HAL Id: hal-01527220
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To cite this version:
Jean-Jacques Laffont. Théorie des incitations : un exemple introductif. [Rapport de recherche] Institut
de mathématiques économiques (IME). 1980, 32 p., bibliographie. �hal-01527220�
L'auteur
est
Professeur
à l'Université
des
Sciences
Sociales
de
Toulouse,
Maître
de
Conférences
à l'Ecole
Polytechnique.
N°25 Bernard FUSTIER: Etude empirique sur la notion de région homogène (avril 1978)
N°26 Claude PONSARD: On the Imprécision of Consumer's Spatial Preferences(avril 1978)
N°27 Roland LANTNER: L'apport de la théorie des graphes aux représentations de
l'espace économique (avril 1978)
N'°28 Emmanuel JOLLES: La théorie des sous-ensembles flous au service de la
décision: deux exemples d'application (mai 1978)
N°29 Michel PREVOT: Algorithme pour la résolution des systèmes flous (mai 1978)
N°30 Bernard FUSTIER: Contribution à l'analyse spatiale de l'attraction imprécise
(juin 1978)
N031 TRAN QUI Phuoc: Régionalisation de l'économie française par une méthode de taxinomie numérique floue (juin 1978)
N°32 Louis De MESNARD: La dominance régionale et son imprécision, traitement
dans le type général de structure (juin 1978)
N°33 Max PINHAS: Investissement et taux d'intérêt. Un modèle stochastiques
d'analyse conjoncturelle (octobre 1978) .
N°34 Bernard FUSTIER, Bernard ROUGET: La nouvelle théorie du consommateur est-elle
testable? (janvier 1979)
N°35 Didier DUBOIS: Notes sur l'intérêt des sous-ensembles flous en analyse de
l'attraction de points de vente (février 1979)
N°36 Heinz SCHLEICHER, Equity Analysis of Public Investments: Pure and Mixed
Game-Theoretic Solutions (April 1979)
N° 37 Jean JASKOLD GABSZFWICZ : Théories de la concurrence imparfaite : illustrations récentes de thèmes anciens ( juin 1979).
N° 38 Bernard FUSTIER : Contribution à l'étude d'un caractère statistique flou
(janvier 1980).
N°39 Pietro BALESTRA : Modèles de régression avec variables muettes explicatives
décentralisation de l'information dans la formulation de la politique
économique ne fait que commencer. Toutefois, les cinq dernières années
ont vu se multiplier les études théoriques dans ce domaine. La défi-
nition même d'un concept d'optimalité approprié n'est pas encore acquise
(voir par exemple MYERSON [1979]). Divers problèmes informationnels ont été formulés, le problème de la révélation des préférences pour les biens
publics (voir par exemple GREEN et LAFFONT [1979]), le problème de la
relation principal - agent (HOLMSTROM [1979] , SHAVELL [1979]), le problème
de la définition d'enchères optimales (MYERSON (1978]), le problème de la
transmission d'information statistique (GREEN [1979] ), le problème des
bonus dans la planification centralisée (WEITZMAN [1975], THOMSON [1979], le problème de la taxation de caractéristiques non observables (MIRRLEES
[1976]), etc.... De toutes ces études se dégage une méthodologie qui est
à peu près la suivante : étant donné le problème informationnel particu- lier considéré qui, pour être bien défini, doit inclure une spécification
précise des outils disponibles, taxes, types d'observations, etc..., la
première tâche doit être une caractérisation des mécanismes qui permet-
tent de résoudre le problème informationnel. Comme il existe plusieurs
concepts de solution selon la force des incitations que l'on souhaite
obtenir, il y aura plusieurs théorèmes de caractérisation pour un problème
donné. Ainsi on caractérisera les mécanismes pour lesquels le concept
d'équilibre utilisé est un équilibre en stratégies dominantes ou seulement
un équilibre de Nash. Lorsqu'il n'existera pas de mécanisme pour un
concept d'équilibre donné on concluera à un théorème d'impossibilité,
comme par exemple le très important théorème d'impossibilité de GIBBARD
[1973] ] et SATTERTHWAITE [ 1975 ] .
Les théorèmes de caractérisation sont fondamentaux car ils
permettent de décrire la famille des solutions d'un problème information-
nel donné et par suite de s'interroger sur les propriétés additionnelles
que l'on peut imposer à ces mécanismes. En existe-t-il qui soient indivi-
des coalitions ou bien de neutres par rapport à des objectifs distri-
butifs, etc... ?
Lorsque l'étude de toutes les propriétés intéressantes a été
menée à bien, on dispose d'une solution complète d'un problème infor- mationnel donné pour un concept d'équilibre donné.
L'objectif de cette note est d'abord d'illustrer cette démarche
sur un exemple très simple dans le cas de la révélation des préférences
pour les biens publics. Dans une deuxième partie on montrera comment une
modification des outils disponibles modifie le problème et on fera le
lien entre les mécanismes obtenus dans la première partie et une approche
de ce problème qui est davantage dans l'esprit de l'économie publique
classique. Enfin, dans une troisième partie et dans des annexes, on indi-
quera certaines généralisations et extensions des résultats obtenus dans
2. LE MODELE
On considère
une économie
formée
de
N
agents
et trois
biens,
dont
deux biens
privés
et un bien
public.
La fonction
d'utilité
de
l'agent
i ,
i = 1,...,N ,
s'écrit :
Ui (y
�x�,k,
E)
6
� ( k + xi 2 ) - 2 2 + yi
où
y. i est la consommation
de bien
1,
x.
est
la consommation
de bien
2,
et
k
est
le niveau
de bien
public.
La fonction
Ui(.)
est
additivement
séparable
en bien
1
et
l'utilité
marginale
du bien
1 est
connue
et identique
pour
tous
les
agents.
Le bien
1 va donc nous permettre
de réaliser
des compensations
bien
définies
entre
les
agents.
On suppose
que le bien
public
a un coût
nul ou que le coût
imputé
à l'agent
i
est
déjà
inclus
dans
sa disposition
à payer
pour
le
bien
public
_ _k2
2
Le bien 2 est produit à partir du bien 1 par une technologie à rendements constants et la concurrence conduit à un prix p fixé pour
ce bien.
Le centre connaît la forme fonctionnelle de la fonction U. 1 (qui est donc la même pour tous les agents) mais ignore la vraie valeur
des paramètres 6i
1 (que nous noterons 6.) : 9. appartient à un inter- valle ouvert de R , noté
0 .
Le centre souhaite prendre une "bonne" décision concernant le
niveau de bien public, c'est-à-dire une décision Pareto optimale ou
N N A
Le centre peut procéder de la façon suivante : il sait qu'étant
donné k , l'agent i choisira un niveau de bien 2 qui maximise son
bien-être, c'est-à-dire tel que
1 - p
8xi
ou encore ici x. = ( 6, 1 ) 2 2 1
2P
Le centre peut donc obtenir la fonction d'utilité indirecte de l'agent i , en substituant cette fonction de demande dans la fonction d'utilité :
A
k2
Si A 2
Si A
2
ei k
2
+
2p _ p
(
2P )
+
yi
Il obtient
une fonction
wi ( k, ei. p -
1 k
2 +
2.p -
p
(2p )2
qui exprime la disposition nette à payer pour le bien public lorsque l'agent consomme de façon optimale.
Le centre cherche à obtenir l'information décentralisée
1 ' " * ' AN pour pouvoir maximiser
N -
E w. k, Oif p
par rapport à k , c'est-à-dire ici pour choisir le niveau de bien public
Pour cela, il cherche des compensations en bien 1 , ti (6) ,
qui pour chaque agent créent une incitation à dire la vérité. Nous
allons ici utiliser une notion très forte d'incitation, en demandant que
la vérité soit pour chaque agent une stratégie dominante, c'est-à-dire
la meilleure réponse pour lui quelles que soient les réponses des autres
agents.
3. CARACTERISATION DES MECANISMES INCITATIFS
Chaque agent i connaît l'utilisation que fera le centre de
l'information transmise. Il résoudra le programme :
N Max iEl wi ( k, 9. , P ) k i=l l l N d'où k = k* (6) = N 1 i
Soit t.(6) le transfert en bien 1 pour l'agent i ; celui-ci
cherche à maximiser
ui ( x. (8. ) , k, 0i + �6) - p x. (8, )
par rapport à 6i,, en ayant une consommation de bien 2d x (8.) � f optimale.
(1) 1 (k P) ak (e) + at i (6) =0
3k � 3 6i 36�
Une condition nécessaire pour que la vérité soit une stratégie
dominante est que
6 1 = Ai i soit solution de l'équation (1).
Comme la vérité doit être stratégie dominante cette égalité
doit être valable pour tout
6_. = (0.,-.., S , 6 , ... , 6 ) et
comme on cherche à obtenir la vérité en toutes circonstances, elle doit
être vraie pour tout Oi d'où l'identité fonctionnelle.
3t. Pw � 8k*
D 6, Dk
k p
a e. i (A)
Par conséquent : ti(A) _ - k 1 oi 9 p a A, (A) d 8i + + V6-!»où h.( ( 0 . ) est une fonction arbitraire de
9_i , , c'est-à-dire ici
f y z1 1 h
"
-
( ei _
� ) N
N "i
�
ni ( 8_i)
ti (A) _ - 21 N-1 ) + ( E 0 , ) -4- + hui ( e )Il reste bien sûr à vérifier que 6.
i est un maximum global du programme du consommateur i ce qui est le cas car la dérivée
seconde de w. ( k (6) , 8,, p ) + t (6) par rapport à 8. est - �.
Notons d'ailleurs que d'après la définition de k*(6)
�3w. 3w.
3k~ = "
jgéi 3k"
d'où
t
�O) = JE
2kJ (k (6) 01 il p ae i (e) d6i+ hi(6-i)
= E w. + h. (9 . )
c'est-à-dire la définition des mécanismes de Clarke-Groves.
4. PROPRIETES DES MECANISMES INCITATIFS
La caractérisation obtenue ci-dessus nous permet maintenant
d'étudier en détail la classe des mécanismes incitatifs et leurs proprié-
tés. Nous examinerons ici seulement quelques questions à titre illus-
tratif.
a) Equilibre du budget.
La somme des transferts obtenus pour un mécanisme donné,
c'est-à-dire pour un choix des fonctions h,(.),n'est pas nécessairement
nulle.
Est-il possible de trouver des fonctions h.(.) telles que
N
ou 2 N 2 N el 1 + N2 le, i 9�-t + E h. (0 0
Il suffit pour cela de choisir
hi(6-i' - 2 N
i*-i E 0 2 J N2 ( N - 2i A 63 3 91
Il est donc possible ici de trouver une solution d'équilibre
général parfaite au problème posé puisque le budget du mécanisme utilisé
est équilibré. Ceci n'est malheureusement pas le cas en général (voir
GREEN et LAFFONT [1979 ] ) .
b) Manipulation par des coalitions.
On peut se demander maintenant si dans la classe des mécanis- mes individuellement incitatifs mise en évidence ci-dessus il en existe
qui soient robustes par rapport aux coalitions.
Considérons par exemple la coalition des agents i et j .
Ils vont chercher à maximiser leur utilité jointe qui est à une constante
près
wi ( k (A) , Ai, p ) + w.(k*(0), Oie p + t (E» + t. (6)
Une condition nécessaire pour que la vérité soit, pour la
coalition, la stratégie dominante est :
à k (k* (e) x i (e) + Pk (k* (e) j p ) ou. i
(e) +
du. (A) +
3t.
3w. � - 9. , . 3k (6) + 9 w- 1(k * (A) . 6. , - p) . ck (9) Pk (k � p) . 36. + 3k k (k j P) ?6. + (6) + j (6) = o 36 36. J 3 avec 6. i = 6 i et 6. J =6. �
Comme ces égalités doivent être vraies pour tout
6. , � � i , � � j puisqu'on requiert la dominante stratégique et pour tout 6. , 6.
puisqu'on veut obtenir la vérité en toutes circonstances, ces égalités
sont en fait des identités fonctionnelles.
Elles se ramènent ici à :
n1nn-'n N N n30. 1 E ek ),+-(ex E Ak ) -e (N -1 ) + VM 6 k 6 ei à h. � 0 N 3 D N N � 1 N ) - j 3 N2 2 � + N2 N2 36. ~ ° 3 h. 6. (2) 1 (0 . ) + �p (0 .) 3 6 -3 N "� i 3 h. e i- (0 . ) = --i- + 4» (6 .) ) j
ce qui est impossible puisque le membre de gauche de (2) ne dépend
pas de 6. i
On pourrait toutefois montrer la possibilité de trouver des fonctions h. (.) telles qu'une coalition de trois agents donnés n'ait pas intérêt à distordre la vérité.
5. OBSERVABILITE ET INCITATIONS.
Supposons maintenant que le centre a la possibilité d'obser- ver les quantités de bien privé 2 achetées par les agents. A partir de ces quantités, il va déduire une valeur du paramètre 6.
1 pour chaque agent. Il utilisera cette connaissance indirecte de 6i
1 i = 1 ... N pour choisir un niveau de bien public qui maximise le bien-être social. Il définit ainsi une relation entre les quantités de bien privé consommées et la quantité de bien public. Les agents économiques qui connaissent cette relation vont par suite modifier leur comportement pour profiter de cette relation conduisant à une perte sociale.
Soit 6. = 2 p xi/2 l'inférence faite par l'Etat sur les goûts de 1'agent i au vu de sa consommation de bien 2 . Il résoud alors le programme : Max E 1 [ 6i (k + xi 1/2 p x. i J - N k2 d'où k (x) 2 2 p i=1 N E x. 1/2 N
En fait l'agent va distordre son comportement comme suit : il résoud d'où 1/2 = ai + ai - 2p E y x 1/2 i 2p N N2 j 3
Sommant sur i on obtient
j J 2p
et donc k* (x) = J J N
Dans cet exemple le choix du bien public n'est pas affecté
par les distortions des consommations de bien 2 mais il s'agit d'une
coincidence dû à l'exemple particulier que nous avons choisi.
Toutefois il existe une perte sociale due à de mauvaises consom-
mations de bien 2. En effet
-p^Â+i� 6i+ V--z(è + i)ei? ej
= N2 p p N 2 + 2 p N3 J
A l'optimum
ei xi · 1/2 _ p xi - _
4P e i
D'où la perte pour l'agent
i
e 2 p
p 6
2
2p
ei j
e.
N2
+
N4 N3
i
La perte sociale est donc
P = N [N E 0 2
c z e
)2
�
.
La perte est donc en N
avec
N P OE Var 6
si les
6.
sont considérés
comme les tirages indépendants d'une loi de
variance
Var 6.
Pour lutter
contre ce comportement déviant le centre peut
utiliser
un système de taxes
t.(x)
i = 1,...,N
pour conduire chaque
solution de Une
condition nécessaire pour cela est que x. 1 = 4 e2 p i 2 soit
vu
Du
3k*
3t
x- + 3k 3x. p + 3x (X) c'est-à-dire2 xi 6i o
i N j j
] P Xi 5
� p +
"37. 3t , , (X)
En remplaçant xi par 1
�
et en observant que
4p2
Pt
Dt
D6
9 T
36.
ax, (x) _
=
-yg- (X(6.))
x.
=
a6, (e.i)
�
a xl
on aD 0.
O .
N
i N
et doncc'est-à-dire exactement au signe près les transferts du mécanisme de révé-
lation.
Noter qu'ici cette taxe peut se reécrire
t (x)
=2p2 (N±i
�Xi_
2p
�, k +
H ( x
Il s'agit donc d'une taxe à la consommation du bien 2 dont le
coefficient de la partie linéaire augmente avec le prix du bien 2 et di-
minue avec le nombre d'agents et dont la partie non linéaire dépend du
niveau de bien public.
De plus, pour obtenir un système de taxes conduisant à un budget équilibré des constantes appropriés H (x ) doivent être ajoutées à cette formule.
On peut encore écrire : VX) " N2 2 P2 xi - (2 N 2) 2 ( j�i Vxj5 ^Xi + H (x-i) = a xi - ai � + Yi
où les valeurs appropriées des coefficients sont déterminées par l'obser-
vation des comportements sur le marché du bien 2, à l'équilibre.
Puisqu'ici on connaît la relation entre choix optimal de bien 2
et valeur vraie de Oi . lorsqu'on adopte le système de taxation non
linéaire qui conduit l'agent à choisir la bonne quantité de bien 2 on
pourrait substituer à l'observation de la consommation de bien 2 une
déclaration de l'agent sur la quantité.
L'équivalence obtenue avec les mécanismes de la première partie
devient alors une illustration d'un théorème général qui montre que les
mécanismes Pareto optimaux à stratégies dominantes sont isomorphes aux mécanismes de révélation directe de Clarke-Groves (voir GREEN et LAFFONT
( 1979] ) .
Ainsi, il apparaît que l'observation d'une caractéristique de
l'agent liée au paramètre inconnu mais manipulable par celui-ci n'est
d'aucune valeur lorsqu'on cherche à obtenir un optimum de Pareto strict
au sens où elle n'élargit pas la classe des mécanismes utilisables. Toute-
fois, cette observation partielle permet, en l'absence de tout autre méca-
6. REVELATION ET FINANCEMENT DES BIENS PUBLICS
Nous avons précisé au début de cette note que les coûts du bien
public étaient répartis entre les
agents,ex ante. C'est l'interprétation
qu'il faut donner au
terme - 2 qui résulte par exemple du partage égali- taire d'un coût total
c (k) =
N 2 k2
Etant donné cette répartition ex ante, les mécanismes étudiés
ont eu simplement pour objet de prendre une bonne décision concernant
le niveau de bien public .
Peut-on également utiliser ces mécanismes pour déterminer de
façon endogène des parts de financement qui dépendraient des préférences
des agents ? En général, non, mais cela est possible pour l'exemple *
quadratique que nous avons ici.
Soit O. (6) , i = 1 , ... , N , 1 des parts de financement N
telles que E 6. (6) = N . _
Le coût pour un agent est alors :
2
2
L'agent i maximise maintenant :
i � (
2 +
t. 1 (0)
d'où
18.
1
H.
(6)
(E 6.)2
a
t±
[ 6. -
� �
6.
(6) J ] 3 + (0)
=0
N
N
a 6 .
2 N2
2
a
6
.
d'où
f
E e.
1 3
6i (6) (ze
9.)2
i
1 N
L
,
NN3e
�2N
(L
.
8.)2 J
i
-i
Par suite
la dérivée seconde par rapport à 8.
� de :
6 k
(9) -
6. (6) k* (6)2 +
t
(6)
i x 2 i
est - 1 . par conséquent, lorsque le transfert est t± (6) , N
l
la vérité est une stratégie dominante bien que la réponse soit également
utilisée pour déterminer les parts de financement du bien public.
N 8. Exemple : O. (8) = E a. a 0, (6) (L 8.)2 Alors t. (8) = a 8 . J 2 N 2 d Ai + h � (6_ )
1
( X6j)
=
-
-JÉ
�� 6. + h. (6 .)
1 1 -1 2 N � � -�Pour que le budget soit équilibré, nous devons avoir : N E t. (6) :: 0 i=l � ^ 1 N N - ou 1 E ( E 6.) 6. + E h. (6_.) = 0 2 Ni=l jjÉi D �. 1 � -1
On peut prendre par exemple :
h.
(6
= - 2 (N - 1 2) N
z
6. e
6
£
£I:i
Noter qu'on peut choisir pour t. (.)
:
t. 0) = 1
�( z 8.) (6. -
E 8.)
2 N j�i � J � �
On a alors, si les 6. sont indépendants, de même loi et de moyenne nulle :
Et. (6) = - 1 (N-l)E6.xO=0 i = 1 , ... , N
2N 1
Considérons maintenant un agent qui essaie de modifier sa consom-
mation de bien 1 de façon stratégique. Il maximise :
6. k* (x) +9.
N
et
6.
(.)
ne dépend
que de la caractéristique
de l'agent
i ,
telle
qu'elle
est
déduite
de son comportement
de marché.
On a donc
le
programme :
x.
�
N
îiii
N
�
i
d'ou
i p x i -1/2
+ 1
xi 1/2 p x 1/2
6;
(.)
���������
N . p = 0Prenons par exemple �. =
�-����-�
La condition du premier ordre peut être reécrite:
(p 2 + P) Y Xi +
P 2
N
x
�
1/2
= (LP7 +N) )
N x N j=l J � 2N d'où en sommant N j=l J 2 p2 + PN + p2N(3)
2p x 1/2
i- e (2p+N) -
�p(N+2
� 6.
p+N (p+N) (p+pN+N) j�j jPour simplifier nous nous intéressons seulement aux équilibres de Nash intérieurs, c'est-à-dire que nous faisons les hypothèses sur la distribution des paramètres 6 qui assurent l'existence d'équilibres de
Nash intérieurs. i
De (3) on peut déduire la production de bien public
k = (N+2p) k* � k* p+pN+N
où N
k* _
3 E = S. J
désigne la production optimale.
La perte sociale comporte deux éléments : d'une part la production de bien public n'est pas optimale, d'autre part l'allocation des ressources
entre les biens privés let 2 est mauvaise.
Le calcul laborieux de la perte sociale donne N P 2 3=1 i 2 p(N+2p) 2 _ p (N+2p) 2 N 2 4 (p+N) 2 � 2 (p+N) (p+pN+N) 4 (p+N)2 (p+pN+N) 2 2 (p+pN+N) 2N -1
Quand N est grand la perte sociale par tête est de l'ordre
de p(2p+l) (E 6)2
4(p+l)"
Ainsi lorsqu'on cherche à utiliser l'observation du comportement
des agents sur un marché de bien privé pour déterminer la part de financement
du bien public, la perte sociale n'est plus négligeable quand le nombre d'
agents est grand. En effet, contrairement à la section 5 où, lorsque N croit, le gain possible d'une distorsion tend vers zéro alors que le coût
reste fini,ici, le gain possible via un moindre financement reste fini et
donc une distorsion peut rester intéressante lorsque N croit.
Il faut noter que la perte par tête obtenue ci-dessus n'est qu'une
valeur moyenne. En effet, si tous les consommateurs perdent du bien-être
en raison d'une mauvaise allocation des ressources entre les biens privés
socialement optimal, à savoir ceux qui ont un 6. faible, c'est-à-dire
ceux qui aiment relativement peu le bien public. On peut même vérifier que certains agents gagnent à la "manipulation collective".
Le comportement de Nash supposé ci-dessus n'est qu'une possibi-
lité parmi bien d'autres. Les diverses formalisations envisageables abou-
tissent néanmoins aux mêmes résultats qualitatifs. Donnons deux
exemples :
Si chaque agent connaît la distribution des vrais 0 . et suppose
que les autres se comportent honnêtement :
(6. = 7 1/2 dioù 7 1/2 =
2 P )
k = k
p(N-1) E A.
� �
k (1-P)
et la perte sociale par tête tend vers p(2p+l) (E 6.)
Une autre hypothèse
consiste à supposer que 1'agent se considère
négligeable quant à la détermination
du niveau de bien public et que
les autres répondent honnêtement
d'où
k = E 6.
J
mais qu'il peut influencer sa part de financement
E
e
�
Au terme de l'étude de cet exemple nous nous bornerons à quelques remarques destinées à situer les résultats obtenus dans la problématique
générale de la théorie des incitations.
L'approche directe des asymétries d'information par la construc-
tion de mécanismes à stratégies dominantes destinés à transmettre l'infor-
mation aux agents décideurs a un domaine très limité de validité (illustré
ici par l'hypothèse de séparabilité et par le fait qu'aucun résultat
n'aurait été obtenu dans le secteur 6 avec des paramètres inconnus de dimension supérieure à un).
Il existe alors de nombreuses façons d'aborder le problème dans
un esprit de second rang et nous en avons illustré une dans cette note
en supposant qu'il existe un bien privé lié au bien public dans les
goûts des agents dont la consommation est observable. Il reste toutefois
un long chemin à parcourir avant que nous ayons une vision claire de ces multiples approches qui permette de poser le problème de l'optimalité
ANNEXE 1
Nous montrons ci-dessous dans quelles circonstances on peut
résoudre simultanément les problèmes de choix du bien public et de son
financement endogène dans le cas général.
Considérons une fonction d'utilité
v. (6, , k) i = 1 , ... , N
et une fonction de coût c (k) avec une répartition envisagée du
N
coût 6. � (0) c (k) avec E 0, (6) = 1 , où les parts 6. dépendent
i=l 1 X 1 des réponses 9 .. . Le centre maximise . N E v (8. , k) - c (k) N au, arc d'où z 1 (6. , k) - (k) = 0 i=l 3 k � a k
Si les fonctions v. sont strictement concaves en k et si c i
est strictement convexe, des conditions de bord donnent l'existence d'une
solution k * et si ces fonctions sont de classe C 2 l'existence de *
k (0) différentiable par le théorème des fonctions implicites.
On peut rechercher des transferts t. (8) qui conduisent les agents à annoncer leur vrai paramètre 6..
L'agent i maximise
v. (6. , k (6)) - o. (6) c (k*)+ t. (6)
i � i i
d'où la condition du 1er ordre transformée en identité fonctionnelle
puisque la vérité doit être une stratégie dominante :
* * a t (6) =-������+���(6) c (k ) +6. ô. (6) dc9k 36. i 9 k 9 9. i 9 9. i -1 dka8, i D'où t, (6) _ - � ��-(0.,k (0)) ��dO. J a 0 , (0) c(k ) * d6, ak x a6 i � / a6 i x + /6.0) �-�-d6. + h (6 ,) J 1 dk 36. � x -1
La vérité satisfait donc la condition du 1er ordre.
Une condition suffisante pour que 9.
i = 9 . � soit un maximum global du problème est que la fonction
v,
(6�,k* (6)) - " Ôi (8) c (k (6)) + t, (6)
(3)
3k
�
3k
2
aA.
3k
� /k-)
âk
� ,k)
36
9 a2
�.
-
(6. , k)
9k
� 0
3k30.
1
36.
i
i
pour tout couple
(6i 8i)
Une condition nécessaire est que 6.
1 soit un maximum local,
c'est-à-dire,
������(6. , k 6-i» ��� (6. , 6 .) � 0
ce qui est toujours vérifié d'après nos hypothèses de concavité car
k D 6.
i
-
2 vi
a2 c
De façon générale,
il est difficile
de dire quand la condition
(3) peut être vérifiée.
Toutefois,
elle l'est
si :
a A2
0
et
k 2 1
= 0
i
ce qui est le cas si :
v. (8, , k) = 0. k et c (k) =� 111
2
Une autre démarche consiste à s'assurer que seule la vérité
peut satisfaire les conditions du premier ordre, c'est-à-dire :
ak (0) [ � 3v. ^ (0. , k ^ (0)) 3v. - (6. , * (0)) ] jt 0 V 0. , V 6_.
30.
(8) [
3k
(6, , 1
k (A) ) -
3k
x
k (6) ) ]
� 0
v
�
X
i
ou
3k* (0)
a 2
vi
-
k * (6»
( 6. -
� 6 .) F a
30.
i
3k30.
i
�
� �
ce qui est assuré si :
*
k (6) est strictement monotone
3 v.
et 1 est strictement croissant (ou décroissant) avec 9..
ANNEXE 2
Nous montrons ici comment, lorsqu'on obtient un mécanisme Pareto
optimal à stratégies dominantes pour les fonctions v. =9. k - k2 ,
on peut le transformer en un mécanisme dont les équilibres de Nash sont
Pareto optimaux pour des fonctions
vi concaves en k quelconques.
Nous appelons cette transformation l'application de Groves -
Ledyard [ 1 977 L
Quelle que soit sa fonction d'utilité v. (6. , k) , l'agent
doit annoncer une stratégie s. � sachant que sa réponse sera interprétée de la façon suivante :
Il lui sera attribué une fonction d'utilité approchée s. k
avec une part du coût Ô. (s) c (k) . Le centre maximisera
(E s.) k - E 6. (s) c (k)
ou (E s.) k - c (k) 1
De plus, il lui sera attribué un transfert calculé comme ci- , dessus pour la fonction d'utilité approchée, i.e.
t. - L (s) = - s, ds. i + 7 � ��(s)c(k)ds.+ � 7 I 6. (s) de � ds. î Il va donc maximiser v. (6. , k (s)) - 6. (s) c (k) + t. (s) 11 � i i
d'où la condition du 1er ordre :
* * 3 v _ * 3k 3k (8 , , k (s)) s. = 0 3 k � 3 s. � 3 s. 3 v.. * ou 1 (6, , k (s)) = s, 3 k � z
(Sous les hypothèses ci-dessous, les conditions du 2e ordre sont
satisfaites).
A un équilibre de Nash du jeu en s
N 3v - _ * N
* L ���0. , k (s)) = E s. = c' (k*)
i=l 3 k � i=1 1
C'est donc un optimum de Pareto.
Sous les hypothèses faites il existe un k* (s) unique, et,
puisque
* 3 v _ *
s. � =���0. , k ) 3 k �
2
Lorsque
c (k) = k
nous avons
vu qu'il
est
possible
de choisir
2
les
fonctions
t.
(.)
de manière
à équilibrer
le budget.
On obtient
donc un mécanisme
d'équilibre
général
avec une impu-
2
tation
endogène
d'un
coût
approché
�
dont
l'équilibre
de Nash est
2
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