Modélisation stochastique de la variabilité des propriétés magnétiques des matériaux ferromagnétiques : application sur des stators de machines électriques

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Modélisation stochastique de la variabilité des propriétés

magnétiques des matériaux ferromagnétiques :

application sur des stators de machines électriques

Ramarotafika Rindrarivelo

To cite this version:

Ramarotafika Rindrarivelo. Modélisation stochastique de la variabilité des propriétés magnétiques des matériaux ferromagnétiques : application sur des stators de machines électriques. Energie électrique. Arts et Métiers ParisTech, 2012. Français. �NNT : 2012ENAM0028�. �pastel-00736725�

2012-ENAM 0028

École doctorale n° 432 : Sciences Des M étiers de l’Ingénieur

présentée et soutenue publiquement par

Rindra RAMAROTAFIKA

13 Septembre 2012

Modélisation stochastique de la variabilité des propriétés

magnétiques des matériaux ferromagnétiques :

Application sur des stators de machines électriques

Doctorat ParisTech

T H È S E

pour obtenir le grade de docteur délivré par

l’École Nationale Supérieure d'Arts et Métiers

Spécialité “Génie électrique”

Directeur de thèse : Stéphane CLENET Co-encadrement de la thèse : Abdelkader BENABOU

T

H

È

S

M. Alain IOST, Professeur, LML, Arts et Métiers ParisTech Président

Mme Afef KEDOUS LEBOUC, Directeur de Recherche au CNRS,G2Elab Rapporteur

M. Laurent DANIEL, Maître de Conférences HDR, LGEP, Université Paris Sud Rapporteur

M. Kay HAMEYER, Professeur, RWTH Aachen Examinateur

M. Luc DUPRE, Professeur, EESA, Université de Ghant Examinateur

M. Stéphane CLENET, Professeur, L2EP, Arts et Métiers ParisTech Examinateur

M. Abdelkader BENABOU, Maître de conférences, L2EP, USTL Examinateur

Table des matières

Table des matières... 2

Liste des figures ... 5

Liste des tableaux ... 8

Abréviations et Notations ... 9

Introduction générale... 11

Chapitre I : Les matériaux magnétiques... 15

INTRODUCTION... 15

I.1.Physique des matériaux magnétiques ... 15

I.1.1.Les grandeurs magnétiques... 16

I.1.2.Les matériaux diamagnétiques... 17

I.1.3.Les matériaux paramagnétiques... 17

I.1.4.Les matériaux ferromagnétiques ... 17

I.1.5. Configuration en domaines magnétiques ... 18

I.1.6. Mécanismes d’aimantation d’un matériau ferromagnétique ... 19

I.1.7. Vers le cycle d’hystérésis... 21

I.1.8.Classification des matériaux ferromagnétiques ... 22

I.1.9.Les pertes fer... 23

I.1.10.Le fer pur et ses alliages... 24

I.2.Modèles de loi de comportement non linéaires déterministes ... 25

I.2.1.Modèles de type analytique ... 25

I.2.2.Modèles anhystérétiques de type phénoménologique ... 27

I.3.Modèles déterministes des pertes ... 28

I.3.1.Modèle général des pertes... 28

I.3.2.Méthode d’identification des paramètres ... 30

I.3.2.1. Méthode d’identification connaissant la conductivité σ... 30

I.3.2.2. Méthode d’identification par optimisation ... 32

I.3.2.3. Remarques... 33

I.4.Modèles de type hystérétique... 34

I.4.1.Modèle scalaire de Jiles et Atherton ... 34

I.4.2.Modèle de Preisach ... 36

I.5.Influence des procédés de fabrication sur les propriétés magnétiques des matériaux ... 37

I.5.1. Les techniques de découpage des tôles ... 38

I.5.2. Le recuit ... 40

I.5.3. Empilement-enroulement et processus d’assemblage... 42

I.5.4. Synthèse ... 44

CONCLUSION DU CHAPITRE 1 ... 45

Chapitre II – Mise en évidence de la variabilité des propriétés magnétiques ... 46

INTRODUCTION... 46

II.1. Les variables aléatoires ... 47

II.1.1. Généralités et définition... 47

II.1.2. Fonction de répartition et densité de probabilité... 47

II.1.3.Caractéristiques d’une variable aléatoire... 49

II.1.3.1.Caractéristiques de tendance centrale ... 49

a.Les quantiles ... 49

b.Espérance mathématique d’une variable aléatoire... 49

II.1.3.2.Caractéristiques de dispersion... 50

II.1.3.3. Caractéristiques de forme ... 51

II.2.Test statistique de comparaison de populations... 51

II.3.3.1.Analyse de la répétabilité et de la reproductibilité des mesures... 56

II.3.3.2.Analyse de l’influence du bobinage manuel des échantillons... 59

II.3.3.3.Analyse de l’influence de l’intervalle de tolérances sur les mesures ... 62

a. Analyse sur un échantillon - prise en compte des tolérances géométriques ... 62

b. Analyse sur plusieurs échantillons – prise en compte des dimensions réelles... 64

b.1.Dispositif de mesure de coordonnées tridimensionnelles ... 64

b.2.Analyse de l’influence des dimensions réelles de la culasse sur les mesures- simulation par éléments finis ... 65

II.3.3.4. Conclusion ... 69

II.4.Analyse expérimentale des échantillons de stators empilés SE... 70

II.4.1.Variabilité en fixant Hmax... 70

II.4.2.Variabilité de la loi de comportement inverse H(B) ... 71

II.4.2.1.Incertitudes introduites par inversion de la loi de comportement ... 71

II.4.2.2.Variabilité de la loi de comportement et des pertes ... 75

II.4.3.Conclusions ... 75

II.5.Mesures expérimentales sur groupe de stators slinky SS ... 76

II.5.1.Analyse préliminaire ... 76

II.5.2.Variabilité en fixant Hmax... 78

II.5.3.Variabilité en fixant Bmax... 79

II.5.4.Conclusions ... 80

II.6.Analyse des écarts de performances magnétiques entre les deux groupes d’échantillons ... 81

II.6.1.Analyse des performances moyennes ... 81

II.6.2.Séparation des pertes des deux groupes d’échantillons ... 83

a. Démarche et approche utilisée... 83

b. Composantes moyennes des pertes des deux groupes d’échantillons ... 84

c. Variabilité des composantes des pertes du groupe SS ... 86

II.6.3.Conclusion... 86

CONCLUSION DU CHAPITRE 2... 87

Chapitre 3: Modélisation stochastique de la dispersion des propriétés magnétiques... 88

INTRODUCTION... 88

III-1-APPROCHE DE MODELISATION STOCHASTIQUE - REVUE DE LA LITTERATURE... 89

III.1.1.Choix de modèle déterministe ... 90

III.1.1.1. Coefficient de précision R²... 91

III.1.1.2.Méthode de Validation Croisée déterministe (MVCD)... 92

III.1.2.Modélisation probabiliste des paramètres ... 93

III.1.2.1. Corrélation et mesure de dépendance d’un couple de variables aléatoires... 94

III.1.2.2. Notions de vecteur aléatoire ... 95

III.1.3.Propagation des incertitudes... 96

III.1.3.1. Simulation de variables aléatoires dépendantes - état de l’art ... 98

a.Loi normale multidimensionnelle ... 98

b.Les copules ... 98

c. Méthodes basées sur des techniques de transformation et d’optimisation... 99

d. Méthode de Iman et Conover ... 100

d.1. Justification de l’utilisation du coefficient de corrélation des rangs ... 100

d.2.Algorithme de la méthode de Iman et Conover ... 102

III.1.4.Validation du modèle probabiliste ... 103

III.2.MODELISATION STOCHASTIQUE DE LA LOI DE COMPORTEMENT... 104

III.2.1. Choix d’un modèle déterministe... 105

III.2.2. Modélisation probabiliste de la variabilité des paramètres... 108

III.2.3. Propagation des incertitudes et validation du modèle ... 111

III.2.4.Méthode de Validation Croisée stochastique (MVCS) sur les trajectoires expérimentales ... 114

III.2.5. Loi de comportement inverse H(B)-simulation stochastique ... 117

III.2.5.1. Approche déterministe ... 117

III.2.5.2. Simulation de la dispersion de la loi de comportement inverse H(B) des échantillons SS118 III.3.MODELISATION STOCHASTIQUE DES PERTES... 121

III.3.1. Modélisation probabiliste des paramètres des pertes ... 121

III.3.2. Méthode d’Iman et Conover sur les pertes-Analyses préliminaires... 123

III.3.3. Simulation de la variabilité des pertes-validation du modèle ... 124 III.3.4. Méthode de validation croisée stochastique (MVCS) sur les modèles probabilistes des pertes

III.4.MODELISATION STOCHASTIQUE DE L’HYSTERESIS MAGNETIQUE EN REGIME STATIQUE... 129

III.4.1. Approches d’identification des paramètres-revue de la littérature... 129

III.4.2. Choix d’un modèle déterministe de l’hystérésis magnétique ... 131

III.4.3.Modélisation probabiliste des paramètres du modèle de l’hystérésis magnétique ... 133

III.4.4. Méthode de Iman et Conover hystérésis magnétique-Analyses préliminaires ... 136

III.4.5.Simulation de la variabilité des points caractéristiques-validation du modèle ... 137

III.4.6.Validation croisée sur le modèle probabiliste... 140

III.6.COMPARAISON DES DIFFERENTS MODELES... 142

CONCLUSION DU CHAPITRE 3... 143

Conclusion générale ... 144

Références bibliographiques... 147

ANNEXEA... 156

A.1.Tendances centrales et de dispersion ... 156

A.2.Test de comparaison des moyennes ou ANOVA à un facteur ... 156

ANNEXEB... 159

B.1. Modélisation stochastique d’une variable aléatoire... 159

B.1.1.Formulation du problème ... 159

B.1.1.1. Méthode du maximum d’entropie... 159

B.1.1.2. Modélisation statistique en présence d’observations ... 160

a- Méthodes paramétriques... 161

a-1- Méthode des moments... 161

a-2- La méthode du maximum de vraisemblance ... 162

b- Méthodes non paramétriques... 163

B.2.Tests d’ajustement ou d’adéquation à une loi donnée... 166

B.3.Test non paramétrique de comparaison de lois de distribution ... 167

Liste des figures

Figure 1.1.Matériau à l’état désaimanté comportant 4 domaines magnétiques ...19

Figure 1.2.Transition entre deux domaines à 180° ...19

Figure 1.3.Courbe d’aimantation d’une substance ferromagnétique ...20

Figure 1.4.Courbe de première aimantation et cycle d’hystérésis [7]...22

Figure 1.5.Les grandes classes de matériaux magnétiques industriels [1]...22

Figure 1.6.Gonflement du cycle d’hystérésis en fonction de la fréquence (f3>f2>f1) ...24

Figure 1.7.Commutateur magnétique (a) et plan de Preisach (b) [6]...36

Figure 1.8.Etat magnétique dans le triangle de Preisach [6]...37

Figure 1.9.Procédés de fabrication d’un circuit magnétique par laminage des tôles [7]...39

Figure 1.10.Approche expérimentale par variation de la longueur de découpe...39

Figure 1.11.Poinçonnage de la tôle en une seule pièce (b) Poinçonnage des tôles par segmentation...42

Figure 1.12.Stator "Slinky"...43

Figure 2.1.Fonction De Répartition (FDR) d’une variable aléatoire continue...48

Figure 2.2.Densité de probabilité d’une variable aléatoire continue...48

Figure 2.3.Dimensions nominales du stator...53

Figure 2.4.Echantillons de stators bobinés manuellement ...54

Figure 2.5.Forme d’onde du banc expérimental à 1.5 [T] et à f=50 Hz, et signal sinusoïdal de référence ...55

Figure 2.6.Formes d’onde du banc expérimental à 1.5 [T] et à f=50 Hz pour plusieurs échantillons ...56

Figure 2.7.Cycles d’hystérésis de 30 mesures répétitives à 2000 [A/m] ...57

Figure 2.8.Diagrammes à boites des Bmax des campagnes de mesure C1 et C2 et les p-values du test ...58

Figure 2.9.Diagrammes à boites des Ptot des campagnes de mesure C1 et C2 et les p-values du test ...59

Figure 2.10.Cycles d’hystérésis à 500 [A/m] et 2500 [A/m] pour les campagnes de mesures C1 et C2...59

Figure 2.11.Cycles d’hystérésis des 5 bobinages manuels à 2500 [A/m] ...60

Figure 2.12.Diagrammes à boite et p-values des Bmax des 5 bobinages...61

Figure 2.13.Diagrammes à boite et p-values des pertes des 5 bobinages ...62

Figure 2.14.Dimensions nominales et tolérances géométriques des stators...63

Figure 2.15.Dispositif de mesure tridimensionnelle (a), échantillon de stator (b) et sonde de mesure (c) ...64

Figure 2.16.Données relatives aux erreurs portées par la culasse (profil interne et externe)...65

Figure 2.17.Système modélisé sous FEMM 2D (rayons du fond d’encoche variables) ...66

Figure 2.18.Approche de prise en compte des dimensions réelles pour un échantillon de stator ...67

Figure 2.19.Carte des champs simulation avec FEMM 2D ...67

Figure 2.20.Lois de comportement moyennes mesurées (dimensions nominales) et simulées (dimensions réelles) des 9 échantillons de stator ...68

Figure 2.21.Ecart-type des lois de comportement mesurées (dimensions nominales) et simulées (dimensions réelles) des 9 échantillons de stator ...68

Figure 2.22.Cv de la loi de comportement moyenne mesurée et simulée (dimensions réelles) des 9 échantillons de stator...69

Figure 2.23.Lois de comportement Bmax(Hmax) des 5 échantillons de stator SE ...70

Figure 2.24.Evolution Ptot(Hmax) des 5 échantillons de stator SE ...71

Figure 2.25.Coefficients de variation de Bmax et des pertes Ptot en fonction de Hmax des 5 échantillons de stator SE ...71

Figure 2.27. Identification de la variabilité de Hmax sur plusieurs courbes B(H) par interpolation

spline ...73

Figure 2.28.Coefficients de variation de Hmax et des pertes Ptot en fonction de Bmax des 5 échantillons de stator SE ...75

Figure 2.29.Diagrammes à boites des Bmax des deux lots de stator...77

Figure 2.30.Diagrammes à boites des pertes des deux lots de stator ...77

Figure 2.31.Caractéristiques Bmax(Hmax) des 28 échantillons de stator SS...78

Figure 2.32.Caractéristiques Ptot(Hmax) des 28 échantillons de stator SS...79

Figure 2.33.Coefficients de variations de Ptot et de Bmax en fonction du champ Hmax des 28 échantillons de stator SS...79

Figure 2.34.Coefficients de variation de Ptot et de Hmax en fonction du champ Bmax des 28 échantillons de stator SS ...80

Figure 2.35.Courbes Bmax(Hmax) moyennes des deux groupes de stators...81

Figure 2.36.Courbes Ptot(Hmax) moyennes des deux groupes de stators...82

Figure 2.37.Ecarts des courbes Ptot(Hmax) et Bmax(Hmax) moyennes des deux groupes de stators ...82

Figure 2.38.Pertes moyennes par hystérésis des deux groupes de stators...85

Figure 2.39.Pertes dynamiques moyennes à 50Hz des deux groupes SE et SS de stators...85

Figure 2.40.Cv pertes par hystérésis et pertes dynamiques groupe SS ...86

Figure 3.1.Démarches générales de modélisation stochastique de phénomène aléatoire ...90

Figure 3.2.Nuages de points formés par un couple de variables aléatoires (X,Y) et équations linéaires associées ...101

Figure 3.3.FDR des variables estimées par une droite de régression et FDR de référence...102

Figure 3.4.Prédiction des données expérimentales par le modèle transcendantal (MTrans) ...106

Figure 3.5.Prédiction des données expérimentales par le modèle de Langevin (MLan) ...106

Figure 3.6.Prédiction des données expérimentales par le modèle de Froelich (MFr) ...106

Figure 3.7.Prédiction des données expérimentales par le modèle de type Brillouin modifié (MTBM) ...107

Figure 3.8.Densité de probabilité et histogrammes des paramètres (Ma, Mb, a, b) de la loi de comportement. ...109

Figure 3.9.Nuages de points formés par les paramètres...111

Figure 3.10.Fonctions de répartitions expérimentales et simulées de la loi de comportement ...112

Figure 3.11.p-value du test de KS en fonction de Hmax du modèle probabiliste de la loi de comportement B(H) ...113

Figure 3.12.IC à 95% de la loi de comportement B(H) et trajectoires expérimentales...113

Figure 3.13.Médiane expérimentale et simulée de la loi de comportement B(H)...114

Figure 3.14.p-values du test de KS en fonction de Hmax pour le SGM de la loi de comportement...115

Figure 3.15.IC à 95% et trajectoires expérimentales SGM de la loi de comportement ...115

Figure 3.16.Médiane expérimentale et médiane simulée du modèle probabiliste de la loi de comportement sur SGM ...116

Figure 3.17.IC à 95%, trajectoires expérimentales SGT de la loi de comportement ...116

Figure 3.18.Fonction de répartition expérimentale FDR simulée pour le modèle inverse H(B) ...119

Figure 3.19.p-values du test de KS à un risque de 5% de la loi de comportement inverse H(B) ...119

Figure 3.20. IC à 95% et toutes les trajectoires expérimentales de la loi de comportement inverse H(B) ...120

Figure 3.21.Médiane expérimentale et médiane simulée de la loi de comportement inverse H(B)...120

Figure 3.22.Histogrammes des paramètres du modèle de pertes ...122

Figure 3.23.Fonction de répartition expérimentale et FDR simulée par le modèle stochastique des pertes...125

Figure 3.25.Médiane expérimentale et simulée à 50Hz ...126

Figure 3.26.IC à 95% et échantillons SGM ...128

Figure 3.27.Médiane des SGM et médiane simulée par le modèle à 50Hz ...128

Figure 3.28.IC à 95% identifié par le modèle probabiliste et échantillons SGT...129

Figure 3.29.Identification des paramètres du modèle M0 de J-A...131

Figure 3.30.Identification des paramètres du modèle M1 de J-A ...132

Figure 3.31.Identification des paramètres du modèle M2 de JA ...133

Figure 3.32.Histogrammes et densités de probabilité des paramètres (Ms,k0,c,a,α,σ) du modèle M1...135

Figure 3.33.Identification des points caractéristiques pour quelques cycles simulés ...138

Figure 3.34.Fonction de répartition expérimentale et simulée pour les 4 points caractéristiques du cycle d’hystérésis ...139

Figure 3.35.IC à 95% et données expérimentales des points caractéristiques du cycle d’hystérésis ...140

Figure 3.36.IC à 95% et les données expérimentales SGT des 4 points caractéristiques du cycle d’hystérésis ...141

Liste des tableaux

Tableau 1.1.Classification des matériaux magnétiques... 17

Tableau 1.2.Tôles à grains non orientés et teneur en Silicium [5]... 25

Tableau 2.1.Erreurs et risques associés à un test... 52

Tableau 2.2.Ecart des points caractéristiques des cycles d’hystérésis mesurés avec le banc expérimental utilisé (BE) et le banc expérimental de référence (BER)... 56

Tableau 2.3.Coefficients de variations Cv des Hmax identifiés directement par le modèle... 74

Tableau 2.4.Coefficients de variations Cv des Hmax identifiés par interpolation spline... 74

Tableau 2.5.Pertes totales mesurées à 5Hz et 10Hz pour 10 échantillons de SS... 83

Tableau 2.6.Variabilité empirique des paramètres des pertes échantillon SE... 84

Tableau 2.7.Variabilité empirique des paramètres des pertes échantillon SS... 84

Tableau 2.8.Matrice de corrélation linéaire des paramètres des pertes échantillon SS... 84

Tableau 3.1.Coefficients de précision ajustés R²a identifiés sur les 4 modèles... 106

Tableau 3.2.Erreur globale de validation croisée EG des 4 modèles de loi de comportement... 107

Tableau 3.3.Variabilité empirique des paramètres (Ma,Mb,a,b) de la loi comportement ... 108

Tableau 3.4.p-value des tests de KS et de CVM sur les 4 paramètres de la loi de comportement... 108

Tableau 3.5.Matrice de corrélation linéaire de (Ma, Mb, a, b)... 110

Tableau 3.6.Écarts entre les Hmax simulés et expérimentaux... 117

Tableau 3.7.p-values tests d’adéquation de KS à un risque de 5% sur les paramètres (kh,α,ke,kexc)... 121

Tableau 3.8.Matrice de corrélation des rangs des paramètres (kh,α,ke,kexc) des pertes... 122

Tableau 3.9.Lois de distribution marginale de référence des paramètres (kh,α,ke,kexc) des pertes, et celles obtenues par la méthode de Iman et Conover... 123

Tableau 3.10.Matrice de corrélation des rangs des paramètres des pertes... 124

Tableau 3.11.Ecarts entre les matrices de corrélation des rangs... 124

Tableau 3.12.p-values du test de KS des pertes à 50Hz pour tous les niveaux de Bmax... 125

Tableau 3.13.p-values du test de KS des pertes pour tous les niveaux de Bmax...127

Tableau 3.15.p-value des tests de KS des paramètres du cycle d’hystérésis... 134

Tableau 3.16.Matrice de corrélation des rangs des paramètres (Ms,k0,c,a,α,σ) du cycle d’hystérésis.... 135

Tableau 3.17.Lois de distribution marginale de référence des paramètres (Ms, k0,k1, σ,c,a,α), et celles obtenues par la méthode de Iman et Conover... 136

Tableau 3.18.Matrice de corrélation des rangs des paramètres du modèle hystérétique... 136

Tableau 3.19.Ecart des matrices de corrélations des rangs des paramètres du modèle hystérétique... 137

Tableau 3.20.Variabilité empirique des points caractéristiques expérimentaux des cycles d’hystérésis à 5Hz et 1.5T... 137

Tableau 3.21.Médianes expérimentales simulées des 4 points caractéristiques du cycle d’hystérésis ...138

Tableau 3.22.p-value test de KS sur SGM des 4 points caractéristiques du cycle d’hystérésis... 140

Tableau 3.23.Ecarts des médianes des échantillons SGM et des médianes simulées des 4 points caractéristiques du cycle d’hystérésis... 141

Tableau 3.24.Ecarts des médianes et des quantiles obtenus par le modèle anhystérétique H(B) et le modèle hystérétique pour Bmax=1.5T... 142

Tableau 3.25. Ecarts des médianes et des quantiles obtenus par le modèle analytique des pertes et le modèle hystérétique à 5Hz et pour Bmax=1.5T... 142

Abréviations et Notations

: Perméabilité magnétique du vide : Susceptibilité magnétique : Champ magnétique : Induction magnétique : Perméabilité relative : Aimantation à saturation : Champ coercitif : Aimantation rémanente : Fréquence : Masse volumique : Constante de Boltzman

: Paramètre du champ moléculaire : Champ effectif

: Aimantation anhystérétique

: Paramètre lié à la pente de l’aimantation : Pertes totales

: Pertes par hystérésis : Pertes dynamiques : Pertes classiques : Pertes excédentaires

: Paramètre lié aux pertes par hystérésis : Induction maximale

: Champ d’excitation maximal : Diamètre

: Longueur moyenne : Conductivité

: Paramètres du modèle de Froelich : Section

: Méthode de Validation Croisée

: Erreur de Prédiction d’une validation croisée : Erreur Globale d’une validation croisée

: Méthode de Validation Croisée dans un cadre stochastique : Loi Normale Multivariée

: Intervalle de Confiance : Fonction de Répartition : statistique d’un test statistique : seuil critique d’un test statistique : coefficient de corrélation de Pearson : rang des xi

: coefficient de Spearman (coefficient de corrélation des rangs) : variable aléatoire

: couple de variables aléatoires : Fonction de répartition

: Fonction de répartition inverse : Densité de probabilité

µX σX H0 H1 V(X) E(.) Cv Σ Cov(X) Φ-1 N Ψ Γ : moyenne : Ecart-type

: Hypothèse nulle test statistique : Hypothèse alternative test statistique : Variance

: Espérance mathématique : Coefficient de variation

: Matrice de variance-covariance : Covariance

: Fonction de répartition inverse d’une loi normale centrée réduite : Nombre de réalisations

: Matrice de corrélation des rangs désirée méthode de Iman et Conover : Matrice formée par les distributions marginales

Introduction générale

Les progrès réalisés dans le domaine du génie électrique permettent aujourd’hui d’étudier le comportement électromagnétique global d’un système avant même sa fabrication. Toutefois, les modèles et méthodologies utilisés s’inscrivent, dans la majorité des cas, dans le cadre d’une bonne connaissance des paramètres physiques, matériaux et géométrie, du dispositif étudié. Dans le cadre d’une méconnaissance des paramètres du problème considéré, il est alors nécessaire d’adapter les outils classiques ou d’avoir recours à des modèles et méthodologies différentes. On peut citer trois types d’incertitudes sur les paramètres d’entrée d’un problème: les incertitudes sur la géométrie (entrefer d’une machine électrique, largeurs des dents d’un stator…), les incertitudes sur la loi de comportement (perméabilité et conductivité d’un matériau ferromagnétique…) ou sur les termes sources (courant, tension …). Ces incertitudes peuvent avoir pour origine les imperfections des procédés de fabrication ou l’impact de l’environnement extérieur sur le vieillissement (les contraintes mécaniques, l’humidité, la température…). La prise en compte de ces incertitudes, et notamment l’analyse de leur impact sur la grandeur de sortie, se décompose en trois étapes :

La modélisation des incertitudes portées par les paramètres d’entrée

La propagation des incertitudes vers les grandeurs de sortie

L’exploitation des résultats

Dans le cadre des travaux sur les éléments finis stochastiques au sein du Laboratoire d’Electrotechnique et d’Electronique de Puissance (L2EP) de Lille, plusieurs travaux de thèse ont porté sur cette thématique : la thèse de Mac Duy Hung [122] qui concerne la prise en compte des incertitudes portées par la géométrie, la thèse de Karim Beddek [123] qui se focalise sur la propagation des incertitudes portées par les lois de comportement et les présents travaux qui s’intéressent à la prise en compte des incertitudes relatives aux propriétés magnétiques des matériaux.

L’importance des matériaux magnétiques réside dans le fait qu’ils sont utilisés pour la fabrication des noyaux magnétiques des machines électriques et sont le vecteur de la conversion de l’énergie électromagnétique. Ainsi, et pour une conception optimale du système, la connaissance de leurs propriétés magnétiques, telles que la loi de comportement et les pertes, est essentielle. De par leurs propriétés, les matériaux de type ferromagnétiques, présentant une aimantation élevée à faible champ d’excitation magnétique sont les plus utilisés, et sont omniprésents dans les applications industrielles. Ces matériaux sont caractérisés par une loi de comportement fortement non linéaire, et de type hystérétique.

La mise en place de modèles prenant en compte l’incertitude sur les propriétés des matériaux magnétiques nécessite une base de connaissance dans le cadre déterministe [121]. Ainsi, le développement de modèles pour prendre en compte la non-linéarité de la

loi de comportement a fait l’objet de plusieurs travaux. On peut distinguer les modèles de type anhystérétiques, tel que les modèles analytiques [19] ou les modèles de type phénoménologiques [20],[21] issus de considérations physiques. Bien que ces modèles permettent d’obtenir des résultats réalistes du comportement global du système, ils ne permettent pas de prendre en compte les pertes d’origine ferromagnétique. Ainsi, une première approximation consiste à utiliser des expressions empiriques, basées sur la théorie de Bertotti [8] permettant d'évaluer les pertes a posteriori, c'est à dire en connaissant la répartition de l'induction magnétique dans le matériau [9]-[17]. Toutefois, ces expressions doivent souvent être adaptées selon le système étudié et peuvent être très approximatives.

Plusieurs travaux traitent aujourd’hui des problèmes liés à la modélisation du phénomène d’hystérésis magnétique [4],[40]. On peut alors distinguer les modèles d’hystérésis basés sur des considérations physiques [20], ou les modèles mathématiques [127]. D’une manière générale, ces modèles font intervenir plusieurs paramètres devant être identifiés à partir de protocoles expérimentaux plus ou moins complexes. L’intégration de ces modèles dans un code de calcul par éléments fins est par ailleurs présentée dans [6].

On peut alors statuer sur le fait que l’évolution constante des études relatives à l’amélioration des performances de ces matériaux, permet aujourd’hui d’envisager des systèmes de plus en plus efficaces énergétiquement. Cependant, bien que l’élaboration et la modélisation des matériaux ferromagnétiques soient parfaitement maîtrisées, des incertitudes d’origines diverses peuvent exister. Parmi celles-ci, on peut citer:

Les incertitudes liées à leur caractérisation : celles-ci peuvent être dues aux erreurs systématiques comme un problème d’étalonnage ou de calibration des appareils de mesures.

Les incertitudes liées à la modélisation. Un modèle est une représentation simpliste de la réalité au prix d’un certain nombre de simplifications.

Les incertitudes introduits par les différents procédés de fabrication (découpage, assemblage,…) et qui modifient notablement les propriétés magnétiques des matériaux (loi de comportement, pertes).

L’impact de ces incertitudes sur les grandeurs globales d’intérêt peut induire des conclusions le plus souvent erronées qui sous/sur estiment les performances du système. Parmi les travaux portant sur la problématique liée à l’impact du procédé de fabrication, on peut trouver ceux portant sur la méthode de découpage des tôles [23],[26],[27],[31],[42] et la méthode d’assemblage [33],[35]. D’une manière générale, et en ce qui concerne le procédé de découpage, cette influence serait notamment liée à la qualité du procédé mise en œuvre (poinçonnage, laser,…) et du type de matériau considéré [42],[43]. Il faut noter toutefois que la plupart de ces travaux sont basés sur des aspects purement quantitatifs, et ceux ayant trait à l’aspect modélisation de cette influence sont assez rares. A ceci peut s’ajouter la non-répétabilité de cette modification, d’un échantillon à l’autre, liée notamment au vieillissement ou à l’usure de l’outil mis en œuvre sur une chaîne de

incertitudes et à la quantification de leur impact sur les grandeurs globales du système étudié. Une solution cconsiste à quantifier cette influence à partir d’observations sur plusieurs échantillons issus de la chaîne de fabrication, puis d’intégrer l’incertitude dans les modèles de loi de comportement du matériau. Cette approche fait alors intervenir les notions de probabilité et de statistique, et consiste à modéliser les incertitudes portées par les paramètres d’entrée du modèle par des variables aléatoires. Ce travail de thèse aborde cette problématique en particulier, et les objectifs se résument en quatre points :

• Etude de l’influence du procédé de fabrication, pris dans son ensemble (découpage, assemblage, …) sur les propriétés magnétiques (loi de comportement, pertes). Pour ce faire, deux groupes d’échantillons de stator de machine électrique sont considérés. Les deux groupes sont fabriqués à partir de tôles de même grade (M800-50A), avec les mêmes dimensions, et sont issus de deux fournisseurs différents. Ils diffèrent également par leur procédé de fabrication : empilement (SE) et enroulement de tôles (SS). Une approche de type probabiliste est alors mise en œuvre, et les variabilités intra et inter-groupes sont considéréres pour l’analyse.

• Mise en évidence de la non-répétabilité de l’influence des procédés de fabrication sur les propriétés magnétiques du lot de stators SS. En d’autres termes, l’usure de l’outil peut notamment engendrer ce phénomène.

• Développement d’un modèle stochastique prenant en compte cette non-répétabilité. Dans ce cas, un modèle stochastique de la loi de comportement, des pertes et de l’hystérésis magnétique est développé. La méthodologie utilisée est issue d’une synthèse bibliographique des travaux réalisés dans les autres domaines de la physique.

Ces travaux sont synthétisés dans ce mémoire en trois chapitres.

Le premier chapitre se focalise sur les matériaux ferromagnétiques, où sont introduites les relations et les différentes grandeurs mises en jeu dans la suite du mémoire. Les phénomènes physiques régissant l’aimantation du matériau sont aussi présentés. Ensuite, les principaux modèles de type anhystérétiques pour prendre en compte le comportement non-linéaire de ces matériaux sont présentés, de même que les modèles analytiques pour la modélisation des pertes. Les principaux modèles utilisés pour la modélisation de l’hystérésis magnétique sont également présentés. Une étude bibliographique sur l’influence des procédés de fabrication sur les propriétés magnétiques (loi de comportement, pertes) est ensuite abordée, permettant entre autre de définir l’intérêt de l’approche développée dans le cadre de ces travaux.

Le deuxième chapitre de ce mémoire porte sur la mise en évidence de la variabilité des propriétés magnétiques à partir d’observations sur deux groupes d’échantillons de stators de machines électriques, fabriqués à partir de tôles de même grade et de même dimensions. Les notions sur les variables aléatoires et les différentes propriétés associées sont dans un premier temps rappelées, notamment les différents outils qui sont exploités dans le cadre de ce mémoire. Ensuite, la variabilité des propriétés magnétique des deux groupes

d’échantillons est ensuite présentée, et notamment les différentes analyses portant sur l’influence des procédés de fabrication sur les propriétés magnétiques des échantillons, et la non-répétabilité de cette modification d’un échantillon à l’autre.

Finalement, le troisième chapitre de ce mémoire est consacré à la modélisation stochastique de la variabilité de la loi de comportement, des pertes et de l’hystérésis magnétique des échantillons. Une étude bibliographique des travaux réalisés dans divers domaines, pour la modélisation stochastique de phénomènes soumis à l’incertain est en premier lieu présentée. Ces travaux permettent entre autre de définir la démarche générale adoptée dans le cadre de ce mémoire. Enfin, la modélisation stochastique de la loi de comportement, des pertes et de l’hystérésis magnétique est présentée.

Chapitre I : Les matériaux

magnétiques

Introduction

L’intérêt pour l’étude du magnétisme et des matériaux magnétiques est allé croissant pour leurs applications dans le domaine du génie électrique. En effet, on les rencontre dans de nombreuses applications allant de l’industrie lourde aux technologies du quotidien. La recherche d’efficacité énergétique dans ces dispositifs requiert l’utilisation de matériaux de plus en plus performants pouvant être décrits à l’aide de modèles alliant précision, rapidité et facilité de mise en œuvre. De nombreux travaux ont porté sur la représentation déterministe de la loi de comportement magnétique, mais très peu se sont intéressés aux sources d’incertitudes sur les caractéristiques physiques de ces matériaux et à leur impact sur les dispositifs les intégrant.

L’objectif de ce chapitre est d’introduire et d’apporter différentes notions et définitions liées aux propriétés magnétiques des matériaux. La première section de ce chapitre est principalement consacrée à la physique des matériaux magnétiques, notamment la définition des différentes grandeurs et notions nécessaires pour la suite du mémoire. La seconde section porte sur les modèles déterministes des pertes et de lois de comportement (anhystérétique et hystérétique) associées à ces matériaux. Les méthodes d’identification des paramètres des pertes issues de la bibliographie y sont ensuite présentées. Finalement, la dernière section de ce chapitre va porter sur une revue de la littérature des travaux existants sur l’influence de différents procédés de fabrication (découpage, assemblage,…) sur les propriétés magnétiques. Cette section nous permettra entre autre de situer l’intérêt pour le développement de modèles stochastiques de la loi de comportement et des pertes, qui fait l’objet de ce travail de thèse.

I.1.Physique des matériaux magnétiques

Cette section vise à présenter les bases nécessaires pour la compréhension des mécanismes physiques d’aimantation des matériaux magnétiques, et notamment l’origine du phénomène d’hystérésis magnétique. La littérature traitant de la physique des matériaux magnétiques est très vaste et peut être consultée dans [1],[7]. Cette section reprend principalement les définitions et notions des travaux dans [6].

I.1.1.Les grandeurs magnétiques

A l’échelle microscopique, un matériau est constitué d’un ensemble d’atomes auxquels sont associés des moments magnétiques issus du mouvement des électrons autour de l’atome. Chaque atome possède alors un moment magnétique qui est la contribution d’un moment magnétique orbital et d’un moment magnétique de spin. Le moment magnétique orbital d’un atome résulte de la rotation de ses électrons autour du noyau et le moment magnétique de spin de la rotation de ses électrons sur eux-mêmes. On définit ainsi le moment magnétique d’un atome comme la somme vectorielle de ces deux moments. A l’échelle macroscopique, l’aimantation M [A/m] d’un matériau est donné par :

v

∂ ∂

= m

M (1-1)

m est la somme vectorielle des moments magnétiques atomiques et ∂vl’élément de

volume considéré.

L’aimantation est spécifique à tout matériau et traduit la réaction de celui-ci au champ magnétique. D’une manière générale, l’aimantation est induite dans les matériaux lorsqu’il est soumis à un champ magnétique, et elle disparaît après retrait de celui-ci. On note toutefois la présence d’une aimantation spontanée dans certains types de matériaux, même en l’absence d’un champ d’excitation magnétique. C’est le cas notamment des matériaux ferromagnétiques, auxquels nous nous intéresserons plus loin. La connaissance de l’aimantation en tout point permet de définir l’état magnétique du matériau à l’échelle macroscopique.

La grandeur polarisation magnétique J [T] est souvent utilisée par les fabricants de matériaux à la place de l’aimantation. Elle est définie par la relation :

J=µ0×M (1-2) Où 7 0 4 10 − × =

π

µ

La susceptibilité magnétique d’un matériau est définie par le rapport entre

l’aimantation du matériau et un champ magnétique H [A/m] qui lui est appliqué, et son expression est donnée par :

H M =

χ (1-3)

χ dépend alors de H. Lorsqu’un matériau magnétique est plongé dans un champ

magnétique extérieur H. L’induction magnétique B [T] s’écrit:

B= µ0(H+M) (1-4)

A partir des relations (1-3) et (1-4), l’expression de l’induction magnétique en fonction de la susceptibilité magnétique s’écrit:

En première approximation, on peut supposer χ constant, ce qui n’est pas vrai en pratique comme cela sera présenté plus loin dans le mémoire. On définit la perméabilité relative telle que :

µr=1+χ (1-6)

Selon la valeur de leur susceptibilité magnétique χ et de leur structure atomique, on retrouve trois grandes classes de matériaux magnétiques (tableau 1.1).

Types de matériau Susceptibilité magnétique Exemples Diamagnétique Approximativement -1x10-6 Cu, Au, Si

Ferromagnétiques 50 à 10000 Fe, Ni, Co

Paramagnétiques 10-6 à 10-3 Al, Pt

Tableau 1.1.Classification des matériaux magnétiques

I.1.2.Les matériaux diamagnétiques

Le comportement de ce type de matériau à l’échelle atomique équivaut à des électrons en mouvement autour du noyau, se comportant comme des spires de courant, et qui, plongées dans un champ magnétique, vont sous l’action de la loi de Lenz générer un flux opposé à la variation de flux occasionné par l’application du champ H. Ces matériaux ont alors une susceptibilité magnétique négative, indépendante de la température, de l’ordre de 10-5. Dans le domaine d’application de la conversion d’énergie, ces matériaux peuvent être considérés en général comme des matériaux ne présentant pas de réaction lorsqu’ils sont soumis à un champ magnétique. Dans le domaine du génie électrique, la loi de comportement d’un tel matériau est linéaire et peut être assimilée à celle du vide.

I.1.3.Les matériaux paramagnétiques

Au niveau microscopique, les atomes de ce type de matériau possèdent un moment magnétique permanent M qui, placé dans un champ magnétique H, tend à s’aligner dans la direction du champ appliqué. Toutefois, l’agitation thermique vient perturber cet alignement et ce d’autant plus que les atomes se comportent en membres isolés. Ces matériaux magnétiques présentent une susceptibilité magnétique faible mais positive, de l’ordre de 10-3 à 10-5. Dans le domaine d’application de la conversion d’énergie, la loi de comportement de ces matériaux est linéaire et peut être assimilée à celle du vide. De ce fait, son utilisation offre peu de possibilités d’applications pratiques en génie électrique.

I.1.4.Les matériaux ferromagnétiques

Les matériaux de type ferromagnétiques (Fe, Ni, Co) présentent des distances inter-atomiques suffisamment petites pour que ceux-ci interagissent. Ainsi, ils présentent, à

l’échelle microscopique, une aimantation même en l’absence de champ magnétique extérieur, aimantation qualifiée alors de spontanée. Celle-ci est due au fait que les moments atomiques ont tendance à s’aligner spontanément et parallèlement les uns aux autres, donnant une structuration ordonnée que l’on peut comparer à la mise en ordre géométrique caractéristique de l’état solide (cet alignement peut être considéré comme la conséquence de forces de rappel entre les moments magnétiques exerçant une interaction mutuelle). L’énergie associée à ce phénomène est l’énergie d’échange. Cet alignement peut être perturbé par l’augmentation de la température qui conduit à la destruction progressive de cet ordre directionnel. L’aimantation spontanée disparaît alors totalement à la température de Curie Tc. Ainsi, au-delà de Tc, on observe un comportement de type

paramagnétique, appelé paramagnétisme de Curie-Weiss (Tc est spécifique à chaque

matériau). La susceptibilité magnétique de ce type de matériau est fonction du champ magnétique extérieur appliqué, et la loi de comportement associée présente une forte non-linéarité. L’induction magnétique équivalente à la relation (1-7), pour un matériau linéaire, homogène et isotrope est donnée par:

H

B=

µ

µ

Pour les matériaux ferromagnétiques, on voit que µr>>1, ce qui permet d’amplifier la

valeur de l’induction B pour une valeur H donnée. Cette propriété est très utile dans les dispositifs de conversion électromagnétique de l’énergie. Dans la suite, on se focalisera principalement sur ce type de matériau.

I.1.5. Configuration en domaines magnétiques

Dès 1906, la théorie de Pierre Weiss stipule qu’un matériau ferromagnétique est subdivisé en plusieurs domaines appelés domaine de Weiss à l’intérieur desquels l’aimantation est uniforme comme indiqué précédemment, c’est à dire suivant une direction unique, et appelée aimantation spontanée. En outre, l’existence de cette aimantation spontanée confère à ce type de matériau des qualités très intéressantes pour les applications en génie électrique, essentiellement pour l’amplification des effets du champ magnétique. La formation des domaines de Weiss s’explique par la compétition de trois types d’énergies, à savoir :

- L’énergie d’échange : c’est l’énergie qui résulte de l’interaction entre deux atomes

voisins. L’interaction d’échange conduit à un arrangement des moments magnétiques parallèles les uns aux autres. Cette énergie est minimale si les moments magnétiques de deux atomes voisins pointent dans la même direction. - L’énergie d’anisotropie: c’est l’énergie qui tend à aligner les moments magnétiques

selon des directions privilégiées, suivant certains axes cristallographiques du matériau.

magnétique est en fait soumis à un champ local créé par l’ensemble des autres moments magnétiques. Cette énergie favorise le désalignement de ces derniers. L’équilibre de ces trois formes d’énergie donne naissance aux domaines magnétiques lorsque le matériau n’est pas soumis à un champ magnétique extérieur (figure 1.1). La taille et la forme de ces domaines sont par ailleurs spécifiques à chaque matériau, selon sa qualité métallurgique. L’ordre de grandeur est, le plus souvent, de quelques dizaines à quelques centaines de micron.

Figure 1.1. Matériau à l’état désaimanté comportant 4 domaines magnétiques

Chaque domaine est séparé par des parois appelées parois de Bloch (figure 1.1) dont l’épaisseur est de quelques centaines à quelques milliers d’Angström (10-10 m), et où l’aimantation bascule d’une direction dans un domaine vers une autre dans un domaine voisin (figure 1.2). A noter que cette rotation des moments magnétiques s’effectue de manière progressive d’un domaine à un autre afin de minimiser le coût énergétique de ce basculement d’aimantation [1].

Figure 1.2. Transition entre deux domaines à 180°

I.1.6. Mécanismes d’aimantation d’un matériau ferromagnétique

D’un point de vue phénoménologique, on peut considérer que dans une substance ferromagnétique et en l’absence d’un champ magnétique extérieur, chaque domaine de Weiss présente une aimantation dont l’orientation est aléatoire, conduisant alors à une aimantation macroscopique moyenne nulle. Lorsqu’un champ magnétique est appliqué, les moments magnétiques auront tendance à s’aligner selon la direction du champ appliqué. Les domaines dont l’aimantation spontanée se trouve dans la même direction que celle du champ magnétique H appliqué augmentent en volume au détriment de ceux dont

Domaine magnétique Paroi de

l’orientation est opposée au champ extérieur. Les parois de Bloch au sein du matériau se déplacent alors en fonction du champ appliqué (retournement des moments magnétiques à l’interface entre deux domaines). En fonction de l’intensité du champ appliqué, le mécanisme d’aimantation d’une substance ferromagnétique comporte les étapes présentées sur la figure 1.3.

A. Région des champs faibles

Le volume des domaines favorablement orientés par rapport à la direction du champ augmente, aux dépens des domaines orientés dans la direction opposée. Si les parois ne rencontrent pas d’obstacles lors de leur déplacement, ce processus est réversible, et le système retourne naturellement à l’état initial si le champ extérieur est annulé.

M

H A

B C

Figure 1.3. Courbe d’aimantation d’une substance ferromagnétique

B. Région des champs intermédiaires

Dans cette région, les parois continuent leur déplacement et chaque domaine dont les moments magnétiques sont orientés dans la même direction que le champ appliqué augmente également de volume.

C. Région des champs forts

Dans cette région, le matériau tend à devenir mono-domaine, possédant une composante alignée avec les directions de facile aimantation des cristaux les plus proches de la direction du champ. Le processus consiste alors principalement à orienter les moments magnétiques. Ainsi, l’aimantation va tendre asymptotiquement vers une grandeur limite appelée aimantation à saturation Ms, correspondant à l’alignement parfait de tous les

moments atomiques sur le champ appliqué. En d’autres termes, c’est une grandeur limite, caractéristique intrinsèque du matériau ferromagnétique.

I.1.7. Vers le cycle d’hystérésis

Le mécanisme général d’aimantation dans une substance ferromagnétique est présenté dans le paragraphe précédent. Toutefois, il existe au sein des matériaux de nombreuses imperfections dues à des impuretés non magnétiques (carbures, nitrures,…) et ferromagnétiques (cémentite) ainsi qu’aux contraintes de dislocation, de joints de grains et de traitements métallurgiques. Ces points particuliers vont constituer des sites d’ancrage pour les parois, qui contribuent majoritairement à l’apparition du phénomène d’hystérésis magnétique. Ainsi, à l’état désaimanté et pour un champ magnétique périodique H, la courbe M(H) va décrire la courbe de première aimantation tant que le champ H sera croissant, jusqu’à tendre asymptotiquement vers l’aimantation à saturation Ms. Si l’on fait

ensuite décroître l’intensité du champ appliqué, la courbe M(H) va s’écarter de la courbe de première aimantation. Le parcours de M ne sera donc plus le même selon que le champ H soit croissant ou décroissant. Le cycle d’hystérésis est alors obtenu quand le matériau magnétique est soumis à un champ d’excitation cyclique, lentement variable. Le phénomène d’hystérésis est un fait d’expérience évident : quand on mesure les variations d’aimantation d’un matériau, on constate que le résultat acquis dépend non seulement des conditions expérimentales utilisées mais aussi de tous les états d’aimantation antérieurs. En d’autres termes, les matériaux magnétiques gardent la mémoire de tous leurs états d’aimantation antérieurs par l’intermédiaire des domaines de Weiss [1].

Un exemple de cycle d’hystérésis est représenté sur la figure 1.4. La courbe de première aimantation est également représentée sur cette même figure. On note les points remarquables du cycle:

- L’aimantation à saturation Ms : spécifique à tout matériau, et correspond à l’état où

il n’existe plus de structure en domaines dans le système

- Le champ coercitif Hc : point correspondant au champ d’excitation pour lequel

l’aimantation s’annule. En d’autres termes, c’est le champ qu’il faut appliquer pour annuler l’aimantation à partir de l’état saturé

- L’aimantation rémanente Mr : aimantation qui subsiste après suppression du champ

H M Aimantation à saturation Ms Aimantation rémanente Mr Champ coercitif Hc Courbe de première aimantation

Figure 1.4. Courbe de première aimantation et cycle d’hystérésis [7]

I.1.8.Classification des matériaux ferromagnétiques

Selon les valeurs du champ coercitif Hc et de la polarisation magnétique utile, les

grandes classes de matériaux ferromagnétiques sont représentées sur la figure 1.5. On distingue alors les matériaux magnétiques durs ou aimants et les matériaux magnétiques doux. Les matériaux magnétiques durs (aimants) présentent un cycle d’hystérésis très large, ce qui correspond à une aimantation rémanente très grande et un champ coercitif Hc>1000 A/m. Ils présentent alors une aimantation permanente même en l’absence de

champ magnétique extérieur. La polarisation magnétique utile de ce type de matériaux se situe entre 0.2 et 1.4T. 0.1 1 10 102 103 104 105 106 0 0.5 1 1.5 2 Aimants T-R Ferrites dur Fe-Co mi-durs Ferrites doux Fe-Ni Fe-Si Fe-Co doux C H A M P C O E R C IT IF [ A /m ] A IM A N T S M A T E R IA U X D O U X

POLARISATION MAGNETIQUE UTILE [T]

Contrairement aux aimants, le cycle d’hystérésis associé aux matériaux magnétiques

doux est très étroit, correspondant ainsi à une aimantation rémanente faible et un champ

coercitif Hc<1000 A/m. Par ailleurs, la polarisation magnétique utile de ces matériaux, qui

peut atteindre jusqu’à 2T, en fait des matériaux très utilisés dans les applications nécessitant une forte densité d’énergie magnétique lors du processus de conversion énergétique (transformateur, actionneur,…) tout en ayant des pertes minimales.

I.1.9.Les pertes fer

Dès lors qu’un matériau ferromagnétique est soumis à un champ d’excitation extérieur variable, il emmagasine de l’énergie qu’il ne restitue pas complètement après démagnétisation. On parle alors des pertes énergétiques appelées aussi Pertes Fer. Pour un cycle complet, le milieu extérieur fourni par unité de volume, le travail qui est ensuite converti en chaleur :

∫

= HdB

W [J/m3] (1-8)

Ainsi, pour un matériau magnétique de masse volumique ρ, et une excitation périodique de fréquence f, les pertes totales peuvent être calculées à partir de la relation :

( ) ( )

∫

ρ

La prise en compte des pertes fer est nécessaire pour tenir compte de l’échauffement des dispositifs électrotechniques, et jouent un rôle fondamental dans leur dimensionnement. Elles constituent donc une information essentielle pour le choix et l’utilisation des matériaux magnétiques doux.

Les deux phénomènes physiques principaux à l’origine de ces pertes sont les pertes par

hystérésis Physt qui sont proportionnelles à la fréquence, et les pertes par courants induits

ou pertes dynamiques, proportionnelles au carré de la fréquence.

Les pertes par hystérésis trouvent leur origine dans le caractère discontinu du processus de magnétisation à un niveau microscopique, qui a été expliqué au paragraphe I.1.5. Ainsi, ces pertes sont principalement liées aux pertes dues à la circulation des courants induits lors de la variation de l’aimantation provoquée par le déplacement des parois de Bloch. A très basse fréquence, ce phénomène est toujours présent.

Les pertes par courants induits, pour un matériau soumis à un champ d’excitation sinusoïdale, peuvent être associées au comportement dynamique macroscopique de la structure qui est conductrice. Ces composantes sont alors liées à l’existence des courants macroscopiques, appelés courants induits (ou courants de Foucault), qui circulent dans l’ensemble du système. Leur importance est directement liée à la conductivité du matériau considéré mais aussi à sa géométrie. L’effet de ces pertes se traduit généralement par l’échauffement du matériau, et le gonflement du cycle d’hystérésis (figure 1.6). L’effet des courants induits dans une machine électrique peut alors être réduit par l’utilisation de tôles

d’épaisseur faible et isolées électriquement les unes par rapport aux autres. On peut également adjoindre des impuretés tel que le Silicium pour diminuer la conductivité du matériau.

Figure 1.6. Gonflement du cycle d’hystérésis en fonction de la fréquence (f3>f2>f1)

I.1.10.Le fer pur et ses alliages

Bien que le fer pur non allié présente de bonnes propriétés magnétiques, il ne peut être directement utilisé pour la conception d’un dispositif électrotechnique. En effet, à cause de la présence importante d’impuretés, il présente des pertes magnétiques élevées. Comme indiqué précédemment, on y ajoute alors du silicium afin de diminuer la conductivité (diminution de l’effet des courants induits) et l’anisotropie magnéto-cristalline (diminution de la différence de perméabilité selon la direction d’aimantation de la tôle).

On distingue deux principales familles de tôles Fe-Si, destinées à des applications différentes :

- Les tôles à grains orientés, dont la texture privilégie la direction de laminage comme direction de facile aimantation et qui sont principalement utilisées dans les transformateurs dans lesquels le flux garde une direction fixe.

- Les tôles à grains non-orientés qui sont principalement destinées à la construction des machines tournantes.

On donne dans le tableau 1.2 quelques exemples de performances d’alliages de Fe-Si à grains non orientés, selon la teneur en Silicium et l’épaisseur de la tôle, et notamment leurs principales applications dans le domaine industriel [5].

M

H f1

f2

Grains non orientés Silicium [%] Epaisseur [mm] Pertes fer en W/kg à 50Hz et à 1.5T Principales applications

Qualité supérieure 2.5 à 3.2 0.35 à 0.5 1 à 2.5 en 0.5mm Grosses machines tournantes

Qualité moyenne 1.5 à 2.5 0.35 à 0.5 4 à 6 en 0.5 Moteurs de moyenne et forte puissance

Qualité inférieure 0.5 à 1.5 0.5 à 0.65 7 à 9 en 0.65 mm

Petits moteurs et appareils à service

intermittent

Tableau 1.2. Tôles à grains non orientés et teneur en Silicium [5]

I.2.Modèles de loi de comportement non linéaires déterministes

Compte tenu de ce qui a été présenté auparavant, la loi de comportement des matériaux ferromagnétiques est de type hystérétique. Le plus souvent, le phénomène d’hystérésis est négligé pour représenter la loi de comportement magnétique, et seul la courbe anhystérétique est considérée. Dans la pratique, pour obtenir cette courbe, le matériau est polarisé dans un état magnétique sous champ continu et on y superpose un champ magnétique alternatif, suivant la même direction que le champ continu. Celui-ci décroit lentement à partir de l’état saturé du matériau afin d’obtenir, une fois le champ alternatif nul, un point de la courbe anhystérétique. L’opération peut être répétée pour d’autres points de la courbe anhystérétique en modifiant la valeur du champ continu.

Une autre alternative pour une approximation de la courbe anhystérétique consiste à calculer la moyenne d’un cycle d’hystérésis saturé, ou tracer la courbe issue des extrema de plusieurs cycles centrés d’amplitudes croissantes jusqu’à la saturation. Cette section a pour principal objectif de présenter les principaux modèles présents dans la littérature.

I.2.1.Modèles de type analytique

Le choix de l’utilisation d’une expression analytique dépend essentiellement de la région de la loi de comportement que l’on souhaite approximer. Cette section présente les modèles de type analytique présentés dans [18],[19].

Pour la description du comportement magnétique non-linéaire des matériaux ferromagnétiques, on peut utiliser les séries polynomiales pour l’approximation. La forme générale la plus simple qui décrit l’induction magnétique B en fonction de H s’écrit :

B = a Hn (1-10)

Le modèle est caractérisé par les paramètres a et n, qui sont déterminés à partir des mesures expérimentales. Cette équation donne une assez bonne approximation de la loi de comportement non linéaire de certains matériaux. Cependant, la précision est assez limitée

pour certaines régions. Une alternative serait le modèle à fonction auxiliaire [18], qui est basé sur l’approximation de l’aimantation M, par une fonction de polynômes de second ordre, dépendant des paramètres (a1, a2, b1, b2, H). Cette relation est donnée par (1-11), où

les 4 paramètres sont identifiés également à partir des mesures expérimentales:

2 2 1 2 2 1 b b 1 a a H H H H M + + + = (1-11)

L’induction magnétique B est alors déduite de la relation (1-4).

Les modèles de type polynomial sont faciles à mettre en œuvre. Toutefois, il peut arriver que l’on soit obligé de rajouter d’autres paramètres pour améliorer l’approximation de la caractéristique non linéaire du matériau. Froelich [19] propose l’utilisation de modèle de type hyperbolique, défini par la relation :

H H B

λ

τ

L’utilisation des valeurs absolues du champ magnétique permet d’assurer la symétrie par rapport à l’origine.

Un autre modèle, de type transcendantal, présente l’avantage d’être facilement inversible. L’expression du modèle est donné par:

B= a×tan-1(b×H) (1-13)

La fonction inverse est donnée par la relation :

H=(1/b)×tan(B/a) (1-14)

Que ce soit pour (1-13) ou (1-14), les paramètres a et b sont identifiés à partir des mesures expérimentales. Toutefois, l’utilisation de ce modèle est limitée à des petits intervalles de B (respectivement H). Une alternative est d’utiliser l’équation (1-15), qui donne une meilleure approximation sur une région plus large, et notamment de reproduire le point d’inflexion au niveau de l’origine:

      + = H H B b a exp (1-15)

Il est alors facile de trouver des expressions explicites pour la région non saturée de la courbe anhystérétique. Cette tâche devient plus compliquée si l’on souhaite faire une approximation de l’ensemble du profil de magnétisation, incluant le coude de saturation.

I.2.2.Modèles anhystérétiques de type phénoménologique

Les modèles de type phénoménologique sont les modèles issus de considérations physiques du processus d’aimantation des matériaux.

Le modèle de Langevin est issu de la théorie du paramagnétisme de Langevin et prend en compte l’interaction entre les domaines [20]. Un matériau paramagnétique peut être considéré comme un système composé de moments magnétiques orientés aléatoirement, et la résultante macroscopique de l’aimantation est nulle. Lorsqu’un champ magnétique est appliqué, chaque moment magnétique aura tendance à s’orienter dans la direction du champ, mais ce mécanisme est perturbé par l’agitation thermique au niveau atomique. Le résultat est ainsi un alignement partiel dans la direction du champ, et une faible valeur de la susceptibilité magnétique. En présence d’un champ magnétique H, l’énergie potentielle d’un moment magnétique est donnée par :

Ep=-m×H=-m×H×cosθ (1-16)

Un calcul statistique basé sur la statistique de Maxwell Boltzman [6] conduit à l’équation décrivant la loi de comportement macroscopique d’un matériau paramagnétique:

      −       = mH kT kT mH coth M M 0 0 s anh

µ

µ

Ms : Aimantation à saturation du matériau [A/m]

m : moment magnétique

k : constante de Boltzman (1.38×10-23 [J/kg])

L’équation (1-17) peut être généralisée au cas des matériaux ferromagnétiques en supposant que les interactions entre moments magnétiques donnent lieu à un champ magnétique Hm, proportionnel à l’aimantation, appelé champ moléculaire tel que Hm= αM

du à l’énergie d’échange introduit au début de ce chapitre. Dans cette expression, α désigne le paramètre du champ moléculaire, et dont l’effet s’ajoute à celui du champ magnétique appliqué H de sorte que le champ effectif total vu par un moment magnétique devienne :

He=H+ α M (1-18)

Dans ce cas, l’énergie potentielle donnée par (1-16) est équivalente à:

Ep=-m×H= -m×(H+αM) ×cosθ (1-19)

Ainsi, pour un matériau ferromagnétique, la loi de comportement anhystérétique est définie par :

(

)

(

)

α

µ

α

µ

(

)

(

)

α

α

Les paramètres caractéristiques du modèle sont Ms, a et α, respectivement

l’aimantation à saturation [A/m], la pente de l’aimantation anhystérétique [A/m] et l’interaction entre les domaines. Avec ce modèle, le système est considéré comme anhystérétique, et la courbe M(H) tracée avec cette équation est la même que H soit croissant ou décroissant. L’influence des paramètres a et α est illustrée dans [6]. Ainsi, lorsque a diminue, i.e. la température augmente, le niveau d’induction diminue, ce qui reflète bien ce que l’on observe expérimentalement pour la loi de comportement d’un matériau ferromagnétique. Par ailleurs, lorsque la valeur du paramètre α diminue (réduction du couplage entre les moments magnétiques), jusqu’à tendre vers 0, le système tend vers un comportement paramagnétique.

Le modèle de type Brillouin modifié développé dans [21] décrit le procédé de magnétisation en se basant sur le modèle de Rayleigh et le modèle de Brillouin. L’expression du modèle est donnée par :

( )

Ma et Mb sont les deux composantes de l’aimantation à saturation (Ms=Ma+Mb), et a et b

dénotent les taux d’approche à la saturation. Les quatre paramètres du modèle sont déterminés à partir des mesures expérimentales. On peut par ailleurs noter que ce modèle permet de représenter le point d’inflexion à l’origine contrairement à celui de Langevin.

I.3.Modèles déterministes des pertes

I.3.1.Modèle général des pertes

L’origine des pertes, du point de vue physique est présentée dans le paragraphe I-1-7. Dans la pratique, les pertes sont le plus souvent estimées à partir de modèles analytiques basés sur des approches empiriques dont l’identification est faite à partir de mesures expérimentales. Selon l’approche théorique de l’origine des pertes proposée par Bertotti [8],[38], les pertes totales d’un matériau ferromagnétique sont la somme de deux