Devoir de contrôle n°3 4ème Sc Expérimentales Me Bayoudh AS 12 13

(1)

Exercice 1 (7 points)

Le plan est muni d’un repère orthonormé

La courbe (C) ci-dessous est celle d’une fonction f définie et dérivable sur IR.

• La courbe (C) admet une tangente horizontale au point A(0,2).

• La droite d’équation 1 est une asymptote à (C) au voisinage de (

• (C) admet au voisinage de ( ∞

1) Répondre par vrai ou faux. Aucune justification n’est demandée. a/

b/ 1 2

c/ ′ 1

d/ la valeur moyenne ̅ de sur

2) En utilisant le graphique et les données ci a/ Déterminer : 0 , ’ 0 , lim

→

b/ Dresser le tableau de variation de c/ Justifier que l’équation

Lycée secondaire Bach Hamba

Prof: Mme Bayoudh

WxäÉ|Ü wx

WxäÉ|Ü wx vÉÇàÜ¨Äx

vÉÇàÜ¨Äx

vÉÇàÜ¨Äx Ç¥

vÉÇàÜ¨Äx

Ç¥

Ç¥F

F

F xÇ Åtà{°Åtà|Öâxá

xÇ Åtà{°Åtà|Öâxá

orthonormé , !", #" .

dessous est celle d’une fonction f définie et dérivable sur IR. La courbe (C) admet une tangente horizontale au point A(0,2).

est une asymptote à (C) au voisinage de ( ∞ .

∞ une branche parabolique de direction celle de l’axe des ordonnées.

A

(C)

Aucune justification n’est demandée.

0,1$ vérifie ̅ 1.5

En utilisant le graphique et les données ci-dessus :

lim

→'( et lim→ ( .

tion de .

0 admet dans IR une solution unique ) comprise entre 1 et 2.

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Bach Hamba - Bizerte

ClasseClasse ::::4444ClasseClasse èmeèmeèmeème Sciences expérimentalesSciences expérimentalesSciences expérimentalesSciences expérimentales A.S A.SA.S A.S :2012:2012:2012:2012/201/201/201/2013333

xÇ Åtà{°Åtà|Öâxá

Nom Nom et Nom Nom et et prénomet prénomprénomprénom ::::

une branche parabolique de direction celle de l’axe des ordonnées.

comprise entre 1 et 2. Sciences expérimentales Sciences expérimentales Sciences expérimentales Sciences expérimentales1111 Durée Durée Durée

(2)

3) On suppose dans la suite que est définie sur IR par : 1 + (1 − )* . a/ Vérifier que

*

)

=

₎₋₁1

b/ On pose + = , *

A l’aide d’une intégration par partie , montrer que + = 2

c/ Soit A l’aire du domaine limité par la courbe (C) , l’axe des abscisses et l’axe des ordonnées.

Montrer que A

=

(, )

-,

Exercice 2 (3 points)

On consdère l’équation différentielle : (.) : ’ = −10 + 6 Où désigne une fonction dérivable sur IR.

1) a/ Résoudre l’équation (.).

b/ Vérifier que la solution de l’équation différentielle (.) telle que (0) = 0 est : : ↦2

3(1 − * )

2) Aux bornes d’une bobine de résistance 4 (exprimé en ohms) et d’inductance 5 (exprimée en henrys) , on branche , à l’instant 6 = 0 , un générateur de force électromotrice 7 (exprimée en volts).

L’unité de temps est la seconde.

L’intensité du courant dans le circuit (exprimé en ampères ) est une fonction dérivable du temps , notée 8 .A l’instant t=0 l’intensité est nulle.

Au cours de l’établissement du courant , la fonction 8 est solution de l’équation différentielle :

58’ + 48 = 7

Dans toute la suite , on prend 4 = 5 , 5 = , 7 = 3 .

a/ Déduire des questions précédentes l’expression de 8(6) pour 6 ≥ 0. b/ Déterminer lim

;→'(8(6)

(3)

Execice 3 (10 points)

Partie A

On considère la fonction f définie sur 0, +∞ par ( ) = √ . *

On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( , !", #" ). 1) Déterminer lim

→'( ( ) ( On pourra écrire ( ) = =

√

×

=?

)

Interpréter graphiquement le résultat 2) a/ Montrer que ’( ) =

√

*

pour tout ∈ $0, +∞

b/ Dresser le tableau de variation de f 3) Tracer la courbe C (unité graphique 2 cm)

Partie B

On considère la suite (A_B) définie sur IN* par A_B = _BB' (6) 6 1) Interpréter graphiquement A_B

2) Montrer que pour tout entier naturel non nul C , (C + 1) ≤ A_B ≤ (C) 3) En déduire que la suite (A_B) est décroissante.

4) Montrer que (A_B) est convergente .Calculer sa limite.

Partie C

On considère la fonction F définie sur 1, +∞ par :

E( ) = F (6) 6

1) a/ Montrer que E est dérivable sur 1, +∞ et calculer E’( ) b/ En déduire le sens de variation de E.

2) a/ Montrer que pour tout réel positif 6 , 6 + 1 ≥ 2√6

b/ En déduire que pour tout ∈ 1, +∞ , E( ) ≤ (6 + 1)* ; 6 c/ à l’aide d’une intégration par parties , montrer que , pour tout ∈ 1, +∞ ,

F (6 + 1)* ; _{6 = 3 − (2 + )*}

d/ En déduire que pour tout ∈ 1, +∞ , 0 ≤ E( ) ≤2.

3) On note pour tout C ∈ +G∗, I_B la somme des (C − 1) premiers termes de la suite (A_B). a/ Justifier que I_B = E(C) pour tout C ∈ +G∗.

b/ Montrer que la suite (I_B) est convergente .Donner un encadrement de la limite de I_B.