Sur une équation aux dérivées partielles dans un domaine devenant non borné

REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE

MINISTERE DE L’ENSEIGENEMENT SUPERIEUR ET DE

LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE

UNIVERSITE FERHAT ABBAS-SETIF

MEMOIRE

Présenté à la Faculté des Sciences

Département de Mathématiques

Pour L’Obtention du Diplôme de

MAGISTER

Option : Mathématique

Par

Hadi Sarah

THEME

Sur une équation aux dérivées partielles

dans un domaine devenant non borné

Soutenu le :

Devant le jury :

Président

: Prof : H MEKIAS Prof Université Ferhat Abbas Sétif

Rapporteur

: Prof. A. AIBECHE Prof Université Ferhat Abbas Sétif

Examinateurs

: Prof : S. DRABLA Prof Université Ferhat Abbas Sétif Prof : L. SELMANI Prof Université Ferhat Abbas Sétif

Remerciements

Avant tout, mes vifs remerciements, je les exprime à

Dieu

tout puissant.

J’exprime ma profonde gratitude à mon rapporteur le

Professeur A. Aibeche qui mon fait l’honneur d’avoir

veillé

et dirigé ce travail. Ses conseils éclairés m’ont

permis de

mener à terme ce sujet.

Je remercie le Docteur S. Guesmia qui ma baucoup

aidé.

Je remercie également le Professeur H. Mekias qui

accepté de présider le jury de soutenance.

Je remercie le Professeur L. Selmani et le

Professeur S.

Drabla d’avoir bien voulu accepter de juger ce

travail.

Mes sincéres remerciements vont également aux

personnels

du laboratoire

The Title

The Author

Table des matières

1 Préliminaires 5

1.0.1 Notions élémentaires . . . 5 1.0.2 Existence et unicité de la solution d’une équation d’évolution du deuxième

ordre (Rappel) . . . 11

2 Comportement asymptotique d’un problème hyperbolique à données pé-riodiques dans certaines directions 15

3 Comportement asymptotique d’un problème hyperbolique à données pé-riodiques dans toutes les directions 36

Introduction

La détermination des solutions approchées des équations aux dérivées partielles fait généralement appel à la résolution de modèle plus simple, soit par une technique générale comme pour le cas de la méthode des éléments …nis, soit en pro…tant de quelques particula-rités de notre problème pour considérer un autre problème plus simple.

Le présent travail s’intéresse à étudier un type d’approximation qui consiste à tenir compte d’une structure presque périodique satisfaite par le problème étudié et à comparer la solution de ce problème à celle du problème parfaitement périodique que l’on peut lui associer.

Plus spéci…quement, nous nous intéressons au comportement asymptotique de la solu-tion des problèmes aux limites hyperboliques à des données périodiques, avec des condisolu-tions aux bords non périodique, lorsque certaines directions ou toutes les directions du domaine tendent vers l’in…ni, en précisant le taux de convergence.

Comme problème modèle, on considère la solution un(t; x1; x2)du problème Pn

8 > > > > > > > < > > > > > > > : @2 tu (t; x1; x2) 2 P i=1 @2 xiu (t; x1; x2) : = f (t; x1; x2) dans (0; T ) ( n; n) (0; 1), u (t; x₁; x₂) = 0 sur (0; T ) ( n; n) @ (0; 1) ; u (t; n; x₂) = u (t; n; x₂) p:p: x2 2 (0; 1) ; u (0; x₁; x₂) = un;0(x1; x2) ; @tu (0; x1; x2) = un;1(x1; x2) dans ( n; n) (0; 1) ;

f est 1-périodique en x1:On observe que la solution un(t; x1; x2) est exactement égale à

u₁(t; x1 m; x2) pour tout x1 2 (m; m + 1) ( n; n) telle que u1 est la solution du

problème P₁ 8 > > > > > > > < > > > > > > > : @2 tu (t; x1; x2) 2 P i=1 @2 xiu (t; x1; x2) = f (t; x1; x2) dans (0; T ) (0; 1) (0; 1) ; u (t; x₁; x₂) = 0 sur (0; T ) ( n; n) @ (0; 1) ; u (t; 0; x₂) = u (t; 1; x₂) p:p: x2 2 (0; 1) ; u (0; x₁; x₂) = u0(x1; x2) ; @tu (0; x1; x2) = u1(x1; x2) dans ( n; n) (0; 1) ;

On s’attend dès lors à ce que la solution du problème légèrement di¤érent Pn dé…ni par 8 > > > > < > > > > : @2 tu (t; x1; x2) 2 P i=1 @2 xiu (t; x1; x2) = f (t; x1; x2) dans (0; T ) ( n; n) (0; 1) ; u (t; x1; x2) = 0 sur (0; T ) @(( n; n) (0; 1)); u (0; x₁; x₂) = un;0(x1; x2) ; @tu (0; x1; x2) = un;1(x1; x2) dans ( n; n) (0; 1) ;

tende vers la solution du problème P_{1 pour n ! 1:}

On trouve également dans [5], [15], [16] et [17], le cas des problèmes elliptiques ainsi que pour les problèmes paraboliques dans une structure périodique. En connexion avec ces résultats, on peut sélectionner deux autres domaines. Le premier porte sur le comporte-ment asymptotique de la solution d’un problème aux limites de di¤érents types (elliptique, parabolique, hyperbolique) dans un domaine cylindrique, en tenant compte des symétries approximativement satisfaites dans quelques directions. M. Chipot a étudié dans son livre [3] et avec A. Rougirel dans [8], [11] et avec Y. Xie dans [15] pour les problèmes elliptiques (linéaires, non linéaires) et dans [3], [9, avec Rougirel], [10, avec Rougirel] pour les problèmes paraboliques (linéaires, non linéaires). On trouve aussi dans [3], une étude pour les systèmes et les inéquations variationnelles elliptiques et dans [14, avec Xie] pour le problème du p-Laplacien, et dans [12, avec Rougirel] et [13, avec Rougirel et Elfanni] pour les valeurs et les vecteurs propres des problèmes elliptiques ( linéaires, non linéaires ) et dans [24] pour quelque résultâtes de la convergence du problème parabolique quasilinéaire. B. Brighi et S. Guesmia ont considéré des problèmes hyperbolique pour plus de détails voir [2], [22] [21]. Le deuxième domaine qui porte sur la théorie des perturbations singulières anisotropes a été récemment développé dans [5], [6], [7], [22] et [23]. Le lien entre ce domaine et le précé-dent est assuré par un changement de variable "scaling" surtout dans le cas de la symétrie cylindrique (voir [22]).

Ici on se base sur les techniques et les idées présentées dans [17] et [21]. Dans [21], S. Guesmia a étudié le comportement asymptotique de la solution des problèmes hyperboliques dé…nies dans un domaine cylindrique de la forme 0; bT ( n; n)p ! 0; bT Rk; ap-proximativement invariants par translations (symétrie cylindrique) arbitraires dans p direc-tions, lorsque n ! 1: La solution de ce problème converge vers une solution d’un problème

et su¢ santes pour avoir la convergence. Dans [17], M. Chipot et Y. Xie ont s’intéresse au comportement asymptotique de la solution des problèmes elliptiques à données périodiques lorsque la taille de l’ouvert sur lequel le problème est posé devient in…nie.

Le mémoire se compose de trois chapitres. Dans le premier chapitre on expose quelques notions élémentaires d’analyse fonctionnelle dont nous aurons besoin dans les deux derniers chapitres et a pour but de donner les résultats fondamentaux de l’existence et de l’unicité des solutions des problèmes hyperboliques.

Le deuxième chapitre est réservé à l’étude des problèmes hyperboliques dé…nis sur Qn= 0; bT ( nT; nT )p ! à données périodiques dans les p premiers directions avec des

conditions aux bords de type Dirichlet et nous observons que la solution de notre problème converge vers une autre solution d’un problème de même type, dé…ni sur G₁ = 0; bT (0; T )p !;en précisant le taux de convergence. Finalement nous donnons des conditions nécessaires pour la convergence.

Le troisième chapitre traite des problèmes hyperboliques qui sont dé…nis sur Qn =

0; bT ( nT; nT )k 0; bT Rk _{à données périodiques dans toutes les directions, avec}

des conditions aux bords non périodique et on démontre que la solution de notre problème converge vers la solution d’un problème de même type dé…ni sur G₁ = 0; bT (0; T )k_:

Chapitre 1

Préliminaires

On expose dans ce chapitre quelques outils d’analyse fonctionnelle dont nous aurons be-soin. On rappellera en particulier, les résultats principaux qui traitent l’existence et l’unicité des solutions de problèmes hyperboliques.

Soient X un espace de Banach et ]a; b[ un intervalle ouvert de R:

1.0.1

Notions élémentaires

Espace Lp_{(a; b; X)}

Dé…nition 1 On désigne par Lp_{(a; b; X) ; 1 p < +}

1 l’espace des fonctions f mesurables sur [a; b] à valeurs dans X pour la mesure de Lebesgue dt sur ]a; b[, tel que

kf (t)kLp_(a;b;X) = 0 @ b Z a kf (t)kpXdt 1 A 1 p < +_1: (1.1)

On désigne par L1_{(a; b; X) l’espace des fonctions dé…nies sur ]a; b[ à valeur dans X;}

mesu-rables et bornées presque partout sur ]a; b[ ; la norme étant donnée par

kfkL1(a;b;X) = inffM 2 Rn kf (t)kX 6 M p:p. t 2 (a; b)g :

Démonstration.[1]. Soit (fn)une suite de Cauchy dans Lp, il su¢ t de montrer qu’une

sous suite extraite converge dans Lp:On extrait une sous suite (fnk) telle que

fnk+1(t) fnk(t) _Lp(a;b;X)

1

2k 8k 1:

On va montrer que fnk converge dans L

p_: Posant gn(t) = n X k=1 fnk+1(t) fnk(t) ; il vient kgn(t)k_Lp_(a;b;X) 1:

On déduit du théorème de la convergence monotone que gn converge vers g (t) p:p avec

g (t)_{2 L}p: D’autre part, on a pour m n 2

jfm(t) fn(t)j jfm(t) fm 1(t)j + ::: + jfn+1(t) fn(t)j g (t) gn 1(t)

il en résulte que (fn(t)) est de Cauchy et converge vers une limite notée f (t) :

On a

jf (t) fn(t)j g (t) pour n 2; p:p:

Il en résulte que f (t) 2 Lp: _{En…n kf}n(t) f (t)k_Lp(a;b;X) ! 0:

Ce qui termine la démonstration du proposition.

Espace _D0(a; b; X)

De façon générale, E et F étant deux espaces vectoriels topologiques, on rappelle que L (E; F ) est l’espace des applications linéaires continues de E dans F:

On désigne par D(a; b; X) l’espace des fonctions indé…niment di¤érentiables de [a; b] dans X et à support compact.

Dé…nition 3 On appelle espaces des distributions sur ]a; b[ à valeurs dans X, et on note D0_{(a; b; X); l’espace}

D0(a; b; X) =_{L (D(a; b; X); X) :}

Donc si f 2 D0_{(a; b; X); et '2 D(]a; b[) la valeur de f en ' sera notée}

hf; 'i :

De plus hf; 'i est dans X et l’application

'_{! hf; 'i ;}

est continue de D(]a; b[) dans X:

Remarque 4 _{Soit Y un espace de Banach tel que l’injection X ,! Y est continue. Alors} les injections suivantes

D0(a; b; X) ,_{! D}0(a; b; Y ); (1.2) Lp(a; b; X) ,_{! L}p(a; b; Y ) 1 p +_1; (1.3) sont continues.

On peut maintenant donner la dé…nition de la dérivée d’une distribution.

Dé…nition 5 _{Soit f 2 D}0_{(a; b; X) et m un entier positif, on dé…nit la dérivée d’ordre m de}

f comme l’unique élément de cet espace donnée par dm_f

dtm; ' = ( 1)

m _f; dm'

dtm :

Espace H1(a; b; V; V0)

Soient H; V deux espaces de Hilbert séparables, on suppose que V est dense dans H (V ,_{! H) et on identi…e H avec son dual H}0_{: Alors on a}

V ,_{! H ,! V}0;

c’est à dire chaque espace étant dense dans le suivant avec injection continue. On note

h ; i le produit scalaire dans H ou le produit de dualité V0; V, k kH la norme dans H;

(( ; )) ;_{k kV} le produit scalaire et la norme dans V respectivement,

Dé…nition 6 On dé…nit l’espace H1_{(a; b; V; V}0_{) par}

H1(a; b; V; V0) = u_{2 L}2(a; b; V ); u0 _{2 L}2(a; b; V0) : D’ou u0 _{est calculée au sens des distribution D}0_{(a; b; X): Muni de la norme}

kuk2H1 =kuk

2

V +ku0k 2

V0. (1.4)

H1_{(a; b; V; V}0_{) est un espace de Hilbert.}

On a le

Théorème 7 Tout élément u de H1_{(a; b; V; V}0_{) est presque partout égal à une fonction}

conti-nue de [a; b] dans H. De plus, on a

H1(a; b; V; V0) ,_{! C}0([a; b] ; H);

où C0_{([a; b] ; H) l’espace des fonctions continues sur [a; b] à valeurs dans H est muni de la}

norme de la convergence uniforme.

Pour plus de détails concernant Lp_;

D0 _{et H}1 _{à valeurs vectorielles voir Chipot [3] et}

Lions et Magenes [25], entre autres.

On donne des résultats d’application très utiles pour la suite.

Densité

Théorème 8 ([3]) _{L’espace D(a; b; V ) est dense dans H}1_{(a; b; V; V}0_).

Prolongement

Théorème 9 ([3]) On suppose que l’un au moins des a ou b est …ni. Il existe un opérateur linéaire continu

H1(a; b; V; V0) _{! H}1( _{1; +1; V; V}0) u _{! P (u)}

tel que

Démonstration.[3] On suppose que b est …ni. si a = _{1 on a} P u (t) = 8 < : u (t) t b u (2b t) t b: Il est facile de voir que P est répond à la question.

Si a est …ni, on pose

u = 1u + 2u;

telle que 1; 2 deux fonctions scalaires, véri…és les propriétés suivantes

1 = 0 au ( 1; a] ; 2 = 0 au [b; +1) ; 1 + 2 = 1 pour a t b:

On a grâce (1.4)

k 1uk_H1 Ckuk_H1;

k 2uk_H1 Ckuk_H1:

Et on conclut on utilisant les étapes précédentes.

Intégration par parties

Théorème 10 ([3]) _{Soit u; v 2 H}1_{(a; b; V; V}0_{), a; b …nis. On a} b Z a hu0(t); v(t)_{i dt +} b Z a

hu(t); v0(t)_{i dt = ((u(b); v(b)))} ((u(a); v(a))) :

Démonstration._{Pour u; v 2 D(a; b; V );on obtient}

b Z a hu0(t); v(t)_{i dt +} b Z a hu(t); v0(t)_{i dt = u(t)v(t)j}b_a b Z a hu(t); v0(t)_{i dt +} b Z a hu(t); v0(t)_{i dt} = u(b)v(b) u(a)v(a)

= ((u(b); v(b))) ((u(a); v(a))) :

Proposition 11 ([3]) _{Soit u 2 H}1_{(a; b; V; V}0_{) et soit v 2 V: On a}

hu0(:); v_{i =} d

dt((u(:); v)) dans D

0_{(]a; b[) :}

Démonstration._{Soit ' 2 D (]a; b[) : On a gràce à la proposition précédente}

b

Z

a

hu0(t); v' (t)_{i + hv'}0(t) ; u(t)_{i dt = ((u(b); v'(b)))} ((u(a); v'(a))) = 0 _{8v 2 V:} Ce qui équivalent à b Z a hu0(t); v_{i ' (t) dt =} b Z a hv; u(t)i '0(t) dt = b Z a ((u(t); v)) '0(t) dt:

ce qui termine la démonstration du proposition.

Lemme de Gronwall

Lemme 12 (Gronwall [22]) Soient une fonction de L1_{(0; T ) et de L}1_{(0; T ) telles que}

(t) > 0 et (t) > 0; pour presque tout t de (0; T) ; (T > 0) : On suppose qu’il existe une constante C; telle que

(t)6 t Z 0 ( ) ( )d + C; _{p.p t 2 [0; T ] :} Alors (t)6 C exp t Z 0 ( )d _{p.p t 2 [0; T ] :}

Si on suppose que C est une fonction croissante de t; et que l’on a

(t)6 t Z 0 ( ) ( )d + C(t); _{p.p t 2 [0; T ] .} Alors (t)6 C(t) exp t Z 0 ( )d _{p.p t 2 [0; T ] :}

1.0.2

Existence et unicité de la solution d’une équation

d’évolu-tion du deuxième ordre (Rappel)

Soient H; V deux espaces de Hilbert séparables, on suppose que V est dense dans H (V ,_{! H) et on identi…e H avec son dual H}0_{: Alors, on a}

V ,_{! H ,! V}0;

c’est à dire chaque espace étant dense dans le suivant avec injection continue. Soit a(t; u; v) une forme bilinéaire continue sur V; telle que

8 > > > > > > > > > < > > > > > > > > > :

La fonction t ! a(t; u; v) est une fois continûment di¤érentiable dans (0; T ) ; T < 1 8u; v 2 V;

a(t; u; v) = a(t; v; u) _{8u; v 2 V;}

(coercivité uniforme sur V ) il exist tel que a(t; v; v) + _jvj2 _kvk2_V ; > 0; _{8v 2 V:}

(1.5)

Comme, la forme bilinéaire a(t; u; v) est continue sur V; alors

A 2 L (V ; V0)

tel que

a(t; u; v) =_{hAu; vi ; Au 2 V}0: On considère le problème de Cauchy

@_t2u + Au = f (1.6)

u (0) = u0; @tu (0) = u0(0) = u1: (1.7)

Théorème 13 (Théorème d’existence et unicité ) L’hypothèse (1.5) est supposée sa-tisfaite. Soient f ,u0; u1 donnés tels que

8 < : f _{2 L}2_{(0; T ; H) ;} u0 2 V; u1 2 H: (1.8)

Alors il existe une fonction u et une seule satisfaisant (1.6),(1.7) et à

u_{2 L}2(0; T ; V ) ; (1.9)

u0 _{2 L}2(0; T ; H) : (1.10)

Démonstration. (Voir [25], tome 1,Chap. 3, N0 _{8.2 ou [19]). La démonstration du}

théorème d’existence et unicité se fait en deux étapes. Dans une première partie, on établit des inégalités de l’énergie. Dans une deuxième partie, on montre comment utiliser ces inégalités pour obtenir l’existence d’une solution.

Remarque 14 _{Si (1.10) a lieu. Alors, A (t) u (t) 2 L}2_{(0; T ; V}0_{) de sorte que (??) implique}

u00 _{2 L}2(0; T ; V0) :

Notre objectif est maintenant de donner le résultat complémentaire de régularité.

Théorème 15 (de régularité) On suppose que (1.5) a lieu. Alors, la solution u de (1.6),(1.7) véri…e

!_{u =fu; u}0_{g 2 C}0_{(0; T ; V ) C}0_{(0; T ; H) ; p:p}

et de plus, l’application ff; u0; u1g ! !u est continue de

L2(0; T ; H) V H_{! C}0(0; T ; V ) C0(0; T ; H) :

On a besoin des lemmes suivants pour démontrer le théorème précédent.

Lemme 16 ([25]) Soient X et Y deux espaces de Banach, X Y avec injection continue, X étant ré‡exif. On pose

Cs(0; T ; Y ) = l’espace des fonctions f 2 L1(0; T ; Y ) tel que :

t _{! hf (t) ; y}0_{i est continues sur [0; T ] ; 8y}0 _{2 Y}0; dual de Y:

Alors

Lemme 17 ([25]) Si u véri…e (1.6), (1.7), (1.9) et (1.10) on peut toujours supposer que

u_{2 C}s(0; T ; V ) ;

du

dt 2 Cs(0; T ; H) : (1.12) Lemme 18 ( Egalité de l’énergie [25]) Soit u véri…e (1.6), (1.7), (1.9), (1.10) et (1.12). Alors, pour tout t

a (t; u (t) ; u (t)) +_ku0(t)_k2_H = a (0; u0; u0) +ku1k2_H (1.13) + Z t 0 a0(s; u; u) ds + 2 Re Z t 0 hf; u0i ds:

Remarque 19 Les démonstrations des lemmes précédents se trouvent dans [25] .

Démonstration.du théorème de régularité.

On sait déjà que (1.12) a lieu. Par ailleurs d’après (1.13), la fonction

t_{! a (t; u (t) ; u (t)) + ku}0(t)_k2_H

est continue sur[0; T ] et comme t ! u (t) est continue de [0; T ] dans H fort, on voit que

t_{! ' (t) = a (t; u (t) ; u (t)) + ku}0(t)_k2_H

tel que

a (t; u (t) ; u (t)) = a (t; u (t) ; u (t)) + ((u (t) ; u (t))) ;

est continue sur[0; T ] : Soit alors tn! t et n =ku0(tn) u0(t)k 2 H + a (tn; u (tn) u (t) ; u (tn) u (t)) : On a n = ' (tn) + ' (t) + 2 Re [a (tn; u (t) ; u (t)) a (t; u (t) ; u (t))] 2 Re [u0(tn) ; u0(t)] 2 Re a (t; u (tn) ; u (t)) 2 Re [a (tn; u (tn) ; u (t)) a (t; u (tn) ; u (t))] :

Mais ja (tn; u (t) ; u (t)) a (t; u (t) ; u (t))j Cjt tnj ja (tn; u (tn) ; u (t)) a (t; u (tn) ; u (t))j Cjt tnj ; et donc n! 2' (t) 2 Re ku0(t)k 2 H + a (t; u (t) ; u (t)) = 0: Comme n ku0(tn) u0(t)k 2 H + ku (tn) u (t)k 2 H; on a le théorème.

Chapitre 2

Comportement asymptotique d’un

problème hyperbolique à données

périodiques dans certaines directions

Nous étudions dans ce chapitre le comportement asymptotique de la solution des problèmes aux limites hyperboliques dans un domaine Qn =

h 0; bT

i

( nT; nT )p ! h

0; bTi _Rk _{et on montre que la solution u}

n(t; x)de ce problème converge vers une solution

d’un problème de même type dé…ni sur un domaine G1=

h 0; bT

i

(0; T )p !. On considère d’abord, le cas où les données sont T périodiques dans les p directions et nous donnons des conditions nécessaires pour la convergence.

Position du problème

Soit _{un domaine de R}k_{. On pose Q =} h_{0; bT}i _{pour bT > 0 et on considère le}

problème aux limites à conditions initiales 8 > > > > < > > > > : @2 tu P 16i;j6k

@xi(aij(t; x)@xju) + a(t; x)u = f dans Q

u = 0 sur h0; bTi @

u(0; :) = u0 @tu(0; :) = u1 sur

où

f : Q _{! R;} u0; u1 : ! R;

u : Q _{! R:}

On note par A un opérateur di¤érentiel donné par

Au = X 16i;j6k @xi(aij(t; x)@xju) + a(t; x)u; (2.2) où aij; a : Q ! R: Opérateur hypérbolique

Dé…nition 20 ([19]) L’opérateur di¤érentiel @2

t A avec A donné par (2.2) est dit

unifor-mément hyperbolique s’il existe une constante > 0 telle que X 16i;j6k aij(t; x) i j > k k 2 p.p (t; x) 2 Q et 8 2 Rk: Forme bilinéaire

La forme bilinéaire a (t; :; :) est donnée par

a (t; u; v) =Z X

16i;j6k

aij(t; x)@xju@xiv + a(t; x)uv

!

dx; u; v _{2 H0}1( ) ;

Solution faible du problème

On suppose que les coe¢ cients véri…ent

aij; a2 C1(Q); aij = aji:

Pour les conditions initiales et la fonction f; on suppose que

Dé…nition 21 _{On dit que u 2 H}1_{(0; bT ; V; H) est la solution faible du problème (2.1) si elle}

véri…e l’équation variationnelle d2

dt2 ((u(t); v)) + a (t; u(t); v) =hf(t); vi 8v 2 V; et p.p t 2

h 0; bTi avec les conditions initiales

u(0) = u0; @tu(0) = u0(0) = u1:

Fonction T-périodique

Dé…nition 22 On dit que f est T périodique dans la direction i = 1; :::; k si

f (x + T ei) = f (x) x2 Rk (2.3)

avec ei le vecteur d’unité dans Rk:

Soient

n = ( nT; nT )p ! G = (0; T )p !

où ! est un domaine borné Lipschitzien de Rk p avec k et p des entiers positif tel que (k > p 1):T; nsont deux nombres positifs.

Pour x = (x1; :::; xk)2 Rk; on pose

X1 = (x1; :::; xp) ; X2 = (xp+1; :::; xk) :

Pour un nombre positif bT ;on note aussi

Qn=

h

0; bTi n; G1=

h

0; bTi G: On considère les deux problèmes aux limites dé…nis par

8 > > > < > > > : @2 tun Pk i;j=1@i(aij@jun) = f dans Qn un(t; ) = 0 sur @ n h 0; bT i un(0; ) = un;0; @tun(0; ) = un;1 dans n (2.4)

et ₈ > > > < > > > : @2 tu Pk i;j=1@i(aij@ju) = f dans G1 u (t; ) = 0 sur 0; bT 0 u (0; ) = u0; @tu (0; ) = u1 dans G (2.5) où 0 = (0; T )p @!; On pose A (t; x) = 0 B B B B B B B B B B B B @ a1 1(t; x) a1 p(t; x) a1 p+1(t; x) a1 k(t; x) ap 1(t; x) ap p(t; x) ap p+1(t; x) ap k(t; x) ap+1 1(t; x) ap+1 p(t; x) ap+1 p+1(t; x) ap+1 k(t; x) ak 1(t; x) ak p(t; x) ak p+1(t; x) ak k(t; x) 1 C C C C C C C C C C C C A

où les coe¢ cients aij et les fonctions f; u0 et u1 sont T périodiques dans la direction X1:Soit

Vn un espace de Hilbert tel que

H₀1( n) Vn H01( n; ) ;

avec

= ( nT; nT )p @!; et

H₀1( n; ) = v 2 H1( n) =v = 0 sur :

Comme un et u1 sont les solutions faibles des problèmes (2.4) et (2.5) respectivement, on a

8 > > > < > > > : d2 dt2 R nunvdx + R nA (t; x)run(t; x)rv (x) dx = R nf vdx v2 Vn un2 Vn t 2 h 0; bTi un(0; ) = un;0 u0(0; ) = un;1 t 2 h 0; bTi (2.6) et 8 > > > < > > > : d2 dt2 R Gu1vdx + R GA (t; x)ru1(t; x)rv (x) dx = R Gf vdx v 2 H 1 0;per(G; 0) u_{12 H0;per}1 (G; 0) p.p t 2 h 0; bTi u₁(0; ) = u0; u0₁(0; ) = u1 t2 h 0; bTi (2.7)

et H1

0;per(G; 0) est l’espace des fonctions de H1(G)nulles sur la partie de la frontière 0 et

périodique dans les directions ei i = 1; ; p; c’est à dire

H_0;per1 (G; 0) = v 2 H1(G) =v = 0 sur 0

et v(x) = v(x + T ei), 8x 2 @G \ fxi = 0g ; i = 1; ; pg :

Remarque 23 On prenant

V = H_0;per1 (G; 0) ;

le théorème d’existence et unicité nous permet d’obtenir une solution unique u₁(t; x) du problème (2.5).

Remarque 24 Le problème (2.6) avec Vn = H01( n) représente la formulation faible du

problème (2.4). On peut aussi considèrer le problème mixte si on prend par exemple Vn =

H1

0( n; ).

Hypothèses

Les coe¢ cients aij satisfant les hypothèses suivantes

A (t; x)_{2 C}1 h0; bTi _Rp _{! ;}

j j2 A(t; x) x₂ n; 8 2 Rk; ( une constante positif),

jA(t; x) j j j x₂ n;8 2 Rk; > 0 (une constante), @ @tA (t; x) x2 n: (2.8) On a aussi f _{2 L}2(Qn) ; (2.9) un;0 2 H01( n) ; un;1 2 L2( n) ; (2.10) u0 2 H01(G; 0) ; u1 2 L2(G) : (2.11)

Théorème 25 ([22]) Sous les conditions A (t; x)_{2 C}1 h0; bTi _Rp ! ;

j j2 A(t; x) x₂ n; 8 2 Rk; ( une constante positif ); @

Il existe unet u1sont les solutions faibles des problèmes (2.4) et (2.5) respectivement vérifant un 2 L2(0; bT ; H01( n)); u0n2 L 2_{(0; bT ; H}1 0( n)); u00n2 L 2_{(0; bT ; L}2₍ n)); u_{1 2 L}2(0; bT ; H₀1(G)); u0_{1 2 L}2(0; bT ; H₀1(G)); u00_{1 2 L}2(0; bT ; L2(G)): On va établir quelques lemmes.

Lemme 26 Un prolongement par périodicité de u₁ sur un domaine (U ) noté tou-jours u₁, appartient à l’espace H1_{( ) :}

Démonstration.On faire la démonstration, sans perdre la généralité dans le cas k = 2. Si on prend u₁(x1; x2)2 H1(]0:1[ ]0:1[) : On va montrer que eu1(x1; x2)2 H1( ) ; = ]0:2[ ]0:2[ : On a Z jeu₁(x1; x2)j 2 dx = Z ]0:1[ ]0:1[ju1 (x1; x2)j 2 dx1dx2+ Z ]0:1[ ]1:2[je u₁(x1; x2)j 2 dx1dx2 + Z ]1:2[ ]0:1[ jeu₁(x1; x2)j2dx1dx2+ Z ]1:2[ ]1:2[ jeu₁(x1; x2)j2dx1dx2

et par les changements de variables dans le deuxième terme x2 ! x2 1; dans le troisième

terme x1 ! x1 1, dans le dèrnier terme x1 ! x1 1; x2 ! x2 1 et puisque

u₁(x1; x2)2 L2(]0:1[ ]0:1[) ; on a eu1(x1; x2)2 L2( ) et @x1eu1(x1; x2)2 L 2_{( ) :} On a aussi R @x1eu1(x1; x2) ' (x1; x2) dx1dx2 = R eu1(x1; x2) @x1' (x1; x2) dx1dx2 = R_{]0:1[ ]0:1[eu1}(x1; x2) @x1' (x1; x2) dx1dx2 R ]0:1[ ]1:2[eu1(x1; x2) @x1' (x1; x2) dx1dx2 R ]1:2[ ]0:1[eu1(x1; x2) @x1' (x1; x2) dx1dx2 R ]1:2[ ]1:2[eu1(x1; x2) @x1' (x1; x2) dx1dx2

Puisque u₁(x1; x2)2 L2(]0:1[ ]0:1[), le premier terme devient Z ]0:1[ ]0:1[ eu1(x1; x2) @x1' (x1; x2) dx1dx2 = Z ]0:1[ ]0:1[ u₁(x1; x2) @x1' (x1; x2) dx1dx2 = Z ]0:1[ u₁(1; x2) ' (1; x2) dx2 Z ]0:1[ u₁(0; x2) ' (0; x2) dx2 Z ]0:1[ ]0:1[ @x1eu1(x1; x2) ' (x1; x2) dx1dx2

Par une changement de variabe x2 ! x2 1; le deuxième terme va sécrie

Z ]0:1[ ]1:2[ eu1(x1; x2) @x1' (x1; x2) dx1dx2 = Z ]0:1[ ]0:1[ u₁(x1; x2 1) @x1' (x1; x2+ 1) dx1dx2;

par intégration par partie, on obtient Z ]0:1[ ]1:2[ eu1(x1; x2) @x1' (x1; x2) dx1dx2 = Z ]0:1[ u₁(1; x2) ' (1; x2) dx2 Z ]0:1[ u₁(0; x2) ' (0; x2) dx2 Z ]0:1[ ]0:1[ @x1u1(x1; x2) ' (x1; x2+ 1) dx1dx2 = Z ]0:1[ u₁(1; x2) ' (1; x2) dx2 Z ]0:1[ u₁(0; x2) ' (0; x2) dx2 Z ]0:1[ ]1:2[ @x1eu1(x1; x2) ' (x1; x2) dx1dx2:

Dans le troisième terme on e¤ectue le changement de variable x1 ! x1 1et on intègre par

parties, on obtient Z ]1:2[ ]0:1[ eu1(x1; x2) @x1' (x1; x2) dx1dx2 = Z ]0:1[ u₁(1; x2) ' (2; x2) dx2 Z ]0:1[ u₁(0; x2) ' (1; x2) dx2 Z ]0:1[ ]0:1[ @x1u1(x1; x2) ' (x1+ 1; x2) dx1dx2 = Z ]0:1[ u₁(1; x2) ' (2; x2) dx2 Z ]0:1[ u₁(0; x2) ' (1; x2) dx2 Z @ _eu (x ; x ) ' (x ; x ) dx dx :

Dans le dèrnier terme on e¤ectue le changement des variables x1 ! x1 1; x2 ! x2 1 et

on intègre par parties, on obtient Z ]1:2[ ]1:2[ eu1(x1; x2) @x1' (x1; x2) dx1dx2 = Z ]0:1[ u₁(1; x2) ' (2; x2) dx2 Z ]0:1[ u₁(0; x2) ' (1; x2) dx2 Z ]0:1[ ]0:1[ @x1u1(x1; x2) ' (x1+ 1; x2+ 1) dx1dx2 = Z ]0:1[ u₁(1; x2) ' (2; x2) dx2 Z ]0:1[ u₁(0; x2) ' (1; x2) dx2 + Z ]1:2[ ]1:2[ @x1eu1(x1; x2) ' (x1; x2) dx1dx2: Finalement, on obtient Z @x1eu1(x1; x2) ' (x1; x2) dx1dx2 = Z ]0:1[ u₁(1; x2) ' (1; x2) dx2+ Z ]0:1[ u₁(0; x2) ' (0; x2) dx2 + Z ]0:1[ ]0:1[ @x1eu1(x1; x2) ' (x1; x2) dx1dx2 Z ]0:1[ u₁(1; x2) ' (1; x2) dx2+ Z ]0:1[ u₁(0; x2) ' (0; x2) dx2 + Z ]0:1[ ]1:2[ @x1eu1(x1; x2) ' (x1; x2) dx1dx2 Z ]0:1[ u₁(1; x2) ' (2; x2) dx2+ Z ]0:1[ u₁(0; x2) ' (1; x2) dx2 + Z ]1:2[ ]0:1[ @x1eu1(x1; x2) ' (x1; x2) dx1dx2 Z ]0:1[ u₁(1; x2) ' (2; x2) dx2+ Z ]0:1[ u₁(0; x2) ' (1; x2) dx2 + Z ]1:2[ ]1:2[ @x1eu1(x1; x2) ' (x1; x2) dx1dx2:

Comme, on a la pèriodicité de u_{1 et comme ' 2 D ( ) ; alors} Z

@x1eu1(x1; x2) ' (x1; x2) dx1dx2 =

Z

@x1eu1(x1; x2) ' (x1; x2) dx1dx2:

De manière analogue, on montre que Z

@x2eu1(x1; x2) ' (x1; x2) dx1dx2 =

Z

D’où

u₁(x1; x2)2 H1( ) ;

ce qui termine la démonstration du lemme.

Lemme 27 On suppose que u₁(t; x) _{2 H}1

( ) est prolongée par périodicité sur Rp !: Alors pour tout _Rp _{! borné, on a}

d2 dt2 Z u₁(t; x) v (x) dx + Z A (t; x)_ru1(t; x)_{rv (x) dx} (2.12) = Z f (x) v (x) dx _{8v 2 H0}1( ) :

Démonstration. On va adapter les calculs faits par Chipot [5] pour un problème elliptique à notre problème.

Soit v 2 D ( ) ;on prolonge v par 0 à Rp _{!: On a, si on dénote par le vecteur}

périodicité c’est-à-dire = (T1; :::; Tp; 0; :::; 0) : d2 dt2 Z u₁(t; x) v (x) dx + Z A (t; x)_ru1(t; x)_{rv (x) dx} = d 2 dt2 Z Rk u₁(t; x) v (x) dx + Z Rk A (t; x)_ru1(t; x)_{rv (x) dx:} = X z2Zp _f0gk p d2 dt2 Z Gz u₁(t; x) v (x) dx + X z2Zp _f0gk p Z Gz A (t; x)_ru1(t; x)_{rv (x) dx} où z 2 Zp f0gk p et Pose Gz = z + G

Notant que dans cette somme seulement un nombre …ni d’éléments ne sont pas nuls puisqu’on a supposé que v a un support compact.

En remplaçant z + x par x dans Gz et en utilisant la périodicité de A; u1, c’est-à-dire

A (t; x + z ) = A (t; x) x_{2 ;} u₁(t; x + z ) = u₁(t; x) x_{2 :}

Nous obtenons d2 dt2 Z u₁(t; x) v (x) dx + Z A (t; x)_ru1(t; x)_{rv (x) dx} = X z2Zp _f0gk p d2 dt2 Z G u₁(t; x) v (x + z ) dx + X z2Zp _f0gk p Z G A (t; x)_ru1(t; x)_{rv (x + z ) dx} Posons ev(x) = X z2Zp _f0gk p v (x + z ) : D’après (2.7), on obtient d2 dt2 Z u₁(t; x) v (x) dx + Z A (t; x)_ru1(t; x)_{rv (x) dx} = d 2 dt2 Z G u₁(t; x)_{ev(x) dx +} Z G A (t; x)_ru1(t; x)_rev (x) dx = Z G f (t; x)_{ev(x) dx:} Mais, on a Z G f (t; x)_{ev(x) dx =} X z2Zp _f0gk p Z G f (t; x) v (x + z ) dx = X z2Zp _f0gk p Z Gz f (t; x z ) v (x) dx; d’où d2 dt2 Z u₁(t; x) v (x) dx + Z A (t; x)_ru1(t; x)_{rv (x) dx} = X z2Zp _f0gk p Z Gz f (t; x z ) v (x) dx

On utilise la périodicité de f , c’est-à-dire

f (t; x z ) = f (t; x) ; on obtient d2 dt2 Z u₁(t; x) v (x) dx + Z A (t; x)_ru1(t; )_{rv (x) dx} = Z f (t; x) v (x) dx v _{2 D ( ) :}

Puisque D ( ) est dense dans H1 0( ) ; alors d2 dt2 Z u₁(t; x) v (x) dx + Z A (t; x)_ru1(t; x)_{rv (x) dx} = Z f (t; x) v (x) dx _{8v 2 H0}1( ) : ce qui termine la démonstration du lemme.

Si on remplace par n dans le lemme précédent, on a pour tout v 2 V

d2 dt2 Z n u₁(t; x) v (x) dx + Z n A (t; x)_ru1(t; x)_{rv (x) dx} = Z n f (t; x) v (x) dx: Utilisant (2.6), on obtient d2 dt2 Z n un(t; x) v (x) dx + Z n A (t; x)_run(t; x)rv (x) dx = d 2 dt2 Z n u₁(t; x) v (x) dx + Z n A (t; x)_ru1(t; x)_{rv (x) dx;} d’où d2 dt2 Z n (un(t; x) u1(t; x))v (x) dx + Z n A (t; x)_r(un(t; x) u1(t; x))rv (x) dx = 0: On prend wn(t; x) = un(t; x) u1(t; x) ; wn(0; x) = w0n; w0(0; x) = w₁n: Donc d2 dt2 Z n wn(t; x) v (x) dx + Z n A (t; x)_rwn(t; x)rv (x) dx = 0: (2.13)

Maintenant, on va démontrer le théorème du comportement asymptotique dans ce cas.

Théorème 28 Sous les conditions (2.10), (2.9) et (2.8) suivante A (t; x)_{2 C}1 h0; bTi _Rp _{! ;}

j j2 A(t; x) x₂ n; 8 2 Rk; ( une constante);

jA(t; x) j j j x₂ n;8 2 Rk; > 0 (une constante), @

pour tout n0 > 0 et r > 0; il existe une constante C > 0 indépendante de n telle que sup 06t6 bT Z n0 j(un u1)0(t)j 2 dx + sup 06t6 bT Z n0 jr (un u1) (t)j2 dx 6 C(r) 1 n2r + n;r :

Où un et u1 sont les solutions de (2.6) et (2.7) respectivement et

n;r = 1 n2r Z n jun;1j 2 dx + Z n jrun;0j 2 dx + n 2r + n 2r 1 n2 + ::: + n 2 n2(r 1):

Démonstration._{Soit % une fonction régulière dé…nie sur R}p, telle que

0 % 1; % = 1 sur 1 2 ; 1 2 p ; (2.14)

% = 0 _{dans R}p_{n ( 1; 1)}p; _jr%j ( réel positif).

Il est claire pour n1 n, on a

w0_n(t; x) %2 X1 n1T 2 L 2 _{0; bT ; H}1 0( n) ; w00_n(t; x) %2 X1 n1T 2 L 2 _{0; bT ; H} 1₍ n) ; formellement on prend v = w0_n(t; x) %2 X1 n1T alors (2.13), s’écrit w_n00(t; x) ; w_n0 (t; x) %2 X1 n1T + Z n A (t; x)_rwn(t; x)r w0n(t; x) % 2 X1 n1T dx = 0;

(h:; :i c’est le produit de dualité entre H1

0 ( n) et H 1( n)):En développant l’intégrale, on

obtient 1 2 d dt Z n1 w_n0 (t; x) % X1 n1T 2 dx + Z n1 A (t; x)_rwn(t; x)rw0n(t; x) %2 X1 n1T dx = 2 n1T Z n1 A (t; x)_rwn(t; x)r% X1 n1T w0_n(t; x) % X1 n1T dx:

Mais, puisque on a A (t; x)_rwn(t; x)rw0n(t; x) % 2 X1 n1T = 1 2 d dt A (t; x)rwn(t; x)rwn(t; x) % 2 X1 n1T 1 2(A 0_{(t; x)} rwn(t; x)rwn(t; x) %2 X1 n1T ); alors 1 2 d dt Z n1 w_n0 (t; x) % X1 n1T 2 dx +1 2 d dt Z n1 A (t; x)_rwn(t; x)rwn(t; x) %2 X1 n1T dx = 2 n1T Z n1 A (t; x)_rwn(t; x)r% X1 n1T w0_n(t; x) % X1 n1T dx +1 2 Z n1 A0(t; x)_rwn(t; x)rwn(t; x) %2 X1 n1T dx: Intégrant entre 0 et t 1 2 Z n1 w_n0 (t; x) % X1 n1T 2 dx +1 2 Z n1 A (t; x)_rwn(t; x)rwn(t; x) %2 X1 n1T dx = 1 2 Z n1 w₁n% X1 n1T 2 dx + 1 2 Z n1 A (0; x)_rw0n_rwn₀%2 X1 n1T dx 2 n1T Z t 0 Z n1 A (s; x)_rwn(s; x)r% X1 n1T w0_n(s; x) % X1 n1T dxds +1 2 Z t 0 Z n1 A0(s; x)_rwn(s; x)rwn(s; x) %2 X1 n1T dxds On a, grâce à l’hypothèse (2.8) 1 2 Z n1 w_n0 (t; x) % X1 n1T 2 dx + 2 Z n1 jrwn(t; x)j2%2 X1 n1T dx 1 2 Z n1 w₁n% X1 n1T 2 dx +1 2 Z n1 jrwn0j % 2 X1 n1T dx +2 n1T Z t 0 Z n1 jrwn(s; x)j wn0 (s; x) % X1 n1T dxds + 2 Z t 0 Z n1 jrwn(s; x)j2%2 X1 n1T dxds;

d’où 1 2 Z n1 w_n0 (t; x) % X1 n1T 2 dx + 2 Z n1 jrwn(t; x)j2%2 X1 n1T dx C Z n1 wn₁% X1 n1T 2 dx + C Z n1 jrwn0j % 2 X1 n1T dx + C n1T Z t 0 Z n1 jrwn(s; x)j wn0 (s; x) % X1 n1T dxds +C Z t 0 Z n1 jrwn(s; x)j 2 %2 X1 n1T dxds;

la constante C depend de T; ; ; : Appliquant l’inégalité de Cauchy-Schwartz et l’inégalité de Young ab "a2₊b2 " 8" > 0 Z t 0 Z n1 jrwn(s; x)j w0n(s; x) % X1 n1T dxds C n2 1 Z t 0 Z n1 jrwn(s; x)j 2 dxds + C Z t 0 Z n1 w0_n(s; x) % X1 n1T 2 dxds: Nous obtenons Z n1 w_n0 (t; x) % X1 n1T 2 dx + Z n1 jrwn(t; x)j2%2 X1 n1T dx C Z n1 w₁n% X1 n1T 2 dx + C Z n1 jrw0nj % 2 X1 n1T dx +C Z t 0 Z n1 w_n0 (s; x) % X1 n1T 2 dx + Z n1 jrwn(s; x)j2%2 X1 n1T dx ! ds +C n2 1 Z t 0 Z n1 jrwn(s; x)j2dxds:

Appliquant l’inégalité de Gronwall avec

(t) = Z n1 w_n0 (t; x) % X1 n1T 2 dx + Z n1 jrwn(t; x)j2%2 X1 n1T dx (s) = Z n1 jrwn(s; x)j2%2 X1 n1T dx + Z n1 w_n0 (s; x) % X1 n1T 2 dx (s) = 1 C (t) = Z t 0 Z n1 jrwn(s; x)j2dxds:

Alors Z n1 w_n0 (t; x) % X1 n1T 2 dx + Z n1 jrwn(t; x)j2%2 X1 n1T dx C n2 1 Z t 0 Z n1 jrwn(s; x)j 2 dxds +C Z n1 wn₁% X1 n1T 2 dx + C Z n1 jrwn0j % 2 X1 n1T dx:

Puisque % véri…e (2.14), alors Z n1 2 jw0n(t; x)j 2 dx + Z n1 2 jrwn(t; x)j 2 dx (2.15) C n2 1 Z t 0 Z n1 jrwn(s; x)j2dxds + C n1 C n2 1 Z Tb 0 Z n1 jrwn(s; x)j 2 dxds + C _n1 C n2 1 sup 0 t Tb Z n1 jrwn(t; x)j 2 dx + C _n1 telle que n1 = Z n1 jwn1j 2 dx + Z n1 jrwn0j dx:

On prend n1 = ₂n= = 1::: ( 2 N) ( représente ici le nombre d’itérations), on obtient

sup 0 t Tb Z n 2 +1 jw0n(t; x)j 2 dx + sup 0 t Tb Z n 2 +1 jrwn(t; x)j2dx C22 n2 1 sup 0 t Tb Z n 2 jrwn(t; x)j 2 dx ! + C n 2 :

En réalité, on prend d’abord le sup sur les termes de gauche. Si on fait varier de 1 à ; alors sup 0 t Tb Z n 2 +1 jrwn(t; x)j 2 dx (2.16) C22 n2 1 sup 0 t Tb Z n 2 jrwn(t; x)j2dx ! + C n 2 C2₂2 +2( 1) n2 2_{1 0 t}sup_Tb 0 @Z n 2 1 jrwn(t; x)j2dx 1 A + C n 2 + C2₂2 n2 1 n 2 1 ::: C 2 2 +:::+2 n2 1 sup 0 t Tb Z n 2 jrwn(t; x)j2dx ! + C n 2 + C2₂2 n2 1 n 2 1 +::: +C 2 2 +:::+2 2 n2(₁ 1) n 2:

Donc, l’estimation de wn = (un u1) dépend de la proximité des conditions initiales et de

l’estimation de la quantité sup 0 t Tb Z n 2 jr (un u1) (t; x)j 2 dx:

Cette dernière fait l’objet du lemme suivant .

Lemme 29 ([22]) Sous les conditions précédentes, on a Z n jun(s; x)j 2 dx + Z n jrun(s; x)j 2 dx (2.17) C Cnp Z Tb 0 Z Gjf (s; x)j 2 dxds + Z n jun;0j2dx + Z n jrun;1j2dx ! :

Démonstration.On prend dans (2.6)formellement v = u0

n; on obtient Z n u00_n(t; x) u0_n(t; x) dx + Z n A (t; x)_run(t; x)ru0n(t; x) dx = Z n f (t; x) u0_n(t; x) dx; or 1 2 d dt Z n ju0n(t; x)j 2 dx + Z n A (t; x)_run(t; x)ru0n(t; x) dx = Z n f (t; x) u0_n(t; x) dx: Mais A (t; x)_runru0n = 1 2 d dt (A (t; x)runrun) 1 2(A 0_{(t; x)ru} nrun);

alors d dt Z n ju0n(t; x)j 2 dx +1 2 d dt Z n A (t; x)_run(t; x)run(t; x) dx = 1 2 Z n A0(t; x)_run(t; x)run(t; x) dx + Z n f (t; x) u0_n(t; x) dx: Intégrant entre 0 et t 1 2 Z n ju0n(t; x)j 2 dx +1 2 Z n A (t; x)_run(t; x)run(t; x) dx = 1 2 Z n ju0nj 2 dx +1 2 Z n A (0; x)_run;0run;0dx +1 2 Z t 0 Z n A0(s; x)_run(s; x)run(s; x) dxds + Z t 0 Z n f (s; x) u0_n(s; x) dxds;

c’est exactement l’égalité de l’énergie voir le lemme (1.0.20). Puisque jA (t; x) runrunj jrunj 2 ; @ @tA (t; x) ; on a 1 2 Z n ju0n(t; x)j 2 dx + 2 Z n jrun(t; x)j2dx 1 2 Z n jrun;0j2dx + 1 2 Z n jun;1j2dx + 2 Z t 0 Z n jrun(s; x)j2dxds + Z t 0 Z n f (s; x) u0_n(s; x) dxds: Posons C = max 1;2 min 1₂;₂ ; appliquant l’inégalité de Young

Z t 0 Z n f (s; x) u0_n(s; x) dxds Z t 0 Z n jf (s; x)j2dxds + Z t 0 Z n ju0n(s; x)j 2 dxds;

d’où Z n ju0n(t; x)j 2 dx + Z n jrun(t; x)j2dx C Z n jrun;0j 2 dx + C Z n jun;1j 2 dx +C Z t 0 Z n jrun(s; x)j2dxds + Z t 0 Z n ju0n(s; x)j 2 dxds +C Z t 0 Z n jf (s; x)j2dxds:

Appliquant l’inégalité de Gronwall Z n ju0n(t; x)j 2 dx + Z n jrun(t; x)j 2 dx C Z n jrun;0j2dx + C Z n jun;1j2dx + C Z t 0 Z n jf (s; x)j2dxds:

On utilise la périodicité de f dans les p premières directions, on obtient Z n ju0n(t; x)j 2 dx + Z n jrun(t; x)j2dx C Z n jrun;0j2dx + Z n jun;1j2dx + C(2n)p Z Tb 0 Z G jf (s; x)j2dxds; d’où Z n ju0n(t; x)j 2 dx + Z n jrun(t; x)j2dx Cnp Z Tb 0 jf (s; x)j2L2_(G)ds + C Z n jrun;0j2dx + Z n jun;1j2dx :

Maintenant on peut suivre la démonstration du théorème. Utilisant (2.17) dans (2.16), on obtient sup 0 t Tb Z n 2 +1 jrwn(t; x)j2dx C ( ) n2 2 sup 0 t Tb Z n jrunj 2 dx + 2 sup 0 t Tb Z n jru1j 2 dx ! +C ( ) n 2 + n 2 1 n2 + ::: + n 2 n2( 1) ! C ( ) n2 0 B @ CnpR₀TbR_{Gjf (s; x)j}2dxds +R njun;0j 2 dx +R njrun;1j 2 dx + sup 0 t Tb R njru1j 2 dx 1 C A +C( ) n 2 + n 2 1 n2 + ::: + n 2 n2( 1) ! :

D’après la périodicité de u₁ (voir [17]), on obtient

sup 0 t Tb Z n 2 +1 jrwn(t; x)j2dx C ( ) n2 0 B @ CnpRTb 0 R Gjf (s; x)j 2 dxds +R njrun;0j 2 dx +R njun;1j 2 dx + (2n)p sup 0 t Tb R Gjru1(t; x)j 2 dx 1 C A +C( ) n 2 + n 2 1 n2 + ::: + n 2 n2( 1) ! : Posons n; = 1 n2 Z n jrun;0j2dx + Z n jun;1j2dx (2.18) + n 2 + n 2 1 n2 + ::: + n 2 n2( 1); alors sup 0 t Tb Z n 2 +1 jrwn(t; x)j 2 dx C ( ) 1 "Z TbZ jf (s; x)j2dxds + Z TbZ jru1(t; x)j2dxds # + n; ! :

On a 1 n2 p "Z Tb 0 Z Gjf (s; x)j 2 dxds + 2p Z Tb 0 Z Gjru1 (t; x)_j2dxds # = c n2 p Donc sup 0 t Tb Z n 2 +1 jrwn(t; x)j2dx C ( ) 1 n2 p + n;

Pour r > 0 et 8n0 > 0 ₂n+1 > n0 ; nous prenons > p₂ + r alors, (2.15) devient

sup 0 t Tb Z n0 jwn(t; x)j2dx + sup 0 t Tb Z n0 jrwn(t; x)j2dx C (r) 1 n2r + n;r :

Ce qui termine la démonstration du théorème.

Remarque 30 Il est clair d’après (2.18) que les conditions initiales jouent un rôle essentiel pour estimer wn, donc si on suppose pour = p₂ + r + 1; On a

n 2 = O(

1

n2 ) = 0::: :

Alors, pour n su¢ samment grand (₂n+1 > n0), on obtient

sup 0 t Tb Z n0 jwn(t; x)j2dx + sup 0 t Tb Z n0 jrwn(t; x)j2dx C (r) 1 n2r + 1 n2 C (r) n2r :

Remarque 31 On peut utiliser les mêmes techniques précédentes quand on prend

Vn= H1( n) :

Remarque 32 On peut utiliser les mêmes techniques précédentes quand on prend les deux problèmes aux limites suivantes

8 > > > < > > > : @_t2u (t; x) Pk_i;j=1@i(aij(t; x) @ju (t; x)) + a (t; x) u (t; x) = f (t; x) dans Qn u (t; x) = 0 sur @ n u (0; ) = un;0; @tun(0; ) = un;1 dans n

et 8 > > > < > > > : @2 tu (t; x) Pk i;j=1@i(aij(t; x) @ju (t; x)) + a (t; x) u (t; x) = f (t; x) dans G1 u (t; x)_{2 H}1 0:per(G; 0) p.p t 2 (0; bT ) u₁(0; ) = u0; @tu1(0; ) = u1 dans G

La fonction a(t; x) est di¤érente de la fonction nulle et véri…e

Chapitre 3

Comportement asymptotique d’un

problème hyperbolique à données

périodiques dans toutes les directions

Nous étudions ici le comportement asymptotique de la solution du problème hyperbo-lique dé…ni sur Qn =

h 0; bT

i

( nT; nT )ket on montre que la solution un(t; x)de ce problème

converge vers u₁(t; x)la solution d’un problème dé…ni sur un domaine G₁ =h0; bTi (0; T )k

quand les données sont T périodiques dans toutes les directions et n ! 1. On note par n, G les deux domaines bornés de Rk dé…nis par

n = ( nT; nT )k G = (0; T )k;

et pour bT > 0;

Qn= (0; bT ) n; G1= (0; bT ) G:

Nous considérons les deux problèmes aux limites suivants 8 > > > < > > > : @2 tu (t; x) Pk i;j=1@i(aij(t; x) @ju (t; x)) + a (t; x) u (t; x) = f (t; x) dans Qn u (t; x) = 0 sur @ n u (0; ) = un;0; @tun(0; ) = un;1 dans n (3.1)

et 8 > > > < > > > : @2 tu (t; x) Pk i;j=1@i(aij(t; x) @ju (t; x)) + a (t; x) u (t; x) = f (t; x) dans G1 u (t; x)_{2 H}1 per(G) p.p t 2 (0; bT ) u₁(0; ) = u0; @tu1(0; ) = u1 dans G (3.2) et Hper1 (G) est l’espace des fonctions de H1(G) et périodique dans les directions ei i =

1; ; k; c’est à dire

H_per1 (G) = v _{2 H}1(G) _{n v(x) = v(x + T e}i) 8x 2 @G \ fxi = 0g ; i = 1; :::; k :

Soit Vn un sous espace de H1( n) tel que

Vn est fermé dans H01( n) ; H01( n) Vn H1( n) :

La solution faible un(t; x)2 L2(0; bT ; Vn) du problème (3.1) est une solution unique de

8 > > > < > > > : d2 dt2 R nun(t; x) v (x) dx + R nA (t; x)run(t; x)rv (x) +a (t; x) un(t; x) v (x) dx = R nf (t; x) v (x) dx v _{2 V}n un(0; ) = un;0 @tun(0; ) = un;1 t2 h 0; bTi: (3.3)

Puisque Hper1 (G) est un sous espace fermé dans H1(G) : Alors, u1(t; x) la solution faible

du problème (3.2) est une solution unique de 8 > > > > > > < > > > > > > : d2 dt2 R Gu1vdx + R GA (t; x)ru1(t; x)rv (x) + a (t; x) u1(t; x) v (x) dx =R_Gf (t; x) v (x) dx v _{2 H}1 per(G) u_{1 2 H}1 per(G) p.p t 2 h 0; bTi u₁(0; ) = u0; @tu1(0; ) = u1 t 2 h 0; bTi: (3.4) Hypothèses

les coe¢ cients aij et les fonctions f; u0; u1 et a; sont T périodiques dans toutes les

directions et on a aussi

un;02 Vn; un;12 L2( n) ; (3.6)

u0 2 H1(G) ; u1 2 L2(G) : (3.7)

On suppose que les coe¢ cients véri…ent

A (t; x) ; a_{2 C}1 h0; bTi _Rk ; (3.8)

j j2 A(t; x) x₂ n; 8 2 Rk; est constante positive, (3.9)

la fonction a(t; x) est di¤érente de la fonction nulle et véri…e

0 a(t; x) dans n; (3.10)

@

@ta (t; x) ; @

@tA (t; x) x2 n ( est constante positive) : (3.11) Maintenant, on va voir le

Lemme 33 Supposons que u_{1 2 H}1_{( ) est prolongée par périodicité à R}k.Alors on a pour tout _Rk _borné d2 dt2 R u₁(t; x) v (x) dx +R A (t; x)_ru1(t; x)_{rv (x) dx} +R a (t; x) u₁(t; x) v (x) dx =R f (t; x) v (x) dx v _{2 H0}1( ) : (3.12)

Démonstration. On va adapter les calculs faits dans la démonstration du lemme 27 à notre problème.

Soit v 2 D ( ) : Supposant que v est prolongée par 0 sur Rk: On a, si on dénote par le vecteur périodicité c’est-à-dire = (T1; :::; Tk) :

d2 dt2 Z u₁(t; x) v (x) dx + Z A (t; x)_ru1(t; x)_{rv (x) + a (t; x) u1}(t; x) v (x) dx = d 2 dt2 Z Rk u₁(t; x) v (x) dx + Z Rk A (t; x)_ru1(t; x)_{rv (x) + a (t; x) u1}(t; x) v (x) dx: = X z2Zk d2 dt2 Z Gz u₁(t; x) v (x) dx +X z2Zk Z Gz A (t; x)_ru1(t; x)_{rv (x) + a (t; x) u1}(t; x) v (x) dx: où z 2 Zk _{et Pose G} z = z + G

Notant que dans cette somme seulement un nombre …ni d’éléments ne sont pas nuls puisqu’on a supposé que v a un support compact. En remplaçant z + x par x dans Gz et

en utilisant la périodicité de A; u₁, c’est-à-dire

A (t; x + z ) = A (t; x) x_{2 ;} a (t; x + z ) = a (t; x) x_{2 ;} u₁(t; x + z ) = u₁(t; x) x_{2 :} Nous obtenons d2 dt2 Z u₁(t; x) v (x) dx + Z A (t; x)_ru1(t; x)_{rv (x) dx} = X z2Zk d2 dt2 Z G u₁(t; x) v (x + z ) dx +X z2Zk Z G A (t; x)_ru1(t; x)_{rv (x + z ) dx} Posons ev(x) = X z2Zk v (x + z ) : D’après (3:4), on obtient d2 dt2 Z u₁(t; x) v (x) dx + Z A (t; x)_ru1(t; x)_{rv (x) + a (t; x) u1}(t; x) v (x) dx = d 2 dt2 Z G u₁(t; x)_{ev(x) dx} + Z G A (t; x)_ru1(t; x)_rev (x) + a (t; x) u₁(t; x)_{ev(x) dx} = Z G f (t; x)_{ev(x) dx:} Mais, on a Z G f (t; x)_{ev(x) dx =} X z2Zk Z G f (t; x) v (x + z ) dx = X z2Zk Z Gz f (t; x z ) v (x) dx; d’où d2 dt2 Z u₁(t; x) v (x) dx + Z A (t; x)_ru1(t; x)_{rv (x) + a (t; x) u1}(t; x) v (x) dx = X Z f (t; x z ) v (x) dx:

On utilise la périodicité de f; on obtient d2 dt2 Z u₁(t; x) v (x) dx + Z A (t; x)_ru1(t; x)_{rv (x) + a (t; x) u1}(t; x) v (x) dx = Z f (t; x) v (x) dx v _{2 D ( ) :}

Puisque D ( ) est dense dans H01( ) ; alors

d2 dt2 Z u₁(t; x) v (x) dx + Z A (t; x)_ru1(t; x)_{rv (x) + a (t; x) u1}(t; x) v (x) dx = Z f (t; x) v (x) dx _{8v 2 H0}1( )

ce qui termine la démonstration du lemme.

Si on remplace par n dans le lemme précédent, on a pour tout v 2 Vn

d2 dt2 Z n u₁(t; x) v (x) dx + Z n A (t; x)_ru1(t; x)_{rv (x) + a (t; x) u1}(t; x) v (x) dx = Z n f (t; x) v (x) dx: Par conséquent d2 dt2 Z n un(t; x) v (x) dx + Z n A (t; x)_run(t; x)rv (x) + a (t; x) un(t; x) v (x) dx = d 2 dt2 Z n u₁(t; x) v (x) dx + Z n A (t; x)_ru1(t; x)_{rv (x) + a (t; x) u1}(t; x) v (x) dx: D’où d2 dt2 Z n (un(t; x) u1(t; x)) v (x) dx (3.13) + Z n A (t; x)_{r (u}n(t; x) u1(t; x))rv (x) dx + Z n a (t; x) (un(t; x) u1(t; x)) v (x) dx = 0

Soit %_{n1 une fonction régulière dé…nie sur R}k_{;telle que}

0 % 1; %_n1 = 1 sur n1; (3.14)

On prend wn(t; x) = un(t; x) u1(t; x) ; wn₀ = un;0 u0; wn₁ = un;1 u1: Si n1+ 1 < n;

on peut prendre, loin au frontière de n; par exemple sur n1+1;

un;0= u0; un;1= u1: (3.15)

Formellement on prend dans (3.13)

v = w_n0 (t; x) %2_n 1(x) ; on obtient w_n00(t; x) ; w_n0 (t; x) %2_n1(x) + Z n1+1 A (t; x)_rwn(t; x)r(wn0 (t; x) % 2 n1(x)) + a (t; x) wn(t; x) w 0 n(t; x) % 2 n1(x) dx = 0

( h:; :i produit de dualité entre H01( n) et H 1( n) ).

On développe l’intégrale, on obtient 1 2 d dt Z n1+1 w0_n(t; x) %_n 1(x) 2 dx + Z n1+1 A (t; x)_rwn(t; x)rwn0 (t; x) % 2 n1(x) dx + Z n1+1 a (t; x) wn(t; x) w0n(t; x) % 2 n1(x) dx = 2 Z n1+1 A (t; x)_rwn(t; x)r%n1(x) w 0 n%n1(x) dx: Mais A (t; x)_rwn(t; x)rwn0 (t; x) 1 d 1 ₀

et aussi a (t; x) wn(t; x) w0n(t; x) = 1 2 d dt (a (t; x) wn(t; x) wn(t; x)) 1 2(a 0_{(t; x) w} n(t; x) wn(t; x)) ; alors 1 2 d dt Z n1+1 w0_n(t; x) %_n 1(x) 2 dx + 1 2 d dt Z n1+1 A (t; x)_rwn(t; x)rwn(t; x) %2n1(x) dx +1 2 d dt Z n1+1 a (t; x) wn(t; x) wn(t; x) %2n1(x) dx = 2 Z n1+1 A (t; x)_rwn(t; x)r%n1(x) w 0 n(t; x) %n1(x) dx +1 2 Z n1+1 A0(t; x)_rwn(t; x)rwn(t; x) %2n1(x) dx +1 2 Z n1+1 a0(t; x) wn(t; x) wn(t; x) %2n1(x) dx: Intégrant entre 0 et t 1 2 Z n1+1 w0_n(t; x) %_n1(x)2dx + 1 2 Z n1+1 A (t; x)_rwn(t; x)rwn(t; x) %2n1(x) dx +1 2 Z n1+1 a (t; x) wn(t; x) wn(t; x) %2n1(x) dx = 1 2 Z n1+1 w1%n1(x) 2 dx + 1 2 Z n1+1 A (0; x)_rw0rw0%2n1(x) dx +1 2 Z n1+1 a (0; x) w0w0%2n1(x) dx 2 Z t 0 Z n1+1 A (s; x)_rwn(; x)r%n1(x) w 0 n(s; x) %n1(x) dxds +1 2 Z t 0 Z n1+1 A0(s; x)_rwn(s; x)rwn(s; x) %2n1(x) dxds +1 2 Z t 0 Z n1+1 a0(s; x) wn(s; x) wn(s; x) %2n1(x) dxds:

D’après (3.8), (3.9), (3.10), (3.11) et (3.15), on obtient 1 2 Z n1+1 w0_n(t; x) %_n1(x)2dx + 2 Z n1+1 jrwn(t; x)j2%2n1(x) dx +1 2 Z n1+1 a (t; x) wn(t; x) %n1(x) 2 dx 2 Z t 0 Z n1+1 r%n1(x) jrwn(s; x)j w 0 n(s; x) %n1(x) dxds + 2 Z t 0 Z n1+1 jrwn(s; x)j2%2n1(x) dxds + 2 Z t 0 Z n1+1 wn(s; x) %n1(x) 2 dxds: Posons C = C ( ; ) ; on obtient Z n1+1 w0_n(t; x) %_n1(x)2dx + Z n1+1 jrwn(t; x)j 2 %2_n1(x) dx + Z n1+1 a (t; x) wn(t; x) %n1(x) 2 dx C Z t 0 Z n1+1 r%n1(x) jrwn(s; x)j w 0 n(s; x) % 2 n1(x) dxds +C Z t 0 Z n1+1 jrwn(s; x)j 2 %2_n1(x) dxds +C Z t 0 Z n1+1 wn(s; x) %n1(x) 2 dxds:

Appliquant l’inégalité de Cauchy-Schwartz et l’inégalité de Young ab "a2+b_"2 _{8" > 0} Z t 0 Z n1+1 rwn(s; x)r%n1(x) w 0 n(s; x) %n1(x) C Z t 0 Z n1+1 r%n1(x) 2 jrwn(s; x)j2dxds + C Z t 0 Z n1+1 w0_n(s; x) %_n 1(x) 2 dxds;

on obtient Z n1+1 w_n0 (t; x) %_n1(x) 2dx + Z n1+1 jrwn(t; x)j2%2n1(x) dx + Z n1+1 a (t; x) wn(t; x) %n1(x) 2 dx C Z t 0 Z n1+1 w_n0 (s; x) %_n1(x) 2dxds + C Z t 0 Z n1+1 jrwn(s; x)j2%2n1(x) dxds +C Z t 0 Z n1+1 wn(s; x) %n1(x) 2 dxds +C Z t 0 Z n1+1 r%n1(x) 2 jrwn(s; x)j2dxds:

Appliquant l’inégalité de Gronwall, on déduit Z n1+1 w0_n(t; x) %_n1(x)2dx + Z n1+1 jrwn(t; x)j 2 %2_n1(x) dx +C Z n1+1 a (t; x) wn(t; x) %2n1(x) 2 dx C Z t 0 Z n1+1 r%n1(x) 2 jrwn(s; x)j2dxds:

Puisque %n1 véri…e (3.14), alors

Z n1 jw0n(t; x)j 2 dx + Z n1 jrwn(t; x)j2dx (3.16) + Z n1 a (t; x)_jwn(t; x)j2dx C Z t 0 Z n1+1n n1 jrwn(s; x)j2dxds:

On utilise le théorème suivant

Théorème 34 ([17]) Pour tout n0 > 0; n0 = ( n0T; n0T )

k

; si la fonction a (t; x) n’est pas identiquement nulle et T -periodique dans toutes les directions, alors on a

Z n0 jrv(t; x)j2+ v(t; x)2dx C Z n0 jrv(t; x)j2+ a(t; x)v2(t; x) dx _{8v 2 H}1( n0) :

Démonstration. Si on regarder dans ([3], [4]) on obtient que il existe constante C depende de et la fonction a(t; x); tel que

Z

jrv(t; x)j2+ v(t; x)2dx C Z

On dé…nit B par B = k Y i=1 (niT; (ni+ 1)T ); ni 2 Z; i = 1; :::; k:

On observe que pour toute v(t; x) 2 H1_{(B);si x = y +}P

inieiT; alors vT(t; y) = v(y +X i nieiT ) = v(y + X i nieiT ) = v(t; x); vT(t; x)_{2 H}1(Q)

Puisque a(t; x) est T-péridique dans toutes les directions, pour a même constante C; on obtient Z n0 jrv(t; x)j2+ v(t; x)2dx = X Z Bi jrv(t; x)j2 + v(t; x)2dx X C Z Bi jrv(t; x)j2+ a(t; x)v(t; x)2dx = C Z n0 jrv(t; x)j2+ a(t; x)v2(t; x) dx:

Pour n0 > 0; n0 2 N; il exsiste un recouverement de n0 par les ensembles Bi de type B;

c’est à dire Bi\ Bj = ?; i6= j; [ Bi = n0: Tel que Z Bjrv(t; x)j 2 +_{jv(t; x)j}2dx = Z Q rv T_{(t; y)} 2_{+ (v}T_{(t; y))}2 _dy C Z Q rv

T_{(t; y)} 2_{+ a(t; y)(v}T_{(t; y))}2 _dx

= C Z Bjrv(t; x)j 2 + a(t; x X i nieiT )v2(t; x) dx = C Z Bjrv(t; x)j 2 + a(t; x)v2(t; x) dx: Ce qui termine la démonstration du théorème.

D’après le théorème précédent, alors (3.16) peut s’écrire Z n1 jwn0 (t; x)j 2 dx + Z n1 jrwn(t; x)j 2 dx + Z n1 jwn(t; x)j 2 dx C Z tZ jrw (s; x)_j2dxds:

D’où _Z n1 jrwn(t; x)j 2 dx C Z t 0 Z n1+1n n1 jrwn(s; x)j 2 dxds:

Si on intègre entre 0 et r les deux membres de l’inégalité, on obtient pour tout r > 0 Z r 0 Z n1 jrwn(t; x)j2dxdt C Z r 0 Z t 0 Z n1+1n n1 jrwn(s; x)j2dxdsdt C Z r 0 Z Tb 0 Z n1+1n n1 jrwn(s; x)j2dxdsdt Cr Z Tb 0 Z n1+1n n1 jrwn(s; x)j2dxds C bT Z Tb 0 Z n1+1n n1 jrwn(s; x)j 2 dxds: Donc _Z b T 0 Z n1 jrwn(t; x)j2dxds C bT Z Tb 0 Z n1+1n n1 jrwn(s; x)j2dxds: Or, puisque Z n1+1n n1 jrwn(t; x)j 2 dx = Z n1+1 jrwn(t; x)j 2 dx Z n1 jrwn(t; x)j 2 dx; on en déduit que Z Tb 0 Z n1 jrwn(s; x)j2dxds C bT Z Tb 0 Z n1+1 jrwn(s; x)j 2 dxds C bT Z Tb 0 Z n1 jrwn(s; x)j 2 dxds: D’où Z Tb 0 Z n1 jrwn(s; x)j2dxds C bT 1 + C bT Z Tb 0 Z n1+1 jrwn(s; x)j2dxds " C bT 1 + C bT #2Z _b T 0 Z n1+2 jrwn(s; x)j2dxds " C bT 1 + C bT #3Z _b T 0 Z n1+3 jrwn(s; x)j2dxds ::: " C bT 1 + C bT #mZ _b T 0 Z n1+m jrwn(s; x)j2dxds:

m représente ici le nombre d’itérations. Posons n1 = n 2 et m = hn 2 i 1; on obtient Z Tb 0 Z n 2 jrwn(s; x)j 2 dxds " C bT 1 + C bT #[n 2] 1Z _Tb 0 Z n 2+[n2] jrwn(s; x)j 2 dxds: On a n 2 1 hn 2 i _n 2; alors, on obtient Z Tb 0 Z n 2 jrwn(s; x)j 2 dxds " 1 + C bT C bT #2" 1 + C bT C bT # n 2 Z _Tb 0 Z n 2+[n2] jrwn(s; x)j 2 dxds " 1 + C bT C bT #2 e n 2 ln h 1+C bT C bT iZ Tb 0 Z n 2+[n2] jrwn(s; x)j2dxds: On pose " 1 + C bT C bT #2 = s0; 1 2ln " 1 + C bT C bT # = : On obtient Z Tb 0 Z n 2 jrwn(t; x)j2dxds s0e n Z Tb 0 Z n jrwn(s; x)j2dxds En…n Z Tb 0 Z n 2 jw0n(s; x)j 2 dxds + Z Tb 0 Z n 2 jrwn(s; x)j2dxds (3.17) + Z Tb 0 Z n 2 jwn(s; x)j2dxds s0e n Z TbZ jrwn(s; x)j2dxds:

Lemme 35 (estimation de un) Sous les conditions précédentes, on a Z n ju0n(t; x)j 2 dx + Z n jrun(t; x)j 2 dx C _{jf (t; x)jL}2_(Q n)+ n ; telle que n= Z n jun;1j2dx + Z n jrun;0j2dx + Z n jun;0j2dx: Démonstration.Prenons v = u0 n dans (3.3), on obtient Z n u00_n(t; x) u0_n(t; x) dx + Z n A (t; x)_run(t; x)ru0n(t; x) dx + a (t; x) un(t; x) u0n(t; x) = Z n f (t; x) u0_n(t; x) dx; d’où 1 2 d dt Z n ju0n(t; x)j 2 dx +1 2 d dt Z n A (t; x)_run(t; x)run(t; x) dx +1 2 d dt Z n a (t; x) un(t; x) un(t; x) dx = 1 2 Z n A0(t; x)_run(t; x)run(t; x) dx + 1 2 Z n a0(t; x) un(t; x) un(t; x) dx + Z n f (t; x) u0_n(t; x) dx; et en intégrant de 0 à t; il vient 1 2 Z n ju0n(t; x)j 2 dx + 1 2 Z n A (t; x)_run(t; x)run(t; x) dx +1 2 Z n a (t; x) un(t; x) un(t; x) dx = 1 2 Z n jun;1j 2 dx + 1 2 Z n A (0; x)_run;0run;0dx + 1 2 Z n a (0; x) un(0; x) un(0; x) dx +1 2 Z t 0 Z n A0(s; x)_run(s; x)run(s; x) dxds + Z t 0 Z n f (s; x) u0_n(s; x) dxds + 1 2 Z t 0 Z n a0(s; x) un(s; x) un(s; x) dxds: Utilisant (3.5), (3.8), (3.9), (3.10) et (3.11), on obtient Z n ju0n(t; x)j 2 dx + Z n jrun(t; x)j 2 dx + Z n a (t; x)_jun(t; x)j 2 dx C Z n jun;1j2dx + Z n jrun;0j2dx + C Z n jun;0j2dx + C Z t 0 Z n jrun(s; x)j2dxds +C Z tZ jf (s; x)j ju0n(s; x)j dxds + C Z tZ jun(s; x)j2dxds:

D’apris le théorème 33, on obtient Z n ju0n(t; x)j 2 dx + Z n jrun(t; x)j2dx + Z n jun(t; x)j2dx C Z n jun;1j2dx + C Z n jrun;0j2dx + C Z n jun;0j2dx +C Z t 0 Z n jrun(s; x)j2dxds + C Z t 0 Z n jun(s; x)j2dxds +C Z t 0 Z n jf (s; x)j ju0n(s; x)j dxds

Appliquant l’inégalité de Young Z t 0 Z n jf (s; x) u0n(s; x)j dxds Z t 0 Z n jf (s; x)j2dxds + Z t 0 Z n ju0n(s; x)j 2 dxds Alors Z n ju0n(t; x)j 2 dx + Z n jrun(t; x)j2dx + Z n jun(t; x)j2dx C Z n jun;1j2dx + C Z n jrun;0j2dx + C Z n jun;0j2dx +C Z t 0 Z n ju0n(s; x)j 2 dx + Z n jrun(s; x)j2dx + Z n jun(t; x)j2dx ds +C Z t 0 Z n jf (s; x)j2dxds Appliquant l’inégalité de Gronwall

Z n ju0n(t; x)j 2 dx + Z n jrun(t; x)j2dx + Z n jun(t; x)j2dx C Z n jun;1j2dx + Z n jrun;0j2dx + Z n jun;0j2dx +C Z t 0 Z n jf (s; x)j2dxds:

Et puisque f est T -periodique dans toutes les directions, alors pour une constante c indé-pendante de n, on obtient Z n ju0n(t; x)j 2 dx + Z n jrun(t; x)j2dx + Z n jun(t; x)j2dx C Z ju j2dx + Z jru j2dx + C Z ju j2dx + cnk Z TbZ jf (s; x)j2dxds

Donc Z n ju0n(t; x)j 2 dx+ Z n jrun(t; x)j2dx+ Z n jun(t; x)j2dx Cnk Z t 0 Z Gjf (s; x)j 2 dxds+C n:

Ce qui termine la démonstration du lemme. On suppose que

n= O(nk);

et utilisant ce lemme, alors (3.17) devient Z n 2 jw0n(t; x)j 2 dx + Z n 2 jrwn(t; x)j 2 dx + Z n 2 jwn(t; x)j 2 dx 2s0e n "Z Tb 0 Z n jrun(s; x)j 2 dxds + Z Tb 0 Z n jru1(s; x)j 2 dxds # 2s0e n " Cnk Z Tb 0 Z t 0 Z G jf (g; x)j2dxdgds + C bT nk+ Z Tb 0 Z n jru1(s; x)j2dxds # 2s0e n " CnkTb Z t 0 Z G jf (g; x)j2dxdg + C bT nk+ Z Tb 0 Z n jru1(s; x)j2dxds # Cnke n :

Car, la fonction u₁(t; x)est périodique et indépendante de n:

Ainsi, on a démontré le théorème du comportement asymptotique dans ce cas.

Théorème 36 Pour toute n > 0; il existe constantes C; telle que Z Tb 0 Z n 2 jwn0 (t; x)j 2 dxds + Z Tb 0 Z n 2 jrwn(t; x)j2dxds + Z Tb 0 Z n 2 jwn(t; x)j2dxds Cnke n :

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Résume

On étudie dans ce mémoire le comportement asymptotique de la

solution d'un problème hyperbolique quand le domaine devient

non borné. On considère d'abord le cas où les données sont

périodiques seulement dans quelques directions. Ensuite, on

s'intéresse au cas où les données sont périodiques dans toutes les

directions. Nous observons dans les deux cas que la solution de

notre problème converge vers la solution d'un problème

hyperbolique à données périodiques.

ﺺﺨﻠﻣ

ﺔﻳﺪﺋﺍﺯ ﺔﻴﺋﺰﺟ ﺕﺎﻘﺘﺸﻣ ﺕﺍﺫ ﺔﻴﻠﺿﺎﻔﺗ ﺔﻟﺄﺴﻣ ﻞﳊ ﺏﺭﺎﻘﳌﺍ ﻙﻮﻠﺴﻟﺍ ﺓﺮﻛﺬﳌﺍ ﻩﺬﻫ ﰲ ﺱﺭﺪﻧ

ﺩﻭﺪﳏ ﲑﻏ ﻝﺎﺍ ﺢﺒﺼﻳ ﺎﳌ

.

ﰲ ﺔﻳﺭﻭﺩ ﺕﺎﻴﻄﻌﳌﺍ ﻥﻮﻜﺗ ﺎﳌ ﺔﻟﺎﳊﺍ ﻥﺫﺇ ﱪﺘﻌﻧ

ﺕﺎﻫﺎﲡﻻﺍ ﺾﻌﺑ

ﻂﻘﻓ

ﻞﻛ ﰲ ﺔﻳﺭﻭﺩ ﺕﺎﻴﻄﻌﳌﺍ ﻥﻮﻜﺗ ﻦﻳﺃ ﺔﻟﺎﳊﺎﺑ ﻢﺘ ﰒ

ﻭ ﺕﺎﻫﺎﲡﻻﺍ

ﻼﻧ

ﺎﺘﻠﻛ ﰲ ﻆﺣ

ﺣ ﻥﺃ ﲔﺘﻟﺎﳊﺍ

ﺎﻨﺘﻟﺄﺴﻣ ﻞ

ﻮﳓ ﺏﺭﺎﻘﺘﻳ

ﺔﻳﺭﻭﺩ ﺕﺎﻴﻄﻌﻣ ﺕﺍﺫ ﺔﻳﺪﺋﺍﺯ ﺔﻟﺄﺴﻣ ﻞﺣ

.

Abstract

We study in this memory the asymptotic behavior of the solution

of an hyperbolic problem when the domain becomes unbounded.

So, we consider the case where the data are periodic only in some

directions. Then, we look at where the data are periodic in all the

directions. We observe in both cases that the solution of our

problem converges to the solution of the hyperbolic problem with

periodic data.