2.15 Théorème de structure des groupes abéliens finis
Référence :G. Peyré, L’algèbre discrète de la transformée de Fourier, Ellipses, 2004.1 Leçons concernées : 102, 104, 107, 110, 120.
Lemme 1(Prolongement des caractères). Soit G un groupe abélien fini, et soit H Ä G un sous-groupe de G. Alors tout caractère de H peut être prolongé en un caractère de G. Démonstration. On montre le résultat par récurrence sur rG : Hs l’indice de H dans G. Si rG : Hs “ 1 alors G “ H et donc le résultat est trivial. Supposons maintenant que rG : Hs ° 1. Alors il existe x P GzH. On considère donc K “† x, H °. On note n le plus petit entier naturel non nul tel que xnP H, c’est-à-dire l’ordre de xH dans G{H, alors tout élément z P K s’écrit de façon unique z “ yxk avec y P H et k P r|0, n ´ 1|s. En effet, l’existence d’une telle écriture est claire par définition de K et de n, et si yxk “ y1xk1 avec y, y1 P H et 0 § k § k1 § n ´ 1, alors xk´k1 “ y1y´1 P H et donc k “ k1 par minimalité de n.
Soit alors P pH, que l’on cherche à prolonger à K. On procède par analyse synthèse. Analyse : soit r P pK un tel prolongement. On note ⇣ “ rpxq, qui vérifie alors ⇣n “ rpxqn “ rpxnq “ pxnq. Ainsi, ⇣ est une racine n-ème de pxnq. Le prolongement r est ainsi défini par :
rpyxkq “ pyq⇣k.
Synthèse : soit ⇣ un racine n-ème de pxnq et r défini comme précédemment. Il nous suffit alors de montrer que r est bien un morphisme de groupes. Soit z “ yxk et z1“ y1xk1 deux éléments de K. On distingue alors deux cas :
- si 0 § k ` k1 § n ´ 1, alors
rpzz1q “ rpyy1xk`k1q “ pyy1q⇣k`k1 “ pyq⇣k py1q⇣k1 “ rpzqrpz1q - si n § k ` k1§ 2n ´ 1, alors
rpzz1q “ rpyy1xnxk`k´n1q “ pyq py1q pxnq⇣k`k1´n“ rpzqrpz1q car pxnq “ ⇣n.
On a ainsi prolongé à K. Or, par multiplicativité des degrés, rG : Hs “ rG : KsrK : Hs et donc puisque rK : Hs ° 1, rG : Ks † rG : Hs et on peut appliquer l’hypothèse de récurrence et prolonger r à G, ce qui termine la preuve.
1. Il n’y a que le lemme dedans, le reste étant inspiré de développements rédigés.
Théorème 2(Structure des groupes abéliens finis). Soit G un groupe abélien fini. Alors il existe r P N˚ et n
1, . . . , nrP N˚ tels que nr| ¨ ¨ ¨ | n1 et G– Z{n1Z ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ Z{nrZ. En particulier, |G| “ n1¨ ¨ ¨ nr et l’exposant de G est n1.
Démonstration. On montre le résultat par récurrence sur |G| : si |G| “ 2, alors G – Z{2Z et le résultat est démontré. On suppose maintenant |G| “ n • 3. On note n1l’exposant de G, et soit x P G d’ordre n1(qui existe car G est abélien). On considère H “† x °– Z{n1Z – Un1.
Si H “ G alors le résultat est démontré, on suppose donc maintenant H différent de G. On note l’isomorphisme H – Un1, qui est donc un caractère de H. On le prolonge par
le lemme précédent à un caractère r de G. Par définition de l’exposant, pour tout g P G, gn1 “ 1 et donc r est à valeurs dans U
n1, on peut donc considérer le morphisme de groupes
suivant :
' : G Ñ H ˆ G{H
g fiÑ ` ´1˝ rpgq, gH˘
qui est un isomorphisme. En effet, si g P kerp'q, alors gH “ H et donc g P H, ainsi 1“ ´1˝ pgq “ g et donc g “ 1, c’est-à-dire que ' est injectif. Par cardinalité on conclut que ' est bijectif. On peut alors appliquer l’hypothèse de récurrence à G{H abélien fini d’ordre |G{H| “ |G|{n1 † |G| pour obtenir r P N˚ et n2, . . . , nrP N˚ tels que nr | ¨ ¨ ¨ | n2 et
G{H – Z{n2Z ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ Z{nrZ
ce qui nous donne l’isomorphisme recherché. Il nous reste à vérifier que n2 | n1, ce qui s’obtient grâce au fait que p0, 1, 0, . . . , 0q P Z{n1Z ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ Z{nrZ est d’ordre n2 qui divise donc l’exposant du groupe n1.
Définition 3. L’exposant d’un groupe fini G est le plus petit entier n tel que gn“ 1 pour tout g P G.
Proposition 4. L’exposant d’un groupe abélien G est N “ ppcmtopgq, g P Gu et il existe un élément d’ordre N dans G.
Démonstration. On montre que pour tout x, y dans G d’ordre n, m, il existe un élément z de G d’ordre ppcmpn, mq, ce qui montre la proposition à l’aide d’une récurrence immédiate. On montre d’abord le résultat dans le cas où m et n sont premiers entre-eux. Il est clair que pxyqnm “ 1. D’autre part, si pxyqr“ xryr“ 1, alors en particulier, xrmyrm “ xrm “ 1 ainsi n l’ordre de x divise rm et donc divise r car m^n “ 1. De même m | r et ainsi z “ xy est d’ordre mn “ ppcmpm, nq.
Dans le cas général, on note
k“ π ⌫ppnq•⌫ppmq p⌫ppnq et l “ π ⌫ppmq°⌫ppnq p⌫ppmq. 51
On remarque alors que k et l sont premiers entre-eux, et que kl“ π ⌫ppnq•⌫ppmq p⌫ppnq π ⌫ppmq°⌫ppnq p⌫ppmq“πpmaxp⌫ppnq,⌫ppmqq “ ppcmpn, mq.
Or k | n et l | m, donc x1 “ xn{k est d’ordre k et y1 “ ym{l est d’ordre l, et donc par le premier cas considéré, z “ x1y1 est d’ordre kl “ ppcmpm, nq.
