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Synthèse algébrique d'estimateurs de vitesses longitudinale et latérale d'une automobile

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Academic year: 2021

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(1)

HAL Id: inria-00289015

https://hal.inria.fr/inria-00289015v2

Submitted on 11 Jan 2009

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Synthèse algébrique d’estimateurs de vitesses

longitudinale et latérale d’une automobile

Jorge Villagra, Brigitte d’Andréa-Novel, Michel Fliess, Hugues Mounier

To cite this version:

Jorge Villagra, Brigitte d’Andréa-Novel, Michel Fliess, Hugues Mounier.

Synthèse algébrique

d’estimateurs de vitesses longitudinale et latérale d’une automobile. e-STA Sciences et Technologies

de l’Automatique, SEE - Société de l’Electricité, de l’Electronique et des Technologies de l’Information

et de la Communication 2008, 5 (3), pp.12-27. �inria-00289015v2�

(2)

longitudinale et latérale d'une automobile Jorge Villagra 1 ,Brigitte d'Andréa-Novel 2 , Mi hel Fliess 3,4 , Hugues Mounier 5 1

Departamentode Ingenieriade Sistemasy Automáti a Univ. Carlos III, Leganés (Madrid), Espagne

jvillagring.u 3m.es 2

Centre de Robotique, É ole des Mines de Paris 60boulevard Saint-Mi hel, 75272 Paris edex 06, Fran e

brigitte.dandrea-novelensmp.fr 3

INRIA-ALIEN 4

LIX (CNRS, UMR 7161)

É ole polyte hnique, 91128Palaiseau,Fran e mi hel.iesspolyte hnique.edu

5

Institut d'Éle tronique Fondamentale (CNRS, UMR 8622) Université Paris-Sud, 91405 Orsay, Fran e

hugues.mounieru-psud.fr

RésuméCet arti le présente une nouvelle appro hepour l'estimationdesvitessesau entredegravitéd'unvéhi ule. Dans le but d'obtenir une estimation la plus robuste pos-siblevisàvisdevariationsparamétriquesetnotammentde l'adhéren e, nous utilisonslesmesures disponibles dansun véhi uledesérie,sans her heràmodéliserleseorts pneu-matiques. La stratégie proposée repose sur deste hniques algébriques ré entes d'estimationdela dérivée d'un signal etsuruneappro hedetypediagnosti .

I. Introdu tion A. Généralités

Les systèmes a tifs de type ESP ou Lane keeping, de mêmequelesABSoulesstratégiesStopandGodépendent fortement des eorts d'intera tion pneus/ haussée et no-tammentdel'adhéren e.Unebonne onnaissan edela vi-tessevéhi uleau entredegravité onstitueégalementune informationimportante.C'estpourquoidenombreuses mé-thodesd'estimationàbasedemodèlesdeseorts pneuma-tiques

1

sesontdéveloppées esdernièresannées.

Un grandnombredepubli ationsutilisentlemodèle bi- y lette ( f. [25℄) (linéaire ounon linéairesuivantles mo-délisationsdespneumatiques).Dans[2℄et[20℄,lesauteurs proposentdiérentesversionsdultredeKalmanétendu. [22℄ utiliseunestratégieàbase demodesglissants,[1℄ im-plémente desobservateursàgrandsgainset [13℄,[24℄,[5℄, [12℄,[3℄utilisentunefon tiondeLyapunovpoursynthétiser desobservateursnon-linéairesasymptotiquesdeseortsou des vitesses. Ces appro hes, valables uniquement sur des onditionstrèsfavorablesderoulage(faiblesvirageset vi-tesse lentement variable) s'avèrent extrêmement sensibles àl'adhéren e. D'autresauteurs (voir[17℄,[19℄)ontessayé derendrelarigiditédedérivevariableenutilisantdes mo-dèlesde relaxation,dontlesparamètressont,àleur tour,

1

Onpourra onsulter[10℄,[11℄,[15℄ou[18℄pouruneintrodu tion surlesujet.

identiés.Danstoutes esméthodes,lesmodèlesdeseorts pneumatiques omme euxdePa ejka[16℄oudeLugre[4℄ sont malheureusementdi ilementexploitables, les para-mètresétanttropnombreuxoumalidentiables.

C'est pourquoi nous avons préféré utiliser des modèles dynamiquesrelativementsimples,ave unnombreminimal de paramètres et un maximum d'informations issues des apteursembarquésdanslevéhi ule.

En appliquantleprin ipefondamentaldeladynamique derotationauxroues,onpeuté rire:

I

r

˙ω = −rF

x

+ C

(1)

I

r

et

r

sont respe tivement le moment d'inertie et le rayonde la roue,

ω

est sa vitesse de rotation,

F

x

l'eort longitudinalaupointde onta tpneumatique/sol,et

C

le ouple moteur/frein.Sa hant que l'on peut mesurer

ω

et sous ertaineshypothèsesestimer

C

,etquel'on onnaîtles valeursde

I

r

et de

r

(supposés onstants), l'équation (1) peutdonnerunepremièreestimationde

F

x

.Notonsd'autre partqu'unebonneestimationdeseortsverti aux

F

z

peut égalementêtreobtenuesimplement(e.g. [21℄), equi per-metdesynthétiserunestimateurdu oe ientd'adhéren e

µ = F

x

/f

z

. Cependant, il faudrait évaluer la robustesse d'untelestimateurparrapportàdeserreurssurle ouple ou lerayonde laroue. Une éventuelleaméliorationpasse alorsparla onnaissan edelavitesselongitudinale.

L'obtentiondesvitessesau entredegravitéestune pre-mière étape vers la synthèse de lois de ommande et la réalisationd'undiagnosti embarquédu omportement vé-hi ule.

Deplus,la onnaissan edutauxdeglissement 2

passepar l'estimationpré isedelavitesselongitudinalepourlaquelle

2

Letauxdeglissement

τ

=

V

x

− rω

V

x

estlavariablelaplus impor-tante ara térisantl'adhéren e,i.e.

µ

= f (τ )

(3)

onutiliselaloide ompositiondesmouvements:



γ

x

(t) = ˙

V

x

(t) − ˙

ψ(t)V

y

(t)

γ

y

(t) = ˙

V

y

(t) + ˙

ψ(t)V

x

(t)

(2)

ave

V

y

vitesse transversale,

ψ

˙

vitessede la et,

γ

x

a élé-rationlongitudinaleet

γ

y

a élérationtransversale.Même si les dynamiques verti ale, de roulis et de tangage sont négligéesdans emodèle,ilrestetrèspro hedelaréalité, et surtout, il est omplètement indépendant du véhi ule utilisé.Eneet,iln'utiliseau unparamètre,etnedépend quedestroisentréesdontondispose(onverraparlasuite quel'onsesertégalementdesinformationsodométriques). Remarquonsennque, ontrairementàlaplupart des ap-pro hespré édemment itées, iln'utilise paslamesure de l'angledebraquagedisponiblesurlebusde ommuni ation duvéhi ule.

B. Plande l'arti le

Danslese ondparagraphe,onprésenteral'appro he gé-néralepourl'estimationdesvitesseslongitudinaleet trans-versale au entre de gravité du véhi ule. Des outils simi-laires auxte hniques de diagnosti serontintroduits pour faire fa e aux problèmesd'observabilitéasso iés à l'équa-tion (2). Dans un ontexte automobile réel, les apteurs sont généralement de bas oût et délivrent don des me-sures souvent fortbruitées qu'il sera né essaire de ltrer. Le ltragedessignauxet de sesdérivéesferal'objet duŸ III,oùunaperçudes te hniques algébriques utiliséessera rappelé(voir[8℄pourplusdedétails).LeŸIVsera onsa ré àunedes riptiondétailléedesalgorithmesd'estimation im-plémentés.Lesrésultatssurdessimulationsréalistesseront présentésdansleŸV.Enn,dansleŸVInous on luerons et donneronsquelquesperspe tives.

Pouruneversionanglaise,onpourra onsulter[26℄. II. Le diagnosti pour l'estimationdes vitesses

Comme elaadéjàétéévoquéenintrodu tion,nous al-lons her her àutiliser les mesures de

γ

x

,

γ

y

et

ψ

˙

dispo-niblessurtoutevoitureéquipéedel'ESPainsiquele han-gementderepère(2)pourestimerpré isément

V

x

et

V

y

.

Toutd'abord, laproposition suivante montre l'impossi-bilité mathématique d'estimer simultanément

V

x

et

V

y

à partirdesseulesmesuresdisponiblesdans le asgénéral.

Proposition 1: Les vitesses longitudinale

V

x

et latérale

V

y

ne peuvent être simultanément estimées à partir des équations:

γ

x

(t) = ˙

V

x

(t) − ˙

ψ(t)V

y

(t)

(3)

γ

y

(t) = ˙

V

y

(t) + ˙

ψ(t)V

x

(t)

(4)

que si l'on onnaît leurs valeurs

V

x

t0

et

V

y

t0

à l'instant initial

t

0

.

Preuve: Le système d'équations(2) peut se réé rire ommeune équationen variable omplexe si on onsidère la ombinaisonlinéaire(3)+

i

(4):

˙

V

x

(t) + i ˙

V

y

(t) = γ

x

(t) + iγ

y

(t) + ˙

ψ (−iV

x

(t) + V

y

(t))

e quiestéquivalentàl'équation diérentielle omplexe

˙

V = −i ˙

ψ(t)V (t) + γ(t), V (t

0

) = V

0

(5)

ave lesvariables omplexes

V (t) = V

x

(t)+ iV

y

(t)

et

γ(t) =

γ

x

(t) + iγ

y

(t)

.Ilest lair,parlethéorèmedeCau hy,que l'équation (5) possèdeune solutionuniquesi la ondition initiale

V

0

= V

x

(t

0

) + iV

y

(t

0

)

est onnue.

Onvoit ainsique,defaçonpratique,onnepeutespérer onnaîtresimultanémentlesvitesseslongitudinaleet trans-versaleuniquementàl'aidede(2). Eneet,pour e faire, on serait obligé de onnaître les vitesses réelles initiales, et e, de façonsystématique pour de petits intervalles de temps (and'éviter les dérivesasso iéesauximpré isions d'intégration).

Nousavonsoptépourunestratégiepermettant d'exploi-ter les équations (2). On s'est ainsi inspiré des outils de basedudiagnosti (voirparexemple[8℄etsabibliographie) pourdé omposerleproblème ommesuit.Considéronsles expressions des vitesses (

V

x

,

V

y

) omme la somme d'un termeidéal (

R

x

,

R

y

)etd'unautreterme perturbateur (

G

x

,

G

y

)



V

x

(t) = R

x

(t) + G

x

(t)

V

y

(t) = R

y

(t) + G

y

(t)

(6) où:



R

x

= rω

t

, ave

r

le rayon de la roue en statique et

ω

t

=

1

4

4

X

i=1

ω

i

,lamoyennedesvitessesderotationdes

quatreroues;



R

y

= −L

1

ψ

˙

,ave

L

1

l'empattementavantduvéhi ule.

Remarque1: Les termes pertubateurs (

G

x

,

G

y

) peuvent être vus omme les résidus lassiquement utili-sésendiagnosti .Lorsque esrésidusdépassentun ertain seuil,onpassedumoded'estimationnominalaumode dé-gradé(touslesdétailsserontprésentésdansleŸIV).

Remarque2: La séparation entre omportement nomi-naletperturbéapparaîtdefaçonasseznaturelledansla dy-namiquelongitudinale.Dansle asdeladynamique trans-versale, on peut utiliser l'expressiondes dérives (en l'o - urren e du entre de l'essieu avant

β

1

) pour obtenirune expressionre her héedelaforme(6):

β

1

= arctan

V

y

+ L

1

˙

ψ

V

x

!

⇒ V

y

= −L

1

ψ + V

˙

x

tan(β

1

).

Dérivantl'équation(6)etremplaçant

V

˙

x

et

V

˙

y

parleurs expressionsdans(2),nousobtenonslesystèmed'équations suivant:

˙

R

x

= ˙

ψR

y

− ˙

G

x

+ ˙

ψG

y

+ γ

x

˙

R

y

= − ˙

ψR

x

− ˙

G

y

− ˙

ψG

x

+ γ

y

D'oùl'ontire lesystème d'équationsdiérentielles ordi-nairesen

G

x

et

G

y

:

˙

G

x

(t) = ˙

ψ(t)G

y

(t) + L

1

ψ

˙

2

(t) − r ˙ω

t

(t) + γ

x

(t)

(7)

˙

G

y

(t) = − ˙

ψ(t)G

x

(t) − ˙

ψ(t)rω

t

(t)

− L

1

ψ(t) + γ

¨

y

(t)

(8)

G

x

(t

0

) = 0, G

y

(t

0

) = 0

(9)

L'intégration du système pré édent nous donnera don desinformations surlesinstantsoùl'approximation

V

x

=

e-STA copyright 2008 by SEE

(4)

t

essed'être a eptable. Si les valeursobtenues de

G

x

étaientpré ises, esinformationspourraientêtrelargement susantes pour avoir une bonne estimation de la vitesse longitudinale(tous lesdétails serontprésentésdans le pa-ragraphe IV). Cependant, les fortsbruits de mesure (no-tammentsurlesa éléromètres,voirgure1), ainsiqu'un pasd'intégrationxe(limitéàlapérioded'é hantillonnage desmesures)obligentàunpré-traitementdessignaux.De plus,nousavonsbesoindedérivateursnumériquesrobustes auxbruits

3

etutilisablesentempsréel.

Leparagraphesuivantrésumeleste hniquesalgébriques d'estimation des dérivées (voir [8℄ pour des ompléments etpourdesappli ationsvariéesaunon-linéaire).Ellessont utilisées,d'unepart,pourleltragede

γ

x

,

γ

y

,

ψ

˙

,etd'autre part,pourl'estimation desdérivées

˙ω

et

ψ

¨

.

III. Méthodes algébriquesd'estimationdes dérivées

Substituons à la série onvergente

x(t) =

P

n≥0

a

n

t

n

n!

,

a

n

∈ C

, le développement de Taylor tronqué

x

N

(t) =

P

N

n=0

a

n

t

n

n!

.Illui orresponddansledomaineopérationnel ( f.[28℄)

s

N+1

x

N

− s

N

x

N

(0) − s

N −1

˙x

N

(0) . . . − x

(N )

N

(0) = 0

Les dérivéesà l'origine

t = 0

sontainsiobtenuesàpartir dusystèmed'équationslinéaires

s

−ν

d

m

ds

m

n

x

(N )

N

(0) + x

(N −1)

N

(0)s + . . . + x

N

(0)s

N

o

=

s

−ν

d

m

ds

m

s

N

+1

x

N

(10)

m = 0, . . . , N

,

ν > N + 1

. Ce système étant trian-gulaire ave des éléments diagonaux non nuls, les para-mètres

x

(i)

N

(0)

,etpar onséquentles oe ients

a

0

, . . . , a

N

sontlinéairementidentiables.Remplaçons

x

N

par

x

dans (10);onobtientainsil'estiméeopérationnelle

[x

(i)

(0)]

e

N

de

x

(i)

(0)

.

Pour le passage au numérique, il sut,selon les règles usuellesdu al ulopérationnel( f.[28℄),derempla erdans (10): 

c

s

α

,

α ≥ 1

,

c ∈ C

,par

c

t

α

1

(α−1)!

,

t ≥ 0

; 

1

s

α

d

n

x

ds

n

parl'intégraleitéréed'ordre

α

Z

t

0

Z

t

α

1

0

· · ·

Z

t

1

0

(−1)

n

τ

n

x(τ )dt

α−1

· · · dt

1

dτ =

(−1)

n

(α − 1)!

Z

t

0

(t − τ )

α−1

τ

n

x(τ )dτ

(11) Remarques

 Lesitérationsdes intégralesproduisent une moyenni-sation, don un ltragepasse-bas, qui permet d'atté-nuerl'eetdesbruits( f.[7℄).

 La fenêtre temporelle d'estimation peut être hoisie très petite, e qui permet une implantationentemps réel.

3

Uneétudesurlarobustessedesdérivateursnumériquesprésentés i isousl'angledurapportsignal/bruitpeutêtretrouvéedans[14℄.

L'expression générale des estimateurs des derivées n-ièmes peut être exprimée, dans une fenêtre de taille

4 T, ommesuit[14℄:

P

ν

(T )

x

N

(0)

˙x

N

(0)

. . .

x

(N )

N

=

Z

T

0

Q

ν

(τ )y(τ )dτ

(12)

oùlesélémentsdelamatri etriangulaire

P

ν

(T )

sont,pour

i = 0, . . . , N

,

j = 0, . . . , N − i

:

{P

ν

(T )}

ij

=

(N − j)!

(N − 1 − j)!

T

ν−N+i+j−1

(ν − N + i + j − 1)

Lesélémentsduterme intégralsont

{Q

ν

(τ )}

i

=

i

X

l=0

q

i,l

(T − τ )

ν−N −1−l

τ

i−l

ave

q

i,l

=



i

l



(N + 1)!

(N + 1 − l)!

(−1)

i−l

(ν − N − 1 − l)!

A titre d'exemple, on présente i-dessous la parti ula-risation de l'expression(12) pourle ltrage de l'a éléra-tionlongitudinaleet pourladérivéedelavitessedela et. Dans lesdeux as, nous avonssupposé quele signal

pou-0

1

2

3

4

5

6

7

8

−10

−5

0

5

10

temps (s)

Accélération latérale (ms

−2

)

γ

y

mésurée

γ

y

estimée T

e

=200T

s

γ

y

estimée T

e

=100T

s

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

temps (s)

Accélération de lacet (rads

−2

)

Filtre passe−bas

Méthodes algébriques

Fig.1. Filtragedel'a élérationlatéraleave deuxtaillesdefenêtres diérentes(enhaut); omparaisonentreladérivéenumériquede

˙

ψ

ave lesméthodesalgébriques et elleobtenueave unltre passe-basdontlafréquen ede oupureest

5

Hz.

vait s'approximer lo alement par des polynmes linéaires (

N = 1

). Ainsi,

γ

y

(t) = a

0

+ a

1

t, t > 0, a

0

, a

1

∈ R

et

ψ(t) = b

˙

0

+ b

1

t, t > 0, b

0

, b

1

∈ R

. L'obje tif dans le

4

And'unepart,derespe terl'hypothèsed'analyti ité,etd'autre part,d'éviterdesproblèmesliésàlaréinitialisationdesfenêtres,nous avonsutilisédesfenêtresglissantesdetaille onstante.

(5)

premier as est d'obtenir unestimateur de

a

0

et, dans le deuxième,de

b

1

.Sionprend

ν = 3

et

ν = 2

respe tivement, lesestimateursprennentlaformesuivante

5

ˆ

γ

y

= ˆ

a

0

=

2

T

2

Z

T

0

(2T − 3τ ) γ

y

(τ )dτ

ˆ¨

ψ = ˆb

1

=

−3!

T

3

Z

T

0

(T − 2τ ) ˙

ψ(τ )dτ

On observe sur les gures1 leur puissan e de débruitage suivantlafenêtre d'estimationutilisée.

IV. Algorithme finald'estimation

Enutilisantd'unepart,laloide ompositiondes mouve-ments(2), et d'autrepart, l'information issuedusystème (7),l'estimationde

V

x

et

V

y

seréaliseave lesalgorithmes 1et2:

Algorithme1Estimationde

V

x

Entrées: Vitesse de la et

ψ(t)

˙

, a élérations longitudi-nale

γ

x

(t)

ettransversale

γ

y

(t)

,vitessesderotationdes

4

roues

ω

i

(t)

, estimateurdevitessetransversale

V

ˆ

y

(t)

Sorties: Estimateurdevitesselongitudinale

V

ˆ

x

(t

i

), ∀t

i

[0, T ]

1: Utiliserles te hniques de ltrageet dérivation du pa-ragrapheIIIpourobtenir

ψ

ˆ˙

,

ˆ

¨

ψ ˆ

γ

x

,

ˆ

γ

y

,

ω

ˆ

t

et

ˆ˙ω

t

2: Intégrernumériquementlesystème(7)ave lessignaux

estiméspré édemment 3: si

| ˙

G

x

(t)| < ǫ

1

, ∀t ∈ [t

i

− αT

s

, t

i

]

alors 4:

V

ˆ

x

(t

i

) = rω

t

(t

i

)

5: sinon 6:

V

ˆ

x

(t

i

) = rω

t

(t

i−1

) +

Z

t

t

i

γ

x

+ ˙

ψ ˆ

V

y



dt

7: nsi Algorithme2Estimationde

V

y

Entrées: Vitesse de la et

ψ(t)

˙

, a élérations longitudi-nale

γ

x

(t)

ettransversale

γ

y

(t)

,vitessesderotationdes

4

roues

ω

i

(t)

,estimateurdevitesselongitudinale

V

ˆ

x

(t)

,

vitessetransversale onnue

V

ˆ

y

(t

0

) = V

y

0

Sorties: Estimateurdevitessetransversale

V

ˆ

y

(t

i

), ∀t

i

[0, T ]

1: Utiliserles te hniques de ltrageet dérivation du pa-ragrapheIIIpourobtenir

ψ

ˆ˙

,

ˆ

¨

ψ ˆ

γ

x

,

ˆ

γ

y

,

ω

ˆ

t

et

ˆ˙ω

t

2: Intégrernumériquementlesystème(7)ave lessignaux

estiméspré édemment 3: si

| ˙

G

y

(t)| < ǫ

2

, ∀t ∈ [t

i

− βT

s

, t

i

]

alors 4:

V

ˆ

y

(t

i

) = 0

5: sinon 6:

V

ˆ

y

(t

i

) = ˆ

V

y

(t

i−1

) −

Z

t

t

i



γ

y

− ˙

ψ ˆ

V

x



dt

7: nsi

Onpeut onstaterqueles onditionspourle hangement de mode d'intégration (aussi bien en longitudinal qu'en

5

Lestermesintégrauxdesestimateurssontimplantés numérique-mentave laméthodedestrapèzes.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

−40

−20

0

20

temps (s)

G

x

0

1

2

3

4

5

6

7

8

−50

0

50

temps (s)

dG

x

/dt

0

1

2

3

4

5

6

7

8

10

20

30

40

temps (s)

V

x

vs r

ω

t

V

x

réelle

r

ω

t

V

x

estimée

dG

x

/dt

Switch

Fig. 2. Évolution de

G

x

(t)

(haut), de

G

˙

x

(t)

et des hangements demoded'estimationdelavitesse longitudinale(milieu)et des vitessesréelle,estiméeetde

t

(bas)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

−2

0

2

4

temps (s)

G

y

0

1

2

3

4

5

6

7

8

−4

−2

0

2

4

6

temps (s)

dG

y

/dt

dG

y

/dt

Switch

Fig.3. Évolutionde

G

˙

y

(t)

(enhaut)etde

G

˙

x

(t)

ave les hangements demoded'estimationdelavitessetransversale(enbas)

transversal) ne sont pas obtenues à partir des valeursde

G

x

et

G

y

.

Onpeutremarquerdanslagure2quelorsdus énario présenté dansleparagraphesuivant,l'évolutionde

G

x

est liée àlavaliditéde l'hypothèse

V

x

= rω

t

. Cependant,on peutnoterquepourt

>

7

s,

G

x

nesestabilisepasautourde l'origine.L'expli ationd'untelphénomèneestasso iéeàla foisauximportantsbruitsdemesureetaupasd'intégration (limitéparlapérioded'é hantillonnagedessignaux,

T

s

=

0.0025

s).

Nousavonsainsipréféréutiliser

G

˙

x

ar,mêmesi esignal est bruité, il reste toujours pro he de zéro dans les as où

V

x

= rω

t

. Remarquons aussi que l'on a imposé une ertainefenêtre (detaille

αT

s

régléepar l'utilisateur)sur laquellela onditiondeseuildoitêtrerespe tée.Laraison

e-STA copyright 2008 by SEE

(6)

d'unetelle onditionestd'éviterdes hangementsbrusques de mode d'estimation à haque passage de

G

˙

x

par zéro. On observe ependant engure2(graphe dumilieu, vers la zone nale)que le temps de réponse aux stabilisations autourde

G

˙

x

= 0

estimportant

6 .

L'analyse pré édente peut être réalisée également ave

G

y

.

Remarque3: Notons quesil'horizondetravailest rela-tivementlong,ilest souhaitablederéinitialiserlesystème d'équations(7)dèsquelesdérivéesdesrésidussontpro hes dezéro.

V. Résultatsdesimulations

Le s énario que nous avons onsidéré (voir gure 4) a onduitàdesa élérationsmaximalesautourde

0.8g

aussi bien pour

γ

x

quepour

γ

y

.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

−20

−10

0

10

20

temps (s)

Déplacement crémaillère (mm)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

−4000

−3000

−2000

−1000

0

1000

temps (s)

Couple moteur/frein (Nm)

Fig. 4. Évolution de la dire tion ( rémaillère) et du ouple mo-teur/frein

Même sinousnesommespasarrivésàlaphasede vali-dationexpérimentale,les résultatsnumériquesobtenus en simulation sont réalistes. En eet, nous avons utilisé un simulateur ompletà

14

degrésdelibertéave une modéli-sationnedessuspensions,desessieuxetdespneumatiques [16℄.Parailleurs,nousavonsajoutéunbruitblan gaussien sur toutes lesmesuresave des varian essimilaires(voire plus fortes) que elles que l'on retrouvesur de vrais ap-teurs embarqués

7

. Enn, remarquons que les paramètres introduits dans le paragraphepré édent prennent les va-leursdelatableI. Paramètre Valeur

T

s

0.0025

s

ǫ

1

0.25

ǫ

2

0.25

α

50

β

50

T

e

150

T

s

TABLEI

Valeursdesparamètresutilisés

Lagure5montrelesrésultatssurunerouteave adhé-ren e relativementnormale(

µ = 0.7

). Onobservede ma-nière générale des estimations très performantes. Les

-6

Ilappartientàl'ingénieurdetrouver lebon ompromisentreune estimationpeubruitéeetuneplusgranderéa tivité.

7

Lesvarian esdesbruitsajoutésauxa élérations,àlavitessede la etetauxvitessesderotationdesrouessont,respe tivement,

σ

γ

=

0.5

,

σ

˙

ψ

= 5 · 10

−4

,

σ

ω

i

= 0.1

.

0

1

2

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4

5

6

7

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10

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temps (s)

Vitesse longitudinale V

x

(ms

−1

)

V

x

réelle

V

x

estimée

0

1

2

3

4

5

6

7

8

−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

temps (s)

Vitesse transversale V

y

(ms

−1

)

V

y

estimée

V

y

réelle

Fig.5. Vitesses longitudinales(en haut) et transversales (en bas) réelleetestiméeave uneadhéren e onstantede

µ

= 0.7

gures 6 et 7 montrent le omportement des estimateurs sur le même s énario lorsque l'adhéren e est plus forte (

µ = 0.9

)etplusfaible(

µ = 0.5

),respe tivement.

Onobserveun omportementglobalementtrèssimilaire au as initial, où les vitesses longitudinales ontinuent à être nement estimées, et les vitesses transversales res-pe tenttrès orre tementlegabaritréelde omportement. Ilfautnéanmoinsremarquerqueleserreursd'estimationde

V

x

ontunein iden eplusfortesurleserreursd'estimation de

V

y

qu'inversement.

VI. Con lusions et perspe tives

Unenouvelleappro hepourl'estimationdesvitessesau entredegravitéduvéhi uleestproposée,reposantsurdes te hniquesalgébriquesd'estimationetdediagnosti .Nous présentons ainsi une stratégie utilisant uniquement la loi de ompositiondesmouvements(au une modélisationdes pneumatiquesn'estné essaire), equi onfèreaux estima-teursune robustesseremarquable.

Les premiers résultats mettent en éviden e non seule-ment de bonnes performan es, mais aussi une grande ro-bustesseauximportantsbruitsdemesureetaux onditions d'adhéren e de la route. Cependant, même si les simula-tionsontessayédereprendredes onditionsd'utilisationles plusréalistespossibles,unevalidationexpérimentalesurun largeéventaildes énarioss'avèrefondamentale.Uneétude approfondiesurlarobustesseparrapportauxbruitsde me-sureetsurle hoixsystématiquedesseuilsseraégalement menéedans etteétape.

Par ailleurs, nous her herons à utiliser des te hniques similaires à elles présentées dans et arti le pour l'esti-mationdesfor es pneumatiques et del'adhéren e, exploi-tables dans des systèmes de ontrle detype stop-and-go (e.g.[27℄).

Remer iements: Travail ee tué ave le soutien

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temps (s)

Vitesse longitudinale V

x

(ms

−1

)

V

x

réelle

V

x

estimée

0

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2

3

4

5

6

7

8

−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

temps (s)

Vitesse transversale V

y

(ms

−1

)

V

y

estimée

V

y

réelle

Fig. 6. Vitesses longitudinales (en haut) et transversales (en bas) réelleetestiméeave uneadhéren e onstante de

µ

= 0.9

ier duprojet du GdR MACS Méthodes algébriques pour l'estimation tempsréel: le asdes oe ientsd'adhéren e deseorts pneumatiques. Lesauteurstiennentàexprimer leurre onnaissan eàCédri Join(INRIA-ALIENetCRAN Nan y)etMamadouMboup(INRIA-ALIENetUniversité Paris Des artes) pour leur on ours à la mise en ÷uvre informatiquedesdérivateursnumériques.

Référen es

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temps (s)

Vitesse longitudinale V

x

(ms

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)

V

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V

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0.3

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temps (s)

Vitesse transversale V

y

(ms

−1

)

V

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estimée

V

y

réelle

Fig.7. Vitesses longitudinales(en haut) et transversales (en bas) réelleetestiméeave uneadhéren e onstantede

µ

= 0.5

[13℄ U.Kien keetL.Nielsen,"AutomotiveControlSystemsfor En-gine,DrivelineandVehi le",Springer,Heidelberg,2005. [14℄ M.Mboup,C.JoinetM.Fliess,"Arevisedlookatnumeri al

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ATheoryofHyperfun tions", Springer,NewYork,1984(traduitdujaponais).

Figure

Fig. 1. Filtrage de l'aélération latérale ave deux tailles de fenêtres
Fig. 2. Évolution de G x (t) (haut), de G ˙ x (t) et des hangements
Fig. 4. Évolution de la diretion (rémaillère) et du ouple mo-
Fig. 7. Vitesses longitudinales (en haut) et transversales (en bas)

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