HAL Id: hal-02311401
https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-02311401
Submitted on 10 Oct 2019HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.
L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.
Distributed under a Creative Commons Attribution - NonCommercial - NoDerivatives| 4.0 International License
céréaliers : étude économétrique sur la base de données
individuelles
Jean-Christophe Bureau, E. Boutitie, A. Laubie, F. Magnien, Dominique
Vermersch
To cite this version:
Jean-Christophe Bureau, E. Boutitie, A. Laubie, F. Magnien, Dominique Vermersch. Application de la théorie de la dualité aux systèmes céréaliers : étude économétrique sur la base de données individuelles. [Rapport Technique] Inconnu. 1987, 46 p. �hal-02311401�
I..^!.s.ArE.
-
5.
f.
A.sroupe de
Travail
:'4'
I
d
tflSflTtJT $ffor{lit Ë [Â nmËficl Â$ftofi{ff$fis[
$*tn f&mmha st*dryk f,wk DOC{,[ætTlTATnH 66, Rue dc 8t &iêuc 95042 ffiNNESCEDEX T0l;: Sg:g€.84.o$rÊ 09 '
{
APPLICATIONDE.LA
TI1ÉORIEDE LA
DUALITÉAUX
sysrÈ'''Es
c{nÉ{r-ien!-i
eruDE Éco*o'ÉrnlouE
suR
LA
BASEnE
oomtÉis'
,;;r;;;il;,
rluin
1987 Bureau J.C. tsoutitrte E. Laubie A. llagnien F. Vermersch D. t d ft,ilia:'
'eS,(-r/ât'
T
Le d'étude 1es.
IITTRODUCTION
Èravail
ici
pr6sencÉse
propose de développer une mêt,hodologiede
1a
technologiedes
grandesorlentaElons
techniquesagrico-
bec-sens
s
ta-De
ce
point
devue,
ltensemble "grandescultures"
(i) justifie
desinvestigat,lons
particulières
eomptetenu
de son inporE,ance.Ainsl,
1es céréalesâ elles
seules
représentenÈ 18r2Z
deslivralsons
toEales dela
brancheen
1985.Crest
êgalernenr uneactlvitê qui
risque de
subir1es
effets
dus
au
changemenEde
conjoncture
(Carles'
1985).
Dfautrepart, les
exploltatlons
spêcialisées
dansles
culEures de venceeêrêa-1ières
et industrielles (2) font ltobjet
drobservations d6ta11téesrêa-tisêes
dansle
cadredu
RICA(réseau
drinformatlon
comptableagrico-1e).
A ce sujer,
notonsque peu
de travaux
sysEénatiques,de
nature êconomêtrlque,ont
6té
nenêssur
la
technologie deltagriculture
fran-çaise,
euece
soiE au
niveau g1oba1ou au seln
des dlverses
orienta-tlons
productives.Lrêt,ude présentée
ici,
raisonne
sur
donnêes microêcononiques provenanÈ dfune seule coupe (Année81)
et
issues de corupt,abilitésdtex-ploltations
céréa1ières du RICA(cf.
annexe):
1es systèmes de grandescultures
sont.susceptlbles,
eneffeE,
de semodlfier â court
ouà
noyenLerme sous
la
pression notamment :-
des
variations
de
prix:1rêvolucion
du
prix
des
céréales
sur
unnarché saE,uré
inpliquera
probablementdes rûouvemenEs
de
substitution
vers
dtauÈresproduiE,s;1es
variaEions
desprix relatifs
des facteursinfluent
égalernent, dansun
Eermeplus ou
moins rapproché'
sur
lacechnologie adopcêe.
-
de conLraintesnaLurelles
: ltintensificacion
des producEions agrico-1esinduit
deseffets
externesnêgatifs sur
le
mllieu
naÈurel (6rosion,baisse
de
fertilit6....
)
dortulrinternalisation
pourra
se reporter
sur1a
structure
des combinaisons productives.Sfinvestir
dans unetel1e
problénacique nous slE,ue,de
fait,,
au coeur de1a
Ehêorie de 1aproduction;
lrapprocheduale,
assocléeà
uncomportemenË
dtoptinisaLlon du
producteurec
à
lrhypouhèsede
concur-rence
parfait.e
permet une modêlisation approprlée.Cette
approche,gui a
permis 1es récents développementsen
écono-nie
de 1a producEion, sesLructure sur la
noE.ion defonction dfobjectif
indlrecLe (foncrion
deproduction,
decoût,
deproflE) et sur le
th6o-rème
de ltenveloppe : par diffêrenciation partielle de ces
fonctions,on obtienE direcEement
lroffre
deproduits et la
dernande de facEeurs e!on en
d6duiË les étastici Eês-prix, toute
Irinforrnation
pertinenEeffiocammenc:
cérêales,
plantes
tndusÈ,rtelles,
pommesde
Eerre, ceravesucrière,
l6gumes depleln
champ'...
(2)
orlenÈat,lons"cêrêalières"
eE"autre agriculture
génêrale" au
de
la classiflcatlon
desexplotratlons agricoles utl1isêe
par
1a11
TT.
concernant
la
tecllnologie
deproductlon
(rendemenEs dréche1le,subsEi-tuti
on enEre facEeurs, sêparabili tê'
' ' ')'
Le
chapftre
I
portera sur
une prêsenEaElon théorique de lrapprocheduale
en
éconoue
âe
1a
producE,ion.11
convient
ensulEede
sp6cifler
une
forroe foncElonnelle
flexible
assocléeâ 1a fonctlon
d'objecCiflndirecte, et qui
puisse se
prêter,
ensuite, à
uneestimatlon
Économ6-trlque:
ce sera 1tob3"t
du
chapltre
II
où
nous supposeronstous
1esfacteurs variables.
Lthypothèse pr6cédent,e
de
flexibilitê
de
lrensemble des facEeursroêrite
ô'être affalblie tout
particulièrement
dansle
secteur
agrico-1e: la
productlvltê
du
travai1 agricole
esL génêraleruentplus
falb1e que dansles
augressecteurs
(Bonnieux,f986)
et
cegécart
srexpliquen"r
une populaElonactive
agricole
nombreuse,Paf nature plus rlgide
à,r*torrt"tents
de
subsgitugion desfacteurs
I
1e nanque demobilitê
de1a
nain-dtoeuvre
faniliale
peut
être alnsi
apprêhendê commeétant
1aprincipale
source
de
désêquilibre
du
secleur.
Le
chapitre
III,
quiinfroduit la
not.ion de fonct,lon decoût
varlable,
présente une nouvellespêcificatlon
du modèleoù
Ia terre
eÈ 1etravail faruilial
sont
consi-déré.s
comne des facÈeursflxes.
Nous concluerons
sur
une synthèse des résultaCset
sur
de nouvel-1esorientations
possibles
de ceEEe êtude'Chapitre
I.
APPROCffi DITALE BN ÎEEORIE DE Ll\ PRODUCTIOT{Lrapproche
duale
permetde raisonner sur des
hyporhèses moinsrestricEives
que lrapprocheprinale :
eneffeE
cetEedernière
conslsteà
spécifier une
fonction de
producEiongui,
asssoci'eeau
PrograrnmedtopLinisatlon
duproducteur,
permet dedériver I'offre
deproduits,
1ademande de
facteurs et
1a foncEiondrobjectif indirecle.
ErnpiriquemenE,cetle
approchese heurle à
deux types dedifficultés,
à savoir la
spé-cification
dtunefonction
de productionet les
problènes desimultanêï-tê relatifs à lresEimation
économêtrique.La
premlère6tape consiste en la spéciflcatlon dtune
formefonc-Èionnelle pour
la fonctlon
deproduction :
1es prernières générations deces fonctions
supposaient desproportions fixes entre facteurs ou des
élasticitês
desubstitutlon
constanÈes, cequi
représente drune manièreÈrop
schématiquela réalitê.
I1 faut
âEEendreles
annêes 1970 pourassister à lrintroductlon
desfornes fonctionnelles flexibles qui
per-neEtent de représentertoutes
1espossibilités
de subsEiEution.Par
ai1leurs,
uneestination
économétrique correcEe des paramècresde
la fonctlon de production requierc la prlse
en compte de 1'ensemble rles relaEionsqui expliquent
1a déEerminaLlon desfacteurs
eE desPro-duits,
auEreoentdiu
aprèsoptinisation
(Malinvaud, l'969,p. 645).
Cetobstacle justifie
logiquenent ltintroduction de
1'agprocheduale
Qui,reposanE
sur I'estiuation
d'une fonction
dt objeccif indirecte (doncaprès
opIinisation),
nousêvire
également 1esdlfficultês
relacives
àla
mesure desservices
desfacteurs. La théorie de la dualitê établit
1'équivalence primale-dua1e.
Ce
prenier
chapiÈre serat.raicê
de 1a nanièresuivanEe:
nouspré-senEerons une
formalisatlon
dela
E,ecirnologie de production perrÂeÈEaûC, enEre auËres, unespécificauon de
lfhypottrèsede
comportement.du
pro-ducteur. La dualité en!re fonclion de production et fonctlon de
coût sera ensuiEeétablie.
Finalement,la prise
en cornpte de facEeursfixes,
relaLive à
une analyse decourt-terme, introduira à la
fonccion de coûtvariable
donË nousverroils qutelle conEient lrinfornation
suffisanEe)
I.1.
Technologieet fonction
de productlonAdoptons une représentation gêométrlque de
la
Eechnologie (Jorgen-senet
Lau,
L974); soit
uneentreprise qui
dispose den
blensxi, (i
=
1, ....n)
en vue deproduire
y
:solE,
xr = (xl, ....
xn)
le
vecÈeur des facteurset lron
suppose, pourtout
i, xi), o,
pi>
o.Dêfinissons
1'ensemblede
production Y commeétant
1'enseuble descouples
(xt, y)
techniquementposslbles
pourlrentreprise : le
produc-Leur
peut,produire y s'11
dispose
de
x.
Cet
ensenbleY
forualise
1tétat des
connaissances Ëechniquesrles lois
physico-chimiques e!naË,urel1es dans
la
sphère productiveagricole.
SoienË
Y*
=et
y/Lx',y)
€ Y,
VI
) x lrensemble des productions possibles
)
rl
\
x(y)
=I
x/(xjr)
âY
possible
la
production delrensernble des vecteurs de
facteurs
rendantproduccions rertdues
]
v
Notons T1 1'hypothèse
initiale
sur
Y
:T1
:
Yest
non-vide et. fennéet si
y
t o,
alors
x
f
o.Y sous T1
est
dit
alors régulier
soit,
eniin Y(x) =f yl(x',y)
eY
i
I'enseuble
despossibles
par
la
dibposiuionde r'
L t
en!reprise,
dans
ulte logique
rationnelle,
corrples
(x'ry)
techniquement ef ficaces'
âuErerûenc(x'ry) tels
que
:si y g Y(x), alors
\7y' € Y(x), y'.(
yCeci nous anène
à
dêfinlr la
fonction
de producElonf
se liniLera
aux dic aux
couplesf(x)=l"lax [yty€Y(x)]
v
La
régularitê
de Y implique ltexisEence eEla continuitê à droiue
dela
f oncEiorr f .
1.2.
H othèse deortenent :
1a forrccion de coûca) Introduction
H1
(i)
Les
prix
sonE donnéset ne
dêpendent1 | enEreprise.
(li) à
ces
prlx,
lrentreprtse
peuÈ acheter quelconque de chacun desbiens
(produit).
Le
comportement thèse H2 :pas
des (vendre )dêcisions
deune
quanE I t,éCette
hypochèsede
concurrenceparfaiEe
schênat,ise,de
manièrecorrecte, le
comportement desentreprises agricoles et
lrenvironnemenlécononique au
sein
duquelelles
opèrent.Ce cadre concurrenE.iel
peut se rêvéIer, à juste titre,
inadéqual dans de nombreuxcas tels,
dansla
sphèreagrieole, la
présencedtin-cerEitudes quanl aux
prix futurs de
productions ou 1efaiu
despécula-tions agricoles
soumisesà
des contrainÈes de débouchés,de
disponibi-lités limicées en certains facEeurs: ces diverses nodadisponibi-lités infèrent
direcÈernent
sur le cadre décisionnel de
1 tentreprise, en effet,
celui-ci
nécessiEe:- lridenEification
des variables (facEeurs et produir)
soumises auxcholx
delrentreprise et celles qul
nele sont
pas.la
donnêe de lrinforrnaÈionsur
1aque1le 1eschoix
sonL opérês. du producteurest alors
fornalisé suivant
lrhypo-H2
choisir x = (x1) tel
queG(x, z, w) soic
optinisée.G
est dêfinie
coulmeétant la fonction drobjeetif
delrencreprise.
x = (xl, ...xn) :
ensembledes variables
soumisesau choix
de1
rentreprise (les
facEeursvariables).
z = variables non
soumisesaux choix de lrentreprise que
nousassinilerons
auxfacteurs fixes.
trl errsemble inf oruarioonel .
La
prise
en corupte defacteurs fixes êtablira la
disEincEion entrelranalyse
delong
cerrtre eEcelle
de courEt.erme;
nous n'aborderons pasla fornalisation de
I'ensernbleinforuationnel
détenupar
ltenEreprisequi
dêcoule dela prise
en compteinitiale
drun environnementincertain
sur lequel il
nousfaut
supposer au préalab1e ItexlsLence dtuneloi
deprobabilité.
Nous adoptons
ici la
minirnisaEiondu
coûcdes
facEeurs vari:rb1es souscootrainte
dr un niveaudêsiré
duproduit..
Cechoix
de coruporEer[enEse
justifie
dans 1a nesure oùle
producEeur sera deplus
enplus
lirrge-nenc souruisà une
demandeeffective
(débouchés contrainE.s); quant
àI rhypothèse de rnaxitnisat.ion du prof
ic,
e11erequiert
en EouEe rigueur,Ia
connaissancedes prix futurs à lrr production,
eux-nêmes sournis à4
b)
Lafonction
decoût
du producteurLrobjecrif
deninimlsation du coût se t,raduit de
1a nanièresui-vante
:
(1) Min
i
p.
x;i=L
s1-c {(y.)
>
u.La
fonction
de coûEest alors
dêfinie
par
:(2)
C(y,p)
=I"lin
Ip'x ;
x
é X(y)
]x
LfexisEence
de
C(yrp) est
assurêe dèslors
que touÈefonction
continue(en ltoccurence
ptx)
sur
un ensemble nonvide
ferrnéec
borné(lci
X(y)atLeint
un minimum danscet
ensemble. En ouEre,el1e
possèdeles
pro-priétés
suivanEes:Cl :
C(y,p)),
oC2 = C(y,p)
)
o
pourtout
y)
oC3:
â
y
donné, Q(yrp)est
non décroissancepar rapport
à
p. Q4t
C(y,p)
est linéaire honogàne
par
rapport
à
p.C5
:
à
y
donné,C(y,p)
est
concâvepar
rapport
à
p.C6:
C(y,p)
est
conEinue en p.Varian
(f984, p.44)
propose une démonstraLionexplicite
de ces diversespropriétês.
fit
1esLa donnêe
de
lrhypotirèse T1sur la
Eechnologie de productionsuf-donc pour
s'assurer
deltexistence
de 1afonction
decoût vérifiant
pro;rriétês Cl à
C6.D'autre part, les propriétés de différenriabilitê
à I'ordre
deuxet de synétrie de la fonction de coût
peuventêcre
obEenues comnecorollalres de la théorie des fonctions
coovexes(Fuss,
Mac Fadden,I978, p. 15)
:ainsi
(3 )J
ù
p'
)p,
ù)r,
La
propriéré
de
différenciabilirê
esrËeur-prix
sErictertrentposiEii
eE nouscal
dûinisialement
à
Shephard (f953)ù'c
C
t1).
vérifiée
pour
presqueintroduic
à
unrésullat
touC vec-fondamen-Lemme de Shepard
solc C(y,p)
1afonction
de (i) si la
dérivéeexisIe
au poinE(y,p),
alocoûr
dêfinie
précédemmencpartietle
de C par rapport â pt,
notêers
$
=
x"
(y,ù
(4).
ùp;
ùc
ùr
(il) si
!'X;(V,l) est
1a
solution
uniquede
xi
pour
(1)
alors exis Ee.ùc
E;
Lrhypothèse
de
différentiabilité étant
admiseen
EouEpoint,
1elemme de Shephard esu gênéralenent
asslnilé à
1régalitê
(4) et
seprê-sente comme une
application
direct,e du théorème de lrenveloppe (Taylor,1985,
p.232)
;
Fuss
ec
Mac Fadden(1978,
p.14) en
fournissenc
une démonstrationplus
rigoureuse.Le
lemme de She/ard montre quela
connaissancede la fonction
decoût
esEsuffisante
pour en dêduireles
demandes defacteurs
eEsrarti-cule
avecIa
mise en évidenced'une possible dualitê entre fonctlon
decoût
eË Èechnologie deproduction :
moyennantlrajout
dfhypochèsesfai-bles sur la
Eechnologie,la fonctlon
de coûÈpeut décrire
conplètementLa
technologie,
dtune manière êquivalenceà la fonction
de production.I.3.
1adualité entre fonction
de productlonet fonction
de coûta)
Mise en évidenceConsidérons
la fonction
decoût C(y,p) définie
précédemrnenc nuniedes
proprlétês Cl à C6.
i)ily
eY*,
x(y)
=l
x/(x',y)
eY
(=jxlf.(x)
). y
:'
j '.
.,soir
p1 un vecEeurprix,
p1f
o
eti-.
(s)
I
(pl)=l x/p'1.*),
c(y,pr)
I comrneC(y,pt)
=min
Ip'1.x/x
x
V
x é X(y), x
ê
I(pl),
cequi
impliqueX(y)
CI
(pt)
ceci est
vérifié
pourtouc p
I
oa
x(y) lautrement,
dit
X(y)
C
nPto
ou encorex(y)
C
n
rÉoïb)
=
?r,,[.^
,
rl^
>
ci
v,p)il
f'x),c(:,fl)/
--Xir)
I I ,'x6 Les dans les ( r.2) .
flgures
caa
où 1.1. x(y)er,
L.2eBf
nonreprésenLenL ceÈÈe
relatlon
drlnclusionconvexe
(I.1)
eE
f est
non crolsganteI
x
(v)
*jY
(T) dfaprès(Varlan,
1984, p.62) *soiÈ
alors
f
x é X*(y) lp'x )t C(y,p)
V
pt'o
)I
4
a-!1.e
*(x) (x) lvlv
= llax vf
Max vEn
général,
f* (x)
ne
coTncide paË avecf(x), les
flgures
précédenÈesen
sonc uneillustratlon ;
noyennanËles
hypothèses supplénencalres T2ec T3 sulvanEes :
TZ f
esE non décrolssant,eT3
f
esÈune fonction quasl
concave(ou,
drunenanlère
êqulvalente,X(y) est
convexe).La colncldence
entre f*
polnt x de la frontlère
de guex est
soluÈlon de(l).
et f(x)
peut êÈre dénontrêe pour touc,
11
exlste
un vecÈeurde
prlx pr
cel(x) x(y)
(I)
Comne le falt remarguerDiewert
(1982,p.
547)cette
mlse enévl-dence de la dual1cé es! une appllcation dlrecte du
chêorèrne de Mlrrkowskl:
EouE eneenble convexe fermé(lcl X(y)
peucêrre
généré parlrlntersecEton
de ses denl-espaces drappul(icl I(p), p I o).
Cesrela-tlons duales encre fonctlon de
producÈ1onet fonctlon de cott
furenÈirrcrodulÈes par
Shephard(f953) ; de
nombreuxr,ravaux
poÊÈérleurri(Uzawa, l9b4 ) , (l'tac Fadden i962 ) , enÈre
autres,
éEendlrent. ces
rela-Elone dans1e cas dtune
Eechrrologle rnulEt-produlcs,dtune
foncÈlon deproflc...
b.
PraLique de lrapproche dualeLe
16sultaEthêorique
prêcêdentse
révèle
d'un intêrêt
pratlqueinportanE;1a
fonction
decoût
conlenanttoute lrinfornat,ion
nécessairepour représenter 1a Eechnologie,
i1
sragira
donc despécifier,
enpre-nier
11eu, une forme foncEionnelle pourC(yrp),
deuxfois
diffêrentia-ble,
munie despropriêtês Cl à
C6par application
du lemme de Shephard,nous obLenons
1es
demandesde facteurs,
puis
par
une secondedêriva-tion,
1esdlfférentes
êlasticltês-prix.
Par
ai11eurs,
i1
est
possible
dfêtudier
1espropriétés
importantesde
la
technologle
(honothêticitê,
hornogénêÎtêlinêaire
de
la
fonction deproductlon,
sêparabilité
desfacteurs) à
partir
despropriêtés
de 1a foncEion de coût.I.4. Prise
en cornpte defacteurs fixes :
fonct.ion de coût. variableNous considérons Èoujours lfensemble des
(xl, .... xrr) et
supposons 1esh preniers fixes
x
^)=y
précédences
sur 1a
E.echnologir:,x,j
) dont les
argumeotsseroût
:.n le
niveaude
product.iony,
lesh.
n
facËeurs ut11 isêszL,
' ''zh'
(7) a
unequilnE i t, és
Le programme
droptimisation (1) devient
: hr'(6)
Yl,'n
ï,rr*; t
f,,.,,'.r.
(*)
f
tx)
)t
gX)
(i,,r j=4
hA lropcimurn, 1a contrainEe
(a) est
saEuréeec
1e producteursubil
1e coût
pj
.zj quelque soiu la quanticê effectivement urilis6e
dufacE.eur
j:1a
fonction de
producÈion étanÈ supposéecroissarrte
parrapport â
chacun de ses argunents, 1e producÈeur,utilisera Ia
quantiué z3droù
:(7)
M uh{
f-,. x i 't1 r, : l.^ t'ltfrrn
--!r)xn,t
moyennalrt,
l es so Lut,ion x* =
(1es
prix pi, i
de facteurs zj,
hypochèses
x(,,
= ir* l,
j:1
B
La foncEion de coût variable
CV(y, pi, z i) esr 1a
foncrion decoût
decourt
termealors
quela
foncElon decoût total C(y,p)
cor-respond
au coût de long tentre. Les relations entre
1es nûat,rices hes-siennesde ces
deux foncEions permetEeûEde déduire les résultaEs
destatistlque
conparatlvede long
terrlle connaissant ceuxde court
t.erûe(Lau,
L976).Doncr
les
êlascicités de long
terme peuvenEêtre
obEenuespar
1a seule donnée dela
fonction
de coût.variable.
En
effet,
C(yrp)(8)
c(y,p)
=peut
stécrire
: l'1; n 25
;al h It',
z.r'
f
CV
(,,
tt Lt
Par
ailleurs,
nous avons,à 1réquilibre
delong
terme(e)
P.,
+ùcvr
P, e) =OJ=,
j=a-.
h (10)ùc
(rl)
ùp,
=z)
Jc
)
cv
^-htl - h;' y'
hùr'
)p,
\;":
Les équations
(9)
rraduisent
1esconditions
nêcessaires du premierordre
du programrne(8)
quantà
(10) ec (11),
elles
sonÈ une appllcarion du lernme de Sirephard.D6coroposons ensuice
p' =
(
p1',-- F.)
F^)?',
=
[pn1
l'r,]Err
dérlvant
lrensembledes
équa[ions(f0) ec (ft) par
rapporE àPx
et
L)zt il
vienU :J'c
ùz
(r1,,
r"-i)
li
=
(fr,J
1',\r.
(i2)
(13) ù
(r5)
Jtc
ùgrSpx
)rj
ùp.
ùz
\p"
l{rj"L#l
I
ù'cY
t;;;
,:.ùt
c
(r4)
ùtc
ùrj
)i
\z
cv
\py
Ces
êgalitês, prises
au
point z
du
plan de
productlon
de
longterme,
stinterprètent
conmeles
formulesde
passagedu
eourt
terme âulong
terme. Les
niveauxzJ
optlnaux
sonEdes
fonctions
de
pi (i =
fu+ 1, ..,n) et de pj (j = 1, ....h) et de y. Ils
qrobtiennent
autravers
des équatlons"1S),
""
qul
décernineles
termes
ùz
\z
10.
Chapltre
II.
L,l\ FONCTION DE COtn DE I,()NG TEBUECe
chapitre est
consacréà lrêtude
drunespéetfication
dela
fonc-tlon
de
coût
oùtous
les
facteurs
sont
variables.
Nous supposons donc,quten
fonction
du
prix
des facÈeurset
du niveaudrout,put,
lragricul-teur peut
adapter
les
niveaux
des
consommatlonslntern6diatres,
ducapital,
dutravail et
dela terre qul lui
permettent deninimiser
soncoût.
Nous nous 1ntêressonsà
une foncÈlonà
quatre
facEeurs variables,ci cês ci -dessus.
Ltadaptat.lon au systène de
prtx
ou au niveau droutpuÈ peutdeman-der un
cert,ain
temps.
Crest
pourquoi
une
telle
spécificaElon
nrescjustlfiêe
que pour une approchelong
terme.Après
un
prêlininairer
sur
1aspéciflcaLion de
1a formefonction-nelle
eEle
choix de 1a
forme
Èrâns1og, nous nouslntêresserons
dansune prenière
partie à
1récriEure
du
modèleeÈ
à sa
spéclfication
stochas
tl
que.Dans
une
deuxlèrnepartle,
nous
prêsenterons estlmaËlonset
destests,
puis
nous concluerons enlittérature
dêjâ publiêe
sur
1esujet.
1es
résultats
desPBBLI}TII{AIRE :
LE CHOIX DIUNE FORME }'ONCTIONNELLE
Ni la
théorle
écononique,ni la
connaissanceenpirique ne
pernet-tenË drimposer unespéciflcaclon
a priori
pour une foncÈlon deproduc-tion
ou
de
coût.
On dlsposedtune
certaine
liberté
de choix
et
lton
retiendra
une formefonctlonnelle
qui
permeEt,e de tesÈer des propriétêsparticulières.
Onpeut
(LAU 1986,p.
520) proposer un ensemble decri-tères
pour guider
ce cholx : la conpatibilité
avec
1a
Ehéorie,
1aflexibiliEÉ,le
domainedrappllcablllté,la facllité
de mlse en oeuvre, eE 1acompatibilité
avec 1es observaElons empirlques.1) ConpaÈibilitê
avecla
théorieLa forme
algébrlque choisie doit
possêderles propriétés
requlsespar la relaLlon
êconomiqueconsldérée.
Dansle cas
drune foncÈ1on decoût
il est logique
drimposer quela fonctlon soit
honogène de degrê unpar rapport
auxprlx,
non dêcroissanEepar rapport
auxprix et
âupro-duiE,
concavepar rapport
auxprix
desinputs. La forne fonctionnelle
choisle
doiEpouvoir
possÉder ces propriêcês pour uncholx
adéquat des paramèrres.Elle doiE aussl pouvoir
prendreen
conptedes
contraintessur la fonction de production, puisque 1a fonctlon de coût
(dua1e)apporte aut,anE drinformaEion
sur
1a Eechnologle quela fonction
de pro-ducËionet.,
enparticulier,
permetEre des substiEutionsentre
facÈeurs.0n admet, gênéralement que
la proùction agricole
esE soumiseà
deslois
physiques Ee1les quela
productiviE6 moyenne dtun facEeur de productlonsoiE
bornée supérleurement,et que 1a
fonctLonde production ne
soiE pas globalement convexe. Ceciimplique
que 1aforne fonctionnelle
per-nette
descoûts
marginauxcroissants ou
constanEs(1a concavitê de
la fonEion decoût est inpliquée par
1a quasi-concavitêde la fonctton
deproduc[ion, (
nEltttB,
TAYLOR,1985, p.24L). Ces
condiEions
éranr remplies,i1 y a tout lieu
deprêfêrer
une formefonctionnelle
inposantle
rnininuude contrainces a priori sur 1a séparablliEé des
facteurs,les possibllités de substitucior,
lrhomogénéIfé dela fonctlon de
pro-duction sous-jacenËe
: 1l
convienE donc de reEenlr des formesalgêbri-ques nfimposant pas ces
contraintes (ce qui
nresc pas 1e cas des formes CD ou CES)nais qui
permettentde les tesÈer : ctest
1e cas des formesdl
tes "flexi
bles" .2)
Laflexi
btli
té
Afin de
EesCer des hypoEhèsessur la
Eechnologie, donE bon nornbrese
ËraduisenEpar
des conEraintessur les élasticiEês de
substlEuEion au sens de ALLEN,11est
n6cessairede laisser celles-ci
prendre rr'in-porEequelle valeur.
Cependanc, U7-AWA(f962) a nontré quril
nrexistepas de
forue fonctlonnelle
Èe1le que ceEtepropriêtê soiE possible
dèslors
quele
nombrede
facEeurt excèdedeux.
Dece
falE, on a
recherché des foncElonsayant
despropriétês plus faibles, la
corrt,raintesur
1es élasciciÈés de subsElEution étanc stnplemenÈlocale
eÈ nonplus
globaleL2.
comue dans
la
CD oula
CES. Detelles
spêciflcatlons
sonL appefties des
"formesf1exib1es".
DIEI\IERT (L974,p.113)
dêfinit
une formefoncEion-nelle
C(y,p)
commeétanc
flexible si et
seulementsl elle
contientassez
de
paranètres
pour
que
le
niveau
de
C(y6rpo)r
le
gradient
etle
Hessi.en de C(yorpo) correspondentà
ceux deC*
(yo,
po).Slx
formes
de ce
type
ont jusqufici êtê
considérées.La
formeÈranslog (CHRISTENSEN, JORGENSEN,
HU,
L973),la
forne
LeonÈieffgêné-rali sêe
(DIEWERTL97L),
la
forme
quadracique génêralisÉe
(DIEWERTL974), la Box Cox
génêrallsée
(KHALED,1978) la
Cobb-Dougolasgénêralisée (MAGNUS,
L979)et
1a Minflex-Laurent
(BARNETTf982)
sont 1esplus
connues. Des formes baséessur
dessérles
deFourier
(GALLANT 198f) ou des fonctions
proposéesplus
récemment(1a Mc
Fadden gênéralisée, la Mc
Fadden
gênéralisée
sym6trique,
1a
BarneEtg6néralisée)
par
DIEWERTet
WALES (1987)sont
rarenentutilisées.
0n peut vérlfler
que
ces
formes
rêpondentbien au crltère
deflexibilité. Ainsi
onvêrifie
facllement
quela
foncLlon de eoûE Trans-1og\+t
c(yrp)
=
ao* t,
o.. â.p,
+ a.7 €uy
z
-Lù,r'
€up,
L
f
Ce doruai ne peut
varl ables expli caElves
+
1-défi
nl
coume Itensernbledes valeurs
deslesquelles la
formefonctionnelle saÈlsfall
5
I
e
u,.,
(;1.^3
lt'avec symêtrie
(afi = ril ) er
homogénéIréde
degré
un par
rap-port aux prix(f à1= t,-{aii=
or 1^tr= o)
possède
le
nombrerequis
de paranètreslibre5
pbur
satlsfalrê
en un
point
le cricère
deflexibilicé.
Cependant,si lron
inpose des
propriécês
de
régularifé
(JORGENSEN, FRAUI'IENT 198f
)
en
I mposantque
la
matri
ce
des
aii
soi Esemi-dêfinte
nêgative,
ondêtruit la flexibi.litÉ
dela
fonctlon
Cce quia
amenÉ DIEWERTet
i,lALES (1987) à
retenir
une
forme
"i'{c
Faddengénéralis6e
synétrique"
qui
permeE drimposer1a
concavitéglobale
parrâpporE
au prix
sâns
défruire la
flexl
bili t6.
Mais
ceEte forme
esE encore peu conrlue eElton
prêfèrera
retenir
une forrneplus
classique). 11 nresL donc pasposslble
dfimposerla
r-egularltê
de 1afonction
sanslntroduire
descontraintes
à
prlori
sur
1esêlasticités
dTALLENet
doncperdre lressenÈle1
de
lrlntérêt
de ces
fornes
foncE,lonnel1es.11
faut
alors
vérlfler
quela
propriété
derêgularitê,
légiEime dupoint
de vuede
1a Eirêorle,
est
blen
vérifiée sur
1téchantlllon.
Dans1a
pratique,crest
rarement1e cas
sur la totalitê
des
points.
Comme dlfférenEes formes algêbrtques peuvenr donner deslntervalles
plus
ounoins
grandsoù la r6gularitd
esE
vérlfiée,
cerEalnes peuvent paralEre
mieuxadaptêes
à la relation
6conorulque.Choisir ta
formela plus
adaptêepour
les
conditions
qu'on ne peut lmposerà
priori
constlEue ce que LAU(1986)
appelle
le
crlEère
du "domained'applicabtlité".
3
)
Domai ne d I appli cabili
cêZ
o,.
?^p,
t/,-u +
:i
.tr-/ t l' è'
i
être
1es exigences
de
compatlbilitê
avecla rhêorie:
dansle
cas
prêsent, 1afonction
decoût
doit
être
monotonecroissante
par
rapport
auxprix
et, au niveau de producËlon
et doit être
concavepar rapport
auxprix.
Ces hypothèses
défintssent, lorsqu'elles
sonLvêrlfi6es, le
domalne devaliditê
de
la
foncE,ion.Par
contre, la
synêtrie du
Hessien,
la
nonnégativitê
de
la
foncËlonqui
peuventêtre
irnposées sans soulever des problènes deflexibilité,
ou encore lrhomogénêIcê1inéaire par
rapport auxprix
ne sonË pas descritères
discriuinants
pourle
cholx entre
1esdifférentes
formesflexibles.
On ne dlspose pas drinformaÈionà priori
sur
1es douaines derêgulariEé
de chacune des formesfonctionnelles
quipernetÈe
de
choislr
1a
rneilleure spécificat,ion. Tout au
plus
1rétude empirlquede
BARNETT,HE et
I{OLFE(1985)
suggèreque
1e
dornaine derÉgularltê
drune
Leontieffe
généralisée
ou
drune
Lranslog
est
plus rêduiË quecelui
druneMinflex
Laurent
:
1a
translog
est
régulière
aupolnt
uoyen deleur
échantillon,
rnals ceEteproprlété
ntesÈ pas assur6eaux
fronEières
de1réchantillon, sauf,
bien
enEendu dansle
casparti-culier
d'une
Cobb-Douglas.En
lrabsencede
conclusions
Eranchées,i1
seraiE donc nécessaire de
vêrlfier
sur
noÈreêchanclllon
la
régularité
de
plusieurs spécificatlons.
La
comparaisonde
leur
donainede
réguIa-rlté
respecllf
peut êt,re un crLEère de cholx.4) La
facilité
de mlse en oeuvreLa translog et 1a Léontleff généralisée
prêsentenÈde
noubreux avanEagespratlques, par
rapporEà
1anlnflex
LaurenE, donu 1escondi-tlons
drhornogénéTt6 lmposent.des contraintes non 1inéalres, ou à
1a BaseCox générallsée, dlfficilement
esLlrnable.Lrun des
principauxavanEages
est que, toutes
deux, grâce aux Lem me d,e Shephard perneEtent.des
expresslonsde
denandesdêrlvêes de facEeur linêaires
dans ces paranèEresà estlmer.
Ceci permeE unefacilité
drestimaËion eÈ defaire
appel aux
outils
deItinférence
sE.atisËique développÉs aucour du modèlelinêaire, qui
apportenE uneinforuaElon
précieusesur 1a validit6
des esEimaEeurs. Deplus
dansces
deux formes,crest le
nombrenlninal
depararnèÈres nÉcessatre
à
1afl.exiblliEé
queI'on a à estiuer (criEère
deparcimoni e) .
Parni
les
Erois
formesles
plus
faciles
à
nettre
en oeuvre(Trans-log,
Leontleff
gênérallsée, quadratlque),
nous avons reËenu 1aspéclfi-catlon
t.ranslog.
En touE,erlgueur,
11 conviendralE decholslr
enfonc-cion de
leurs
dornalnesde
régularité, €t,
êgalement, enfonetlon
de laconfornicé
desestimations
à posterlorl,
compEe Eenu des connaissancesempiriques (signes des
élastlclLés,
importance des rendements dtéchel1e...).
5)
Les avants
dela translo
La
formealgébrique translog
rêpondâu cricère de flexlbilité,
nrimpose qu'un minimum derestricEtons à priorl
ec esE capabledrappro-cher
qorrecEelnentune fonctlon
quelconque,au
molnsau voisinage
dupolot
moyen.Facile à estimer,
grâce aux équatlonsde
demandede
fac-Eeur, peu susceptlbles de
bials de slrnultanéfré ni de
mu1Èicolli-nêarlcê, la fonctlon
decott
Eranslog permet dedédulre
facilemenÈ desél;lsclci cês
dfALLENà
parEir des
paramèEres,qui en sonc une
formelinêai re, et effecEtrer ainsl
des cescs de significarlvité
deL4.
La
plupart
des hypothèses quelron
souhaiÈetester
sfexprlme commedes
contralntes
1inéaires
sur
les
paramètres,particulièrement
slrnplesà
intégrer
dans un systèrne dtéquaElons departs
de
facEeurs (uneêqua-tlon
esL
omlsepour lrescimation,
afin
dréviEer
1a slngularicé de
la
rnalrice de variance
-
covarlance).La
fonctlon
translog
esl
donc une formefacile
à
netEre en oeuvre,qui
perrnecde
tester
eEde
vêrifler les
principales proprlétés de
1a technologie sansles
lrnposerâ
prlori.
11
fauÈ cependant, dans une étudeenpirique,
resËer prudenc danslrinterprétaLion
des
rêsultats.
Comme approxinatlon quadraEique drunefonction de coût, i1 nfest pas exclu
que
la
Eranslog
donne desrésulËats
peucrédibles
pour desêlastlciLés
de
subscltutlon.
Dans une érudede
slmulatlon,
GUILKEYet
LOVELL (1980) montrenÈdrallleurs
leslini
Ees
de cette
approche puisqurune
apProximationtranslog
drune"vraie"
CESntest
guère
performanEepour
esLlmerdes êlascicicés
de substi tuÈioûentre
facteurs.II.2.
Ecrlture
du modè1eet
spéciftcatlon
sEochastique La formefonctionnelle choisie
nous conduicà
éerire
ln
C(Y, p1p4) =
ag*
a1 1ny*
aZ
Gay)Z44
+f
b1rn
pi
1ny* 5
C1h
pi1=1
i=1+l
-2 4 z-i=1 4t
j=l
dij
1np1 1np31es
consomnationsNous consldérons quaËre facEeurs vartables
internêdialresr
le capitalr le
Eravall
et
1aterre.
Le
dêveloppenentde 1a
fonctlon Translog
sreffecEue
autour
dupolnt
moyen:alnsi lny et lnpi
danslrécriEure
cl-dessussont en
falt
les
varlables
centrÉes 1ny- iîy et lnpi - lilpf.
Pouralléger
les écrltures,
nous nous cootenteronsdrécrire
lny et
Inp1.Iï.2.
BcriEure desparts
de facteurs4
La
fonctlon
decoût
rêsulte
dela
minlmlsatlon
de
t pi
XiX1
:
niveaudfinput,, pi : prix
delfinput i,
la
Lechnologie de producElon.D'après 1e lernme de Shephard
â
lropcinum:
X*iùc
i=1 sousla
conEralnce de =PiX*i/C
= lt1 que desles
observaElonssont
obtenues
àfacEeurs, nous
disposonsde
quaÈreF
d'où
1nclnpl
=
Pi/C
ùc
ùp,
M1 esE
la
parË dufacteur
I
dansle
coût
ËoEa1à
lroptiruum.Cornue
nous
supposonslroptiroun
de lrutilisation
équaLlons de
part
de
facEeur4
IIi=C1 *b1 lny* 5
L/2l-1
J-!
(d13
+
d3i)
tnpj
Si
on poseDij = f
(di5 +
dji)r
par constructlon
D13 =Djr.
2LtécrlEure
drunefonctlon
de coût
de formetranslog revlent
à
supposerce1le-ei
deux
fois diffêrenclable, ce qui
entraine
la
symêtrie
desdérivées
partielles
secondes eË donc d1 5 =dji.
r6.
La spé-clficaEion sEochasEique conslsEe en
ltaddillon,
pour 1esquatre équatlons de
parts
de facEeurs,dtun terne
drerreur
Et
(1
=1, 2, 3, 4)
normalement dlsÈr1bu6 :âi
"\rN(0,
CtZ)E(fin.€tn')=0
n*
nlf (éin.fjn)=(tj
i, i=I,2,3,4
Cfest
le
cadre dfhypothèses classlques des régressionssinulCanêes. Les
termesf,l
traduiseng desêcarts
au comportement deninimlsation
du coût.Ils
sont
corrélês car
nous avonsconstruiE
les
donnêes de ce11e4
façon que pour chaque observaÈlon
(exploitation) €-
M1=
1,
ce qui4
i=l
lnpllque
la
contralnte
suivante
: â €i
=
Q.1=1
LrinformaË,1 on
relative
à
1a sËructure al-éatoire du second ordrequl
en résult.e inpose une estirnaton slmultanée des équatlons de ce nodèle(Zellner,
L962).La
relaclon
éW
=
1,
dice contralnte d'addicivlcê
entraîne
lesrelaElons sulvantes
sur
1es paramètres : 41
1=1 ci 1 4t
bi=o
l=l
€. dl j=oi=l
De
plus,
elle
rendla
natrice
de varlance-covarlance du sysEène desparts
defacteur
enpilées
singullère.
Une équationdoit
doncêtre
6l.inin6e.
Bart,en (1969)a
montré queles
esÈimateurs du maxiruum de vralsemblance sont, lndépendants de 1réquatlon omise. Nous avons choisidréliminer
la
quatrlène équatlon,
soit le
nodèIe de base :4
Ml=c
trIr=n
lny+d
I
+b
/p!+ +lnyf d lnp/p +d
lrrp1
11
1 4
L2d lnp/p +
€13
34
1np/p +ë
2334
2+b
lnp/p +d
lnp/p +d
L2L42224
I
2M3=c +b 1ny*d
lnp /p+d
hp/p
+d
23
24
33 34
1np/p +E
22
33
r3L4
3Ce tesË
conslste
à
tescer
1régalité d1j
=dji.
Dfaprèslrécrlture
desparts
defact,eur,
onteste
enfaiL Dlj
=D3i.
Orpar
constructlon,
DiJ
= L/2
($,
+
d5f).
Réallser ce
tesErevlent
doncâ
remettre en causé 1aËpêclficatton
mêne du rnodèleet
dela
formefonctionnelle.
Cfest
pourquol de nombreux auteurs supposentcecte
synétrie,
puisqurelle
est la
conséquence duchoix
dela
fornefonctlonnel 1e.
IT,2,2.
Test. de synÉcrleTI.2.3.
Hornogénéitélinéalre
dela
fonctlon
de coûtSi
1afonctlon
decoût
est
honogènelinêalre
alors
/À)or
Vp€,*{t
c(y,Àp) =Àc(y,
p)0n monEre que 1es
conditions
nêcessaireset
sufflsantes sur
les pararnètressont:
4{"i
= |
| -l =Q d1 +j
{atj=o
4 5 i=1 4{b1
1=1 4 j'l 4=
|
;É.
ai
=o
; 1=l 4âaij=o
1=I sonE ( âMi Lescontralntes
{. Ci 1=1 portêes=
1).par
le
nodèlecar
dêcoulent dela
concralnte draddicivité
Ainst,
dès quelron
accepte ou quelron
s.upposela
synétrie(drj
=dii),
alors
4
t
i=1
4
dij
=o + é
d13 =0
et la
contratnte
draddiciviEé J=1entralne
lrhornogénéltê1inêaire
dela
fonctlon
de coût.Par conErer
ll
est
possible
detester
lrhomogênéltÉsi
on nesuppose pas 1a symêtrle en tesEanE
Ia contrainte
4{
drj
=
or8.
II.2.4.
Homothêttcttéet
homogênêltélinÉalre
dela
fonction
de producli onProposltlon
:(i)
Lafonction
de product,lon esË hornothêttque(= )
La foncEion decoût
duale associéeest
dela
formeC
(y,P)
= H(y)
c(p)où H
est
unefonction
croissante
de Y.(ti)
La foncËion de productlonest
homogènelinéaire
(=)
La
fonctlon
de coûË duale associéeest
dela
formeC(y,
p)
= Y.c(p)(i) et (1i)
se démontrent de façon analogue.Dênontroas
(1)
:Soit
Y =F(X),
X= (Xl ...
X+)la
fonctlon
de producrlon.Si
elle
esÈ homothêtlque,i1
exlste
une fonct,ionf
crolssante,
et
unefonctlon
g
homogène de degrê untelles
que :V
x
etnl,
F(x)
=Y(s(x))
{
:rR-;.rRg
: lR/r -> rR Par al11eursC(y,
p)
= 1"11nX
pixi/Y=F(x)
4{
{= 4É
{=I
( n l'11 X enmulrlpliant
Xprrf tv)
:C(y,
p)
= Min XComme
g est
hornogènellnêalre
:j
o,c*,
f
''(r>tf
t'n
= ,1*
/
i'rl
,/
,
o,
*,
ryirl
=
*
(*)J
{ir,
=fîr,-s(xj
c(y,
P)
=f
-l(y)
l(1n x T 4{pixi
/
-lf
I {, i=1 4=Y(r)
urr"5 prxl/e(x)=
1=1 ( I :
rl
I c(v et G(P) = t'ttn Xi=l
5 prXr/g(x)=1
, p)
=H(y)
C(p)
où H =f
4 I lI
J
Lrhomothêticlté
puis
lrhomogénéitélinêaire
dela
fonct,lon depro-ductlon peut donc
être
Eescée draprèsla
forme de 1afonctlon
de coût.Pour
tesLer lfhomothêtlcitê, 11
suffira
doncde t,ester 1es
éga-1iÈês:
b1=
0V1
(pas de termescroisês
eny et
p).Si
on
accepcelrhomothêticitê, on testera
lrhornogénêitélinêaire
en Èestant a2
=
0
et
a1=
1.Pour
cela, il
faudra esÈluerIe
nodèle sous conÈraint,esdthonochê-tlcité et
1afonctlon
decoût.
Eneffet,
1es paramècresal et
a2nrinterviennent
pas dans 1es éguations depart
de facteurs.II.2.5.
ElasÈlciËés de AllenA11en
(I938) a
étendu
à un
noubre
quelconquede
facEeurs
1es travaux deJ.
Roblnsonet
I{icks
sur
les
substitutions factorielles.
Ltélasclctré
de subsEiEution enEre deuxfacteurs
esr définie
comnela variation
en
poureentâge du monËantrelaElf
dfun
prenier
facEeur à1a suiLe drune
varlatlon
en pourcentage duprlx relaLif
du second.Ces
êlasttclcés
permettent,tes t,e
r
1a
substi
tuabili
tê
et,
1afonction
de product,lon.à partir
de 1a fonctlon de
coût,
deséparabilité
entre
facteurs pour
1aJF'
(^)
^h
Soi
t
eii +e
Pj/xi
ùù
A11en dêfin{
t
ltsij = {
les élasticités
de substiEuElonpartielles par
:X^ F;
lF,;l
h:.7
x;x; lF
Ioù
F est
1afonction
deproduction ;
Fth0 Fr1 ...
Ftn F1 r"t. . ' 1JI l""u
1e <lêterminant deF
etî
I!rlff: | le
coÊacceur de F"15 dansF
appelêe matrice l{esslenne20.
Si la
productionest
efflcace
et si lfoffre
drinput
esÈparfalÈe-nent
êlastlque,
alors
(A1len,
193B,p.
503-509) :ùx,
['
ù1,
X=
eij /
Mjf;
X;
ÉP*
X.où
Mi
est la
part
du facEeurJ
dans 1ecott total.
11 exlsËe donc une
relatlon
slnple
entre
les êlasticitês
par-tlelles
desubstltutlon
deAllen
(s1tltution
de dernande defacteurs
(e13eii
Mi
srj
A lroptinurn
51i
stÉcrlu
crès
sinplement enfonctlon
desparts
defacteur
:
"ùc
Tr"
c;j
t'j
X,:
MJsij=#
pjlx*t
/Mj=
u*
=
P'X'l
"c
doncsl
,=CC'i
= CCli
oùc1
=
JCx:
x"'
c.
c,
--
-r
itJ
I'Iais C1 = C/PL
Mi
eÈ Cij
=
dtj
(draprès 1a fornefonctl onnelle) .
srj
-x*i
=) et
les élastlcicês
desubs-j
) (Lenne de Shephard) ordij
donc
Sij
=H1M3-Fd.ij
=
1*
(
if
t
llrMj
î
ItiMj
+ l,t(i I i)
O t'ttlf-srt
=M;
-
P!. +.J;- =.4
M:
Deplus etj
=Mi
+
d1j /
MiII.2.5. l.
IncerpréEaElon en termes desubstituabilltê
de facteursLrutilisatlon
deslj
pourcaractérier
la
substiEuabiliÈê des facEeursi et j
suppose que s11(
0
er sii (0.
Ceciest
enparticulier vérifiÉ
quandla
foncLlon de-éoûtest
concave. Eneffet
alors
1anatrlce (Ci3)
escdéflnte
négarive eE donc(Sij)
l.test, aussi.et sij
sont
nÉgatlfs,
alors
et
J/,
sont négatifs.
ùp,Les
facteurs
I
ecj
sonE donc substiEuables.De
plus, Stj
=
1+
d15/M1M3donc
s15)
1(==)
dij
'
)
0 (==)
+r[.
]a
1=l i n'
>oJ6'g;
Jl',
Dès
lors
:*
Si
sfj)0
alors
comme Sij =
e13/M3=
e3i/MiùX;
)o er
ùX,.yo
ùr.,
ù
F.Ains1,
une augmentation duprlx
du facEeurj
(respectivexûenti)
augnente
la
deruande dérivêe enlnput
I
(respecLivementj) et
dlmlnuecelle
enlnput j
(respectlvenent1).
s1
Sti
ùX;ùrt
si
0(srj(t
subs El Euables .
Alors
1es facEeursi et j
sonc forEemenEsubs!ltuables, car
non seulementle
niveaudrenplol
du facEeurI
augmeote quandcelui
dufacteur
j
dimlnue mais sa parE M1 augmente aussl.1es
facteurs
1
et j
seronEdirs
faiblemenE*si
di nl nue
Stj {
O, une augmentation depj
(respectlvenent p1)conjointement X1
et
X5.Les
facteurs
i
eEj
sonÈ compl6rnentaires.Nous pouvons donc résumer
ainsl lrinterprétation
des6lastlciEés
desubstltutlon
deAllen
(sous lthypothèse st1(O et
s33(
0).
1es facEeurs
I et j
sont
conplémentat resles
facÈeurst
eEj
sonE faiblement
subsEi Èuables
si
les
facteurs Ij
erj
sonÈ fortemenE, subs t1 tuables
irf.2.5.2.
Incerprécation
en termes desêparabilitê
0n ralsonne
icl
sur
une fonct.lon de produetlonF
:-
deuxfols
dlffêrentiable,
-
stri
ctement quasl-concave,-
honothéElque doncC(y,
p)
=It(y).
G(p)-
croissance en chaque 1nput.Les
rêsultats
sulvants
orrÈÉcê prêsentés
par
BerndË (1e73). DéfinlÈ1on :F
esE faiblemenËsli
Vs i Vr,j
é
N",JTMS
m-où TltS(Xt,
(=7Vs€fl,
<=)Vséfr,
(xt, Xj)
=
0Xj) =
P't/S':
=
,ùI
-JX;
22. et Chri stensenentre 1a
falble
C(y,
p)
=
!{
(y).
Soient
I r,
et
R = fN1, Nn-l
f
,rt"
I
es
indices
des facteurspartltion
defl,
{|sêparable
par
rapport
à
une part,iEion R aeIt,
n]
V
tfw,
ùF
ù XJ
Une
fonctlon
de
produetlonest
doncfalblement
séparablepar
rapporE àune
partit,lon
de lrenseruble de sesinputs, si le
taux marginal desubs-Ëitution entre
deuxinputs
appartenântà
1a rnêroesous-pârtie ne
dépendpas du niveau dtemplol drun lnput
ntaPparEenantPas â
cettesous-parti e.
Une lnterprêEaElon
plus facl1e est
donnéepar
le
Chêorèmesuivant
:Thêorème1:
F
faiblemencséparablepar
rapportàR
<=>U
s
efr, 4 ,|xS
fonctlonrd'inputs
tndicês
par Nsrte1le
que iF(x,i
,
xn)
=i
1x",
..
.,
xr).
Les foncËlons XS
constltuent
des agrêgats des lnpuEslndicés
parNs.
Par
exemple,si la
foncÈ.londe
produeLionest
sêparable Pour 1es consommatlonsintermédialres
par rapport aux trois autres
facÈeurs(cerre,
Èraval1,
capital).
Onpeut
dêflnlr
unefonctlon valeur
ajouLêene dêpendant que de ces
trols
dernters
facteurs.Un
deuxième Èhéorèneétablit
une
équivalencesêparabilirê
deF
et
ce1lede
la
fonccion
Gtel1e
queG(p).
Nous pouvons
fl
nalement êcrire
:Thêorème
3
:
F
faiblernent séparablepar
rapport
â
R!l
,Vi,jéN",Vkftt",cj
cr6
= G3g GtLes
élasttcités
de A11en permettenÈ donc decester
la
séparablllté
entre
1es facteurs.Alnsl,
dansle
casde
quatre
facÈeurs,consommaËions
lnterm6diaires
(facteur 1)
etsrécriE
:sr2
=
sr3stz
=
s14la
sêparabilité entre
les1es
trois
auEres facEeursCelle
entre
les
consommatlonsinternêdiaires
et le travail
(facteur
3),et
1ecapital
(facteur
2) et
1aterre
(facteur
4) stécrlt:
st2
= s14s23
= s34
sl2
= s23
Pour tesEer ces
relaLlonsr
ll faut
donc Eester des relaEions du typeSlk =
1+
d1g/I"I1Mk=
Sjk =
1+
dlg/M3Mtçsoic
d1ç/M1 = dit/1,154
avee !11 =
Cl
* {.
di1
lnpk k=1(bi
=
0 car
1afonction
de productlon et, supposêe homothétl-que).On monËre
quril y a
séparabtlitê entre
1es consommatlonsinterm6-diaires
eEles
autres
facteurs
si
1escontraintes
:c3
= dt3/dtz
czdZ2=aZV/dtt
d23 =
dr: . dtz/atl
sont
vérifiées-Cl=l+dttCz/dtz
d33=d2r:/drr
St
ces
ctnq contraintes
sonÈvêrlfi6es, i1 y a
sÉparabilitê
entre
lefacteur 1
eE,1es troi
s
aucres
facteurs
quelques sotent les
valeursprises par
1esvaleurs
explteatives
quesont
les prix
deslnputs
p1,P2'
P3, P4'La sêparabtllEé au
seul
point
moyenstécriE plus
sinplemenE. Enef
teC,
ence
polnt Ml
=Ci
car
1rr p1 =0
(1n p1=
iî-Fi
etpar
convenEion, ona
écrlE
1n p1à
J"a place deln
p1- Iffi1.
La séparabtllEê encre
le
facteur
I
eE 1esErois
autres s'Écrit
c3
=dl3
/
dtz
czalors
![1. Montrer que la fonction coût est croissante sur [0;100].](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)