Lycée Majida Boulila Sfax Devoir contrôle n°1 M JARRAYA MAHER
Le 10-11-2011 Durée 2H 4 Sciences 2
Exercice n°1(3pts)(Sans Justification)
I) Pour chacune des affirmations ci -dessous, préciser si elle est vraie ou fausse.
1. «Si a est un nombre réel quelconque et f une fonction définie et strictement décroissante sur [a ; +[, alors
xlim f(x) = - .»
2. Soient f et g deux fonctions définies sur [0 ; +[, g ne s’annulant pas : «Si
xlim f(x) = - et si xlimg(x) = + alors ( )
) ( lim x g x f x = -1».
II) Donner la réponse exacte
1. L’équation z2 (1 2 )i z i 0 admet dans ℂ deux solutions z0 et z1 qui vérifient :
a) z0 × z1= −i b) c) z0 + z1= 1+2i
2. L’équation admet dans ℂ exactement
a) Une solution b) deux solutions c) quatre solutions
Exercice n °2 (7pts)
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé , Soient les points A(1),et B ( i), Soit l’application f ;M(z) telle que
1. Déterminer l’ensemble des points M(z) telle que z’ soit réel
2. Déterminer l’ensemble des points M(z) telle que
3. Montrer que BM’ AM= .En déduire que si M appartient au cercle de centre A et de rayon 1
alors M’ appartient à un cercle que l’on précisera
4. Montrer que si M décrit la médiatrice [AB], alors M' décrit un cercle que l’on précisera 5. On pose avec
Montrer que et .En déduire la forme exponentielle de z’
6. Montrer que si M appartient à la droite alors le point M’ appartient à l’axe des ordonnées Exercice n°3(4,5pts)
1. Résoudre dans ℂ l’équation
2. Soit ’é ℂ
a)Vérifier que 1 est une solution de . b) En déduire l’autre solution de .
3. Le plan complexe étant rapporté à un repère orthonormé
On désigne par A et B les points d’affixes respectives 1 et
a) Déterminer l’affixe du point C tel que OACB soit un losange.
é ’ é à
Exercice n°4 (5,5pts)
Soit la fonction f définie sur IR par
1. Calculer lim ( ) x f x ( ) , lim x f x x et lim ( )x f x x
2. Montrer que pour tout on a 3. En déduire lim ( )
x f x et limx f f x( )
4. Montrer que f est une fonction continue sur IR
5. Montrer que l’équation f admet une solution . Donner un encadrement de à 6. Calculer ( 1) ( ) lim 1 x f x x