HAL Id: hal-01263455
https://hal.inria.fr/hal-01263455
Submitted on 27 Jan 2016
HAL is a multi-disciplinary open access
archive for the deposit and dissemination of
sci-L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est
destinée au dépôt et à la diffusion de documents
Abdelaâziz Ezziani
To cite this version:
Abdelaâziz Ezziani. Ondes dans les milieux poroélastiques - Analyse du modèle de Biot. Revue
Africaine de la Recherche en Informatique et Mathématiques Appliquées, INRIA, 2006, 5, pp.95-109.
�hal-01263455�
Abdelaâziz Ezziani
Projet POems INRIA Rocquencourt B.P. 105, 78153 Le Chesnay Cedex FRANCE Abdelaaziz.Ezziani@inria.frRÉSUMÉ. Nous nous intéressons à la modélisation de la propagation d’ondes dans les milieux po-roélastiques. Nous considérons le modèle bi-phasique de Biot. Ce papier est consacré à l’analyse mathématique de ce modèle : résultats d’existence et d’unicité, décroissance de l’énergie et le calcul d’une solution analytique.
ABSTRACT. We are interested in the modeling of wave propagation in poroelastic media. We con-sider the biphasic Biot’s model. This paper is devoted to the mathematical analysis of such model : existence and uniqueness result, energy decay result and the calculation of an analytical solution. MOTS-CLÉS : Ondes poroélastiques, modèle de Biot, existence et unicité, dissipation d’énergie, solution analytique.
KEYWORDS : Poroelastic waves, Biot’s model, existence and uniqueness, energy dissipation, ana-lytical solution.
1. Introduction
De nombreux sous-sols ne peuvent être considérés comme des matériaux exclusive-ment solides. Ce sont souvent des milieux poreux c’est-à-dire constitués de solides per-forés par une multitude de petits trous, appelés pores, occupés par un fluide. C’est no-tamment souvent le cas des réservoirs pétroliers. Il est clair que l’analyse de résultats par méthodes sismiques de l’exploration de tels milieux doit tenir compte du fait qu’une onde se propageant dans un tel milieu rencontre une succession de phases solide et fluide : on parle de milieu poro-élastique. Lorsque la distance moyenne entre les pores est petite devant la longueur d’onde, plutôt que de considérer un tel milieu comme un milieu com-plètement hétérogène, il est légitime de faire appel, au moins localement, à la théorie de l’homogénéisation [10, 17], on aboutit alors au modèle de Biot [5, 6, 7] qui fait intervenir comme inconnues non seulement le champ de déplacement dans le solide mais aussi la pression dans le fluide. La principale caractéristique de ce modèle est qu’aux ondes P et S dans un solide se rajoute une onde “lente”, qu’on pourrait aussi qualifier de “fluide”. Ce papier est consacré à l’analyse mathématique du modèle de Biot. Les méthodes nu-mériques pour l’approximation de ce modèle seront décrites dans un papier en prépara-tion [2]. Ici, on s’intéresse essentiellement à la quesprépara-tion de l’existence et l’unicité de la solution forte dans le cas 3D et anisotrope et le calcul d’une solution de référence. Dans la première section, nous montrerons un résultat d’existence et d’unicité de la so-lution forte obtenue par le biais de la théorie des semi-groupes, ce résultat semble être original et différent de celui de J. E. Santos [19] qui est basé sur un autre approche : dans ce papier l’auteur montre l’unicité de la solution faible pour le problème isotrope à l’aide de la méthode de Galerkin. Dans ce cadre nous citons aussi les travaux de H. Barucq et al. [1] pour une classe 1D du problème de Biot non linéaire. Dans une deuxième courte section, afin de montrer que le modèle de Biot conduit à un mécanisme dissipatif, nous établirons un résultat de la décroissance d’énergie, voir théorème 4.1. Enfin, dans la der-nière section nous déterminerons une solution analytique du problème modèle dans un milieu infini en dimension 2. On se place dans le cas d’un milieu homogène isotrope sans dissipation avec une source de pression ponctuelle en espace et en temps. Nous utiliserons la méthode de Cagniard-de Hoop [11, 13] pour déterminer la fonction de Green associée au problème modèle. Le principe de la méthode consiste à appliquer aux inconnues la transformation de Laplace en temps et celle de Fourier suivant l’une des variables d’es-pace (x ou y). Une fois le problème est résolu dans l’espace de Laplace-Fourier, nous
revenons en espace physique temps-espace en manipulant les contours complexes. Cette étude préliminaire nous sera utile surtout pour l’étude et la validation du schéma numé-rique développé dans [2].
2. Problème modèle
On considère le système de Biot du second ordre [5, 6, 7] dans IRd× [0, T ] (d = 2, 3) :
ρ ¨us+ ρfw¨ − ∇ · σ = fu dans IRd×]0, T ], (1a) ρfu¨s+ ρww¨ + K ˙w + ∇p = fw dans IRd×]0, T ], (1b) σ = Cε(us) − β p Id dans IRd×]0, T ], (1c) 1 mp + β ∇ · us+ ∇ · w = 0 dans IR d ×]0, T ], (1d) us(x, 0) = u0(x), ∂tus(x, 0) = u1(x) dans IRd, (1e) w(x, 0) = w0(x), ∂tw(x, 0) = w1(x) dans IRd. (1f)
où ∇· est l’opérateur divergence défini par : (∇ · σ)i=
d
X
j=1
∂σij
∂xj ∀ i = 1, d.
Les inconnues du problèmes sont :
– usle champ de déplacement du solide,
– w = φ(uf− us) le déplacement du fluide par rapport au solide, uf est le champ
de déplacement du fluide etφ la porosité du milieu,
–p la pression dans le fluide,
–σ le tenseur des contraintes.
Les paramètres décrivant les propriétés physiques du milieu sont comme suit :
–ρ = ρfφ + (1 − φ)ρsla densité du milieu saturé,
–ρsla densité du solide,
–ρf la densité du fluide,
–ρw= aρf/φ, a est la tortuosité,
–C un tenseur 4 × 4, Idla matrice unité deMd(IR),
–K = η/κ, κ est la perméabilité absolue et η est la viscosité du fluide.
–m et β sont des coefficients positifs :
β = 1 − K0/Ks, m = [φ/Kf+ (β − φ)/Ks]−1,
–Ksest le module d’incompressibilité du solide,
–Kf est le module d’incompressibilité du fluide,
–K0est le module d’incompressibilité sec,
et
– fuet fwsont des densités de source, – u0, w0, u1et w1sont des données initiales.
Nous ferons en outre les hypothèses suivantes :
1)ρ, ρf, ρw, K, m, β et C sont mesurables,
2) il existec−andc+, deux constantes positives, telles que :
0 < c− ≤ ρ, ρf, ρw, K, m, β ≤ c+ < +∞ p.p. x ∈ IRd, (2)
3) le tenseurC satisfait :
Cijkl= Cjikl = Cklij ∀ i, j, k, l = 1, d,
∃M−, M+> 0 tels que : ∀σ ∈ Lsym(IRd), 0 < M −|σ|2≤ Cσ : σ ≤ M+|σ|2 p.p.x ∈ IRd, (3) avec Lsym(IRd ) = {σ ∈ L(IRd) / σij= σji ∀ i, j = 1, d},
L(IRd) = {σ : IRd→ IRd/ σ est linéaire },
σ : ˜σ =P
ijσij˜σijet|σ| = (σ : σ)
1
2 ∀ (σ, ˜σ) ∈ [L(IRd)]2,
(C σ)ij =PklCijklσkl, ∀ (C, σ) ∈ L L(IRd), L(IRd) × L(IRd).
Remarque 2.1 Ici, nous avons écrit la loi (1c) dans un cadre assez général, dans le cas
isotrope, le tenseurC vérifie : (C σ)ij = λ0σkkδij + 2µ σij, où µ est le module de
cisaillement,λ0 = λf− β2m est le coefficient de Lamé et λf est le coefficient de Lamé
dans le milieu saturé.
3. Résultat d’existence et d’unicité
On noteM la matrice définie par : M = ρ ρf ρf ρw .
Remarque 3.1 La matriceM est symétrique définie positive grâce aux conditions
phy-siques [8] :a > 1 et φ < 1.
On introduit les variablesu˜s = ∂tus(la vitesse dans le solide) etw˜ = ∂tw (la vitesse
de filtration). En posantU = (us, w, ˜us, ˜w, p)t, le problème (1) se réécrit alors sous la
forme d’un système d’évolution du premier ordre :
dU dt + ΛU = F, U (0) = U0, (4)
avec ΛU = −˜us − ˜w −M−1 " ∇· (Cε(us)) − ∇(β p) −K ˜w− ∇p # mβ ∇ · ˜us+ m ∇ · ˜w , (5) et U0= (u0, w0, u1, w1, p0)t, F = 0, 0, (fu, fw)tM−1, 0 t , p0= −m [β ∇ · u0+ ∇ · w0] .
On introduit l’espace de HilbertH = [H1(IRd)]d×[L2(IRd)]d×[L2(IRd)]d2×L2(IRd),
et on considère l’application bilinéaire symétrique(., .)H: H × H 7→ IR :
(U1, U2)H = Z IRd u1· u2dx + Z IRd Cε(u1) : ε(u2) dx + Z IRd w1· w2dx + Z IRd M ˜ u1 ˜ w1 · ˜ u2 ˜ w2 dx + Z IRd 1 mp1p2dx, (6)
avecU1 = (u1, w1, ˜u1, ˜w1, p1)t,U2 = (u2, w2, ˜u2, ˜w2, p2)t. D’après les hypothèses
(2)-(3), la remarque 2.1 et le lemme de Korn [15, 18] dans[H1(IRd)]d, l’application (6)
définie bien un produit scalaire surH.
On considère l’opérateurΛ : D(Λ) ⊂ H 7−→ H définie par (5), où D(Λ) est donné par :
D(Λ) = (
U = (u, w, ˜u, ˜w, p) ∈ H / ˜u∈ [H1(IRd)]d, ∇ · Cε(u) − ∇(β p) ∈ [L2(IRd)]d,
p ∈ H1(IRd), ˜w
∈ H(div, IRd)
) .
La preuve de l’existence et l’unicité de la solution forte du problème (1) se fonde sur l’utilisation de la théorie de Hille-Yosida, ce qui nécessite le lemme suivant :
Lemme 3.1 L’opérateurΛ+λIdest maximal monotone pour toutλ > max(ρ−1/2, ρ−1/2w )/
√ 2.
Démonstration. - Monotonie. SoitU = (u, w, ˜u, ˜w, p)t∈ D(Λ), on a
(ΛU, U )H = − Z IRd u· ˜udx − Z IRd Cε(u) : ε(˜u) dx − Z IRd w· ˜wdx − Z IRd ∇· (Cε(u)) · ˜udx − Z IRd∇(β p) · ˜ udx + Z IRdK ˜ w· ˜wdx + Z IRd∇p · ˜ wdx + Z IRdβ ∇ · ˜ up dx + Z IRd∇ · ˜ wp dx.
Utilisant la formule de Green pour les trois intégrales : Z IRd ∇· (Cε(u)) · ˜udx = − Z IRd Cε(u) : ε(˜u) dx, Z IRd∇(β p) · ˜ udx = − Z IRdβ p ∇ · ˜ udx, Z IRd∇ · ˜ wp dx = − Z IRd ˜ w· ∇p dx, on obtient (ΛU, U )H = − Z IRd u· ˜udx − Z IRd w· ˜wdx + Z IRdK ˜ w· ˜wdx. D’autre part : kUk2 H = Z IRd|u| 2dx + Z IRd ε(u) : ε(u) dx + Z IRd|w| 2dx + Z IRdρ |˜ u|2dx + Z d ρw| ˜w|2dx + 2 Z IRd ρfu˜· ˜wdx. On en déduit que : (ΛU, U )H+λkUk2H≥ Z dλ |u| 2 +λ |w|2+λ ρ |˜u|2+λ ρw| ˜w|2+2λ ρfu˜· ˜w−u·˜u−w· ˜w dx.
Ce qui montre queΛ + λI est monotone dès que λ > max(ρ−1/2, ρ−1/2w )/
√ 2.
- Surjectivité. montrons queΛ + νI est surjective pour tout ν > 0. Ceci équivaut à montrer que pour toutF = (fu, fw, fu˜, fw˜, fp)
t∈ H, il existe U = (u, w, ˜u, ˜w, p)t∈ D(Λ) solution du système : ν u − ˜u= fu, (7a) ν w − ˜w= fw, (7b) ν " ˜ u ˜ w # − M−1 " ∇· (Cε(u)) − ∇(β p) −K ˜w− ∇p # = " fu˜ fw˜ # , (7c) mβ ∇ · ˜u+ m ∇ · ˜w+ ν p = fp. (7d)
Si le système (7) a une solution, il est facile d’éliminer u, w et p et de voir que ˜u etw˜
doivent vérifier l’équation :
− " ∇ · Cε(˜u) + ∇(mβ2∇ · ˜u) + ∇(mβ ∇ · ˜w) ∇mβ ∇ · ˜u + m ∇ · ˜w # + ν2M " ˜ u ˜ w # +ν K " 0 ˜ w # = ν M " fu˜ fw˜ # + " ∇ · Cε(fu) − ∇(β fp) −∇fp # (8)
La formulation variationnelle associée à (8) s’écrit :
Trouver ˜U = (˜u, ˜w) ∈ ˜H tel que :
a( ˜U , V ) = l(V ), ∀ V = (v, s) ∈ ˜H,
(9)
où ˜H est l’espace de Hilbert : ˜H = [H1(IRd)]d× H(div, IRd), muni du produit scalaire :
( ˜U , V )H˜ = Z IRd ˜ u· v dx + Z IRd∇˜ u· ∇v dx + Z IRd ˜ w· s dx + Z IRd∇ · ˜ w∇ · s dx,
a : ˜H × ˜H 7−→ IR est la forme bilinéaire :
a( ˜U , V ) = Z IRd Cε(˜u) : ε(v) + mβ2∇ · ˜u∇ · v + mβ ∇ · ˜w∇ · v + mβ ∇ · ˜u∇ · s dx + Z IRdm ∇ · ˜w∇ · s dx + ν 2Z IRd ρ ˜u· v + ρfw˜ · vρfu˜ · sρww˜ · s dx + ν Z IRdK ˜ w· s dx,
etl : ˜H 7−→ IR est la forme linéaire :
l(V ) = ν Z IRd ρ fu˜· v + ρffw˜ · v + ρffu˜· s + ρwfw˜ · s dx − Z IRdCε(fu) : ε(v) − β fp∇ · v − fp∇ · s dx.
D’après (2), (3) et l’inégalité de Korn dans[H1(IRd)]d, la forme linéairel(.) est continue
dans ˜H et la forme bilinéaire a(., .) est continue coercive dans ˜H × ˜H pour tout ν > 0. Le
théorème de Lax-Milgram permet alors d’affirmer que le problème (9) admet une solution unique ˜U = (˜u, ˜w)tdans l’espace[H1(IRd)]d× H(div, IRd).
Les données(fu, fw, fp) étant supposées appartenir à [H1(IRd)]d×[L2(IRd)]d×[L2(IRd)]d,
on obtient alors l’existence de u∈ [H1(IRd)]dà partir de l’équation (7a), w∈ [L2(IRd)]d
à partir de (7b) etp ∈ L2(IRd) à partir de (7d). Enfin en utilisant l équation (7c), on voit
facilement queu et p vérifient :
∇· Cε(u) − β p Id ∈ [L2(IRd)]detp ∈ H1(IRd).
Nous avons donc montré que l’opérateurΛ + νI était surjectif, pour tout ν > 0. Pour finir la démonstration du lemme, il suffit de raisonner avecν = λ + 1 .
Théorème 3.1 Pour toutes conditions initiales (u0, w0, u1, w1, p0) ∈ D(Λ) et tout
(fu, fw) ∈ C1(0, T ; [L2(IRd)
d
) × C1(0, T ; [L2(IRd)d
), le problème modèle (1)
ad-met une unique solution(us, w, p) qui vérifie :
us∈ C1 0, T ; [H1(IRd)]d ∩ C2 0, T ; [L2(IRd)]d, w∈ C1 0, T ; H(div, IRd) ∩ C2 0, T ; [L2(IRd)]d, p ∈ C0 0, T ; H1(IRd) ∩ C1 0, T ; L2(IRd). (10)
Démonstration. Sous l’hypothèseU0∈ D(Λ) et grâce au théorème de Hille-Yosida [9] et
le lemme 3.1, on déduit que le problème (4) admet une unique solutionU ∈ C0(0, T ; D(Λ))∩
C1(0, T ; H), ce qui entraîne que la solution (u
s, w, p) du problème (1) satisfait (10).
4. Dissipation de l’énergie
Afin de prouver que le modèle décrit un milieu dissipatif, nous déterminerons une quantité décroissante qui s’appellera l’énergie du modèle :
Définition 4.1 Soit(us, w, p) la solution forte du problème (1), On appelle énergie de
(us, w, p) à l’instant t la quantité : E(t) =1 2 Z IRd h
ρ| ˙us|2+ Cε(us) : ε(us) + ρw| ˙w|2+
1 m|p| 2+ 2ρ f ˙us· ˙w i dx. (11)
La quantitéE définit bien une énergie positive grâce à la remarque 3.1. On a le résultat
de la décroissance d’énergie :
Théorème 4.1 L’énergieE(t) vérifie l’identité : dE dt = − Z IRdK| ˙w| 2dx +Z IRd fu· ˙usdx + Z IRd fw· ˙w dx. (12)
De plus, elle décroît en l’absence des termes sources.
Démonstration.• On applique le produit scalaire dans IRdà (1a) par ˙uset à (1b) parw,˙
après une intégration sur IRd, on obtient alors :
1 2 d dt Z IRdρ | ˙u s|2dx + Z IRd ρfw¨ · ˙usdx − Z IRd ∇· σ · ˙usdx = Z IRd fu· ˙usdx, (13a) Z IRd ρfu¨s· ˙w dx + 1 2 d dt Z IRdρ | ˙w| 2dx +Z IRdK| ˙ w|2dx + Z IRd∇p · ˙w dx = Z IRd fw· ˙wdx. (13b)
En intégrant par parties les derniers termes du premier membres des deux équations, on aura : 1 2 d dt Z IRdρ | ˙u s|2dx + Z IRd ρfw¨ · ˙usdx + Z IRd σ : ε( ˙us) dx = Z IRd fu· ˙usdx, (14a) Z IRd ρfu¨s· ˙w dx + 1 2 d dt Z IRdρ | ˙w| 2dx + Z IRdK| ˙ w|2dx − Z IRdp ∇ · ˙w dx = Z IRd fw· ˙w dx. (14b)
En utilisant l’équation (1c), on peut exprimerσ dans (14a) en fonction de usetp, ce qui
nous donne : 1 2 d dt Z IRdρ | ˙u s|2dx + Z IRd ρfw¨ · ˙usdx +1 2 d dt Z IRd C ε(us) : ε(us) dx − Z IRdβ p ∇ · u sdx = Z IRd fu· ˙usdx. (15)
En dérivant l’équation (1d) par rapport au temps, on obtient :∇ · ˙w = −1
m ˙p − β ∇ · ˙us, remplaçant∇ · ˙w dans (14b), on a : Z IRd ρfu¨s· ˙w dx + 1 2 d dt Z IRdρ | ˙w| 2dx + Z IRdK| ˙ w|2dx +1 2 d dt Z IRd 1 m|p| 2dx + Z IRdβ p ∇ · us dx = 0. (16)
ce qui nous donne (12), en sommant (15) et (16).
• On en déduit la décroissance de l’énergie pour fu= fw= 0.
5. Solution analytique dans un milieu homogène infini
L’objectif de ce paragraphe est de calculer la solution analytique du problème modèle dans un milieu infini en dimension 2. On se place dans le cas d’un milieu homogène isotrope sans dissipation, de viscositéη = 0, avec une source de pression fp(x, y, t) =
δ(x)δ(y)δ(t) ponctuelle en espace et en temps. Nous utilisons la méthode de Cagniard-de
Hoop [11, 13] pour déterminer la solution exacte du problème modèle. Nous renvoyons le lecteur à la thèse de J. Diaz [14] pour plus de détails sur la méthode et son application
aux ondes acoustiques et élastiques. En remplaçant w par sa valeur en fonction de ufet
uset en éliminantσ, le système (1) se réécrit en fonction de us, uf etp sous la forme :
ρ11u¨s+ ρ12u¨f− (λ0+ 2µ)∇(∇.us) + µ ∇ × (∇ × us) + (β − φ)∇p = 0, ρ12u¨s+ ρ22u¨f+ φ ∇p = 0, p + m(β − φ) ∇.us+ mφ ∇.uf = m fp. (17)
où les coefficientsρ11,ρ12 etρ22 vérifient : ρ11 = ρ + φρf(a − 2), ρ12 = φρf(1 −
a), ρ22 = aφρf. Nous simplifions le système (17), en décomposant les champs de
dé-placement uset uf en champs irrotationnels et isovolumiques (ondes P et S). On pose
us= ∇Φs+ ∇ × Ψs, uf= ∇Φf+ ∇ × Ψf. Le système (17) devient alors :
A ¨Φ − B∆Φ = F, (18a)
V−2
s Ψ¨s− ∆Ψs= 0, (18b)
¨
Ψf = −ρ−122ρ12Ψ¨s. (18c)
oùΦ et F sont deux vecteurs : (Φs, Φf)t, F = −m δ(x)δ(y)δ(t) (β − φ, φ)t,A et B
sont deux matrices symétriques définies positives :A = ρ11 ρ12 ρ12 ρ22 , B = S R R T , Vs= µρ22/(ρ11ρ22− ρ212) 1/2
est la vitesse des ondes S et
S = λ + 2µ, λ = λ0+ m(β − φ)2, R = mφ(β − φ), T = mφ2.
La matriceB est inversible, nous multiplions l’équation (18a) par B−1, le système (18)
se réécrit alors sous la forme :
B−1A ¨Φ − ∆Φ = B−1F,
Vs−2Ψ¨s− ∆Ψs= 0, ¨Ψf = −ρ−122ρ12Ψ¨s.
(19)
La matriceB−1A est diagonalisable B−1A = P D P−1, oùP est la matrice de passage,
D = diag(Vpf−2, Vps−2) est la matrice diagonale semblable à B−1A et Vpf etVps sont
respectivement la vitesse de l’onde rapide (fast wave) et de l’onde lente (slow wave) associées aux ondes P. En faisant le changement des variablesΦ∗ = P−1Φ et F∗ =
(BP)−1F = (f∗ 1, f2∗)t, le système devient : ( D ¨Φ∗− ∆Φ∗= F∗, Vs−2Ψ¨s− ∆Ψs= 0, ¨Ψf = −ρ−122ρ12Ψ¨s. (20)
Si on décompose les opérateurs différentiels en espace, le système (18) se réécrit alors sous la forme équivalente :
Vpf−2Φ¨∗p1− (∂xx2 Φ∗p1+ ∂2yyΦ∗p1) = f1∗δ(x)δ(y)δ(t), V−2 ps Φ¨∗p2− (∂xx2 Φp2∗ + ∂yy2 Φ∗p2) = f2∗δ(x)δ(y)δ(t), Vs−2Ψ¨s− (∂xx2 Ψs+ ∂yy2 Ψs) = 0, ¨ Ψf = −ρ−122ρ12Ψ¨s, (Φs, Φf)t= P Φ∗, us= ∇Φs+ ∇ × Ψs, uf = ∇Φf+ ∇ × Ψf. (21)
Appliquons la transformée de Laplace en temps et la transformée de Fourier suivantx à
ce système, nous obtenons :
(s2/Vpf2 + k2) ˆΦ∗p1− ∂2yyΦˆ∗p1= f1∗δ(y), (s2/Vps2 + k2) ˆΦ∗p2− ∂yy2 Φˆ∗p2= f2∗δ(y), (s2/Vs2+ k2) ˆΨs− ∂yy2 Ψˆs= 0, ˆ Ψf= −ρ−122ρ12Ψˆs, ( ˆΦs, ˆΦf)t= P ˆΦ∗, ˆ uxs = ik ˆΦs+ ∂yΨˆs, ˆuys= ∂yΦˆs− ik ˆΨs, ˆ uxf = ik ˆΦf+ ∂yΨˆf, ˆuyf = ∂yΦˆf − ik ˆΨf. (22)
La solution de ce système dans un milieu infini est donnée par :
ˆ Φ∗p1(k, y, s) = f∗ 1 2zp1 e−|y|zp1, ˆΦ∗ p2(k, y, s) = f∗ 1 2zp2 e−|y|zp2, ˆ Ψs= 0, ˆΨf = 0, ( ˆΦs, ˆΦf)t= P ˆΦ∗, ˆ uxs = ik ˆΦs, ˆuys = ∂yΦˆs, ˆuxf = ik ˆΦf, ˆuyf = ∂yΦˆf, (23) avecz2 p1= s2/Vpf2 + k2,z2p2= s2/Vps2 + k2, us= (uxs, usy)tet uf = (uxf, u y f)t.
A partir du dernier système (23), on en déduit la forme des solutions (sign(x) = x/|x|) :
ˆ uxs= ik P 11f1∗ 2zp1 e−|y|zp1+P12f ∗ 2 2zp2 e−|y|zp2 , ˆ
uys= −sign(y)/2hP11f1∗e−|y|zp1+ P12f2∗e−|y|zp2
i , ˆ uxf = ik P21f ∗ 1 2zp1 e−|y|zp1+P22f ∗ 2 2zp2 e−|y|zp2 , ˆ
uyf = −sign(y)/2hP21f1∗e−|y|zp1+ P22f2∗e−|y|zp2
i ,
Pour calculer les solutions us et uf, il suffit de déterminer la transformée inverse de
Laplace en s et la transformée inverse de Fourier en k. On pose alors ˆu(k, y, s) = ik e−|y|z/(2z), ˆv(k, y, s) = sign(y) e−|y|z/2, avec z = (k2+s2/c2)1/2etc une constante
positive. En appliquant la transformée de Fourier inverse enk à ˆu, on obtient : ˆ u(x, y, s) = 1 4π Z +∞ −∞ ik ze −(|y|z+ikx)dk.
En faisant le changement de variablek = ps/c, on aura : ˆ u(x, y, s) = 1 4cπ Z +∞ −∞ ips(1+p2)−1/2e−sc |y|(1+p 2)1/2+ipx dp = Z +∞ −∞ f (x, y, p, s) dp.
Pour retourner au domaine temporel, on cherche un cheminΓ dans le plan complexe,
vérifiant|y|(1 + p2)1/2+ ipx = ct ∀ p ∈ Γ avec t ∈ IR+ etR+∞
−∞ f (x, y, p, s) dp =
R
Γf (x, y, p, s) dp. Ceci nous permet par unicité de la transformé de Laplace et en
utili-sant le changement de variablep = γ(t) de calculer u(x, y, t) = h(x, y, t) qui vérifie ˆ
u(x, y, s) =R+∞
0 h(x, y, t) e
−stdt.
On pose|y|(1 + p2)12 + ipx = ct, Γ = {p ∈ C / |y|(1 + p2) 1
2 + ipx ∈ IR+}. En
posantx = r cos θ et y = r sin θ, on trouve Γ = Γ+∪ Γ−∪ γ+∪ γ−, avec
Γ±=
−ictr cos θ ± | sin θ| (c2t2/r2− 1)1/2, r/c < t
,
γ± =
−i ctr cos θ ± | sin θ| (1 − c2t2/r2)1/2, 0 ≤ t < r/c
.
Remarque 5.1 Puisque on s’intéresse à la propagation d’ondes dans un milieu
homo-gène et infini, il n’aura pas des ondes de tête et par conséquant on n’utilisera pas les contoursγ.
En utilisant cette méthode, on calcule :
ˆ u(x, y, s) = Z −∞ +∞ f (x, y, p, s) dp = Z Γ+∪Γ− f (x, y, p, s) dp = −4πc1 Z Γ+∪Γ− ips(1 + p2)−1/2e−sc |y|(1+p 2 )1/2+ipxdp = cos θ 2πr Z +∞ r/c t(t2− r2/c2)−1/2s e−stdt = Z +∞ r/c ∂thc(x, y, t)e−stdt, avechc(x, y, t) = xt
2πr2pt2− r2/c2. En utilisant l’unicité de la transformée de Laplace,
On utilise les mêmes démarches pourv(k, y, s) = sign(y) eˆ −|y|z/2, on obtient dans
[16] ,v(x, y, t) = H(t − r/c) ∂tgc(x, y, t), gc(x, y, t) = hc(y, x, t).
Finalement, nous obtenons :
ux s(x, y, t) = P11∗ H(t − r/c1) ∂thc1(x, y, t) + P ∗ 12H(t − r/c2) ∂thc2(x, y, t), uys(x, y, t) = P11∗ H(t − r/c1) ∂tgc1(x, y, t) + P ∗ 12H(t − r/c2) ∂tgc2(x, y, t), uxf(x, y, t) = P∗ 21H(t − r/c1) ∂thc1(x, y, t) + P ∗ 22H(t − r/c2) ∂thc2(x, y, t), uyf(x, y, t) = P∗ 21H(t − r/c1) ∂tgc1(x, y, t) + P ∗ 22H(t − r/c2) ∂tgc2(x, y, t), c1= Vpf, c2= Vps, Pij∗ = Pijfj∗ ∀ i, j = 1, 2.
Dans le cas d’une source quelconque en temps et ponctuelle en espaceδ(x)δ(y) f (t), la
solution de ce problème est obtenue à l’aide de la convolution de la fonction source avec la fonction de Green :
us(x, y, t) =
Z t
0
uδs(x, y, τ )f (t − τ) dτ, (25)
où uδs est le champ de déplacement dans le solide associé à une source ponctuelle en temps. Pour ne pas alourdir et simplifier cette étude, on n’a traité que le cas d’une source de pression. On peut généraliser cette démarche à tout type de source (voir les exemples qui vont suivre).
On termine cette section par des exemples de propagation avec différents type de source. On se place dans un milieu infini occupé par un matériau poroélastique homogène, iso-trope, non dissipatif (K = 0) et caractérisé par les données physiques : ρ = 1.8 kg/m3, ρf =
1 kg/m3, ρw= 7.5 kg/m3, µ = 4 P a, λ0 = 5.93 P a, m = 10 P a, β = 0.295, ce qui
correspond aux vitessesVpf = 2.93 m/s, Vps = 1.19 m/s, Vs = 1.95 m/s. Dans un
premier temps, on considère une source de pressionfp(x, y, t) = δ(x)δ(y) f (t)
ponc-tuelle en espace, localisée au point(0, 0), le signal temporel est une gaussienne en temps :
f (t) = exp(−π2f2
0(t − t0)2), t0 = 1/f0, et de fréquence f0 = 5.95 Hz. La
solu-tion analytique est calculée à l’aide d’un code MATLAB en utilisant la convolusolu-tion en temps de la source et la fonction de Green à l’aide de l’équation (25). Nous présentons sur la figure 1 la restriction de la première composante de la vitesse du solide sur le carré
[−3, 3] × [−3, 3] dans des différents instants, t = 0.6s, 0.8s, 1s et 1.2s. Nous observons
bien que la source de pression a généré deux types d’ondes P : une onde lente de vitesse
Vpset une onde rapide de vitesseVpf. Dans un deuxième temps, nous considérons le cas
d’une source de cisaillement fu(x, y, t) = f (t) ∇ × (δ(x)δ(y) (1, 1)t), nous suivons les
mêmes démarches que dans le cas d’une source de pression et nous montrons que la so-lution est une onde de cisaillement de vitesseVs, voir la figure 2. Enfin, dans le dernier
test, nous considérons une source de compression fu(x, y, t) = f (t) ∇ (δ(x)δ(y)), nous présentons sur la figure 3 les instantanés de la norme de la vitesse dans le solide et sur la figure 4 la coupe de la norme de la vitesse sur la ligne y=0.
Figure 1. Instantanés de la première composante de la vitesse (source de pression)
Figure 2. Instantanés de la première composante de la vitesse (source de cisaillement)
Figure 3. Instantanés de la norme de la vitesse (source de compression)
−3 −2 −1 0 1 2 3 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 −30 −2 −1 0 1 2 3 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 −3 −2 −1 0 1 2 3 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 −30 −2 −1 0 1 2 3 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012
Figure 4. Coupe de la norme de la vitesse sur la ligney = 0
A partir de ces tests , nous remarquons que chaque type de source, de pression ou de cisaillement, ne génère que des ondes de même type, nous en déduisons alors que les ondes de compression et de cisaillement dans les milieux poroélastiques homogènes sont découplées.
6. Bibliographie
[1] H.BARUCQ ANDM.MADAUNE-TORT ANDP. SAINT-MACARY, Some existence-uniqueness results for a class of one-dimensional nonlinear Biot models. Nonlinear Analysis, 61 :591-612, 2005.
[2] E. BÉCACHE ANDA. EZZIANI ANDP. JOLY, A higher order mixed finite element method for wave propagation in poroelastic time-domain. en préparation,.
[3] J. G. BERRYMAN ANDS. R. PRIDE, Linear dynamics of double-porosity dual-permeability materials I. Governing equations and acoustic attenuation. Physical Review E 68, 2003. [4] J. G. BERRYMAN ANDH. F. WANG, Elastic wave propagation and attenuation in a
double-porosity dual-permeability medium. Int. J. Rock Mech. Min. Sci., 37 :63-78, 2000.
[5] M. A. BIOT, Theory of propagation of elastic waves in a fluid-saturated porous solid I. Low-frequency range. J. Acoust. Soc. Am., 28 :168-178, 1956.
[6] M. A. BIOT, Theory of propagation of elastic waves in a fluid-saturated porous solid II. Higher frequency range. J. Acoust. Soc. Am., 28 :179-191, 1956.
[7] M. A. BIOT, Mechanics of deformation and acoustic propagation in porous media. J. Appl.
Phys., 33 :1482-1498, 1962.
[8] T. BOURBIÉ ANDO. COUSSY ANDB. ZINSZNER, Acoustique des milieux poreux. Publica-tions de l’Institut Français du Pétrole, 1986.
[9] H. BREZIS, Analyse fonctionnelle-Théorie et applications. Masson, 1983.
[10] R. BURRIDGE ANDJ. B. KELLER, Biot’s Poroelasticity Equations by Homogenization. In
Macroscopic Properties of Disordered Media, pages 51-57, Springer, 1982.
[11] L. CAGNIARD, Réflexion et Réfraction des Ondes Sismiques Progressives. Gauthier-Villard, 1939.
[12] J. M. CARCIONE, Wave Fields in Real Media : Wave propagation in Anisotropic, Anelastic
and Porous MediaA. Pergamon, 2001.
[13] A. T.DEHOOP, The surface line source problem. Appl. Sci. Res. B., 8 :349-356, 1959. [14] J. DIAZ, Approches analytiques et numériques de problèmes de transmission en
propaga-tion d’ondes en régime transitoire. Applicapropaga-tion au couplage fluide-structure et aux méthodes de couches parfaitement adaptées. PhD thesis, Univresité Paris 6, 2005.
[15] G. DUVAUT ANDJ. L. LIONS, Inéquations en mécanique et en physique. Dunod, 1972. [16] A. EZZIANI, Modélisation mathématique et numérique de la propagation d’ondes dans les
milieux viscoélastiques et poroélastiques. PhD thesis, Univresité Paris 9, 2005.
[17] U. HORNUNG, Homogenization and porous media, volume 6 of Interdisciplinary Applied
Mathematics, Springer, 1997.
[18] J. A. NITSCHE, On Korn’s second inequality. RAIRO Numerical Analysis, 15 :237-248, 1981.
[19] J. E. SANTOS, Elastic wave propagation in fluid-saturated porous medium. I. The existence and uniqueness theorems. M2AN, 20 :113-128, 1986.
