3. Montrer que ∀x ∈ [−R, R], ln(1 + x2) = − ∞ X n=1 (−1)n n x 2n_.

On détaillera les arguments permettant d’inclure −R et R dans le domaine de définition. 4. En déduire ln 2 sous la forme d’une série alternée (Sn).

5. Pour quelle valeur de n la somme partielle Sn donne-t-elle une valeur approch´ee de ln 2

`

a 10−2 pr`es ?

? ? ?

(3)

CORRECTION

Exercice 1 : 1. Pour tout n ∈ N, on a cos(n) 2n 6 1 2 n et sin(n) 2n 6 1 2 n

Les termes généraux des séries (Sn) et (Tn) sont donc majorées par le terme général d’une

série géométrique convergente (car 1₂ < 1), donc elles convergent.

2. (a) Puisque Wn = Sn + i.Tn, en passant à la limite n → +∞ dans cette égalité, on

obtient W = S + i.T . (b) ∀n ∈ N, Wn = Sn+ i.T n = n X k=0 cos(k) 2k + i n X k=0 sin(k) 2k = n X k=0 cos(k) + i sin(k) 2k = n X k=0 ei 2 k

(Wn) est bien une série géométrique de raison q = e

i

2 et dont le module vaut |q| = 1 2 < 1.

(c) La s´erie (Wn) converge donc vers

W = 1

1 −e₂i = 2 2 − ei.

(d) S et T sont respectivement la partie r´eelle et la partie imaginaire de W . En multi-pliant le d´enominateur 2 − ei _{= 2 − cos(1) − i sin(1) par sa quantit´}_{e conjugu´}_{ee, on}

obtient W sous forme cart´esienne et l’on trouve S = 4 − 2 cos(1) 5 − 4 cos(1) et T = 2 sin(1) 5 − 4 cos(1). ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Exercice 2 :

1. On applique le critère de d’Alembert au terme général un(x) = 3n_|x|n n! : un+1 un = 3 n+1_|x|n+1 (n + 1)! . n! 3n_|x|n = 3|x| n + 1 −→ 0

Cette limite ´etant < 1 quelque soit x, la s´erieP un(x) est convergente quelque soit x ∈ R.

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2. Comme toute série entière, la somme S(x) est dérivable sur son intervalle de définition et ∀x ∈ R, S0(x) = ∞ X n=1 3n n!nx n−1 = 3 ∞ X n=1 3n−1_xn−1 (n − 1)! = 3 ∞ X n=0 3n_xn n! = 3S(x) De plus, puisque S(x) = 1 + 3x + 9x₂2 + . . . , on a S(0) = 1 + 3.0 + 9.0 2 2 + . . . = 1. S est donc l’unique solution du problème différentiel proposé.

3. L’équation différentielle y0 − 3y = 0 est une équation linéaire d’ordre 1 à coefficients constants dont les solutions sont de la forme x 7→ λe3x _{pour λ ∈ R. D’autre part, l’unique}

fonction de ce type v´erifiant la condition y(0) = 1 est donn´ee par λ = 1. Ainsi,

∀x ∈ R, S(x) = e3x. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Exercice 3 :

1. D’après la formule donnant la somme des termes d’une suite géométrique, on a 1 1 − u = ∞ X n=0 un

et la s´erie ainsi obtenue a pour rayon de convergence R = 1.

2. En intégrant la formule précédente, on obtient le développement de ln(1 − u) en série entière : ∀u ∈] − 1, 1[, ln(1 − u) = − ∞ X n=0 un+1 n + 1 = − ∞ X n=1 un n . puis celui de ln(1 + u) : ∀u ∈] − 1, 1[, ln(1 + u) = − ∞ X n=0 (−u)n+1 n + 1 = − ∞ X n=1 (−1)nun n .

3. En posant u = x2 _{dans la formule pr´}_ec´_{edente, on obtient :}

∀x ∈] − 1, 1[, ln(1 + x2) = −

∞

X(−1)nx2n

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Pour inclure les valeurs ±1 dans l’intervalle de convergence, il faut ´etudier la convergence des s´eries P(−1)n+1(±1)2n

n =

P(−1)n+1

n . On peut rapidement montrer qu’il s’agit `a chaque

fois d’une série alternée convergente. La somme définie plus haut reste donc valable en x = ±1.

4. En posant x = 1 dans l’´egalit´e (∗), on obtient

ln 2 = − ∞ X n=1 (−1)n n .

5. Il s’agit ici d’une série alternée. Son reste Rn est donc majoré par son terme général :

∀n ∈ N∗, |Rn| 6 1 n + 1 . Or la somme partielle Sn = − n X k=1 (−1)n

n est une valeur approch´ee de ln 2 `a 10

−2 _pr`_{es si}

le reste Rn est plus petit que 10−2. Il suffit donc pour cela que n + 1 > 100, autrement

dit n > 100.

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