2.5 Étude de Opp, qq
Référence : P. Caldero, J. Germoni, Histoires hédonistes de groupes et de géométrie, Tome premier, Calvage & Mounet, 2013.
Leçons concernées : 106, 150, 156, 158, 160, 170, 171.
Définition 1. Si p ` q “ n, on note Opp, qq l’ensemble des isométries de GLnpRq pour la
forme quadratique x2
1` ¨ ¨ ¨ ` x2p´ x2p`1´ ¨ ¨ ¨ ´ x2n. Autrement dit, si on note Ip,qla matrice
diagonale par blocs diagpIp,´Iqq,
Opp, qq “ P P GLnpRq | tP Ipp,qqP “ Ipp,qq(.
Lorsque q “ 0, on note simplement Oppq “ OppRq.
On aura besoin du résultat suivant :
Proposition 2. L’exponentielle induit un homéomorphisme exp :SnpRq›Ñ S– n``pRq.
Théorème 3. Si p, q ‰ 0, on a un homéomorphisme Opp, qq – Oppq ˆ Opqq ˆ Rpq.
Démonstration. Étape 1 : on commence par montrer qu’il existe un homéomorphisme Opp, qq – pOpp, qq X Opnqq ˆ pOpp, qq X Sn``pRqq. On utilise pour cela la décomposition polaire : soit M P Opp, qq, il existe pO, Sq P OnpRq ˆ Sn``pRq tel que M “ OS. On va
montrer que O et S sont dans Opp, qq, et pour cela il suffit de vérifier que S l’est. On remarque tout d’abord que Opp, qq est stable par transposition : on a tM I
pp,qqM “ Ipp,qq
donc par passage à l’inverse M´1I
pp,qqtM´1 “ Ipp,qq c’est-à-dire que tM´1 P Opp, qq, et
donc tM P Opp, qq. Maintenant, si T “ tM M, T P Opp, qq, et d’autre part on vérifie que
S2 “ T , donc S2 P Opp, qq. T P Sn``pRq, soit donc U P SnpRq telle que exp U “ T . On a,
par bijectivité de exp : SnpRq Ñ Sn``pRq,
T P Opp, qq ñ texppUqIpp,qqexppUq “ Ipp,qq ñ expptUq “ I
pp,qqexpp´UqIpp,qq “ exp`´ Ipp,qqU Ipp,qq˘
ñtU “ ´I pp,qqU Ipp,qq ñ t2U “ ´Ipp,qqU2Ipp,qq ñ expptU2 q “ Ipp,qqexpp´U2qIpp,qq ñ exppU2q P Opp, qq. 24
Or `exppU2q˘2 “ T “ S2, et par unicité de la racine carré d’une matrice définie positive,
S “ exppU2q P Opp, qq. Ainsi, la décomposition polaire nous fournit un homéomorphisme Opp, qq – pOpp, qq X Opnqq ˆ pOpp, qq X Sn``pRqq. On chercher alors à expliciter les deux groupes mis en jeu.
Étape 2 : on a l’homéomorphisme Opp, qq X Opnq – Oppq ˆ Opqq. En effet, si O “ ˆ
A B C D
˙
P Opp, qq X Opnq, alors puisque O P Opp, qq ñ ˆ t A tC tB tD ˙ ˆ Ip 0 0 ´Iq ˙ ˆ A B C D ˙ “ ˆ Ip 0 0 ´Iq ˙ , on a, en particulier " tAA´tCC“ I p tBB´ tDD“ ´I q
et d’autre part puisque
OP Opnq ñ ˆ t A tC tB tD ˙ ˆ A B C D ˙ “ In, on a en particulier, " tAA`tCC“ I p tBB` tDD“ I q . Ainsi, tCC “ 0, donc TrtCC “ ∞c2
i,j “ 0, et ainsi C “ 0. De même B “ 0, donc
pA, Dq P Oppq ˆ Opqq et on obtient l’homéomorphisme annoncé O fiÑ pA, Dq. Étape 3 : on a l’homéomorphisme Opp, qq X S``
n pRq – Rpq. On a vu lors de la première
étape que exp induit une bijection entre SnpRq X L et Sn``pRq X Opp, qq où L “ tU P
MnpRq |tU Ipp,qq` UIpp,qq“ 0u. Puisque exp : SnpRq Ñ Sn``pRq est un homéomorphisme,
l’application précédente fournit un homéomorphisme. Enfin, si U “ ˆ
A B
tB C
˙
P SnpRq
avec A P SppRq, C P SqpRq et B P Mp,qpRq, alors U P L ñ 2A “ 0 et ´2C “ 0, on a donc
un homéomorphisme SnpRq X L – Rpq donné par U fiÑ B, ce qui conclut la preuve.
Proposition 4. Pour toute matrice T P S``
n pRq, il existe une unique matrice S P Sn``pRq
telle que S2 “ T .
Démonstration. Puisque T P S``
n pRq, il existe P PnpRq et i ° 0 tels que
T “ P ¨ ˚ ˝ 1 p0q ... p0q n ˛ ‹ ‚tP. 25
On pose alors S“ P ¨ ˚ ˝ ? 1 p0q ... p0q ? n ˛ ‹ ‚tP qui vérifie bien S2 “ T . On suppose maintenant que S1 P S``
n pRq vérifie S12 “ T . On
considère Q P RrXs tel que Qp iq “? i pour tout i. On a alors
S “ P ¨ ˚ ˝ ? 1 p0q ... p0q ? n ˛ ‹ ‚tP “ P Q ¨ ˚ ˝ ¨ ˚ ˝ 1 p0q ... p0q n ˛ ‹ ‚ ˛ ‹ ‚tP “ Q ¨ ˚ ˝P ¨ ˚ ˝ 1 p0q ... p0q n ˛ ‹ ‚tP ˛ ‹ ‚“ QpS2q “ QpS12q.
Or S1 commute avec QpS12q, donc avec S, les deux matrices sont donc codiagonalisables :
il existe P0 P GLnpRq et µi° 0, µ1i ° 0 tels que
S“ P0diagpµiqP0´1 et S “ P0diagpµ1iqP0´1.
Or S2 “ S12, donc µ2
i “ µ12i pour tout i, ainsi µi “ µ1i pour tout i, et enfin S “ S1.
