Existence, unicité et stabilisation d’un système de type Timoshenko

Université Ahmed Draia D’Adrar Faculté des Sciences et de la Technologie Département des Mathématiques et Informatique

MÉMOIRE

Pour l’obtention du diplôme de

MASTER

En Mathématiques

Spécialité :

Analyse Fonctionnelle et Applications

Présenté par

BELBALI Hadjer

Thème

Existence, unicité et stabilisation d’un système de type

Timoshenko

Soutenu publiquement le 07/06/2018 devant le jury composé de :

Dr. KHALLADI Mohammed Taha Maître de conférence A Université d’Adrar Président

Dr. KEDDI Ahmed Maître de conférence B Université d’Adrar Rapporteur

Dédicace

Ce modeste travail est dédié : À

l’âme de mon père. À

ma mère qui m’a donné tout le courage, Patience et tendresse. À

Toute ma famille. Spécialement : mes frères, mes sœurs, ma grand-mère et mes tantes et mes oncles.

À

toutes mes amies surtout "BENAMRANI Ibtissam ", "HARZAOUI Djelloula" et

"KECHIDA Hanane" et mes amies de promotion 2éme _{années Mastre}

Mathématiques. À

tous nos professeurs distingués. À

la grand familles "BELBALI" .

Remerciements

Je remercie Dieu de m’avoir aidé à accomplir ce travail.

Je tiens à remercier chaleureusement, mon encadreur Dr.KEDDI Ahmed qui a proposé le thème de ce mémoire, pour ses conseils et ses dirigés du début à la fin de ce travail.

Tous mes remerciements et ma gratitude vont à Dr.KHALLADI Moham-med Taha, qui m’a fait l’honneur de présider ce jury.

Mes vives remerciements vont aussi à Mr. BOUAZIZ Said d’avoir accepté d’être membres du jury et d’examiner mon travail.

Tout mes sincères remerciements vont également à notre chef de départe-ment Mr.CHERAGUI, et à l’ensemble des enseignants du départedéparte-ment de MI. Je remercie énormément tout mes maitres, de primaire jusqu’à l’uni-versité.

Résumé

Dans ce mémoire on a présenté la méthode des multiplicateurs pour établir un résultat de stabilité exponentielle de l’énergie d’un système de type Timoshenko.

Le premier chapitre était consacré aux quelques définitions et théorèmes fondamen-tales qui sont utiles pour notre travail, tels sont les inégalités de Young et de Cauchy-Schwarz, les espaces Lp, les espaces de Sobolev.

Dans le second chapitre on a présente le théorèmes de Hille-Yosida, les opérateurs maximaux monotones.

Le troisième chapitre était consacré à l’étude d’un système de type Timoshenko. Pour assurer le caractère bien posé de notre problème on a étudié l’existence et l’unicité des solutions et en utilisant la méthode des multiplicateurs on a montré que ce système est exponentiellement stable.

Mots clés : Stabilité exponentielle, théorème de Hille-Yosida, l’existence et l’unicité

, système de Timoshenko.

Abstract

In this brief the multiplier method was presented to establish a result Exponential stability of the energy of a Timoshenko type system.

The first chapter is devoted to some preliminary inequalities such Young and Cauchy Schwarz inequalities,Lp spaces and Sobolev spaces .

In the second chapter we dfine the Hille-Yosida theorem and theory of monotone operators

In the third chapter we study a Timoshenko type system.To ensure the well-posed nature of our problem we have studied the and prove the existence and uniqueness and using the multiplier method it has been shown that this system is exponentially stable .

Key words : Exponential stability, Hille-Yosida theorem, existence and uniqueness,

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Table des matières

Notations générales vi

Introduction 1

1 Préliminaires et rappels 4

1.1 Espaces de Lebesgue LP(Ω) . . . 4

1.2 Espaces de Sobolev dans R . . . 7

1.2.1 Espace de Sobolev W1,p_{(I) . . . . 8}

1.2.2 Espace de Sobolev Wm,p(I) . . . 10

1.2.3 Espace de Sobolev Wm,p 0 (I) . . . 10

2 Théorème de Hille-Yosida 12 2.1 Quelques propriétés des espaces de Hilbert . . . 12

2.2 Théorème de Hille-Yosida . . . 13

2.2.1 Définitions et propriétés élémentaires des opérateurs maximaux mo-notones . . . 13

2.2.2 Résolution du problème d’évolution . . . 15

2.2.3 Régularité . . . 16

2.2.4 Le cas autoadjoint . . . 18

2.3 Formulation variationnelle . . . 19

3.1 Existence et unicité . . . 22 3.2 Stabilisation d’un système de type Timoshenko . . . 27

Conclusion 38

Notations générales

|x| :=»x21+ x22+ ...xn2 La norme euclidienne de x = (x1,x2,...xn) ∈ Rn.

(.,.) , h.,.i Produit scalaire et produit de dualité.

∂ L’opérateur de différentiation partielle.

D(A) Domaine de l’opérateur A.

R(A) = Im (A) Image de l’opérateur A.

p.p. Presque par tout.

∂ u

∂x_i Dérivée de u par rapport xi.

E0 L’espace dual de E.

|A| Mesure (de Lebesgue) de l’ensemble A.

Supp f Support de la fonction f.

L(E,F ) Espace des opérateurs linéaires continues de E dans F.

C0(Ω) Espace des fonctions continues a support compact

contenu dans Ω.

CK(Ω) L’espace des fonctions k fois continument différentiable sur

Ω (K entier ≥ 0).

∂u

∂η La dérivée par rapport a la normale extérieure sur un domaine Ω.

H1, H₀1, W1,p et W₀1,p Les espaces de Sobolev.

A∗ L’adjoint d’un opérateur A.

X La fermeture de l’ensemble X.

Introduction

La stabilisation a pour but d’atténuer les vibrations par rétro-action (feedback), elle consiste donc à garantir la décroissance de l’énergie des solutions vers 0 de façon plus ou moins rapide par un mécanisme de dissipation.

Plus précisément, le problème de stabilisation auquel on s’intéresse revient à dé-terminer le comportement asymptotique de l’énergie que l’on note E(t) (c’est la norme des solutions dans l’espace d’état), à étudier sa limite afin de déterminer si cette limite est nulle ou pas, et si cette limite est nulle, à donner une estimation sur sa vitesse de décroissance vers zéro.

Il existe plusieurs degrés de stabilité que lon peut étudier. Le premier degré consiste à analyser simplement la décroissance de l’énergie des solutions vers zéro, i.e.

E(t) → 0, lorsque t → ∞.

C’est ce que l’on appelle la stabilisation forte.

Pour le second, on s’intéresse à la décroissance la plus rapide de l’énergie, c’est-à-dire lorsque celle-ci tend vers 0 de manière exponentielle, i.e.

E(t) ≤ Ce−δt, ∀t ≥ 0

où C et δ sont des constantes positives avec C qui dépend des données initiales.

Quant au troisième, on étudie des situations intermédiaires dans lesquelles la dé-croissance des solutions n’est pas exponentielle, mais du type polynomial, par exemple,

INTRODUCTION

où C et α sont des constantes positives avec C qui dépend des données initiales. Timoshenko a donné le système d’équations hyperboliques couplées suivant

    

ρutt = (K(ux− ϕ))x, dans (0,L) × (0, + ∞),

Iρϕtt = (EIϕx)x+ K(ux− ϕ), dans (0,L) × (0, + ∞)

(1) comme un modèle simple décrivant la vibration transversale d’une poutre. Ici t désigne la variable de temps, x est la variable de l’espace le long de la poutre de longueur L dans sa configuration d’équilibre, u est le déplacement transversale de la poutre et ϕ est l’angle de rotation du filament de la poutre. Les coefficients ρ, I, E, Iρ et K sont,

respectivement, la densité (la masse par unité de longueur), le moment polaire d’inertie d’une section transversale, le module d’élasticité de Young, le moment d’inertie d’une section transversale, et le module de cisaillement.

Kim et Renardy[7] ont Considéré (1) avec deux contrôles au bord de la forme

K(ϕ(L,.) − ∂u ∂x(L,.)) = α ∂u ∂t(L,.) ∀t ≥ 0 EI∂ϕ ∂x(L,.) = −β ∂ϕ ∂t(L,.) ∀t ≥ 0

et ont utilisé la méthode des multiplicateurs pour établir un résultat de décroissance exponentiel de l’énergie naturelle de (1). En outre, un résultat de décroissance polynomiale de l’énergie de (1) a été établie par Yan[8]. En considérant les conditions au bord

K(ϕ(L,.) −∂u ∂x(L,.)) = f1 Ç ∂u ∂t(L,.) å ∀t ≥ 0 − EI∂ϕ ∂x(L,.) = f2 Ç ∂ϕ ∂t(L,.) å ∀t ≥ 0

et f1, f2 ayant une croissance polynomiale au voisinage de l’origine. Ces résultats ont

été étendus à la poutre de non uniforme de Timoshenko. La stabilisation de la poutre non uniforme de Timoshenko également été étudiée par Ammar-khodja et al [9]. Ils ont considéré le système           

αutt = (β(ux+ ϕ))_x, dans (0,L) × (0,∞),

γϕtt = (δϕx)x− K(ut+ ϕ), dans (0,L) × (0,∞),

u(0,.) = u(L,.) = 0, ϕx(0,.) = cϕt(0,.), ϕx(L,.) = −dϕt(L,.), ∀t ≥ 0

où α, β, γ et δ sont des fonctions positives de classe C1 _{et ont prouvé que la stabilité}

uniforme de (2) est obtenue si et seulement si les vitesses des ondes sont égales (δ/γ =

β/αdans (0, L)), sinon seulement la stabilité asymptotique a été prouvée.

Ammar-khodja et al[6] Ont considéré un système linéaire de type Timoshenko avec un terme mémoire de la forme

     ρ1ϕtt− K(ϕx+ ψ)x = 0, ρ2ψtt− bψxx+R₀tg(t − s)ψxx(s) ds + K(ϕx+ ψ) = 0, (3) dans (0, L) × (0, +∞), avec des conditions aux limites homogènes, et ont démontré, en utilisant la techniques des multiplicateurs, que le système (3) est uniformément (expo-nentiellement ou polynomiale-ment) stable si et seulement si les vitesses des ondes sont égales (K/ρ1 = b/ρ2) et g décroit uniformément. Précisément, ils ont prouvé la

décrois-sance exponentielle si g décroit de façon exponentielle et la décroisdécrois-sance polynomiale si g décroit dans un taux polynomial. Ils ont aussi besoin de conditions supplémentaires sur les g0 et g00 pour obtenir leurs résultats.

Dans la présente étude, nous nous sommes intéressés à

                         ϕtt− (ϕx+ ψ)x = 0, dans (0.1) × R+ ψtt− ψxx+ (ϕx+ ψ) + α(t)ψt= 0, dans (0.1) × R+ ϕ(0,t) = ϕ(1,t) = ψ(0,t) = ψ(1,t) = 0, t ∈ R+ ϕ(x,0) = ϕ0(x), ϕt(x,0) = ϕ1(x), x ∈ (0.1) ψ(x,0) = ψ0(x), ψt(x,0) = ψ1(x), x ∈ (0.1) (4)

Notre but est d’établir un résultat de stabilité exponentielle de l’énergie du système (4). La preuve est basée sur la méthode des multiplicateurs .

Ce mémoire se divise en trois chapitres constituées de :

Le premier chapitre est consacré aux définitions et théorèmes importants lequel nous avons besoin dans notre étude, tels que quelques inégalités utiles, les espaces Lp, les

espaces des Sobolev.

Dans le second chapitre nous présentons, le théorèmes de Hille-Yosida, les opéra-teurs maximaux monotones.

Un problème de type Timoshenko était l’objet du troisième chapitre, l’existence et l’unicité ont été prouvés en utilisant le théorème de Hille-Yosida, et un résultat concernant la stabilité exponentielle de la solution a été démontré.

Chapitre

1

Préliminaires et rappels

Dans ce chapitre, on présentera quelques notions fondamentales d’analyse fonctionnelle et certaines définitions et quelques inégalités que nous utiliserons dans le chapitre 2 et 3.

1.1 Espaces de Lebesgue L

(Ω)

Nous allons définir une échelle d’espaces de Lebesgue qui jouent un rôle important en analyse fonctionnelle, en théorie des équations aux dérivées partielles et en probabilité.

Dans toute la suite Ω désigne un ouvert de Rn, ∂Ω = Γ frontière de Ω, muni de la

mesure de Lebesgue dx. On désigne par L1_{(Ω) l’espaces des classes des fonctions intégrable}

au sens de Lebesgue sur Ω `a valeur dans R. On pose kfkL1(Ω) =

Z

Ω|f(x)| dx.

Définition et propriétés élémentaires des espaces LP(Ω)

Définition 1.1. Soit p ∈ R avec 1 ≤ p < ∞, on pose

Lp(Ω) = {f : Ω → R; f mesurable et |f|p _{∈ L}1(Ω)}. On note kfkLp = ïZ Ω|f(x)| p dx ò1 p .

Définition 1.2.

L∞(Ω) = {f : Ω → R; f mesurable et ∃ C > 0 tel que |f(x)| ≤ C p.p sur Ω}.

On note

kfkL∞ = inf{C; |f(x)| ≤ C p.p sur Ω}.

Notation.

Soit 1 ≤ p ≤ ∞ ; on désigne par q l’exposant conjugué de p i.e. 1

p +

1

q = 1.

Lemme 1.1. (Inégalité de Young) Soient a,b ≥ 0 deux réels, Alors

ab_≤ a p p + bq q. En particulier si u, v ∈ L2_{(Ω), alors} Z Ω|uv| dx ≤ ε Z Ω|u| 2 dx+ 1 4ε Z Ω|v| 2 dx, _{∀ε > 0.} Démonstration. [1]

- La conclusion est évident si a = 0 ou b = 0, donc on peut suppose que a,b > 0. La fonction exp est convexe ce qui veut dire que pour tout x,y et pour tout λ ∈ [0,1], nous avons

exp(λx + (1 − λ)y) ≤ λ exp(x) + (1 − λ) exp(y). En particulier : ab= exp Ç₁ pln a p+1 qln b q å ≤ 1 pexp(ln a p) + 1 qexp(ln b q) ≤ a p p + bq q . 

1. PRÉLIMINAIRES ET RAPPELS

Théorème 1.2. (Inégalité de Hölder).

Soit f ∈ Lp et g ∈ Lq avec 1 ≤ p ≤ ∞. Alors f.g ∈ L1 et

Z

Ω|fg| dx ≤ kfkLpkgkLq.

Démonstration. .La conclusion est évidente si p = 1, p = ∞. Autrement, nous appliquons l’inégalité de Young

|f||g| ≤ |f|

p

p + | g|q

q , p.p,

il en résulte que f.g ∈ L1 _{et que}

Z Ω|f||g| ≤ 1 pkfk p Lp+ 1 qkgk q Lq,

remplaçant f par λf(λ > 0), il vient

Z Ω|f||g| ≤ λp−1 p kfk p Lp+ 1 λqkgk q Lq. On choisit λ = kfk−1 Lpkgk q p

Lq, la preuve est achevée. 

Corollaire 1.3. (Inégalité de Minkoviski) Soit 1 ≤ p ≤ ∞, pour f,g mesurable

kf + gkLp ≤ kfk_Lp+ kgk_Lp.

Démonstration. .Les cas p = 1 et p = ∞ sont faciles.

.Supposons maintenant que 1 < p < ∞ comme l’inégalité est triviale si kf + gkLp = 0

on peut supposer que kf + gkLp 6= 0. Alors

Z Ω|f + g| p _dx≤Z Ω|f + g| p−1_{|f| dx +}Z Ω|f + g| p−1_{|g| dx,}

en appliquant successivement l’inégalité de Hölder à |f +g|p−1 avec l’exposent p0 et f avec

l’exposent p puis g avec l’exposent p, on obtient

kf + gkpLp ≤ kf + gkp_L−1p (kfkLp + kgk_Lp) .

Ce qui prouve l’inégalité. 

Théorème 1.4. [1](Fischer-Riesz) Lp est un espace de Banach pour la norme k.k Lp

Théorème 1.5. [1] L’espace Lp est réflexif pour 1 < p < ∞.

Théorème 1.6. (Théorème de représentation de Riesz) Soit 1 < p < ∞ et soit

ϕ∈ (Lp)0. Alors, il existe u ∈ Lp0 unique tel que

hϕ,fi =

Z

uf _{∀f ∈ L}p.

De plus, on a

kukLp0 = kϕk(Lp₎0.

Remarque 1.1. Le Théorème 1.6 est très important. Il exprime que tout forme linéaire

continue sur Lp avec 1 < p < ∞ se représente à l’aide d’une fonction de Lp0_.

L’application ϕ → u est un opérateur linéaire isométrique et surjective qui permet d’iden-tifier le dual de Lp avec Lp0_{. Dans la suite on fera systématiquement L’identification}

(Lp)0 = Lp0

.

Définition 1.3. Soit f : Ω → C une fonction mesurable. On dit que f localement

inté-grable si f ∈ L1_{(K) pour tout compact K de Ω . On note L}1

loc(Ω) l’espace des classes des

fonctions localement intégrables sur Ω, i.e.

L1_loc(Ω) =   f : Ω → C, Z K

|f(x)| dx < ∞, pour tout compact K de Ω

  .

Définition 1.4. Soit 1 ≤ p ≤ +∞. On dit qu’une fonction f : Ω → R appartient à

LP

Loc(Ω) si f1K ∈ LP(Ω) pour tout compact K ⊂ Ω.

Théorème 1.7. (Densité) L’espace Cc(Ω) est dense dans Lp(Ω) pour 1 ≤ p < ∞.

Lemme 1.8. Soit f ∈ LP

Loc(Ω) tel que

R

Ωf u= 0, ∀u ∈ Cc(Ω), alors, f = 0 p.p sur Ω.

Théorème 1.9. [1] Lp(Ω) est séparable pour 1 ≤ p < ∞.

1.2 Espaces de Sobolev dans R

Les espaces de Sobolev sont des espaces vectoriels normés qui sont bien adaptés à la résolution de nombreux problèmes d’équations différentielles aux dérivées partielles. Par ailleurs les problèmes concret rencontres en physique, mécanique,...comportent en général des conditions au bord du domaine.

1. PRÉLIMINAIRES ET RAPPELS

1.2.1 Espace de Sobolev W

_(I)

Dérivées faibles.

Dans ce qui suit, on considérera un intervalle ouvert (non vide) I de R, borné ou non, d’extrémités a et b (−∞ ≤ a ≤ b ≤ +∞), et on notera ¯I son adhérence dans R.

¯I = [0, + ∞] si I =]0, + ∞[. On notera C1

c(I) l’espace des fonctions continûment dérivables à support compact contenu

dans I, Plus généralement, pour tout K ∈ N, on notera CK

c (I) l’espace des fonctions de

classe CK à support compact contenu dans I et D(I) l’espace des fonctions indéfiniment

dérivables à support compact contenu dans I.

Le point de départ est la remarque suivante : si u est continûment dérivable sur I et si ϕ ∈ C1

c(I), alors, en intégrant par parties, on obtient

Z I u(t)ϕ0(t) dt = − Z I u0(t)ϕ(t) dt,

puisque le fait que supp ϕ soit un compact de ]a, b[ entraîne [uϕ]b

a = u(b)ϕ(b) − u(a)ϕ(a) = 0.

Cela conduit à :

Définition 1.5. On dit que u ∈ LP(I), 1 ≤ p < +∞, a une dérivée faible s’il existe

v _{∈ L}P(I) telle que :

Z I u(t)ϕ0(t) dt = − Z I v(t)ϕ(t) dt, ∀ϕ ∈ C1(I). v s’appelle la dérivé faible de u et on note u0 = v.

Proposition 1.10. [2] Soit I un ouvert de R et 1 ≤ p < +∞. Alors D(I) et dense dans

Lp(I).

Définition 1.6. (Espace de Sobolev) Pour 1 ≤ p ≤ +∞, on définit l’espace de Sobolev

W1,p(I) par W1,p(I) =

ß

u∈ Lp(I), ∃ g ∈ Lp(I) tel que Z Iuϕ 0 dx= − Z Igϕ dx, ∀ϕ ∈ C 1 c(I) ™ .

Remarque 1.2. Pour p = 2, il d’usage de remplacer la notation W1,2_{(I) par H}1_(I).

Exemple 1. Soit I =] − 1, + 1[

i) La fonction u(x) = 1

2(|x| + x) appartient à W1,p(I) pour tout 1 ≤ p ≤ ∞ et que

u0 = H où H(x) =      +1 si 0 < x < 1, 0 si −1 < x < 0. ii) La fonction H n’appartient pas à W1,p _{pour tout 1 ≤ p ≤ ∞.}

puisque H0 = δ(mesure de Dirac) n’appartient pas à Lp

Proposition 1.11. [1]

i) L’espace W1,p_{(I) muni de la norme définie par}

kukW1,p(I) = kukLp+ ku0k_Lp

est un espace de Banach séparable (1 ≤ p < ∞). Il est réflexif pour 1 < p < ∞. ii) L’espace H1_{(I) muni du produit scalaire}

(u,v)H1 = (u,v)L2 + (u0,v0)L2 et la norme associée kukH1 = Ä kuk2L2 + ku0k2L2 ä1 2

est un espace de Hilbert séparable.

Démonstration. i) Si (un)n≥1 est une suite de Cauchy dans W1,P(I), alors (un)n≥1

et (u0

n)n≥1 sont de Cauchy dans LP(I). Donc un → u dans LP(I) et u0n → v dans

LP(I). On a pour tout ϕ ∈ C1 c(I) ¨ u,ϕ0∂= lim n→∞hun,ϕ 0_{i = − lim} n→∞hu 0 n,ϕi = − hv,ϕi ;

1. PRÉLIMINAIRES ET RAPPELS

ii) Soit

T : W1,p(I) → Lp(I) × Lp(I)

u → T (u) = (u,u0).

Alors T est une isométrie, si l’on met sur le produit Lp(I) × Lp(I) la norme

|(u,v)| = kukLp+ kvk_Lp, Lp(I) × Lp(I) est réflexif, pour 1< p < ∞, donc W1,P(I)

aussi. 

Théorème 1.12. (Densité.) [6]

Soit u ∈ W1,P_{(I) avec 1 ≤ p < ∞. Alors il existe une suite u}

n dans Cc∞(R) tel que

un|I → u dans W1,P(I).

Corollaire 1.13. (Intégration par parties)

Soient v, u ∈ W1,p_{(I) avec 1 ≤ p ≤ ∞. Alors vu ∈ W}1,p_{(I) et (uv)}0 = u0_v+ uv0.

De plus, on a la formule d’intégration par parties

Z y x u

0_{v = −u(x)v(x) + u(y)v(y) −}Z y

x uv

0_{, ∀x,y ∈ ¯I.}

1.2.2 Espace de Sobolev W

(I)

Définition 1.7. Étant donne une entier m ≥ 2 et un réel 1 ≤ p ≤ ∞, on définit par

récurrence l’espace

Wm,p(I) = {u ∈ Wm−1,p(I), u0 ∈ Wm−1,p_(I)}.

On pose Hm(I) = Wm,2(I), et l’espace Hm(I) muni du produit scalaire

(u,v)Hm = (u,v)_L2 + m

X

i=1

(u(i)_,v(i)₎

est un espace de Hilbert.

1.2.3 Espace de Sobolev W

0

(I)

Définition 1.8. Étant donné 1 ≤ p ≤ ∞ et m ∈ N. On désigne par Wm,p

0 (I) la fermeture

de Cm

c (I) dans Wm,p(I). On note H0m(I) = W m,p

L’espace W1,p

0 muni de la norme induit par W1,p est un espace de Banach séparable, il est

de plus réflexif pour 1 < p < ∞. L’espace H1

0 muni du produit scalaire induit par H1 est un espace de Hilbert séparable.

Remarque 1.3. Lorsque I = R on sait que C1

c(R) est dense dans W1,p(R) et par

consé-quent W01,p(R) = W1,p(R).

Théorème 1.14. Soit u ∈ Wm,p(I), alors u ∈ Wm,p

0 (I) si seulement si u = 0 sur ∂I.

Proposition 1.15. (Inégalité de Poincaré)

Supposons que I est borné. Alors il existe une constante C (dépendant de |I|) telle que

kukW1,p(I) ≤ Cku0kLp(I), ∀u ∈ W₀1,p(I).

Autrement dit, sur Wm,p

0 (I) la quantité ku0kLp est une norme équivalente à la norme

usuelle de Wm,p(I) i.e.

kukW₀m,p(I) = ku0kLp_(I).

L’espace dual de W1,p 0

On désigne par W−1,p0_{(I) l’espace dual de W}1,p

0 (I) avec 1 ≤ p ≤ ∞ et par H−1(I)

l’espace dual de H1

0(I). On a la conclusion

H₀1 _{⊂ L}2 _{⊂ H}−1

avec injections continues et denses. Si I est bornée, on a

W₀1,p _{⊂ L}2 _{⊂ W}−1,p0 pour tout 1 ≤ p < ∞

avec injections continues et denses.

Si I n’est pas bornée, on a seulement

W₀1,p ⊂ L2 ⊂ W−1,p0

pour tout 1 ≤ p ≤ 2 avec injections continues et denses.

Chapitre

2

Théorème de Hille-Yosida

On s’intéresse à la résolution du problème d’évolution :

     du dt + Au = 0, u(0) = u0,

où A est un opérateur défini sur un espace de Hilbert H.

2.1 Quelques propriétés des espaces de Hilbert

(Au, u) ≥ 0 ∀u 6= 0.

Inégalité de Cauchy-Schwarz

Le produit scalaire (.,.) vérifie l’inégalité de Cauchy-Schwarz : |(u,v)| ≤ (u,u)12 (v,v)12 _{∀u,v ∈ H.}

Théorème de Lax-Milgram

Définition 2.2. On dit qu’une forme bilinéaire a : H × H → R est

1. continue s’il existe une constante C telle que

2. coercive s’il existe une constante α > 0 telle que |a(v,v)| ≥ αkvk2H, ∀v ∈ H.

Théorème 2.1. (Lax-Milgram)

Soit a(.,.) une forme bilinéaire, continue et coercive sur H. Alors pour tout ϕ ∈ H0

il existe u ∈ H unique tel que

a(u,v) = hϕ,vi_(H0,H) ∀v ∈ H.

De plus, si a est symétrique, alors u est caractérisé par la propriété

u_{∈ H et} 1

2a(u,u) − hϕ,ui = minv∈H{

1

2a(v,v) − hϕ,vi}.

2.2

Théorème de Hille-Yosida

2.2.1 Définitions et propriétés élémentaires des opérateurs

maxi-maux monotones

Définition 2.3. Soit A : D(A) ⊂ H → H un opérateur linéaire non borné. On dit que

A est monotone si

(Av,v) ≥ 0, ∀v ∈ D(A).

A est maximal monotone si de plus R(I + A) = H, i.e

∀f ∈ H, ∃u ∈ D(A) telle que u + Au = f.

Proposition 2.2. Soit A un opérateur maximal monotone. Alors

i) D(A) est dense dans H, ii) A est fermé,

iii) Pour tout λ > 0 ; l’opérateur (I + λA) est bijectif de D(A) dans H, (I + λA)−1 est

un opérateur bornée et k(I + λA)−1_k

2. THÉORÈME DE HILLE-YOSIDA

Démonstration. i) Soit f ∈ H, tel que (f,v) = 0 pour tout v ∈ D(A). vérifions que

f = 0. En effet, il existe v0 ∈ D(A) tel que v0+ Av0 = f. On a

0 = (f,v0) = |v0|2+ (Av0,v0) ≥ |v0|2.

Donc v0 = 0 et par suite f = 0.

ii) Montrons d’abord que pour tout f ∈ H il existe u ∈ D(A) unique tel que

u+ Au = f. En effet si u0 désigne une autre solution alors an a (u − u0) + A(u − u0) = 0.

Prenant le produit scalaire avec (u − u0) et appliquant la monotonie de A on voit que

(u − u0) = 0.

D’autre part on a |u|2 _{+ (Au,u) = (f,u) et par suite |u| ≤ |f|. L’opérateur f → u noté}

(I + A)−1 est donc un opérateur linéaire borné de H dans D(A) et

(I + A)−1

L(H) ≤ 1.

Montrons que A est fermé. Soit (un) une suite telle que un∈ D(A) pour tout n, un → u

et Aun → f. Il faut vérifiée que u ∈ D(A) et que Au = f. On a un+ Aun→ u + f et donc

un= (I + A)−1(un+ Aun) → (I + A)−1(u + f).

Par conséquent u = (I + A)−1(u + f) i.e. u ∈ D(A) et u + Au = u + f.

iii) Supposons que pour un certain λ0 >0 on ait R(I + λ0A) = H. On va montrer

que pour tout λ > λ0

2 on a R(I + λA) = H.

Commençons par noter -exactement comme en ii) -que pour tout f ∈ H il existe u ∈

D(A) unique tel que u + λ0Au = f ; L’opérateur f → u est noté (I + λ0A)−1 et l’on a

k(I + A)−1_k

L(H) ≤ 1. On cherche à résoudre l’équation

u+ λAu = f avec λ > 0. (2.1)

On écrit (2.1) sous la forme

u+ λ0Au= λ0 λ f+ Ç 1 − λ_λ0 å ou encore u= (I + λ0A)−1 ñ λ0 λ f+ Ç 1 − λ0 λ å u ô . (2.2)

On voit alors que si 1 −λ_λ0 ≤ 1 i.e. λ > λ0

2, alors (2.2) admet une solution grâce au

théorème de point fixe de Banach.

Conclusion. Si A maximal monotone alors I + A est surjective. D’après ce qui précédé I + λA est surjectif pour λ > 1

2 donc aussi pour λ > 14,etc.Par récurrence on voit

que I + λA est surjectif pour λ > 0. 

Remarque 2.1. Si A est maximal monotone, alors λA est aussi maximal monotone pour

tout λ > 0. Par contre si A et B sont deux opérateurs maximaux monotones alors A + B définie sur D(A) ∩ D(B) n’est pas nécessairement maximal monotone.

2.2.2 Résolution du problème d’évolution

     du dt + Au = 0, t ≥ 0 u(0) = u0. Théorème 2.3. (Hille-Yosida)

Soit A un opérateur maximal monotone dans un espace de Hilbert H. Alors pour tout u0 ∈ D(A), il existe une fonction

u∈ C([0; +∞[; D(A)) ∩ C1([0; +∞[; H)

unique telle que _

    du dt + Au = 0, [0; +∞[, u(0) = u0, (donnée initiale). (2.3) De plus on a |u(t)| ≤ |u0| et |du dt(t)| = |Au(t)| ≤ |Au0|, ∀t ≥ 0.

Remarque 2.2. L’intérêt principal du théorème de Hille-Yosida réside dans le fait que

pour résoudre le problème d’évolution on se ramène à vérifier que A est maximal monotone, c’est-à-dire, à étudier l’équation stationnaire u + λAu = f.

2. THÉORÈME DE HILLE-YOSIDA

2.2.3 Régularité

On va maintenant compléter le résultat du théorème 2.3 en montrent que la solution

u de (2.3) est de plus régulier moyennant des hypothèses supplémentaires sur la donnée

initiale u0.

Définition 2.4. On définit par récurrence l’espace

D(Ak) = {v ∈ D(Ak−1); Av ∈ D(Ak−1)} k(entier) ≥ 2. D(Ak) est un espace de Hilbert pour le produit scalaire

(u,v)D(Ak₎= k

X

j=0

(Aj_u,Aj_v).

La norme correspondante est

kukD(Ak) = Ñ k X j=0 kAj_uk2 H é1 2 .

Théorème 2.4. On suppose que u0 ∈ D(Ak) avec k ≥ 2. Alors la solution u du problème

     du dt + Au = 0, [0; +∞[, u(0) = u0.

obtenue au théorème de Hille-Yosida vérifie, de plus

u∈ Ck−jÄ_{[0, ∞[; D(A}j₎ä _{pour j = 0, 1, . . . k.}

Démonstration. Commençons par supposer que k = 2 .

On considéré l’espace de Hilbert H1 = D(A) muni du produit scalaire (u,v)D(A). On vérifie

aisément que l’opérateur A1 : D(A1) ⊂ H1 → H1 définie par

     D(A1) = D(A2) A1u= Au pour u∈ D(A1)

est maximal monotone dans H1. Applique le théorème 2.3 à l’opérateur A1 dans l’espace

H1 on voit qu’il existe une fonction

telle que _     du dt + A1u= 0, sur [0; +∞[, u(0) = u0.

En particulier u satisfait (2.3), grâce à l’unicité il s’agit donc la solution de (2.3). Il reste seulement à vérifier que u ∈ C2_{([0; +∞[; H). Comme}

A∈ L(H,H) et que u∈ C1([0; +∞[; H1),

il en résultat que Au ∈ C1_{([0; +∞[; H) et que}

d

dt(Au) = A( du

dt). (2.4)

Appliquant (2.3), on voit que du

dt ∈ C1([0; +∞[; H), c’est-à-dire u ∈ C2([0; +∞[; H) et que d dt( du dt) + A( du dt) = 0 sur [0; +∞[. (2.5)

Passons maintenant au cas général k ≥ 3. On raisonne par récurrence sur k : admettons le résultat jusqu’à l’ordre k − 1 et supposons que u0 ∈ D(Ak). D’après ce qui précède on

sait que la solution u de (2.3) appartient à u ∈ C2_{([0; +∞[; H) ∩ C}1_{([0; +∞[; D(A)) et}

que u vérifie (2.5). Posant v = du dt on obtient v _{∈ C}1([0; +∞[; H) ∩ C([0; +∞[; D(A)),      dv dt + Av = 0, sur [0; +∞[, v(0) = −Au0.

Autrement dit, v est la solution de (2.3) qui correspond à la donnée initial v(0) = −Au0.

Comme v0 ∈ D(Ak−1) on sait, d’après l’hypothèse de récurrence que

v ∈ Ck−1−j_{([0; +∞[; D(A}j_{)) Pour j = 0,1, . . . k − 1, (2.6)}

i.e.

2. THÉORÈME DE HILLE-YOSIDA

Il reste seulement à vérifier que

u_{∈ C([0; +∞[; D(A}k)). (2.7)

Appliquent (2.6) avec j = k − 1, on obtient que

du

dt ∈ C([0; +∞[; D(A

k−1_{)). (2.8)}

On déduit de (2.8) et de l’équation (2.3) que

Au_{∈ C([0; +∞[; D(A}k−1))

i.e.(2.7). 

2.2.4 Le cas autoadjoint

Soit A : D(A) ⊂ H → H un opérateur non borné avec D(A) = H. Si l’on fait l’identification H0 = H on peut considérer A∗ comme un opérateur non-borné dans H.

Définition 2.5. On dit que :

A est symétrique si (Au, v) = (u, Av) ∀u, v ∈ D(A)

A est autoadjoint si A∗ = A, ce qui sous-entend D(A∗) = D(A).

Proposition 2.5. Soit A un opérateur maximal monotone, symétrique. Alors A est

au-toadjoint.

Démonstration. Soit J1 = (I +A)−1.Montrons d’abord que J1 est autoadjoint. Il suffit

de vérifier - puisque J1 ∈ L(H) - que

(J1u,v) = (u,J1v) ∀u,v ∈ H. (2.9)

Posons u1 = J1u, v1 = J1v de sort que

u1+ Au1 = u

v1+ Av1 = v.

Soit u ∈ D(A∗) et posons f = u + A∗_u. On a

(f,v) = (u,v + Av) ∀v ∈ D(A) i.e.

(f,J1w) = (u,w) ∀w ∈ H.

Par conséquent u = J1f et donc u ∈ D(A). Conclusion : D(A∗) = D(A). 

Théorème 2.6. Soit A un opérateur maximal monotone autoadjoint. Alors pour tout

u0 ∈ H, il existe une fonction

u_{∈ C([0, ∞[; H) ∩ C}1(]0, ∞[; H) ∩ C(]0, ∞[; D(A))

unique telle que

     du dt + Au = 0, [0; +∞[, u(0) = u0. De plus on a |u(t)| ≤ |u0| et |du dt(t)| = |Au(t)| ≤ 1 t|u0|, ∀t ≥ 0.

2.3 Formulation variationnelle

De façon générale, pour obtenir la formulation variationnelle d’un problème aux li-mites, on suppose que la fonction à chercher est régulière et on commence par prendre une fonction régulière v appelée fonction test, on multiplie l’équation par v et on intègre par parties formellement jusqu’à obtenir une forme bilinéaire a(.,.) défini sur un espace de Hilbert V (dans la majorité des cas que l’on traite ici, l’espace V est un sous espace fermé d’un espace de Sobolev Hm). Dans la détermination, il faut faire en sorte que les

conditions aux limites homogènes et ayant un sens sur V apparaissent et V doit permettre de donner un sens à la formulation variationnelle (continuité de a).

Exemple 2. Considérons par exemple le problème suivant : trouver une fonction u

2. THÉORÈME DE HILLE-YOSIDA      −u00+ u = f, sur I =]0; +1[, u0(0) = u0(1) = 0. (P)

Oˇu f est une fonction donnée.

Proposition 2.7. Pour tout f ∈ L2_{(I), il existe u ∈ H}2_{(I) unique vérifiant (P). de plus}

u s’obtient par min v∈H1{ 1 2(v02+ v2) − Z If v}

Démonstration. Si u est une solution de (P) on a :

Z Iu 0_v0₊Z Iuv = Z If v, ∀v ∈ H 1_{(I). (p’)}

D’où la formulation faible suivante

a(u,v) = Z Iu 0_v0 ₊Z Iuv = Z If v = L(v).

Vérifions que la forme bilinéaire a satisfait les conditions du théorème de Lax-Milgram. Grâce à l’inégalité de Cauchy-Schwarz, on a :

|a(u,v)| = Z Iu 0_v0₊Z Iuv   ≤ ku0_k L2kv0kL2 + kukL2kvkL2 ≤ (kukL2 + ku0kL2) (kvkL2 + kv0kL2) ≤ kukH1 kvkH1,

d’où la continuité de a. D’autre part, on a

a(v,v) =  Z Iv 02₊Z Iv 2  = kv0_k2 L2 + kvk2L2 ≥ kvk2H1, d’où la coersivité de a.

D’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz, on a |L(v)| = Z If v   ≤ kfkL2kvkL2 ≤ ckvkH1,

d’où la continuité de L. Par suite, on peut appliquer le théorème de Lax-Milgram pour déduire l’existence d’une solution faible u ∈ H1 _{unique telle que (p’).}

Intégrant par parties l’équation (p’), on obtient

Z I−u 00_{v− [u}0_v]1 0+ Z Iuv = Z If v, ∀v ∈ H 1_(I). i.e Z I(−u 00_{+ u − f) v + u}0_{(1)v(1) − u}0_{(0)v(0) = 0, ∀v ∈ H}1_{(I). (p”)} Alors Z I(−u 00_{+ u − f) v = 0, ∀v ∈ C} c(I). Il en résulte que u00 = u + f ∈ L2(I). Alors u_{∈ H}2(I).

Revirement ensuite à (p”), il reste

u0(1)v(1) − u0(0)v(0) = 0, ∀v ∈ H1(I),

comme v(0) et v(1) sont arbitraire, on déduit que

u0(1) = u0(0) = 0.

Chapitre

3

Comportement asymptotique d’un système

de type Timoshenko

3.1 Existence et unicité

Dans cette paragraphe, en utilisant le théorème de Hille-Yosida et le théorème de Lax-Milgram, on étudie l’existence et l’unicité de la solution du système linéaire de type Timoshenko suivent                  ϕtt− (ϕx+ ψ)x = 0, dans [0,1] × R+, (3.1) ψtt− ψxx+ (ϕx+ ψ) + α(t)ψt = 0, dans [0,1] × R+, (3.2) ϕ(0,t) = ϕ(1,t) = ψ(0,t) = ψ(1,t) = 0, t ∈ R+, (3.3) ϕ(x,0) = ϕ0(x), ϕt(x,0) = ϕ1(x), ψ(x,0) = ψ0(x), ψt(x,0) = ψ1(x), x ∈ [0,1].(3.4)

Où ϕ est le déplacement transversal d’un point matériel de référence x dans une poutre de longueur 1, et ψ l’angle de rotation du filament. α est une fonction bornée sur (0,∞). Pour cela, on pose u = ϕt et v = ψt, le système (3.1) -(3.4) s’écrit sous la forme :

     Ut+ AU = 0, U(0) = U0,

où U = (ϕ,u,ψ,v)T_{, U}

0 = (ϕ0,u0,ψ0,v0)T et l’opérateur A est défini par

AU =          −u −(ϕx+ ψ)x −v −ψxx+ (ϕx+ ψ) + α(t)v.         

On note par V l’espace de Hilbert

V = [H₀1(0,L) × L2(0,L)]2.

L’espace V muni du produit scalaire (U,U0₎ V = Z 1 0 [uu 0_{+ vv}0_{+ (ϕ} x+ ψ)(ϕ0x+ ψ0) + ψxψx0]dx

où U = (ϕ,u,ψ,v)T_{, U}0 = (ϕ0_,u0_,ψ0_,v0)T _{∈ V . La norme de V correspondante est donnée}

par ||U||2V = Z 1 0 [u 2_{+ v}2_{+ (ϕ} x+ ψ)2+ ψx2]dx.

Le domaine de A est alors

D(A) = [(H2(0,1) ∩ H₀1(0.1) × H₀1(0.1)]2.

On a le résultat d’existence et d’unicité suivent :

Théorème 3.1. Soit (ϕ0,u0,ψ0,v0)T ∈ D(A), le système (3.1)-(3.4) admet une solution

forte unique, (ϕ,ψ) satisfaisant :

ϕ∈ Cî(0, + ∞),H2(0,L) ∩ H01(0.L) ó ∩ C1î(0, + ∞),H01(0,L) ó ∩ C2î(0, + ∞),L2(0, + ∞)ó ψ _{∈ C}î(0, + ∞),H2(0,L) ∩ H₀1(0.L)ó_{∩ C}1î(0, + ∞),H₀1(0,L)ó_{∩ C}2î(0, + ∞),L2(0, + ∞)ó

Démonstration. On applique le théorème de Hille-Yosida, il suffit de montrer que A est maximal monotone. En effet , on a ∀U ∈ D(A) :

(AU,U)_V =Z 1 0 −u(ϕx+ ψ)xdx+ Z 1 0 v[−ψxx+ (ϕx+ ψ) + α(t)v] dx +Z 1 0 (−ux− v)(ϕx+ ψ) dx − Z 1 0 ψxvx dx =Z 1 0 −u(ϕx+ ψ)xdx− Z 1 0 ψxxv dx+ Z 1 0 (ϕx+ ψ)v dx + Z 1 0 α(t)v 2 _dx − Z 1 0 (ux+ v)(ϕx+ ψ) dx − Z 1 0 vxψx dx.

3. COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE D’UN SYSTÈME DE TYPE TIMOSHENKO

Grâce à la formule d’intégration par parties et les conditions au bord, on trouve (AU,U)_V =Z 1 0 ux(ϕx+ ψ) dx + Z 1 0 ψxvx dx+ Z 1 0 (ϕx+ ψ)v dx + Z 1 0 α(t)v 2 _dx − Z 1 0 (ux+ v)(ϕx+ ψ) dx − Z 1 0 vxψx dx.

Après la simplification, on trouve

(AU,U)_V =Z 1

0 α(t)v 2 _dx

≥ 0, ce qui implique que A est monotone.

Maintenant, on démontre que A + I est surjective ; ie R(A + I) = V . On prend

F = (f1,f2,f3,f4)T ∈ V et on cherche U = (ϕ,u,ψ,v)T ∈ D(A) tel que :

(A + I)U = F. (3.5)

Ceci s’écrit en termes de composants, comme suit

                 ϕ_{− u = f}1, (3.6) u_{− (ϕ}x+ ψ)x = f2, (3.7) ψ_{− v = f}3, (3.8) v− ψxx+ (ϕx+ ψ) + α(t)v = f4, (3.9)

En utilisant (3.6) et (3.8), on trouve que ϕ et ψ satisfont

  

ϕ_{− (ϕ}x+ ψ)x = f2+ f1 = g1 ∈ L2(0,1), (3.10)

(1 + α(t))ψ − ψxx+ (ϕx+ ψ) = (1 + α(t))f3+ f4 = g2 ∈ L2(0,1). (3.11)

En multipliant les deux équations (3.10), (3.11) par des fonctions ˜ϕ, ˜ψ ∈ H01(0,1)

respectivement puis intégrant par parties sur (0,1), on obtient

         Z 1 0 ϕ˜ϕ dx + Z 1 0 ˜ϕx(ϕx+ ψ) dx = Z 1 0 g1˜ϕ dx, (3.12) Z 1 0 ψ ˜ψ dx+ Z 1 0 ψxψ˜x dx+ Z 1 0 (ϕx+ ψ) ˜ψdx+ Z 1 0 α(t)ψ ˜ψ dx= Z 1 0 g2ψ dx.˜ (3.13) Combinons (3.12) et (3.13), on obtient Z 1 0 (g1˜ϕ+g2ψ˜) dx = Z 1 0 ϕ˜ϕ dx+ Z 1 0 (ϕx+ψ)( ˜ϕx+ ˜ψ) dx+ Z 1 0 ψxψ˜x dx+ Z 1 0 (1 + α(t)) ψ ˜ψ dx

Pour X = (ϕ,ψ), ˜X = ( ˜ϕ, ˜ψ) ∈ [H₀1(0.1)]2, on définit sur [H₀1(0.1)]2 une forme bilinéaire a(X, ˜X) et une forme linéaire L( ˜X) par

a(X, ˜X) = Z 1 0 ϕ˜ϕ dx + Z 1 0 (ϕx+ ψ)( ˜ϕx+ ˜ψ) dx + Z 1 0 ψxψ˜x dx+ Z 1 0 (1 + α(t)) ψ ˜ψ dx, L( ˜X) = Z 1 0 (g1˜ϕ + g2ψ˜) dx.

Pour qu’on prouve que (3.12), (3.13) admet une solution, il suffit montrer que a est continue et coercive, et que L est continue. On a :

|a(X, ˜X)| =  Z 1 0 [ϕ ˜ϕ + (ϕx+ ψ)( ˜ϕx+ ˜ψ) + ψ ˜ψ+ ψxψ˜x+ α(t)ψ ˜ψ] dx   .

En utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwarz, on obtient

|a(X, ˜X)| ≤kϕkL2 k ˜ϕkL2 + kϕxkL2 k ˜ϕxkL2+ kϕxkL2 k ˜ψkL2 + kψkL2 k ˜ϕxkL2 + kψkL2 k ˜ψkL2

+kψkL2 k ˜ψkL2 + kψxkL2 k ˜ψxkL2 + | sup α(t)| kψkL2 k ˜ψkL2

≤C(||ϕ||H₀1 + ||ψ||H₀1)(|| ˜ϕ||H₀1 + ˜ψ||H₀1)

≤C||X||[H1

0]2|| ˜X||[H01]2.

Donc a(.,.) est continue.

a(X,X) = Z 1 0 ϕ 2 _dx+Z 1 0 (ϕx+ ψ) 2 _dx+Z 1 0 ψ 2 _dx+Z 1 0 α(t)ψ 2 _dx ≥C(||ϕ||2H₀1 + ||ψ||2H₀1) ≥C||X||2H₀1.

Donc a(.,.) est coercive. et L vérifie |L( ˜X)| =| Z 1 0 g1˜ϕ dx + Z 1 0 g2ψ dx˜ | ≤||g1||L2 || ˜ϕ||L2 + ||g2||L2|| ˜ψ||L2 ≤ max(||g1||L2 + ||g2||L2)|| ˜X||H₀1 ≤C|| ˜X_||H₀1.

Donc L est continue.

3. COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE D’UN SYSTÈME DE TYPE TIMOSHENKO X = (ϕ,ψ)T _{∈ [H}1 0]2, telle que : a((ϕ,ψ)T,( ˜ϕ, ˜ψ)T) = L( ˜ϕ, ˜ψ)T, ∀ ˜ϕ∈ H01, ∀ ˜ψ ∈ H01. De l’égalité ϕ − u = f1, on aura : u= ϕ − f1 ∈ H01 et de ψ − v = f3 , on aura : v = ψ − f3 ∈ H01, d’autre part, si ˜ψ = 0, on a Z 1 0 g1˜ϕ dx = Z 1 0 (ϕx+ ψ) ˜ϕx dx+ Z 1 0 ϕ˜ϕ dx.

En utilisant l’intégration par parties, on trouve

Z 1 0 g1˜ϕ dx = − Z 1 0 (ϕx+ ψ)x˜ϕ dx + Z 1 0 ϕ˜ϕ dx, alors Z 1 0 (ϕ − ϕxx − ψx− g1) ˜ϕ dx = 0, ∀ ˜ϕ ∈ H 1 0(0.1). Il en résulte que ϕxx = −ϕ − ψx+ g1 p.p.

En utilisant (3.6),on déduit alors

ϕxx = −u − ψx+ f2 ∈ L2(0.1). Alors ϕ∈ H2(0.1), il résulte que ϕ ∈ H2_{(0.1) ∩ H}1 0(0.1). De même, si ˜ϕ = 0, on a Z 1 0 g2ψ dx˜ = Z 1 0 (ϕx+ ψ) ˜ψ dx+ Z 1 0 ψxψ˜x dx+ Z 1 0 ψ ˜ψ dx+ Z 1 0 α(t)ψ ˜ψ dx.

On intègre par parties, on obtient

Z 1 0 g2 ˜ ψ dx= Z 1 0 (ϕx+ ψ) ˜ψ dx− Z 1 0 ψxx ˜ ψ dx+ Z 1 0 ψ ˜ψ dx+ Z 1 0 α(t)ψ ˜ψ dx,

alors

Z 1

0 ((ϕx+ ψ) − ψxx+ (1 + α(t))ψ − g2) ˜ψ dx= 0, ∀ ˜ψ ∈ H 1 0(0,1)

ce qui implique que

ϕx+ ψ + (1 + α(t))ψ − ψxx = g2.

En utilisent (3.8), on déduit alors

ψxx = (1 + α(t))v + ϕx− f2 ∈ L2(0,1).

Alors

ψ ∈ H2(0,1), il résulte que ψ ∈ H2_{(0.1) ∩ H}1

0(0.1). 

3.2 Stabilisation d’un système de type Timoshenko

Dans cette section, nous énoncer et prouver notre résultat principal. A cette fin nous s’établissons plusieurs lemmes

Lemme 3.2. L’énergie du système est :

E(t) = 1 2[ Z 1 0 ϕ 2 t + ψ2t + (ϕx+ ψ)2+ ψx2] et on a E0(t) = − Z 1 0 α(t)ψ 2 t ≤ 0. (3.14)

Démonstration. On multiple (3.1) par ϕt et on intègre sur (0.1), il vient

Z 1

0 ϕttϕt dx−

Z 1

0 (ϕx+ ψ)xϕtdx= 0,

et par l’intégration par parties, on trouve 1 2 ∂ ∂t Z 1 0 ϕ 2 t dx− [(ϕx+ ψ)ϕt]10+ Z 1 0 (ϕx+ ψ)ϕxt dx= 0.

Les conditions aux limites impliquent 1 2 ∂ ∂t Z 1 0 ϕ 2 t dx+ Z 1 0 (ϕx+ ψ)ϕxt dx= 0. (3.15)

3. COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE D’UN SYSTÈME DE TYPE TIMOSHENKO

On multiple (3.2) par ψt et on intègre sur (0,1), il vient

Z 1 0 ψttψtdx− Z 1 0 ψxxψt dx+ Z 1 0 (ϕx+ ψ)ψtdx+ Z 1 0 α(t)ψ 2 tdx= 0,

on intègre par parties, on obtient 1 2 ∂ ∂t Z 1 0 ψ 2 t dx− [ψtψx]10+ Z 1 0 ψxψxt dx+ Z 1 0 (ϕx+ ψ)ψtdx+ Z 1 0 α(t)ψ 2 t dx= 0,

grâce aux conditions aux limites, on trouve 1 2 ∂ ∂t Z 1 0 ψ 2 t dx+ 1 2 ∂ ∂t Z 1 0 ψ 2 x dx+ Z 1 0 (ϕx+ ψ)ψtdx+ Z 1 0 α(t)ψ 2 tdx= 0. (3.16) On somme (3.16) et (3.15), on obtient 1 2 ∂ ∂t[ Z 0ϕ 2 t + ψ2t + (ϕx+ ψ)2ψx2]dx] = − Z 1 0 α(t)ψ 2 t d’oˇu E0(t) = − Z 1 0 α(t)ψ 2 t ≤ 0. 

Maintenant, nous allons construire une fonction de Lyapounov L équivalent à E, avec lequel nous pouvons afficher le résultat désiré. Pour cela, nous définissons plusieurs fonctions qui nous permettent d’obtenir les estimations nécessaires.

Lemme 3.3. La fonction F1 définie par

F1(t) := − 1 Z 0 (ψψt+ ϕϕt)dx satisfait, l’estimation F10(t) ≤ − 1 Z 0 Ä ψ2_t + ϕ2_tädx+ 1 Z 0 (ψ + ϕx)2dx+ c 1 Z 0 ψ2_xdx+ c 1 Z 0 ψt2dx. Démonstration. On a : F10(t) = − 1 Z 0 ψ2_t+ψψtt+ ϕ2t + ϕϕtt dx

En utilisant les équations (3.1) et (3.4), on trouve : F10(t) = − 1 Z 0 î ψt2+ ψ (ψxx− (ϕx+ ψ) − α(t)ψt) + ϕ2t + ϕ(ϕx+ ψ)x ó dx = − 1 Z 0 Ä ψ_t2+ ϕ2_tädx₋ 1 Z 0 ψψxxdx+ 1 Z 0 ψ(ϕx+ ψ)dx + 1 Z 0 α(t)ψψtdx− 1 Z 0 ϕ(ϕx+ ψ)_xdx,

et sous les conditions au bord, une intégration par parties donne

F10(t) = − 1 Z 0 Ä ψ_t2+ ϕ2_tädx+ 1 Z 0 ψ_x2 dx+ 1 Z 0 ψ(ϕx+ ψ) dx + 1 Z 0 α(t)ψψt dx + 1 Z 0 ϕx(ϕx+ ψ) dx = − 1 Z 0 Ä ψ_t2+ ϕ2_tädx+ 1 Z 0 ψ_x2 dx+ 1 Z 0 (ϕx+ ψ)2 dx+ 1 Z 0 α(t)ψψt dx.

A l’aide de l’inégalité de Young, il résulte que

F10(t) ≤ − 1 Z 0 Ä ψ_t2+ ϕ2_tädx+ 1 Z 0 ψ_x2 dx+ 1 Z 0 (ϕx+ ψ)2 dx+ 1 2 1 Z 0 |α(t)|2ψ2 dx+1 2 1 Z 0 ψ_t2 dx.

Grâce à l’inégalité de Poincaré, on obtient

F10(t) ≤ − 1 Z 0 Ä ψ_t2+ ϕ2_tädx+ 1 Z 0 ψ_x2 dx+ 1 Z 0 (ϕx+ ψ)2 dx+ 1 Z 0 1 2|α(t)|2ψ2xdx+ 1 Z 0 1 2ψt2 dx ≤ − 1 Z 0 Ä ψ_t2+ ϕ2_tädx+ 1 Z 0 (ϕx+ ψ)2 dx+ c 1 Z 0 ψ_x2 dx+ c 1 Z 0 ψ_t2 dx. 

Lemme 3.4. La fonction F2 définie par

F2(t) := 1 Z 0 ψt(ψ + ϕx) dx + 1 Z 0 ψxϕtdx satisfait, l’estimation F02(t) ≤ [ψx+ ϕx]x_x=1₌₀− (1 − ε) 1 Z 0 (ϕx+ ψ)2dx+ c(1 + 1 ε) 1 Z 0 ψ_t2 dx. pour toute 0 < ε < 1.

3. COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE D’UN SYSTÈME DE TYPE TIMOSHENKO Démonstration. On a F02(t) = 1 Z 0 ψtt(ϕx+ ψ) + ψt(ϕxt+ ψt) dx + 1 Z 0 ϕttψx+ ψxtϕtdx.

En utilisant les équations (3.1), (3.4), on a

F02(t) = 1 Z 0 (ϕx+ ψ) [ψxx− (ϕx+ ψ) − α(t)ψt] dx + 1 Z 0 (ϕxt+ ψt)ψtdx + 1 Z 0 (ϕx+ ψ)_xψx+ ψxtϕtdx = 1 Z 0 ψxx(ϕx+ ψ) dx − 1 Z 0 (ϕx+ ψ)2 dx− 1 Z 0 α(t)ψt(ϕx+ ψ) dx + 1 Z 0 (ϕxt+ ψt) ψtdx + 1 Z 0 (ϕx+ ψ)_xψx dx+ 1 Z 0 ψxtϕtdx

d’où, on conclut, à l’aide de la forme d’intégration par parties, que

F02(t) = [ψx(ϕx+ ψ)]x_x=1₌₀− 1 Z 0 (ϕx+ ψ)2 dx− 1 Z 0 α(t)ψt(ϕx+ ψ) dx + 1 Z 0 ψ_t2 dx.

En appliquant alors l’inégalité de Young, on obtient

F02(t) ≤ [ψxϕx]x_x=1₌₀− 1 Z 0 (ϕx+ ψ)2 dx+ 1 Z 0 ψ_t2 dx+ 1 4ε 1 Z 0 |α(t)|2ψ2_t dx+ ε 1 Z 0 (ϕx+ ψ)2 dx ≤ [ψxϕx]x_x=1₌₀− (1 − ε) 1 Z 0 (ϕx+ ψ)2 dx+ c(1 + 1 ε) 1 Z 0 ψ2_t dx. 

Lemme 3.5. Soit z ∈ C1_{([0,1]) est une fonction satisfaisant z(0) = −z(1) = 2. Alors il}

existe c > 0 tel que, pour tout 0 < ε < 1, la fonction F3 définie par

F3(t) := _4ε1 1 Z 0 z(x)ψtψx dx+ ε 1 Z 0 z(x)ϕtϕx dx satisfait l’estimation F₃0(t) ≤ − 1 4ε Ä (ψ2 x(1,t)) + (ψx2(0,t)) ä − εÄ(ϕ2x(1,t)) + (ϕ2x(0,t)) ä + εc 1 Z 0 ϕ2_t dx +Å1 4+ εc ã_Z1 0 (ϕx+ ψ)2 dx+ c ε2 1 Z 0 ψ_x2 dx+ c(1 + 1 ε) 1 Z 0 ψ_t2 dx.

Démonstration. Utilisant les équations (3.1)-(3.2), on trouve F₃0(t) =_4ε1 1 Z 0 z(x)ψttψx dx+ 1 4ε 1 Z 0 z(x)ψtψxt dx+ ε 1 Z 0 z(x)ϕttϕx dx+ ε 1 Z 0 z(x)ϕtϕtxdx =_4ε1 1 Z 0 z(x)[ψxx− (ψ + ϕx) − α(t)ψt]ψx dx+_4ε1 1 Z 0 z(x)ψtψxtdx+ ε 1 Z 0 z(x)ϕtϕtxdx + ε 1 Z 0 z(x)(ψ + ϕx)xϕx dx =_4ε1 1 Z 0 z(x)1 2 d dxψ 2 x dx− 1 4ε 1 Z 0 z(x)ψx(ψ + ϕx) dx − _4ε1 1 Z 0 z(x)α(t)ψtψxdx + _4ε1 1 Z 0 z(x)1₂ d dxψ 2 t dx+ ε 1 Z 0 z(x)1₂ d dxϕ 2 t dx+ ε 1 Z 0 z(x)(ψ + ϕx)x(ψ + ϕx) dx − ε 1 Z 0 z(x)(ψ + ϕx)xψ dx

et d’après la formule d’intégration par parties, on déduit que

F₃0(t) = 1 4ε ï₁ 2z(x)ψ2x ò1 0− 1 8ε 1 Z 0 z0(x)ψ_x2 dx₋ 1 4ε 1 Z 0 z(x)ψx(ψ + ϕx) dx − _4ε1 1 Z 0 z(x)α(t)ψtψx dx + 1 4ε ï₁ 2z(x)ψ2t ò1 0− 1 8ε 1 Z 0 z0(x)ψ2_t dx+ ε ï₁ 2z(x)ϕ2t ò1 0− ε 2 1 Z 0 z0(x)ϕ2_t dx+ ε[1 2z(x) (ϕx+ ψ)2]1₀ dx− ε 2 1 Z 0 z0(x)(ϕx+ ψ)2 dx− ε [z(x)ψ(ϕx+ ψ)]1₀+ ε 1 Z 0 (z(x)ψ)x(ψ + ϕx) dx.

Les conditions au bord impliquent

F₃0(t) = −1 4ε î ψ_x2(1,t) + ψ2_x(0,t)ó₋ 1 8ε 1 Z 0 z0(x)ψ_x2 dx₋ 1 4ε 1 Z 0 z(x)ψx(ψ + ϕx) dx − _4ε1 1 Z 0 z(x)α(t)ψtψx dx− 1 8ε 1 Z 0 z0(x)ψ_t2 dx−₂ε 1 Z 0 z0(x)ϕ2_t dx− εîϕ2_x(1,t) + ϕ2_x(0,t)ó − ε₂ 1 Z 0 z0(x)(ψ + ϕx)2 dx+ ε 1 Z 0 z0(x)ψ(ψ + ϕx) dx + ε 1 Z 0 z(x)ψx(ψ + ϕx) dx.

3. COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE D’UN SYSTÈME DE TYPE TIMOSHENKO ϕ2_{x ≤ 2(ψ + ϕ}x)2+ 2ψ2, on obtient F₃0(t) ≤ − 1 4ε î ψ_x2(1,t) + ψ2_x(0,t)ó+ c ε 1 Z 0 ψ2_x dx+ c ε2 1 Z 0 ψ2_x dx+1 4 1 Z 0 (ψ + ϕx)2 dx + c ε2 1 Z 0 ψ2_xdx+ c 1 Z 0 ψ_t2 dx+ c ε 1 Z 0 ψ2_t dx+ cε 1 Z 0 ϕ2_t dx_{− ε}îϕ2_x(1,t) + ϕ2(0,t)ó + cε 1 Z 0 (ψ + ϕx)2 dx+ 1 4 1 Z 0 ψ_x2 dx+ cε 1 Z 0 (ψ + ϕx)2 dx+ 1 4 1 Z 0 ψ_x2 dx+ cε 1 Z 0 (ψ + ϕx)2 dx.

Après la simplification, on trouve :

F₃0(t) ≤ −_4ε1 Ä(ψx(1,t))2+ (ψx(0,t))2 ä − εÄ(ϕx(1,t))2+ (ϕx(0,t))2 ä + εc 1 Z 0 ϕ2t dx +Å1₄ + εcã 1 Z 0 (ϕx+ ψ)2 dx+ c ε2 1 Z 0 ψ_x2 dx+ c(1 + 1 ε) 1 Z 0 ψ_t2 dx. 

Lemme 3.6. Pour ε fixé et assez petit, la fonction F définie par

F(t) := 2cεF1(t) + F2(t) + F3(t) satisfait l’estimation F0(t) ≤ −1 2 1 Z 0 (ψ + ϕx)2 dx− τ 1 Z 0 ϕ2_t dx+ c 1 Z 0 ψ2_t dx+ c 1 Z 0 ψ_x2 dx. (3.17) oˇu τ = cε.

Démonstration. En utilisant les lemmes (3.3) - (3.4) et (3.5), on a

F0(t) ≤ 2cε  ₋ 1 Z 0 Ä ψ_t2+ ϕ2_tädx+ 1 Z 0 (ψ + ϕx)2dx+ c 1 Z 0 ψ_x2dx+ c 1 Z 0 ψt2dx   + [ψx+ ϕx]xx=1=0− (1 − ε) 1 Z 0 (ψ + ϕx)2dx+ 1 Z 0 ψt2dx+ c ε 1 Z 0 ψtdx −_4ε1 Ä(ψx(1,t))2+ (ψx(0,t))2 ä − εÄ(ϕx(1,t))2+ (ϕx(0,t))2 ä + εc 1 Z 0 ϕ2_t dx +Å1 4 + εc ã_Z1 0 (ϕx+ ψ)2 dx+ c ε2 1 Z 0 ψ2_x dx+c ε 1 Z 0 ψ_t2 dx,

et en utilisant que ψxϕx ≤ εϕ2x+ 1 4εψx2, on trouve F0(t) ≤ −2cε 1 Z 0 Ä ψ_t2+ ϕ2_tädx+ 2cε 1 Z 0 (ψ + ϕx)2dx+ 2c2ε 1 Z 0 ψ_x2dx+ 2c2ε 1 Z 0 ψt2dx +ï(εϕ2 x(1,t) + 1 4εψ2x(1,t)) − (εϕ2x(0,t) + 1 4εψ2x(0,t)) ò − (1 − ε) 1 Z 0 (ψ + ϕx)2dx + 1 Z 0 ψt2dx+ c ε 1 Z 0 ψtdx− 1 4ε Ä (ψx(1,t))2+ (ψx(0,t))2 ä − εÄ(ϕx(1,t))2+ (ϕx(0,t))2 ä + εc 1 Z 0 ϕ2_t dx+ Å₁ 4 + εc ã_Z1 0 (ϕx+ ψ)2 dx+ c ε2 1 Z 0 ψ_x2 dx+ c ε 1 Z 0 ψ2_t dx ≤ ï 2cε − (1 − ε) + (1₄+ εc)ò 1 Z 0 (ϕx+ ψ)2 dx+ î −2cε + 2c2ε+ 1ó 1 Z 0 ψ_t2 dx + cε 1 Z 0 ϕ2_t dx+ c ε 1 Z 0 ψtdx+ ï 2c2_ε+ c ε2 ò_Z1 0 ψ_x2 dx.

Dans ce point, on choisit ε assez petit tel que 2cε + ε + εc < 1₄ alors, F0(t) ≤ −1 2 1 Z 0 (ψ + ϕx)2 dx− τ 1 Z 0 ϕ2_t dx+ c 1 Z 0 ψ_t2 dx+ c 1 Z 0 ψ2_xdx où τ = cε. 

Comme dans [6], nous utilisons la fonction ω la solution de

− ωxx = ψx, ω(0) = ω(1) = 0 (3.18)

Lemme 3.7. La solution de (3.18) satisfait

Z 1 0 ω 2 x dx≤ Z 1 0 ψ 2 _{dx et} Z 1 0 ω 2 t dx ≤ Z 1 0 ψ 2 t dx.

3. COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE D’UN SYSTÈME DE TYPE TIMOSHENKO

Démonstration. On multiple (3.18) par ω et en intégré par parties sur (0.1), pour obtenir : − Z 1 0 ωxxω dx= Z 1 0 ψxω dx,

et par l’intégration par partie, on trouve

Z 1 0 ω 2 x dx− [ωxω]10 = − Z 1 0 ψωx dx+ [ωψ] 1 0

les conditions aux bord impliquent

Z 1 0 ω 2 x dx= − Z 1 0 ψωx dx,

et en utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwarz, on trouve

Z 1 0 ω 2 x dx≤ sZ ₁ 0 ω 2 x dx sZ ₁ 0 ψ 2 _dx.

Après la simplification, on trouve

sZ 1 0 ω 2 x dx≤ sZ 1 0 ψ 2 _dx, et d’où Z 1 0 ω 2 x dx≤ Z 1 0 ψ 2 _dx.

De même, En dérivant (3.18) par rapport à t, et en multipliant par ωt, on obtient

Z 1 0 ω 2 xtdx≤ Z 1 0 ψ 2 t dx,

alors, l’inégalité de Poincaré implique

Z 1 0 ω 2 t dx ≤ Z 1 0 ω 2 xt dx≤ Z 1 0 ψ 2 t dx.

Lemme 3.8. Pour tout 0 < δ < 1, la fonction K définie par

K(t) = Z 1 0 (ψψt+ ωϕt) dx satisfait l’estimation K0(t) ≤ −1 2 Z 1 0 ψ 2 x dx+ c(1 + 1 δ) Z 1 0 ψ 2 t dx+ cδ Z 1 0 ϕ 2 t dx (3.19)

Démonstration. En utilisant les équations (3.1)-(3.2), on a K0(t) = Z 1 0 Ä ψ_t2+ ψψtt+ ωtϕt+ ωϕtt ä dx =Z 1 0 ψ 2 t dx+ Z 1 0 ψ[ψxx− (ϕx+ ψ) − α(t)ψt] dx + Z 1 0 ωtϕtdx+ Z 1 0 ω(ϕx+ ψ)x dx,

et par l’intégration par parties, on trouve

K0(t) = Z 1 0 ψ 2 t dx+ [ψψx]x_x=1₌₀− Z 1 0 ψ 2 x dx− Z 1 0 ψ(ϕx+ ψ) dx − Z 1 0 α(t)ψψt dx+ Z 1 0 ωtϕt dx + [ω(ϕx+ ψ)]x_x=1₌₀− Z 1 0 ωx(ϕx+ ψ) dx.

Après la simplification, on trouve

K0(t) = Z 1 0 ψ 2 t dx− Z 1 0 ψ 2 x dx− Z 1 0 ψ(ϕx+ ψ) dx − Z 1 0 α(t)ψψtdx+ Z 1 0 ωtϕtdx − Z 1 0 ωx(ϕx+ ψ) dx,

Grâce à l’inégalité de Young, on obtient

K0(t) = Z 1 0 ψ 2 t dx− Z 1 0 ψ 2 x dx+ 1 4δ Z 1 0 ψ 2 _{dx+ δ}Z 1 0 (ϕx+ ψ) 2 _dx+1 2 Z 1 0 ψ 2_dx+ c 2 Z 1 0 ψ 2 t dx + δZ 1 0 ω 2 t dx+ 1 4δ Z 1 0 ϕ 2 t dx+ 1 4δ Z 1 0 ω 2 xdx+ δ Z 1 0 (ϕx+ ψ) 2 _dx.

Or d’après le Lemme 3.7, on arrive à

K0(t) = Z 1 0 ψ 2 t dx− Z 1 0 ψ 2 x dx+ 1 4δ Z 1 0 ψ 2 _{dx+ δ}Z 1 0 (ϕx+ ψ) 2 _dx+1 2 Z 1 0 ψ 2_dx+ c 2 Z 1 0 ψ 2 t dx + δZ 1 0 ψ 2 t dx+ 1 4δ Z 1 0 ϕ 2 t dx+ 1 4δ Z 1 0 ψ 2_{dx+ δ}Z 1 0 (ϕx+ ψ) 2 _dx.

ce qui implique d’après l’inégalité de Poincaré, que

K0(t) ≤ −1 2 Z 1 0 ψ 2 x dx+ c(1 + 1 δ) Z 1 0 ψ 2 t dx+ cδ Z 1 0 ϕ 2 t dx.  Pour N1, N2 >0, on pose L(t) := N1E(t) + N2K(t) + F (t)