1ère-Période du 22 au 30 juin-Correction

(1)

1

ère

Spé Maths – Période

Fonctions trigonométriques

Mardi 23 juin (2 heures) :

TD dérivées des fonctions trigonométriques 57 p 218

Corrigé exercice 11 :

La fonction sinus s’annule tous les ces points.

Réponse : b

Comme vu dans le cours, la dérivée sur . Réponse : d Corrigé exercice 26 : 1. 2. 3. Corrigé exercice 27 : 1. 2. ; 3. . Corrigé exercice 28 : Pour tout , on a Corrigés exercices 53 à 55 : 53. ;

54.La fonction est le produit de la fonction carré et de la fonction sinus. On obtient alors la dérivée

55.

Période du 22 au 30 juin 2020 – Correct

Fonctions trigonométriques – Valeur absolue

des fonctions trigonométriques : 11, 16 p 211 + 26, 27, 28 p215 + 53, 54, 55, 56,

La fonction sinus s’annule tous les , la fonction n’est donc pas définie et pas dérivable en

Comme vu dans le cours, la dérivée sur de est

; ; . ; . Corrigés exercices 53 à 55 :

est le produit de la fonction carré et de la fonction sinus. On obtient ;

.

Correction

absolue

, 16 p 211 + 26, 27, 28 p215 + 53, 54, 55, 56,

n’est donc pas définie et pas dérivable en

. Donc

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Corrigés exercices 56 et 57

56.La fonction est dérivable pour tout à-dire sur l’ensemble

.

57.La fonction est dérivable pour tout c’est-à-dire sur l’ensemble

TD parité, périodicité : 22, 23, 25 p 215 + 40, 41 p 217 + 42, 44, 45, 51 p Corrigé exercice 22 : 1. Pour tout , donc paire. 2. La courbe représentative de Corrigé exercice 23 : 1. Pour tout , impaire. 2. La courbe représentative de Corrigé exercice 25 : 1. Pour tout , fonction est donc paire. 2. Pour tout , donc impaire. 3. Pour tout , donc paire. 4. Pour tout , paire. Corrigé exercice 40 :

La fonction étant paire, elle admet une symétrie par rapport à l’axe des ordonnées.

7 :

est dérivable pour tout pour lequel le sinus ne s’annule pas, c’est . Pour tout dans cet ensemble, on a

est dérivable pour tout pour lequel le cosinus ne s’annule pas, dire sur l’ensemble . Pour tout dans cet ensemble, on a

.

: 22, 23, 25 p 215 + 40, 41 p 217 + 42, 44, 45, 51 p 217

La courbe représentative de admet l’axe des ordonnées comme axe de symétrie.

La courbe représentative de admet l’origine du repère comme centre de symétrie.

fonction est donc paire.

. La fonction est

. La fonction est donc

La fonction étant paire, elle admet une symétrie par rapport à l’axe des ordonnées.

pour lequel le sinus ne s’annule pas, c’est-dans cet ensemble, on a

cosinus ne s’annule pas, dans cet ensemble, on a

217

. La fonction est admet l’axe des ordonnées comme axe de symétrie.

. Donc est repère comme centre de symétrie.

. La . La fonction est

. La fonction est

. La fonction est donc

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La fonction étant impaire, elle admet une symétrie par rapport à l’origine.

La fonction est -périodique et le bout de courbe tracé est de longueur répéter le morceau donné à droite et à gauche.

La fonction cosinus est invariante par ajout d’un multiple de l’argument du cosinus, on peut conjecturer une période de tout réel

La fonction prend des valeurs comprises entre

fois plus vite. On a donc la courbe rouge qui représente la fonction la fonction .

1. On trouve une période environ égale à distance entre deux minima).

2. On calcule

fréquence du La parfait.

périodique et le bout de courbe tracé est de longueur répéter le morceau donné à droite et à gauche.

La fonction cosinus est invariante par ajout d’un multiple de . Ayant un facteur 2 l’argument du cosinus, on peut conjecturer une période de . On vérifie en calculant pour

. La fonction est bien prend des valeurs comprises entre –2 et 2 alors que la fonction

fois plus vite. On a donc la courbe rouge qui représente la fonction et la courbe verte pour

On trouve une période environ égale à ms (on peut par exemple regarder la distance entre deux minima).

Hz (attention à l’unité). On retrouve à peu près la fréquence du La parfait.

. Il suffit de

. Ayant un facteur 2 dans . On vérifie en calculant pour

-périodique. 2 et 2 alors que la fonction oscille deux

et la courbe verte pour

ms (on peut par exemple regarder la attention à l’unité). On retrouve à peu près la

(4)

Mercredi 24 juin (2 heures) :

 Visio à 14h.

 TD signe de fonctions trigo

1. La fonction est dérivable sur fonctions dérivables sur 2. Comme

fonction est donc décroissante sur

1. La fonction est dérivable sur 2. Pour obtenir les variations de

3. À cause du terme en

est -périodique, on connaît donc son signe sur tout sur tout .

Mardi 30 juin (2 heures) :

Activité A p 44.

Corrigé activité A : Questions :

1. On a : , .

TD signe de fonctions trigo : 31 p 215, 65 p 218, 68 p 219

est dérivable sur car elle on l’obtient par somme et produit de fonctions dérivables sur et pour tout réel,

.

est toujours négatif, est du signe opposé à est donc décroissante sur et croissante sur .

est dérivable sur et l’expression de sa dérivée est Pour obtenir les variations de il suffit de résoudre

.

la fonction n’est pas périodique. En revanche s

périodique, on connaît donc son signe sur tout et donc les variations de

et , puisque

car elle on l’obtient par somme et produit de est du signe opposé à . La

.

n’est pas périodique. En revanche sa dérivée et donc les variations de

(5)

Remarque : Sans utiliser la calculatrice, on sait que : On obtient alors :

2.

a. On a b. On a

3. Voici l’algorithme en langage naturel, puis en Python, calculant la valeur absolue de selon son signe :

Langage naturel est un réel Si : Sinon : Fin Si 4. À l’aide du graphique,

a. voici le tableau de variations de la fonction valeur absolue

b. Le minimum de

admettre de maximum. c. est une fonction paire :

sa représentation graphique est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

Remarque : Sans utiliser la calculatrice, on sait que : , donc .

lorsque . lorsque .

Voici l’algorithme en langage naturel, puis en Python, calculant la valeur absolue de

Langage Python

À l’aide du graphique,

voici le tableau de variations de la fonction valeur absolue

Le minimum de sur est , atteint en . La fonction admettre de maximum.

est une fonction paire :

sa représentation graphique est symétrique par rapport à l’axe des

, donc .

Voici l’algorithme en langage naturel, puis en Python, calculant la valeur absolue de

:

ne semble pas sa représentation graphique est symétrique par rapport à l’axe des

(6)

5. On définit les fonctions a. est définie sur est définie sur b. On a :

On peut effectuer ces calculs lorsque carrée.

c. On a :

On peut effectuer ces calculs pour tout réel

Bilan :

La fonction valeur absolue est donc définie sur Elle est décroissante sur

Elle admet pour minimum sur

est une fonction paire. Sa représentation graphique est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

On remarque que, pour tout réel

TD : 19, 20, 21 p 59 + 39, 41, 42 p 60 + 45, 46, 47, 48 p 61.

Pour tout réel , on a :

ns et par et . est définie sur .

est définie sur .

On peut effectuer ces calculs lorsque , puisqu’il y a le calcul d’une racine

car est l’unique nombre réel positif tel que

On peut effectuer ces calculs pour tout réel .

La fonction valeur absolue est donc définie sur par et croissante sur . pour minimum sur , atteint en .

est une fonction paire. Sa représentation graphique est symétrique par rapport à l’axe des

On remarque que, pour tout réel , on a .

19, 20, 21 p 59 + 39, 41, 42 p 60 + 45, 46, 47, 48 p 61.

, puisqu’il y a le calcul d’une racine

est l’unique nombre réel positif tel

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Donc : , est donc paire. Corrigé exercice 20 : 1. 2. puisque 3. lorsque D’où : Corrigé exercice 21 :

Pour les trois premières questions, on peut raisonner par lecture sur la droite des réels, sur la représentation graphique de la fonct

Pour les deux dernières questions, on peut raisonner par lecture sur la représentation graphique de la fonction associée ou par calcul algébri

Il est possible aussi d’utiliser la calculatrice ou le calcul formel de GeoGebra. 1. La fonction valeur absolue est positive sur

Donc : . 2. 3. ou ou Donc :

par parité de la fonction valeur absolue

est donc paire.

puisque lorsque , soit lorsque

lorsque , soit lorsque

.

Pour les trois premières questions, on peut raisonner par lecture sur la droite des réels, sur la représentation graphique de la fonction valeur absolue, ou par calcul algébrique.

Pour les deux dernières questions, on peut raisonner par lecture sur la représentation associée ou par calcul algébrique.

Il est possible aussi d’utiliser la calculatrice ou le calcul formel de GeoGebra. La fonction valeur absolue est positive sur .

.

par parité de la fonction valeur absolue

Pour les trois premières questions, on peut raisonner par lecture sur la droite des réels, sur ion valeur absolue, ou par calcul algébrique.

Pour les deux dernières questions, on peut raisonner par lecture sur la représentation Il est possible aussi d’utiliser la calculatrice ou le calcul formel de GeoGebra.

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Remarque : La lecture lecture graphique dans ce cas précis est peu fiable, puisque les solutions sont des irrationnels. Il n’est donc pas possible de lire les valeurs exactes des solutions sur un graphique.

4. ou ou Donc : Corrigé exercice 39 :

Pour la question 5., une erreur s’est glissée dans la correction en fin de manuel. Elle sera corrigée pour l’impression du manuel

1. 2. 3. puisque 4. 5. On a : et Donc : . D’où :

Remarque : La lecture lecture graphique dans ce cas précis est peu fiable, puisque les solutions sont des irrationnels. Il n’est donc pas possible de lire les valeurs exactes

ons sur un graphique.

.

Pour la question 5., une erreur s’est glissée dans la correction en fin de manuel. Elle sera corrigée pour l’impression du manuel des élèves.

puisque

(puisque donc donc

Remarque : La lecture lecture graphique dans ce cas précis est peu fiable, puisque les solutions sont des irrationnels. Il n’est donc pas possible de lire les valeurs exactes

Pour la question 5., une erreur s’est glissée dans la correction en fin de manuel. Elle

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Remarque : On peut aller plus loin dans les calculs, pour supprimer la racine carré au dénominateur : Corrigé exercice 41 : 1. Affirmation vraie. On a : . Donc :

L’image de par la fonction valeur absolue est

2. Affirmation fausse.

Remarque : On peut aller plus loin dans les calculs, pour supprimer la racine carré au

par la fonction valeur absolue est .

(10)

L’image de par la fonct

Autres réponses possibles : ● Un antécédent de ● Les antécédents de 3. Affirmation vraie.

On obtient ce résultat par lecture graphique.

4. Affirmation fausse.

Voici un contre-exemple : Si

Autre réponse possible : Pour tout réel , on a :

1. Par lecture graphique, on a : Donc : .

2. Par lecture graphique, on a : Donc :

3. si et seulement si si et seulement si si et seulement si D’où : ;

Remarque : Il est possible aussi de raisonner avec la droite des réels. signifie que la distance entre les réels

.

On retrouve donc le même ensemble de solutions. par la fonction valeur absolue est .

Autres réponses possibles :

Un antécédent de par la fonction valeur absolue est . Les antécédents de par la fonction valeur absolue sont

On obtient ce résultat par lecture graphique.

exemple : Si alors

onse possible :

, on a : .

Par lecture graphique, on a : .

Par lecture graphique, on a : ou . .

si et seulement si si et seulement si si et seulement si

Remarque : Il est possible aussi de raisonner avec la droite des réels.

signifie que la distance entre les réels et doit être inférieure ou égale à On retrouve donc le même ensemble de solutions.

et .

.

(11)

4.

Donc : ou ou

Remarque : Il est possible aussi de raisonner avec la droite des réels. signifie que la distance entre les réels

égale à .

On retrouve donc le même ensemble de

1. D’après l’écran de la calculatrice, on obtient :

a. .

b. .

c.

2. D’après ce qui précède, on obtient que : si et seulement si

si et seulement si

Donc :

Remarque : On retrouve les

1. On considère un réel tel que Donc : .

Donc : . ou

.

signifie que la distance entre les réels et doit être supérieure ou On retrouve donc le même ensemble de solutions.

la calculatrice, on obtient :

. D’après ce qui précède, on obtient que :

si et seulement si ou si et seulement si ou

.

Remarque : On retrouve les mêmes solutions en utilisant la droite des réels.

un réel tel que .

doit être supérieure ou

(12)

Autre méthode : On considère

La fonction valeur absolue est strictement c Donc :

2. On considère un réel tel que D’après ce qui précède : Donc :

La fonction valeur absolue est strictement croissante sur Donc :

On multiplie par le réel positif

On soustrait :

Autre méthode : On considère un réel tel que . La fonction valeur absolue est strictement croissante sur .

un réel tel que . D’après ce qui précède : .

On multiplie par le réel positif :

un réel tel que . ce qui précède : .

(13)

On ajoute :

(14)

On multiplie par le réel négatif

On ajoute :

6. On considère un réel tel que Donc :

La fonction valeur absolue est strictement croissante Donc :

On multiplie par le réel négatif On ajoute : Corrigé exercice 47 : Question 1 :

lie par le réel négatif :

l tel que .

La fonction valeur absolue est strictement croissante sur .

On multiplie par le réel négatif :

(15)

1. On considère un réel tel que

La fonction valeur absolue est strictement décrois Donc :

La fonction valeur absolue est strictement décroissante sur Donc :

On soustrait

La fonction valeur absolue est strictement décroissante sur un réel tel que .

La fonction valeur absolue est strictement décroissante sur

un réel tel que .

.

(16)

Donc :

On ajoute :

un réel tel que .

.

(17)

On ajoute :

Question 2 :

1. On considère un réel

La fonction valeur absolue n’étant pas monotone sur variations :

Donc :

tel que .

La fonction valeur absolue n’étant pas monotone sur , on dresse le tableau de

un réel tel que .

La fonction valeur absolue n’étant pas monotone sur , on dresse le tableau de , on dresse le tableau de

(18)

Donc :

On soustrait :

Donc :

un réel tel que .

, on dresse le tableau de

(19)

On ajoute :

Donc :

On ajoute :

un réel tel que .

un réel tel que . .

La fonction valeur absolue n’étant pas monotone sur , on dresse le table , on dresse le tableau de

(20)

Donc :

On ajoute :

1. On considère un réel tel que La fonction valeur absolue est Donc :

2. On considère un réel tel que La fonction valeur absolue est Donc :

3. La fonction valeur absolue n’étant pas monotone sur variations :

un réel tel que .

ion valeur absolue est strictement décroissante sur .

un réel tel que .

La fonction valeur absolue est strictement croissante sur .

La fonction valeur absolue n’étant pas monotone sur , on dresse le tableau de .

(21)

D’après le tableau de variations précédent, on conclut que :

4. La fonction valeur absolue n’étant pas monotone sur variations :

D’après le tableau de variations précédent, on conclut que : D’après le tableau de variations précédent, on conclut que :

D’après le tableau de variations précédent, on conclut que :

.

, on dresse le tableau de