L08 [V2-VàC] – Lois normales

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Lois normales

Leçon

Niveau BTS

Prérequis Variable aléatoire, espérance, variance, théorème limite central, loi binomiale, loi

de Poisson, fonctions exponentielles, intégrales

Références [20], [21]

8.1

Premières définitions

Définition 8.1 _{Soit m ∈ R et σ ∈ R∗+}. On dit que X suit la loi normale de paramètres m et σ, qu’on note N(m, σ), si la densité de probabilité f est définie par :

f(x) = 1 σ√2πe

−1/2[(x−m)/σ]2_.

R 8.2 La fonction de répartition F est donnée par l’intégrale :

F(x) = P (X ≤ x) = Z x −∞ f(t) dt = Z x −∞ 1 σ√2πe −1/2[(x−m)/σ]2_.

On donne la représentation graphique de la fonction f pour m= 2 et σ = 2.

−3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 0.05 0.1 0.15 0.2 0 m= 2

Théorème 8.3 Si une variable X suit la loi normale N(m, σ) alors :

E(X) = m et Var(X) = σ2_.

8.2

Loi normale centrée

Définition 8.4 Si les paramètres d’une loi normale sont respectivement0 et 1, alors on dit que la loi normale est centrée réduite. On la note N(0, 1).

10 Leçon no_{8 • Lois normales}

R 8.5 La densité de probabilité associée à la loi normale N(0, 1) est la fonction f définie par :

f(x) = _√2πe1 −x2/2.

Propriétés 8.6 _{1. f est une fonction paire sur R (pour tout réel x, f(−x) = f(x)).}

2. La représentation graphique de f, Cf, est symétriqu par rapport à l’axe(yy0).

On donne la représentation graphique de la fonction f (densité de probabilité associée à la loi normale N(0, 1). −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0

8.3

De la loi normale à la loi normale centrée réduite, utilisation de

tables

Théorème 8.7 Soit X une variable aléatoire qui suit la loi normale N(m, σ). En effectuant le

chan-gement de variable suivant :

T = X− m σ ,

on obtient une nouvelle variable aléatoire, notée T qui suit la loi normale centrée réduite N(0, 1).

Dv

• Preuve X suit la loi N(m, σ) donc sa densité de probabilité est la fonction f définie par :

f(x) = 1 σ√2π exp − 1 2 _x − m σ 2! et on a : F(X) = P (X ≤ x) = Z x −∞ 1 σ√2π exp − 1 2 _t − m σ 2! dt. (8.1)

Faisons le changement de variable d’intégration u=t−m

utend vers −∞ ; lorsque t vaut x, u vaut x−m

σ . Les égalités (8.1) deviennent :

F(x) = P (X ≤ x) = Z x−m σ −∞ 1 σ√2πe −u2/2_{σdu =}Z x−m σ −∞ 1

√2πe−u2/2_du. Si on pose maintenant T =X−m

σ soit t= x−m

σ pour tout réel x, il vient :

F(t) = P (T ≤ t) =

Z t

−∞

1

√2πe−u2/2_du. La densité de probabilité T est donc la fonction g définie par g(x) = 1

√2πe−u2/2. T suit la loi normale

N(0, 1).

R 8.8 La loi normale N(m, σ) a deux paramètres mais le changement de variable T = X−m

σ permet de travailler avec la loi normale centrée réduite, N(0, 1) dont la table est fournie ci-dessous.

Définition 8.9 Soit T la variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite N(0, 1). La fonctoion

de répartitonΠ de T est donnée par l’intégrale :

Π(t) = P (T ≤ t) =Z t

−∞f(x) dx

sachant que f(x) = 1

√2πe−x2/2.

Exemple 8.10 Pour t ∈ [0, 3], on peut lire directement les valeurs dans la table. P(T ≤ 2, 47) = Π(2, 47) = 0, 9932

P(T > 2, 47) = 1 − Π(2, 47) = 0, 0068.

 Exemple 8.11 Si t ∈ [−3, 0]. On utilise la symétrie de la courbe de la fonction f.

P(T ≤ −1, 27) = P(T ≥ 1, 23) = 1 − P(T ≤ 1, 23) = 1 − 0, 8907 = 0, 1093.

 Exemple 8.12 Soit X la variable aléatoire qui suit la loi normale N(m, σ) où m = 2, 09 et σ = 0, 13.

On va calculer P(X ≤ 2, 35) et P(1, 895 ≤ X ≤ 2, 285). Dans les deux calculs, on procède au changement de variable : T = X−m σ . P(X ≤ 2, 35) = P _{X− 2, 09} 0, 13 ≤ 2, 35 − 2, 090, 13  = PT _≤ 0, 26 0, 13  = P (T ≤ 2) = 0, 9772.

12 Leçon no_{8 • Lois normales}

P(1, 895 ≤ X ≤ 2, 285) = P 1, 895 − 2, 09 0, 13 ≤ X_{− 2, 09} 0, 13 ≤ 2, 285 − 2, 090, 13 = P−0, 195_{0, 13 ≤}T ≤ 0, 195_{0, 13}  = P (−1, 5 ≤ T ≤ 1, 5) = P (T ≤ 1, 5) − P(T < −1, 5) = P(T ≤ 1, 5) − (1 − P(T ≤ 1, 5)) = 2P (T ≤ 1, 5) − 1 = 2 × 0, 9332 − 1 = 0, 8664. 

8.4

Convergence

8.4.1 Théorème limite centrée

Théorème 8.13 Soit (Xn) une suite de variables aléatoires réelles définies sur le même espace de

probabilité, suivant la même et indépendantes. On note µ l’espérance et σ l’écart de la loi considérée (on suppose qu’ils existent et soient fini).

Soit Sn =Pni=1Xiet Xn = Sn_n. La variable aléatoire Zn = Sn_σ−nµ√_n = X_σ/n√−µ_n converge en loi

vers la loi centrale réduite N(0, 1), c’est-à-dire : lim n→+∞P(Zn≤ z) = limn→+∞P Xn− µ σ/√n ≤ z ! = Φ(z).

8.4.2 Approximation de la loi binomiale

Théorème 8.14 _{Pour n « assez grand » (n ≥ 50) et pour p ni voisin de 0, ni voisin de 1, tels que}

np(1 − p) > 10, on peut approcher la loi binomiale Bin(n, p) par la loi normale N(m, σ) où m= np et σ = σ(X) =pnp(1 − p). On a alors : P(X = k) = 1 σ√2π exp − 1 2 _{k− m} σ 2! .

Exemple 8.15 Lançons cinquante fois une pièce de monnaie équilibrée. Soit X la variable aléatoire

mesurant le nombre de « face » ainsi obtenu. On sait que X suit la loi binomialeBin(50, 1/2). L’espérance mathématique de X estE(X) = np = 25 et son écart type :

σ= √npq = r₂₅ 2 = 5 √2 ' 3,54. On veut calculer P(X = 25) : P(X = 25) = 50! 25!25! ₁ 2 50 .

Ce calcul semble compliquer car25! et 50! est très très grand.

D’après le théorème précédent, on peut approximer la loi binomialeBin(50, 1/2) par la loi nor-male N(25, 5/√2) (ceci est légitime car n ≥ 50, p = 1/2, npq > 10).

14 Leçon no_{8 • Lois normales} 8.4.3 De la loi de Poisson à la loi binomiale

Théorème 8.16 Si(Xn)nest une suite de variables aléatoires indépendantes, de même loi de Poisson

Pois(λ) et si Sn= X1+ · · · + Xnalors Snsuit la loi de PoissonPois(nλ).

Dv

• Preuve La démonstration se fait par récurrence sur n. — Pour n= 1, X1suit la loi de PoissonPois(λ).

— Si Sn = X1+ · · ·+Xnsuit la loi de PoissonPois(nλ), Sn+1+ Sn+ Xn+1, et vu que Snet Xn+1 sont indépendantes, que Sn suit la loi de PoissonPois(nλ) et Xn+1 la loi de PoissonPois(λ)),

Sn+ Xn+1= Sn+1suit la loi de Poisson de paramètre nλ+ λ = (n + 1)λ.

Sn suit la loi de PoissonPois(nλ) donc E(Sn) = nλ et Var(Sn) = nλ. D’après le théorème

central limite, la loi de Snpeut être approximée par la loi normale N(E(Sn), Var(Sn)), c’est-à-dire

N(nλ, nλ).

En pratique, lorsque λ ≥ 15, on peut approximer la loi de Poisson Pois(λ) par la loi normale N(λ, λ).

Exemple 8.17 Si X suit la loi de PoissonPois(16), P(X = 16) = e−1616

16

16! ≈0, 0992.

En approximant la loiPois(16) par la loi N(16, 16) de fonction de répartition F , on obtient :

P(X = 16) ≈ F(16, 5) − F(15, 5) = Φ _{0, 5} 4  − Φ  −0, 5₄  = 2Φ(0, 125) − 1 ≈ 0, 0995. Le gain de temps est surtout sensible pour le calcul des valeurs de la fonction de répartition :

P(X ≤ 20) ≈ F(20, 5) = Φ

_{20, 5 − 16}

4



= Φ(1, 125) ≈ 0, 8697

(alors qu’en gardant la loi de Poisson, il faudrait faire la somme de 21 termes !) 

8.5

Théorème de De Moivre-Laplace et applications

Théorème 8.18— Théorème de De Moivre-Laplace. Si Snest une variable aléatoire de loi binomiale

de paramètres n et p]0 , 1[, on a avec q := 1 − p, S_n∗ := S_√n− np npq = r_n pq _S n n − p  n→+∞ −−−−−→ loi Z

Exemple 8.19 Soit une urne qui contient des boules rouges et des boules vertes, la proportion de

chaque couleur étant inconnue. On effectue n tirages avec remise et on cherche à estimer la proportion

p de boules rouges. On pose alors Xi = 1 si le ietirage donne une boule rouge et Xi = 0 sinon.

Sn= X1+· · ·+Xnest le nombre aléatoire de boules rouges sorties en n tirages et Sn/nla fréquence

observée de sortie d’une boule rouge.

Le théorème de De Moivre-Laplace va nous permette de construire des intervalles de confiance pour p. Considérons, pour t >0, l’événement :

An,t:= n ω∈ Ω, −t ≤qpqn( Sn(ω) n − p) ≤ t o .

Le théorème de De Moivre-Laplace nous dit que pour n assez grand, on peut utiliser l’approximation :

P(An,t) ' Φ(t) − Φ(−t) = 2Φ(t) − 1.

Cela peut se réécrire :

P _S n n − t r pq n ≤ p ≤ Sn n + t r pq n  = 2Φ(t) − 1 + εn.

Or, on ignore la valeur de p donc celle de √pq. Mais, on peut majorer cette quantité car p(1 − p) est maximal pour p= 1/2. D’où :

√_pq ≤ 1₂. On note : Bn,t= n ω_{∈ Ω,} Sn_n(ω)_{− 2√n}t _{≤ p ≤} Sn_n(ω) +_2√nt o, et on a An,t ⊂ Bn,t, d’où : P(Bn,t) ≥ 2Φ(t) − 1 + εn.

En pratique n est fixé et on connaît des valeurs numériques explicites x1, . . . , xnque l’on

inter-prète comme les valeurs de X1(ω), . . . , Xn(ω) pour un même ω tiré au sort (suivant P . On a donc

d’une valeur numérique explicite de Sn(ω)

n = (x1+···+x n)

n . Proposer pour le paramètre inconnu p

l’in-tervalle de confiance :

In,t= [0, 53 − t/(2√n); 0, 53 + t/2√n]

c’est faire le pari que le ω observé est bien dans Bn,t. La probabilité de gagner ce pari est minorée

par2Φ(t) − 1 + εn. On dit que In,test un intervalle de confiance pour p avec un niveau d’au moins

2Φ(t)−1+εn. En pratique, on détermine t de façon approchée grâce à la tabulation deΦ. Par exemple

pour un niveau de confiance de95%, on est ramené à la résolution de l’équation Π(t) = 1, 95₂ = 0, 975

d’où t ' 1, 96, ce qui nous donne l’intervalle :

In= _S n(ω) n − 1, 96 2√n; Sn(ω) n + 1, 96 2√n  au niveau de confiance95%. 

[1] Problème des sept ponts de Königsberg, Wikipédia, l’encyclopédie libre.

[2] C. LE BOT, Théorie des graphes, 2006, http://blog.christophelebot.fr/

wp-content/uploads/2007/03/theorie_graphes.pdf.

[3] Coloration des graphes, Apprendre-en-ligne, http://www.apprendre-en-ligne. net/graphes-ancien/coloration/sommets.html

[4] O. GARET, Exemples de problèmes de graphes, http://iecl.univ-lorraine. fr/~Olivier.Garet/cours/graphes/graphes-documents_d_

accompagnement.pdf.

[5] E. SIGWARD& al., Odyssée Mathématiques Terminale ES/L, Hatier, 2012.

[6] Graphes probabilistes, Terminale ES spécialité.http://mathadoctes.free.fr/TES/ graphe/f4_graphe.PDF

[7] G. COSTANTINI, Probabilités (discrètes), Cours de Première S, URL : http://

bacamaths.net.

[8] P. RIBEREAU, Cours 5 Probabilités : Notion, probas conditionnelles et indépendance, URL : http://www.math.univ-montp2.fr/

[9] P. DUVAL, Probabilités, TS. URL : http://lcs.werne.lyc14.ac-caen.fr/ ~duvalp

[10] G. COSTANTINI, Probabilités : Généralités, conditionnement, indépendance, Cours de

Pre-mière S. URL :http://bacamaths.net.

[11] M. LENZEN, Leçon no3 : Coefficients binomiaux, dénombrement des combinaisons, formule

du binôme. Applications., 2011, URL :http://www.capes-de-maths.com/index. php?page=leconsNEW

[12] G. CONNAN, Une année de mathématiques en Terminale S, Ch. 14, 2009-2010, URL :http: //tehessin.tuxfamily.org

[13] G. COSTANTINI, Loi binomiale, URL :http://bacamaths.net

[14] C. SUQUET, Intégration et Probabilités Elémentaires, 2009-2010. URL : http://math. univ-lille1.fr/~ipeis/

[15] L. LUBRANO& al., Mathématiques, BTS Industriels - Groupement B et C, Dunod, 2011.

[16] G. COSTANTINI, Lois de probabilités continues. URL :http://bacamaths.net.

[17] J.-P. GOULARD, Lois de probabilités continues, TS, 2014-2015. http://blog.crdp-versailles.fr/jpgoualard/public/

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[18] Probabilités 3 : Loi uniforme sur [a; b], Lycée de Font Romeu. http://www. lewebpedagogique.com/cerdagne/files/2013/02/02-Loi-uniforme. pdf

[19] Loi uniforme sur[a; b], IREM de Toulouse. URL :http://www.irem.ups-tlse.fr/ spip/IMG/pdf_LOI_UNIFORME.pdf

18 BIBLIOGRAPHIE

[21] C. SUQUET, Initiation à la Statistique, 2010. http://math.univ-lille1.fr/

~suquet/Polys/IS.pdf.

[22] J.-F. DELMAS, Modélisation stochastique, Cours de M2, 2009. URL :http://cermics. enpc.fr/~delmas/Enseig/mod-stoch.pdf

[23] L.-M. BONNEVAL, Chaînes de Markov au lycée, APMEP no503, 2013. URL : http:// publimath.irem.univ-mrs.fr/biblio/AAA13018.htm

[24] Marche aléatoire, IREM de Franche-Comte. URL : http://www-irem. univ-fcomte.fr/download/irem/document/ressources/lycee/marche/

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[25] Marches sur Z, culturemath.ens.fr, URL : http://culturemath.ens.fr/maths/ pdf/proba/marchesZ.pdf

[26] Contributeurs à Wikipedia, Marche aléatoire, Wikipédia, l’encyclopédie libre, 2014.

[27] Marche au hasard dans les rues de Toulouse, URL : http://mappemonde.mgm.fr/ actualites/M_toulouse2.html