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Théorie des incitations : un exemple introductif

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Academic year: 2021

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HAL Id: hal-01527220

https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01527220

Submitted on 24 May 2017

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To cite this version:

Jean-Jacques Laffont. Théorie des incitations : un exemple introductif. [Rapport de recherche] Institut

de mathématiques économiques (IME). 1980, 32 p., bibliographie. �hal-01527220�

(2)
(3)

L'auteur

est

Professeur

à l'Université

des

Sciences

Sociales

de

Toulouse,

Maître

de

Conférences

à l'Ecole

Polytechnique.

(4)

N°25 Bernard FUSTIER: Etude empirique sur la notion de région homogène (avril 1978)

N°26 Claude PONSARD: On the Imprécision of Consumer's Spatial Preferences(avril 1978)

N°27 Roland LANTNER: L'apport de la théorie des graphes aux représentations de

l'espace économique (avril 1978)

N'°28 Emmanuel JOLLES: La théorie des sous-ensembles flous au service de la

décision: deux exemples d'application (mai 1978)

N°29 Michel PREVOT: Algorithme pour la résolution des systèmes flous (mai 1978)

N°30 Bernard FUSTIER: Contribution à l'analyse spatiale de l'attraction imprécise

(juin 1978)

N031 TRAN QUI Phuoc: Régionalisation de l'économie française par une méthode de taxinomie numérique floue (juin 1978)

N°32 Louis De MESNARD: La dominance régionale et son imprécision, traitement

dans le type général de structure (juin 1978)

N°33 Max PINHAS: Investissement et taux d'intérêt. Un modèle stochastiques

d'analyse conjoncturelle (octobre 1978) .

N°34 Bernard FUSTIER, Bernard ROUGET: La nouvelle théorie du consommateur est-elle

testable? (janvier 1979)

N°35 Didier DUBOIS: Notes sur l'intérêt des sous-ensembles flous en analyse de

l'attraction de points de vente (février 1979)

N°36 Heinz SCHLEICHER, Equity Analysis of Public Investments: Pure and Mixed

Game-Theoretic Solutions (April 1979)

N° 37 Jean JASKOLD GABSZFWICZ : Théories de la concurrence imparfaite : illustrations récentes de thèmes anciens ( juin 1979).

N° 38 Bernard FUSTIER : Contribution à l'étude d'un caractère statistique flou

(janvier 1980).

N°39 Pietro BALESTRA : Modèles de régression avec variables muettes explicatives

(5)

décentralisation de l'information dans la formulation de la politique

économique ne fait que commencer. Toutefois, les cinq dernières années

ont vu se multiplier les études théoriques dans ce domaine. La défi-

nition même d'un concept d'optimalité approprié n'est pas encore acquise

(voir par exemple MYERSON [1979]). Divers problèmes informationnels ont été formulés, le problème de la révélation des préférences pour les biens

publics (voir par exemple GREEN et LAFFONT [1979]), le problème de la

relation principal - agent (HOLMSTROM [1979] , SHAVELL [1979]), le problème

de la définition d'enchères optimales (MYERSON (1978]), le problème de la

transmission d'information statistique (GREEN [1979] ), le problème des

bonus dans la planification centralisée (WEITZMAN [1975], THOMSON [1979], le problème de la taxation de caractéristiques non observables (MIRRLEES

[1976]), etc.... De toutes ces études se dégage une méthodologie qui est

à peu près la suivante : étant donné le problème informationnel particu- lier considéré qui, pour être bien défini, doit inclure une spécification

précise des outils disponibles, taxes, types d'observations, etc..., la

première tâche doit être une caractérisation des mécanismes qui permet-

tent de résoudre le problème informationnel. Comme il existe plusieurs

concepts de solution selon la force des incitations que l'on souhaite

obtenir, il y aura plusieurs théorèmes de caractérisation pour un problème

donné. Ainsi on caractérisera les mécanismes pour lesquels le concept

d'équilibre utilisé est un équilibre en stratégies dominantes ou seulement

un équilibre de Nash. Lorsqu'il n'existera pas de mécanisme pour un

concept d'équilibre donné on concluera à un théorème d'impossibilité,

comme par exemple le très important théorème d'impossibilité de GIBBARD

[1973] ] et SATTERTHWAITE [ 1975 ] .

Les théorèmes de caractérisation sont fondamentaux car ils

permettent de décrire la famille des solutions d'un problème information-

nel donné et par suite de s'interroger sur les propriétés additionnelles

que l'on peut imposer à ces mécanismes. En existe-t-il qui soient indivi-

(6)

des coalitions ou bien de neutres par rapport à des objectifs distri-

butifs, etc... ?

Lorsque l'étude de toutes les propriétés intéressantes a été

menée à bien, on dispose d'une solution complète d'un problème infor- mationnel donné pour un concept d'équilibre donné.

L'objectif de cette note est d'abord d'illustrer cette démarche

sur un exemple très simple dans le cas de la révélation des préférences

pour les biens publics. Dans une deuxième partie on montrera comment une

modification des outils disponibles modifie le problème et on fera le

lien entre les mécanismes obtenus dans la première partie et une approche

de ce problème qui est davantage dans l'esprit de l'économie publique

classique. Enfin, dans une troisième partie et dans des annexes, on indi-

quera certaines généralisations et extensions des résultats obtenus dans

(7)

2. LE MODELE

On considère

une économie

formée

de

N

agents

et trois

biens,

dont

deux biens

privés

et un bien

public.

La fonction

d'utilité

de

l'agent

i ,

i = 1,...,N ,

s'écrit :

Ui (y

�x�,k,

E)

6

� ( k + xi 2 ) - 2 2 + yi

y. i est la consommation

de bien

1,

x.

est

la consommation

de bien

2,

et

k

est

le niveau

de bien

public.

La fonction

Ui(.)

est

additivement

séparable

en bien

1

et

l'utilité

marginale

du bien

1 est

connue

et identique

pour

tous

les

agents.

Le bien

1 va donc nous permettre

de réaliser

des compensations

bien

définies

entre

les

agents.

On suppose

que le bien

public

a un coût

nul ou que le coût

imputé

à l'agent

i

est

déjà

inclus

dans

sa disposition

à payer

pour

le

bien

public

_ _k2

2

Le bien 2 est produit à partir du bien 1 par une technologie à rendements constants et la concurrence conduit à un prix p fixé pour

ce bien.

Le centre connaît la forme fonctionnelle de la fonction U. 1 (qui est donc la même pour tous les agents) mais ignore la vraie valeur

des paramètres 6i

1 (que nous noterons 6.) : 9. appartient à un inter- valle ouvert de R , noté

0 .

Le centre souhaite prendre une "bonne" décision concernant le

niveau de bien public, c'est-à-dire une décision Pareto optimale ou

(8)

N N A

Le centre peut procéder de la façon suivante : il sait qu'étant

donné k , l'agent i choisira un niveau de bien 2 qui maximise son

bien-être, c'est-à-dire tel que

1 - p

8xi

ou encore ici x. = ( 6, 1 ) 2 2 1

2P

Le centre peut donc obtenir la fonction d'utilité indirecte de l'agent i , en substituant cette fonction de demande dans la fonction d'utilité :

A

k2

Si A 2

Si A

2

ei k

2

+

2p _ p

(

2P )

+

yi

Il obtient

une fonction

wi ( k, ei. p -

1 k

2 +

2.p -

p

(2p )2

qui exprime la disposition nette à payer pour le bien public lorsque l'agent consomme de façon optimale.

Le centre cherche à obtenir l'information décentralisée

1 ' " * ' AN pour pouvoir maximiser

N -

E w. k, Oif p

par rapport à k , c'est-à-dire ici pour choisir le niveau de bien public

(9)

Pour cela, il cherche des compensations en bien 1 , ti (6) ,

qui pour chaque agent créent une incitation à dire la vérité. Nous

allons ici utiliser une notion très forte d'incitation, en demandant que

la vérité soit pour chaque agent une stratégie dominante, c'est-à-dire

la meilleure réponse pour lui quelles que soient les réponses des autres

agents.

3. CARACTERISATION DES MECANISMES INCITATIFS

Chaque agent i connaît l'utilisation que fera le centre de

l'information transmise. Il résoudra le programme :

N Max iEl wi ( k, 9. , P ) k i=l l l N d'où k = k* (6) = N 1 i

Soit t.(6) le transfert en bien 1 pour l'agent i ; celui-ci

cherche à maximiser

ui ( x. (8. ) , k, 0i + �6) - p x. (8, )

par rapport à 6i,, en ayant une consommation de bien 2d x (8.) � f optimale.

(10)

(1) 1 (k P) ak (e) + at i (6) =0

3k � 3 6i 36

Une condition nécessaire pour que la vérité soit une stratégie

dominante est que

6 1 = Ai i soit solution de l'équation (1).

Comme la vérité doit être stratégie dominante cette égalité

doit être valable pour tout

6_. = (0.,-.., S , 6 , ... , 6 ) et

comme on cherche à obtenir la vérité en toutes circonstances, elle doit

être vraie pour tout Oi d'où l'identité fonctionnelle.

3t. Pw 8k*

D 6, Dk

k p

a e. i (A)

Par conséquent : ti(A) _ - k 1 oi 9 p a A, (A) d 8i + + V6-!»

où h.( ( 0 . ) est une fonction arbitraire de

9_i , , c'est-à-dire ici

f y z1 1 h

"

-

( ei _

� ) N

N "i

ni ( 8_i)

ti (A) _ - 21 N-1 ) + ( E 0 , ) -4- + hui ( e )

Il reste bien sûr à vérifier que 6.

i est un maximum global du programme du consommateur i ce qui est le cas car la dérivée

(11)

seconde de w. ( k (6) , 8,, p ) + t (6) par rapport à 8. est - �.

Notons d'ailleurs que d'après la définition de k*(6)

�3w. 3w.

3k~ = "

jgéi 3k"

d'où

t

�O) = JE

2kJ (k (6) 01 il p ae i (e) d6i+ hi(6-i)

= E w. + h. (9 . )

c'est-à-dire la définition des mécanismes de Clarke-Groves.

4. PROPRIETES DES MECANISMES INCITATIFS

La caractérisation obtenue ci-dessus nous permet maintenant

d'étudier en détail la classe des mécanismes incitatifs et leurs proprié-

tés. Nous examinerons ici seulement quelques questions à titre illus-

tratif.

a) Equilibre du budget.

La somme des transferts obtenus pour un mécanisme donné,

c'est-à-dire pour un choix des fonctions h,(.),n'est pas nécessairement

nulle.

Est-il possible de trouver des fonctions h.(.) telles que

N

(12)

ou 2 N 2 N el 1 + N2 le, i 9�-t + E h. (0 0

Il suffit pour cela de choisir

hi(6-i' - 2 N

i*-i E 0 2 J N2 ( N - 2i A 63 3 91

Il est donc possible ici de trouver une solution d'équilibre

général parfaite au problème posé puisque le budget du mécanisme utilisé

est équilibré. Ceci n'est malheureusement pas le cas en général (voir

GREEN et LAFFONT [1979 ] ) .

b) Manipulation par des coalitions.

On peut se demander maintenant si dans la classe des mécanis- mes individuellement incitatifs mise en évidence ci-dessus il en existe

qui soient robustes par rapport aux coalitions.

Considérons par exemple la coalition des agents i et j .

Ils vont chercher à maximiser leur utilité jointe qui est à une constante

près

wi ( k (A) , Ai, p ) + w.(k*(0), Oie p + t (E» + t. (6)

Une condition nécessaire pour que la vérité soit, pour la

coalition, la stratégie dominante est :

à k (k* (e) x i (e) + Pk (k* (e) j p ) ou. i

(e) +

du. (A) +

3t.

(13)

3w. � - 9. , . 3k (6) + 9 w- 1(k * (A) . 6. , - p) . ck (9) Pk (k � p) . 36. + 3k k (k j P) ?6. + (6) + j (6) = o 36 36. J 3 avec 6. i = 6 i et 6. J =6. �

Comme ces égalités doivent être vraies pour tout

6. , � � i , � � j puisqu'on requiert la dominante stratégique et pour tout 6. , 6.

puisqu'on veut obtenir la vérité en toutes circonstances, ces égalités

sont en fait des identités fonctionnelles.

Elles se ramènent ici à :

n1nn-'n N N n30. 1 E ek ),+-(ex E Ak ) -e (N -1 ) + VM 6 k 6 ei à h. � 0 N 3 D N N � 1 N ) - j 3 N2 2 � + N2 N2 36. ~ ° 3 h. 6. (2) 1 (0 . ) + �p (0 .) 3 6 -3 N "� i 3 h. e i- (0 . ) = --i- + 4» (6 .) ) j

ce qui est impossible puisque le membre de gauche de (2) ne dépend

pas de 6. i

(14)

On pourrait toutefois montrer la possibilité de trouver des fonctions h. (.) telles qu'une coalition de trois agents donnés n'ait pas intérêt à distordre la vérité.

5. OBSERVABILITE ET INCITATIONS.

Supposons maintenant que le centre a la possibilité d'obser- ver les quantités de bien privé 2 achetées par les agents. A partir de ces quantités, il va déduire une valeur du paramètre 6.

1 pour chaque agent. Il utilisera cette connaissance indirecte de 6i

1 i = 1 ... N pour choisir un niveau de bien public qui maximise le bien-être social. Il définit ainsi une relation entre les quantités de bien privé consommées et la quantité de bien public. Les agents économiques qui connaissent cette relation vont par suite modifier leur comportement pour profiter de cette relation conduisant à une perte sociale.

Soit 6. = 2 p xi/2 l'inférence faite par l'Etat sur les goûts de 1'agent i au vu de sa consommation de bien 2 . Il résoud alors le programme : Max E 1 [ 6i (k + xi 1/2 p x. i J - N k2 d'où k (x) 2 2 p i=1 N E x. 1/2 N

(15)

En fait l'agent va distordre son comportement comme suit : il résoud d'où 1/2 = ai + ai - 2p E y x 1/2 i 2p N N2 j 3

Sommant sur i on obtient

j J 2p

et donc k* (x) = J J N

Dans cet exemple le choix du bien public n'est pas affecté

par les distortions des consommations de bien 2 mais il s'agit d'une

coincidence dû à l'exemple particulier que nous avons choisi.

Toutefois il existe une perte sociale due à de mauvaises consom-

mations de bien 2. En effet

-p^Â+i� 6i+ V--z(è + i)ei? ej

= N2 p p N 2 + 2 p N3 J

(16)

A l'optimum

ei xi · 1/2 _ p xi - _

4P e i

D'où la perte pour l'agent

i

e 2 p

p 6

2

2p

ei j

e.

N2

+

N4 N3

i

La perte sociale est donc

P = N [N E 0 2

c z e

)2

.

La perte est donc en N

avec

N P OE Var 6

si les

6.

sont considérés

comme les tirages indépendants d'une loi de

variance

Var 6.

Pour lutter

contre ce comportement déviant le centre peut

utiliser

un système de taxes

t.(x)

i = 1,...,N

pour conduire chaque

solution de Une

condition nécessaire pour cela est que x. 1 = 4 e2 p i 2 soit

vu

Du

3k*

3t

x- + 3k 3x. p + 3x (X) c'est-à-dire

(17)

2 xi 6i o

i N j j

] P Xi 5

� p +

"37. 3t , , (X)

En remplaçant xi par 1

et en observant que

4p2

Pt

Dt

D6

9 T

36.

ax, (x) _

=

-yg- (X(6.))

x.

=

a6, (e.i)

a xl

on a

D 0.

O .

N

i N

et donc

c'est-à-dire exactement au signe près les transferts du mécanisme de révé-

lation.

Noter qu'ici cette taxe peut se reécrire

t (x)

=2p2 (N±i

�Xi_

2p

�, k +

H ( x

Il s'agit donc d'une taxe à la consommation du bien 2 dont le

coefficient de la partie linéaire augmente avec le prix du bien 2 et di-

minue avec le nombre d'agents et dont la partie non linéaire dépend du

niveau de bien public.

De plus, pour obtenir un système de taxes conduisant à un budget équilibré des constantes appropriés H (x ) doivent être ajoutées à cette formule.

(18)

On peut encore écrire : VX) " N2 2 P2 xi - (2 N 2) 2 ( j�i Vxj5 ^Xi + H (x-i) = a xi - ai � + Yi

où les valeurs appropriées des coefficients sont déterminées par l'obser-

vation des comportements sur le marché du bien 2, à l'équilibre.

Puisqu'ici on connaît la relation entre choix optimal de bien 2

et valeur vraie de Oi . lorsqu'on adopte le système de taxation non

linéaire qui conduit l'agent à choisir la bonne quantité de bien 2 on

pourrait substituer à l'observation de la consommation de bien 2 une

déclaration de l'agent sur la quantité.

L'équivalence obtenue avec les mécanismes de la première partie

devient alors une illustration d'un théorème général qui montre que les

mécanismes Pareto optimaux à stratégies dominantes sont isomorphes aux mécanismes de révélation directe de Clarke-Groves (voir GREEN et LAFFONT

( 1979] ) .

Ainsi, il apparaît que l'observation d'une caractéristique de

l'agent liée au paramètre inconnu mais manipulable par celui-ci n'est

d'aucune valeur lorsqu'on cherche à obtenir un optimum de Pareto strict

au sens où elle n'élargit pas la classe des mécanismes utilisables. Toute-

fois, cette observation partielle permet, en l'absence de tout autre méca-

(19)

6. REVELATION ET FINANCEMENT DES BIENS PUBLICS

Nous avons précisé au début de cette note que les coûts du bien

public étaient répartis entre les

agents,ex ante. C'est l'interprétation

qu'il faut donner au

terme - 2 qui résulte par exemple du partage égali- taire d'un coût total

c (k) =

N 2 k2

Etant donné cette répartition ex ante, les mécanismes étudiés

ont eu simplement pour objet de prendre une bonne décision concernant

le niveau de bien public .

Peut-on également utiliser ces mécanismes pour déterminer de

façon endogène des parts de financement qui dépendraient des préférences

des agents ? En général, non, mais cela est possible pour l'exemple *

quadratique que nous avons ici.

Soit O. (6) , i = 1 , ... , N , 1 des parts de financement N

telles que E 6. (6) = N . _

Le coût pour un agent est alors :

2

2

L'agent i maximise maintenant :

i � (

2 +

t. 1 (0)

(20)

d'où

18.

1

H.

(6)

(E 6.)2

a

[ 6. -

� �

6.

(6) J ] 3 + (0)

=0

N

N

a 6 .

2 N2

2

a

6

.

d'où

f

E e.

1 3

6i (6) (ze

9.)2

i

1 N

L

,

NN3e

�2N

(L

.

8.)2 J

i

-i

Par suite

la dérivée seconde par rapport à 8.

� de :

6 k

(9) -

6. (6) k* (6)2 +

t

(6)

i x 2 i

est - 1 . par conséquent, lorsque le transfert est (6) , N

l

la vérité est une stratégie dominante bien que la réponse soit également

utilisée pour déterminer les parts de financement du bien public.

N 8. Exemple : O. (8) = E a. a 0, (6) (L 8.)2 Alors t. (8) = a 8 . J 2 N 2 d Ai + h � (6_ )

1

( X6j)

=

-

-JÉ

�� 6. + h. (6 .)

1 1 -1 2 N � � -�

(21)

Pour que le budget soit équilibré, nous devons avoir : N E t. (6) :: 0 i=l � ^ 1 N N - ou 1 E ( E 6.) 6. + E h. (6_.) = 0 2 Ni=l jjÉi D �. 1 � -1

On peut prendre par exemple :

h.

(6

= - 2 (N - 1 2) N

z

6. e

6

£

£I:i

Noter qu'on peut choisir pour t. (.)

:

t. 0) = 1

( z 8.) (6. -

E 8.)

2 N j�i � J � �

On a alors, si les 6. sont indépendants, de même loi et de moyenne nulle :

Et. (6) = - 1 (N-l)E6.xO=0 i = 1 , ... , N

2N 1

Considérons maintenant un agent qui essaie de modifier sa consom-

mation de bien 1 de façon stratégique. Il maximise :

6. k* (x) +9.

(22)

N

et

6.

(.)

ne dépend

que de la caractéristique

de l'agent

i ,

telle

qu'elle

est

déduite

de son comportement

de marché.

On a donc

le

programme :

x.

N

îiii

N

i

d'ou

i p x i -1/2

+ 1

xi 1/2 p x 1/2

6;

(.)

���������

N . p = 0

Prenons par exemple �. =

�-����-�

La condition du premier ordre peut être reécrite:

(p 2 + P) Y Xi +

P 2

N

x

1/2

= (LP7 +N) )

N x N j=l J � 2N d'où en sommant N j=l J 2 p2 + PN + p2N

(3)

2p x 1/2

i

- e (2p+N) -

p(N+2

� 6.

p+N (p+N) (p+pN+N) j�j j

Pour simplifier nous nous intéressons seulement aux équilibres de Nash intérieurs, c'est-à-dire que nous faisons les hypothèses sur la distribution des paramètres 6 qui assurent l'existence d'équilibres de

Nash intérieurs. i

De (3) on peut déduire la production de bien public

k = (N+2p) k* � k* p+pN+N

où N

k* _

3 E = S. J

désigne la production optimale.

(23)

La perte sociale comporte deux éléments : d'une part la production de bien public n'est pas optimale, d'autre part l'allocation des ressources

entre les biens privés let 2 est mauvaise.

Le calcul laborieux de la perte sociale donne N P 2 3=1 i 2 p(N+2p) 2 _ p (N+2p) 2 N 2 4 (p+N) 2 � 2 (p+N) (p+pN+N) 4 (p+N)2 (p+pN+N) 2 2 (p+pN+N) 2N -1

Quand N est grand la perte sociale par tête est de l'ordre

de p(2p+l) (E 6)2

4(p+l)"

Ainsi lorsqu'on cherche à utiliser l'observation du comportement

des agents sur un marché de bien privé pour déterminer la part de financement

du bien public, la perte sociale n'est plus négligeable quand le nombre d'

agents est grand. En effet, contrairement à la section 5 où, lorsque N croit, le gain possible d'une distorsion tend vers zéro alors que le coût

reste fini,ici, le gain possible via un moindre financement reste fini et

donc une distorsion peut rester intéressante lorsque N croit.

Il faut noter que la perte par tête obtenue ci-dessus n'est qu'une

valeur moyenne. En effet, si tous les consommateurs perdent du bien-être

en raison d'une mauvaise allocation des ressources entre les biens privés

(24)

socialement optimal, à savoir ceux qui ont un 6. faible, c'est-à-dire

ceux qui aiment relativement peu le bien public. On peut même vérifier que certains agents gagnent à la "manipulation collective".

Le comportement de Nash supposé ci-dessus n'est qu'une possibi-

lité parmi bien d'autres. Les diverses formalisations envisageables abou-

tissent néanmoins aux mêmes résultats qualitatifs. Donnons deux

exemples :

Si chaque agent connaît la distribution des vrais 0 . et suppose

que les autres se comportent honnêtement :

(6. = 7 1/2 dioù 7 1/2 =

2 P )

k = k

p(N-1) E A.

� �

k (1-P)

et la perte sociale par tête tend vers p(2p+l) (E 6.)

Une autre hypothèse

consiste à supposer que 1'agent se considère

négligeable quant à la détermination

du niveau de bien public et que

les autres répondent honnêtement

d'où

k = E 6.

J

mais qu'il peut influencer sa part de financement

E

e

(25)

Au terme de l'étude de cet exemple nous nous bornerons à quelques remarques destinées à situer les résultats obtenus dans la problématique

générale de la théorie des incitations.

L'approche directe des asymétries d'information par la construc-

tion de mécanismes à stratégies dominantes destinés à transmettre l'infor-

mation aux agents décideurs a un domaine très limité de validité (illustré

ici par l'hypothèse de séparabilité et par le fait qu'aucun résultat

n'aurait été obtenu dans le secteur 6 avec des paramètres inconnus de dimension supérieure à un).

Il existe alors de nombreuses façons d'aborder le problème dans

un esprit de second rang et nous en avons illustré une dans cette note

en supposant qu'il existe un bien privé lié au bien public dans les

goûts des agents dont la consommation est observable. Il reste toutefois

un long chemin à parcourir avant que nous ayons une vision claire de ces multiples approches qui permette de poser le problème de l'optimalité

(26)

ANNEXE 1

Nous montrons ci-dessous dans quelles circonstances on peut

résoudre simultanément les problèmes de choix du bien public et de son

financement endogène dans le cas général.

Considérons une fonction d'utilité

v. (6, , k) i = 1 , ... , N

et une fonction de coût c (k) avec une répartition envisagée du

N

coût 6. (0) c (k) avec E 0, (6) = 1 , où les parts 6. dépendent

i=l 1 X 1 des réponses 9 .. . Le centre maximise . N E v (8. , k) - c (k) N au, arc d'où z 1 (6. , k) - (k) = 0 i=l 3 k � a k

Si les fonctions v. sont strictement concaves en k et si c i

est strictement convexe, des conditions de bord donnent l'existence d'une

solution k * et si ces fonctions sont de classe C 2 l'existence de *

k (0) différentiable par le théorème des fonctions implicites.

On peut rechercher des transferts t. (8) qui conduisent les agents à annoncer leur vrai paramètre 6..

(27)

L'agent i maximise

v. (6. , k (6)) - o. (6) c (k*)+ t. (6)

i � i i

d'où la condition du 1er ordre transformée en identité fonctionnelle

puisque la vérité doit être une stratégie dominante :

* * a t (6) =-������+���(6) c (k ) +6. ô. (6) dc9k 36. i 9 k 9 9. i 9 9. i -1 dka8, i D'où t, (6) _ - ��-(0.,k (0)) ��dO. J a 0 , (0) c(k ) * d6, ak x a6 i � / a6 i x + /6.0) �-�-d6. + h (6 ,) J 1 dk 36. � x -1

La vérité satisfait donc la condition du 1er ordre.

Une condition suffisante pour que 9.

i = 9 . � soit un maximum global du problème est que la fonction

v,

(6�,k* (6)) - " Ôi (8) c (k (6)) + t, (6)

(28)

(3)

3k

3k

2

aA.

3k

� /k-)

âk

� ,k)

36

9 a2

�.

-

(6. , k)

9k

� 0

3k30.

1

36.

i

i

pour tout couple

(6i 8i)

Une condition nécessaire est que 6.

1 soit un maximum local,

c'est-à-dire,

������(6. , k 6-i» ��� (6. , 6 .) � 0

ce qui est toujours vérifié d'après nos hypothèses de concavité car

k D 6.

i

-

2 vi

a2 c

De façon générale,

il est difficile

de dire quand la condition

(3) peut être vérifiée.

Toutefois,

elle l'est

si :

a A2

0

et

k 2 1

= 0

i

(29)

ce qui est le cas si :

v. (8, , k) = 0. k et c (k) =� 111

2

Une autre démarche consiste à s'assurer que seule la vérité

peut satisfaire les conditions du premier ordre, c'est-à-dire :

ak (0) [ � 3v. ^ (0. , k ^ (0)) 3v. - (6. , * (0)) ] jt 0 V 0. , V 6_.

30.

(8) [

3k

(6, , 1

k (A) ) -

3k

x

k (6) ) ]

� 0

v

X

i

ou

3k* (0)

a 2

vi

-

k * (6»

( 6. -

� 6 .) F a

30.

i

3k30.

i

� �

ce qui est assuré si :

*

k (6) est strictement monotone

3 v.

et 1 est strictement croissant (ou décroissant) avec 9..

(30)

ANNEXE 2

Nous montrons ici comment, lorsqu'on obtient un mécanisme Pareto

optimal à stratégies dominantes pour les fonctions v. =9. k - k2 ,

on peut le transformer en un mécanisme dont les équilibres de Nash sont

Pareto optimaux pour des fonctions

vi concaves en k quelconques.

Nous appelons cette transformation l'application de Groves -

Ledyard [ 1 977 L

Quelle que soit sa fonction d'utilité v. (6. , k) , l'agent

doit annoncer une stratégie s. � sachant que sa réponse sera interprétée de la façon suivante :

Il lui sera attribué une fonction d'utilité approchée s. k

avec une part du coût Ô. (s) c (k) . Le centre maximisera

(E s.) k - E 6. (s) c (k)

ou (E s.) k - c (k) 1

De plus, il lui sera attribué un transfert calculé comme ci- , dessus pour la fonction d'utilité approchée, i.e.

(31)

t. - L (s) = - s, ds. i + 7 � ��(s)c(k)ds.+ � 7 I 6. (s) de � ds. î Il va donc maximiser v. (6. , k (s)) - 6. (s) c (k) + t. (s) 11 � i i

d'où la condition du 1er ordre :

* * 3 v _ * 3k 3k (8 , , k (s)) s. = 0 3 k � 3 s. � 3 s. 3 v.. * ou 1 (6, , k (s)) = s, 3 k � z

(Sous les hypothèses ci-dessous, les conditions du 2e ordre sont

satisfaites).

A un équilibre de Nash du jeu en s

N 3v - _ * N

* L ���0. , k (s)) = E s. = c' (k*)

i=l 3 k � i=1 1

C'est donc un optimum de Pareto.

Sous les hypothèses faites il existe un k* (s) unique, et,

puisque

* 3 v _ *

s. =���0. , k ) 3 k �

(32)

2

Lorsque

c (k) = k

nous avons

vu qu'il

est

possible

de choisir

2

les

fonctions

t.

(.)

de manière

à équilibrer

le budget.

On obtient

donc un mécanisme

d'équilibre

général

avec une impu-

2

tation

endogène

d'un

coût

approché

dont

l'équilibre

de Nash est

2

(33)

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(34)

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