Lycée 2 Mars 34 Ksar Hellal DEVOIR DE SYNTHESE N° 1 4ème M Mr : Boudhaouia Durée 3h 06/12/2011
Exercice 1 (6 points)
Soit la fonction définie sur ℝ par : = √ + 1 . 1) a) Montrer que est strictement croissante sur ℝ .
b) Montrer que réalise une bijection de ℝ sur 1 , +∞ .
c) Montrer que la fonction réciproque de est continue sur 1 , +∞ et préciser son sens de variation sur 1 , +∞ .
2) a) Montrer que est dérivable sur l’intervalle 1 , +∞ . b) Montrer que n’est pas dérivable en 1.
c) Calculer en fonction de pour tout ∈ 1 , +∞ .
3) Soit la suite réelle définie sur ℕ par = 1 = ∀ ∈ ℕ a) Montrer que la suite est croissante.
b) Montrer que la suite n’est pas majorée. c) Déterminer alors la limite de la suite réelle .
Exercice 2 (6 points)
Soit la suite réelle définie sur ℕ par : == 2 ∀ ∈ ℕ 1) a) Montrer que ∀ ∈ ℕ on a : ≥ 1
b) Montrer que la suite est décroissante.
c) En déduire que la suite est convergente et déterminer sa limite. 2) Soit la suite réelle " définie sur ℕ par : " =
a) Montrer que la suite " est géométrique de raison : # = b) Exprimer " puis en fonction de .
c) Retrouver alors la limite de la suite .
3) a) Montrer que : ∀ ∈ ℕ on a : − 1 = − 1 .
b) Montrer par récurrence que ∀ ∈ ℕ on a : − 1 = n n 2
1 1 U − ≤ c) Retrouver alors la limite de la suite .
Exercice 3 (8 points)
1) Soit % = % − 6 + ' % + 13 + 7' % − 10 1 + ' où % est un nombre complexe. a) Résoudre dans ℂ l’équation % − 4 + ' % + 5 1 + ' = 0
b) Montrer que l’équation % = 0 admet une solution réelle que l’on déterminera. c) Résoudre dans ℂ l’équation % = 0.
2) a) Déterminer les racines carrées du nombre complexe −16 . b) En déduire les solutions de l’équation %. = −16.
3) a) Déterminer les racines cubiques du nombre complexe 8'.
b) Ecrire chacune des racines cubiques obtenues sous forme algébrique. c) Soit % ∈\112 et % ∈\1'2.
Montrer que 3 =45 √
5 ⇔ % = 7 √7 4
d) En déduire les solutions de l’équation complexe : 8'% + √39 = 8' % − 1
