Modélisation physique de la diffusion macroscopique et microscopique de la chaleur application au traitement des objets numériques

Modelisation physique de la diffusion macroscopique et

microscopique de la chaleur : application au traitement des

objets numeriques

par

Ahmed Fouad El Ouafdi

These presentee au Departement d'informatique

en vue de l'obtention du grade de Docteur es sciences (Ph.D.)

FAC.ULTE DES SCIENCES

U N I V E R S I T E DE S H E R B R O O K E

1*1

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SOMMAIRE

Les objets numeriques (ex. objets geometriques, sequences videos) sont souvent degrades par le bruit durant la procedure d'acquisition. En vue de reduire le bruit sur les objets numeriques, nous proposons dans cette these a publications deux nouvelles approches basees sur la diffusion macroscopique et microscopique de la chaleur. La these est divisee en quatre chapitres. Dans le premier chapitre, nous decrivons les principales methodes de lissage des objets geometriques. Puisque ces methodes sont basees directement ou in-directement sur le principe de diffusion de la chaleur, nous proposons dans le deuxieme chapitre une approche originale pour le lissage d'objets geometriques basee sur l'equation de la diffusion macroscopique de la chaleur. L'approche repose sur la decomposition de cette equation en lois de bases et la discretisation de ces lois en utilisant des outils de la topologie algebrique. Le schema numerique qui resulte de cette discretisation permet a la fois de lisser Pobjet et de deduire certains invariants topologiques, comme par exemple le nombre de composantes connexes, le nombre de tunnels et de cavites contenus dans l'objet. Dans le troisieme chapitre, nous proposons une approche stochastique pour le lissage des objets geometriques. Cette approche est basee sur une solution analytique du probleme de la diffusion microscopique de la chaleur sur des objets arbitraires. Cette solution analytique est ensuite adaptee dans le quatrieme chapitre pour le lissage aniso-trope et spatio-temporel des sequences videos. Le lissage anisoaniso-trope et spatio-temporel repose sur un noyau de diffusion qui incorpore un tenseur de diffusion et un vecteur de deplacement. Le tenseur de diffusion permet de realiser un lissage spatio-temporel tandis que le vecteur de deplacement permet de compenser le mouvement durant le processus du lissage.

R E M E R C I E M E N T S

Je tiens a exprimer mon extreme reconnaissance envers mon directeur de recherche, le professeur Djemel Ziou, de m'avoir accueilli dans son equipe de recherche, pour son encadrement et son suivi. Ses conseils m'ont fait enormement evoluer, son soutien incon-ditionnel, ses encouragements permanents tout au long de ces annees de recherche, ses qualites humaines, son dynamisme et sa disponibilite ont joue un role determinant dans l'accomplissement de ce travail. Qu'il soit grandement remercie.

Je voudrais egalement remercier le professeur Hamid Krim pour son implication dans certains travaux de la these. Je desire souligner ma reconnaissance envers la professeure Marie Flavie Auclair-Fortier pour les discussions constructives.

J'exprime de chaleureux remerciements a tous les professeurs qui m'ont fait l'honneur de faire partie du jury de cette these.

J'aimerais remercier mes collegues du centre MOIVRE (MOdelisation en Imagerie, Vision et REseaux de neurones) pour leur temoignage de sympathie et d'amitie. Ce fut, en effet, un plaisir de partager quotidiennement de si bons moments avec eux tout au long de ces annees. Je cite particulierement, Sabri Boutemedjet, Mohand Said Allili, Nizar Bouguila et Alain Hore. Je leur souhaite tous la reussite pour leur travail et leur recherche.

Je tiens finalement a remercier tous les membres de ma famille ainsi que tous mes proches pour leur encouragement et leur soutien.

Table des matieres

S O M M A I R E iii R E M E R C I E M E N T S iv

Table des m at ie re s v

I n t r o d u c t i o n 1 1 E t a t de l'art des m e t h o d e s de lissage des objets tridimensionnels 7

2 M e t h o d e physique de lissage des objets basee sur la topologie

alge-brique 30 3 Une approche stochastique p o u r le lissage des objets 62

4 U n noyau de diffusion anisotrope avec compensation d u mouvement

p o u r le lissage des sequences videos 73

Conclusions 94 A n n e x e A 97 Bibliographie 99

Introduction

Les recents developpements des technologies d'acquisition numerique ont favorise l'augmentation du nombre d'objets numeriques. L'acquisition des objets numeriques est pratiquee dans des domaines aussi varies que la cartographie, la museologie, la realite virtuelle, le cinema ou la medecine. Les outils d'acquisition bases sur un appariement stereoscopique, tomographes a rayons X ou un numeriseur laser fournissent une collec-tion de mesures de grandeurs physiques en une multitude de points. Lorsque le processus d'acquisition est termine, l'appareil renvoie les coordonnees des points ainsi que les re-sultats de la mesure physique en ces points (position geometrique, couleur, reflectance, chaleur, etc). Durant l'etape d'acquisition, des precedes sont mis en oeuvre pour mesurer la geometrie de l'objet, les resultats sont souvent, du fait meme de la mesure, sujets a l'incertitude. Cette incertitude se traduit par une apparence granuleuse sous forme de bruit sur la surface de l'objet. C'est-a-dire, la position mesuree en chaque point de l'objet diverge de la position theorique. Aussi, les sequences videos qui sont acquis par des appa-reils photo numeriques ou des telephones mobiles souffrent pareillement du bruit quand les conditions de lumiere deviennent difficiles. La qualite de la video diminue rapidement par le bruit qui se manifeste pas des petits points colores apparaissant aleatoirement dans toute la sequence. En plus de degrader l'apparence de l'objet, le bruit empeche une es-timation adequate des proprietes de l'objet numerique telles que le flux optique dans les sequences videos, les caracteristiques geometriques comme les courbures ou les distances geodesiques. II est a noter que ces proprietes representent une base importante pour les traitements ulterieurs et pour le calcul structurel de haut niveau sur l'objet. La reduc-tion du bruit est done une etape incontournable qui s'impose juste apres la procedure d'acquisition.

En vision par ordinateur, on a assiste durant les dernieres annees a un regain d'interet pour la resolution du probleme lie a la reduction du bruit qui affecte les objets numeriques. Ce regain d'interet s'accompagne d'un renouveau de position de la problematique et d'une redefinition theorique des methodes de lissage d'objets. Nous pouvons expliquer ce surcroit d'interet par la conjonction de plusieurs raisons, parmi lesquelles, nous citons les trois suivantes :

- Les objets ont une representation tres complexe qui peut etre topologique, geo-metrique, physique ou stochastique. La representation topologique caracterise les relations de voisinage entre les elements de Pobjet ainsi que les caracteristiques invariables sous toute deformation continue de l'objet. La representation geome-trique decrit la forme et la position relative de l'objet dans l'espace, tandis que la representation stochastique caracterise la nature aleatoire du bruit, la structure et l'apparence de l'objet. Enfin, la representation physique se reflete par les diffe-rentes quantites physiques qui sont simulees sur l'objet. Le lissage doit done etre realise dans un cadre physique et mathematique qui tient compte des differentes representations de l'objet. A titre d'exemple, on note l'attention de plus en plus grande portee par certains chercheurs a la modelisation physiques, topologique et stochastique du contenu de l'objet a traiter. Par le recours de plus en plus frequent a des outils de la topologie algebrique [1, 12, 18], de geometrie differentielle [3, 5, 15] et de processus stochastique [2, 11, 17], afin de defmir un cadre theorique unifie dans lequel la nature topologique, geometrique, physique et stochastique de l'objet a lisser est prise en consideration.

- La seconde raison est liee aux champs d'applications ou les objets numeriques sont utilises comme des supports d'information. En effet, les objets numeriques sont des supports indispensables dans plusieurs domaines comme par exemple l'imagerie medicale, la realite virtuelle et les jeux videos. Le lissage des objets qui constitue la premiere etape du traitement apres la procedure d'acquisition, doit fournir le maximum possible d'informations topologiques et geometriques sur l'objet afin de faciliter et optimiser sa manipulation, sa gestion, sa transmission et son stockage. - Enfin la troisieme raison, peut etre la plus importante, est liee au cout du traitement

la majorite des approches de lissage developpees dans le domaine du traitement d'objets ont une grande complexite algorithmique. Par consequent, tres consom-matrice de temps de calculs, ce qui constitue un obstacle majeur pour appliquer ces methodes dans l'industrie.

Notre objectif dans cette these est de concevoir des methodes emcaces de lissage des objets tout en tenant compte des representations topologique, geometrique et stochastique des objets tridimensionnels. II est a noter que les methodes de lissage des objets geometriques tridimensionnels peuvent etre facilement etendu pour le lissage des sequences video car une sequence video peut etre vue comment etant un objet tridimensionnel sous forme de sequence de donnees 2D + 1 , ou le parametre t represente le temps [8]. Un decoupage en quatres chapitres a ete adopte pour la presentation de cette these.

Dans le premier chapitre, nous proposons une etude bibliographique de certaines ques-tions relatives au lissage d'objets pour mieux cerner la problematique. Cette etude a revele que plusieurs methodes ont ete proposees pour lisser les objects tout en essayant de preserver les caracteristiques importantes de l'objet telles que les traits fins, les coins et les bords pointus. La majorite de ces methodes de lissage sont basees directement ou indirectement sur le principe de diffusion de la chaleur generalement exprime sous forme d'equations aux derivees partielles (EDP). Les approches de lissage basees sur les EDP sont mises en oeuvre a l'aide des schemas numeriques de discretisation inten-sivement etudies par la communaute de l'analyse numerique. Plus precisement, suivant la discretisation de l'objet (reguliere ou irreguliere), l'EDP qui modelise localement le processus de diffusion de la chaleur est generalement discretisee par les methodes des differences finis (DF), des elements finis (EF) ou des volumes finis (VF). Ces approches de discretisation remplacent l'EDP par un systeme d'equations lineaires et adoptent une discretisation temporelle implicite ou semi-implicite pour garantir la stabilite numerique durant la resolution du systeme d'equations. Bien que ces methodes de discretisation sont largement adoptees par la communaute de vision artificielle pour la resolution des problemes physiques, dans certains cas, ces methodes de discretisation gererent des solu-tions mathematiques qui n'ont aucune signification physique. Ce probleme a ete identifie par plusieurs chercheurs dans le domaine de l'electromagnetique [16, 10] et clairement demontre par Gong et Mujumdar [7] dans leurs travaux sur le transfert de la chaleur

avec des parametres physiques dependant de la temperature. L'ingredient de base qui permet d'eviter la non convergence d'une methode de discretisation vers une solution qui n'est pas physiquement realisable passe d'une part, par l'identification des lois physiques de base sous-jacentes aux problemes physiques considered et d'autre part, par la discreti-sation adequate de chaque loi de base. En effet, Pidentification des lois physiques de base permet de mettre en evidence les relations entre les quantites physiques fondamentales impliquees dans le phenomene que Ton souhaite modeliser. D'autre part, cette identifi-cation permet de classifier les lois de base suivant leur nature physique, par exemple, en lois constitutives ou conservatives. De plus, la discretisation de chaque loi de base en tenant compte de sa nature physique (conservative ou constitutive), permet d'aboutir a un systeme d'equations consistant produisant des solution physiquement realisable [7]. La mise en oeuvre d'une telle procedure de discretisation necessite le recours a des notions de la topologie algebrique, arm de definir un cadre de discretisation unifie dans lequel le probleme physique est adequatement resolu [1, 19].

Dans le deuxieme chapitre qui fait suite a la methode de lissage et de restauration d'images 2D developpee par Auclair-Fortier et Ziou [1], nous proposons une nouvelle methode de lissage anisotrope pour reduire le bruit sur les surfaces d'objets represented par des mailles triangulares. Le processus de lissage est formule directement a partir de l'equation de diffusion macroscopique de la chaleur (equation bilan) au lieu de la formula-tion ponctuelle en terme d'EDP. L'equaformula-tion macroscopique est ensuite decomposed en lois de base, notamment en lois conservatives et constitutives. Dans l'etape de discretisation, les lois conservatives sont discretisees sans approximation tandis que les lois constitutives sont approximees judicieusement en se basant sur la procedure de reconstruction et de projection bien etablit en topologie algebrique [10, 1]. Le systeme d'equations qui permet de resoudre le probleme de diffusion de la chaleur sur une maille triangulaire est adapte au lissage d'objet en identifiant ses donnees geometriques a des temperatures. Ce schema de discretisation base sur la topologie algebrique permet de reduire le bruit sur l'objet, et en meme temps, de deduire certains invariants topologiques, comme par exemple, le nombre de composantes connexes, le nombre des tunnels et des cavites contenues dans l'objet. Finalement, pour preserver les caracteristiques geometriques durant le lissage,

nous proposons dans [13] une nouvelle methode pour l'estimation de l'operateur des ca-racteristiques sans interpoler la surface de l'objet. Cet operateur permet de lisser l'objet suivant les principales directions de courbure et par la suite preserver les coins, les bords pointues et les trais fins .

Dans le troisieme chapitre, nous proposons une methode de lissage d'objets basee sur une solution exacte du probleme de diffusion microscopique de la chaleur. En premier lieu, le probleme de diffusion est modelise par une equation differentielle stochastique (EDS) qui decrit la position aleatoire d'une particule dans un fiuide. En general, la solution exacte de l'EDS ne peut etre determinee que dans certains cas particuliers. Par consequent, la position de la particule a un moment donne ne peut pas etre determinee exactement. Par contre, la probabilite de transition de la particule d'un point a un autre point sur l'objet peut etre determinee exactement. En effet, la probabilite de transition satisfait une equation aux derivees partielles lineaire appelee equation de Kolmogorov Fokker-Planck (KFP). En un instant tres proche de l'instant precedent, nous deduisons une solution exacte de l'equation KFP sur la variete differentielle qui represente l'objet. Une discretisation adequate de la solution du probleme de diffusion anisotrope sur des mailles triangulaires a permis de deriver un filtre qui reduit le bruit, tout en preservant les caracteristiques importantes de la maille telles que les coins et les bords pointus. Nous validons la methode de lissage sur des objets contamines par l'ajout de bruit synthetique et reel.

Le quatrieme chapitre se focalise sur le probleme de lissage des sequences videos conta-minees par le bruit. Apres avoir dresse un etat de l'art des principales methodes de lissage et leurs performances. Nous avons constate que les methodes de lissage spatio-temporelle basees sur la diffusion anisotrope ont une performance superieure par rapport aux autres methodes de lissage spatio-temporelle. Par ailleurs, nous avons remarque que les me-thodes spatio-temporelles de lissage basees sur la diffusion anisotrope sont deterministes, c'est-a-dire qu'elles ne tiennent pas compte de la nature stochastique du bruit et aucune des techniques de lissage existantes ne fournie une interpretation stochastique du proces-sus de lissage. A partir de la formulation macroscopique et microscopique du probleme de la diffusion de la chaleur, nous proposons dans ce chapitre une solution stochastique simple pour resoudre le probleme de diffusion anistropique avec un terme de convection.

Cette solution est basee sur un noyau de diffusion qui incorpore un tenseur de diffusion et un vecteur de deplacement. Le tenseur de diffusion permet de filtrer la sequence video le long des principales directions du changement de l'intensite, tandis que le vecteur de deplacement compense le mouvement. Le lissage basee sur la compensation du mouve-ment lisse la sequence video le long de la trajectoire du mouvemouve-ment estimee en chaque pixel, ce qui permet en consequent d'augmenter le nombre de pixels voisins qui peuvent fournir des informations pertinentes sur le pixel a restaurer. Notre filtre est valide sur des sequences videos contaminees par Pajout de bruit artificiel et de bruit naturel.

Chapitre 1

Etat de Part des methodes de lissage

des objets tridimensionnels

1 Introduction

Le lissage est un traitement dont le role est d'ameliorer la qualite des objets, soit pour en faciliter Interpretation visuelle ou pour augmenter l'efficacite des methodes appli-quees ulterieurement. Une des premieres technique de lissage proposee pour le traitement d'images repose sur la notion d'echelle : pour chaque echelle donnee, correspond une representation globale d'un niveau de detail [23]. Witkin [43] propose un formalisme de filtrage base sur l'echelle en introduisant la notion d'espace echelle (scale-space). L'auteur considere l'echelle comme un parametre continu qui modelise une dimension supplemen-taire aux donnees, appelee dimension de l'echelle. Le principe de base des methodes de lissage basees sur le formalisme de l'espace echelle peut etre resume comme suit : arm que les points representant un detail particulier d'une image originale IQ(P) puissent etre identifies dans les images aux differentes resolutions, il faut plonger celles-ci dans une famille d'images derivees I(p,t) a un parametre t > 0, avec l(p,0) = IQ(P). Dans cette

parametrisation, t represente une echelle interne ou la resolution decroit pour t croissant. C'est-a-dire, plus la valeur de l'echelle est elevee, moins il y a de details. Babaud et al. [3] ont prouve que le noyau Gaussien, solution de l'equation lineaire de diffusion de la chaleur, est Tunique generateur possible des images derivees I(p, t) a partir de l'image

initiale Io(p). Le lissage par la diffusion lineaire elimine le bruit, mais en meme temps, il introduit du flou, car aucune contrainte sur la preservation des details n'est imposee. Trois principales approches basees sur des modeles de diffusion non lineaires et aniso-tropes ont ete proposees pour preserver les details de 1'image. La diffusion non lineaire basee sur une equation aux derivees partielles (EDP) a ete introduite par Perona et Malik [31], la diffusion anisotrope basee sur une EDP proposee par Weickert [42] et la diffusion anisotrope basee sur l'equation globale du transfert de la chaleur proposee par Auclair-Fortier et Ziou [2]. Dans ce qui suit, avant de decrire des methodes de lissage des surfaces d'objets, nous allons introduire brievement quelques notions theoriques sur les surfaces continues et leur discretisation par des maillages triangulaires. Pour plus de details, on refere le lecteur aux livres [13, 15].

2 Preliminaires sur les surfaces

Dans ce chapitre, aim de simplifier la description mathematique de la surface des objets, nous considerons seulement les surfaces parametrisees plongees dans un espace Euclidien M3.

2.1 Surface continue

Par definition, une surface reguliere notee M. est un sous ensemble de M3 tel que pour chaque point p G M., il existe un voisinage V dans R3 et une application x : U —> V HM.

definie sur un ensemble ouvert [ / c l2 sur V C\M tel que :

1. Differentiabilite : l'application x est continuement differentiable, c'est-a-dire que si on ecrit

x(u,v) = (x(u,v),y(u,v),z(u,v)), (u,v)eU, (1)

les derives partielles des fonctions x(u,v), y{u,v) et z(u,v) sont continues en tout ordre dans U.

2. Regularity : l'application x : U —> V D M. est continue et bijective et son inverse x_ 1 : V n M. —> U est aussi continue.

F I G U R E 1 - Illustration de la courbure locale d'une surface.

3. La condition de regularite : pour chaque p G U, la differentielle dxp : E2 —> R3 est

injective.

L'application x est appelee parametrisation ou systemede coordonnees locales de Ai en p, tandis que l'ensemble V f l M est appele coordonnee de voisinage de p. On peut examiner deux courbes de A4 appelees respectivement u—courbe et v—courbe. La u-courbe est obtenue en fixant v = vo et en variant u tandis que la u-u-courbe'est obtenue en fixant u = u0 et en variant v, les deux courbes sont illustrees dans la figure 1. Au point p — x(u0,v0), le vecteur xu = ^(u0,v0) est tangent a la u-courbe et le vecteur x„ = ^;(uo, Vo) est tangent a la f-courbe. Les vecteurs x„ et x„ definissent le plan tangent TPM de M en p. La parametrisation permet de deflnir la notion de metrique sur la surface par l'intermediaire de la premiere forme fondamentale :

IP{X, Y) = X-Y VX,Y€ TPM, (2)

ou • est le produit scalaire dans R2. La premiere forme fondamentale decrit completement les proprietes de la metrique sur la surface. En notation moderne, cette forme est exprimee en terme du tenseur de metrique g dont les coefficients peuvent etre ecrits sous la forme :

(9a) 011 012 92 1 922

OU Ej lp\Xu^XuJ Xu ' Xw, r lpyXu,Xyj Xu ' Xv 6b Cr lp^XyjXy} Xv ' Xv S O I l l

les coefficients de la premiere forme fondamentale. Le tenseur de metrique (3) est une forme bilineaire symetrique non degeneree definie sur chaque espace tangent. Les vecteurs tangent xu et x„ permettent aussi de definir un vecteur unitaire

||xu x xw||

appele le vecteur normal a la surface au point p. Soit E la sphere unitaire, l'application n : M. —> £ qui attribue a chaque point p e M. son vecteur normal unitaire n(p) est appelee l'application de Gauss. Comme nous verrons par la suite, les informations sur la courbure de la surface sont contenues dans le vecteur normal n.

Soit X G TpAi un vecteur tangent a la surface M en p, la derivee directionnelle

Dxn(p) de n au point p dans la direction du vecteur tangent X est un vecteur tangent. En plus, l'application Sp : TpA4 —> TPM definie par

SP(X) = -Dxn(p) (5)

est une application lineaire symetrique; c'est-a-dire,

Sp(X).Y = X.SP(Y), VX,YeTpM,

ou • est le produit scalaire dans l'espace tangent TPM. qui est identique au produit scalaire dans M2. L'application Sp est appelee operateur de caracteristiques. Cet operateur peut aussi etre decrit par la seconde forme fondamentale

UP(X,Y) = SP(X).Y, \/X,Y€TpM. (6)

La matrice de la seconde forme fondamentale dans la base (xux„) est donnee par

- _ | D^n ' x" Dx"n 'Xv\ ~ ( Xuu'n X u t , n J \ DXvn-xu DXvn-xv J \ xvu.n xvv.n J

Finalement, la matrice de l'operateur des caracteristiques (5) dans la base (x„x„) peut etre exprimee par

wv-CoYb'.HUm)-

(7)

Bien que Sp soit un operateur lineaire symetrique, la matrice de cet operateur par rapport a la base (x„x„) n'est pas necessairement symetrique, car en general, les deux vecteurs tangent x„ et x„ ne sont pas orthogonaux. Geometriquement, la matrice (7) caracterise la courbure locale de la surface au point p. En effet, les valeurs propres de Sp, notees Ki et K2 (avec K\ > K2), sont les courbures principales qui determinent respectivement la

valeur maximale et minimale de la courbure locale de la surface M. au point p. Tandis que les vecteurs propres de Sp, notes e\ et e2, sont les principales directions de courbure qui

representent respectivement la direction maximale et minimale de la courbure au point p. Un resultat du theoreme spectral stipule que les principales directions de courbure sont orthogonales, done on peut toujours choisir une base orthonormale pour TPM. formee par les principales directions de courbure. Finalement, les courbures principales et les principales directions de courbure jouent un role primordial dans la plupart des methodes de lissage des surfaces. En effet, les courbures principales permettent de localiser les caracteristiques importantes de la surface comme par exemple les bords et les coins, ce qui facilite leurs preservations, au moment ou les principales directions de courbure permettent de lisser une surface le long des caracteristiques importante.

2.2 Maillage triangulaire

Le maillage triangulaire est l'un des modeles les plus utilises pour representer la topologie et la geometrie les surfaces regulieres des objets. Un maillage triangulaire est une structure discrete, composee d'une partie topologique M = (V, E, F) et d'une realisation geometrique M = {V,£,^r). La topologie d'un maillage est constitute de :

(a) Vue globale d'un maillage tri- (b) Zoom sur les triangles du maillage. angulaire.

F I G U R E 2 - Example de representation d'un maillage tridimensionnelle. - Aretes : un ensemble de paires de sommets E C V x V symetrique

{i,j) e E ^^i~j &(j,i)€E.

- Faces : une collection de triplets de sommets F C V x V x V, avec une condition

de compatibilite additionnelle

(i,j,k)€F=>(i,j),(j,k),(k,i)eE.

La realisation geometrique M. est definie par la position spatiale des sommets ,

V ~ {vt : i E V}, £ ~ {e„ : (i,j) € E} et T = ( J Convfa, Uj-.ujt), (8)

(i,j,k)€F

oil Conv(x, y, z) est l'enveloppe convexe de trois points qui forment un triangle Euclidien

genere par (x,y,z). La realisation M. est lineaire par morceaux et elle peut etre affichee comme une surface 3D sur un ecran d'ordinateur. Elle est realisee par le biais d'une pro-jection perspective des sommets et d'une interpolation bilineaire a l'interieur des triangles de la couleur et d'autres quantites physiques. La figure 2 montre un exemple d'affichage

(a) 1—etoile du sommet i. (b) 2—etoile du sommet i. FIGURE 3 - Exemple d'etoiles d'un sommet.

3D avec un zoom sur les triangles du maillage. A partir des informations topologiques fournies par M = (V,E,F), on peut deduire plusieurs structures de voisinage qui sont importantes pour parcourir un maillage triangulaire. Notamment, l'ensemble 1-etoile de sommets d'un sommet i £V decrit dans la figure 3(a) est defini par

Vi = {jeV: (k,j)€E}cV.

De meme, l'ensemble 1—etoile de triangles d'un sommet i G V, illustre dans la figure 3(b), et representent l'ensemble des triangles incidents au sommet i s V, est defini par

Fi = {(i,j,k)€F:i,j£V}cF.

Comme une application directe de ces ensembles d'etoiles locales, on peut approximer le vecteur normal n, en un sommet Vi par :

ou V/ = (i,j,k) e F, nf

(VJ - Vi) A (vk - Vi)

\(VJ -v^ A(vk -Vi)\. (9)

et uif est le poids associe au triangle / egale a l'aire du triangle de / divise par la sommes des aires des triangles incidents au sommet u,.

3 Lissage base sur la diffusion

Les objets geometriques communement utilises proviennent generalement de deux sources : les objets acquis par numerisation et ceux qui sont obtenues par assemblage d'objets elementaires. Le premier type est souvent issu de mesures laser, de stereovi-sion ou de mesures radiologiques medicales, etc Le second peut resulter d'assemblage logique ou geometrique de volumes elementaires. Durant l'etape d'acquisition, les objets sont souvent contamines par le bruit generalement introduit par les erreurs de mesure, d'assemblage ou de numerisation. La surface des objets reconstruits presente alors une apparence granuleuse du a un decalage aleatoire entre la position observee et la position theorique des sommets, ce decalage est souvent exprime sous une forme additive

V = V*+T] (10)

ou v est la position observable du sommet, v* est la position theorique du sommet et 77 est une variable aleatoire qui caracterise la distribution du bruit sur l'objet. Le lissage des objets 3D consiste a estimer la position theorique de chaque sommet a partir de sa position observee tout en preservant les details fins. Le processus de diffusion constitue un outil fondamental pour le lissage d'un maillage triangulaire. La diffusion est essentiellement un processus physique qui permet de caracteriser revolution d'un flux de concentration de particules d'une certaine espece. Les particules peuvent etre des molecules, des atomes ou des quantites a diffuser sur un objet. Soit p(x, t) leur concentration exprimee en nombre de particules par unite de volume. En presence d'un gradient de concentration Vp(x, £), il s'etablit un flux de particules dans le sens descendant. Ce flux est proportionnel au gradient correspondant :

J = -DVp(x,t), (11)

ou D est appele tenseur ou coefficient de diffusion. La relation (11) qui lie le flux de diffusion et le gradient de concentration est appelee la loi de Fick. La nature de la diffusion des particules est etroitement liee a l'orientation relative du flux de diffusion J par rapport au gradient de la concentration Vp. Cette orientation est determined par le tenseur de diffusion qui est symetrique et definit positif. Dans le cas ou J et Vp sont paralleles

(a) La diffusion iso-trope et nonlinear. (b) La diffusion ani-sotrope.

p p

1 2

j[x)-> ->J(x + dx)

X

_{x + dx}

(c) La diffusion unidirectionnelle en regime transitoire.

F I G U R E 4 -Illustration graphique de la diffusion unidirectionnelle en regime transitoire et la diffusion isotropique, nonlinear et anisotrope.

comme illustre dans la figure 4(a), la diffusion est dite non lineaire ou isotrope. Dans le cas de la diffusion isotrope, le tenseur est reduit a une constante reelle et positive. Tandis que dans le cas de la diffusion non lineaire, le tenseur de diffusion est une fonction de la concentration et/ou de la position geometrique. Dans le cas general ou J et Vp ne sont pas paralleles (voir la figure 4(b)), la diffusion est dite anisotrope. En regime non permanent, c'est-a-dire lorsque le flux en chaque point varie avec le temps, la loi de Fick est completee par une equation de continuity :

dp(x,t)

dt -V- J, (12)

ou V- est l'operateur de divergence. Cette equation se deduit aisement : considerons le cas simple de la diffusion unidimensionnelle des particules dans un cylindre parallele a la direction de diffusion et de section unitaire. Soit un petit volume limite par les plans Pi et P2 d'abscisses x, x + dx, a travers lesquels, des flux de particules diriges de gauche a droite valent respectivement J(x) et J (x+dx), voir la figure 4(c). La quantite de matieres accumulees pendant le temps dt dans le cylindre limite par Pi et P2 vaut :

dJ

\J(x) — J(x + dx)]dt = ——-dxdt.

En appliquant le theoreme des accroissements finis, cette quantite est egale a la variation du nombre de particules dans le volume l.dx, c'est-a-dire :

[p(x, t + dt) - p(x, t)]dx = -£-dtdx (14)

En egalant les termes a droits des expressions (13) et (14), on obtient :

dJ- =

-*L.

(15)

dt dx

Finalement, l'equation generate de la diffusion s'obtient en combinant (11) et (15) :

^ = V-DVp. (16)

Cette equation est a la base de plusieurs phenomenes physiques notamment le transfert de la masse et la diffusion de la chaleur.

4 Methode de lissage basee sur la diffusion lineaire

L'equation de diffusion (16) est une equation aux derivees partielles EDP du second ordre. Dans le cas ou le terme de la diffusion D est independant de la position geometrique, cette equation se simplifie en une EDP lineaire sous la forme

I - 0A* (IT)

ou A est le Laplacien. Les approches principales de resolution de cette EDP dans le cas du lissage des maillages peuvent etre classifiees en deux categories : les methodes du Laplacien et les methodes du flux de la courbure moyenne.

4.1 Les m e t h o d e s d e lissage d u Laplacien

La methode des differences finies est l'approche la plus simple pour approximer l'ope-rateur de Laplace sur un maillage triangulaire. Cette approximation engendre un opera-teur discret communement appele operaopera-teur parapluie [22] :

U(vi) = = y^uM ~ v" vi e Vi (1 8)

ou ujj sont des poids et Vi est le sommet du maillage a restaurer, (voir la figure 5(a)). Le lissage du Laplacien consiste a remplacer l'operateur de Laplace dans (17) par Poperateur parapluie (18) et adopter un schema de discretisation temporel explicite ou implicite. Dans le cas d'un schema d'integration temporel explicite, l'equation lineaire de diffusion de la chaleur (16) se transforme a chaque sommet v^ en une regie de mise a jour locale sous la forme :

Vi^Vi + DAtU(vi). (19) Une contrainte sur le pas de discretisation temporelle A t doit etre imposee pour assurer

la stabilite du systeme (19). Les poids w, peuvent etre choisis de differentes manieres. Le choix le plus simple consiste a opter pour des poids uniformes : Wj = 1,

ou \Vi\ est la cardinalite de l'ensemble des voisins de Vi. Une discretisation de'l'operateur de Laplace basee sur des poids inversement proportionnels a la longueur des aretes a ete proposee dans [12]. Bien que le lissage de Laplace produit un maillage sufhsamment lisse, apres un certain nombre d'iterations, le maillage lisse subit des deformations et des contractions. Pour remedier a ce probleme, plusieurs variantes de la methode du lissage du Laplacien ont ete proposees. Une de ces methodes adopte une discretisation d'ordre superieure du Laplacien [37], tandis que d'autres imposent des contraintes de preservation de volume ou de surface pour attenuer la contraction du maillage durant le processus de lissage [12, 24, 25, 41]. E n se basant sur la theorie du traitement du signal, Taubin [37] observe que le probleme de contraction peut etre reduit en combinant successivement

(a) L'operateur parapluie est (b) Illustration des angles evalue comme le vecteur joi- &i,j-i et

aij+i-gnant le sommet au barycentre de ses voisins.

F I G U R E 5 - L'operateur parapluie et une illustration des angles o ^ - i et cuij+i. (19) avec un pas d'inflation

vk+1 ^ vk + \dtU0(vk) (21)

ou A est un facteur de relaxation negatif tel que A < —D. Cependant, la contraction per-siste dans le cas ou le sommet vt se situe sur la frontiere du maillage. En considerant que le probleme de contraction est en partie cause par une surelaxation, Liu et al. [25] imposent une contrainte de preservation de volume et fixent le centre de chaque triangle durant le lissage. Cette strategie permet de reduire sensiblement la contraction, toutefois les carac-teristiques fines du maillage ne sont pas adequatement preservees. Recemment, Zhang et Ben Hamza [45] ont propose une discretisation normalised du Laplacien pour lisser un maillage toute en preservant le volume. A cause de la limitation du pas de discretisation temporelle At dans (19), un nombre eleve d'iterations de lissage doit etre appliques arm d'obtenir un maillage suffisamment lisse, ce qui aggrave le probleme de contraction et de deformation. Pour eliminer cette restriction imposee au pas de discretisation temporel, Desbrun et al. [12] ont propose un schema d'integration temporel implicite sous la forme

(/ - XAtC)Mk+1 = Mk, (22)

ou C est la matrice de discretisation du Laplacien et Mk est une matrice d'ordre n, x 3 constitute par les vecteurs Vj G V^. Une procedure de preservation de volume a aussi ete proposee pour reduire le probleme de contraction. Grace au schema d'integration

temporelle implicite, le systeme (22) est numeriquement stable quel que soit le pas de discretisation temporel. Cependant, la resolution de ce systeme necessite l'inversion de la matrice (/ — XAtC) a chaque sommet i>j, a chaque iteration du processus du lissage, ce qui rend cet algorithme couteux en terme de calculs.

5 M e t h o d e s de lissage basees sur la courbure moyenne

La courbure moyenne est une propriete intrinseque de la surface car elle est inde-pendante de la parametrisation. Cette independance de parametrisation stipule que le lissage base sur. le flux de courbure moyenne lisse la forme du maillage sans alterer sa parametrisation. Les methodes de lissage basees sur la courbure moyenne sont fondees sur l'equation de flux suivante

^ = -nH(v)n, (23)

ou n est le vecteur normal a la surface au point v, H{v) = \{n\ + K2) est la courbure

moyenne de la surface en v, ou n\ et K2 sont les courbures principales et [i est un parametre

positif. Sous sa forme discrete, l'equation (23) se transforme en une procedure de mise a jour locale :

v(k+i) ^ v(k) _ ^ H ^ ^ (2 4 )

Durant le processus de lissage, la position de chaque sommet Vi est deplacee le long du vecteur normal rij avec une vitesse proportionnelle a la courbure moyenne. Desbrun et

al. [12, 11] ont proposee par une discretisation de la courbure moyenne suivant le vecteur normal sous la forme

ff(ul)nl = — ^(cotan(aij-i) + cotan(aitj+i)){vj - Uj), (25)

jev,

ou A est la somme des aires de tous les triangles incidents au point v,, «i,j-i et a , j+i

representent les angles opposes a l'arete e,j tel qu'illustres dans la figure 5(b). II est a noter que la courbure moyenne mesure la variation locale du champ du vecteur normal par 1'intermediaire de l'operateur de divergence, i.e. H = div n. Une grande variation du champ du vecteur normal sur le maillage caracterise la presence d'une caracteristique

importante comme un bord ou un coin. Par ailleurs, pour preserver ces caracteristiques durant le processus du lissage, la vitesse du lissage doit etre reduite dans les regions ou il y a une grande dispersion du champ du vecteur normal. Le controle de la vitesse du lissage est effectue a l'aide du parametre de regularisation ji qui depend des courbures principales [11].

En depit de la performance des methodes de courbure moyenne sur les methodes du Laplacien, ces methodes sur lissent et contracte severement le maillage apres un certain nombre d'iterations. Pour remedier a ce probleme, Ohtake et al. [28] ont combine les meilleures proprietes des methodes du Laplacien et celles du flux de courbure moyenne toute en reduisant le probleme de la contraction. Les auteurs considerent deux compo-santes de vitesse : une composante normale et une composante tangentielle, pour contro-ler respectivement la vitesse de lissage le long du vecteur normal et sur le plan tangent suivant la regie de mise a jour suivante :

«ifc+1) - v™ + A{ff («<*>) nifc)) + C^iv?) - Z ^ n ? 0 ) x Uo(vf% (26)

(k)

ou C est un parametre qui depend de la courbure de la surface en v\ . Noter que la composante tangentielle est une fonction de la projection 1AQ{V) — (Uo(vn) x UQ du vecteur

de l'operateur parapluie sur le plan tangent en v,. En pratique, pour lisser des maillages contaminees par le bruit, les auteurs proposent un schema de lissage equivalent a (26) base sur le flux suivant :

\H\m • a ^ L-Ls si cos a > e,

cos 8 '

v?+1) - vik) + \Hvf\ ou T = { 2Hn(?) - S * ™s 9 < e, (27) 0 si | cos 8\ < e.

Bien que le schema de lissage base sur la procedure de mise a jour (27) produit de meilleurs resultats comparativement au lissage du Laplacien et de la courbure moyenne, les deux parametres A et e dependent du choix de l'utilisateur, ce qui rend cet algorithme de lissage moins autonome.

6 M e t h o d e s d e lissage anisotropes

En traitement d'images, les methodes basees sur la diffusion anisotrope sont parmi les approches les plus utilisees pour reduire le bruit toute en preservant adequatement les caracteristiques importantes [2, 42]. Les methodes basees sur le principe de diffusion anisotrope visent a lisser plus s'il s'agit d'une meme region, de diminuer, voire stopper le lissage lorsqu'on se situe sur une discontinuite importante relative a un bord significatii. L'idee de base derriere le lissage fonde sur la diffusion anisotrope est de considerer le terme de diffusion D dans l'equation (16) comme un tenseur qui depends du changement local du contraste, ce qui privilegie la diffusion dans une direction particuliere [42].

Durant la derniere decennie, un nombre limite d'extensions d'approches anisotropes ont ete proposees pour le lissage des maillages. Notamment, la methode de lissage pro-poses par Clarenz et al. [8, 9]qui consiste a resoudre l'equation de diffusion de la chaleur anisotrope suivante :

f

d

f

t

-V

M

-D{V

M

p) = r(

P)

t)

I p(;0) =

P

o (28)

ou p : Q x R+ —> R, p0 est la valeur initiale de la quantite p a l'instant t = 0, D est le tenseur de diffusion, V w et V M sont respectivement les operateurs de divergence et du gradient dermis sur la surface continue M, et r(p, t) est une force de retention qui a comme objectif de garder revolution de la quantite p par l'EDP (28) proche de la quantite initiale p0. Cette force est choisie comme :

r(p,t)=(3(p0-p(t)), (29)

ou /3 est une constante reelle positive. La fonction pe correspond a un lissage isotrope de p durant un laps de temps e. Ainsi, le tenseur de diffusion D est estime sur des donnees

lissees isotropiquement pour attenuer l'effet du bruit. La solution du systeme (28) est consideree comme une famille de fonctions {p{t)}teR+ ou le parametre t agit comme un facteur d'echelle. La discretisation de ce systeme se base sur la formulation variationnelle

donnee pour tout 9 e C°°(fi) par :

(8tp,6) + (DVp,Ve) = (r,0), (30)

ou (,) est le produit scalaire L2 sur le domaine U. La discretisation de l'EDP sur le maillage triangulaire M. est realisee par la methode des elements finis. La base {<3>i} choisie pour evaluer l'equation (30) correspond aux fonctions de base tri-lineaires [38]. En ce qui concerne la discretisation temporelle, un schema semi-implicite d'Euler est utilise pour aboutir a un systeme d'equations lineaires a resoudre :

(Hk + TLk(De))pk+1 = Hk(pk + TRk). (31)

ou pk correspond aux valeurs de p au temps tk = kr. La matrice Hk correspond a la matrice de masse des fonctions $ : Hk := (($j,$j))jj, la matrice Lk(Dt) = ((DeV$i,V3>j))ij correspond a une matrice de rigidite non lineaire tandis que la ma-trice Rk englobe les termes de la force de retention r. Le terme De est le tenseur de diffusion adapte a partir de l'operateur des caracteristiques qui s'ecrit dans la base des principales directions de courbure (ei,e2) sous la forme suivante :

K il n \ 1, si \s\ < 6A,

,ou G(s) = { ... n. ,a. - i l _ (32)

ou 6 et A sont deux coefficients positifs qui controlent la diffusion suivant les princi-pales directions de courbure, Ke,i et K,e>2 sont les courbures principales qui representent les valeurs propres de l'estimation de l'operateur des caracteristiques sur le maillage lisse isotropiquement. Plus precisement, les composantes de la matrice (7) sont estimees par une approximation locale et quadratique du maillage. Pour attenuer le probleme de contraction du maillage, la constante (3 dans la force de retention (29) est choisie ade-quatement pour s'assurer que le maillage lisse demeura sufnsamment proche du maillage initial. Une petite valeur de (3 ne permettra pas de grader le maillage lisse assez proche du maillage initial tandis qu'une grande valeur du coefficient (5 gardera le maillage lisse tres proche du maillage bruite. Bien que la methode de Clarenz et al. [8, 9] permet de reduire le bruit par un lissage directionnel du maillage, l'operateur des caracteristiques estime a

partir d'une interpolation quadratique ne permet pas de diriger avec precision la diffusion dans les principales directions de courbure. De plus, les operations de derivation appli-quees a 1'interpolation quadratique du maillage representent un facteur d'augmentation et d'amplification du bruit. Pour remedier a ce probleme, Hilderbrand et Polthier [18] ont propose une methode de lissage anisotrope dans laquelle l'operateur des caracteristiques (7) est estime par une approche basee sur la theorie de cycles normaux [10]. Bajaj et Xu [4] combinent 1'approche de Clarenz et al. [8, 9] avec une subdivision du maillage pour simultanement lisser la geometrie du maillage et ses attributs, par exemple, la texture ou la couleur. En utilisant les surfaces de niveau, Tasdizen et al. [36] appliquent d'abord un lissage anisotrope au champ du vecteur normal, ensuite les sommets du maillage sont ajustes pour qu'ils s'adaptent au champ normal lisse.

7 M e t h o d e s de lissage stochastiques

Etant donne la nature aleatoire de l'echantillonnage des sommets sur un maillage et la distribution aleatoire du bruit, le lissage peut etre aborde du point de vue stochas-tique : les donnees geometriques du maillage ainsi que le bruit sont consideres comme des realisations d'un processus stochastique ayant des parametres connus. Pour le lissage' des maillages triangulaires, deux principales classes de methodes de lissage stochastique ont retenu le plus d'attention. Notamment, le filtre de Wiener [29] et le filtre bilateral [20]. Le filtre de Wiener a ete intensement etudie pour le traitement des signaux ID et des images 2D. Par la suite, plusieurs adaptations locales de ce filtre ont ete proposees pour le traitement des maillages triangulaires [30, 1]. Quand au filtre bilateral, il a ete propose en premier lieu pour le traitement d'images [34, 39]. L'idee de base derriere le filtre bilateral est de representer le domaine et le rang de l'image par une seule entite vectorielle. Pour le lissage d'une image /, le resultat du filtre I(p) en un point p est une somme ponderee des pixels voisins. Le poids de chaque pixel voisin I(q) depend de la distance spatiale ||p — q\\ et la difference entre les valeurs des pixels \\I(p) — I(q)\\ '•

7

(P) = c b £ i(q)Mp-q)Mi(p) - '(<?)), (33)

[P> <iev(P)

ou ||.|| est la norme euclidienne, C(p) est un facteur de normalisation, V(p) represente le voisinage de p, wd et wr sont des noyaux de diffusion associes respectivement au domaine et au rang de l'image. En pratique, les deux noyaux sont identifies au noyau Gaussien. Plusieures adaptations de ce nitre pour le lissage des maillages ont ete proposees. No-tamment, Jones el al. [20] calculent la nouvelle position vt du sommet Vi par

„ _ Y.jev, a3wd(vj ~ Vi)wr(UVj(vi) - Vi)UVj(vi) Y.jev, aiwj(vj ~ Vi)wr(UVj (vt) - v^

ou UV](vi) est la projection de Uj sur l'espace tangent au point Vj. Dans l'adaptation proposee par Fleishman et al. [14], la position du sommet vt est ajustee le long du vecteur normal n* par la procedure de mise a jour suivante :

Ei eyt wd{vj ~ vi)wr{(vj - vuni)){vj - Vi, T^)

Vi = Vi + —^—= — r- Hi, (35) l^jeVl Wd[Vj - Vi)wr{{Vj - Vi, 11;))

ou (,) denote le produit scalaire et n$ le vecteur normal en vt. Finalement, il est important de noter que le filtre bilateral n'est rien d'autre que le filtre Gaussien standard applique aux images modelisees comme des varietes differentielles [35].

8 Conclusion et discussion

Dans ce chapitre, nous avons propose un bref apergu sur les techniques de lissage des maillages triangulaire en mettant l'accent sur les methodes de lissage basees sur la diffusion lineaire et anisotrope. D'autres techniques de lissage indirectement basees sur le regime permanent de diffusion de la chaleur sont tres populaires, notamment, les me-thodes basees sur la minimisation de Penergie [16, 17, 22, 27], cette classe de meme-thodes se base sur la penalisation des variations locales qui causent Papparence granuleuse de Pob-jet. A cet effet, differentes fonctions d'energie qui dependent des proprietes intrinseques de la surface, par exemple la courbure moyenne qui ne depend pas de la parametrisation de la surface. Comme nous pouvons le constater, la plupart des methodes de lissage de maillages sont fondees sur le principe de diffusion de chaleur. Les methodes basees sur le flux de courbures moyenne sont fondees sur un cas particulier de l'equation de diffusion

de chaleur. Les methodes de lissage anisotrope sont basees sur l'equation generale qui regit la diffusion des informations sur le maillage, ce qui rend cette classe de methodes plus performante par rapport aux autres techniques de lissage.

II est a noter que plusieurs methodes de lissage des maillages triangulaires se basent sur les memes fondements que des les methodes de lissage des sequences videos. En effet, une sequence video peut etre vu comment etant un objet tridimensionnel sous forme de sequence de donnees 2D + t, ou le parametre t represente le temps [19]. En identifiant le parametre t a la coordonnee z dans (1), une sequence video, representee par un volume spatio-temporel, partage done la meme structure tridimensionnelle que les maillage triangulaires. Comme dans le cas des malliages triangulaires, les sequences videos sont souvent alterees par un bruit aleatoire durant le processus d'acquisition. Pour reduire ce bruit, plusieurs approches de lissage on etaient proposees durant la derniere decennie, notamment, les approches de lissage qui s'apparentent aux techniques de lissage des images statiques [6, 7], les methodes de lissage spatio-temporel [5, 21, 33, 44] et les methodes basees sur la diffusion anisotrope [32, 26, 40] qui sont similaires aux methodes de lissage anisotrope des maillages triangulaires.

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C h a p i t r e 2

M e t h o d e physique de lissage des

objets basee sur la topologie

algebrique

Dans ce chapitre, nous proposons une approche originale pour le lissage des objets geometriques represented par des maillages triangulaires. L'approche repose sur la decom-position du principe macroscopique de diffusion de la chaleur en lois de base, notamment en lois conserves et en lois constitutives. En utilisant des outils de la topologie algebrique, les lois de base qui decoulent du principe de conservation de la chaleur sont discretisees exactement, tandis que les lois constitutives sont approximees judicieusement. Le cadre de discretisation base sur la topologie algebrique permet de reduire le bruit sur l'objet et en meme temps, d'en deduire certains invariants topologiques, par exemple le nombre de composantes connexes et le nombre de tunnels dans l'objet. Nous appliquons cette approche pour lisser des objets contamines par un bruit artificiel et un bruit naturel qui resulte du processus d'acquisition. Ce travail fait suite au travaux de Auclair-Fortier et Ziou [1] sur le lissage et la restauration d'images.

Nous presentons, dans les pages qui suivent, un article intitule A computational

algebraic topological method for manifold smoothing qui est soumis au journal

Computer Aided Geometric Design. Une courte version de ce travail intitulee A

International Conference on Shape Modeling and Applications 2008 (SMI'08) [13]. La problematique de ce travail a ete posee par le professeur Djemel Ziou. J'ai realise, valide et redige ce travail sous la supervision du professeur Djemel Ziou. J'ai aussi beneficie de plusieurs discussions avec la professeure Marie Flavie Auclair-Fortier.

A Computational Algebraic Topological Method for

Manifold Smoothing

El Ouafdi Ahmed Fouad and Djemel Ziou

Departement d'informatique Universite de Sherbrooke Sherbrooke (Qc), Canada, J1K 2R1 {f.elouafdi, Djemel.Ziou}@usherbrooke.ca

A b s t r a c t

In this paper, we propose a new physical-based method for manifolds smoothing. The smoothing process is modeled using the heat transfer process. We start from the global equation of heat conservation and we decompose it into basic laws. The numerical scheme is derived in a straightforward way from the discretization of the basic heat transfer laws using computation algebraic topological tools (CAT), thus providing a physical and topological explanation for each step of the discretization process. The advantage of such an approach is that, in addition to smooth ade-quately a noisy object, it permits to deduce its topological invariants, such as the number of connected components and the number of tunnels.

1 Introduction

Recent developments in acquisition technology make it possible to obtain highly detailed objects t h a t may have a non-trivial topology, t h a t is, objects can be multiply connected and may contain tunnels and / or holes. During the acquisition process, the objects are often corrupted by noise t h a t may be of geometrical or topological nature. The geometric

noise is often introduced by measuring errors, algorithmic errors, limited sampling reso-lution, etc., while the topological noise is du to inaccuracies in the scanning and merging operations. In this work, we focus on geometric noise reduction.

1.1 Related work

In recent years, various approaches have been proposed to tackle the problem of objects smoothing while preserving the crucial characteristics like edges and corners. The most commonly smoothing approaches can be classified into two main categories, depending on whether the smoothing process is based on the discretization of the heat equation or performed along the normal vector at each point. Both categories are tightly connected since they attempt to solve directly or indirectly a heat diffusion equation usually ex-pressed in partial differential equation (PDE) forme. In what follows, we review some examples of smoothing methods in both categories.

The key step in the PDE based smoothing methods is the PDE discretization step usually performed by the finite element (FE) , finite volume (FV) or finite difference (FD) methods. Such discretization procedures replace the PDE by a linear system of algebraic equations. An implicit or semi-implicit time discretization is generally adopted to achieve a stable numerical schema. In this setting, Clarenz et al. [7] discretize the heat diffusion equation by a FE method and estimate the diffusion tensor by fitting the local surface quadratically. The consequence is that the diffusion is enhanced in the principle directions of curvature. Bajaj and Xu [2] consider the object as well as the quantities represented on it as a Riemannian manifold embedded in euclidian space with higher dimension. The authors combine a nodal finite element method with a loop subdivision schema to discretize two PDE diffusion problems in order to smooth separately the object geometry and the quantities represented on it. The diffusion tensor is the same for the two PDE diffusion problems and it is identical to the one proposed in [7].

In the particular case when the diffusion tensor is a scalar and locally constant func-tion, the PDE that expresses the heat diffusion principle is reduced to the mean cur-vature evolution equation along the normal vector. In this vein, the mean curcur-vature flow smoothing method proposed by Meyer et al. [16] adjusts the vertex position along

the surface normal with speed proportional to the mean curvature flow. The important features are preserved by a weighting parameter that depends on the principal curvature values. Hildebrant and Polthier [11] propose a prescribed mean curvature flow method by preconditioning the anisotropic mean curvature vector, while the diffusion tensor is estimated by normal cycle approach. Ohtake et al. [17] combine the properties of Lapla-cian smoothing and the mean curvature while reducing possible overs smoothing. Thus, each vertex is moved in the direction defined by the Laplacian flows with speed equal to a function of the mean curvature at the vertex.

1.2 Motivations and contribution

The anisotropic diffusion is a powerful smoothing approach that performs the directional smoothing and enhancing of the manifold features while preserving adequately curva-tures, edges and corners. In this paper, we propose a new anisotropic smoothing method that gives a physical as well as a topological interpretation of ,the anisotropic smooth-ing process. The smoothsmooth-ing process is formulated directly from the global heat transfer principle (balance equation) instead of the local PDE formulation. The equation of the global heat transfer principle is decomposed into basic laws, specifically into conserva-tive and constituconserva-tive laws. The numerical schema that allows to perform the smoothing operation on a manifold is derived by discretizing the conservative and constitutive laws independently using computational algebraic topological tools. This discretization frame-work reduces the noise on the manifold, and at the same time, allows to deduce some topological invariants such as the number of connected components and the number of independent tunnels. Such topological information may be used as decision criteria to en-able other post processing steps such as topological noise removal procedure. A graphical illustration of the proposed discretization method is depicted in Figure 1.

2 T h e global approach

The global approach, derived from work in physics, is a method for solving physical field problems. This approach can be broken down into two steps: 1) using the global principle

Global heat diffusion principle

Decomposition into elementary laws

Conservative laws Constitutive laws Exact discretization

Topological equations

Approximative discretization

Global constitutive equations

System of algebraic equations

Topological information

Numerical solution

Applications

• Physical field problem resolution. - • • Image and manifold processing .

• Topological characteristics deduction: number of connected components, holes and cavities. Figure 1: Graphical illustration of the CAT discretizatization method.

and 2) decomposing this global principle into basic laws. For more details, the reader is

invited to consult [15, 20, 21]. ,

2.1 T h e global principle of heat diffusion on manifolds

Assume that the object on which the heat diffusion takes place can be represented by an n-dimensional smooth and compact manifold M embedded in Rn+1. The heat diffusion

is a processus that results from spatial variation in temperature [13]. This variation is governed by the principle of conservation of energy which, when applied to a control volume, states that the thermal energy variation from time instant t\ to time instant t2 is equal to the heat flow entering or leaving the boundary of the control volume during the time interval I = [t\, t2], that is

/ e(x,t2)dji— I e(x,ti)dfi = — / n(x, t) • q(x, t) dudt,

Jnx{t2} ./Ox{ti} JdQxI

where the control volume 0 is a compact open subset of M, v is a local surface area, n(x, t) is the outward normal vector at x on the boundary <9Q, E(X, t) is the heat content density that measures the internal energy stored within a material per unit volume and

q(x, t) is the heat diffusion flow. The dot means the inner product of the vector fields

induced by the metric tensor, and the Cartesian product x denotes the addition of the time and space dimensions. That is, Q, x / denotes the compact open subset Q. during the time interval / , while Q x {£} denotes the same compact open subset at a particular time instant. Considering that the three space-time domains Q x {ti}, 0, x {i2} and <9fi x /

form a spatiotemporal boundary of the space-time domain Q x /, we see that (1) relates physical quantities on a spatiotemporal domain to the other physical quantities on the boundary of these domain. Moreover, the derivative terms in the global heat transfer law (1) are avoided, which allows for an exact algebraic formulation of the heat transfer problem regardless of space and time discretization.

2.2 D e c o m p o s i t i o n into e l e m e n t a r y laws

In the proposed approach, the global heat transfer law (1) is decomposed into basic laws to modularizing the discretization scheme. This allows to separate the conservative laws, which are always discrete and valid for any material, from the constitutive laws that can only be approximated. Once that decomposition is done, it is easy to target only the constitutive laws for the approximations which are necessary in the discretization process. The constitutive laws are established experimentally and depend greatly on the inter-nal constitution of the materials that compose the object. In (1), there are two physical quantities e(x, t) and q(x, t), and the behaviors of these quantities are ruled by two con-stitutive laws. The heat content density e(x, t) is proportional to the temperature scalar

T(x,t) through the heat capacity per unit volume pc(x,t) as e(x,t) = pc(x,t)T(x,t). The heat diffusion flux q(x, i) is the heat transfer rate per unit area in the direction per-pendicular to the direction of transfer, and it is proportional to the temperature gradient

g(x,t) = V M ^ X X , £) as q(x,t) = —K,(x)g(x,t), where K(X) is the conductivity tensor. This constitutive law is called Fourier's law. The minus sign is a consequence of the sec-ond law of thermodynamics, which requires that spontaneous heat diffusion be directed