HAL Id: inria-00289015
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Submitted on 11 Jan 2009
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Synthèse algébrique d’estimateurs de vitesses
longitudinale et latérale d’une automobile
Jorge Villagra, Brigitte d’Andréa-Novel, Michel Fliess, Hugues Mounier
To cite this version:
Jorge Villagra, Brigitte d’Andréa-Novel, Michel Fliess, Hugues Mounier.
Synthèse algébrique
d’estimateurs de vitesses longitudinale et latérale d’une automobile. e-STA Sciences et Technologies
de l’Automatique, SEE - Société de l’Electricité, de l’Electronique et des Technologies de l’Information
et de la Communication 2008, 5 (3), pp.12-27. �inria-00289015v2�
longitudinale et latérale d'une automobile Jorge Villagra 1 ,Brigitte d'Andréa-Novel 2 , Mi hel Fliess 3,4 , Hugues Mounier 5 1
Departamentode Ingenieriade Sistemasy Automáti a Univ. Carlos III, Leganés (Madrid), Espagne
jvillagring.u 3m.es 2
Centre de Robotique, É ole des Mines de Paris 60boulevard Saint-Mi hel, 75272 Paris edex 06, Fran e
brigitte.dandrea-novelensmp.fr 3
INRIA-ALIEN 4
LIX (CNRS, UMR 7161)
É ole polyte hnique, 91128Palaiseau,Fran e mi hel.iesspolyte hnique.edu
5
Institut d'Éle tronique Fondamentale (CNRS, UMR 8622) Université Paris-Sud, 91405 Orsay, Fran e
hugues.mounieru-psud.fr
RésuméCet arti le présente une nouvelle appro hepour l'estimationdesvitessesau entredegravitéd'unvéhi ule. Dans le but d'obtenir une estimation la plus robuste pos-siblevisàvisdevariationsparamétriquesetnotammentde l'adhéren e, nous utilisonslesmesures disponibles dansun véhi uledesérie,sans her heràmodéliserleseorts pneu-matiques. La stratégie proposée repose sur deste hniques algébriques ré entes d'estimationdela dérivée d'un signal etsuruneappro hedetypediagnosti .
I. Introdu tion A. Généralités
Les systèmes a tifs de type ESP ou Lane keeping, de mêmequelesABSoulesstratégiesStopandGodépendent fortement des eorts d'intera tion pneus/ haussée et no-tammentdel'adhéren e.Unebonne onnaissan edela vi-tessevéhi uleau entredegravité onstitueégalementune informationimportante.C'estpourquoidenombreuses mé-thodesd'estimationàbasedemodèlesdeseorts pneuma-tiques
1
sesontdéveloppées esdernièresannées.
Un grandnombredepubli ationsutilisentlemodèle bi- y lette ( f. [25℄) (linéaire ounon linéairesuivantles mo-délisationsdespneumatiques).Dans[2℄et[20℄,lesauteurs proposentdiérentesversionsdultredeKalmanétendu. [22℄ utiliseunestratégieàbase demodesglissants,[1℄ im-plémente desobservateursàgrandsgainset [13℄,[24℄,[5℄, [12℄,[3℄utilisentunefon tiondeLyapunovpoursynthétiser desobservateursnon-linéairesasymptotiquesdeseortsou des vitesses. Ces appro hes, valables uniquement sur des onditionstrèsfavorablesderoulage(faiblesvirageset vi-tesse lentement variable) s'avèrent extrêmement sensibles àl'adhéren e. D'autresauteurs (voir[17℄,[19℄)ontessayé derendrelarigiditédedérivevariableenutilisantdes mo-dèlesde relaxation,dontlesparamètressont,àleur tour,
1
Onpourra onsulter[10℄,[11℄,[15℄ou[18℄pouruneintrodu tion surlesujet.
identiés.Danstoutes esméthodes,lesmodèlesdeseorts pneumatiques omme euxdePa ejka[16℄oudeLugre[4℄ sont malheureusementdi ilementexploitables, les para-mètresétanttropnombreuxoumalidentiables.
C'est pourquoi nous avons préféré utiliser des modèles dynamiquesrelativementsimples,ave unnombreminimal de paramètres et un maximum d'informations issues des apteursembarquésdanslevéhi ule.
En appliquantleprin ipefondamentaldeladynamique derotationauxroues,onpeuté rire:
I
r
˙ω = −rF
x
+ C
(1)où
I
r
etr
sont respe tivement le moment d'inertie et le rayonde la roue,ω
est sa vitesse de rotation,F
x
l'eort longitudinalaupointde onta tpneumatique/sol,etC
le ouple moteur/frein.Sa hant que l'on peut mesurerω
et sous ertaineshypothèsesestimerC
,etquel'on onnaîtles valeursdeI
r
et der
(supposés onstants), l'équation (1) peutdonnerunepremièreestimationdeF
x
.Notonsd'autre partqu'unebonneestimationdeseortsverti auxF
z
peut égalementêtreobtenuesimplement(e.g. [21℄), equi per-metdesynthétiserunestimateurdu oe ientd'adhéren eµ = F
x
/f
z
. Cependant, il faudrait évaluer la robustesse d'untelestimateurparrapportàdeserreurssurle ouple ou lerayonde laroue. Une éventuelleaméliorationpasse alorsparla onnaissan edelavitesselongitudinale.L'obtentiondesvitessesau entredegravitéestune pre-mière étape vers la synthèse de lois de ommande et la réalisationd'undiagnosti embarquédu omportement vé-hi ule.
Deplus,la onnaissan edutauxdeglissement 2
passepar l'estimationpré isedelavitesselongitudinalepourlaquelle
2
Letauxdeglissement
τ
=
V
x
− rω
V
x
estlavariablelaplus impor-tante ara térisantl'adhéren e,i.e.
µ
= f (τ )
onutiliselaloide ompositiondesmouvements:
γ
x
(t) = ˙
V
x
(t) − ˙
ψ(t)V
y
(t)
γ
y
(t) = ˙
V
y
(t) + ˙
ψ(t)V
x
(t)
(2)
ave
V
y
vitesse transversale,ψ
˙
vitessede la et,γ
x
a élé-rationlongitudinaleetγ
y
a élérationtransversale.Même si les dynamiques verti ale, de roulis et de tangage sont négligéesdans emodèle,ilrestetrèspro hedelaréalité, et surtout, il est omplètement indépendant du véhi ule utilisé.Eneet,iln'utiliseau unparamètre,etnedépend quedestroisentréesdontondispose(onverraparlasuite quel'onsesertégalementdesinformationsodométriques). Remarquonsennque, ontrairementàlaplupart des ap-pro hespré édemment itées, iln'utilise paslamesure de l'angledebraquagedisponiblesurlebusde ommuni ation duvéhi ule.B. Plande l'arti le
Danslese ondparagraphe,onprésenteral'appro he gé-néralepourl'estimationdesvitesseslongitudinaleet trans-versale au entre de gravité du véhi ule. Des outils simi-laires auxte hniques de diagnosti serontintroduits pour faire fa e aux problèmesd'observabilitéasso iés à l'équa-tion (2). Dans un ontexte automobile réel, les apteurs sont généralement de bas oût et délivrent don des me-sures souvent fortbruitées qu'il sera né essaire de ltrer. Le ltragedessignauxet de sesdérivéesferal'objet du III,oùunaperçudes te hniques algébriques utiliséessera rappelé(voir[8℄pourplusdedétails).LeIVsera onsa ré àunedes riptiondétailléedesalgorithmesd'estimation im-plémentés.Lesrésultatssurdessimulationsréalistesseront présentésdansleV.Enn,dansleVInous on luerons et donneronsquelquesperspe tives.
Pouruneversionanglaise,onpourra onsulter[26℄. II. Le diagnosti pour l'estimationdes vitesses
Comme elaadéjàétéévoquéenintrodu tion,nous al-lons her her àutiliser les mesures de
γ
x
,γ
y
etψ
˙
dispo-niblessurtoutevoitureéquipéedel'ESPainsiquele han-gementderepère(2)pourestimerpré isémentV
x
etV
y
.Toutd'abord, laproposition suivante montre l'impossi-bilité mathématique d'estimer simultanément
V
x
etV
y
à partirdesseulesmesuresdisponiblesdans le asgénéral.Proposition 1: Les vitesses longitudinale
V
x
et latéraleV
y
ne peuvent être simultanément estimées à partir des équations:γ
x
(t) = ˙
V
x
(t) − ˙
ψ(t)V
y
(t)
(3)γ
y
(t) = ˙
V
y
(t) + ˙
ψ(t)V
x
(t)
(4)que si l'on onnaît leurs valeurs
V
x
t0
etV
y
t0
à l'instant initialt
0
.Preuve: Le système d'équations(2) peut se réé rire ommeune équationen variable omplexe si on onsidère la ombinaisonlinéaire(3)+
i
(4):˙
V
x
(t) + i ˙
V
y
(t) = γ
x
(t) + iγ
y
(t) + ˙
ψ (−iV
x
(t) + V
y
(t))
e quiestéquivalentàl'équation diérentielle omplexe
˙
V = −i ˙
ψ(t)V (t) + γ(t), V (t
0
) = V
0
(5)ave lesvariables omplexes
V (t) = V
x
(t)+ iV
y
(t)
etγ(t) =
γ
x
(t) + iγ
y
(t)
.Ilest lair,parlethéorèmedeCau hy,que l'équation (5) possèdeune solutionuniquesi la ondition initialeV
0
= V
x
(t
0
) + iV
y
(t
0
)
est onnue.Onvoit ainsique,defaçonpratique,onnepeutespérer onnaîtresimultanémentlesvitesseslongitudinaleet trans-versaleuniquementàl'aidede(2). Eneet,pour e faire, on serait obligé de onnaître les vitesses réelles initiales, et e, de façonsystématique pour de petits intervalles de temps (and'éviter les dérivesasso iéesauximpré isions d'intégration).
Nousavonsoptépourunestratégiepermettant d'exploi-ter les équations (2). On s'est ainsi inspiré des outils de basedudiagnosti (voirparexemple[8℄etsabibliographie) pourdé omposerleproblème ommesuit.Considéronsles expressions des vitesses (
V
x
,V
y
) omme la somme d'un termeidéal (R
x
,R
y
)etd'unautreterme perturbateur (G
x
,G
y
)V
x
(t) = R
x
(t) + G
x
(t)
V
y
(t) = R
y
(t) + G
y
(t)
(6) où:
R
x
= rω
t
, aver
le rayon de la roue en statique etω
t
=
1
4
4
X
i=1
ω
i
,lamoyennedesvitessesderotationdesquatreroues;
R
y
= −L
1
ψ
˙
,aveL
1
l'empattementavantduvéhi ule.Remarque1: Les termes pertubateurs (
G
x
,G
y
) peuvent être vus omme les résidus lassiquement utili-sésendiagnosti .Lorsque esrésidusdépassentun ertain seuil,onpassedumoded'estimationnominalaumode dé-gradé(touslesdétailsserontprésentésdansleIV).Remarque2: La séparation entre omportement nomi-naletperturbéapparaîtdefaçonasseznaturelledansla dy-namiquelongitudinale.Dansle asdeladynamique trans-versale, on peut utiliser l'expressiondes dérives (en l'o - urren e du entre de l'essieu avant
β
1
) pour obtenirune expressionre her héedelaforme(6):β
1
= arctan
V
y
+ L
1
˙
ψ
V
x
!
⇒ V
y
= −L
1
ψ + V
˙
x
tan(β
1
).
Dérivantl'équation(6)etremplaçant
V
˙
x
etV
˙
y
parleurs expressionsdans(2),nousobtenonslesystèmed'équations suivant:˙
R
x
= ˙
ψR
y
− ˙
G
x
+ ˙
ψG
y
+ γ
x
˙
R
y
= − ˙
ψR
x
− ˙
G
y
− ˙
ψG
x
+ γ
y
D'oùl'ontire lesystème d'équationsdiérentielles ordi-nairesen
G
x
etG
y
:˙
G
x
(t) = ˙
ψ(t)G
y
(t) + L
1
ψ
˙
2
(t) − r ˙ω
t
(t) + γ
x
(t)
(7)˙
G
y
(t) = − ˙
ψ(t)G
x
(t) − ˙
ψ(t)rω
t
(t)
− L
1
ψ(t) + γ
¨
y
(t)
(8)G
x
(t
0
) = 0, G
y
(t
0
) = 0
(9)L'intégration du système pré édent nous donnera don desinformations surlesinstantsoùl'approximation
V
x
=
e-STA copyright 2008 by SEE
rω
t
essed'être a eptable. Si les valeursobtenues deG
x
étaientpré ises, esinformationspourraientêtrelargement susantes pour avoir une bonne estimation de la vitesse longitudinale(tous lesdétails serontprésentésdans le pa-ragraphe IV). Cependant, les fortsbruits de mesure (no-tammentsurlesa éléromètres,voirgure1), ainsiqu'un pasd'intégrationxe(limitéàlapérioded'é hantillonnage desmesures)obligentàunpré-traitementdessignaux.De plus,nousavonsbesoindedérivateursnumériquesrobustes auxbruits3
etutilisablesentempsréel.
Leparagraphesuivantrésumeleste hniquesalgébriques d'estimation des dérivées (voir [8℄ pour des ompléments etpourdesappli ationsvariéesaunon-linéaire).Ellessont utilisées,d'unepart,pourleltragede
γ
x
,γ
y
,ψ
˙
,etd'autre part,pourl'estimation desdérivées˙ω
etψ
¨
.III. Méthodes algébriquesd'estimationdes dérivées
Substituons à la série onvergente
x(t) =
P
n≥0
a
n
t
n
n!
,a
n
∈ C
, le développement de Taylor tronquéx
N
(t) =
P
N
n=0
a
n
t
n
n!
.Illui orresponddansledomaineopérationnel ( f.[28℄)s
N+1
x
N
− s
N
x
N
(0) − s
N −1
˙x
N
(0) . . . − x
(N )
N
(0) = 0
Les dérivéesà l'origine
t = 0
sontainsiobtenuesàpartir dusystèmed'équationslinéairess
−ν
d
m
ds
m
n
x
(N )
N
(0) + x
(N −1)
N
(0)s + . . . + x
N
(0)s
N
o
=
s
−ν
d
m
ds
m
s
N
+1
x
N
(10)
m = 0, . . . , N
,ν > N + 1
. Ce système étant trian-gulaire ave des éléments diagonaux non nuls, les para-mètresx
(i)
N
(0)
,etpar onséquentles oe ientsa
0
, . . . , a
N
sontlinéairementidentiables.Remplaçonsx
N
parx
dans (10);onobtientainsil'estiméeopérationnelle[x
(i)
(0)]
e
N
dex
(i)
(0)
.Pour le passage au numérique, il sut,selon les règles usuellesdu al ulopérationnel( f.[28℄),derempla erdans (10):
c
s
α
,α ≥ 1
,c ∈ C
,parc
t
α
−
1
(α−1)!
,t ≥ 0
;1
s
α
d
n
x
ds
n
parl'intégraleitéréed'ordreα
Z
t
0
Z
t
α
−
1
0
· · ·
Z
t
1
0
(−1)
n
τ
n
x(τ )dt
α−1
· · · dt
1
dτ =
(−1)
n
(α − 1)!
Z
t
0
(t − τ )
α−1
τ
n
x(τ )dτ
(11) RemarquesLesitérationsdes intégralesproduisent une moyenni-sation, don un ltragepasse-bas, qui permet d'atté-nuerl'eetdesbruits( f.[7℄).
La fenêtre temporelle d'estimation peut être hoisie très petite, e qui permet une implantationentemps réel.
3
Uneétudesurlarobustessedesdérivateursnumériquesprésentés i isousl'angledurapportsignal/bruitpeutêtretrouvéedans[14℄.
L'expression générale des estimateurs des derivées n-ièmes peut être exprimée, dans une fenêtre de taille
4 T, ommesuit[14℄:
P
ν
(T )
x
N
(0)
˙x
N
(0)
. . .x
(N )
N
=
Z
T
0
Q
ν
(τ )y(τ )dτ
(12)oùlesélémentsdelamatri etriangulaire
P
ν
(T )
sont,pouri = 0, . . . , N
,j = 0, . . . , N − i
:{P
ν
(T )}
ij
=
(N − j)!
(N − 1 − j)!
T
ν−N+i+j−1
(ν − N + i + j − 1)
Lesélémentsduterme intégralsont
{Q
ν
(τ )}
i
=
i
X
l=0
q
i,l
(T − τ )
ν−N −1−l
τ
i−l
aveq
i,l
=
i
l
(N + 1)!
(N + 1 − l)!
(−1)
i−l
(ν − N − 1 − l)!
A titre d'exemple, on présente i-dessous la parti ula-risation de l'expression(12) pourle ltrage de l'a éléra-tionlongitudinaleet pourladérivéedelavitessedela et. Dans lesdeux as, nous avonssupposé quele signal
pou-0
1
2
3
4
5
6
7
8
−10
−5
0
5
10
temps (s)
Accélération latérale (ms
−2
)
γ
y
mésurée
γ
y
estimée T
e
=200T
s
γ
y
estimée T
e
=100T
s
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
temps (s)
Accélération de lacet (rads
−2
)
Filtre passe−bas
Méthodes algébriques
Fig.1. Filtragedel'a élérationlatéraleave deuxtaillesdefenêtres diérentes(enhaut); omparaisonentreladérivéenumériquede
˙
ψ
ave lesméthodesalgébriques et elleobtenueave unltre passe-basdontlafréquen ede oupureest5
Hz.vait s'approximer lo alement par des polynmes linéaires (
N = 1
). Ainsi,γ
y
(t) = a
0
+ a
1
t, t > 0, a
0
, a
1
∈ R
etψ(t) = b
˙
0
+ b
1
t, t > 0, b
0
, b
1
∈ R
. L'obje tif dans le4
And'unepart,derespe terl'hypothèsed'analyti ité,etd'autre part,d'éviterdesproblèmesliésàlaréinitialisationdesfenêtres,nous avonsutilisédesfenêtresglissantesdetaille onstante.
premier as est d'obtenir unestimateur de
a
0
et, dans le deuxième,deb
1
.Sionprendν = 3
etν = 2
respe tivement, lesestimateursprennentlaformesuivante5
ˆ
γ
y
= ˆ
a
0
=
2
T
2
Z
T
0
(2T − 3τ ) γ
y
(τ )dτ
ˆ¨
ψ = ˆb
1
=
−3!
T
3
Z
T
0
(T − 2τ ) ˙
ψ(τ )dτ
On observe sur les gures1 leur puissan e de débruitage suivantlafenêtre d'estimationutilisée.
IV. Algorithme finald'estimation
Enutilisantd'unepart,laloide ompositiondes mouve-ments(2), et d'autrepart, l'information issuedusystème (7),l'estimationde
V
x
etV
y
seréaliseave lesalgorithmes 1et2:Algorithme1Estimationde
V
x
Entrées: Vitesse de la et
ψ(t)
˙
, a élérations longitudi-naleγ
x
(t)
ettransversaleγ
y
(t)
,vitessesderotationdes4
rouesω
i
(t)
, estimateurdevitessetransversaleV
ˆ
y
(t)
Sorties: Estimateurdevitesselongitudinale
V
ˆ
x
(t
i
), ∀t
i
∈
[0, T ]
1: Utiliserles te hniques de ltrageet dérivation du pa-ragrapheIIIpourobtenir
ψ
ˆ˙
,ˆ
¨
ψ ˆ
γ
x
,ˆ
γ
y
,ω
ˆ
t
etˆ˙ω
t
2: Intégrernumériquementlesystème(7)ave lessignauxestiméspré édemment 3: si
| ˙
G
x
(t)| < ǫ
1
, ∀t ∈ [t
i
− αT
s
, t
i
]
alors 4:V
ˆ
x
(t
i
) = rω
t
(t
i
)
5: sinon 6:V
ˆ
x
(t
i
) = rω
t
(t
i−1
) +
Z
t
t
i
γ
x
+ ˙
ψ ˆ
V
y
dt
7: nsi Algorithme2EstimationdeV
y
Entrées: Vitesse de la et
ψ(t)
˙
, a élérations longitudi-naleγ
x
(t)
ettransversaleγ
y
(t)
,vitessesderotationdes4
rouesω
i
(t)
,estimateurdevitesselongitudinaleV
ˆ
x
(t)
,vitessetransversale onnue
V
ˆ
y
(t
0
) = V
y
0
Sorties: Estimateurdevitessetransversale
V
ˆ
y
(t
i
), ∀t
i
∈
[0, T ]
1: Utiliserles te hniques de ltrageet dérivation du pa-ragrapheIIIpourobtenir
ψ
ˆ˙
,ˆ
¨
ψ ˆ
γ
x
,ˆ
γ
y
,ω
ˆ
t
etˆ˙ω
t
2: Intégrernumériquementlesystème(7)ave lessignauxestiméspré édemment 3: si
| ˙
G
y
(t)| < ǫ
2
, ∀t ∈ [t
i
− βT
s
, t
i
]
alors 4:V
ˆ
y
(t
i
) = 0
5: sinon 6:V
ˆ
y
(t
i
) = ˆ
V
y
(t
i−1
) −
Z
t
t
i
γ
y
− ˙
ψ ˆ
V
x
dt
7: nsiOnpeut onstaterqueles onditionspourle hangement de mode d'intégration (aussi bien en longitudinal qu'en
5
Lestermesintégrauxdesestimateurssontimplantés numérique-mentave laméthodedestrapèzes.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
−40
−20
0
20
temps (s)
G
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
−50
0
50
temps (s)
dG
x
/dt
0
1
2
3
4
5
6
7
8
10
20
30
40
temps (s)
V
x
vs r
ω
t
V
x
réelle
r
ω
t
V
x
estimée
dG
x
/dt
Switch
Fig. 2. Évolution de
G
x
(t)
(haut), deG
˙
x
(t)
et des hangements demoded'estimationdelavitesse longitudinale(milieu)et des vitessesréelle,estiméeetderω
t
(bas)0
1
2
3
4
5
6
7
8
−2
0
2
4
temps (s)
G
y
0
1
2
3
4
5
6
7
8
−4
−2
0
2
4
6
temps (s)
dG
y
/dt
dG
y
/dt
Switch
Fig.3. Évolutionde
G
˙
y
(t)
(enhaut)etdeG
˙
x
(t)
ave les hangements demoded'estimationdelavitessetransversale(enbas)transversal) ne sont pas obtenues à partir des valeursde
G
x
etG
y
.Onpeutremarquerdanslagure2quelorsdus énario présenté dansleparagraphesuivant,l'évolutionde
G
x
est liée àlavaliditéde l'hypothèseV
x
= rω
t
. Cependant,on peutnoterquepourt>
7
s,G
x
nesestabilisepasautourde l'origine.L'expli ationd'untelphénomèneestasso iéeàla foisauximportantsbruitsdemesureetaupasd'intégration (limitéparlapérioded'é hantillonnagedessignaux,T
s
=
0.0025
s).Nousavonsainsipréféréutiliser
G
˙
x
ar,mêmesi esignal est bruité, il reste toujours pro he de zéro dans les as oùV
x
= rω
t
. Remarquons aussi que l'on a imposé une ertainefenêtre (detailleαT
s
régléepar l'utilisateur)sur laquellela onditiondeseuildoitêtrerespe tée.Laraisone-STA copyright 2008 by SEE
d'unetelle onditionestd'éviterdes hangementsbrusques de mode d'estimation à haque passage de
G
˙
x
par zéro. On observe ependant engure2(graphe dumilieu, vers la zone nale)que le temps de réponse aux stabilisations autourdeG
˙
x
= 0
estimportant6 .
L'analyse pré édente peut être réalisée également ave
G
y
.Remarque3: Notons quesil'horizondetravailest rela-tivementlong,ilest souhaitablederéinitialiserlesystème d'équations(7)dèsquelesdérivéesdesrésidussontpro hes dezéro.
V. Résultatsdesimulations
Le s énario que nous avons onsidéré (voir gure 4) a onduitàdesa élérationsmaximalesautourde
0.8g
aussi bien pourγ
x
quepourγ
y
.0
1
2
3
4
5
6
7
8
−20
−10
0
10
20
temps (s)
Déplacement crémaillère (mm)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
−4000
−3000
−2000
−1000
0
1000
temps (s)
Couple moteur/frein (Nm)
Fig. 4. Évolution de la dire tion ( rémaillère) et du ouple mo-teur/frein
Même sinousnesommespasarrivésàlaphasede vali-dationexpérimentale,les résultatsnumériquesobtenus en simulation sont réalistes. En eet, nous avons utilisé un simulateur ompletà
14
degrésdelibertéave une modéli-sationnedessuspensions,desessieuxetdespneumatiques [16℄.Parailleurs,nousavonsajoutéunbruitblan gaussien sur toutes lesmesuresave des varian essimilaires(voire plus fortes) que elles que l'on retrouvesur de vrais ap-teurs embarqués7
. Enn, remarquons que les paramètres introduits dans le paragraphepré édent prennent les va-leursdelatableI. Paramètre Valeur
T
s
0.0025
sǫ
1
0.25ǫ
2
0.25α
50β
50T
e
150T
s
TABLEIValeursdesparamètresutilisés
Lagure5montrelesrésultatssurunerouteave adhé-ren e relativementnormale(
µ = 0.7
). Onobservede ma-nière générale des estimations très performantes. Les-6
Ilappartientàl'ingénieurdetrouver lebon ompromisentreune estimationpeubruitéeetuneplusgranderéa tivité.
7
Lesvarian esdesbruitsajoutésauxa élérations,àlavitessede la etetauxvitessesderotationdesrouessont,respe tivement,
σ
γ
=
0.5
,σ
˙
ψ
= 5 · 10
−4
,σ
ω
i
= 0.1
.0
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2
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4
5
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8
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temps (s)
Vitesse longitudinale V
x
(ms
−1
)
V
x
réelle
V
x
estimée
0
1
2
3
4
5
6
7
8
−0.5
−0.4
−0.3
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
temps (s)
Vitesse transversale V
y
(ms
−1
)
V
y
estimée
V
y
réelle
Fig.5. Vitesses longitudinales(en haut) et transversales (en bas) réelleetestiméeave uneadhéren e onstantede
µ
= 0.7
gures 6 et 7 montrent le omportement des estimateurs sur le même s énario lorsque l'adhéren e est plus forte (
µ = 0.9
)etplusfaible(µ = 0.5
),respe tivement.Onobserveun omportementglobalementtrèssimilaire au as initial, où les vitesses longitudinales ontinuent à être nement estimées, et les vitesses transversales res-pe tenttrès orre tementlegabaritréelde omportement. Ilfautnéanmoinsremarquerqueleserreursd'estimationde
V
x
ontunein iden eplusfortesurleserreursd'estimation deV
y
qu'inversement.VI. Con lusions et perspe tives
Unenouvelleappro hepourl'estimationdesvitessesau entredegravitéduvéhi uleestproposée,reposantsurdes te hniquesalgébriquesd'estimationetdediagnosti .Nous présentons ainsi une stratégie utilisant uniquement la loi de ompositiondesmouvements(au une modélisationdes pneumatiquesn'estné essaire), equi onfèreaux estima-teursune robustesseremarquable.
Les premiers résultats mettent en éviden e non seule-ment de bonnes performan es, mais aussi une grande ro-bustesseauximportantsbruitsdemesureetaux onditions d'adhéren e de la route. Cependant, même si les simula-tionsontessayédereprendredes onditionsd'utilisationles plusréalistespossibles,unevalidationexpérimentalesurun largeéventaildes énarioss'avèrefondamentale.Uneétude approfondiesurlarobustesseparrapportauxbruitsde me-sureetsurle hoixsystématiquedesseuilsseraégalement menéedans etteétape.
Par ailleurs, nous her herons à utiliser des te hniques similaires à elles présentées dans et arti le pour l'esti-mationdesfor es pneumatiques et del'adhéren e, exploi-tables dans des systèmes de ontrle detype stop-and-go (e.g.[27℄).
Remer iements: Travail ee tué ave le soutien
nan-e-STA copyright 2008 by SEE
0
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temps (s)
Vitesse longitudinale V
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(ms
−1
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−0.2
−0.1
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0.2
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temps (s)
Vitesse transversale V
y
(ms
−1
)
V
y
estimée
V
y
réelle
Fig. 6. Vitesses longitudinales (en haut) et transversales (en bas) réelleetestiméeave uneadhéren e onstante de
µ
= 0.9
ier duprojet du GdR MACS Méthodes algébriques pour l'estimation tempsréel: le asdes oe ientsd'adhéren e deseorts pneumatiques. Lesauteurstiennentàexprimer leurre onnaissan eàCédri Join(INRIA-ALIENetCRAN Nan y)etMamadouMboup(INRIA-ALIENetUniversité Paris Des artes) pour leur on ours à la mise en ÷uvre informatiquedesdérivateursnumériques.
Référen es
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temps (s)
Vitesse transversale V
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Fig.7. Vitesses longitudinales(en haut) et transversales (en bas) réelleetestiméeave uneadhéren e onstantede
µ
= 0.5
[13℄ U.Kien keetL.Nielsen,"AutomotiveControlSystemsfor En-gine,DrivelineandVehi le",Springer,Heidelberg,2005. [14℄ M.Mboup,C.JoinetM.Fliess,"Arevisedlookatnumeri al
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[28℄ K.Yosida,"OperationalCal ulus