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Optimisation topologique de structures sous contraintes de flambage

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Academic year: 2021

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THÈSE

THÈSE

En vue de l’obtention du

DOCTORAT DE L’UNIVERSITÉ DE TOULOUSE

Délivré par : l’Université Toulouse 3 Paul Sabatier (UT3 Paul Sabatier)

Présentée et soutenue le 07/06/2018 par : Florian MITJANA

Optimisation topologique de structures sous contraintes de flambage

JURY

Pr. Sonia CAFIERI ENAC Directrice

Dr. Florian BUGARIN Univ. Toulouse – ICA Co-directeur

Pr. Pierre DUYSINX Univ. Liège Rapporteur

Pr. Edouard OUDET Univ. Grenoble Rapporteur

Pr. Christian BES Univ. Toulouse – ICA Examinateur Pr. Cyril BORDREUIL Univ. Montpellier Examinateur

Pr. Ken McKINNON Univ. Edimbourg Examinateur

Pr. Frédéric MESSINE ENSEEIHT-LAPLACE Examinateur

Dr. Fabien CASTANIE AVANTIS Project Invité

Pr. Marcel MONGEAU ENAC Invité

Dr. Stéphane SEGONDS Univ. Toulouse – ICA Invité

École doctorale et spécialité :

MITT : Domaine Mathématiques : Mathématiques appliquées

Unité de Recherche :

Laboratoire de l’Ecole Nationale de l’Aviation Civile

Directeur(s) de Thèse :

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Les mathématiques ne sont écrites que pour les mathématiciens.

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Résumé

L’optimisation topologique vise à concevoir une structure en recherchant la disposition opti-male du matériau dans un espace de conception donné, permettant ainsi de proposer des designs optimaux innovants. Cette thèse est centrée sur l’optimisation topologique pour des problèmes de conception de structures prenant en compte des contraintes de flambage.

Dans une large variété de domaines de l’ingénierie, la conception innovante de structures est cruciale. L’allègement des structures lors la phase de conception tient une place prépondérante afin de réduire les coûts de fabrication. Ainsi l’objectif est souvent la minimisation de la masse de la structure à concevoir. En ce qui concerne les contraintes, en plus des contraintes mécaniques classiques (compression, tension), il est nécessaire de prendre en compte des phénomènes dits de flambage, qui se caractérisent par une amplification des déformations de la structure et une potentielle annihilation des capacités de la structure à supporter les efforts appliqués. Dans le but d’adresser un large panel de problèmes d’optimisation topologique, nous considérons les deux types de représentation d’une structure : les structures treillis et les structures continues. Dans le cadre de structures treillis, l’objectif est de minimiser la masse en optimisant le nombre d’éléments de la structure et les dimensions des sections transversales associées à ces éléments. Nous considérons les structures constituées d’éléments poutres et nous introduisons une formulation du problème comme un problème d’optimisation non-linéaire en variables mixtes. Afin de prendre en compte des contraintes de manufacturabilité, nous proposons une fonction coût combinant la masse et la somme des seconds moments d’inertie de chaque poutre. Nous avons développé un algorithme adapté au problème d’optimisation considéré. Les résultats nu-mériques montrent que l’approche proposée mène à des gains de masses significatifs par rapport à des approches existantes.

Dans le cas des structures continues, l’optimisation topologique vise à discrétiser le domaine de conception et à déterminer les éléments de ce domaine discrétisé qui doivent être composés de matière, définissant ainsi un problème d’optimisation discret. Pour obtenir une représentation précise de la structure, nous sommes amenés à considérer un grand nombre d’éléments, générant ainsi des problèmes de grandes dimensions, en particulier un problème aux valeurs propres généralisé pour évaluer la résistance au flambage de la structure. Afin de réduire le coût en mémoire de la résolution de ces systèmes, nous proposons un algorithme pour résoudre ces problèmes. Nous introduisons une formulation du problème d’optimisation discret afin de prendre en compte plusieurs champs de déformations liés au flambage. Basé sur le concept de gradient topologique, nous développons un algorithme de résolution du problème discret considéré, et nous proposons une application sur un exemple de structure aéronautique.

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Abstract

Topology optimization aims to design a structure by seeking the optimal material layout within a given design space, thus making it possible to propose innovative optimal designs. This thesis focuses on topology optimization for structural problems taking into account buckling constraints.

In a wide variety of engineering fields, innovative structural design is crucial. The lightening of structures during the design phase holds a prominent place in order to reduce manufacturing costs. Thus the goal is often the minimization of the mass of the structure to be designed. Regarding the constraints, in addition to the conventional mechanical constraints (compression, tension), it is necessary to take into account buckling phenomena which are characterized by an amplification of the deformations of the structure and a potential annihilation of the capabilities of the structure to support the applied efforts.

In order to adress a wide range of topology optimization problems, we consider the two types of representation of a structure : lattice structures and continuous structures.

In the framework of lattice structures, the objective is to minimize the mass by optimizing the number of elements of the structure and the dimensions of the cross sections associated to these elements. We consider structures constituted by a set of frame elements and we introduce a formulation of the problem as a mixed-integer nonlinear problem. In order to obtain a manu-facturable structure, we propose a cost function combining the mass and the sum of the second moments of inertia of each frame. We developed an algorithm adapted to the considered opti-mization problem. The numerical results show that the proposed approach leads to significant mass gains over existing approaches.

In the case of continuous structures, topology optimization aims to discretize the design domain and to determine the elements of this discretized domain that must be composed of material, thus defining a discrete optimization problem. To obtain an accurate representation of the structure, we need to consider a large number of elements, thus generating large systems, in particular a generalized eigenvalue problem to evaluate the buckling resistance of the structure. In order to reduce the cost in memory of the resolution of these systems, we propose an algorithm to solve these problems. We introduce a formulation of the discrete optimization problem to take into account several deformation fields related to buckling. Based on the topological gradient concept, we develop an algorithm to solve the considered discrete problem, and we illustrate numerical results on one aeronautical example.

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Remerciements

Une thèse n’est pas simplement un mémoire rempli de texte, de formules et d’images dé-montrant des théories, c’est aussi des rencontres avec des personnes de valeur issues de deux mondes, l’un académique et l’autre industriel. J’ai pu me rendre compte de la complémentarité de ces deux mondes qui semblent si éloignés l’un de l’autre en apparence. La confrontation des idées, des points de vue et des observations sont l’essence même d’un travail de recherche.

Les deux premières personnes que je tiens à remercier chaleureusement sont mes directeurs, Sonia Cafieri et Florian Bugarin, sans qui tout ce travail n’aurait pu être construit. Vos conseils, analyses et questions m’ont été précieux tout au long de ces trois belles années en votre compa-gnie.

Je remercie sincèrement les rapporteurs, Pierre Duysinx et Edouard Oudet, pour votre temps apporté à la relecture de ce manuscrit ainsi que pour vos précieux conseils et commentaires.

Mes remerciements s’adressent également aux personnes m’ayant fait l’honneur de faire par-tie de mon jury : Christian Bes, Cyril Bordreuil, Ken McKinnon, Frédéric Messine, Marcel Mongeau et Stéphane Segonds.

Cette thèse n’aurait pu se dérouler sans la participation de la société AVANTIS Project. Je tiens à remercier sincèrement Laurent Ousteau et Fabien Castanie pour la confiance et le soutien que vous m’avez apporté avant, pendant et après cette thèse. Je souhaite également remercier l’ensemble des salariés d’AVANTIS pour votre accueil malgré le fait que ma présence ponctuelle dans la société donnait l’image d’un intermittent du spectacle faisant des mathématiques dans son coin.

Je souhaiterais remercier particulièrement Thierry Druot qui m’a pris sous son aile lors de mon premier stage en entreprise. Vous m’avez permis de voir comment les mathématiques pou-vaient être appliqués au monde de l’aéronautique.

Je remercie également Jean-Baptiste Hiriart-Urruty, ou plus communément JBHU, pour l’amour des mathématiques que vous avez su me transmettre.

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Je remercie profondément mes parents, Jean-François et Geneviève Mitjana, qui ont tou-jours cru en moi et m’ont constamment apporté leur soutien. Je remercie aussi l’ensemble de ma famille pour avoir suivi tout au long de ces trois années l’avancée de mes travaux.

Je tiens à remercier aussi mes amis qui ont toujours porté une attention particulière à mes travaux. Merci à Simon Ariso, Aurore Ballet, Alexandre Da Cunha, Steven Goncalves de Ma-cedo, Lionel Jay et Agathe Longueville.

Je souhaiterais enfin remercier vivement l’ensemble des doctorants et post-doctorants ren-contrés à l’ENAC au cours de cette thèse. Merci Romaric Breil pour les cafés, Vincent Courjault-Radé et Hakim Djeriouat pour ces discussions à n’en plus finir, Jun Zhou, Man Liang et Ma Gi (le gang des chinoises) pour votre distribution permanente de gâteaux, Andrija Vidosavljevic pour les expressions serbes, Imen Dhief pour m’avoir supporté dans le bureau et Riadh Omheni pour ta gentillesse et tes conseils.

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Table des matières

Introduction 17

1 Contexte du problème 21

1.1 Optimisation de structures . . . 21

1.2 Types de discrétisation d’une structure . . . 23

1.2.1 Structures treillis . . . 23

1.2.2 Structures continues . . . 24

1.3 Types d’optimisation de structures . . . 25

1.3.1 Optimisation dimensionnelle . . . 25

1.3.2 Optimisation de forme . . . 25

1.3.3 Optimisation topologique . . . 26

1.4 Contraintes d’intégrité du matériau et de flambage . . . 27

1.5 Contributions . . . 30

2 Elasticité linéaire et éléments finis 31 2.1 Notation et Définitions . . . 31

2.2 Problème d’élasticité linéaire et formulation variationnelle . . . 33

2.3 Méthodes des éléments finis . . . 35

2.4 Souplesse et contrainte de Von Mises . . . 37

2.5 Flambage linéaire . . . 38

2.6 Résolution de l’équation d’équilibre . . . 40

2.6.1 Méthode directe . . . 41

2.6.2 Méthodes itératives . . . 41

2.7 Résolution du problème lié au flambage . . . 46

2.8 Conclusion . . . 49

3 Etat de l’art des méthodes d’optimisation topologique 51 3.1 Optimisation topologique de structures treillis . . . 51

3.2 Optimisation topologique de structures continues . . . 54

3.2.1 Solid Isotropic Material with Penalization - SIMP . . . 54

3.2.2 Evolutionary Structural Optimization - ESO . . . 55

3.2.3 Gradient topologique . . . 56

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3.2.5 Instabilités numériques . . . 60

3.3 Optimisation sous des contraintes d’intégrité du matériau . . . 62

3.4 Optimisation sous contraintes de flambage . . . 64

3.5 Conclusion . . . 68

4 Optimisation de structures poutres 69 4.1 Précision sur la méthode éléments finis . . . 69

4.2 Problème d’optimisation . . . 71

4.3 Algorithme de résolution . . . 78

4.4 Résultats numériques . . . 82

4.4.1 Les avantages de la fonction coût proposée . . . 82

4.4.2 Influence du coefficient de pénalité µ . . . . 85

4.4.3 Impact du nombre de degrés de liberté décrivant les sections transversales 86 4.4.4 Applications à divers exemples de référence . . . 88

4.5 Conclusion . . . 95

5 Optimisation de structures continues 97 5.1 Problème d’optimisation . . . 97

5.2 Résolution des équations d’état . . . 101

5.2.1 Equation d’équilibre . . . 101

5.2.2 Problème aux valeurs propres généralisé lié au flambage . . . 104

5.3 Méthode du gradient topologique . . . 108

5.3.1 Définition du gradient topologique et principe de l’algorithme . . . 108

5.3.2 Gradient topologique des données étudiées . . . 113

5.3.3 Algorithme de résolution . . . 118

5.4 Résultats numériques . . . 120

5.4.1 Performance du calcul des valeurs propres . . . 120

5.4.2 Influence du nombre de modes propres de flambage dans l’optimisation . 124 5.4.3 Application aéronautique . . . 128

5.5 Conclusion . . . 132

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Table des figures

1.1 Optimisation de structure . . . 22

1.2 Différents types d’éléments finis . . . 23

1.3 Exemple d’une structure treillis et d’une section transversale . . . 24

1.4 Différentes représentations de structures continues . . . 24

1.5 Optimisation paramétrique d’un treillis . . . 25

1.6 Optimisation de forme d’une plaque . . . 26

1.7 Optimisation topologique d’un treillis . . . 26

1.8 Optimisation topologique d’une structure continue . . . 27

1.9 Structure non-déformée avec les zones de chargements et de fixations . . . 27

1.10 Valeur des (σi)Ni=1au sein de la structure . . . 28

1.11 Différentes déformations de la structure dues au flambage . . . 29

2.1 Représentation de la structure Ω . . . 32

2.2 Différentes discrétisation d’une structure avec des éléments quadrangles . . . 42

2.3 Exemple de la technique d’agglomération pour construire une matrice de réduc-tion de modèle . . . 45

3.1 Degré de liberté d’une barre . . . 52

3.2 Degré de liberté d’une poutre . . . 53

3.3 Concept du gradient topologique . . . 57

3.4 Concept des lignes de niveaux . . . 59

3.5 Instabilités numériques - Sigmund & Petersson (1998) . . . 61

3.6 Différents résultats optimaux selon deux critères d’optimisation pour une struc-ture en L - Le et al. (2010) . . . 62

3.7 Différents résultats optimaux en fonction du nombre r de régions d’agrégations des contraintes de Rm pour une structure en L - Le et al. (2010) . . . 64

3.8 Optimisation d’une structure treillis en L sous une contrainte de flambage global - Kočvara (2002) . . . 65

3.9 Différentes déformations dues au flambage d’une structure continue . . . 66

3.10 Illustration d’un spurious buckling mode - Browne (2013) . . . 67

4.1 Différentes sections transversales creuses considérées selon leur repère local . . . 71

4.2 Ensemble des couples de longueurs de côté et d’épaisseurs représentant une aire constante d’une section carrée creuse . . . 75

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4.3 Structure soumise à un effort de traction . . . 75

4.4 Une conception optimale d’une structure soumise à un effort de traction avec la formulation (4.8) comme fonction coût . . . 76

4.5 Valeurs de la fonction (4.10) pour une poutre de section carrée creuse d’aire constante et µ égal à N X i=1 li . . . 77

4.6 La conception optimale d’une structure soumise à un effort de traction avec (4.10) comme fonction coût . . . 77

4.7 Illustration des difficultés liées à la suppression d’éléments pouvant mener à une structure instable . . . 80

4.8 Disposition initiale du problème de la structure en L . . . 83

4.9 Disposition optimale de poutres pour le problème de la structure en L . . . 83

4.10 Evolution de la masse structurale pour le problème de la structure en L . . . 84

4.11 Mode de flambage de la structure en L . . . 87

4.12 Problème de la structure en triangle . . . 91

4.13 Problème du pont . . . 92

4.14 Problème de la tour . . . 93

4.15 Problème de la structure 3D . . . 94

5.1 Structure représentée avec des éléments tri-dimensionnels . . . 98

5.2 Discrétisation de la structure avec un seul type d’élément tri-dimensionnel . . . . 102

5.3 Exemple de la technique d’agglomération pour construire une matrice de réduc-tion de modèle . . . 104

5.4 Concept du gradient topologique . . . 108

5.5 Concept du gradient topologique . . . 109

5.6 Deux structures obtenues à partir de la même structure initiale selon le retrait de diverses fractions de volume ∆α . . . 110

5.7 Algorithme basé sur le gradient topologique . . . 111

5.8 Procédé d’extrapolation des valeurs des gradients topologiques . . . 112

5.9 Structure en L étudiée . . . 121

5.10 Poutre en compression étudiée . . . 124

5.11 Evolution de la charge critique de flambage selon le nombre de mode de flambage considéré . . . 126

5.12 Evolution de la charge critique de flambage selon le nombre de mode de flambage considéré . . . 126

5.13 Structure obtenue sans contrainte de flambage . . . 126

5.14 Structure obtenue avec 1 mode de flambage . . . 127

5.15 Plan de coupe de la structure obtenue avec 1 mode de flambage . . . 127

5.16 Structure obtenue avec 4 modes de flambage . . . 127

5.17 Structure obtenue avec 4 modes de flambage . . . 128

5.18 Domaine de conception de la structure appelée col de cygne . . . 128

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5.20 Structure obtenue sans contrainte de flambage - les noeuds en rouge correspondent à la zone d’encastrement . . . 130 5.21 Structure obtenue avec contrainte de flambage - les noeuds en rouge correspondent

à la zone d’encastrement . . . 131 5.22 Procédé de fabrication additive appelé Wire Arc Additive Manufacturing . . . . 135

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Liste des tableaux

3.1 Fonctions d’interpolation classiques . . . 55 4.1 Quatre couples de dimensions décrivant une section transversale carrée creuse

correspondant à une aire de 1600 mm2 et les moments d’inertie associés . . . 76 4.2 Résultats pour le problème de la structure en L . . . 84 4.3 Propriétés géométriques de deux éléments de la structure en L selon les deux

fonctions coûts étudiées . . . 85 4.4 Résultats pour le problème de la structure en L selon la valeur de µ . . . 85 4.5 Résultats pour le problème de la structure en L . . . 86 4.6 Dimensions (mm), aire (mm2) et moments d’inertie Iy et Iz (103 mm4) de

l’élé-ment en rouge dans la Figure 4.11a . . . 87 4.7 Bornes minimales et maximales des dimensions des sections transversales . . . . 88 4.8 Masse structurale optimale (kg) et temps de calcul (s) pour chaque problème et

chaque section transversale . . . 89 4.9 Nombre de variables continues et entières à l’état initial . . . 90 5.1 Temps de calcul et valeurs propres obtenues pour différentes discrétisation de la

structure en L . . . 122 5.2 Temps de calcul pour différentes discrétisations de la structure en L . . . 122 5.3 Temps de calcul selon différents nombres de groupes dans la méthode du gradient

conjugué en base réduite . . . 123 5.4 Temps de calcul selon la dimension de l’espace de recherche des valeurs propres

pour la structure en L . . . 123 5.5 Masse, temps de calcul et charge critique de flambage obtenus pour le problème

de la poutre en compression . . . 125 5.6 Masse, temps de calcul et charge critique de flambage obtenus pour le problème

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Introduction

Dans la plupart des secteurs d’activités participant au processus de conception de structures mécaniques, l’identification d’une structure optimale tient une place centrale. Dans ce cadre, l’optimalité correspond à la satisfaction d’un critère donné tel que par exemple la structure pré-sentant le meilleur aérodynamisme ou la structure la plus légère. Cependant, il n’existe pas de processus standard permettant de déterminer une solution optimale. En effet, en se basant sur le retour d’expérience des réalisations antérieures, les ingénieurs procèdent traditionnellement par essais-erreurs. Ainsi, ce type de conception de structures relève de l’expérience métier, limitant la possibilité d’obtenir certaines solutions optimales. Comment alors déterminer des structures innovantes que l’expérience humaine a du mal à appréhender ? Une approche possible est basée sur la modélisation mathématique du problème de conception en termes de problème d’optimisa-tion et sur sa résolud’optimisa-tion efficace. En particulier, l’optimisad’optimisa-tion topologique permet de découvrir, via une approche limitant les a priori, des dispositions de matières que l’humain n’aurait pas pressenti.

Dans les domaines de la conception de structures, l’optimisation porte généralement sur l’allègement des pièces tout en conservant certaines propriétés mécaniques telles que la rigidité ou la résistance du matériau. En pratique, deux contraintes mécaniques jouent un rôle déterminant pour la bonne tenue d’une structure. La première est relative à l’intégrité du matériau sous les efforts appliqués. Lorsque cette dernière n’est pas vérifiée, des phénomènes de rupture peuvent être observés. D’un point de vue numérique, l’évaluation de ces contraintes en tout point de la structure introduit un premier challenge car celle-ci induit un grand nombre de contraintes d’optimisation. La seconde contrainte mécanique révélatrice du comportement de la structure correspond à la résistance aux phénomènes dits de flambage. Ces derniers se caractérisent par une amplification des déformations sous des efforts de compression, pouvant conduire à l’annihilation totale de la résistance de la structure face aux efforts appliqués. La prise en compte de la résistance au flambage nécessite de résoudre un problème aux valeurs propres généralisé, qui peut être de grande dimension, dont la formulation introduit des contraintes fortement non-linaires. Un second challenge réside donc dans le choix d’une méthode appropriée de calcul de valeurs propres généralisées permettant de résoudre efficacement le problème d’optimisation.

L’objectif de cette thèse est de développer des méthodologies d’optimisation topologique pour la conception de structures. Nous considérons des problèmes de minimisation de la masse de la structure sous des contraintes d’intégrité du matériau et de flambage. D’un point de vue mathématique, ce problème d’optimisation s’avère très complexe de par le nombre et la nature non-linéaire des contraintes.

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Dans le cadre des simulations numériques des structures, la discrétisation du domaine de conception nous amène à distinguer deux catégories de structures : les structures treillis et les structures continues. Les premières consistent à représenter la structure comme un ensemble de barres reliées entre elles. La seconde catégorie est basée sur une discrétisation de la structure à l’aide d’un ensemble de briques élémentaires. La complexité du problème d’optimisation est donc aussi dépendante de la manière dont la structure est discrétisée puisque chacune présente des avantages et des inconvénients. Une structure treillis permet de représenter des structures creuses de manière simple, à l’image de la Tour Eiffel. Néanmoins, cette simplicité se fait au détriment de la possibilité de représenter certaines formes complexes. Les structures continues pallient ce problème en permettant de représenter n’importe quel type de structure avec une bonne précision, engendrant cependant une grande complexité de calcul. Elles sont particulière-ment adaptées pour des structures de taille relativeparticulière-ment modeste, à l’image d’une pièce du train d’atterrissage d’un avion. Afin de traiter un large panel de problèmes d’optimisation de struc-tures, nous nous attachons dans cette thèse à résoudre le problème de minimisation de masse sous contraintes d’intégrité du matériau et de flambage pour les deux types de structures. Pour chacun des cas, les différentes contributions portent à la fois sur la modélisation mathématique des problèmes d’optimisation et sur les méthodes permettant de les résoudre.

Dans le cas de structures treillis, nous proposons une fonction coût combinant la masse à des propriétés géométriques de la structure, ainsi qu’un algorithme de résolution adapté. Un élément d’originalité caractérisant ce dernier repose sur une analyse de sensibilité de la résistance au flambage de la structure pour déterminer la disposition optimale de la matière.

Dans le cas de structures continues, nous proposons tout d’abord une modélisation du pro-blème d’optimisation visant à réduire le nombre de contraintes d’intégrité du matériau. Nous présentons ensuite un algorithme de calcul permettant de résoudre efficacement le problème aux valeurs propres généralisé de grande dimension lié à la contrainte de flambage. Enfin, nous pro-posons un algorithme de résolution du problème d’optimisation basé sur le gradient topologique.

Ce mémoire est organisé de la manière suivante.

Le Chapitre 1 introduit le contexte du problème d’optimisation considéré. Après avoir défini les notions générales d’un problème d’optimisation, le processus classique d’optimisation de structure est illustré. Ensuite, les différents types de représentation d’une structure ainsi que les diverses catégories d’optimisation sont présentés. Enfin, nous discutons des verrous scientifiques et des différentes contributions de ces travaux.

Le Chapitre 2 présente les notions mécaniques d’intégrité du matériau et de flambage. Après avoir défini le problème d’élasticité linéaire, nous mettons en exergue la formulation variation-nelle associée et la méthode des éléments finis qui en découle. Ensuite, nous définissons les critères mécaniques liés à l’évaluation de l’intégrité du matériau et de la résistance au flambage d’une structure. Enfin, nous présentons différentes méthodes de résolution du système linéaire lié aux déplacements de la structure, et du problème aux valeurs propres généralisé associé aux phénomènes de flambage.

Le Chapitre 3 met en exergue les différentes méthodes d’optimisation topologique issues de la littérature. Dans un premier temps, nous présentons les différentes méthodes d’optimisation

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topologique pour des structures treillis. Ensuite, les différentes techniques développées dans le cadre de l’optimisation topologique de structures continues sont introduites. Enfin, les différents challenges de l’intégration des contraintes liées à l’intégrité du matériau et au flambage dans un problème d’optimisation topologique sont présentés.

Le Chapitre 4 propose une méthodologie pour résoudre des problèmes d’optimisation de structures de type treillis. Afin de minimiser la masse de la structure, l’optimisation porte sur le nombre d’éléments structuraux et les dimensions des sections transversales associées. Dans un premier temps, nous explicitons le calcul des contraintes liées à l’intégrité du matériau et au flambage pour des structures treillis. Ensuite, nous formulons le problème d’optimisation comme un problème d’optimisation mixte non-linéaire et proposerons une fonction objectif adaptée. Puis, nous proposons un algorithme de résolution adapté au problème considéré. Enfin, sur un ensemble de problèmes issus de la littérature, nous discutons les résultats numériques obtenus.

Le Chapitre 5 porte sur la résolution des problèmes d’optimisation pour des structures conti-nues. L’optimisation repose sur l’identification des éléments structuraux présents dans le domaine de conception. Dans un premier temps, nous présentons une formulation d’un problème d’op-timisation topologique de minimisation de masse sous des contraintes d’intégrité du matériau et de flambage. Dans un second temps, nous présentons la méthode pour résoudre l’équation d’équilibre associé aux déplacements de la structure, puis nous proposons un algorithme de ré-solution du problème aux valeurs propres généralisé lié au flambage. Dans un troisième temps, nous définissons le concept de gradient topologique et son principe d’utilisation au sein d’un algorithme d’optimisation. Puis, nous explicitons le mode de calcul des gradients topologiques des données considérées dans cette étude. Ensuite, nous présentons l’algorithme de résolution du problème d’optimisation. Enfin, nous analysons les performances de l’algorithme de résolu-tion du problème aux valeurs propres généralisé lié au flambage et nous illustrons les résultats numériques obtenus concernant la résolution du problème d’optimisation.

Pour conclure, nous rappelons les différentes contributions proposées dans cette thèse, et nous discutons des futurs axes de développement.

Les travaux présentés dans ce manuscrit ont été menés dans le cadre d’une Convention Industrielle de Formation par la REcherche (CIFRE), réalisée au sein du laboratoire de l’Ecole Nationale de l’Aviation Civile (ENAC) et de l’Institut Clément Ader (ICA), et en partenariat avec la société AVANTIS Project, qui est un bureau d’étude d’ingénierie mécaniques intervenant principalement dans le domaine aéronautique.

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Chapitre 1

Contexte du problème

Dans une large variété de domaines de l’ingénierie, l’identification de la meilleure structure selon divers critères mécaniques est prépondérante lors de la conception de ponts, de bâtiments, de véhicules ou encore d’avions. D’un point de vue mathématique, cela conduit à résoudre des problèmes d’optimisation.

Dans ce chapitre, après avoir défini les notions générales d’un problème d’optimisation, nous présentons le processus classique d’optimisation de structure. Par la suite, nous mettons en exergue les deux catégories de structures, et nous détaillons les différents types d’optimisation (dimensionnelle, de forme et topologique). Enfin, après avoir soulevé les verrous scientifiques liés aux contraintes mécaniques considérées, nous présentons les différentes contributions.

1.1

Optimisation de structures

Un problème d’optimisation (P) consiste généralement à minimiser une fonction f , définie sur un ensemble C ⊆ Rn et à valeur dans R, sous des contraintes définies par des fonctions (gj)1≤j≤p et (hk)1≤k≤q, avec n, p et q ∈ N. Il peut se formuler de la manière suivante :

minimiser x∈C f (x) s.l.c. gj(x) ≤ 0 ; ∀j = 1, . . . , p hk(x) = 0 ; ∀k = 1, . . . , q (P) où :

— Le vecteur x = (x1, . . . , xn) représente les inconnues du problème. Chaque composante

(xi)1≤i≤n est appelée variable de décision. Dans le cas de l’optimisation de structures, on

les nomme aussi variables de conception ou de design, et elles peuvent caractériser les dimensions, la présence ou non de matière, etc...

— La fonction f correspond au critère d’optimisation et est appelée fonction objectif ou fonction coût. Dans le cadre de l’optimisation de structures, elle peut caractériser la masse ou encore la résistance aux efforts d’une structure.

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— Les fonctions (gj)1≤j≤p et (hk)1≤k≤q sont respectivement les contraintes d’inégalités et

d’égalités, définissant l’ensemble admissible E = {x ∈ C : gj(x) ≤ 0, j = 1, . . . , p ; hk(x) =

0, k = 1, . . . , q}. Dans le cadre de l’optimisation de structures, celui-ci caractérise les li-mites acceptées de comportement de la structure : déplacement maximum, limite de résis-tance aux efforts ou au flambage, etc... Pour un vecteur x∈ E, on dit qu’une contrainte gj est active en xsi gj(x) = 0 et inactive si gj(x) < 0.

Selon la nature des variables de conception xi et des fonctions f , gj et hk, un problème d’optimisation peut appartenir à différentes classes de problèmes d’optimisation. On parle d’un problème d’optimisation discrète (ou combinatoire) lorsque les variables de conception corres-pondent à des nombres entiers. Dans le cas où aucune restriction n’impose une valeur entière à une inconnue, alors l’espace C correspond à un ensemble borné de Rn et le problème est dit d’optimisation continue. Certaines formulations amènent à considérer simultanément des variables continues et entières, on parle alors de problème d’optimisation en variables mixtes.

Lorsque les fonctions f , gj et hk sont linéaires (respectivement convexes), alors le problème

est dit d’optimisation linéaire (respectivement convexe). Si l’expression d’une de ces fonctions est non linéaire, alors un problème d’optimisation non-linéaire est défini.

Dans le domaine de l’optimisation de structures, la résolution du problème d’optimisation suit généralement un procédé itératif alternant deux étapes : l’analyse du comportement de la structure et l’application d’une méthode d’optimisation (voir Figure 1.1). La première phase consiste à résoudre des équations d’états permettant de déterminer les différentes déformations de la structure : calcul des déplacements, résistance aux efforts, analyse vibratoire, ou encore le transfert de chaleur (Fanchon (2008)). Quant aux méthodes d’optimisation, elles visent à déterminer une valeur optimale des variables de conception.

(25)

1.2

Types de discrétisation d’une structure

Au cours de l’optimisation (Figure 1.1), l’analyse du comportement de la structure peut être réalisée à travers une simulation numérique. L’une des principales techniques est basée sur la méthode des éléments finis, consistant à discrétiser la structure selon un type d’éléments qui peut être uni, bi ou tri-dimensionnel (Figure 1.2) dont chaque extrémité est définie comme un noeud de la structure. Le résultat de cette discrétisation est appelée un maillage. Selon le type d’éléments finis utilisés, on distingue deux catégories de structures : d’une part les structures dites treillis, constituées d’éléments uni-dimensionnels, et d’autre part les structures dites continues, discrétisées à l’aide d’éléments bi et tri-dimensionnels.

(a) Uni-dimensionnel (b) Bi-dimensionnel (c) Tri-dimensionnel

Figure 1.2 – Différents types d’éléments finis 1.2.1 Structures treillis

Les structures treillis correspondent à un ensemble d’éléments uni-dimensionnels soumis à des efforts et des fixations (Figure 1.3a). A chaque élément de la structure, on associe une section transversale (par exemple, de type carré creuse) et un repère local (x, y, z), où x représente l’axe principal (Figure 1.3b). On distingue deux types d’éléments uni-dimensionnels : les poutres et les barres. Ces dernières peuvent uniquement transmettre des forces axiales (le long de l’axe principal de l’élément). Quant aux éléments poutres, des forces axiales et transversales (selon un plan de la section) ainsi que des déformations liées aux rotations selon les trois axes locaux sont considérées. Une rotation selon l’axe x de la poutre traduit un effort dit moment de torsion, tandis que les rotations autour des axes y et z définissent des déformations appelées moments de flexion. Chaque géométrie de section transversale peut être caractérisée par une aire mais aussi par des moments d’inertie et un moment polaire. Les moments d’inertie, définis selon les axes y et z de l’élément, permettent d’analyser la résistance aux moments de flexion, et le moment polaire, défini en un point de la section transversale, est lié à la résistance au moment de torsion. Quant à l’aire, celle-ci est directement reliée à la masse de l’élément.

(26)

(a) Structure treillis (b) Section transversale de type carré creuse

Figure 1.3 – Exemple d’une structure treillis et d’une section transversale 1.2.2 Structures continues

Des éléments bi-dimensionnels (triangle ou quadrangle) ou tri-dimensionnels (tétraèdre ou hexaèdre) peuvent être utilisés pour représenter des structures continues (Figure 1.4). A chaque noeud de ces éléments sont associés trois degrés de liberté, caractérisant les déplacements dans les trois directions de l’espace. Notons que, dans le but de représenter la troisième dimension, une épaisseur est associée à chaque élément bi-dimensionnel.

(a) Structure 2D (b) Structure 3D

Figure 1.4 – Différentes représentations de structures continues Remarque :

La modélisation d’un problème d’optimisation de structure dépend directement du choix de la discrétisation de la structure. En effet, pour une structure treillis, les variables de concep-tion peuvent être associées aux aires des secconcep-tions transversales. Pour des structures continues discrétisées avec des éléments bi-dimensionnels, l’optimisation peut porter sur l’épaisseur de chaque élément. Dans le cadre d’une représentation à base d’éléments tri-dimensionnels, l’opti-misation peut consister à déterminer quels éléments du domaine initial de conception doivent être présents.

(27)

Selon le problème de conception de structure étudié, le choix du type de discrétisation (treillis ou continues) est plus ou moins adapté. Pour des structures creuses (par exemple un pylône électrique), une description basé sur un treillis semble la plus appropriée de part sa capacité à représenter des domaines de conception de grandes tailles de manière simple. Pour des structures plus petites (par exemple une partie du train d’atterrissage d’un avion), nécessitant une bonne précision, la discrétisation s’oriente vers des structures continues. Ainsi, pour répondre à un large panel de problème de conception, nous considérons ces deux types de structures dans ces travaux.

1.3

Types d’optimisation de structures

On distingue trois types d’optimisations de structures : l’optimisation dimensionnelle, l’op-timisation de forme et l’opl’op-timisation topologique.

1.3.1 Optimisation dimensionnelle

L’optimisation dimensionnelle, appelée aussi optimisation paramétrique, consiste à résoudre des problèmes d’optimisation continue où les variables de conception représentent, par exemple, les dimensions des sections transversales de poutres (diamètre ou épaisseur d’un cylindre creux - Figure 1.5) ou les épaisseurs d’une plaque. Dans ce type d’optimisation, la forme et la topo-logie de la structure ne peuvent être modifiées. Par exemple, dans le cadre d’une optimisation paramétrique d’un treillis, le nombre d’éléments et la forme de chaque section transversale sont fixés.

(a) Structure initiale (b) Structure optimisée

Figure 1.5 – Optimisation paramétrique d’un treillis 1.3.2 Optimisation de forme

Dans l’optimisation de forme, appelée aussi optimisation géométrique, les variables de concep-tion paramétrisent les frontières de la structure. Le domaine de concepconcep-tion est représenté à l’aide de fonctions dites homéomorphiques, afin de suivre l’évolution des frontières au cours de l’op-timisation et de garder une topologie équivalente à la structure de départ (Figure 1.6). Bien que ce type d’optimisation permette de modifier la géométrie de la structure, le résultat est extrêmement dépendant de la topologie initiale, puisque le nombre de frontières n’évolue pas au cours de l’optimisation.

(28)

(a) Plaque initiale (b) Plaque optimisée

Figure 1.6 – Optimisation de forme d’une plaque 1.3.3 Optimisation topologique

L’optimisation topologique consiste à rechercher, dans un espace de conception, la distribu-tion optimale de matière représentant la structure. Cette optimisadistribu-tion est beaucoup plus flexible que les deux précédentes, puisque seules les dimensions du domaine de conception, ainsi que les fixations et les zones de chargement de la structure à concevoir, sont connues. Aucun a priori n’est donc envisagé sur les frontières de la structure ainsi que sur la forme et les dimensions des sections transversales. C’est pourquoi le nom d’optimisation de forme généralisée lui est aussi attribué (Rozvany et al. (1992)).

Pour des structures treillis, l’optimisation topologique consiste à extraire d’un domaine ini-tial (Figure 1.7a) un sous-ensemble optimal d’éléments ainsi que les dimensions des sections transversales de chaque élément (Figure 1.7b). Pour ce type de structures, un problème d’opti-misation en variables mixtes peut être défini, où les variables entières représentent la présence des éléments et les variables continues décrivent leurs sections transversales. Dans le cas de struc-tures continues, l’objectif est de déterminer quels éléments du domaine de conception doivent être constitués de matière ou non (Figure 1.8), ce qui peut être formulé comme un problème d’optimisation discret.

(a) Treillis initial (b) Treillis optimisé

(29)

(a) Domaine initial (b) Structure optimale

Figure 1.8 – Optimisation topologique d’une structure continue

On estime que, pour des problèmes de conception courants, l’optimisation d’un critère de performance peut mener à des gains variant de 40 à 100 % avec l’optimisation topologique. Tandis que, dans le cas de l’optimisation dimensionnelle, les gains oscillent entre 5 et 10 % et entre 10 et 30 % pour de l’optimisation géométrique (Duysinx (1996)). Ainsi, l’optimisation topologique prend une place prépondérante lors de la conception de structures, notamment par sa capacité à proposer des designs optimaux innovants.

1.4

Contraintes d’intégrité du matériau et de flambage

Au sein des problèmes de conception de structures considérés dans ces travaux, nous considé-rons les contraintes mécaniques suivantes : la garantie de l’intégrité du matériau sous les efforts appliqués, et la résistance aux phénomènes de flambage. Ces deux contraintes jouent un rôle prépondérant dans la bonne tenue de la structure. Nous illustrons ces deux notions mécaniques à travers une structure (Figure 1.9) issue du plancher de l’Airbus A350, étudiée au sein de la société AVANTIS Project.

(30)

A chaque matériau est associé une valeur, notée ¯σ, constituant la limite en termes d’efforts mécaniques à ne pas dépasser pour garantir l’intégrité du matériau. Les déformations engendrées par l’application des efforts peuvent être évaluées par une fonction notée σi en chaque élément issu de la discrétisation de la structure. Nous verrons comment évaluer cette valeur dans la Section 4 du Chapitre 2. Dans la Figure 1.10, nous représentons les valeurs des σi au sein de

la structure de la Figure 1.9 : plus σi est grand, plus le matériau est soumis à des efforts et des phénomènes de cassure peuvent être observés. Garantir l’intégrité du matériau revient à s’assurer que les valeurs des σi au sein de la structure ne dépassent pas la limite ¯σ. Dans un

problème d’optimisation, les contraintes d’optimisation liées à l’intégrité du matériau sont donc données par l’expression suivante :

σi− ¯σ ≤ 0, ∀i = 1, . . . , N

où N représente le nombre d’éléments de la structure issus de la discrétisation. Pour des questions de simplification d’écriture, les contraintes d’optimisation liées à l’intégrité du matériau sont notées par la suite contraintes de Rm (pour contraintes de résistance du matériau).

Figure 1.10 – Valeur des (σi)Ni=1 au sein de la structure

La conception des structures les plus légères mène généralement à des formes élancées (telles que des poutres) avec de fines épaisseurs. Sous des efforts de compression, on peut observer au sein de ce type de structure des phénomènes de flambage, se caractérisant par une amplification des déformations de la structure qui peuvent être de nature globale ou locale (Figure 1.11). La capacité de la structure à supporter les efforts appliqués peut être ainsi totalement annihilée. Ainsi, il est fondamental de prendre en compte ce type de contrainte lors de la phase de concep-tion.

(31)

Cependant, deux challenges numériques sont à considérer. Le premier concerne l’évaluation de la résistance au flambage d’une structure ; elle nécessite la résolution d’un problème aux valeurs propres généralisé (défini dans la Section 5 du Chapitre 2). Pour une discrétisation engendrant un grand nombre d’éléments, ce problème peut alors être de grande dimension et nécessite un coût en mémoire et des temps de calcul importants. Le second challenge est carac-térisé par le fort caractère non-linéaire des contraintes d’optimisation liées au flambage. Dans les Chapitres 4 et 5, nous présenterons différentes modélisations de ce type de contraintes.

(a) Déformation dite globale

(b) Déformation dite locale

(32)

1.5

Contributions

Dans ce mémoire, l’objectif est développer des méthodologies d’optimisation topologique permettant de minimiser la masse des structures sous des contraintes d’intégrité du matériau et de flambage. Pour chaque type de discrétisation d’une structure, les contributions portent à la fois sur la modélisation mathématique du problème d’optimisation considéré et sur les méthodes permettant de le résoudre.

Pour des structures treillis, l’objectif est à la fois de déterminer la disposition optimale des éléments uni-dimensionnels, et aussi les dimensions des sections transversales associées à ces éléments. L’approche développée consiste à définir un problème d’optimisation en variables mixtes. En associant une variable binaire à un élément, nous sommes en mesure d’indiquer si cet élément est présent ou non. Pour modéliser les sections transversales, nous considérons plusieurs variables continues afin d’obtenir une description précise de chaque section.

Pour tout problème d’optimisation, le choix de la fonction objectif à minimiser est crucial. Rappelons qu’ici, l’objectif est de minimiser la masse de la structure. Cependant, afin de prendre en compte des critères de manufacturabilité, nous proposons une fonction coût définie par une somme pondérée de la masse de la structure et des moments d’inertie de chaque élément.

Selon le niveau de discrétisation du domaine de conception et du nombre potentiels d’élé-ments au sein de la structure, le problème en variables mixtes peut être de grande dimension. La modélisation d’un tel problème introduit un nombre important de variables binaires, aug-mentant par conséquent la complexité du problème. Nous avons été amené à développer un algorithme de résolution adapté au problème d’optimisation considéré, proposant notamment de traiter les variables continues et binaires séparément. Concernant la gestion de ces dernières, l’élément d’originalité de notre approche est basé sur une analyse de sensibilité de la contrainte de flambage.

Dans le cadre de structures continues, l’optimisation consiste à déterminer quels éléments du domaine initial de conception doivent être présents, menant ainsi à une formulation du problème d’optimisation en variables discrètes. Ce type de représentation introduisant un grand nombre d’éléments, les problèmes traités sont typiquement de très grandes dimensions et difficiles à résoudre. De plus, les contraintes liées à l’intégrité du matériau étant définie pour chaque élément, un grand nombre de contraintes d’optimisation est ainsi introduit. En ce qui concerne les contraintes de flambage, nous présentons une contrainte permettant de prendre en compte plusieurs déformations liées aux phénomènes de flambage dans le problème d’optimisation. Afin de réduire la complexité du problème, nous présentons une formulation du problème réduisant le nombre de contraintes d’optimisation, puis nous proposons un algorithme de résolution adapté au problème considéré.

Dans le but d’estimer la résistance au flambage d’une structure, il est nécessaire de résoudre un problème aux valeurs propres généralisé de grande dimension. La résolution d’un tel problème peut nécessiter un important coût en mémoire, notamment dans le stockage des matrices asso-ciées à ce problème. Nous proposons un algorithme résolvant le problème aux valeurs propres généralisé permettant de réduire ces coûts en mémoire.

(33)

Chapitre 2

Elasticité linéaire et éléments finis

Dans ce chapitre, après avoir défini le problème d’élasticité linéaire qui caractérise le compor-tement des structures, nous mettons en exergue la formulation variationnelle associée ainsi que la méthode des éléments finis. Ensuite, nous définissons les notions mécaniques utilisées au cours de ces travaux. Enfin, nous présentons différentes méthodes de résolution du système linéaire lié aux déplacements de la structure, et du problème aux valeurs propres généralisé associé aux phénomènes de flambage.

2.1

Notation et Définitions

Dans le cadre de ces travaux, nous considérons le matériau composant les structures étudiées comme élastique, isotrope et homogène. On dit qu’un matériau est élastique lorsque celui-ci peut se déformer sans observer de phénomène de cassure et que la structure revient à sa forme initiale quand on relâche les efforts appliqués. L’isotropie et l’homogénéité d’un matériau se caractérisent par des propriétés physiques qui sont respectivement les mêmes dans toutes les directions et en tout point de l’espace. Un matériau de ce type est défini par son module de Young ζ et son coefficient de Poisson ν. Le module de Young définit la rigidité du matériau (i.e. plus il est élevé, plus celui-ci est rigide). Le coefficient de Poisson exprime la capacité de contraction du matériau par rapport à son étirement.

Considérons une structure Ω dans R3 avec x, y et z les directions de l’espace. Pour des questions de clarté, nous noterons ·,x, ·,y et ·,z les dérivées partielles respectives selon x, y et z

tout au long de ce chapitre. On note :

— ∂Ω la frontière du domaine Ω et η la normale unitaire sortante définie sur ∂Ω. La frontière ∂Ω est constituée de deux zones Γd et Γf qui correspondent respectivement aux zones où

des déplacements et des forces sont imposés (Figure 2.1).

— fs et fv représentent les forces appliquées respectivement sur la frontière Γf et dans la structure Ω (Figure 2.1).

(34)

Figure 2.1 – Représentation de la structure Ω

En chaque point de Ω, le tenseur des déformations E ∈ R3×3 est défini par le tenseur de Green-Lagrange (Cook et al. (1974)) :

E(v) = 1

2(∇v + ∇v

>

+ ∇v>∇v) avec ∇v = (v,x, v,y, v,z) (2.1)

On remarque que le tenseur E est symétrique et non linéaire par rapport à v. En notant  la partie linéaire de E, on a :

E(v) = (v) + o(|∇v|) (2.2)

où (v) = 12(∇v + ∇v>) est défini comme le tenseur des déformations linéarisées. Dans cette thèse, nous nous plaçons sous l’hypothèse de petites perturbations correspondant à de petites déformations (|∇v| << 1) de la structure. Par conséquent, le tenseur de déformations linéarisées  sera utilisé par la suite et ses composantes seront notées :

 =    x xy xz xy y yz xz yz z   

Le tenseur , qui est une matrice symétrique à 9 composantes, peut aussi être noté sous la forme d’un vecteur ˜ à 6 composantes de la manière suivante (Cook et al. (1974)) :

˜

 = [x, y, z, γxy, γxz, γyz, ]

où γxy, γxz et γyz correspondent respectivement à 2xy, 2xz et 2yz. On définit σ ∈ R3×3 le tenseur des contraintes qui est aussi une matrice symétrique dont les composantes sont :

σ =    σx σxy σxz σxy σy σyz σxz σyz σz   

(35)

Le tenseur σ peut être noté sous la forme d’un vecteur ˜σ à 6 composantes (Cook et al. (1974)) : ˜

σ = [σx, σy, σz, σxy, σxz, σyz]

La loi de Hooke (ou loi de comportement) permet d’exprimer ˜σ en fonction de ˜. Son écriture matricielle est la suivante :

˜

σ(v) = H ˜(v) (2.3)

où H ∈ R6×6 est appelé matrice de Hooke. Lorsque le matériau est isotrope et homogène, la matrice H peut être définie en fonction du module de Young ζ et du coefficient de Poisson ν :

H = ζ (1 − 2ν)(1 + ν)          1 − ν ν ν 0 0 0 ν 1 − ν ν 0 0 0 ν ν 1 − ν 0 0 0 0 0 0 a 0 0 0 0 0 0 a 0 0 0 0 0 0 a          où a = 1 − 2ν 2 (2.4)

Notons que l’équation (2.3) peut être reformulée comme σ(v) = λtr((v))I + 2µ(v) où

λ = νζ

(1 + ν)(1 − 2ν) et µ = ζ

2(1 + ν) correspondent aux coefficients de Lamé (Feng & Shi (2013)), tr est l’opérateur trace et I est la matrice identité.

2.2

Problème d’élasticité linéaire et formulation variationnelle

A partir des définitions précédentes, nous formulons le problème d’élasticité linéaire sous la forme d’un système d’équations aux dérivées partielles. Puis, à partir de la formule de Green, nous présentons la formulation variationnelle en élasticité qui en découle.

En supposant l’équilibre des forces dans la structure Ω, selon toutes les directions de l’espace, on obtient l’équation d’équilibre suivante :

− div(σ(v)) = fv sur Ω (2.5)

où div est l’opérateur de divergence. A l’équation d’équilibre (2.5), nous devons considérer des conditions aux limites sur la frontière ∂Ω = Γd∪Γf. Sur Γd, on impose un champ de déplacements d, ainsi on a :

v = d sur Γd (2.6)

Notons que dans le but de représenter des fixations de la structure (un encastrement par exemple), ce champ de déplacements d est souvent nul. Sur la frontière Γf, un champ de forces surfaciques est appliqué. L’écriture matricielle des équations aux conditions limites sur Γf est donnée par :

σ(v).η = fs sur Γf (2.7)

(36)

Ainsi, un problème d’élasticité linéaire consiste à déterminer le champ des déplacements v ∈ R3, le champ de déformations  ∈ R3×3 et le champ des contraintes du matériau σ ∈ R3×3, en tout point de Ω, vérifiant les équations suivantes :

— l’équation d’équilibre

− div(σ(v)) = fv sur Ω (2.8)

— les équations de relation entre les déplacements et les déformations (v) = 1 2(∇v + ∇v > ) (2.9) — la loi de comportement σ(v) = λtr((v))I + 2µ(v) (2.10)

— les conditions aux limites sur ∂Ω

− Correspondant à un champ de déplacements imposé sur Γd∈ ∂Ω

v = d sur Γd (2.11)

− Correspondant à un champ de forces appliqué sur Γf ∈ ∂Ω \ Γd

σ(v).η = fs sur Γf (2.12)

Considérons l’espace de Sobolev suivant :

H1(Ω) = {w ∈ L2(Ω) | ∇w ∈ L2(Ω)}

où L2(Ω) est l’espace des fonctions définies sur Ω de carré intégrable. On note l’espace W tel

que :

W = H1(Ω)3

On définit l’ensemble des solutions admissibles du problème d’élasticité linéaire (2.8)-(2.12) tel que :

Vad= {w ∈ W | w = d sur Γd}

La formule de Green (Riemann (1851)) affirme que pour toutes fonctions régulières α et β sur un ensemble ξ et sur sa frontière ∂ξ, on a :

Z ξ (∆α)β dξ = − Z ξ ∇α.∇β dξ + Z ∂ξ (∂α.η)β d(∂ξ) (2.13)

(37)

En multipliant l’équation d’équilibre (2.8) par w ∈ Uad, et en intégrant sur l’ensemble Ω,

nous obtenons l’équation suivante en appliquant la formule de Green (2.13) :

Z Ω σ(v) : (w) dΩ − Z Γf fsw d(Γf) = Z Ω fvw dΩ (2.14)

où l’opérateur : correspond au produit des deux tenseurs σ(v) et (w) composante par com-posante, puis de la somme de l’ensemble de ces produits. En utilisant la loi de comportement d’un matériau élastique, isotrope et homogène, on obtient la formulation variationnelle faible suivante :

Trouver v ∈ Vad tel que

a(v, w) = l(w), ∀w ∈ Uad (2.15) avec a(v, w) = Z Ω (λtr((v))I + 2µ(v)) : (w)dΩ et l(w) = Z Γf fsw d(Γf) + Z Ω fvw dΩ

2.3

Méthodes des éléments finis

Dans cette section, nous présentons la technique la plus connue pour résoudre la formulation variationnelle en élasticité (2.15) : la méthode des éléments finis. Nous nous limitons aux struc-tures continues ; pour de plus amples précisions sur la méthode des éléments finis, le lecteur est renvoyé vers les travaux de (Cook et al. (1974)).

Supposons que le champ de déplacements imposé d soit nul dans la contrainte (2.11) des conditions aux limites. Ainsi la formulation variationnelle devient :

Trouver v ∈ Vad tel que

a(v, w) = l(w), ∀w ∈ Vad (2.16) où Vad = {w ∈ H1(Ω)3|w = 0 sur Γd}, a(v, w) = Z Ω (λtr((v))I + 2µ(v)) : (w)dΩ et l(w) = Z Γf fsw d(Γf) + Z Ω fvw dΩ

Considérons une discrétisation Dh de la structure Ω en N éléments finis de type T (par exemple, triangle ou quadrangle en deux dimensions et tétraèdre ou hexaèdre en trois dimen-sions) : Dh = N S k=1 Tk

(38)

Notons sm les noeuds des éléments Tk n’appartenant pas à Γd (où 1 ≤ m ≤ p, avec p le

nombre total de noeuds). On définit l’espace des fonctions éléments finis scalaires comme : Xh= {φ : Ω → R, φ ∈ C0, φ/Tk ∈ P1, ∀k ∈ {1, . . . , N }, φ = 0 sur Γd}

où C0 est l’ensemble des fonctions continues et P1 l’ensemble des fonctions affines. On note Vh

l’espace des fonctions éléments finis à valeurs vectorielles : Vh = (Xh)3

Définissons un ensemble de fonctions éléments finis ψ1, . . . , ψm représentant une base de Xh : ψi∈ Xh et ψi(sm) = δim, 1 ≤ i, m ≤ 3p

où δim est le symbole de Kronecker (valant 1 si i = m, 0 sinon). Les fonctions ψi sont appelées

les fonctions de forme de la méthode éléments finis. Ainsi la solution de l’équation variationnelle (2.16) peut être reformulée comme :

Trouver un déplacement éléments finis vh =P3p

i=1uiψi tel que

3p

X

i=1

uia(ψi, ψj) = l(ψj), ∀j = 1, . . . , 3p (2.17)

où 3 représente les trois dimensions de l’espace et u = (u1, . . . , u3p) ∈ R3p est appelé le vecteur

des degrés de liberté nodaux. L’écriture matricielle de vh est donnée par :

vh = Q    u1 .. . u3p   

où Q = (ψi)1≤i≤3p ∈ R3×3p est appelée matrice d’interpolation. A partir de la matrice D ∈ R6×3 composée des opérateurs de dérivées partielles selon les directions de l’espace, on peut définir la matrice B ∈ R6×3p dite matrice des déformations éléments finis telle que :

B = DQ

où les composantes de B sont les dérivées partielles des fonctions de formes ψi.

Ainsi, le problème éléments finis associé à la formulation variationnelle (2.17) revient à déterminer le vecteur des degrés de liberté nodaux u ∈ R3p en résolvant le système linéaire suivant :

Ku = f (2.18)

où K ∈ R3p×3pest une matrice symétrique définie positive, appelée matrice de rigidité, et f ∈ R3p est le vecteur des forces extérieures, dont les composantes sont :

Kij = Z Ω (B>HB)ijdx fj = Z Ω (N>fv)jdΩ + Z Γf (N>fs)jd(Γf)

(39)

A partir du champ des degrés de liberté nodaux, les champs de déformations  et de contraintes σ peuvent être déterminés respectivement par les équations (2.9) et (2.10).

Notons que la construction de la matrice de rigidité K peut être réalisée à partir des matrices de rigidité de chaque élément composant la structure. Considérons un type d’élément composé de α noeuds menant à une discrétisation en N éléments de la structure. La matrice de rigidité K peut se construire de la manière suivante :

K = N X i=1 h Ki i (2.19)

où Ki ∈ R3α×3α est la matrice de rigidité élémentaire de l’élément i, et [ ] représente le procédé

d’assemblage par blocs des matrices Ki dans la matrice K.

2.4

Souplesse et contrainte de Von Mises

Dans cette section, nous présentons deux notions mécaniques couramment utilisées dans l’optimisation de structures découlant directement du calcul du vecteur des degrés de liberté nodaux.

Pour un problème d’optimisation topologique, la minimisation des déplacements dus à un chargement donné correspond à la maximisation de la rigidité globale. Cette optimisation revient aussi à minimiser la souplesse J (ou compliance) de la pièce. Cette donnée mécanique mesure l’énergie élastique de la structure à partir du travail des forces extérieures exercées sur celle-ci et s’exprime comme :

J =

Z

δΩ

fsu d(δΩ)

Rappelons que le matériau constituant les structures est supposé élastique. Ainsi la struc-ture revient à sa forme initiale lors du relâchement des efforts appliqués, et aucun phénomène de rupture n’est observé suite aux déformations subies. Afin de caractériser les capacités maximales d’un matériau, on lui associe une limite notée ¯σ.

Lors de la conception d’une structure, il est nécessaire de s’assurer que la valeur de la fonction mesurant l’intégrité du matériau au sein de chaque élément de la structure ne dépasse pas la limite ¯σ. Rappelons qu’une fois le champ des déplacements obtenu, suite à la résolution du système linéaire (2.18), le champ des contraintes σ au sein d’un élément i s’évalue par la loi de Hooke :

˜

σi(ui) = [σix, σyi, σzi, σxyi , σxzi , σyzi ]>= HBiui

où ui correspond aux degrés de liberté nodaux de l’élément i, H est la matrice de Hooke (définie dans l’équation (2.4)) et Bi est la matrice des déformations de l’élément i.

(40)

Afin d’estimer l’intégrité du matériau en l’élément i, on utilise généralement le critère de Von Mises (Ford & Alexander (1963)), noté σi et défini par :

σi = 1 √ 2 q (σi x− σiy)2+ (σxi − σzi)2+ (σiy− σzi)2+ 6((σxyi )2+ (σxzi )2+ (σiyz)2)

Les contraintes d’optimisation reliant les contraintes σi et la limite ¯σ, notées contraintes de

Rm, s’expriment de la manière suivante :

σi− ¯σ ≤ 0, ∀i = 1, . . . , N (2.20)

où N est le nombre total d’éléments.

2.5

Flambage linéaire

Dans cette section, après avoir explicité la construction de la matrice de rigidité géométrique, nous définissons le problème aux valeurs propres généralisés lié au flambage.

On note α, β et ξ les déplacements suivant les directions x, y et z respectivement. Les équa-tions (2.1) reliant le champ des déformaéqua-tions à celui des déplacements peuvent être reformulées sous la forme d’équations de déformations dites de Green-Lagrange (Cook et al. (1974)) :

x = α,x+ 1 2 2 ,x+ β,x2 + ξ,x2) y = β,y+ 1 2 2 ,y+ β,y2 + ξ,y2) z = ξ,z+ 1 2 2 ,z+ β,z2 + ξ2,z) γxy = α,y+ β,x+ (α,xα,y+ β,xβ,y+ ξ,xξ,y) γxz = α,z+ ξ,x+ (α,xα,z+ β,xβ,z+ ξ,xξ,z) γyz = β,z + ξ,y+ (α,yα,z + β,yβ,z+ ξ,yξ,z) (2.21)

Au sein d’un élément i de la structure, supposons que les contraintes ˜σi= [σxi, σyi, σzi, σixy, σxzi , σyzi ]

restent constantes lorsque les déformations ˜i = [ix, iy, zi, γxyi , γxzi , γiyz] apparaissent. Le travail

associé à cet élément est donné par (Cook et al. (1974)) : Wi=

Z

i

˜ >i ˜σidΩ

(41)

En utilisant les équations de Green-Lagrange (2.21), le terme ˜>i σ˜i peut être réécrit sous la

forme suivante (pour des raisons de simplifications d’écriture, nous omettons les indices i des composantes du vecteur ˜i par la suite) :

˜ i>σ˜i = xσxi + yσyi + zσzi + γxyσixy+ γxzσxzi + γyzσyzi = α,xσxi + β,yσiy+ ξ,zσzi + (α,y+ β,x)σixy+ (ξ,x+ α,zxzσxzi + ,y+ β,zyzσyzi +1 2 2 ,x+ β,x2 + ξ,x2)σxi + 1 2 2 ,y+ β,y2 + ξ,y2)σiy+ 1 2 2 ,z + β,z2 + ξ,z2)σzi + (α,xα,y+ β,xβ,y+ ξ,xξ,y)σixy+ (α,xα,z + β,xβ,z+ ξ,xξ,z)σixz+ (α,yα,z + β,yβ,z+ ξ,yξ,z)σyzi = σ :  + 1 2 2 ,x+ β,x2 + ξ2,x)σix+ 1 2 2 ,y+ β,y2 + ξ2,y)σyi+ 1 2 2 ,z + β,z2 + ξ,z2)σzi + (α,xα,y+ β,xβ,y+ ξ,xξ,y)σixy+ (α,xα,z + β,xβ,z+ ξ,xξ,z)σixz+ (α,yα,z + β,yβ,z+ ξ,yξ,z)σyzi (2.22)

Le terme σ :  intervenant dans la construction de la matrice de rigidité K, le travail Wσi restant correspond à : Wσi = Z Ωi 1 2 2 ,x+ β,x2 + ξ,x2)σxi + · · · + (α,yα,z+ β,yβ,z+ ξ,yξ,z)σyzi  dΩ (2.23) En définissant le vecteur δi tel que :

δi= (α,x, α,y, α,z, β,x, β,y, β,z, ξ,x, ξ,y, ξ,z)>

alors l’équation (2.23) peut être réécrite sous la forme (Cook et al. (1974)) :

Wσi = 1 2 Z Ω δi>    si 0 0 0 si 0 0 0 si   δi dΩsi =    σxi σxyi σxzi σixy σyi σiyz σixz σiyz σzi   

Rappelons que le champ de déplacement vi de l’élément est donné par la relation vi = Qiui

où Qi et ui sont respectivement la matrice d’interpolation et le vecteur des degrés de liberté nodaux de l’élément. Ainsi, en définissant une matrice G contenant les dérivées partielles des fonctions de formes de Qi, nous pouvons relier δi et ui par :

δi = Giui

Figure

Figure 1.3 – Exemple d’une structure treillis et d’une section transversale 1.2.2 Structures continues
Figure 1.9 – Structure non-déformée avec les zones de chargements et de fixations
Figure 2.3 – Exemple de la technique d’agglomération pour construire une matrice de réduction de modèle
Figure 3.6 – Différents résultats optimaux selon deux critères d’optimisation pour une structure en L - Le et al
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