MATHS À MODELER, UN PROJET QUI MET EN RELATION
LA RECHERCHE EN MATHÉMATIQUES ET L'ÉCOLE.
Karine GODOT
Erté Maths à modeler & Association Sciences et Malice
MOTS-CLÉS : MATHÉMATIQUES – DIDACTIQUE – RECHERCHE – HEURISTIQUE – RÉSOLUTION DE PROBLÈMES
RÉSUMÉ : Né de la collaboration entre chercheurs en mathématiques et didacticiens, le projet Maths à modeler vise à développer des situations particulières, les situations recherche, amenant l’élève ou le grand public à rentrer dans une démarche de recherche en mathématiques. À partir de l’exemple de deux situations, nous présenterons les caractéristiques de ces situations les apprentissages qu’elles mettent en jeu ainsi que les conditions de gestion qu’elles requièrent.
ABSTRACT : Maths à modeler is a project developped by discrete mathematics researchers and didacticians. The aim is to propose particular situations, the research situations, that permit to the public, pupils or not, to discover what means researching in mathematics. From the example of two research situations, we present what are the characteristics of these situations, the learnings associated and how they can be used in the classroom (organization conditions).
1. INTRODUCTION
Au cours des dernières années, se dessine un intérêt grandissant dans les programmes scolaires pour la démarche de recherche en mathématiques. L'expression même « démarche de recherche en mathématiques » y apparaît actuellement de manière récurrente du primaire à la fin du lycée.
Cependant, au regard de nos recherches, hormis les ouvrages publiés par Ermel (Ermel, 1995-2004) et quelques autres, très peu d'outils sont effectivement à la disposition des enseignants pour leur permettre « d'apparenter leur classe à une véritable petite communauté mathématique », comme le préconisent les instructions officielles. Alors comment faire ? Est-il possible de rapprocher le monde de la recherche en mathématiques et l'école ? comment faire sentir aux élèves ce que peut être l'activité d'un chercheur en mathématiques ? avec quelle gestion ? et quels peuvent être les apports d'une telle initiative ? Cela fait plusieurs années que nous cherchons à apporter des éléments de réponse à ces questions au travers du projet Maths à modeler1.
2. LE PROJET MATHS À MODELER 2.1. Une équipe pluridisciplinaire
L’ERTé (équipe recherche en technologie de l’éducation) Maths à modeler regroupe des chercheurs en didactique des mathématiques et des chercheurs en mathématiques discrètes. Cette branche des mathématiques peu enseignée offre une kyrielle de situations amenant à mettre en œuvre une démarche de recherche en mathématiques. Chacune d’entre elles est analysée tant du point de vue mathématique que didactique. Elles sont ensuite expérimentées sur le « terrain » lors d’événements « grand public » tels que la Fête de la science, ou en classe, de l’école primaire à l’université.
2.2. Les situations recherchées
Les situations développées dans le cadre du projet Maths à modeler sont appelées situations recherche. De façon générale, ce sont des situations telles que :
• Le problème abordé est le plus souvent issu de problèmes de la recherche actuelle. Ainsi, une question résolue peut renvoyer à une nouvelle question, il n’y a que des critères de fins locaux et le problème abordé peut comporter une, plusieurs ou aucune solution.
• Même s’il n’est pas familier, le domaine conceptuel dans lequel se trouve le problème ainsi que la question de départ sont d’un accès facile pour que l’on puisse prendre facilement possession de la situation.
• Les méthodes de résolution ne sont pas désignées. Plusieurs pistes peuvent être suivies.
• Les savoirs en jeu sont avant tout des savoirs dits transversaux aux mathématiques, tels que la preuve (Grenier, Payan, 1998), la définition (Ouvrier Buffet, 2003), l’implication (Deloustal, 2004) et bien entendu, la démarche de recherche. Ainsi, il n’y a pas de savoir notionnel qui puisse faire obstacle à l’entrée dans la recherche, c'est la situation elle-même qui amène l'élève à l'intérieur des mathématiques.
2.3. Un support matériel pour aider à la recherche
Dans le cadre de mes recherches, je m’intéresse plus particulièrement aux situations recherche présentées sous la forme d’un jeu et accompagnées d’un support matériel. Ce dernier permet, quels que soient l’âge et le niveau de connaissance, de comprendre les règles du jeu et de mettre en place des stratégies de recherche, et s’avère donc être une aide à la dévolution du problème. Nos expérimentations ont montré aussi qu’il était une aide à la recherche pour les élèves, notamment ceux de l’école primaire (Godot, 2005) car il donne l’opportunité de faire facilement des essais et d’exhiber des contre-exemples.
3. EXEMPLES DE DEUX SITUATIONS RECHERCHE 3.1. Pavages
Paver signifie recouvrir une forme donnée par plusieurs formes plus petites et toutes identiques, sans laisser de trous et sans que ça déborde. À l’heure actuelle les chercheurs ne savent pas résoudre ce genre de problèmes, ils ne savent pas dire si a priori cela va être possible ou pas, quelles que soient les formes considérées. La seule façon
de trancher est d’étudier tous les possibles via un ordinateur. Considérons un cas plus simple : le pavage d’une grille carrée par un domino. Dans le cas d’une grille de côté impair, très vite, on s’aperçoit que cela s’avère impossible… alors rajoutons un trou. Le problème devient : selon la
place du trou est-il toujours possible de paver ? Pour les grilles « paires », est-ce toujours possible de paver si l’on remplace un domino par deux trous, non nécessairement contigus ?
Dans les deux cas, lors de la recherche, pour certaines positions, on parvient à paver rapidement, pour d’autre part contre, après plusieurs essais, il reste toujours un trou pour les grilles impaires, deux pour les paires.
Pour prouver qu’il est impossible de paver, on peut utiliser des arguments lies aux contraintes de la situation, étudier l’exhaustivité des cas pour des petites grilles, chercher à caractériser les cases « possibles » et « impossibles » (on peut utiliser une bicoloration…)
3.2. Tout noir tout blanc Il s’agit d’un problème de configuration sur un graphe, là encore non encore entièrement résolu si on se place sur un graphe quelconque. Simplifions et plaçons-nous sur une grille.
Chaque case est recouverte par un pion biface tel qu’une face soit blanche et l’autre noire. Au départ, tous sont placés du côté noir. Le but du jeu est de retourner tous les pions du côté blanc en respectant la règle suivante : si l’on retourne un pion, on doit retourner à chaque fois les pions (et seulement ceux-là) qui sont à droite, à gauche, au-dessus et au-dessous de ce jeton. Les pions peuvent donc être retournés plusieurs fois.
Pour avancer dans la résolution de cette situation, il est tout d’abord important de prendre en compte le premier pion que l’on retourne, que nous appellerons pion décideur. Pour chaque grille, ce sont les pions décideurs qui permettent de caractériser les solutions. On s’aperçoit rapidement que l’ordre de retournement de ces pions n’est pas important.
L’étude de petites grilles permet de généraliser les solutions pour 1xn, 2xn. Pour grilles carrées, l’exhaustivité des cas permet d’obtenir des solutions pour les grilles 2x2, 3x3, 4x4 pour les plus courageux mais après il est nécessaire de chercher à caractériser les pions décideurs (nombre de retournements possibles, voisinage…).
3.3. Productions des participants
Lors de l’atelier, les deux situations ont été proposées aux participants, répartis en groupes de 3 ou 4. Durant environ 45 minutes, deux groupes ont cherché Tout noir tout blanc, un, les pavages. Le
conclu et prouvé qu’il était nécessaire d’avoir un trou, il a étudié le cas 4x4 et conjecturé que le pavage n’était pas toujours possible selon les positions respectives des deux trous. En organisant ses essais, il est peu à peu parvenu à identifier toutes les positions où le pavage est possible. Il a ensuite réinvesti ses découvertes dans l’étude de 5x5. Cependant, il n’a pas eu le temps d’avancer plus dans le processus de preuve. Les deux groupes qui ont cherché Tout noir tout blanc ont eu des stratégies de recherche et des outils de représentation différents. Un a cherché à partir du 3x3 à étudier le 4x4, puis le 5x5 en regardant les conséquences au niveau de la frontière lorsqu’on rajoute ligne et colonne sur les bords. L’autre a commencé par étudier 2x2 et a mis en œuvre une stratégie liée à la symétrie. Cependant, ils ont tous les deux identifiés ce que nous appelons les pions décideurs, et remarqué que l’ordre de retournement était sans conséquence. Tous ont découvert ce qu’est une conjecture en mathématiques, le statut d’un contre exemple, se sont confrontés à la preuve, à la modélisation et… ont eu du mal à s’arrêter de chercher !
4. LES CONNAISSANCES EN JEU
Nous supposons que la pratique régulière de situations recherche en classe, à l’école primaire ou après, peut permettre des apprentissages constitutifs de toute activité de recherche mathématique, tels que l’intérêt de commencer par étudier des petites valeurs (alors que les élèves ont tendance à faire le contraire), d’organiser ses essais, de généraliser, d'autres liés à la mémoire de la recherche tels que l’importance de la clarté de la prise de notes et du fait qu’il est aussi important de marquer les erreurs « pour ne pas les refaire ». Comme lors de l’atelier, les élèves découvrent également ce qu’est un contre-exemple (et qu’un seul suffit), le statut d’une conjecture, d’une preuve, que certaines questions peuvent rester sans réponse… Des éléments relatifs à la notion même de problème mathématique sont aussi en jeu. D’une part, le fait qu’un problème de mathématiques n’a pas forcément une solution et une seule comme cela est souvent le cas dans les manuels, mais peut en avoir plusieurs ou aucune. D’autre part, qu’il n’y a pas qu’un seul schéma de résolution : quel que soit le niveau de connaissance, plusieurs stratégies de recherche apparaissent même chez les élèves les plus en difficulté. Enfin, la pratique régulière de situations recherche peut conduire à enrichir le rapport personnel de l’élève vis-à-vis des mathématiques car elle implique une appréhension différente de l’activité mathématique, en les montrant sous un angle expérimental. En effet, comme l’ont décrit Grenier et Payan (Grenier, Payan, 2002), la recherche d’une situation recherche, contrairement aux pratiques de classe et aux manuels, comporte trois aspects fondamentaux de l’heuristique mathématique :
• « L'« enjeu de vérité ». La plupart du temps, en classe, l’élève sait que ce qu’il a à prouver est vrai (« démontrer que »). « Il n’y a plus d’« enjeu de vérité. (…) L’enjeu est alors pour lui
d’apprendre, non de produire une connaissance. » Dans les situations recherche, il peut être
amené par exemple à rencontrer l’impossibilité sans que rien dans la situation ne le lui précise. Dès lors, comme les participants de l’atelier, il devra trancher : Est ce difficile ou impossible ? Comment être sûr ?
• « L’aspect social de l’activité ». Dans un cours de mathématiques, l’élève est habituellement seul à chercher. Dans une situation recherche, « il peut y avoir un vrai enjeu social de production
mathématique ». Par le biais de ses « pourquoi » et de ses « comment », le gestionnaire de la
situation (animateur, enseignant) les aide à avancer dans leurs recherches.
• « L’aspect recherche ». En classe, la « recherche » se réduit souvent à celle de la connaissance mathématique à utiliser, « du bon outil ». Dans le cas d’une situation recherche, l’élève est acteur de la recherche, comme le chercheur, il ne sait pas à quoi vont aboutir ses recherches et « utilise
des résultats locaux (trouvés en cours de la recherche) ou même des propriétés encore à l’état de conjectures (qui devront être prouvées ou infirmées ensuite), parce qu’elles permettent d’avancer ».
5. PROPOSITIONS DE CONDITIONS DE MISE EN PLACE
Tout d’abord, comme lors de l’atelier, nous pensons qu'il est préférable de faire chercher les élèves par groupes de 3 ou 4. Le fait de travailler en groupe favorise le débat, l’argumentation et évite les découragements chez les élèves. De plus, il semble permettre de valoriser les élèves en difficulté, ils sont amenés à débattre avec ceux qui réussissent habituellement en mathématiques et se retrouvent là, finalement, à « connaissances égales ». Par ailleurs, la recherche se déroulant sur plusieurs séances, nous donnons à chaque groupe une feuille de recherche sur laquelle les élèves peuvent consigner quand ils le veulent les résultats de leur recherche qu’ils jugent importants et sur lesquels ils peuvent s’appuyer lors des séances suivantes. Nous faisons l’hypothèse que ces feuilles sont une aide à la recherche car elles permettent de faire un lien entre les différentes séances, qu’elles favorisent les phases de formulation et incitent la mise en place d’un codage. Dans l’objectif d’inciter les élèves à décontextualiser et généraliser, nous avons également développé des tâches amenant, après plusieurs séances, à une recherche individuelle sur le support papier crayon. Elles se sont par ailleurs avérées utiles pour les enseignants comme outil pour évaluer l'avancée de chaque élève. On peut aussi proposer après plusieurs séances de recherche, de résoudre des
D'autre part, après plusieurs séances de recherche, il est important d’organiser des mises en commun2 pour que les groupes communiquent leurs résultats, leurs méthodes, leurs conjectures et éventuellement débattent. Cela permet de créer une unité dans la « petite communauté mathématique » tout au long des séances et de recentrer éventuellement les recherches vers un sous-problème particulier (par exemple, les grilles carrées, paires…). Les recherches autour d’une situation recherche sont finalisées par une communication publique. Ce peut être une présentation par affiche entre les différents groupes, ou à l’attention d’une autre classe, ou des parents… ou sous la forme d'un séminaire Maths à modeler junior si plusieurs établissements sont impliqués dans la recherche de situations recherche.
BIBLIOGRAPHIE
ARSAC G., GERMAIN G., MANTE M. [1991] Problème ouvert et situation-problème. Ed. IREM de Lyon.
DELOUSTAL V. [2004] L’implication mathématique : étude épistémologique et didactique, étude
de trois points de vue : raisonnement déductif, logique formelle et théorie des ensembles. Construction d’une situation didactique qui problématise l’implication. Thèse de l’Université
Joseph Fourier, Grenoble, décembre 2004.
GODOT K. [2005] Situations recherche et jeux mathématiques pour la formation et la
vulgarisation, Thèse de l’Université Joseph Fourier, Grenoble, novembre 2005. En ligne sur
http://tel.ccsd.cnrs.fr/tel-00102171.
GRENIER D., PAYAN C. [1998] Spécificités de la preuve et de la modélisation en mathématiques discrètes, RDM n° 18, vol 1, pp 59-100.
GRENIER D., PAYAN C. [2002], Situations de recherche en classe : essais de caractérisation et proposition de modélisation, cahiers du séminaire national de recherche en didactique des
mathématiques, Paris, 19 octobre 2002.
OUVRIER BUFFET C. [2003] Construction de définitions/ construction de concept : vers une situation fondamentale pour la construction de définition en mathématiques. ÉTUDE épistémologique et didactique de la définition. ÉTUDE théorique et expérimentale auprès d’étudiants de 1re année d’université. Thèse de l’Université Joseph Fourier, Grenoble, décembre 2003.
2 Ces mises en commun peuvent être organisées par exemple autour de la rédaction et de la présentation d'une affiche par groupe, comme lors de la recherche de problèmes ouverts en classe (Arsac, et alii, 1991).
MANUEL SCOLAIRES
ERMEL [1995] Apprentissages numériques et résolution de problèmes, CE2, Paris, Hatier. ERMEL [1997] Apprentissages numériques et résolution de problèmes, CM1, Paris, Hatier.
ERMEL [1999] Apprentissages numériques et résolution de problèmes, CM2, Paris, Hatier. ERMEL [2004] Vrai ? Faux ?...On en débat ! De l’argumentation vers la preuve en mathématiques au cycle 3, INRP.
PROGRAMMES SCOLAIRES
Horaires et programmes de l'école primaire 2002. BO Hors série n° 1 du 14 février 2002. En ligne sur http://www.education.gouv.fr/bo/2002/hs1/default.htm
Documents d'application des programmes. Mathématiques. Cycle 2 (brochure CNDP n°755A0282, juillet 2002) et cycle 3 (brochure CNDP n°755A0281, juillet 2002). En ligne sur en ligne sur http://eduscol.education.fr/D0048/primacc.htm
Documents d'application des programmes. Mathématiques. Les problèmes pour chercher. En ligne sur http://eduscol.education.fr/D0048/primacc.htm
