Quantification de l'amortissement visqueux élastique des piles en béton armé des ponts routiers québécois

(1)

(2)

(3)

UNIVERSITÉ DE SHERBROOKE

Faculté de génie

Département de génie civil

QUANTIFICATION DE

L'AMORTISSEMENT VISQUEUX

ÉLASTIQUE DES PILES EN BÉTON

ARMÉ DES PONTS ROUTIERS

QUÉBÉCOIS

Mémoire de maîtrise

Spécialité : génie civil

François DALLAIRE

Jury : Nathalie ROY (codirectrice)

Jean PROULX (codirecteur)

Najib BOUAANANI (correcteur externe)

Charles-Philippe LAMARCHE (rapporteur)

(4)

(5)

À mes collègues, qui ont fait de mon séjour à Sherbrooke une étape signicative.

(6)

(7)

RÉSUMÉ

Le dimensionnement des ponts et viaducs au Canada se base sur la norme CAN/CSA-S6-14. Pour le calcul de ces structures sous des charges extrêmes, des cartes d'aléa sismique sont produites par la Commission géologique du Canada selon un taux d'amortissement de 5 %. La norme propose des taux d'amortissement visqueux élastique de 2 % pour le béton et de 1 % pour l'acier. Un nouveau facteur de correction selon l'amortissement est mentionné dans cette norme pour modier les spectres de réponse provenant des cartes sismiques. Plusieurs études sur des ouvrages d'art quantient les taux d'amortissement visqueux élastique entre 1 % et 2 %, conrmant ainsi qu'il est nécessaire d'utiliser un facteur de correction des spectres pour éviter une sous-évaluation des déplacements au niveau du tablier.

Le projet de recherche consiste à quantier le taux d'amortissement visqueux élastique des ponts routiers grâce à des essais in situ sur des ouvrages du Québec. Les essais débutent avec l'acquisition de données à l'aide d'accéléromètres alors que le pont est sous vibrations ambiantes. Une fois les propriétés modales extraites, un essai sous vibrations forcées par balayage des fréquences est eectué, en ciblant les fréquences propres. L'interprétation de la réponse de la structure à ce dernier essai permet de trouver précisément l'amortissement. Une étude paramétrique sur le logiciel OpenSees est aussi eectuée pour évaluer l'impact de la variation du taux d'amortissement utilisé sur les déplacements du tablier lors d'un séisme.

Les résultats démontrent que le taux d'amortissement visqueux élastique peut être aussi bas que 1 %, ce qui peut doubler la réponse en déplacements aux joints d'un pont par rapport à une analyse avec 5 % d'amortissement. Le mémoire cherche à clarier l'utilisation de la norme S6-14, à démontrer l'importance d'utiliser un bon taux d'amortissement et à encourager l'utilisation d'un facteur de correction des spectres adéquat pour calculer la réponse sismique des ponts routiers québécois et canadiens. Des recommandations sont proposées dans ce sens.

Mots-clés : Amortissement visqueux élastique, piles de pont, dynamique, vibrations am-biantes, vibrations forcées, calculs parasismiques, réponse sismique

(8)

(9)

REMERCIEMENTS

Ce projet de recherche n'aurait pas été possible sans Silvain Bouchard de Transport Qué-bec, qui a permis la réalisation des essais de vibrations, notamment en permettant la fermeture des ponts de nuit.

Je souligne l'excellent travail de Jeason Desmarais, technicien à l'université et pièce maî-tresse du bon déroulement des essais.

Je remercie mes codirecteurs de recherche de m'avoir oert cette opportunité à fortes retombées.

Je salue Xavier Robert-Veillette pour avoir communiquer ses résultats, ses apprentissages, et avoir démontrer son soutient jusqu'à la n.

Finalement, je n'oublierai jamais la délité de mes collègues et amis, qui ont donné de leur temps pour les essais in situ : Audrey Rouleau-Turcotte, Andréa Cheney, Antoine Langlais-Riou, Marc-Antoine Laplante, Jonatan Beauchamp, Daniel Robillard et Michael Guérin.

(10)

(11)

TABLE DES MATIÈRES

1 INTRODUCTION 1

1.1 Contexte québécois . . . 1

1.2 Importance du dimensionnement parasismique . . . 2

1.3 Objectif de recherche . . . 4 1.3.1 Impact . . . 4 1.3.2 Plan du document . . . 5 2 ÉTAT DE L'ART 7 2.1 L'amortissement . . . 7 2.1.1 Taux d'amortissement . . . 8 2.1.2 Amortissement interne . . . 8

2.1.3 Amortissement dans les structures . . . 11

2.2 Amortissement dans les normes de ponts . . . 13

2.2.1 Norme canadienne (CAN/CSA S6-14) . . . 13

2.2.2 Norme étasunienne (LRFD Bridge Design Specications) . . . 14

2.2.3 Norme européenne (Eurocode 8) . . . 15

2.3 Facteurs de correction des spectres . . . 16

2.3.1 Facteurs de correction généraux . . . 16

2.3.2 Comparaison des facteurs . . . 19

2.3.3 Facteurs de correction analytiques . . . 20

2.3.4 Facteurs de correction d'Atkinson et Pierre . . . 22

2.4 Essais dynamiques in situ . . . 23

2.4.1 Vibrations ambiantes . . . 24

2.4.2 Vibrations forcées harmoniques . . . 25

2.4.3 Publications pertinentes d'essais in situ . . . 26

2.4.4 Synthèse des valeurs expérimentales du taux d'amortissement . . . 32

3 PROBLÉMATIQUE ET MÉTHODOLOGIE 35 3.1 Problématique . . . 35

3.2 Méthodologie . . . 36

3.2.1 Méthodologie expérimentale . . . 36

3.2.2 Méthodologie analytique . . . 39

3.2.3 Quantité d'analyses à réaliser . . . 43

4 ARTICLE SUR LES ESSAIS PAR VIBRATIONS 45 4.1 Introduction . . . 49 4.2 Selected bridges . . . 50 4.2.1 Bridge 1 . . . 50 4.2.2 Bridge 2 . . . 51 4.2.3 Bridge 3 . . . 51 4.3 Tests Setups . . . 52 v

(12)

4.3.1 Ambient Vibrations . . . 52 4.3.2 ForcedVibrations . . . 53 4.4 Results . . . 54 4.4.1 Results Comparison . . . 65 4.5 Model calibration . . . 66 4.6 Conclusion . . . 68

5 CRÉATION ET CALIBRAGE DES MODÈLES OPENSEES 73 5.1 Modèles OpenSees . . . 73 5.1.1 Éléments de pile . . . 74 5.1.2 Matériaux de colonne . . . 75 5.1.3 Éléments de fondation . . . 76 5.1.4 Élément d'appui . . . 77 5.1.5 Éléments de tablier . . . 77 5.1.6 Éléments de culée . . . 78 5.1.7 Masses réparties . . . 78 5.2 Calibrage . . . 79

5.2.1 Données dynamiques à utiliser pour le calibrage . . . 79

5.2.2 Paramètres du calibrage . . . 80

5.2.3 Résultats du calibrage . . . 81

5.3 Synthèse . . . 86

6 ANALYSES ET RÉSULTATS 87 6.1 Facteur d'élancement des piles . . . 87

6.2 Étapes des analyses . . . 88

6.2.1 Analyses statiques linéaires . . . 89

6.2.2 Analyses statiques non linéaires . . . 90

6.2.3 Analyses temporelles non linéaires . . . 94

6.3 Résultats . . . 95

6.3.1 Résultats pour le pont de Magog . . . 96

6.3.2 Résultats pour le pont de Melbourne . . . 101

6.3.3 Résultats combinés . . . 109

6.4 Retour sur les résultats . . . 113

7 CONCLUSION 115 7.1 Amortissement visqueux . . . 115

7.2 Essais dynamiques . . . 116

7.3 Modélisation numérique des ouvrages . . . 117

7.4 Résultats d'analyses . . . 118

7.5 Recommandations . . . 120

(13)

LISTE DES FIGURES

2.1 Réponse dans le temps d'un système élémentaire . . . 8

2.2 Comparaison de diérents taux d'amortissement . . . 8

2.3 Dissipation d'énergie par cycle de chargement pour un matériau (a)linéaire et (b)non linéaire . . . 10

2.4 Facteurs de correction des spectres RA ou RD selon l'amortissement . . . . 20

2.5 Facteurs de correction des spectres RA ou RD selon l'amortissement, en fonction de la fréquence . . . 23

2.6 Démonstration graphique de la méthode des demi-puissances . . . 27

3.1 Spectres de dimensionnement et pseudo spectres des séismes synthétiques pour Sherbrooke . . . 42

3.2 Spectres de dimensionnement et pseudo spectres des séismes synthétiques pour La Malbaie . . . 42

4.1 Bridge 1, over future Highway, built in 2011 . . . 50

4.2 General dimensions of Bridge 1 (dimensions in meters) . . . 50

4.3 Bridge 2, over four lane highway, built in 2010 (looking West) . . . 51

4.5 Bridge 3, over four lane highway, built in 1977 . . . 52

4.7 Conguration of ambient vibration tests for (a)Bridge 1 ; and (b)Bridges 2 and 3 . . . 53

4.8 Conguration of forced vibration tests for Bridge 1 to Bridge 3 . . . 54

4.9 FDD results Bridge 1 . . . 57

4.10 Mode shapes obtained with ambient vibration tests Bridge 1 . . . 57

4.11 Frequency responses obtained from forced vibration tests Bridge 1 (shaker acting in the horizontal, transverse direction only) . . . 58

4.14 Frequency responses obtained from forced vibration tests Bridge 2 : ver-tical excitation . . . 61

4.15 Frequency responses obtained from forced vibration tests Bridge 2 : hori-zontal, transverse excitation . . . 62

4.18 Frequency responses obtained from forced vibration tests Bridge 3 (shaker acting in the vertical direction only) . . . 65

5.1 Déformées modales obtenues avec OpenSees : Magog . . . 82

5.2 Déformées modales obtenues avec OpenSees : Melbourne . . . 85

6.1 Exemple d'un diagramme moment-courbure et de sa linéarisation . . . 89 vii

(14)

6.2 Exemple d'un diagramme force-déplacement avec bilinéarisations . . . 93

6.3 Exemple d'un diagramme A-D avec plusieurs spectres inélastiques . . . 93

6.4 Pont de Magog, transversal, séisme La Malbaie 1/1000, L/D = 2,67 . . . . 97

6.5 Pont de Magog, transversal, séisme Sherbrooke 1/2475, L/D = 2,67 . . . . 97

6.6 Pont de Magog, transversal, séisme La Malbaie 1/1000, L/D = 4 . . . 98

6.7 Pont de Magog, transversal, séisme Sherbrooke 1/2475, L/D = 4 . . . 98

6.12 Pont de Melbourne, transversal, séisme La Malbaie 1/1000, L/D = 4 . . . 102

6.13 Pont de Melbourne, transversal, séisme Sherbrooke 1/2475, L/D = 4 . . . 102

6.18 Pont de Melbourne, longitudinal, séisme La Malbaie 1/1000, L/D = 4 . . . 106

6.19 Pont de Melbourne, longitudinal, séisme Sherbrooke 1/2475, L/D = 4 . . . 106

6.24 Écart de la réponse en fonction de la période pour ξ = 5 % . . . 111

(15)

LISTE DES TABLEAUX

2.1 Taux d'amortissement proposés par les diérentes normes . . . 16

2.2 Ratios moyens RSA selon un taux de 5 % d'amortissement . . . 22

2.3 Tableau récapitulatif des essais expérimentaux . . . 34

3.1 Recensement du nombre d'analyses . . . 43

4.1 Comparison of ambient and forced vibration test results : Bridge 1 . . . 56

4.4 Comparison of experimental and numerical results . . . 67

5.1 Provenance des fréquences et déformées modales pour le calibrage . . . 80

5.2 Comparaison et masses modales eectives du calibrage : Magog . . . 83

5.3 Fréquences et masses modales eectives corrigées : Magog . . . 84

5.4 Comparaison et masses modales eectives du calibrage : Melbourne . . . . 86

6.1 Variation de la fréquence naturelle selon l'élancement des piles . . . 88

6.2 Périodes et facteurs de déplacement généralisé pour chaque modèle . . . . 94

A.1 Données climatiques lors de essais in situ . . . 123

(16)

(17)

LISTE DES SYMBOLES

Symbole Dénition

A Accélération généralisé

Ag Aire brute de la poutre, incluant la dalle

Ay Accélération au point de plastication

b Exposant de raidissement non linéaire en traction dans le béton

C Matrice des coecients d'amortissement

CR Ratio de déformation inélastique

c Coecient d'amortissement nodal

ccr Coecient d'amortissement nodal critique

cR₁ Premier paramètre du comportement hystérétique de l'acier

cR₂ Deuxième paramètre du comportement hystérétique de l'acier

D Dimension de la pile dans l'axe de calcul (Chapitre 3)

D Déplacement généralisé (Chapitre 6)

ddb Diamètre des barres d'armature

Ec Module élastique du béton

ED Énergie dissipée par amortissement dans un cycle

(EI)e Rigidité sectionnelle eective de la poutre

(EI)g Rigidité sectionnelle brute de la poutre

F Force totale externe à un système (Chapitre 2)

F Force de cisaillement à la base de la pile (Chapitre 6)

FD Force d'amortissement d'un système

FDmax Force d'amortissement maximal d'un système

FS Force élastique d'un système

f Fréquence au point maximal du pic

f_c Contrainte maximale en compression du béton

f_cc Contrainte maximale en compression du béton conné

fcr Contrainte maximale en traction du béton

fy Limite élastique des barres d'armature

g Accélération gravitationnelle

¯

fa Féquence du premier point d'insection avec la droite de demi-puissance

¯

fb Féquence du deuxième point d'insection avec la droite de demi-puissance

Ief f Inertie eective de l'élément de fondation ductile

K Matrice des coecients de rigidité

k Exposant pour la branche descendante de la courbe de comportement

ki Coecient de rigidité nodal initial

L Hauteur de la pile

LR Valeur limite de déformation inélastique

(18)

Symbole Dénition

M Matrice des masses nodales

My Moment au point de plastication de l'acier d'armature

m Masse nodale (Chapitre 2)

m Masse totale du pont (Chapitre 6)

N Charge axiale causée par la précontrainte

n Facteur de la partie ascendante du comportement du béton en compression

p(t) Force d'excitation d'un système

R₀ Paramètre du rayon de courbure au changement de pente de l'acier

RD Facteur de correction des spectres dû à l'amortissement

RSA Facteur de correction des spectres d'accélération

RSD Facteur de correction des spectres de déplacement

Ry Ratio de demande en ductilité

Sa(T ) Accélération spectrale

T Période spectrale / Période fondamentale

Tc Période spectrale séparant les zones d'accélération et de vitesse constante

t Variable temporelle

U Déplacement par poussée progressive

u Déplacement nodal d'un système

u₀ Déplacement nodal initial d'un système

umax Déplacement maximal lors d'un chargement dynamique

˙u Vitesse nodale d'un système

˙umax Vitesse nodale maximale d'un système

¨u Accélération nodale d'un système

V Cisaillement à la base du pont

w Poids total du pont

α Ratio de la pente post-plastication sur la pente initiale

αc Paramètre de déchargement en compression du béton

αt Paramètre de déchargement en traction du béton

₀ Déformation axiale à la contrainte maximale en compression du béton

c Déformation axiale du béton

cc Déformation axiale à la contrainte maximale du béton conné

cr Déformation à la contrainte maximale en traction du béton

c

m Déformation maximale enregistrée en compression du béton

c

p Déformation résiduelle en compression du béton

t

m Déformation maximale enregistrée en traction du béton

t

(19)

LISTE DES SYMBOLES xiii Symbole Dénition

ϕi Vecteur de déplacements normé du mode i

φi Déplacement modal normé du degré de liberté i

φy Courbure au points de plastication de l'acier d'armature

Li Facteur de participation modal

Liφi Facteur de déplacement généralisé d'un mode

μ Facteur de ductilité

η Facteur de correction des spectres dû à l'amortissement

σc Contrainte axiale du béton

ω Pulsation naturelle d'un système

¯ω Pulsation naturelle d'une excitation harmonique

ξ Taux d'amortissement visqueux élastique

ξ₀ Taux d'amortissement visqueux équivalent

(20)

(21)

CHAPITRE 1

INTRODUCTION

1.1 Contexte québécois

Le système de transport québécois permet le déplacement de 6 milliards de personnes et de 330 millions de tonnes de biens sur 285 000 km de routes. Le ministère des Transports du Québec (MTQ) en possède 30 600 km, incluant 9578 structures [MTQ, 2013]. Ces structures peuvent être des ponts d'étagement, des ponts sur cours d'eau, des tunnels ou des murs de soutènement. En 2008, le MTQ a entamé le processus de reprise des 4281 ponts sur le réseau des municipalités de moins de 100 000 habitants, suite à un décret [MTQ, 2008]. C'était, et ce sont encore, les structures sur le réseau des municipalités qui manquent le plus d'entretien, puisque les petites municipalités n'avaient pas susamment de fonds pour maintenir et remplacer leurs ouvrages d'art [Conseil du Trésor, 2013; MTQ, 2009, 2013].

C'est depuis l'eondrement partiel du viaduc de la Concorde sur l'autoroute 19 à Laval, le 30 septembre 2006, que le MTQ s'eorce d'améliorer l'état des infrastructures routières. La tragédie, ayant causé la mort de 5 personnes et blessé 6 autres, était inhabituelle et inacceptable. La Commission d'enquête sur l'eondrement d'une partie du viaduc de la Concorde conclut que les normes de l'époque avaient été respectées. Il est toutefois men-tionné que le niveau de connaissances techniques n'était vraisemblablement pas susant à l'époque pour la réalisation ce type de pont, de même que les connaissances pratiques lors de la réalisation au chantier. Au l des années qui suivent, le manque de ressources pour la réalisation des inspections mène à un eondrement soudain du viaduc, seulement 36 ans après sa construction. Dans les conclusions du Rapport Johnson [Johnson et al., 2007], on propose d'adopter un programme national de mise à niveau du parc de ponts et viaducs du Québec. C'est aussi dans ce rapport qu'on demande d'entamer un processus de reprise des 4281 ponts sur le réseau des municipalités de moins de 100 000 habitants par le MTQ, comme discuté précédemment.

Quelques années plus tôt, à Laval, le Québec avait vécu une tragédie semblable. Le 18 juin 2000, le viaduc du Souvenir, qui était alors en reconstruction, a perdu 8 de ses poutres qui se sont retrouvées sur la chaussée de l'autoroute 15 sous-jacente. Selon l'enquête, la coulée des entretoises allait se faire dans la même semaine, mais les contreventements temporaires

(22)

étaient retirés depuis la première semaine de juin. L'hypothèse est qu'une bourrasque a fait basculer les poutres, puisqu'elles n'étaient que déposées sur leurs appareils d'appuis en élastomère. Cette erreur a causé la mort d'une personne et en a blessé deux autres [Paquette, 2003].

Dans son bilan de 2008, le MTQ conclut que 75 % de ses structures, en terme de valeur, ont été construites entre 1950 et 1980, alors que le Québec connaissait un essor important [MTQ, 2013]. L'expérience démontre qu'une structure requiert des travaux d'importance tous les 30 ans pour prolonger sa vie utile [MTQ, 2009]. La période critique pour réparer ces structures est donc entre 1980 et 2010. Le viaduc de la Concorde est un bon exemple de la nécessité d'investiguer et de réparer les structures après 30 ans de services.

Dans son plan stratégique 2008-2012 [MTQ, 2009], le MTQ entérine la proposition du Rapport Johnson [Johnson et al., 2007], qui est de faire de la mise à niveau du réseau routier un projet national. La vision est d'avoir une mobilité durable et un transport sécuritaire sur tout le territoire par l'atteinte d'objectifs quantiables. L'objectif concernant les ponts et viaducs est de faire passer le ratio de structures en bon état de 50 % (valeur de 2008) à 80 % sur une période de 15 ans. Le réseau routier québécois a une valeur de remplacement de 80 milliards $ selon les estimations, ce qui n'est pas négligeable. Le budget du ministère alloué au réseau routier est donc passé d'environ 1 milliard $ en 2005 à près de 3 milliards $ en 2013.

En 2013, le Conseil du Trésor a publié le Plan québécois d'infrastructures (PQI) 2013-2023 [Conseil du Trésor, 2013]. Au total, 92,3 milliards $ seront investis sur 10 ans en infrastructures. Pour la première fois, le PQI couvre une période de 10 ans et inclut la totalité des investissements en infrastructures, y compris en santé, en transport et en éducation. Le maintien du réseau routier a la plus grande tranche des investissements avec 24 %. Le MTQ mentionne dans son plan stratégique 2013-2015 qu'il compte utiliser 65 % de cette somme pour le maintien du réseau routier seulement. Ce sont 2064 chantiers qui sont prévus par le MTQ entre 2013 et 2015 [MTQ, 2013].

1.2 Importance du dimensionnement parasismique

Plusieurs problèmes peuvent causer des conséquences irréversibles suite à un séisme sur un pont. Il y a notamment la perte d'appui causée par un déplacement trop important, la cassure par entrechoquement des travées et la défaillance des piles qui ne peuvent pas résister à d'aussi grands eorts et/ou déplacements. Les dégâts survenus suite aux séismes en Haïti et au Chili, en 2010, puis en Nouvelle-Zélande, en 2011, nous démontrent que

(23)

1.2. IMPORTANCE DU DIMENSIONNEMENT PARASISMIQUE 3 les connaissances générales sur le dimensionnement parasismique sont encore insusantes [Boulanger et al., 2013]. Les évènements de Northridge en 1994 et de Kobe en 1995 sont d'autres exemples [Priestley et al., 1996].

Les normes de dimensionnement utilisent les tremblements de terre connus et des calculs probabilistes pour dénir l'aléa sismique par région. Le niveau d'importance de la structure est aussi un facteur du dimensionnement. Par exemple, suite à un séisme, on souhaite évidemment que les hôpitaux puissent continuer d'opérer. La probabilité d'occurrence d'un séisme majeur au Québec est bien présente. La ville de Montréal est la deuxième métropole canadienne ayant le plus grand risque sismique, après Vancouver. Dans la zone sismique de l'ouest du Québec , c'est le long d'un axe Montréal-Maniwaki que les séismes sont plus fréquents. C'est en moyenne une fois aux cinq jours qu'on peut y ressentir un tremblement de terre [Ressources naturelles Canada, 2010].

Le dimensionnement parasismique doit servir à assurer la sécurité des citoyens et à mainte-nir opérationnelles les installations névralgiques suite à un évènement sismique. La norme CAN/CSA S6-14 comporte aussi plusieurs changements qui pourrait donner lieu à la ré-évaluation de quelques ponts. En eet, certaines régions subissent un changement de l'aléa sismique par rapport à la norme précédente (S6-06), rendant les analyses à la performance encore plus intéressantes.

Les codes basent souvent leurs calculs pour qu'une conception parasismique ait une

proba-bilité de défaillance de 10−5 _{ou 10}−6 _{par année, comme le faisait la norme S6-06. Or, il se}

peut aussi qu'un séisme avec une période de retour de 1000 ans (10−3_{) ait une probabilité}

de défaillance plus importante, surtout si celui-ci n'a pas été considéré dans l'analyse. C'est le point majeur à considérer pour les zones de sismicité modérée et qui peut être corrigé par un dimensionnement à la performance [Bimschas, 2010]. Si l'eet des séismes faibles à modérés n'est pas considéré durant la conception, et que ceux-ci, plus fréquents, causent un endommagement mineur des piles, des joints ou des appareils d'appui d'une structure, une réparation est alors requise, malgré qu'un séisme fort ne soit jamais survenu.

En connaissance de ces faits, il est important d'approfondir continuellement la recherche en dynamique des structures pour pallier les problèmes survenus lors des séismes majeurs. En eet, une saine construction des ouvrages d'art permet non seulement d'économiser sur les coûts de réparation suite à un séisme, mais permet aussi de maintenir les voies d'accès pour le déplacement des unités d'intervention d'urgence et l'acheminement de vivres vers les communautés. Le désastre historique le plus probant de la nécessité du maintien des services essentiels est certainement le séisme de Mexico en 1985 [PAHO, 1989].

(24)

1.3 Objectif de recherche

Comme énoncé précédemment, le dimensionnement à la performance permet une meilleure évaluation du risque. Dans ce sens, la quantication du taux d'amortissement visqueux élastique doit permettre aux ingénieurs québécois et canadiens de mieux évaluer les dé-placements d'un pont soumis à un tremblement de terre. En eet, dans ce contexte de dénition du risque, il est essentiel de baser les paramètres dynamiques sur des valeurs plus réelles.

Dans ce sens, le but du projet, comme le titre l'indique, consiste à quantier le taux d'amor-tissement visqueux élastique des ponts d'étagement québécois à l'aide d'essais dynamiques in situ sur des structures de l'Estrie. Cette mesure permet de mieux dénir l'amortisse-ment à utiliser pour obtenir une réponse adéquate lors d'analyses statiques. Une attention particulière est portée aux modes horizontaux. En eet, les modes horizontaux sont géné-ralement ceux qui contrôlent le dimensionnement parasismique des structures.

Pour dénir l'amortissement équivalent à utiliser lors d'analyses statiques avec spectres de dimensionnement, des analyses dynamiques temporelles non linéaires sont réalisées. Grâce aux essais dynamiques in situ, un calibrage des modèles numériques est possible, ce qui permet d'augmenter la précision de ces analyses. Les diérentes analyses exécu-tées permettent d'évaluer l'impact du taux d'amortissement, de la période et du type de structure sur la réponse. L'étude paramétrique a pour but de quantier un taux d'amor-tissement visqueux équivalent à utiliser dans les analyses statiques. Les résultats montrent d'ailleurs que, dans tous les cas, il est primordial d'utiliser un taux d'amortissement vis-queux élastique adéquat. Dans ce sens, des taux d'amortissement sont recommandés dans la conclusion de ce mémoire.

1.3.1 Impact

À terme, le projet permet d'apporter des clarications à la norme CAN/CSA S6-14, ou d'aider à la rédaction du Tome III du MTQ, pour que ces ouvrages mentionnent l'uti-lisation du taux d'amortissement visqueux équivalent qui donnent les résultats les plus représentatifs. À la n du mémoire sont proposées des recommandations, selon l'analyse et les outils à disposition, pour considérer adéquatement le taux d'amortissement visqueux équivalent.

En parallèle à ce mémoire, deux articles sont en préparation. Un premier sera présenté

(25)

1.3. OBJECTIF DE RECHERCHE 5 Engineering, qui se déroule en 2017 à Santiago, au Chili. Le deuxième article sera soumis au Jounal of Bridge Engineering de l'American Society of Civil Engineering.

1.3.2 Plan du document

La formule choisie pour la rédaction du mémoire est par article. Ainsi, après l'état de l'art, la problématique et la méthodologie, le chapitre 4 présente l'article écrit pour la conférence au Chili et concernant les essais in situ de ce mémoire, eectués sur deux ouvrages québé-cois : l'un à Melbourne et l'autre à Magog. L'article intègre aussi un troisième pont, situé à Lennoxville, dont les essais furent eectués par Robert-Veillette [2013]. Les résultats des essais dynamiques sur les ponts de Melbourne et de Magog permettront le calibrage des modèles numériques, abordé dans le chapitre 5. Le mémoire enchaîne avec une présen-tation des analyses eectuées, leurs résultats, et l'analyse des résultats. Finalement, une conclusion permet de faire un sommaire des points importants du mémoire.

(26)

(27)

CHAPITRE 2

ÉTAT DE L'ART

2.1 L'amortissement

L'amortissement est un paramètre d'importance majeure en dynamique des structures. Sans lui, il serait impossible de contrôler les déplacements lors d'un chargement aléatoire. Tout système avec amortissement, appelé dissipatif, permet un retour àl'équilibre sur un temps variant selon l'amplitude de l'amortissement [Paultre, 2010].

Pour intégrer l'amortissement dans un modèle par éléments nis, l'amortissement visqueux est utilisé. La viscosité est la propriété de résister àl'écoulement uniforme et sans turbu-lence se produisant dans la masse d'une matière. En dynamique des structures, une force proportionnelle àla vitesse est donc considérée. L'équation générale du mouvement est :

M · d

2_u

dt2 + C ·

du

dt + K · u = p(t) (2.1)

où u est le déplacement, t le temps. Les coecient sont la masse M, l'amortissement C et la rigidité K. Cependant, dans cette section, la notation de Newton est utilisée pour la dérivée par rapport au temps :

M · ¨u + C · ˙u + K · u = p(t) (2.2)

Dans l'équation 2.2, le premier produit donne la force d'inertie, le deuxième la force d'amor-tissement et le troisième la force de rappel. Le terme de droite représente les forces externes au système. Pour démontrer l'eet de l'amortissement, une charge est relâchée à t = 0

cau-sant un déplacement u0 sur un système sans amortissement, appelé conservatif. La force

de rappel balancera la force d'inertie en régime permanent, et le système ne retrouvera jamais son équilibre. Par contre, dans un système dissipatif, la réponse s'atténue pour devenir inniment petite. Le décrément des pics suit théoriquement une fonction logarith-mique [Paultre, 2010]. La gure 2.1 présente la réponse d'un système à1 degré de liberté (DDL) dans le temps selon trois amortissements diérents.

(28)

R

éponse

Temps

Sans Amortissement Amortissement faible Amortissement fort

Figure 2.1 Réponse dans le temps d'un système élémentaire

2.1.1 Taux d'amortissement

Le taux d'amortissement ξ est en fait un facteur généralisé, en fonction du matériau utilisé, permettant de calculer les coecients d'amortissement dans un modèle numérique. Le taux se base sur l'amortissement critique, qui est l'amortissement minimal requis pour avoir un retour à la position neutre immédiatement après un chargement soudain. Si les mêmes hypothèses qu'à la gure 2.1 sont utilisées, il est possible de créer un graphique comparant le comportement d'un système avec des amortissements ξ de 1 %, 10 % et 100 %. Ce graphique est présenté à la gure 2.2.

R

éponse

Temps

ξ = 100 % ξ = 10 % ξ = 1 %

Figure 2.2 Comparaison de diérents taux d'amortissement

2.1.2 Amortissement interne

L'amortissement interne a lieu dans la microstructure des matériaux et se manifeste grâce aux impuretés, aux dislocations, au réarrangement de la microstructure, aux eets ther-moélastiques, etc. Il se divise en deux catégories : visqueux et hystérétique. Premièrement, il faut comprendre ici que le terme hystérétique est mal utilisé, puisque l'amortissement

(29)

2.1. L'AMORTISSEMENT 9 visqueux provient aussi de cycles d'hystérésis, mais à plus petite échelle [Rodríguez, 2006]. Le terme est tout de même employé puisqu'en modélisation, les courbes d'hystérésis sont utilisées pour l'amortissement hystérétique seulement.

Amortissement visqueux élastique

L'amortissement visqueux élastique est possible grâce aux forces de friction interne, aux déformations plastiques localisées et à l'écoulement plastique sur une plage de contrainte, le tout sans que la section ne dépasse sa limite élastique. Tous ces phénomènes permettent de dissiper l'énergie du système. L'amortissement visqueux élastique est en fait une sim-plication du phénomène d'amortissement hystérétique lors d'un cycle de chargement dy-namique. La boucle d'hystérésis d'un matériau linéaire est représentée par une forme elliptique idéalisée à la gure 2.3(a). L'ellipse ne se refermera jamais sur le point d'origine, ce qui implique une variation d'énergie. La droite sectionnant l'ellipse est la force élastique

FS tandis que la boucle est la somme de la force élastique avec la force d'amortissement

FD. L'équation de cette ellipse est donc :

F = FS+ FD = ki· u + ˙u | ˙u|· ω · umax 1 − u umax ₂ (2.3)

où ω est la pulsation naturelle et ki est la rigidité initiale. Puisqu'il est dicile de recréer

le comportement hystérétique linéaire d'un matériau dans un modèle numérique, un taux d'amortissement ξ xe, propre à chaque matériau, est normalement utilisé. Celui-ci est déterminé par des essais et rapporté dans les normes. Ce taux d'amortissement, comme

expliqué plus tôt, se base sur l'amortissement critique ccr du système :

c= ξ · ccr = 2 · ξ · m · ω (2.4)

où m est la masse. Puisque la force d'amortissement maximale est FDmax = c · ˙umax =

c· ¯ω · umax (lorsque u = 0), où ¯ω est la pulsation naturelle de l'excitation, l'énergie dissipée

par cycle est :

ED = FDmax· umax 2 · π = c· ω · u2_max 2 · π = ξ· m · ω2· u2_max π (2.5)

L'énergie dissipée par amortissement visqueux élastique varie donc exponentiellement en fonction de la fréquence d'excitation, mais aussi en fonction de l'amplitude de l'excitation [Omenzetter et al., 2013]. D'autres facteurs inuencent aussi l'énergie dissipée, comme la température [Paultre, 2010] et le niveau d'endommagement du matériau [Salane et

(30)

Baldwin, 1990]. D'un côté, la température aecte surtout les appuis en élastomère, qui se rigidient en hiver et gagnent en amortissement [Busson, 2015]. D'un autre côté, tel que discuté plus loin, l'amortissement tend à décroître durant la vie utile d'un ouvrage de géniecivil [Li et al., 2014].

Amortissement hystérétique

Lorsqu'une structure dépasse sa limite élastique, son comportement devient non linéaire. La dégradation des matériaux des composantes structurelles entraîne une dissipation d'énergie supplémentaire, qui est appelée de l'amortissement hystérétique [Genta et Amati, 2008]. Il est possible de constater ce phénomène avec un essai de chargement-déchargement cyclique, eectué à faible vitesse pour éviter les forces d'amortissement visqueux. La gure 2.3(b) montre un comportement non linéaire lors d'un chargement cyclique.

Les analyses numériques non linéaires tiennent compte de l'amortissement hystérétique en utilisant des courbes de comportement des matériaux, ou des courbes simpliées : élas-toplastique, bilinéaire ou Takeda [Takeda et Sozen, 1976], par exemple. Il est possible de calculer l'énergie dissipée par hystérésis en reproduisant le cycle de chargement de la gure 2.3(b). L'aire comprise à l'intérieur de la boucle d'hystérésis représente l'énergie dissipée dans un cycle. Avec l'amplitude maximale du déplacement et la rigidité initiale, l'amor-tissement équivalent peut être calculé. Pour une pile de pont, les valeurs d'amorl'amor-tissement équivalent pour considérer les déformations non linéaires se situent entre 10 % et 25 %, en raison dela grandechargeaxiale[Priestley et al., 1996]. Selon Priestley [2003], l'équation

Force Déplacement ki umax umax (a) Force Déplacement k_i ki k_i umax umax (b)

Figure 2.3 Dissipation d'énergie par cycle de chargement pour un matériau (a) linéaireet (b) non linéaire

(31)

2.1. L'AMORTISSEMENT 11 pour obtenir l'amortissement équivalent pour une colonne en béton armé est :

ξeq = ξ0+ 95 π 1 − √1_μ % (2.6)

où μ est le ratio de déformation ductile. S'il n'y a pas de déformation plastique, ce ratio

devient μ = 1 et le taux d'amortissement équivaux à ξ0.

Il existe toutefois une contradiction dans le calcul de l'amortissement équivalent, puisqu'il se base sur l'approche de Jacobsen [Blandon et Priestley, 2005], qui considère un char-gement harmonique constant. Ce n'est jamais le cas lors d'un séisme. L'amortissement est souvent surévalué avec cette approche, ce qui diminue les déplacements et les eorts par rapport à des analyses temporelles non linéaires. L'approche de Gulkan [Blandon et Priestley, 2005] est plus poussée et considère l'énergie comprise dans l'accélérogramme du séisme, pour ensuite calculer l'énergie d'amortissement qui balance le système à 1 DDL pour l'amener au repos. La valeur obtenue est le taux d'amortissement substitué (SVD). Toutefois, ceci implique de connaître le séisme a priori et nécessite des calculs plus longs et plus poussés que la méthode de Jacobsen. Ceci explique son impopularité.

2.1.3 Amortissement dans les structures

L'amortissement structurel peut être causé par friction, par contact/impact, par déforma-tion dans un appareil dissipateur d'énergie ou par radiadéforma-tion. L'apport de l'amortissement structurel est normalement bien supérieur à l'amortissement interne [Rodríguez, 2006]. Il est toutefois complexe de considérer un modèle qui représente adéquatement l'amortisse-ment structurel, puisque ce sont des phénomènes locaux. Un modèle numérique complet doit être conçu avec plusieurs hypothèses pour bien évaluer les caractéristiques ponc-tuelles. À l'évidence, il est plus facile de rapporter l'amortissement sur toute la structure en estimant un amortissement visqueux équivalent. La valeur d'amortissement structurel à utiliser dans un pont pour considérer tous les apports (structurel et interne) ne devrait pas être inférieure à 2 % selon Bimschas [2010].

Les analyses statiques linéaires équivalentes sont prescrites dans les normes et sont préco-nisées par les ingénieurs en raison de leur simplicité. C'est avec l'amortissement visqueux équivalent que ces analyses peuvent être eectuées. Toutefois, ces méthodes semblent in-adéquates puisque l'amortissement équivalent dépend de l'amplitude du déplacement. Or, il est impossible de connaître l'amplitude avant de faire l'analyse. Une méthode itérative peut régler le problème, mais est rarement utilisée dans la pratique, puisque plusieurs normes proposent d'emblée l'utilisation d'un taux d'amortissement de 5 %.

(32)

Il est important de clarier que l'utilisation d'un tauxd'amortissement équivalent standard de 5 % peut causer certains problèmes, surtout lors d'un dimensionnement à la perfor-mance. En eet, si le pont ne doit subir aucun endommagement pour un séisme mineur, cela implique que le tauxd'amortissement équivalent réel est de moins de 5 %. Cette erreur sur le tauxd'amortissement aura un impact direct sur la réponse sismique, ce qui expose le pont à un endommagement lors d'un séisme mineur, alors que la performance du pont se devait d'être garantie.

Amortissement dans les appareils d'appui

Sur un pont, les appareils d'appui en élastomère servent souvent d'isolateurs, par exemple en réduisant le transfert d'eorts auxculées. De plus, il est très bénéque de considérer les eets dissipateurs du caoutchouc dans le calcul sismique. Toutefois, considérer un amortissement local requiert un modèle complet de l'ouvrage et une bonne compréhension du comportement du caoutchouc. Il est évidemment plus simple d'utiliser l'amortissement visqueuxéquivalent.

Pour quantier le tauxd'amortissement visqueuxéquivalent, il est important d'observer la déformée du mode : est-ce qu'elle implique un mouvement important des appareils d'appuis ? C'est normalement le premier mode longitudinal des ponts routiers types du Québec ( p. ex. pont à 2 travées de type dalle sur poutres) qui bénécie le plus de cette dissipation d'énergie, puisque les appareils d'appui auxculées sont souvent guidés (libres) dans la même direction.

Amortissement par radiation dans la fondation

L'amortissement par radiation se fait par la propagation des ondes d'énergie dans la masse tridimensionnelle innie qu'est le sol. Ce type d'amortissement ne se produit que lors d'une excitation dynamique importante, et il est dépendant de l'amplitude des déforma-tions dans le sol. Lors d'une analyse numérique temporelle, il est possible d'utiliser un comportement cyclique inélastique dans la fondation pour obtenir un amortissement hys-térétique. Sinon, le comportement dynamique du sol peut être substitué par un système masse-ressort-amortisseur. Ces deuxméthodes ne considèrent toutefois pas le soulèvement de la fondation, qui peut survenir lors de fortes excitations [Bimschas, 2010]. En eet, une perte d'énergie peut se produire par Rocking Motion lors d'un impact entre la semelle et le sol.

(33)

2.2. AMORTISSEMENT DANS LES NORMES DE PONTS 13 Amortissement dans les éléments non structuraux

En ouvrage d'art, il est coutume de négliger les éléments non structuraux dans les analyses statiques et dynamiques, puisque ces éléments ont peu d'inuence sur les eorts et les déplacements. La masse de ces éléments est considérée le seul facteur important. Or, dans les bâtiments, la quantité d'éléments non structuraux est si importante que l'amortissement dans ces éléments doit être considéré. Dans ce cas, l'amortissement standard de 5 % peut être conservé. Pour un pont, les éléments non structuraux sont souvent limités aux gardes-corps ou glissières. Selon Priestley et Grant [2005], le taux d'amortissement visqueux des éléments non structuraux dans un pont ne dépasse jamais la valeur de 0,5 %. L'apport de ces éléments peut donc être négligé.

2.2 Amortissement dans les normes de ponts

Le dimensionnement des ponts et viaducs se base sur les normes qui régissent chaque territoire. Dans cette section, les normes canadienne, étasunienne et européenne sont ex-pliquées brièvement, pour ensuite aborder les hypothèses de chaque norme en rapport à l'amortissement.

Plusieurs équations sont données dans les prochaines sections. Pour clarier la compré-hension, lorsqu'un facteur de correction s'applique au spectre d'accélération, il est nommé

RSA. Lorsqu'il s'applique aux spectres de déplacement, il est nommé RSD .

2.2.1 Norme canadienne (CAN/CSA S6-14)

Le dimensionnement des ponts et viaducs au Canada doit maintenant se conformer à la norme CAN/CSA S6-14. Les provinces peuvent se baser sur cette norme pour créer une annexe régionale. Par exemple, au Québec, le MTQ publie le Tome III de la Collection Normes Ouvrages routiers, qui doit être respecté lors de la conception, de la construction, de l'inspection et de l'évaluation de ses ouvrages.

Concernant le calcul des ouvrages d'art sous des charges extrêmes, diérents taux d'amor-tissement visqueux élastique sont proposés dans le commentaire C5.11.1.4 de la norme pour des analyses dynamiques non linéaires, dépendant des matériaux utilisés. Ces taux sont présentés dans le tableau 2.1. Comme le veut la coutume, les cartes d'aléa sismique de la Commission géologique du Canada sont construites avec un taux d'amortissement de 5 %. Pour appliquer un taux d'amortissement diérent, la norme CAN/CSA S6-14 pro-pose, à l'instar de la norme précédente, un facteur de modication de spectre d'accélération

(34)

à l'article 4.4.3.5 et présenté à l'équation 2.7 : RSA= RD = 5 % ξ n (2.7) où n = 0, 4. Pour une augmentation du spectre, donc pour un amortissement plus faible, il n'y a pas de restriction à son utilisation. Or, pour considérer un amortissement plus fort que 5 %,sans dépasser 10 %, le pont doit être continu (sans rotule ni joint), d'une longueur de moins de 100 mètres, avoir un biais plus faible que 20°, et les culées doivent être conçues pour la mobilisation du sol contenu.

Pour une isolation sismique, l'exposant de l'équation 2.7 est changé pour une valeur plus petite. Elle varie selon la zone Est (n = 0, 2) ouOuest (n = 0, 3) duCanada. La va-riation de l'exposant permet d'obtenir une valeur sécuritaire pour une augmentation de l'amortissement, comme c'est le cas en isolation sismique.

2.2.2 Norme étasunienne (LRFD Bridge Design Specications)

Les normes de construction pour les autoroutes aux États-Unis sont régies par l'American Association of State Highway and Transportation Ocials (AASHTO). Cette association à but non lucratif se penche sur tous les domaines du transport, sur tout le territoire des États-Unis, en représentant les départements publics de transport de chaque état. L'ap-plication de cette norme est donc généralisée. Il existe aussi des guides, tels que le 341.2R-14 : Analysis and Design of Seismic-Resistant Concrete Bridge Systems de l'America Concrete Institute (ACI), qui aident les ingénieurs sur des sujets plus spéciques. Un comité de l'AASHTO a été formé en 1996 pour revoir le dimensionnement de fond en comble et assurer la pérennité des structures en utilisant les nouvelles approches et philo-sophies de design. La première version applicable de la norme est apparue en 2000. Tous les ponts construits après le dépôt des nouveaux critères de design ont été dimensionnés avec une méthode load-and-resistance factor design (LRFD) [Marsh et al., 2001], avec une méthode non linéaire aux états limites. Des commentaires sont inclus dans la norme. À la section C4.7.1.4, des taux d'amortissement relatifs aux matériaux sont prescrits et rapportés autableau2.1.

Contrairement à la norme CSA, aucun facteur de correction des spectres pour un amor-tissement diérent de 5 % n'est présent dans la norme de l'AASHTO. Toutefois, en 2007, un guide important est publié, nommé LRFD Guide Specication for LRFD Seismic Bridge Design [Imbsen, 2007]. L'équation 2.7 y est proposée (n = 0, 4) pour une

(35)

diminu-2.2. AMORTISSEMENT DANS LES NORMES DE PONTS 15 tion du spectre selon un taux d'amortissement de inférieur à 10 %, avec l'approbation du propriétaire de l'ouvrage.

Il est expliqué que ce facteur permet de considérer la dissipation d'énergie dans le sol des culées pour des ponts ayant un mode fondamental dominant. Pour avoir un premier mode dominant (au-dessus de 90 % de la masse modale), le pont doit être continu (sans rotule ni joint), être d'une longueur inférieure à 300 pieds, et avoir un biais plus faible que 20°. Il est ajouté que, pour qu'il y ait dissipation d'énergie susante dans le sol de la culée, celle-ci doit être dimensionnée pour la mobilisation du sol contenue. Sur cette dernière indication, aucun détail n'est fourni concernant la géométrie de culée à préconiser.

La norme canadienne CAN/CSA S6-14 s'est certainement basée sur le guide de Imbsen [2007] pour inclure un facteur de correction des spectres. Or, ce dernier ne permet pas clai-rement l'utilisation de l'équation pour un taux amortissement plus petit que 5 %, comme le fait la norme canadienne. Malgré tout, le guide de Imbsen [2007] propose d'utiliser un taux de 2 % pour les structures en acier et 5 % pour les structures en béton, soit supérieur aux taux de la norme (voir tableau 2.1). À la section 2.3.4 du présent document, il est démontré que cette équation n'est pas adéquate pour toutes les applications.

2.2.3 Norme européenne (Eurocode 8)

En Europe, le Comité européen de normalisation prend progressivement place depuis la création de l'Union européenne. Dans le domaine de la construction, les Eurocodes sont créés pour uniformiser les normes de construction et encourager la concurrence. L'ouvrage a pour but d'intégrer toutes les normes des pays participants, sans exclure les méthodes de calculs propres à chacun. Elles s'appliquent dans plusieurs pays de l'Union européenne, de la Scandinavie à la mer Méditerranée, en passant par la Grande-Bretagne, l'Islande, les Pays baltes, jusqu'à la Grèce.

L'Eurocode 8 concerne les fondations, les ponts, les silos et les tours. Dans le tableau 2.1, les valeurs d'amortissement proposées pour les ponts sont rapportées. Les valeurs de la norme européenne sont les plus élevées des trois normes abordées, mais il ne s'agit pas que de considérer la nature du matériau. En eet, de l'acier boulonné a un taux d'amortissement supérieur, probablement dû au frottement des pièces. Le béton précontraint a aussi, selon l'Eurocode 8, un taux d'amortissement plus faible que du béton armé.

(36)

Dans le document général de l'Eurocode 8,un facteur de modication des spectres de réponse en déplacement η est proposé. Pour un amortissement fort,le facteur ne peut pas être inférieur à 0,55. L'équation 2.8 présente le calcul de ce facteur.

RSD = η =

10 %

5 % + ξ ≥ 0, 55 (2.8)

Tableau 2.1 Taux d'amortissement proposés par les diérentes normes

Matériau S6-06 et S6-14 AASHTO Eurocode 8

Acier boulonné 1 % 1 % 4 %

Acier soudé 1 % 1 % 2 %

Béton armé 2 % 2 % 5 %

Béton précont. 2 % 2 % 2 %

Bois 5 % 5 %

-2.3 Facteurs de correction des spectres

Les facteurs de modication des spectres sont intégrés dans plusieurs autres normes depuis l'utilisation répandue des isolateurs sismiques. Dans la norme S6-06,ainsi que dans les normes ATC-40,FEMA-273,NEHRP 2000,IBC 2000 et UBC-97,un facteur de 1,25 est prévu lorsqu'un amortissement de 2 % est à considérer. Ces facteurs ne s'appliquent toutefois qu'aux ouvrages isolés sismiquement. Tel qu'il est présenté dans la section 2.3.4, les basses fréquences des structures isolées permettent cette simplication. D'autre part, plus les fréquences sont élevées,plus les facteurs de correction des spectres augmentent. En eet,avec de récentes études,il est maintenant admis que ces facteurs varient en fonction de la période [Atkinson et Pierre,2004],comme le montre la gure C4.39 du commentaire de la norme S6-14.

2.3.1 Facteurs de correction généraux

La première formule présentée en recherche scientique est celle de Newmark et Hall [1973], développée en fonction de la réponse d'un système 1 DDL au séisme de El Centro,1940. Le facteur se base sur une équation logarithmique à deux variables. L'équation discontinue varie selon la zone du spectre,ce qui démontre clairement l'inuence de la période sur les

(37)

2.3. FACTEURS DE CORRECTION DES SPECTRES 17 facteurs de correction des spectres. La fonction est :

RSD= ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

1, 400 − 0, 248 · ln(ξ) (zone d'accélération constante) 1, 514 − 0, 321 · ln(ξ) (zone de vitesse constante) 1, 309 − 0, 194 · ln(ξ) (zone de déplacement constant)

(2.9)

Dans la même décennie, Shibata et Sozen [1976] proposent la formule suivante :

RSD = 11

6 + ξ (2.10)

Un an après la mort de Newmark, une monographie du EERI est publiée [Newmark et Hall, 1982]. Les auteurs y présentent diérents facteurs de correction en fonction de la valeur moyenne, de la valeur avec déviation d'un écart-type et de la valeur maximale des réponses. Bommer et Mendis [2005] croient que puisque le spectre de dimensionnement à 5 % d'amortissement est déjà construit de façon probabiliste, ce serait trop conservateur de prendre une valeur autre que la moyenne pour dénir les facteurs de corrections. Suite aux études de Newmark et Hall, les normes ATC-40, FEMA-273, UBC-97 et ASCE7-05 ont adopté, en partie ou en totalité, l'équation 2.9 montrée ci-haut. En Europe, une équation aussi simpliée que celle de Shibata et Sozen [1976] fait apparition dans les codes sismiques français de 1990 et espagnol de 1994. Pour la première fois donc, ceux-ci incluent un facteur de modication des spectres d'accélération, qui est en fait celui proposé par la nouvelle norme CAN/CSA S6-14 :

RSA = 5% ξ 0,4 (2.11) Au même moment, une autre formule est créée en Europe. L'équation 2.8 dans l'Eurocode 8 (2003), provenant des travaux de Bommer et al. [2000], n'est pas à sa première version. En eet, la norme de 1994 donne plutôt la relation suivante pour le spectre d'accélération :

RSA= η =

7 %

2 % + ξ ≥ 0, 7 (2.12)

Les bases de ces deux équations sont expliquées dans un article de Tolis et Faccioli [1999]. Ceux-ci proposent d'ailleurs une formule diérente pour une augmentation et une réduction de l'amortissement, ce qui est compréhensible puisqu'on cherche a être sécuritaire dans les

(38)

deux cas. Les équations sont : RSD = η = ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 7 % 2 % + ξ si ξ < 5 % 15 % 10 % + ξ si ξ > 5 % (2.13)

Ainsi, en regard de l'équation 2.13, l'Eurocode 8 (1994) propose l'équation 2.12 qui s'ap-plique bien à une réduction de l'amortissement, alors que l'Eurocode 8 (2003) propose l'équation 2.8 qui s'applique à une augmentation de l'amortissement. Cette incohérence dans la norme européenne est soulevée par Bimschas [2010].

Dans son ouvrage Myths and Fallacies in Earthquake Engineering, Revisited, Priestley [2003] propose un facteur de modication des spectres pour les champs proches des séismes, qui se veut une modication du facteur de l'Eurocode 8 (2003) présenté à l'équation 2.8. L'équation est donc la même que la précédente, mais avec un exposant diérent, aussi appelé variable α, pour réduire l'importance du facteur :

RSD = η = 4

10 %

5 % + ξ (2.14)

Plus tard, dans son livre Displacements Based Seismic Design of Structures, Priestley et al. [2007] propose une fois de plus une formule avec α = 0, 25, mais cette fois-ci basé sur le facteur de l'Eurocode 8 (1994), présenté à l'équation 2.12 :

RSD = η = 4

7 %

2 % + ξ (2.15)

L'utilisation d'un facteur α plus petit est basé sur l'idée que dans les champs proches, les impulsions pourraient réduire l'ecacité de l'amortissement [Priestley, 2003]. Cette idée est aussi présentée par Blandon et Priestley [2005], malgré que le sujet soit abordé dans le contexte du dimensionnement basé sur les déplacements.

Aux États-Unis, la norme californienne de 2001 (Caltrans Seismic Design Criteria) permet une augmentation de l'amortissement jusqu'à 10 % si le pont est inuencé par la dissipation d'énergie aux culées et s'il agit comme un système à 1 DDL. C'est une formule initialement proposée par Kawashima et Aizawa [1986] qui est toujours présente dans la norme Caltrans

(39)

2.3. FACTEURS DE CORRECTION DES SPECTRES 19 SDC-1.7 publiée en 2013 :

RSD= 1, 5

0, 4 · ξ + 1 + 0, 5 (2.16)

Sheikh et al. [2013] présentent aussi deux autres formules de calcul du facteur de correction, soit l'équation 2.17 dans le code parasismique de la Chine en 2010 (GB50011 2010) et l'équation 2.18 du code japonais (JSSI 2006) :

RSD = 1 + 0, 05 − ξ

0, 06 + 1, 4 · ξ (2.17)

RSD = 1, 5

1 + 10 · ξ (2.18)

2.3.2 Comparaison des facteurs

Une première hypothèse doit être faite pour permettre la comparaison de tous les facteurs : tous les systèmes demeurent dans le domaine élastique. De cette façon, il est possible de comparer les facteurs de modication des spectres d'accélération avec ceux en déplacement. La gure 2.4 présente la plupart des courbes des équations 2.7 à 2.18. Il est possible de remarquer la tendance des courbes au-delà de 5 % d'amortissement, mais le graphique ne va pas plus loin que 10 %, puisque quelques équations ont cette valeur comme limite. Sous 5 % d'amortissement, l'équation de Newmark et Hall ne concorde pas avec les autres courbes, vue l'équation logarithmique. Les équations du Japon et de l'Eurocode 8 (2003) semblent conduire à des valeurs trop faibles, conrmant qu'elles sont calibrées pour une augmentation de l'amortissement seulement. Leur utilisation devrait donc être limitée à une réduction de spectre. D'autre part, l'équation de la norme CAN/CSA S6-14 conduit à des valeurs largement supérieures à partir de 2 % d'amortissement.

Finalement, les courbes de Shibata et Sozen, Tolis et Faccioli, Caltrans SDC-1.7 et GB50011 2010 donnent toutes des résultats semblables. Si les courbes inférieure et supérieure (Eu-rocode 8 et CAN/CSA S6-14, respectivement) représentent l'enveloppe des ratios de ré-ponse par rapport à 5 % d'amortissement, ce sont ces 4 courbes qui se trouveraient sur la moyenne. Cependant, toutes les équations énoncées dans cette section ne considèrent jamais d'autres facteurs que l'amortissement.

(40)

0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 &ĂĐƚĞƵƌĚĞĐŽƌƌĞĐƚŝŽŶ;ʇсyйǀƐʇсϱйͿ Taux d'amortissement (%) CAN/CSA S6-14 Shibata et Sozen Newmark et Hall Tolis et Faccioli Eurocode 8 (2003) Caltrans SDC-1.7 GB50011 2010 JSSI 2006

Figure 2.4 Facteurs de correction des spectres RAou RD selon l'amortissement

2.3.3 Facteurs de correction analytiques

Newmark et Hall [1973] avaient déjà soulevé la variabilité des facteurs selon la période en donnant 3 équations, pour les zones d'accélération constante, de vitesse constante et de déplacement constant. Ce n'est qu'au tournant des années 2000 que ce sujet est à nouveau exploré par des chercheurs. Il est aussi démontré que la magnitude du séisme, la composition du sol, la distance à l'épicentre, la nature du massif rocheux et la durée ont tous un eet sur le facteur de correction d'amortissement, avec plus ou moins d'importance [Atkinson et Pierre, 2004; Bommer et Mendis, 2005; Lin et Chang, 2003; Sheikh et al., 2013]. Plus précisément, le facteur diminue en augmentant la magnitude, en augmentant la distance, en réduisant la durée d'excitation ou en ayant un sol plus dur.

Dans ce sens, Hatzigeorgiou [2010] synthétise l'eet du type de sol et du type d'accélé-rogramme (champ rapproché, champ éloigné ou accéléd'accélé-rogramme articiel) sous la forme suivante :

RS = 1 + (ξ − 5) · [1 + c1· ln(ξ) + c2· (ln(ξ))2] · [c3+ c4· ln(T ) + c5· (ln(T ))2] (2.19)

où les coecients ci sont résumés en tableaux selon le type de sol et le type

(41)

2.3. FACTEURS DE CORRECTION DES SPECTRES 21 peut être appliqué aux spectres d'accélération, de vitesse ou de déplacement en ajustant les coecients [Hatzigeorgiou, 2010].

Daneshvar et Bouaanani [2015] modie le paramétrage pour calibrer la demande en

dé-placement selon la magnitude M, la distance de l'épicentre R, et le type de sols SS pour

le cas d'une isolation sismique, donc pour une augmentation du taux d'amortissement par

rapport à la valeur standard de 5 %. La valeur de SS est de 0 ou 1, dépendant d'une

fondation sur roc ou sur sol, respectivement. L'équation prend la forme suivante :

log₁₀S_d(T )= a₁+ a₂· M + a₃· (M − 6)2+ a₄· log₁₀R+ a₅· e(M−6)+

a₆·R+ a₅· e(M−6)+ a₇· SS

(2.20)

où Sd(T ) est la demande en déplacement en fonction de la période T , et les variables ai

sont des coecients ou des valeurs moyennes de résiduelle logarithmique permettant de considérer le taux d'amortissement, le type de sol et la période [Daneshvar et Bouaanani, 2015]. L'équation est basée sur des séismes de magnitude 6,0 à 7,6 de l'est de l'Amérique du Nord, mais ne produit aucune valeur pour un amortissement inférieur à 5 %, ce qu'on recherche.

Une autre équation est proposée par Daneshvar et al. [2016], mais cette fois-ci pour la zone sismique du sud-ouest de la Colombie-Britannique. Il s'agit toujours d'une étude pour de l'isolation sismique. L'équation est :

RSD = 1 − (1 + a1[−ln(ξ)]a2) · (a3+ T )a4 · ea5·Ta6 (2.21)

où les coecients ai varient selon la période, le type d'évènement sismique, et la classe du

sol [Daneshvar et al., 2016].

Les équations 2.20 et 2.21 ne s'appliquent pas à une diminution de l'amortissement vis-queux élastique, ce qui ne permet pas son utilisation pour le projet de recherche actuel. Toutefois, l'équation de 2.19 permet une réduction du taux d'amortissement, autant qu'une augmentation du taux. Ceci permettrait son utilisation, mais une précaution doit être prise quant à la complexité du choix des facteurs. De plus, les séismes utilisés pour le calibrage des facteurs sont normalement situé près des zones de faille (Californie, Japon, Taïwan, Turquie, etc.). Les facteurs risquent donc de ne pas considérer les particularités des séismes de l'est de l'Amérique du Nord.

(42)

2.3.4 Facteurs de correction d'Atkinson et Pierre

Une étude commandée par Hydro-Québec conduit à un article de Atkinson et Pierre (A&P) en 2004. Dans cette étude, les facteurs de correction réels pour des amortissements diérents de 5 % (1, 2, 3, 7, 10 et 15 %) sont calculés. Trois tremblements de terre de l'est de l'Amérique du Nord sont utilisés, soit Miramichi (1982), Saguenay (1988) et Mont-Laurier (1990), à des distances de l'épicentre de 10 à plus de 500 km et des magnitudes de moment de 4 à 7,25. Plus la distance augmente, plus l'excitation est longue, mais le choix des séismes permet une cohérence avec les particularités de la région. La période des systèmes linéaires à 1 DDL variait entre 0,5 et 20 Hz.

Cette étude permet de quantier des facteurs de correction des spectres d'accélération RSA

variant non seulement en fonction de l'amortissement, mais aussi de la fréquence naturelle de l'ouvrage. Le tableau 2.2 présente ces facteurs d'accélération qui ne sont applicables que pour l'Amérique du Nord-Est. Les ratios proposés sont des valeurs moyennes pour des séismes de magnitude de moment plus grande que 5 et des distances inférieures à 150 km. Ce sont les paramètres limites déterminés pour avoir une variation de réponse claire.

Tableau 2.2 Ratios moyens RSA selon un taux de 5 % d'amortissement

Fréquence Ratios moyens des pseudo spectres (PSAX%/PSA5%)

(Hz) 1 % 2 % 3 % 5 % 7 % 10 % 15 % 0,5 1,266 1,174 1,103 1,000 0,922 0,835 0,736 0,8 1,361 1,231 1,134 1,000 0,908 0,810 0,701 1,0 1,414 1,260 1,148 1,000 0,901 0,793 0,679 1,3 1,469 1,289 1,163 1,000 0,894 0,777 0,657 2,0 1,576 1,332 1,187 1,000 0,880 0,758 0,627 3,2 1,685 1,385 1,208 1,000 0,872 0,743 0,314 5,0 1,765 1,420 1,226 1,000 0,862 0,734 0,599 7,9 1,841 1,442 1,234 1,000 0,860 0,729 0,597 10 1,871 1,456 1,240 1,000 0,860 0,729 0,598 13 1,902 1,471 1,246 1,000 0,860 0,729 0,600 20 1,950 1,485 1,249 1,000 0,858 0,730 0,606

Source : [Atkinson et Pierre, 2004]

Comme on peut voir sur le graphique semi-logarithmique de la gure 2.5, les facteurs d'A&P sont plus grand lorsque la fréquence est grande. Trois facteurs constants choisis par leur pertinence se retrouvent aussi sur cette gure. Les facteurs des normes CAN/CSA S6-14 et Caltrans SDC-1.7 et des chercheurs Tolis et Faccioli pourraient être basés sur une étude semblable à celle d'A&P, mais sans avoir considéré la fréquence comme une variable. En eet, les facteurs de la norme CAN/CSA S6-14 sont près des valeurs maximales lorsque

(43)

2.4. ESSAIS DYNAMIQUES IN SITU 23 l'amortissement est plus faible que 5 %, alors que les deux autres facteurs semblent se baser sur les valeurs moyennes.

0,5 1 1,5 2 0,5 1 2 4 8 16 &ĂĐƚĞƵƌĚĞĐŽƌƌĞĐƚŝŽŶ; ξ=X% ǀƐ ξ=5% Ϳ FrĠquencĞŶĂƚƵƌĞůůĞ (Hz) Atkinson et Pierre CAN/CSA S6-14 Tolis et Faccioli Caltrans SDC-1.7 ξ=1 % ξ=3 % ξ=5 % ξ=10 %

Figure 2.5 Facteurs de correction des spectres RAou RD selon l'amortissement,

en fonction de la fréquence

2.4 Essais dynamiques in situ

Les normes de dimensionnement encouragent les concepteurs à eectuer des essais in situ pour connaître les fréquences propres, les modes propres et l'amortissement visqueux élastique. En phase de design, ces essais sont impossibles à réaliser. Ils sont toutefois réalisables si une réparation doit être eectuée sur un pont existant. Puisque des essais dynamiques in situ sont coûteux et peu réglementés, il est actuellement rare d'en faire usage. Ceux-ci se font majoritairement pour la recherche.

Les essais dynamiques in situ se divisent en deux branches. La première consiste à analyser la structure sous vibrations ambiante, tandis que la deuxième cherche à exciter la structure pour analyser sa réponse. L'excitation peut être fournie par le passage d'un véhicule lourd, par un impact (comme une masse lâchée) ou par excitateur harmonique.

Au Canada, les changements apportés à l'édition 2005 du Code national du bâtiment canadien ont fait bondir le risque sismique de certaines régions, rendant les tests in situ

(44)

intéressants pour les bâtiments les plus âgés. La norme CAN/CSA S6-14 comporte aussi plusieurs changements qui peuvent donner lieu à une réévaluation de certains ponts. De plus, maintenant qu'elle impose un dimensionnement à la performance pour la majorité des ponts, il devient intéressant de baser les paramètres dynamiques sur des valeurs plus réelles.

Les essais dynamiques sur des structures de génie civil permettent de connaître les valeurs modales d'un ouvrage. Cela rend possible, par exemple, la validation des paramètres choisis pour un dimensionnement. Ces paramètres sont normalement les fréquences propres, les modes propres et l'amortissement visqueux élastique [Paultre, 2010]. La restriction majeure est évidemment que les essais ne peuvent pas être destructifs, sauf si l'ouvrage doit être démantelé. C'était le cas du pont Z-24 en Suisse, qui a été soumis à de l'endommagement progressif pour vérier l'inuence de diérents endommagements réalistes sur les propriétés dynamiques [Peeters et Ventura, 2003].

2.4.1 Vibrations ambiantes

Pour connaître les propriétés dynamiques réelles d'une structure, une des approches les plus utilisées, en raison de son faible coût, est l'essai dynamique sous vibrations ambiantes. Cet essai peut se réaliser en plaçant des accéléromètres ou capteurs de vitesse à diérents endroits du pont pour enregistrer son comportement dynamique. Ensuite, pour analyser les données ambiantes, il existe 2 catégories de méthodes : les méthodes non paramétriques, où le signal est décomposé dans le domaine des fréquences, et les méthodes paramétriques, où le signal reste dans le domaine temporel [Cunha et Caetano, 2006].

La première catégorie inclue la méthode Frequency Domain Decomposition (FDD) et la méthode Enhanced Frequency Domain Decomposition (EFDD). La méthode améliorée (Enhanced) permet une estimation de l'amortissement modale. Ces deux méthodes sont facilement applicables et susament précises, alors que des logiciels spécialisés peuvent analyser les données assez rapidement [Andersen et al., 2008]. La deuxième catégorie inclue la méthode Least Square Complex Exponential (LSCE) et la méthode Stochastic Subspace Identication (SSI). Ces méthodes sont plus complexes à utiliser, mais permettent une meilleure estimation des propriétés dynamiques. L'utilisation des méthodes paramétriques est moins fréquente dans le domaine du génie civil [Andersen et al., 2008].

Pour des ouvrages d'art, l'analyse des données ambiantes peut se faire par décomposition dans le domaine des fréquences (FDD) avec un logiciel comme ARTeMIS (Ambient Res-ponse Testing and Modal Identication Software) [SVS, 1999]. Cette méthode donne de

(45)

2.4. ESSAIS DYNAMIQUES IN SITU 25 bons résultats : les modes se trouvent aisément et les fréquences sont précisément connues en respectant certains paramètres lors de l'acquisition [Lamarche, 2005] et lors du traite-ment [Andersen et al., 2008]. Le principal côté négatif de cette méthode est la diculté d'évaluation des taux d'amortissement. En eet, la méthode conduit à des valeurs qui ne sont pas assez précises pour dénir les taux d'amortissement réels [Peeters et Ventura, 2003; Robert-Veillette, 2013].

La méthode FDD est basée sur certaines hypothèses. Premièrement, l'amortissement est faible pour tous les modes. Ensuite, l'excitation permettant l'acquisition des données est du bruit blanc Gaussien [Lamarche et al., 2008]. Chaque mode est trouvé par une valeur dominante (pic d'accélération) dans le domaine des fréquences. Le passage du domaine temporel au domaine des fréquences se fait par la transformée de Fourrier rapide (FFT). L'hypothèse est que toute la puissance du signal à une fréquence propre est attribuée au mode correspondant. Des méthodes avancées de traitement de signal sont appliquées par Brincker et al. [2001a]. Ces chercheurs utilisent d'une méthode de retour en domaine tem-porel [Brincker et al., 2001b] pour évaluer l'amortissement de chaque mode par décrément logarithmique (EFDD) [Lamarche et al., 2008]. L'application de la méthode FDD à des ponts est conrmée par Andersen et al. [1999] de l'Université Aalborg au Danemark. Dans leur étude, Andersen et al. utilisent aussi trois autres méthodes pour comparaison, telle que la méthode des sous-domaines stochastiques. Le choix de la méthode FDD pour le développement d'ARTeMIS démontre la bonne fonctionnalité de celle-ci sur les ouvrages d'art.

2.4.2 Vibrations forcées harmoniques

Si les circonstances le permettent, un essai dynamique in situ plus exact peut être fait par excitation forcée de la structure. L'acquisition des données se fait de la même façon que la méthode précédente, mais la vibration est causée par une masse xée sur un excitateur de fréquence [Peeters et Ventura, 2003].

L'excitateur utilisé pour les ponts routiers à l'Université de Sherbrooke fonctionne à puissance électrodynamique. La force dans l'excitateur provient ainsi d'un amplicateur contrôlé par un oscilloscope. L'oscilloscope crée plusieurs types de fonction, incluant la fonction sinusoïdale recherchée pour les essais sous vibrations forcées. Le paramètre d'en-trée de cette fonction est la fréquence, tandis que l'amplitude de la force est contrôlée directement sur l'amplicateur. L'essai se fait par balayage des fréquences dans la plage voulue. Si les fréquences propres de la structure sont connues, le balayage peut être plus