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Sur la distribution des valeurs de la fonction zêta de Riemann et des fonctions L au bord de la bande critque

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Academic year: 2021

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(2)

Sur la distribution des valeurs de la fonction zêta

de Riemann et des fonctions

L

au bord de la

bande critique

par

Youness Lamzouri

Département de mathématiques et de statistique

Faculté des arts et des sciences

Thèse présentée à la Faculté des études supérieures en vue de l'obtention du grade de

Philosophi3:) Doctor (Ph.D.) en mathématiques

Orientation mathématiques fondamentales

août 2009

(3)

Faculté des études supérieures

Cette thèse intitulée

Sur la distribution des valeurs de la fonction zêta

de Riemann et des fonctions

L

au bord de la

bande critique

présentée par

Youness Lamzouri

a été évaluée par un jury composé des personnes suivantes:

losiE Polterovich (président-rapporteur) Andrew Granville Yvan Saint-Aubin Carl PomeraIlce Patrice Marcotte

(représentant du doyen de la FES)

Thèse acceptée le:

(4)

RÉSUMÉ

Le sujet principal de cette thèse est la théorie analytique des nombres. Elle est principalement constituée de quatre articles. Les deux premiers traitent de la distribution des valeurs de la fonction zêta de Riemann

((s)

et des familles de fonctions L au bord de la bande critique. Les deux derniers, quant à eux, résolvent des problèmes de nature multiplicative.

Le premier chapitre est une introduction à la théorie de la fonction zêta de Riemann et des fonctions L en général. Nous allons y introduire la notion de fonctions L, et donner quelques exemples de familles classiques telles les fonctions

L de Dirichlet, les fonctions L de formes modulaires cuspidales et les fonctions L de courbes elliptiques.

Le chapitre deux est une introduction à la théorie des valeurs moyennes des fonctions multiplicatives. On y introduira aussi la correspondance de A. Granville et K. Soundararajan entre l'ensemble de ces valeurs moyennes et les solutions d'une classe intéressante d'équations intégrales retardées.

Le premier article de cette thèse, intitulé The two dimensional distribution of ((1

+

it) [Lam3], est présenté au chapitre trois. Dans ce travail nous prouvons plusieurs nouveaux résultats sur la fonction de distribution de ((1

+

it) dans le plan complexe. Plus précisément on étudie la probabilité conjointe que

1((1

+

it)

1

est grande (proche du maximum conjecturé) et arg ((1

+ it)

est borné. Nous obtenons des résultats similaires dans le cas de la famille des fonctions L de Dirichlet

L(l, X),

X

varie parmi les caractères non-triviaux modulo un grand premier q.

Le chapitre quatre contient le deuxième article de la thèse, intitulé Distribution

(5)

nous généralisons les travaux de A. Granville et K. Soundararajan et ceux de J.Y. Liu, E. Royer et J. Wu sur la distribution des valeurs des familles de fonctions L

au bord de la bande critique. Notre méthode consiste à construire une large classe de produits Eulériens aléatoires, qui englobe tous les modèles aléatoires étudiés précédemment. Parmi les nouvelles applications, nous obtenons des estimations pour les fonctions de distribution des valeurs de fonctions L appartenant à la classe de Selberg en l'aspect t, et de la famille de fonctions L de tordus quadratiques d'une forme automorphe cuspidale sur GL(n) au point s = 1, en supposant une version uniforme de la conjecture de Sato-Tate.

La deuxième partie de la thèse est consacré à l'étude du comportement mul-tiplicatif de certains ensembles de nombres et de fonctions arithmétiques.

Le troisième article de cette thèse, intitulé Smooth values of the iterates of the

Euler cP function [Lam!], est contenu dans le chapitre cinq. Dans ce travail nous

utilisons la correspondance de A. Granville et K. Soundararajan afin d'étudier la structure multiplicative des itérées de la fonction cP de Euler (une question à laquelle Erdos était intéressé).

Le chapitre six contient le quatrième article, intitulé On the number of linear

forms in logarithms [Lam2]. Le résultat principal de cet article est une formule asymptotique pour le nombre des formes linéaires bllog al

+ ... +

bn log an, où n est un entier positif, Ibil

:S

Bi et 0

<

ai

:S

Ai sont des entiers, quand Ai, Bi tendent vers l'infini. Une formulation équivalente de ce problème est d'estimer le nombre des rationnels de la forme r = a~la~2 ... a~n tel que 1

:S

ai

:S

Ai et Ibil

:S

Bi. Ce travail est motivé par l'argument heuristique suivi par S. Lang et M. Waldshmidt pour formuler leur fameuse conjecture sur les formes linéaires en logarithmes (voir conjecture 0.0.2).

Mots Clés:

Théorie analytique des nombres, fonction zêta de Riemann, fonctions L, classe de Selberg, formes automorphes, fonctions multiplicatives, méthodes de crible, nombres friables, équations intégrales retardées, formes linéaires en logarithmes.

(6)

SlJMMARY

In this thesis we study several problems from analytic number theory. It consists of four articles. The first two of them con cern the distribution of the values of the Riemann zeta function (( s) and families of L-functions at the edge of the critical strip. The other two articles concern problems from multiplicative number theor·y.

The first chapter is an introduction to the theor'y of the Riemann zeta function and L-functions in general. We will introduce the concept of L-functions and give sorne classical examples such as the Dirichlet L-functions, the L-functions of modular forms and the L-functions of elliptic curves.

Chapter two is an introduction to the theor'y of mean values of multiplicative functions. It also contains a description of A. Granville and K. Soundararajan correspondence between arithmetic functions and a class of interesting integral delay equations.

The first paper, entitled The two dimensional distribution of ((1 +it) [Lam3],

is presented in chapter tluee. In this work we prove several results on the distri-bution function of ((1 + it) in the complex plane. More precisely, we study the joint probability that

1((1

+ it)

1

is large (close to the conjectured maximum) and arg((l+it) is bounded. We also get similar results in the case of the family of Di-richlet L-functions L(l, X), where X varies over non-principal characters modulo a large prime q.

Chapter four contains the second paper of the thesis : Distribution ofvalues of

L-functions at the edge of the critical srip [Lam4]. In this paper we generalize the results of A. Granville and K. Soundararajan and those of J.Y. Liu, E. Royer and J. Wu on the distribution of values of L-functions on the line Re(s) = 1; namely

(7)

by constructing and studying a large class of random models, which include aIl the on es studied previously. Among new applications, we provide estimates for the distribution of the values of L-functions of the Selberg Class in the t-aspect, and of the family of L-fullctions of quadratic twists of a cuspidal automorphic

fonn on GL(n) at 8 1, assuming a uniform version of the Sato-Tate conjecture.

In the second part of the thesis we study the multiplicative behavior of certaÎn sets of numbers and arithmetic functions.

The third paper of the thesis, entitled Smooth val'ue8 of the iterate8 of the Euler

<P function [Lam!], is cçllltained in chapter five. In this work we use A. Granville

and K. Soundararajan' correspondence ta study the multiplicative structure of

shifted primes (numbel's of the form p 1 where pis prime), and of the iterates

of Euler's <P function (a question close to Erd6s' heart).

In Chapter we present our fourth paper, entitled On the number of linear'

forms in logarithms [Lam2]. The main l'esuit of this paper is an asymptotic ,

formula for the number of linear forms

bt

log al

+ ... +

bn log an, where n is a

positive integer,

Ibil :::;

and 0

<

ai :::; Ai are integers, as

A, Bi

tend to infinity.

An equivalent formulation of the problem is to estimate the number of rational

numbers r = a~l ... a~" with 1 :::; ai :::; Ai and

Ibil :::;.

Bi, This problem was

motivated by the heuristic argument which leads to a famous conjecture on tinear forms in logarithms formulated by S. Lang and M. Waldshmidt (see conjecture 0.0.2 below).

Key words:

Analytic number theory, Riemann' zeta function, L-functions, Selberg class, auto-morphic forms, multiplicative functions, sieve methods, smooth numbers, integral delay equations, linear forms in logarithms.

(8)

TABLE DES MATIÈRES

Résumé... iii

Summary... ... ... ... ... ... ... v

Remerciements. . . xi

Introduction. . . 2

La distribution de ((1

+

it)

dans le plan complexe. . . .. . .. . .. . . 2

La distribution des valeurs des fonctions L au bord de la bande critique. 9 Valeurs friables des itérées de la fonction Phi de Euler. . . .. 17

Sur le nombre des formes linéaires en logarithmes. . . .. 23

Chapitre 1. Fonction Zêta de Riemann et fonctions L . . . .. 27

1.1. Fonction ( de Riemann. . . .. 27

1.1.1. Propriétés analytiques . . . .. 27

1.1.2. Les zéros de

((5) ...

29

1.1.3. L'ordre de

((5)

dans la bande critique ... 30

1.2. Fonctions L. . . .. 31

1.2.1. Présentation générale ... , ... , . .. 32

1.2.2. Les fonctions L de Dirichlet. . . .. 36

1.2.2.1. Les caractères de Dirichlet. .. . . .. . . .. . .. . . .. . . ... 36

1.2.2.2. Propriétés analytiques des fonctions L de Dirichlet. . . .. 37

(9)

1.2.3.1. Le groupe modulaire et les sous-groupes de congruences de

Hecke ... 40

1.2.3.2. Les formes modulaires cuspidales... ... . . ... . . ... . . . ... . .... 41

1.2.3.3. La formule de Petersson ... , 42

1.2.3.4. Les formes modulaires cuspidales de grand niveau ... , 43

1.2.3.5. Les fonctions L des formes modulaires cuspidales ... , 44

1.2.4. Les fonctions L de courbes elliptiques ... , 45

1.2.5. Les fonctions L de puissances symétriques de formes modulaires 45 Chapitre 2. Généralités sur les fonctions multiplicatives. . . .. 47

2.1. Défini tions et propriétés. . . .. 47

2.2. Nombres friables et fonction p de Dickman. ... . . ... . . ... . . .. . . .. 50

2.3. Distribution des valeurs moyennes de fonctions multiplicatives .... , 53

Chapitre 3. The twà dimensional distribution of values of ((1

+

it)

57 3.1. Introduction... 57

3.2. Detailed statement of results. . . .. 61

3.3. Approximations of ((1 + it) ... 66

3.3.1. Short Euler product approximation.... . ... . . ... .. ... ... . .... 66

3.3.2. Smooth Dirichlet series approximation of ((1 -r

ity . ...

68

3.4. Estimates of sums of divisor functions. . . .. 69

3.5. Moments of ((1

+

it) ... 74

3.6. Large values of ((1

+

it) in every direction. .. . . .... ... . . ... 77

3.7. Random Euler products and their distribution ... ,., .... ", 82 3.8. Fourier aualysis on the n-dimensional toms, . , , , , ... , . , , ... , , ., 87

(10)

3.10. Analogous results for

L(l, X) . ... , . . . ..

94

Chapitre 4. Distribution of L-functions at the edge of the critical strip ... 101

4.1. Introduction and statement of results ... 102

4.2. Distribution of Random Euler Products : Proof of Theorem 4.1.1 .. 110

4.3. Distribution of Symmetric power L-functions : Proof of Theorem 4.1.2 ... 114

4.4. Another class of random models ... 117

4.5. The Selberg class of L-functions in the t-aspect ... 124

4.6. Distribution of Quadratic twists of automorphic L-functions ... 131

Chapitre 5. Smooth values of the iterates of the Euler's Phi function ... 136 5.1. Introduction ... 136 5.2. Proof of Theorem 5.1.2 ... 141 5.3. Proof of Theorem 5.1.1 ... 142 5.4. Proof of Proposition 5.1.1 ... , ... 147 5.5. Proof of Theorem 5.1.3 ... ' ... , ... 151

5.6. Getting the asymptotic approximation of a explicitly ... 154

Chapitre 6. On the number of linear forms in logarithms . . . .. 160

6.1. Introduction ... 160

6.2. Preliminary lemmas ... 163

(11)

Bibliographie. . . .. 169

Annexe A. Autorisations des journaux ... A-i A.l. Canadian Journal of Mathematics (CJM) ... A-i A.2. Journal of Number TheOl'Y ... A-ii A.3. International Mathematics Research Notices ... A-iii

(12)

REMERCIEMENTS

Premièrement, je tiens à remercier très sincèrement mon directeur de

re-cherche, Andrew Granville, qui m'a initié à l'univers fascinant de la théorie

ana-lytique des nombres, et sans qui ce travail n'aurait sûrement pas vu le jour. Son encouragement, sa patience, son dévouement, ses nombreuses idées et suggestions, ses intnitions profondes et ses conseils éclairés m'ont guidé tout au long des cinq belles années que j'ai passées sous sa supervision. Je lui exprime aussi toute ma reconnaissance pour son soutien financier durant les premières années de mes études de doctorat.

l warmly thank Carl Pomerance for accepting to review this doctoral disser-tation.

Je remercie le département de mathématiques et de statistique pour les ex-cellentes conditions de travail, et la directrice Véronique Hussin pour son encou-ragement et sa disponibilité et pour les premières charges de cours qu'elle m'a donné. Je lui serais toujours reconnaissant de m'avoir ainsi offert cette oppQrtu-nité d'enseigner les mathématiques, que j'aime tant.

Je voudrais aussi remercier le Conseil de Recherches en Sciences Naturelles et en Génie du Canada (CRSNG), pour son généreux soutien financier tout au long de mes études doctorales.

Je tiens à remercier mes amis que j'ai côtoyés au fil des années passées aux

DMS. Je pense notamment à Rémi Étoua, Alexandre Girouard, Nathan Ng,

Na-than Jones, Habiba Kadiri, Calvin Mbuntcha, et Guillaume Ricotta.

Je voudrais remercier chaleureusement mes parents Abdelrhani et Fatiha, pour avoir cru en moi, pour tout leur soutien moral et financier et surtout pour leurs

(13)

encouragements qui m'ont donné du courage et de la persévérance durant toutes mes années d'études universitaires.

Finalement, mes remerciements les plus tendres vont évidemment à ma femme Fouzia. Je voudrais la remercier pour tout le bonheur immense qu'elle me procure, pour m'avoir supporté, encouragé, et épaulé durant ces deux dernières années. Je lui serais toujours reconnaissant pour avoir partagé mes moments de bonheur et de tristesse, et pour m'avoir donné tout son amour l

(14)
(15)

LA DISTRIBUTION DE

((1

+

it)

DANS LE PLAN COMPLEXE

Le comportement analytique de la fonction zêta de .Riemann ((8) au bord de la bande critique (c'est à dire sur la ligne Re(8) = 1) est étroitement relié à la distribution des nombres premiers. En effet, la preuve du célèbre théorème des nombres premiers par Hadamard et de la Vallée Poussin en 1896, repose essentiellement sur le fait que ((1

+

'il)

=f

O. En définissant, pour tout réel positif

x, le nombre 'iT(x) comme le nombre de premiers inférieurs à x, le théorème des nombres premiers s'énonce de la façon suivante

X

'iT(x) rv - - , quand x - t 00. log x

La fonction zêta de Riemann possède un produit Eulérien qui converge condi-tionellement sur la ligne Re( 8) = 1

( 1)-1

((1

+

it)

= lim

II

1 -

l+'t

'

si

t

=f

O.

y-wo P t

P':5.y

(0.0.1)

En supposant l'hypothèse de Riemann, J.E. Littlewood

([Li!]

et

[Li2])

a démon-tré que le produit tronqué à p S; log2 t constitue une bonne approximation pour ((1

+

it),

ce qui lui a permit de déduire que 1((1

+

it)1 S;

(2e'

+

0(1)) log2

t,

où 1 est la constante d'Euler. (Tout au long de cette thèse on utilisera la notation logj pour la j-ième itérée du logarithme. On aura alors IOgl n = log n et logj n = log(lOgj_l n) pour tout j

2:

2).

Ceci démontre que sous l'hypothèse de Riemann, la somme

L

p2y l/pHit est négligeable pour y

2:

log2

t.

D'autre part, en utilisant le théorème de Dirichlet sur les approximations diophantiennes on peut forcer la somme

L

p ':5.1ogt l/pHit à être grande, en prenant t de telle sorte que pit ~ 1, pour

(16)

tous les premiers p

:S

log t. Ceci a permis à J.E. Littlewood de montrer l'existence de valeurs arbitrairement grandes t pour lesquelles 1((1

+

it)1 ::::

(e'

+

0(1)) log2 t. De plus, il est conjecturé que la somme 'Elogt:s;p:S;log2t l/pHit est négligeable et donc que le produit sur les premiers p

:S

log t constitue une bonne approximation pour ((1

+

it) :

Conjecture 0.0.1. Quand t ---t 00, on a

( 1)-1

((1

+

it) r-.J

II

1 - - . pH2t p:S;logt

Une conséquence directe de cette conjecture est max 1((1

+

it)1 r-.J e'log2 T ..

Itl:S;T

En [LeI], N. Levinson a démontré l'existence de valeurs t arbitrairement grandes pour lesquelles 1((1

+

it)1 :::: e'log2 t

+

0(1). Cette borne inférieure a été légèrement améliorée par A. Granville et K. Soundararajan en [GS4]. D'autre part ils ont réussi à évaluer la fréquence d'apparition des valeurs extrêmes de 1((1

+

it)l· Plus précisément, pour T,r:::: 1, soit

<I>T(r) :=

~meas{t

E [T,2T]: 1((1

+

it)1

>

e'r},

où "meas" est la mesure de Lebesgue. Granville et Soundararajan ont prouvé qu'uniformément dans la région 1

«

r

:S

log2 T -

20,

on a

2 r-C-1 1 r '2

(

( (

1)))

<I>T(r) = exp - e r 1

+

0

r~

+

CO:T)

,

(0.0.2)

1

2 dt

1

00

dt

C

=

log

Io(t)

2"

+

(log

Io(t) - t)2"'

o t 2 t

(0.0.3)

et

Io(t)

est la fonction de Bessel modifiée d'ordre O.

Notre premier article [Lam3], qui sera présenté au chapitre 3, concerne l'étude de la distribution conjointe de arg((1

+

it)

et 1((1

+

it)l. En effet, nous allons étudier la fonction suivante

1

<PT(r,

e)

:=

Tmeas{t

E

[T,2T]:

1((1

+

it)1

>

e'r, 1 arg((1

+

d)1

>

e},

(17)

En premier lieu on démontre l'existence de valeurs ((1 +it) de grandes normes (proche du maximum conjecturé) dans toutes les directions arg z = 'IjJ, 'IjJ E

[-n, n]

est fixé. Plus précisèment on prouve

Théorème 0.0.1 (Y. Lamzouri [Lam3]). Soit T

> 0 un nombre réel très grand,

et 'IjJ E [-n, n], un angle fixé. Pour un nombre réel T :::; log2 T - log3 T, soit M ( 'IjJ,T) la mesure des points t E (T, 2T], pour lesquels

Alors il existe deux constantes positives Cl, C2 (qui dépendent uniquement sur la

constante du 0) tel que

Une conséquence immédiate de ce résultat est que la fonction de distribution

<PT( T,

e)

est "double exponentiellement décroissante" en le paramètre T, pour

e

fixé.

En utilisant une approche différente, A. Granville et K. Soundararajan (non-publié) ont prouvé une variante du théorème 0.0.1 dans la cas de la famille

L(l, X) (voir chapitre 1 pour la définition). En effet, ils ont démontré l'existence de grandes valeurs (et de petites valeurs) de L(l, X) dans toutes les directions. Cependant leur résultat contient uniquement une borne inférieure sur la mesure de ces valeurs et cette borne est plus faible que celle obtenue au théorème 0.0.l. En adaptant leur méthode au cas de ((1 +it), on peut prouver le résultat suivant

Théorème 0.0.2 (A. Granville-K. Soundararajan). Soit T un nombre réel très grand. Si z est un nombre complexe tel que

alors la mesure des points t E [T, 2T] pour lesquels

((1

+

it) = z

(1

+

0

(log3

T)) ,

log2 T est au moins Tl-l/1oglogT.

(18)

Soit T

>

0 un nombre réel très grand, et {X

(p)}p

premier un ensemble de variables aléatoires indépendantes et uniformément distribuées sur le cercle unité llJ.

Afin de comprendre la distribution des valeurs ((1

+

it), pour t E [T,2T], notre stratégie consiste à comparer cette distribution avec celle du "produit Eulérien aléatoire"

L(l, X) = lim

II

(1 -

x(p))

-1, (ce produit converge avec probabilité 1). y->oo p

p~y

Soit z un nombre complexe. On définit la fonction multiplicative dz (n), par

dz(pa) = f(z

+

a)jf(z)a!, pour tout premier p et tout entier a

2:

o.

Alors dz(n)

est le coefficient de la série de Dirichlet de (( s

y

pour Re( s)

>

1. Ainsi pour les variables

{X (p)}p

premier on a (avec probabilité 1) que

L(l, X)Z =

f

dAn~X(n),

n=l

X (n) = TI~=l X (pi)ai , si n

=

TI~=l p~i. Si Y est une variable aléatoire définie sur un espace de probabilité

(0"

/-L) on définit son espérance par lE(Y) =

Jo

y d/-L.

Ainsi lE(X(n)X(m))

=

1 si n

=

m et vaut 0 sinon. On en déduit que pour deux nombres complexes Zl et Z2, on a

lE

(L(l, X)Zl L(l,

X)Z2)

=

f

dZ1

(n~~Z2

(n) .

n=l

L'idée d'utiliser un modèle aléatoire fût exploitée par H.L. Montgomery et R.C. Vaughan

[MV],

A. Granville et K. Soundararajan

[GS2],

et J. Cogdell et P. Michel

[CM],

qui ont construit des modèles probabilistes afin d'étudier la distribution des valeurs de diverses familles de fonctions L. Pour démontrer cette connexion dans notre cas, nous avons évalué les grands moments complexes de ((1

+

it) et montré qu'ils coïncident avec ceux du modèle probabiliste à un terme d'erreur près. Plus précisément on prouve

Théorème 0.0.3 (Y. Lamzouri

[Lam3]).

Uniformément pour tous les nombres complexes Zl, Z2 dans la région IZll, IZ21 :::; log T j (50(log2 T)2); on a

~

i

2T

(19)

Dans le cas spécial où Z2

=

Zl

=

k E Z, A. Granville et K. Soundararajan [GS4]

ont pu établir ce résultat dans une région plus grande en le paramètre k.

En vue du théorème 0.0.3, la prochaine étape serait d'étudier la distribution du modèle aléatoire

L(l, X).

Pour T,8

> 0, on définit

<p(T,8) := Prob(IL(l, X)I

>

e'T, 1 argL(l, X)I

> 8).

En

[Lam3],

nous avons étudié ce modèle et prouvé une estimation précise de cette fonction de distribution

Théorème 0.0.4 (Y. Larnzouri [Lam3]). Soit T

>

0 un nombTe Téel gmnd et

8

>

(logr)21og2 r r a OTS l

Soit Pj le j-ième nombre premier. Afin d'établir une formule analogue pour

<PT (T, 8), nous avons étudié la distribution du vecteur V(t) := (plt,p~t,

... ,pY:t),

dans le tore de dimension N qu'on notera 'll.'N := (lR/Z)N, pour t E [T,2T],

quand T ---+ 00. Nous croyons que ce vecteur devrait être uniformément

distri-bué sur 'll.'N pour N = 7r(Y) dans une région maximale y S; (1

+

o(l))logT. Afin d'attaquer cette conjecture, nous avons utilisé l'analyse de Fourier sur 'll.'N. En

[BMV], J.T. Barton, H.L. Montgomery et J.D. Vaaler ont construit des poly-nômes trigonométriques à N variables, qui fournissent une approximation précise pour la fonction caractéristique d'un produit cartésien de N intervalles ouverts (voir théorème 3.8.1 du chapitre 3). Ces polynômes sont en quelques sorte la gé-néralisation des polynômes de Selberg en une variable (voir

[Mo]).

En utilisant cette construction et l'analyse de Fourier sur 'll.'N, on prouve que le vecteur V(t)

est uniformément distribué sur 'll.'N, dans la région y S; y'log T / (log2 T)2 incon-ditionnellement, et dans la région y S; (logT)/10 en supposant la conjecture de S. Lang et M. Waldshmidt sur les formes linéaires en logarithmes (voir

[Lan],

Introduction to chapter X and XI, p. 212) :

Conjecture 0.0.2. Soit bi des entieTs, et ai des entieTs positifs lels que log ai

(20)

B = maxl:5j:5n Bj. Alors pour tout

E

> 0, il existe une constante positive

C(E),

tel que

C(E)nB

Ibllog al

+

b2 log a2

+ ... +

bn log anl

>

(BI ... Bnal ... an)HE

En effet on prouve

Théorème 0.0.5

(Y.

Lamzouri [Lam3]). Soit 2 < Y un nombre réel. Pour tout

1 ::::; j ::::; 7r(Y), soit Ij C (0,1) un intervalle ouvert de longueur

6

j

>

O. On définit M(h, ... ,I7r(Y)) := meas

{t

E [T,2T] :

{t

1~!Pj

} E Ij, pour tout 1 ::::; j ::::; 7r(Y) } ,

où {.} est la partie fractionnaire. Alors

M(h, ... , I7r(y)) cv T

II

6j,

j:57r(Y)

uniformément pour y ::::; Jlog T / (lOg2 T)2, et 6j

> (lOg2 T)

-5/3 .

Théorème 0.0.6

(Y.

Lamzouri [Lam3]). Si on suppose la conjecture 0.0.2 vé-rifiée, alors sous les mêmes conditions que le théorème O. O. 5, on a

M(h, ... , I7r (y)) cv T

II

6j,

j:5 7r(Y) uniformément pour y ::::; (log T) /10, et 6j

> (log T t

3

/2.

En suivant les idées de la preuve du théorème 0.0.4 et en utilisant les résultats des théorèmes 0.0.5 et 0.0.6 on déduit que

Théorème 0.0.7

(Y.

Lamzouri [[Lam3]). Soit T

> 0 un nombre r'éel très grand.

Alors il existe deux constantes positive C3

et

C4 telles que

(0.0.4)

uniformément dans la région T ::::; log2 T, et

e

>

T

(0.0.5)

uniformément dans la région

e

>

(lOgT); log2 T, et T ::::; (log2 T) /2 - 2log3 T

in-conditionnellement, et pour T ::::; log2 T - log 10 si on suppose que la conjecture

(21)

A partir de ce résultat nous pouvons déduire que presque toutes les valeurs ((1 +it)

possédant des grandes normes sont concentrées autour de l'axe réel positif. En effet en comparant les équations (0.0.2) et (0.0.4), on prouve que

Corollaire 0.0.1 (Y. La~zouri [Lam3]). Soit T, T ~ 00 Lel que T ::; log2 T

-loga T. Alors pour presque tout LE 2T], tel que 1((1 + iL)1

>

e'YT, on a

1 arg

((1

+

iL)1 ::; (log T)y'log2

T /T.

De plus l'ensemble des exceptions possède une

mesure ~ exp(-exp(T+ (logTlog2T)/2)).

Soit T ~ lOg2 T un nombre réel très grand. La dernière partie de nos résultats

concerne la distribution de l'argument de ((1

+

it) pour les valeurs L E [T,2T] véri-fiant 1((l+iL)1 ~ e7T, et T ~ (1+0(1)) lOg2 La présence du facteur (fP /2)T/ lOgT dans l'énoncé du théorème 0.0.7, peut suggérer un comportement gaussien en l'ar-gument

e.

En effet, en évaluant la fonction caractéristique de arg ((1

+

it) avec un poids naturel, et en se servant du théorème dé Berry-Esseen ([Be], [Es]) nous avons démontré que ces arguments devraient être distribués selon une loi normale d'espérance 0 et de variance 10g(T 1-C)/2eT

- 1-C, où C est définie par (0.0.3). Plus précisément on prouve

Théorème 0.0.8 (Y. Lamzouri [Lam3]). Soit T

>

0 un nombre réel très grand,

1

«

T ~ lOg2 T - 310g3 T un nombre réel, E

et

k , où C est définie par (0.0.3). Soit

eL pour un nombr'e réel x, on définit

AT(T,X)

,~

{t

E

(lT(T) ,

1

1((1

+

it)1

2k

dt

et l/T T (x) :

=

;AT:::C,,T,,X ) '

-,

r

1((1

+

it)12k

dt

inT(T) Alors l/T,rCX)

=

~

lX

e-y2/2dy

+

Ox (

b).

V 27f - 0 0 V log T

Finalement nous généralisons tous les résultats énoncés ci-dessus (sauf le théo-rème 0.0.6 ainsi que la partie conditionnelle du théothéo-rème 0.0.7) pour la famille

(22)

des fonctions L de Dirichlet au point s

=

1 : L(l, X) (où X varie parmi les carac-tères non-triviaux modulo un grand premier

q).

Une discussion de ces résultats est présentée à la section 3.10 du chapitre 3.

LA DISTRIBUTION DES VALEURS DES FONCTIONS

L

AU BORD DE LA BANDE CRITIQUE

Les valeurs des fonctions L au bord de la bande critique (c'est à dire sur la ligne Re(s) = 1) encodent souvent des informations arithmétiques, algébriques et géométriques intéressantes. Le premier exemple est le fait que ((1

+

it)

i=

0 implique le théorème des nombres premiers. Aussi la formule du nombre de classes, prouvée par Dirichlet en 1839, relie le nombre de classe d'un corps quadratique imaginaire à la valeur de la fonction L de Dirichlet au point 1, L(I, Xd) où d est le discriminant du corps. D'autre part soit SJ:(N) l'ensemble des formes modulaires cuspidales primitives normalisées de poids k et de niveau N. Pour toute

f

E

SJ:(N), J.P. Serre

[SerI,

a prouvé que la conjecture de Sato-Tate est vraie pour

f

si et seulement si les fonctions L de puissances symétriques de f :

L(s,

Symm f)

ne s'annulent pas sur la ligne Re(s) = 1, pour tout mEN. Ce résultat a été

récemment exploité par Taylor et collaborateurs qui ont prouvé la conjecture de Sato-Tate pour certaines courbes elliptiques ne possédant pas de multiplication complexe.

La distribution des valeurs des fonctions L sur la ligne Re( s) = 1 a été in-tensivement étudiée durant ces dernières décennies. On peut citer le travail de A. Granville et K. Soundararajan [GS4] dans le cas de ((1

+

it);

P.D.T.A Elliott

([Ell]

et [E12]) ,

H.L. Montgomery et R.C. Vaughan

[MV],

et A. Granville et

K. Soundararajan [GS2] dans le cas des fonctions L de Dirichlet de caractères quadratiques L(I, Xd) ; W. Duke

[Du]

dans le cas des fonctions L d'Artin, et le travail de J. Ccigdell et P. Michel

[CM],

L. Habsieger et E. Royer

[HR],

Y.-K. Lau et J. Wu

[LW],

J.Y. Liu et E. Royer et J. Wu

[LRW],

E. Royer

([Ro:!.]

et

[Ro2]) ,

et E. Royer et J. Wu

([RWl] et [RW2])

dans le cas des fonctions L de puissances symétriques des formes automorphes de GL2 .

(23)

Dans le cas des fonctions L de caractères quadratiques, H.L. Montgomery et

R.e

Vaughan

[MV]

furent les premiers à construire un modèle probabiliste afin

d'étudier la distribution de cette famille au point s = 1. En se basant sur ce

modèle ils ont ainsi conjecturé que la queue de la fonction de distribution doit

être double exponentiellement décroissante. En 2003, A. Granville et K.

Sounda-rarajan [GS2] ont évalué les grands moments de L(l, Xd) et déduit une formule

,

asymptotique pour cette fonction de distribution, prouvant ainsi la conjecture de

Montgomery et Vaughan. Plus précisément soit

<Px (T)

la proportion des

discrimi-nants fondamentaux

d

vérifiant

Idl ::;

x, et L(l, Xd)

>

elT, pour T

> O.

Granville

et Soundararajan ont prouvé qu'uniformément pour 1

«

T ::; log2 x on a

(0.0.6) où

1

1 dy

joo

dy

Cl := 1

+

log cosh

yz

+

(log cosh

y - Y)z

= 0.8187 ...

o y 1 Y

On peut remarquer que

<Px(T)

possède une formule asymptotique (0.0.6) très

similaire à la formule (0.0.2) obtenue par Granville est Soundararajan dans le cas

de 1((1

+

'il) 1. En effet en vue de l'équation (0.0.2) et en faisant un simple calcul

on pourra voir que dans le cas de ((1

+

it)

on a

<PT( T)

= exp ( -

eT~C2

(1

+

0 (

~

) ) ) ,

uniformément pour 1

«

T ::; log2 T - 20, où

C2 := 1

+

t

log

Io(Y)

d;

+

joo(lOgIo(Y) _

y)d;.

Jo

y 1 Y

Récemment, J.Y. Liu, E. Royer et J. Wu [LRW] ont étudié la distribution

des valeurs des fonctions L de formes automorphes au point s = 1 par rapport au

poids. En suivant les idées de Granville et Soundararajan, ils ont démontré que la

fonction de distribution des valeurs L(l, f) f varie parmi les éléments de Sf(l),

possède exactement la même forme que (0.0.2) et (0.0.6) mais avec une constante

différente C3 qui est étroitement liée au modèle probabiliste correspondant à leur

famille.

Dans le deuxième article de cette thèse qui sera présenté au chapitre 4, nous étudions la distribution d'une classe générale de modèles probabilistes et nous

(24)

dérivons plusieurs applications à la distribution des valeurs de divers familles de fonctions L au bord de la bande critique. Parmi les nouveaux résultats obtenus nous prouvons des formules asymptotiques pour ces fonctions de distribution,

similaires à (0.0.6), ainsi qu'une formule générale pour la constante qui y apparaît,

en fonction du modèle probabiliste correspondant.

Soit d un entier positif, et P l'ensemble des nombres premiers. Pour pEP et

1 :; j :; d, soit Oj(p) des variables aléatoires ayant leurs valeurs dans

[-1f,1f]

et

vérifiant les conditions naturelles suivantes:

Condition 1. lE(ëj(p))

=

0, pour tout pEP et 1 :; j :; d.

Condition 2. Oj(p) et Ok(q) sont des variables aléatoires indépendantes pour

p

=1

q.

Condition 3. Les variables aléatoires X (p) .

ment distribuées, pour tout pEP.

eiBj(P) / d, sont

identique-Condition 4. Il existe une constante a

>

0 tel que pour tout premier p et

tout E

> 0,

on a Prob

(101

(p)

1 :;

E, ... , 10d{P)

1 :;

E)

Ȏ".

On définit les produits Eulériens suivants

d ( e iBj (p)-1

L(l,X) :=

rI rI

1-pEP j=l P

Notre premier résultat consiste à donner une estimation pour

On prouve

Théorème 0.0.9

(Y.

Lamzouri [Lam4]). Soit d un entier positif. P07.tr 1 :; j :; d

et

pEP,

soit O,i

(p)

des variables aléatoires ayant leurs valeurs dans

[-1f,

1f

1

et

vérifiants les conditions 1-4- Pour' T

»

1, on a

Ax { log lE ( eRe(X)t) et

f(t)

:= log lE (eRe(X)t) siO:;t<l

t

si 1 :;

t,

(25)

et X est une va'riable aléatoire possédant la même distribution que les X (p). De plus Ax est convergent pa'r le lemme 4.2.1 du chapit're

4.

Ce théorème généralise les résultats de Granville et Soundararajan ([GS2] et

[GS4]) et de Liu, Royer'et Wu [LRW]. En effet les modèles probabilistes cor-respondants aux familles 1((1

+

it)l,

L(I, Xd) et L(I,

f)

vérifient les conditions 1-4.

J. Cogdell et P. Michel

[CM],

ont étudié la famille des fonctions L de k-ième puissance symétrique des formes modulaires cuspidales primitives de poids 2 par rapport au niveau. Dans leur travail, ils ont évalué les moments complexes de cette famille au point s = 1, uniformément par rapport au niveau, et montré que ceux-ci coïncident avec les moments d'un modèle probabiliste adéquat (construit à partir de la mesure de Sato-Tate), s'ils supposent l'automorphie de ces fonctions

L:

Hypothèse

Symk(q) :

Pour tout

f

E S~(q) la fonction

L

de la k-ièmepuis-sance symétrique de

f

est automorphe, ce qui veut dire qu'elle coïncide avec la fonction L d'une certaine représentation cuspidale automorphe de GL(k

+

1)/Q. Cette hypothèse est prédite par les conjectures de fonctorialité de Langlands et est effectivement prouvée pour les puissances symétriques 1 ::; k ::; 4.

En vue de la formule de Petersson (voir chapitre 1), il est plus naturel de considérer la fonction de distribution harmonique

wf := 1/(47r(1,

J)q)

est le poids harmonique. Cogdell et Michel

[CM]

ont aussi noté qu'il serait intéressant de trouver une bonne estimation pour cette fonction uniformément par rapport au niveau, en utilisant leur résultats sur les moments. Liu, Royer et Wu ont indiqué en [LRW] que leur méthode pourrait fonctionner dans ce cas, mais qu'il y aurait possiblement plus de difficultés tech-niques. En combinant le théorème 0.0.9 et les résultats de Cogdell et Michel, nous avons obtenu une estimation de la même forme que (0.0.6) pour cette fonction de

(26)

distribution. Ceci est essentiellement dû au fait que le modèle probabiliste cor-respondant vérifie les conditions 1-4. En dfet, dans ce cas, les variables aléatoires

f)j(p) sont données par f)j(p) = (k - 2j)ep pour 0 ~ j ~ k où les {f)PhEP sont des variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées selon la mesure de Sato-Tate ~ sin2(f))df) sur [0,7r]. On prouve

Théorème 0.0.10

(Y.

Lamzouri [Lam4]). Soit k

2:

1 un nombre entier et q un

nombre premier très grand tel que l'hypothèse Symk(q) est vérifiée. Alors unifor-mément pour r ~ log2 q - log3 q - 2log4 q on a

4)q(Symk,r) = exp ( -

eT~Ak

(1

+

0

(Jr))),

où A = 1

+

1

1

hk(t) dt

+

('oc

hk(t) - t dt et

k 0

t

2 JI

t

2

hk(t) = log

(~111"

exp (_t_

t

cos(f)(k - 2j ))) sin2 f)df)) .

7r 0 k

+

1 j=O

Une autre application de notre travail concerne la distribution des fonctions

L de la classe de Selberg en l'aspect t au bord de la bande critique. Cette classe

S, introduite par A. Selberg [Sel] (voir aussi la belle description de cette classe par J. Kaczorowski et A. Perelli

[KP1]),

est la classe des séries de Dirichlet

F(s) _

-

~

~

aF(sn),

pour Re

( )

s > 1,

n

n=l

vérifiant les axiomes suivants

Axiome 1. Analyticité:

(S-I)IF(s)

est une fonction entière d'ordre fini pour un certain entier l

2:

o.

Axiome 2. Hypothèse de Ramanujan :

aF(

n)

«E

nE pour tout E

>

o.

Axiome 3. Équation fonctionnelle: il existe une fonction /F(

s)

de la forme k

/F(S) =

EQ~

II

r(Wi S

+

/-Li),

i=l

lEI

= 1,

QF

>

0, Wi

>

0 et Re(/-Li)

2:

0 sont tels que la fonction L

complétée

<1>(

s) = /F( s )F( s) vérifie l'équation fonctionnelle

(27)

Axiome 4. Produit Eulérien: aF(I) = 1, et

00 b

log F (s) = " " ~ns ~,

n=l

bn = 0 excepté quand n est de la forme pT p est un nombre premier

et r un entier positif. De plus on a bn

«

pour une certaine constante

À

<

1/2.

Soit F E S. Notre but sera d'étudier la distribution des grandes valeurs de

IF(1

+it)1

t E [T,2T], quand T tend vers l'infini. À cette fin, nous construisons un modèle probabiliste basé sur la fonction complètement multiplicative (pour la définition voir chapitre

2)

X(.), où les {X (p)}p premier sont des variables aléatoires indépendantes et uniformément distribuées sur le cercle unité lU, et pour un entier positif n = p~l ... p~r on a X(n) := X(Pl)a1 ... X(PT)Or. On définit alors les séries aléatoires

F(I, X) :=

f

aF(n)X(n) , (ces séries convergent avec probabilité 1).

n=l n

En premier lieu on prouve que les grands moments entiers de jF(1

+ it)1

et ceux de jF(l, X)I sont asymptotiques, si on suppose que notre fonction L vérifie une forme plus forte de l'axiome 2 en moyenne:

(0.0.7) On prouve

Théorème 0.0.11 (Y. Lamzouri [Lam4]). Soit F E S et vérifie l'équation(O. O. 7).

Soit T

>

0 un nombre réel très grand, et soit A

>

O. Alors pour tous les entiers positifs k vérifiant 1

:S

k

:S

log T / (B log2 T log3 T) (pour une certaine constante B = B(A, F) très grande) , on a

~

{2l' IF(1

+

it)1

2k

dt

=

lE

(IF(I,

X)1

2k)

(1

+

0

(+)) .

T il' log T

Ainsi la prochaine étape sera d'étudier le modèle probabiliste afin de déduire des informations sur la fonction de distribution de IF(1

+

it)l.

Pour faire une étude précise, nous aurons besoin de plus de propriétés de la part de la fonction

(28)

,

et sont suggérées par le programme de Langlands (qui prédit que les fonctions

L proviennent de représentations automorphes de GL(m) sur Q). Donc il est plausible de croire que ces propriétés seront saisfaites pour toutes les fonctions de la classe S :

1. F possède un produit Eulérien dont les facteurs sont des polynômes en 1/ pS

, ce qui veut dire qu'il existe un entier positif d (dit le degré de F) tel

que

F(s) =

il

fI

(1 -

Œi'Fs(P)) -1 , pour Re(s)

>

1,

(0.0.8)

pEP i=1 P

Œi,F(P) -10 pour tout les premiers sauf au plus un nombre fini. 2. Les paramètres locaux aF(p) =

'L.1=1

Œi,F(P) sont bornés.

La sous-classe des fonctions L de S qui vérifient ces deux propriétés sera notée

S*.

Par ailleurs, pour la plupart des fonctions L de S* nous croyons que les valeurs

laF(p)1 sont régis par une certaine loi de distribution, ou plus précisément qu'il existe une fonction de distribution à support compact 'Ij;(t) , telle que

7r!x) I{p

~

x : laF(p)1 E I}I '"

1

'Ij;(t)dt,

quand x -+ 00, pour tout intervalle l de IR.

(0.0.9)

Cette propriété est satisfaite pour les fonctions L de degrée 1 (car dans ce cas laF(p)1 = 1 pour tout sauf au plus un nombre fini de premiers), et pour les fonctions L de formes automorphes si on suppose la conjecture de Sato-Tate (qui a été établie pour les fonctions L de certaines courbes elliptiques). Dans notre cas nous aurons besoin d'une version légèrement uniforme de (0.0.9) :

Hypothèse D. Il existe une fonction de distribution à support compact 'Ij;(t) (dont le support est inclus dans un certain intervalle

[0,

U]), telle que pour toute fonction continue 9 on a

~g(\ap(p)\) ~ ~(x)

( [

g(t)'i,(t)dt

+

0

Co~x)

) ,

quand

x

~

00.

Soit F E S* vérifiant l'hypothèse D. Posons

(29)

On peut alors facilement prouver que

et donc déduire que le produit

b F

.~

,TI

,.IT'~'1

g

(1 -

ei< "'';:

(p)) -, (

1 -

~

r

est convergent On définit

(0.0.10) Nous allons prouver une formule asymptotique de cette fonction de distribution

Théorème 0.0.12

(Y.

Lamzouri [Lam4]). Soit T

>

a

un nombre réel très grand. Soit F E S* vérifiant l'hypothèse D (avec fonction de distribution 'Ij;). Alors uni-formément dans la région 1

«

T ::; log2 T - log3 T - 210g4 T, on a

Dans les équations (0.0.2), (0.0.6) et dans les énoncés des théorèmes 0.0.9 et 0.0.10, la constante apparaissant dans l'asymptotique de la fonction de dis-tributioll dépend uniquement du modèle probabiliste. Cependant dans le cas du théorème 0.0.12, cette constante contient deux parties, la première C2 dépend sur le modèle aléatoire, et la seconde M / N - log N dépend sur la fonction 'Ij; qui régit la distribution des

laF

(p)

1.

Cette dernière constante s'annulle dans le cas des fonctions L de degré 1, mais est nOll-nulle pour les fonctions L de courbes elliptiques (par la conjecture de Sato-Tate). Ainsi il parait naturel et nécessaire de supposer la validité de l'hypothèse D, (ou au moins l'existence de la fonction de distriution 'Ij;(t)) si on veut estimer la fonction de distribution des grandes valeurs de F(l

+

'il).

Soit 7r une représentation automorphe cuspidale de GL(m)/rQ. La fonction

L normalisée de 7r (telle que la bande critique soit

a ::;

Re( s) ::; 1) peut être exprimée comme une série de Dirichlet

L(7r, s)

=

~

a7f(11,) ,

pour

Re(s)

>

l.

~

11,8

(30)

Elle admet un prolongement méromorphe au plan complexe, elle n'a pas de pôles

sauf possiblement à s = 1, possède un produit Eulérien de la forme (0.0.8) de degré

m, ainsi qu'une équation fonctionnelle du même type que l'axiome 3. On considère

les formes 7r qui sont auto-duales (donc a7r (n) E

lR)

et dont les {a7r(p)}PEP sont

bornés et vérifient l'hypothèse D (avec fonction de distribution 'IjJ). Soit d un

discriminant fondamental. On considère le tordu de

L(s,

7r) par l'unique caractère

quadratique modulo d

L(

7r 0 Xd, S

)

-

-

Loo

a7r (n)Xd(n) , pour Re ( ) s

>

1. nS

n=l

Soit X un nombre réel très grand. La dernière partie de notre travail concerne

l'étude de la distribution des grandes valeurs de L(7r 0 Xd, 1) pour

Idl

:S

x.

Simi-lairement à (0.0.6) soit <P7r (T) la proportion des discriminants fondamentaux d tel

que

Idl

:S

x, et vérifiant L(7r 0 Xd, 1)

>

b7r(e"fT)N,

N =

lU

t'IjJ(t)dt, et M:=

lU

t 10gt'IjJ(t)dt,

et

b7r :=

II

max

fI

(1-8CYi,F(P))-l (1-

~)N

6E{ -l,l} . P P

pEP 2=1

On prouve de façon analogue au théorème 0.0.12, le résultat suivant

Théorème 0.0.13 (Y. Lamzouri [Lam4]). Soit 7r une représentation automorphe

cuspidale auto-duale de G L( m)

/Q,

telle que les {a7r (p )}PEP sont bornés et vérifient l'hypothèse D (avec fonction de distribution 'IjJ). Soit x

>

0 un nombre réel très grand. Alors uniformément pour' 1

«

T

:S

log2 X - log3 X - 210g4 x, on a

(

e-CI-M/N+logN )

<P7r(T) = exp - T (1

+

0(1)) .

VALEURS FRIABLES DES ITÉRÉES DE LA FONCTION PHI DE EULER

Les entiers sans grand facteurs premiers, souvent appelés nombres friables, jouent

un rôle central dans plusieurs sujets de la théorie des nombres. En effet, la connais-sance de la structure multiplicative de ces entiers fournit non seulement d'im-portantes conséquences arithmétiques mais aussi des applications pour plusieurs algorithmes de cryptographie.

(31)

Soit cjJ(n) la fonction Phi de Euler. On définit cjJo(n)

=

n et cjJk+l(n)

=

cjJ(cjJk(n))

pour tout k

2::

o.

La fonction Phi et ses itérées sont des objets importants en

théorie des nombres puisqu'elles sont présentes dans plusieurs faits et résultats

clés. Par exemple on note que cjJ(q) est le nombre d'entiers positifs copremiers avec

et plus petits que q, qui compte aussi le nombre de caractères de Dirichlet modulo

q. Par ailleurs le nombre de racines primitives modulo n est cjJ(cjJ(n)) = cjJ2(n). Il

existe plusieurs résultats sur la distribution des valeurs de ces fonctions

CPk.

On

peut citer les travaux de P. Erdos

([Erl]

et

[Er2]) ,

P. Erdos,

A.

Granville, C.

Pomerance et C. Spiro [EGPS], P. Erdos et C. Pomerance

[EP],

C. Pomerance

[Po]

et H. Shapiro [Sh].

En effet ces fonctions sont intéréssantes puisque leurs structures

multiplica-tives sout étroitement liées à celle des entiers de la forme p-1 p est un nombre

premier (dont le comportement est aussi relié à la distribution des premiers dans les progressions arithmétiques). Une conjecture fameuse affirme que la

distribu-tion des facteurs premiers de p - 1 où p varie parmi les nombres premiers est

similaire à celle d'un entier aléatoire. Plus précisément on définit

w(x,y)=I{n::;x:pln ~ p::;y}\,

et 7f(x,y) =

I{p::;

x: qlp - 1 ==} q::; y}l·

Conjecture 0.0.3. Soit U

2::

1. Si Xl/U ::; y ::; x alors

7f(x, y) w(x, y)

quand x ---+ 00.

7f(x) x

Cette conjecture fût citée dans les travaux de C. Pomerance

[Po]

et de C.

Pomerance et I.E. Shparlinski

[PS],

alors qu'une version légèrement différente a

été déjà implicite dans le travail de P. Erdos

[Erl].

En supposant cette conjecture

on peut déduire une formule asymptotique pour 7f(x, y) à partir de celle connue

de w(x, y)

w(x,y)

cv

xp(u)

quand

x

---+ 00 où

x

=

yU,

p(

u)

est la fonction de Dickman-de Bruijn, définit comme l'unique solution

de l'équation différentielle aux différences

up'(u)

=

-p(u -

1) pour

u

2::

1, et

vérifiant la condition initiale

p(

u) = 1 pour 0 ::; u ::; 1. (Voir chapitre 2 pour plus

(32)

Soit P un ensemble de nombres premiers. On définit w(x, P) =

I{n

~ x:

pin

===}

p

E p}l,

et n(x,P) =

I{p

~ x:

qlp -

1 = ?

q

E p}l·

On pourrait deviner que la conjecture 0.0.3 reste vraie en général pour l'ensemble

P, autrement dit

n(x, P) n(x)

w(x,P)

x quand x - 7 00,

sous certaines conditions sur l'ensemble P:

(0.0.11)

A. Granville (non-publié) a démontré que la conjecture 0.0.3 est vraie, si on suppose la validité de la conjecture de Elliott-Halberstam (E-H) qui affirme que

L

max max In(y; q, a) y5,x (a,q)=l

q5,x1 -' .

n(y) 1

4J{q)

«e,A

x

Une version faible de cette conjecture est la suivante: Conjecture 0.0.4. Soit f.

> O. Alors

L

In(x; d,

1) -

n(~)

1 0 (n(x)) quand x - 7 00.

d5,x1 - '

4J( )

Nous allons prouver une version de (0.0.11) conditionnellement à la conjecture

O.OA; plus précisément on prouve:

Théorème 0.0.14 (Y. Lamzouri [Laml]). Supposons que la conjecture 0.0.4 est

vraie. Soit P est un ensemble de nombres prem'Îers plus petits que x, tel q1te

Alors on a n(x, P) rv

II

(1

n(x) d p'!'p w(x,P) ---'---'--'- quand x - 7 00. X

On pourrait remarquer qu'il y a un facteur de plus dans l'énoncé du théorème

0.0.14 comparé à notre conjecture 0.0.11. En effet, soit q un nombre premier; alors

la probabilité qu'un entier aléatoire n soit divisible par q est l/q. Par ailleurs la

probabilité qu'un entier aléatoire de la forme p -1 (où p est premier) soit divisible

(33)

entre les deux probabilités est négligeable quand q est très grand, cependant il

faudrait ajouter le facteur de correction suivant pour les petits premiers q

1 q~I 1

- - ' - : 1 - = 1 - .

1-

q

(q-1)2

Notons que ce facteur n'apparaît pas dans certains cas spéciaux où P contient

tous les petits premiers (voir le lemme 5.2.1 du chapitre 5).

En utilisant le résultat du théorème 0.0.14, nous allons démontrer une

asymp-totique pour le nombre d'entiers

n

S

x

tels que

<Pk(n)

est y-friable (tout ses

facteurs premiers sont plus petit que y). Plus précisément soit

Nous allons prouver le résultat suivant

Théorème 0.0.15 (Y. Lamzouri [Lam1]). Supposons q'ue la conjecture 0.0.4 est

vraie. Soit

U

> 1

fixé. Si

Y

=

Xl/u où 1 SuS

U,

alors <Pk(X,

y)

rv XO'k(U) quand x -; 00,

où O'k(U) 1 pour' U S 1, et UO'k+I(U) =

lU

O'k+I(U t)O'k(t)dt for U ;:: 1; et tel que O'o(u) p(u) = ((e

+

o(l))/ulog(u))u. De plus, pour tout k ;:: 1; on a

() ( 1

+

o(

1 ) ) U

O'k U =

logk (u) logk+l (u)

La première étape de la preuve consiste à utiliser des arguments combinatoires

afin d'approximer les fonctions <p"Jx, y) par w(x,

Pk),

Pk

sont des ensembles

de premiers définis récursivement par Pk+I = {p S

x :

qlp 1 =::} q E Pk}, et

tel que

Po

=

{p

S y}.

En effet on prouve

Proposition 0.0.1 (Y. Lamzouri [Lam1]).

On pourrait remarquer que ces ensembles Pk vérifient l'identité intéressante

IPki

1T(X,

Pk- I ). Ainsi la prochaine étape pour prouver le théorème 0.0.15 est

d'établir une relation entre IFI et w(x, P) pour un ensemble de premiers P, afin de

(34)

par Granville et Soundararajan [GSt] lors de leur étude sur le spectre des valeurs moyennes de fonctions multiplicatives. Ils ont établit la proposition suivante:

Proposition 0.0.2 (Proposition 1 de [GSt]). Soit f une fonction multiplicative vérifiant If(n)1

::s;

1 pour tout n, et f(n) = 1 pour n

::s;

y. Soit e(x)

L

log(p)

et

1

X(u) := e(

u)

L

f(p) log(p).

Y PSoY"

Alors X(t) est une fonction mesumble telle que x(t) = 1 pour t

<

1. Soit 0' l'unique solution de l'équation intégmle aux différences:

uO'(u)

=

lU

O'(U - t)x(t)dt pour' u

>

1,

sous la condition initiale O'(u) = 1 p01tr 0

::s;

u

::s;

L Alors lu

L

f(n) = O'(u)

+

0

(10

u( )) .

y nSoY" g y

(0.0.12)

À partir de ce résultat et par un argument de sommation partielle nous pou-vons déduire

Corollaire 0.0.2. Soit U

>

1 fixé. Soit P un ensemble de premiers plus petits que x et tel que Po

ç

P; et soit f une fonction complètement multiplicative telle que f(p) 1 si pEP et vaut 0 8inon (ainsi f(n) = 1 p01.Lr tout n

::s;

y). Pou'('

1

::s;

u

::s;

U, on définit 1 X(u) :=

7f( u)

L

L Y pEP pSy" Alors

où 0' est l'unique solution de l'équation (0.0.12).

Ainsi la dernière étape de notre preuve du théorème 0.0.15 consiste à étu-dier les solutions 0' de l'équation (0.0.12) et leurs comportements asymptotiques

quand u - t 00. Dans plusieurs cas intéressants, la fonction

X(

u) décroit comme

({1

+

o(l)}jh(u)t

h

est une fonction positive croissante. Ainsi on prouve:

Théorème

0.0.16 (Y. Lambouri

[Laml}).

Soit X une fonction réelle mesumble telle que X(t) 1 pour 0

::s;

t

::s;

1, et 0

::s;

X(t)

::s;

1 pour t

> L De plus, supposons

(35)

i)

J;

X(t)dt = 0 pour une certaine constante T. Dans ce cas on définit T

=

min{t :

J;

X(t)dt =

O}

pour éviter la redondance, et on suppose que T

>

l. ii) X(t) = ({1

+

o(l)}jh(t))t, où h(t) est une fonction croissante et positive

et h(t) -- 00 quand t --00.

Soit a l'unique solution correspondant à X de l'équation (0.0.12). Alors

(

/

00 x(v)eç(u)v )

a(u) = exp (-ç(u)

+

o(l))u + 1 V dv,

ç(u) est l'unique solution de u =

1

00

x(v)eÇ(U)Vdv.

Par ailleurs, nous avons pu obtenir des asymptotiques explicites dans plusieurs cas intéressants. En effet nous allons prouver

Proposition 0.0.3 (Y. Lamzouri [Laml]). Soit X une fonction réelle mesurable

vérifiant X(t) = 1 pour 0

:s;

t

:s;

1, et 0

:s;

X(t)

:s;

1 pour t

>

1. Supposons que

J;

X(t)dt

=

0 pour une certaine constante T.

On définit T

=

min{t :

J;

X(t)dt =

O}

pour éviter la redondance, et on suppose que T

> 1. Alors

ç(u) =

IO~U)

(1

+

0(1)), et ( ulog(u) ) a(u) = exp - T (1

+

0(1)) .

Proposition 0.0.4 (Y. Lamzouri [Laml]). Soit X une fonction réelle mesurable

vérifiant X( t) = 1 pour 0

:s;

t

:s;

1, et 0

:s;

X (t)

:s;

1 pour t

> 1; et supposons que

X(u) = ({1

+

o(l)}jh(u)t où h vérifie les conditions suivantes:

i)

h est positive et croissante et telle que h(u) -- 00 quand u -- 00.

ii) h est continument différentiable et vérifie uh' (u) j h( u) -- n, quand u -- 00

pour un certain nombre réel n

2

o.

On considère deux cas: a) 0

<

n et b) n = O.

Alors

(

1+0(1)

)U

a(u) = h((log(u)) , où (

=

ejn dans le cas a) et (

=

1 dans le cas b).

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