Application des méthodes de points intérieurs pour certains problèmes semi-définis : théorie et algorithmes

République Algérienne Démocratique et Populaire

Ministère de l'Enseignement Supérieur et de la

Recherche Scientifique

UNIVERSITÉ FERHAT ABBAS - SÉTIF 1-

FACULTÉ DES SCIENCES

DÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES

THÈSE

DERBAL LOUIZA

Pour obtenir le titre de Doctorat en Sciences

OPTION

MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES

THÈME

Application des méthodes de points intérieurs pour

certains problèmes semi-définis :

Théorie et algorithmes

Soutenue le : 04 / 12 / 2019

Devant le jury composé de :

Président : Mr. M. ACHACHE Prof. U.F.A. Sétif-1

Encadreur : Mme. Z. KEBBICHE M.C.A. U.F.A. Sétif-1

Examinateurs : Mr. M. ZERGUINE M.C.A. U.M.B. Batna-2 Mr. M. BOUAFIA M.C.A. U.8 Mai 1945 Guelma

REMERCIEMENTS

Dieu merci pour cette réussite et ce succès, pour le courage et la patience que vous m’avez accordés le long de mon parcours de formation surtout.

Un grand remerciement à mon encadreur Mme Zakia KEBBICHE, Maître de Conférences classe A à l’université -Ferhat Abbas- Sétif 1, pour ses consignes, ses conseils fructueux et sa disposition. Sans sa patience, ce travail n’aurait pas pu voir le jour.

J'exprime mon respect à Monsieur Mohamed ACHACHE, Professeur à

l’université -Ferhat Abbas- Sétif 1, qui m’a fait l'honneur de présider le jury de

cette thèse que j'ai pu améliorer grâce à ses conseils pertinents, ses remarques et ses

encouragements.

Je tiens aussi à exprimer mes vifs remerciements et mes sincères respects à :

Monsieur Mohamed ZERGUINE, Maître de conférences classe A à

l’université de Batna 2 -Mostefa Ben Boulaid, pour l’attention toute particulière

qu’il a accordée à ce travail et qui a accepté d’en être un examinateur extérieur.

Monsieur Mousaâb BOUAFIA, Maître de Conférences classe A à l’université -8 Mai 1945- Guelma, pour l’intérêt qu’il a porté à ce travail et

pour son amabilité d’avoir bien voulu participer au jury.

Mes sincères remerciements vont aussi à tous les membres de l’équipe d’optimisation de l’université Ferhat Abbas sans oublier de les adresser à l’équipe administrative de l’institut de mathématiques, à tous les membres du conseil scientifique, à tous les enseignants et mes amies.

Je tiens à remercier particulièrement ma famille qui m’a toujours soutenu et encouragé sur ce chemin : le chemin du savoir

7

i Fonction noyauit Méthode à grand pas Méthode à petit pas Références

1 t2_1

2  logt On log

n

 O n logn 51 Roos et al.1997

2 t2_1 2  t1q1 qq1  q1 q t 1, q  1 Oqn q1 2q _logn

 Oq2 n logn 45 Peng et al.2003

3 t2_1

2 

1

be

b1t_{ 1, b  0 O n logn log} n

 si b  logn  10 Bai et al.2003

4 1 2t 1 t 2 On23logn

 O n logn 12 Bai et al.2004

5 t2_1 2  t1q1 q1 , q 1 Oqn q1 2q _logn  Oq2 n logn / 6 t2_1 2  e1t_e e O n logn 2 logn  O n logn / 7 t0, m4 m  1t2_{ m  2t } 1 tm Om 3m1 2m n m1

2m logn_ O n logn_ 41 Liu et al.2011

8 t2_1

2  t  1e

1

t1 O n logn2logn_  57 Zhang 2012

9 t2_1

2 

6

 124tt On

3

4logn_ O n logn_ 27 El Ghami et al.2012

10 t2_1 2  logt  1 8 tan 2 1t 24t On 3 4logn

 O n logn 48 Peyghami et al.2014

11 t2_1 2  1 t e3 tan  22 1 _{d O n logn}2 logn

  O n logn 49 Peyghami et al.2014

12 qi1,i1,2 . t2_{ 1  t}1q1 1 q1 1  t1q2 1 q2 1 , q1q21. Oq1 1n q11 2q_{1 q 2 log}n , q1q21. Oq1 1n 3q 12q21 2q_{1q2  n log}n , 2 Achache 2015 13 t2_1 2  q1t_1 logq , t 0 q1On. O n logn2 logn ,  3 Achache 2016 14 pt2_1 2  e p 1 t1  1, p  0

O np5_log2_{np log}n

 si p  1

O np5log2_{np log}n

 si p  1 O np5_logn  si p  1 O np5logn  si p  1 17 Bouafia et al.2016 15 p2 t2_1 2  4 p tanp 22x  1 Opn p2 2p1_logn

  Op2 n logn 18 Bouafia et al.2016

16 t2_1 2  q1t11 q logq  q1 q t  1, t  0 si q1On

O n logn log n

  6 Achache et al.2018 17 t2_ t1q q1  q q1  p4 tanpht  1, ht  _2t2 , p 2, q  1. Opn p2q1 2p1q _logn

صخلم : ةحورطلأا هذه يف مدقن ، ةقيرط نلا ق ا ةيلخادلا ط نم عون ا يزكرملا راسمل ةجمربلا لئاسم لحل ةيطخلا و ةجمربلا ةفرعم فصنلا ةساردلا هذهل . ، ةئف حرتقن ةديدج ل د و لا يتلا ةاونلا .جودزم زجاح دح كلمت يطعن ت ةفلك راوخ تايم ذ تا ريغصو ةريبك ةوطخ ة . تارابتخاب ةعوبتم ةساردلا هذه ةيددع راهظلإ هذه ةيلاعف .تايمزراوخلا تاملكلا ةيحاتفملا : قنلا قرط ا ط ةجمربلا ؛ةيطخلا ةجمربلا ؛ةيلخادلا ةفرعم فصنلا ةيمزراوخ ؛ ذ تا ريغصو ةريبك ةوطخ ة ؛ ةلاد ةاونلا ؛ ت ةفلك يمزراوخ . Abstract :

In this thesis, we present an interior point method of type central trajectory to solve Problems of linear and semidefinite programming. For this study, we propose a new class of kernel functions that have a double barrier term. We give the complexity for large and small update algorithms. This study is followed by numerical tests to show the efficiency of these algorithms.

Keywords :

Interior point methods; linear programming; Semidefinite programming; Large and small update algorithm; Kernel function; Algorithmic complexity.

Résumé :

Dans cette thèse, on présente une méthode de points intérieurs de type trajectoire centrale pour résoudre les problèmes de la programmation linéaire et la programmation semi-définie. Pour cette étude, on propose une nouvelle classe de fonctions noyaux qui possèdent un terme barrière double. On donne la complexité des algorithmes à grand et à petit pas. Cette étude est suivie par des tests numériques pour montrer l’efficacité de ces algorithmes.

Mots clés :

Méthodes de points intérieurs; Programmation linéaire; Programmation semi-définie; Algorithm à grand et à petit pas; Fonction noyau; Complexité