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Différentes modalités de travail sur le général dans les
recherches de Poincaré sur les systèmes dynamiques
Anne Robadey
To cite this version:
Anne Robadey. Différentes modalités de travail sur le général dans les recherches de Poincaré sur les
systèmes dynamiques. Mathématiques [math]. Université Paris-Diderot - Paris VII, 2006. Français.
�tel-00011380�
ÉCOLE DOCTORALE DE MATHÉMATIQUES
REHSEIS IMCCE
THÈSE DE DOCTORAT
Spé ialité :Histoire des mathématiques
présentée par Anne Robadey
Diérentes modalités de travail sur le général dans les re her hes de Poin aré
sur les systèmes dynamiques
Thèse dirigée par KarineChemla odirigée par Alain Chen iner
soutenue le 3janvier2006 à l'Observatoire de Paris
Jury
Karine Chemla Dire tri e AlainChen iner Codire teur Étienne Ghys Rapporteur JesperLützen Rapporteur Ja ques Virbel
Je remer ie d'abordde tout ÷urKarine Chemla pour le travaila ompli ensemble. Aprèsavoirguidémespremierspasàladé ouvertede l'histoiredes mathématiques,elleaa epté de dirigermon DEApuisma thèse. Parses re-le turesdétaillées desétatssu essifsdemes re her hes,et parles dis ussions quilesontsuivies,ellem'apermisd'approfondirmaré exion,etégalementde progressersurleplandelaréda tion.Sonenthousiasmepourletravailquej'ai menésurlestextesdePoin aréaplusd'unefoisdépasséetravivélemien. Je reste impressionnéepar sonintérêt sanslimites pour l'histoiredes s ien es àtoutes les époques et sur tousles ontinents.Plus en ore peut-être que par la ultureen y lopédiquequienrésulte,j'aiététrèsmarquéeparsa apa itéà établir desliensentre divers hamps del'histoiredess ien es, enrepérantdes enjeuxméthodologiques,historiographiquesouépistémologiques ommuns.
AlainChen iner,aprèsavoirparti ipéaujurydemonDEA,aa eptéde o-diriger ettethèse.Ilaapportéleregardd'unmathémati iengrand onnaisseur de l'÷uvre de Poin aré, et m'a aidée àé lai ir ertains points te hniques des textessurlesquelsjetravaillais.Savolontédefavoriserleso asionsdedis uter m'avaluunbureauàl'Observatoire,privilège onsidérablepourunedo torante enhistoiredess ien es.Qu'ilsoitremer iéaussibienpourlebutvisépar ette mesureet largementatteintquepourlesmoyensmisen÷uvre!
Parl'intermédiairedemesdeuxdire teursdethèse,j'ai eula han ed'être a ueillie très haleureusement par deux équipes de re her he qui ont aiguisé ma uriositéenmemettantau onta tde her heursaux entresd'intérêttrès variés. Jene mehasarderaipasà iter lesnoms detous es ollègues,de peur d'en oublier,ni de euxave qui j'ai plus parti ulièrementdis uté,par e qu'il estimpossiblede xerunelimite...
Dansl'équipeAstronomieetsystèmesdynamiquesdel'Institutdemé anique éleste etde al uldes éphémérides,j'ai pusuivredesdéveloppementsa tuels dequestions quiintéressaientdéjàPoin aréetsontau entredestextesde et auteursurlesquelsj'aitravaillé:solutionspériodiquesduproblèmedesn orps, stabilité.J'yaitrouvéauquotidienl'en ouragementetl'émulationqu'apportele voisinaged'autres her heursparrapportautravailsolitaire hezsoi.La antine de l'Observatoirea par ailleurs été le adre de dis ussions passionnantes. Je tiensàmentionnerentrebeau oupd'autresdesé hangessurl'enseignementdes mathématiques,quim'ontbienaidéedansmontravaildemonitri eàl'UFRde mathématiquesdeParis7.
Autre lieu, autres m÷urs : e sont les restaurants hinois de la dalle des Olympiades qui ont a ueilli les agapes en ompagnie des ollègues du labo-ratoire de Re her hes épistémologiques et historiques sur les s ien es exa tes
plinepeua adémiquepeut-être,maisfort onviviale.Lesséminairesetréunions d'équipem'ontégalementpermisderen ontreruneéquipedynamique,ri hedes nombreusesfa ettes del'histoiredess ien es ultivéesparlesunsetlesautres. Deux groupes de travailontété parti ulièrementimportants dans le ours de mes re her hes.Je reviendraiplusloinsur e queje dois augroupeHistoire des s ien es, histoire du texte dupoint de vue s ienti que. Ceux qui y ont parti ipésaventleplaisirpartagéquenousyavonspris:mer iàtous,ettout spé ialementàJa quesVirbelpourl'intérêtqu'ilaportéànosquestions d'his-toriensdess ien es.Legroupedetravailsurlethèmedelagénéralité, onstitué plusré emment, aété également lelieu d'é hanges nombreuxet passionnants tou hantàladimensionplusphilosophiquedemesre her hes.
Une mention spé iale pour quelques do torants ave qui j'ai travaillé et é hangé:Christine,Renaud,Igor,Frédéri ,Martin.
Mer iégalementauxhistoriensdesmathsave lesquelsj'aieul'o asionde dis uter,à euxquim'ontaidéeàrassemblerlesinformationsdontj'aieubesoin, à euxqui m'ontinvitéeàOberwolfa h etàMiltonKeyneset àtous euxque j'y airen ontrés. Dans le désordre : Jeremy Gray,Philippe Nabonnand, June Barrow-Green,DavidRowe,TomAr hibald,LaurentRollet,JeanMawhin...et touslesautres.
Jesuisparti ulièrementre onnaissanteàJesperLützenquiaa eptéd'être l'un desrapporteursde mon travail, et s'est dépla é depuisCopenhague pour fairepartiedujury. Mer iégalementàBernardBruquiasuivi ave beau oup d'enthousiasmelapartiedemesre her hestou hantàl'histoiredesprobabilités, et quim'aapportéuneaidepré ieusesur esujet.
L'intérêtdes mathémati iens pour mes préo upations plushistoriquesest trèsstimulant.Mer iàÉtienneGhyspoursonrapportpréliminaire etmer ià luietJean-ChristopheYo ozpourleurparti ipationaujury.
Je neserais peut-êtrepas arrivée làsansla ulturede liberté, de uriosité etd'exigen eintelle tuelledanslaquellejesuistombéeave bonheurrued'Ulm après mes années de prépa. Mer i à tous les amis que j'ai ren ontrés là,et à euxquej'ai ren ontrésailleurs. Mer ià euxqui m'ontplusparti ulièrement a ompagnée pendant mon travail de thèse : Hélène, Fabri e, mes parents, s. Marieetla ommunauté.
Un très grand mer i à Mi hèle Wasse qui allie ompéten e, amabilité et dévouement pour aider les thésards à traverser les dédales administratifs de l'ins riptionet delasoutenan edethèse.
Je ne peux manquer d'évoquer i i un dernier personnage, Henri Poin aré. Son ÷uvrepassionnante dont je n'ai pourtant étudié qu'une petite partie m'atellementmobiliséequejen'aipaseuletempsd'examinerendétailles é ritsd'autresauteursquiétaientpourtantbienprésentsàmonquestionnement initial:Cantor,BoreletBaireenparti ulier.Faut-ill'en remer ier?Lele teur serajuge...
Remer iements 3
1 Introdu tion 9
1.1 Problématique . . . 9
1.2 Un orpusentrois dossiers . . . 13
1.2.1 Untravaildehiérar hisationdes as:la lassi ationdes pointssinguliersdeséquationsdiérentielles . . . 13
1.2.2 L'élaborationd'unénon équiportesurledegréde géné-ralitéd'unepropriété:autourduthéorèmederé urren e 14 1.2.3 Plusieurs modes d'arti ulation entre général et parti u-lier:l'arti lesurlesgéodésiques . . . 16
1.3 Unoutildetravail:l'analyse textuelle . . . 17
1.3.1 Repérer l'élaboration d'uneterminologie spé i queet la réationd'untyped'énon é . . . 19
1.3.2 Organisationlo aledestextes . . . 20
1.3.3 Organisationglobale . . . 22
2 Un travail sur le degré de généralitéqui se révèle dans l'orga-nisation des énumérations 25 2.1 Texteset ontexte . . . 25
2.2 La lassi ationdespointssinguliers: untravailsurledegréde généralitédes asenvisagés . . . 31
2.2.1 Ledé oupagedutexteense tions . . . 32
2.2.2 Lespointssinguliersetlesoutilsemployéspourles lasser 35 2.2.3 Plusieurs modesdehiérar hisation . . . 39
2.2.4 Un intérêtmarquépour equiestessentiel . . . 47
2.2.5 Un oublisigni atif . . . 49
2.2.6 Critèresdegradation. . . 51
2.3 L'examendudegrédegénéralité de haque omportement envi-sagé:unequestionoriginaleposéeparPoin aré. . . 53
2.3.1 LemémoiredeBriotetBouquet . . . 54
2.3.2 Lesspé i itésdutravaildePoin aré . . . 61
2.3.3 La ré exiondePoin arésur lagénéralité: uneappro he nouvellequiest déjàen oursd'élaborationdans les pre-mierstravauxsurleséquationsdiérentielles . . . 64
2.4 Raisonnementgénérique ethiérar hisationdes as . . . 70
2.4.1 Lespolyn meslesplusgénérauxdeleurdegrédansle Coursd'algèbre deSerret . . . 71
2.4.3 LasynthèseopéréeparPoin aré . . . 82
2.5 Del'identi ationde asplusparti uliers au as général . 84 2.5.1 Étudeglobaleetdé nitiond'un asgénéral . . . 84
2.5.2 Quelmodede ara térisationdugénéral? . . . 88
2.6 Lahiérar hisationdes asdanslestravauxultérieursdePoin aré 91 2.6.1 Un asd'ex eption . . . 92
2.6.2 L'étude des solutions périodiques dans les mémoires de mé anique éleste. . . 93
2.7 Con lusion . . . 97
3 Miseen pla e d'un on ept mathématiquepour ara tériser e qui est ex eptionnel 101 3.1 Des traje toiresex eptionnelles : Introdu tion d'unlangage et d'un on ept nouveaux dans la formulation du théorème de ré urren e . . . 102
3.1.1 Choixexpli ite d'unvo abulairespé i que . . . 103
3.1.2 Le ontenumathématique de ette terminologie. . . 108
3.1.3 Lesdémonstrationsdu théorèmederé urren eet du o-rollaire. . . 113
3.2 Un élémentd'expli ationde ette nouveauté: le hangementde statutduthéorèmederé urren e . . . 117
3.2.1 Commentinterpréterles hangementsentre[Pa℄et[Pb℄? 117 3.2.2 Lepremier mémoire: lethèmede lastabilité et le théo-rèmederé urren e . . . 120
3.2.3 L'impa tdel'erreur . . . 128
3.2.4 Lanouvellesigni ationduthéorèmederé urren edans l'é onomiede[Pb℄et destextesultérieurs . . . 130
3.3 Enquêted'unedé nition adéquatedelastabilité . . . 133
3.3.1 Deux on eptssous-ja entsquisontprésentstoutaulong delapériodeétudiée : on nementet ré urren e . . . 133
3.3.2 Le ara tèreex eptionneldestraje toiresnonré urrentes 138 3.3.3 Unenouvellele turedestravauxdePoissonetLagrange . 142 3.3.4 Trois hangements orrélés . . . 146
3.4 D'oùvientl'idéed'utiliser lesprobabilités? . . . 147
3.4.1 Solutiongénéraleetsolutionsparti ulières. . . 148
3.4.2 LathéoriedesensemblesdeCantor. . . 151
3.4.3 L'utilisationdesprobabilitésparGyldén . . . 152
3.4.4 Une ara téristiqueimportanteduthéorèmederé urren e: unedémonstrationnon onstru tive . . . 154
3.5 Lesprobabilités . . . 156
3.5.1 Poin aréetle al uldesprobabilités . . . 156
3.5.2 Bertrandet lesprobabilités ontinues . . . 158
3.5.3 Utilisationdesprobabilitésenmé anique éleste:laloide probabilitéprésentée ommeune onventionparPoin aré 167 3.5.4 Laméthodedesfon tionsarbitrairesdePoin aré . . . 171
ti le sur lesgéodésiquesdes surfa es onvexes (1905) 175 4.1 L'arti lesurlesgéodésiqueset sesliens omplexesave la
mé a-nique éleste. . . 177
4.1.1 Présentationdeladémonstration . . . 177
4.1.2 L'origine,danslamé anique éleste,delaproblématique del'étudedesgéodésiques . . . 181
4.1.3 La ontinuitéentrelamé anique élesteet la démonstra-tionde1905. . . 183
4.1.4 Hiérar hisationdes as. . . 188
4.1.5 L'orientation de ette étudedes géodésiquesversun ap-profondissement des méthodes mises au point en mé a-nique éleste: lebut delapremièrepartie dela démons-tration . . . 189
4.2 Lapratiquedesmathématiquessurparadigme . . . 193
4.2.1 Un typedepratiquedesmathématiquesspé i que . . . . 193
4.2.2 L'importan edelasigni ationgéométrique:unr le d'in-terprétation . . . 196
4.2.3 Paradigme,stylederéda tionetré exionépistémologique dePoin aré . . . 202
4.2.4 Problématiquesouvertespar etyped'é riture mathéma-tique . . . 205
4.3 Con lusion . . . 208
5 Con lusion 211 5.1 Lemathémati ienPoin aré . . . 211
5.2 Casparti ulierRé exionhistoriqueetépistémologique . . . . 216
5.3 Quelit-ondansuntexte? . . . 220
A Extraits de [Pa℄ 223 A.1 Introdu tion[Pa,p.58℄ . . . 223
A.2 Résumédesrésultatspositifs[Pa,p. 153155℄ . . . 226
B Complémentsmathématiques sur les géodésiques des surfa es onvexes 229 B.1 Surlespassagesd'interprétationgéométrique . . . 229
B.2 Surleprin ipede ontinuitéanalytique . . . 230
B.2.1 Connexité . . . 231
B.2.2 Continuité. . . 232
B.2.3 Compa ité. . . 235
B.2.4 Multipli itéet familles ontinues . . . 236
Introdu tion
1.1 Problématique
Si ABC estuntrianglere tangleenA, alorsBC 2 =AB 2 +AC 2 .
Ceténon éduthéorèmedePythagoreestformédedeuxparties:une hypo-thèse,etune on lusionquiendé oule.Denombreuxthéorèmessont onstruits de ettefaçon.Des hypothèsesdélimitent unensemble de situationspour les-quellesunepropriétéest véri ée.Cependant eshypothèsespeuventêtre énon- éessousdiérentesformes,quinesontpastoujoursinter hangeables.Ainsi,on peutbien sûra rmer:
Si a6=0,alorsl'équationax+b=0admetuneuniquesolution. Maisondiravolontiersaussi:
L'équationax+b=0admetuneuniquesolution,sauf sia=0.
Au ontraire,àmoinsd'un ontextetrèsspé ial,ontrouverain ongrul'énon é suivant:
DansletriangleABC,onaBC 2
=AB 2
+AC 2
,saufsiABC n'est pasre tangleenA.
Ilyadon unediéren eentrelesdeux onditionssia6=0etsiABCest re tangleenA.
Cette diéren e se manifeste également d'un point de vue historique. Le théorèmedePythagoreatoujoursétéprésenté ommeexprimantunepropriété destrianglesre tangles.Enrevan he,onn'apastoujoursapportélemêmesoin à pré iser les limites de validité des énon és omme l'équation ax+b = 0 admetune uniquesolution.
Àlavuede esexemplessimples,ladiéren eentre lesdeux types d'hypo-thèses semble laire.Le as oùa=0est un asparti ulier, une ex eption; en général, l'équationax+b=0admetune uniquesolution.Par ontraste,lefait pouruntriangledenepasêtrere tanglen'ariend'ex eptionnel,au ontraire.Il estdon indispensabledepré iserdansl'énon éduthéorèmedePythagoreque letriangledoitêtrere tangle.Mais ommentlesmathémati iensont-ilsre onnu et ara térisé equipeutêtredésigné ommeun asparti ulier,uneex eption? Pourquoilesex eptionssont-ellessignaléesdans ertainstextes,etpasséessous silen edansd'autres?
façondontjelesaiabordées,jevoudraisdonnerunpremieraperçudela diver-sitéde e àquoi peut renvoyerl'expression as parti ulier. Ce i mepermettra d'introduirequelquesélémentsdeterminologiequimeserontutilesparlasuite. Jeproposededistinguer,enpremièreanalyse,troisgenresde asparti uliers.
L'équationax+b =0fournit une illustrationdupremier genre: le as où a =0apparaît ommeune ex eption; il met en défaut l'existen e et l'uni ité de la solution. On est don amené à opposer deux as pour la résolution de l'équationax+b=0.Le asoùa6=0estgénéral,nonpasausensoùilin lut touteslessituations,maisausensoù ellesquisontex luessontex eptionnelles. Au ontraire,a=0estun asparti ulierex eptionnel :la on lusiongénéralene s'yappliquepas.En esens,un asparti ulierestditex eptionnelseulementen référen eàun asgénéral,dontilestex lu.Ce asgénéral estsupposéregrouper laplupartdes as,enunsensàpré iser.
L'équation5x+3=0,ou en ore5x+b=0, sontd'autres asparti uliers de l'équation générale ax+b = 0. Ces équations, qui admettent une unique solution, sont des instan iations du as général où a 6= 0. Je parlerai de as parti uliersgénériques.
Lethéorèmeditd'Al-Kashivanouspermettred'identi eruntroisièmetype de asparti ulier.Lethéorèmepeuts'énon erdelafaçonsuivante :
DansuntriangleABC,onaBC 2 =AB 2 +AC 2 2AB:AC os \ BAC. Dans le as parti ulieroù l'angle
\
BAC est droit, on retrouve le théorème dePythagore. Mais e asparti uliern'est pasuneex eption authéorème d'Al-Kashi.C'estseulementun asoùlethéorèmed'Al-Kashi prenduneforme remarquable. La formule du théorème de Pythagore est, de e point de vue, parti ulière:ellen'estvalablequelorsqueletriangleestre tangle.Laformule d'Al-Kashi,elle,estgénéraleouuniverselleausensoùelleestvalidepour n'importequeltriangle.Jeparleraide asparti ulierremarquable pourdésigner le asdutrianglere tangleenréféren eàlaformuled'Al-Kashi.
Ce problèmepermet également devoirquela notionde asparti ulier est une notion relative. Si l'on s'intéresse seulement aux triangles re tangles, on peutparexempleremarquerquedansle asparti ulierremarquableoùle triangleestre tangleiso èle,onauraBC
2
=2AB 2
.Cettedernièreformuleest uneformeparti ulièrede elledePythagore.Àl'opposé,laformuled'Al-Kashi peutêtre onsidérée ommeun asparti ulierdeformuleliantleslongueursdes tésetlesanglesd'un polygone.
Cequ'onpeutdésigner ommeremarquabledépendégalementfortement du ontexte. On pourra trouver remarquable la formule qui lie les tés des trianglesdontl'angle au sommetvaut60
Æ : BC 2 =AB 2 +AC 2 AB:AC, et pourquoipaslaformuleBC
2 =AB 2 +AC 2 2
AB:AC,valablelorsquel'angle au sommet vaut ar os(
4
). Ce dernier as n'a a priori rien de remarquable géométriquement,maisilestpeut-êtrepossibledeledistinguerpourune autre raison.Cesquelquesexempleslaissentdevinerquelequali atifremarquable est relatifàunpoint devue, àunepropriété qui resteimpli ite. Parexemple, le théorème de Pythagore est remarquable par e qu'il peut être démontré en utilisant seulementdes notions géométriquesélémentaires : on le trouve ainsi dès le début du premier livre des Éléments d'Eu lide. Celui d'Al-Kashi met enjeudesnotionsgéométriquesplus omplexes.Lesnotionsde asparti uliers ex eptionnelsetgénériquessontégalementrelatives,maislapropriétéàlaquelle
à laquelle satisfont les as parti uliers génériques et non les as parti uliers ex eptionnels.
Je ne her heraipasàdé nirpluspré isément esnotions.Monproposi i visesurtoutà xerquelquestermesdevo abulairequejeréemploierai.Un des obje tifs de ma thèse est defaire apparaîtrelamultipli ité desusages des as parti uliersdans letravaildumathémati ien. Nousverrons ombienunmême asparti ulierpeutprendredesvisagesdiérentssuivantlepointdevue.
Ce on eptde asparti ulierm'estapparuproblématiquealorsque j'étu-diaisunmémoiredePoin aré,Surleslignesgéodésiquesdessurfa es onvexes
1 [Poin aré1905 ℄.Je vaisprésenter maintenantquelquesélémentsqui ont étéà l'originedemontravailetontguidéle hoixdemon orpus.
Poin aréénon edans etarti lequelenombredegéodésiquesferméessans pointdoublesurunesurfa e onvexeestimpair.Orilexistedessurfa es onvexes parti ulières pour lesquelles le résultat, formuléainsi, n'estpas vrai.Poin aré envisaged'ailleursunetelle surfa elorsqu'ilétudielasphère.Toutesles géodé-siquessurlasphèresontfermées esontlesgrands er les, ommel'équateur. Lesgéodésiquesferméesysontdon ennombrein ni.Direqueleurnombreest impair n'a en e as pas de sens, à moins d'adopter une onvention spé iale, e quePoin aréne faitpasexpli itement.De telles surfa es fontex eption au résultatdePoin aré,etmettentendéfautsadémonstration.
Le mathémati ien qui re onnaît e problème peut réagir de deux façons. La premièreest elle de Morse.Il analyse letravail de Poin aré dans son ou-vrageCal ulus ofvariations in thelarge [Morse1934,p. 305℄.Ladi ulté que jeviensd'esquisserest lapremièrequ'ilsouligne,et ellel'amène,ave d'autres problèmes,àporterunjugementsévèresurladémonstrationdePoin aré.Il pro-pose ensuiteune autre voie pour aborder la questiondes géodésiques fermées surlessurfa es,et abandonne elle dePoin aré.Ladeuxièmeattitude onsiste àreprendreladémar he dePoin arépourlarendrerigoureuse. Onpeutainsi montrerque lerésultat, telque Poin aré l'énon e,est vraigénériquement, autrementditpourunesurfa e onvexegénérique,ouen orepourpresque toutesurfa e,ausensdela atégoriedeBaire(onentrouveraune démonstra-tiondansl'annexeB.2).Autrementdit,lessurfa es quinevéri entpasstri to sensul'énon édePoin arésontex eptionnellesdansunsensbienpré is.Mais e typed'énon é,aujourd'hui ourant,nel'étaitpasdutoutàl'époqueoùPoin aré é rivait.
Pourl'historien,laquestionintriganteestmoins elledelaformulation or-re tedurésultatquelasuivante:pourquoiPoin arénedit-ilriende essurfa es parti ulières,alorsqu'ilétudielonguementlesgéodésiquesdelasphère?
Notonsbienqu'ilnes'agitpasdedemandersiPoin aréavait omprisquele nombrede géodésiquesest ni et impair seulementpourles surfa es onvexes génériques.D'abord ettequestionestbeau ouptropambigüepourpouvoir re- evoirune réponse satisfaisante.Demande-t-on si Poin aréavait misen pla e unformalismequiluipermetdedonnersensautermegénériqueets'ilavait démontréque e formalismes'applique auproblème onsidéré? Demande-t-on
1
raisons qui nous font dire et nous permettent de montrer qu'il l'est généri-quement?Comment dans e as dé nissons-nous lesraisonsqui nous font direqu'ilestvraigénériquement?Ilyaplus.InterrogerlestextesdePoin aré de ette façon suppose que la réponse a tuelle à la question des géodésiques dessurfa es onvexes
2
reçoitunstatutparti ulierquienfaitleréférentnaturel pourjugerdu ontenudesmémoiresde Poin aré. Autrement dit,on évalue e quefaitPoin aréenle omparantàlathéoriemodernesupposéeportersurles mêmesobjets.
Une telle appro hemanqueraitd'histori ité.De plus,elleserait rédu tri e, puisqu'elle onduiraitàexaminerletravailde Poin aréseulementdupoint de vuedesexigen esmathématiquesa tuelles.Oronpeutdévelopperun question-nementàmonsensbienplusfé ond.Fa eausilen edePoin arésurlessurfa es parti ulières qui ne satisfont pas au résultat qu'ilénon e, j'ai her héà om-prendre omment il travaille.Pourquoiétudie-t-il lesgéodésiques de lasphère et des surfa espro hes? Comment pro ède-t-il danslapartie où ilsemble né-gliger lessurfa es ex eptionnelles? J'aipar ailleurs her héà onfronter ette démar he de Poin aré ave d'autres textes dans lesquels il oppose expli i-tement, ette fois des as parti uliers ex eptionnels à un résultat général. Comment es asex eptionnels sont-ilsdistingués?Quelleré exion est menée surleur ara tèreex eptionnel?Quellepla eleurestdonnée?Comment, inver-sement, equiestgénéralest-ildégagé?C'estainsiquej'aiétéamenéeàétudier un hapitre de l'histoiredu généralet des as parti uliers en mathématiques, hapitredanslequell'étudedesé ritsdePoin arém'estapparuefé onde.
Pouraborder esquestions,ilnesu t pasdelirelestextesmathématiques de façon à en extraire les résultats. Il est né essaire de mettre en ÷uvre une le ture plus minutieuse, qui s'atta he également à la façon dont résultats et démonstrationssontexposés: ommentl'auteurlesformule-t-il?Quelleportée leur donne-t-il?Quels rapports établit-ilentre diérents résultats? Pour faire apparaîtreainsidesmodesd'énon iationquitémoignentd'untravaildel'auteur, j'ai onstruit un orpus d'une forme parti ulière. Autant qu'il était possible, j'ai rassemblé des textes dans lesquels Poin aré reprend une même question, énon e à nouveau un même théorème dans un adre diérent, applique une mêmeméthodeàunnouveauproblème.De telsensemblesdetextesautorisent des omparaisonstrès pré ises,et donnentainsi uneplusgrande priseautype dequestionnementquiest lemien.
Ce travail me permettra d'apporter desélémentsde réponse à laquestion posée par l'absen e de traitement expli ite des surfa es ex eptionnelles dans l'étude des géodésiques. Nous verrons que Poin aré met en ÷uvre dans son mémoiresur lesgéodésiques uneméthode qu'ilavait développée dansle adre de lamé anique éleste pourétudier lestraje toirespériodiques. Or,dans es re her hes,Poin arédistingueplusieurs as.Certainssontregroupéspourétablir unrésultat général.Mais Poin aréexplore également des asparti uliers dont il re onnaîtet exploitele ara tère ex eptionnel.Ainsil'étude desgéodésiques
2
Il est d'ailleurs loind'être évident qu'il existe une réponse a tuelle. On peut donner diérentesformulationsrigoureusesplusou moinséquivalentesd'unrésultatpro hede elui dePoin aré.Deuxmathémati iensdiérentspourronts'entendresurlefaitquedeuxénon és sontrigoureux,sanss'a ordersurlameilleureformulation,nimêmesur ellequi orrespond leplusaurésultatetàladémar hedePoin aré.
généralmaisadmettentdesex eptions.
Plus largement,nousverronsque,pourlesbesoinsdesontravail,Poin aré élaboredesmodesd'énon iationspé i quespourprésenterdesrésultatsquisont générauxsansêtre universels. À tédumémoire sur lesgéodésiques oùil ne pré ise pasles limites del'énon é général,nous ren ontreronsdes textes oùil explore detelles marges avant dedire qu'illeslaisse de té,et d'autresoùil évalueleurtaillesanslesidenti er.Nousverronsainsiladiversitédesappro hes possiblesde l'opposition entre asgénéralet as ex eptionnels,et lesréponses nouvellesapportéesparPoin aré.
Enétudiantlesrésultatsetlestextesqu'ilproduità eso asions,nousnous appro heronsdumathémati ienPoin aréetnous pourrons ernerdes parti u-laritésdesafaçondetravailler.
1.2 Un orpus en trois dossiers
L'÷uvre mathématique de Poin aré est immense, et je n'ai pas essayé de relevertouslesendroitsoùilétudiedes asparti uliers,nimêmetouslestextes oùils'intéresseàunrésultatquisouredesex eptions.Outrelemémoiresurles géodésiques,j'ai hoisideux problèmesàproposdesquelsPoin aréélabore des outilspour omparerdes asetdésigner ertains ommeex eptionnels:l'étude despointssinguliersdeséquationsdiérentielles,et lethéorèmederé urren e. Àpartirde estroisp les,j'ai onstituétroisdossiersdetextes,prin ipalement dePoin aré,maiségalementd'auteursauxquelsils'estréférédefaçon entrale. Ces trois dossiers sont bien sûr unis par la problématique de l'étude des as parti uliers,maiségalementparunegrandehomogénéitédanslessujetstraités: l'étude des équations diérentielles et la mé anique éleste. Il s'ensuit qu'ils se re oupent, et s'é lairent mutuellement, de façon à former un orpus très intéressant.
1.2.1 Un travail de hiérar hisation des as : la lassi - ation des points singuliers des équations diéren-tielles
Je me suis d'abord tournéeversdes travauxde Poin arésur les équations diérentielles, en parti ulier le premier des mémoires Sur les ourbes dé nies par une équation diérentielle
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[Poin aré1881a℄. Deux passages ont parti u-lièrement retenumon attention.Dans lepremier, Poin aré établit uneliste de asquidonnentlieuàdespointssingulierspourleséquationsdiérentielles. Cettelisteesta ompagnéede onsidérationssurlaplusgrandeparti ularitéde ertainsd'entreeuxpar ontrasteave d'autres.Ledeuxièmepassagesetrouve dans le hapitre suivant. Poin aré y délimite un as général 'est son expressionàl'aided'uneséried'hypothèses.Ces hypothèses,dontila rme qu'ellesnenuisentpasàlagénéralité,luipermettentd'é arter ertainsdes typesdepointssingulierspré édemmentrépertoriés.OnvoitainsiquePoin aré onfronte diérent as, et qu'il évalueleur généralité relative. Mais es tra es
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ture.Cetravails'exprimesansêtrethématisé :Poin arén'expli itepas equ'il entend par as général, nuire àla généralité, ni e qui permet de dire qu'un asestplusparti ulierqu'unautre.Ilnedé nitpas, ommeonlefait aujourd'hui,un on eptmathématiquepropreà ara tériser equipeutêtredit plus parti ulier ni, a ontrario, e que l'on peut onsidérer omme véri é engénéral.
Cetteabsen edethématisationmetl'historiendevantunequestiondéli ate: ommentdégagerlemodedetravailquimènePoin aréà es on lusions,sans plaquer une interprétation ana hronique? Un examen détaillé du texte nous permettrademettreàjourlate hniquedetravailquePoin aréymeten÷uvre et qui donne sens aux termes relevés i-dessus. En eet, elle se traduit par unete hniqued'é riturespé i que.Plusqu'unesimplelistedetypesdepoints singuliers,Poin aré onstruituneénumérationfortementhiérar hisée.Ildé nit l'un après l'autre des as de plus en plus parti uliers.Seuls les premiers sont pris en ompte dans le as général. À travers l'étude des onditions par lesquelles ildélimite es as,nouspourronsfaireapparaîtreles ritèresqui ont puluipermettred'évaluerleurgénéralité.
Cette premièreanalyse, interne, dutexte de 1881, pose de nouvelles ques-tions: etravaildehiérar hisationest-iluntravailordinaireàl'époque,ouest-il ara téristiquedePoin aré?S'agit-ild'uneinnovationdansl'histoiredes équa-tionsdiérentielles?Pouryrépondre,jemesuisintéresséed'abordauxtravaux surlesquelsPoin arés'appuiedanssonmémoireSurles ourbes.Ils'agit,d'une part,d'unmémoiredeBriotetBouquet[1856b℄et,d'autrepart,despremières re her hesdePoin arésurleséquationsdiérentielles:sontoutpremierarti le [Poin aré1878℄ et sathèse [Poin aré1879℄. Dans es travaux, j'ai examinéles similaritésetlesdiéren esdanslagestiond'ensemblesde as,ainsiquela ter-minologie employée pour ara tériser es as. Je me suis par ailleurs tournée versunouvraged'algèbre,[Serret1866℄ pouré laireruneexpressionque Poin- aréutiliseàplusieursreprises lorsqu'iljusti elahiérar hisationqu'ilpropose. Cespointsde omparaisonm'ontpermisde ara tériserpluspré isémentla dé-mar hede Poin aréet d'en dégagerlesspé i ités,en proposantdeséléments detypologiedel'oppositionentre e quiest généralet equi estparti ulier.Il apparaît que dèsses premierstravaux de 1878et 1879, Poin aré ommen e à hiérar hisersystématiquementles asqu'ildistingue.BriotetBouquet,deleur té,organisaientleurtravailsuivantuneautre problématique entrale.
Nous verrons en nquelesprin ipales ara téristiquesdutravailde hiérar- hisationdes asdanslemémoireSurles ourbesseretrouventdansdestravaux demé anique élestedePoin aré.
1.2.2 L'élaboration d'un énon é qui porte sur le degré de généralité d'une propriété : autour du théorème de ré urren e
On ren ontre par ailleurs, dans les re her hes de Poin aré en mé anique éleste, un mode de ara térisation de as parti uliers ex eptionnels tout à fait diérent. Poin aré l'élabore dans son travail sur le théorème aujourd'hui
lassiquement dénommé théorème de ré urren e . Pour ertains systèmes d'équationsdiérentielles,ilmontrel'existen edesolutions(outraje toires) ré- urrentes
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:pourtouterégiondudomaineétudié,aussipetitesoit-elle,ilexiste destraje toiresqui yreviennentune in nitéde fois. OrPoin aréaégalement étudiédessolutionsquin'ontpas ettepropriété.Ilexistedon destraje toires ré urrentes et d'autres qui ne le sont pas. Poin aréa rme que les premières sontplusgénérales.Maisdansquelsens?
IlsetrouvequePoin arépré iseprogressivementsaréponseà ettequestion au ld'unesériedetextes.Enétudiantledossierainsi omposé,nouspourrons suivrelamaturationdesaré exion.
En1890,dansledeuxièmetextedelasérie,Poin aréajouteun orollaireau théorèmederé urren e.Ilfaçonneunénon équiluipermet dedonnerunsens mathématiquepré isàla omparaisondesdegrésdegénéralitédesdeuxtypesde traje toires.Lestraje toiresnonré urrentessontex eptionnelles,et eterme estdé niàl'aided'un on eptforgéàpartirdelathéoriedesprobabilités: Poin- arésigni eparlàquelaprobabilitéest nullepourqu'unetraje toirepriseau hasardnesoitpasré urrente.C'est àma onnaissan elepremierénon éd'une forme qui s'est aujourd'hui largement répandue dans de nombreux domaines desmathématiques.Onya rmequ'unepropriétéestvraiedepresquetous lesobjetsenvisagés,enunsenspré ismathématiquement.Plusieurs ara téris-tiquesd'unetellepropositionméritentd'êtrerelevées.D'abordlapropriétén'est pasné essairementvéri éepartouslesobjets,ellepeutadmettredesex eptions. De pluson introduit un outilmathématique pour quanti er es ex eptions et ara tériserleurrareté.En nonne her hepasde ritèrepermettant d'identi- erles objets qui fontex eption. Lethéorème deré urren edePoin arénous permet d'observerundespremiers asdefabri ationd'untelénon é.
Commedansl'étudedespointssinguliers,il s'agitd'opposerdes omporte-mentsex eptionnelsà unphénomènegénéral.Mais i i, laré exion est théma-tisée:Poin aréindiqueenquoilestraje toiresnonré urrentessont ex eption-nelles.Deplus,ildonneunedémonstrationdelapropriétéparlaquelleiltraduit ette ara térisation.Commentpeut-onrendre omptede ettethématisation? PourquoiPoin aréenéprouve-t-illebesoin?Commentest-ellerenduepossible? Les ir onstan esde l'élaborationdu orollairesonttout àfait singulières, etbiendo umentées.Letextede1890est eneetl'amendementd'unmémoire dontil existe des opies qui ontenaitune erreur importante.C'est pré- isément à l'o asion de la orre tion de e mémoire que Poin aré ajoute le orollaire à l'aide duquel il exprime le ara tère ex eptionnel des traje toires nonré urrentes.En omparantlesdeuxversions,nousavonsa èsau ontexte danslequelPoin aréintroduit etyped'énon é.L'étudedurapportentre l'ad-ditiondu orollaireetlesautresmodi ationsdumémoirepermettradedégager
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Poin aré nelui donne pas lui-même e nom.Le termeest introduitpar Birkho pour désignerunepropriétélégèrementplusforteque elleétudiéeparPoin aré(maistrèspro he). Lenomdethéorèmederé urren e dePoin aréest aujourd'hui lassiquepourparlerdu résultat qui nous intéresse. Il serait sans doute plusjuste, historiquement, deparler d'un théorèmedestabilité; ependant, ommePoin aré utilise plusieursnotionsde stabilité,on auraitunedénominationnonseulementinhabituelleaujourd'hui,maisaussiunpeuambigüe. Jepréfèredon employerlenomquel'usagearetenu.
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Poin arélesvoitplut t ommedestraje toiresstables,ouen orestablesausensde Poisson.
destraje toiresré urrentes.
L'existen edeplusieurstextessu essifslemémoirede1890estsuivipar deux résumésdans lesquelsPoin aré prolonge sa ré exion nous permettra égalementdemettre aujour letravailde Poin aré.Lesaméliorations progres-sives qu'il apporte nous font voir, en eet, les questions qui l'animent et sur lesquelles il on entre seseorts.Nous verrons que e travail porte sur la dé-monstrationdurésultat, biensûr, maiségalementsurlaformulationmême de l'énon é et lesmoyensqui sont misen ÷uvre pourle formuler.En parti ulier, Poin aréfaitévoluerle al uldesprobabilitésdefaçonàenfaireunoutiladapté au problèmequ'il ren ontre. Pour mettre enéviden e ette partdutravail de Poin aré,nousétudierons,enparallèledudossierdetextes onstituéautourdu théorèmede ré urren e,le ours deprobabilitésde Poin aré, donnéen 1894à la Sorbonne et publié en 1896. Nous le ompareronsà l'ouvrage de Bertrand [1888℄dontils'inspirelargement,toutens'endémarquant,pré isémentsurdes pointsliésauxre her hessurlethéorèmederé urren e.
1.2.3 Plusieurs modes d'arti ulationentre général et par-ti ulier : l'arti le sur les géodésiques
Dans lesdeux premiersdossiers,nousvoyonsPoin arés'intéresseraudegré degénéralité despropriétés qu'ilétudie.Ildéveloppedesmoyenspour évaluer l'importan edesex eptions etse on entrersur e quiest vraien général. Dansl'arti leSurlesgéodésiques,onretrouve etintérêtpour equiseproduit danslaplupartdes as.Maisilse onjugueàd'autresusagesde asparti uliers. Nousreviendronsplusendétaildansle orpsdutextesurla onstru tionde ladémonstrationparlaquellePoin aréétablit l'imparitédunombredes géodé-siquesferméessanspointdoublesurunesurfa e onvexe.Trèss hématiquement, l'étudesedérouleendeuxtemps.Poin aréenvisaged'abordunetrèspetite per-turbation de la sphère,et montre que lenombre de géodésiques fermées sans pointdoublequisubsistentau oursde ettedéformationestimpair.Il onsidère ensuiteunedéformation ontinuequi onduitd'unesurfa eobtenueainsi,dont lesgéodésiquesferméessans pointdouble sonten nombreimpair,jusqu'àune surfa e onvexequel onque.Au oursdeladéformation,lesgéodésiquesfermées apparaissentetdisparaissentpar ouples,sibienqueleurpariténe hangepas. La surfa e onvexe quel onque àlaquelle on aboutit possède don un nombre impair degéodésiquesferméessanspointdouble. Toutaulongde e raisonne-ment, Poin aré laisse impli itement de té ertaines surfa es singulières, qui possèdentdesfamilles in niesde géodésiquesferméessans pointdouble. Pour é lairer l'attitude de Poin aré vis-à-visde es surfa es singulières,et saisir e quere ouvresonsilen eintriguantàleursujet,nousverronsqu'ilfautdégager le ontextedanslequel ette étudeestmenée.Ce i nous onduiraàétudierles liensqu'elleentretientave lestravauxdePoin aréenmé anique éleste.Nous onstateronspar ebiaisquelaméthodeemployéeparPoin aréi is'appuiesur une hiérar hisationdes as similaireà elle étudiée dans lepremier dossier.Il s'intéressedon defaçonprivilégiéeà equi sepassedansl'essentieldes as.
Mais ilétudieparailleurs,danslapremièrepartiedesa démonstration,les géodésiquesde lasphèreet des surfa es obtenuespar unetoute petite pertur-bation. Or la sphère est une surfa e éminemment singulière, dont toutes les géodésiquessontfermées.CetravaildePoin aréposedon unedeuxième
ques-l'analyse?Ils'avère que 'est sur e as ex eptionnel, pour lequelle théorème n'est pas valable, que Poin aré fait reposer lerésultat général.Cette ir ons-tan eparadoxalefaitapparaîtrelari hesse desrapports quelemathémati ien peutétablir entreun asparti ulierex eptionnelet equisepasseengénéral. Elle onduitdeplusàdé ouvrirunnouveauniveaud'arti ulationentre par-ti ulieretgénéralquiestàl'÷uvredans emémoiredePoin aré.Ilapparaîten eetquePoin arén'avaitpas besoindere ouriràla déformationde lasphère pourmontrerquelesgéodésiquessontennombreimpairetillesavait. Pour-quoi e hoix paradoxal de s'appuyersur le as ex eptionnel de lasphère? Il nous onduiraàre onnaître que laportéede ette démonstration dePoin aré dépasse la seule questiondes géodésiques des surfa es onvexes. Ce problème estexploité ommeunparadigme
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,àl'aideduquelPoin arédéveloppeune mé-thodeplusgénérale.Ilutiliseainsi unmoded'expressionspé i que.Comment lele teurpeut-ilre onnaîtrelaportéedesre her hesprésentéesde ettefaçon? Nousverronsqu'i ien ore,l'identi ationdesliensque ettedémonstration en-tretientave lestravauxdemé anique élesteestunélément apitalpoursaisir toutel'ampleurquePoin aréluidonne.
Laquestionquiseposealorsest de omprendrelesraisonsqui ont onduit Poin aréàopterpour e moded'é riture.JemontreraiquePoin arél'exploite en arti ulanthabilement lesparti ularitésdu paradigmeet lagénéralité de la méthodequ'ilveutexposer.Lafé onditéqu'ildonneainsiàson hoix d'exposi-tionenrévèlesansdouteunemotivation entrale.
Nous verrons ainsi que ohabitentdans e mémoire deuxattitudes en fa e des as parti uliers.La première onsiste àre onnaître e qui estex eptionnel pour se on entrer sur e qui est général. Ellese manifestedans lesilen e sur lessurfa essingulièresquiprésententdesfamillesin niesdegéodésiques,mais aussi dans le hoix d'étudier la sphèrepour montrer que les géodésiquessont en nombre impair sur les surfa es onvexes. En eet, il existe un moyen plus simple,mais emoyennepourraitpasêtreutilisédansunproblèmeplusgénéral que eluidesgéodésiques.Ladeuxièmeattitude estl'étudeduparti ulierpour entirer desenseignementssur e quiest général.L'utilisation d'unparadigme enestuneexpression.L'emploidu asex eptionneldelasphèrepourfonderle résultatgénéralen onstitueuneautre illustration,surunplandiérent.
1.3 Un outil de travail : l'analyse textuelle
Ces re her hesm'ont onduiteàexaminerdestextesmathématiques d'une façonspé i que.Ainsi,enm'intéressantautravailsurlagénéralitéen mathéma-tiques,etautraitementréservéaux asparti uliers,monattentionaétéattirée parlesindi ationsdonnéesparPoin arésurle ara tèreex eptionneldes tra-je toiresnonré urrentes,dontildémontrequ'ellessontdeprobabiliténulle. Quelsensdonne-t-il à es expressions?Queltravaila-t-ilengagé pourobtenir
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Letermedeparadigmeestemployéi inonausensdeKuhn,maisdansunsensinspirédes travaux desgrammairiens.Ilsprésententpar exemplela onjugaisondesverbesdupremier groupeàl'aideduverbe hanter.Leparadigmeest poureuxlasuitedesformesje hante,tu hantes,....Jedésigneraiplut ti ipar etermeleverbe hanterlui-même, danslafon tionqu'ilprendà etteo asion,oùiltientlieuden'importequelautreverbedu premiergroupe.
est né essairepourétablir quel'introdu tionde et énon ésefaitenplusieurs étapes au l des mémoires su essifs de Poin aré. Cette argumentation s'ap-puienaturellementsurunele turemathématique,atta héeauxrésultatsetaux raisonnements misen ÷uvre.Mais ette le ture ne permet pas defaire appa-raîtretoute lari hesse du orpusquej'ai onstitué.Ils'est avéréfru tueux de lamettreenlienave troisautresaspe ts.Ilapparaîtd'abordquePoin arémet en pla e des termes te hniques, et les emploie d'une façonqui évolue dans le temps.Parailleurs,lesréé rituressu essivessontl'o asionderéorganisations du texte. La pla e du théorème de ré urren e dans l'étude du problème des trois orpssemodi e defaçon orréléeave l'élaborationdu orollaireassurant que les traje toires non ré urrentes sont ex eptionnelles. En n, les é hos que l'onpeutreleverentrelaterminologieemployéedans estravauxet elle qu'on trouveensuitedansle oursde al uldesprobabilitéspermettentd'établirune hronologiedelaré exionde Poin arésur le al uldesprobabilitéset les évè-nementsdeprobabiliténulle. Plus l'analysede esaspe tset deleursrelations estpré ise,plusellepermetdefaireapparaîtredefaçonargumentéel'évolution dia hronique, ainsique les orrélationsentre lestransformations dediérentes sortes.
Dans e dossier,je onsidèrele travaild'un auteur pré isémentpendantla phasedethématisationd'unenotion.DanslemémoireSurles ourbes,ils'agit dere her hesnonthématisées.Ilm'adon fallud'abordétablirquenotreauteur développe une ré exion sur le degré de généralité de diérentes ir onstan es possibles,puisl'étudier. De même, dansl'arti le Sur les géodésiques, Poin aré n'indiquepasqu'ilutiliseunparadigme.Unele tureappropriéeestrequisepour montrerqu'il onvientdelireainsilemémoire.
Ainsi, ha un à sa façon, les textes que j'ai rassemblés ne répondent pas expli itement aux questions que je veux leur adresser. S'ilspermettent de les aborder malgré tout, 'est au prix d'un travail spé i que, qui exploite toutes leursdimensions.J'aiétéamenéeenparti ulieràa orderuneimportan eplus grandequed'ordinaireàdes ara téristiquesmatériellesdestextes.Àlale ture d'un texte mathématique,nous sommes naturellement attentifs à omprendre lesrésultatsexposésetàsuivrelesraisonnements.Maislesaspe tstextuelssur lesquelsjevoudraisattirerl'attentionnoussonttellementfamiliersquenousne lesvoyonssouventpluseneux-mêmes.Ce sont,de e fait,lestra esdutravail del'auteurquenousrisquonsleplusdemanquer.Orleurétudes'estrévéléetrès fé ondepourmonpropos.Cettepartdemesre her hesaparti ulièrement bé-né iédutravailmenédansle adreduséminaireHistoiredess ien es, histoire dutexte organiséparK.ChemlaetJ.Virbel.Nousnousysommesfamiliarisés ave diversesthéories linguistiques, et nousavonsappris ensemble àexaminer àl'aidede es outilslestextess ienti ques surlesquelsnous travaillons.Nous avonsainsi développéune sensibilitéa rueaux ara téristiquesmatériellesde nostextes, tout enré é hissantauxfaçonsd'en tirer pro tpour l'histoiredes s ien es.
Je souhaiteraisexaminerdeplusprès,selontroisgrandsaxes,lestraitsdes textesquej'aiétéamenéeàexaminer.
et la réation d'un type d'énon é
Unpremieraspe tdestextesentantquetelsquis'estrévélépertinentdans montravailtou heàl'utilisationduvo abulaireetdelalangue.Pourl'historien, ilposeunproblèmederepérageet d'interprétation.
Comment,parexemple,établir quePoin arédéveloppeuneré exionsur le degréde généralitédesdiérents asqu'il onsidère danssonétudedespoints singuliers?Unargument onsisteàmontrerquePoin aréélaboreune termino-logiete hnique,etque e idiéren iesadémar hede elledesesprédé esseurs immédiats,Briotet Bouquet.
Cependant, mettre en éviden e l'usage d'un vo abulaire spé ial n'est pas aussifa iledans e asetdansl'énon éduthéorèmederé urren e.Lorsqu'il in-troduit edernierthéorème,Poin arédé nitletermeex eptionnel,etinsiste surlesensspé i quequ'illuidonne.Ons'a ordealorsàre onnaître l'introdu -tiond'unvo abulairete hnique.Maisil n'en vapasdemême danslemémoire Sur les ourbes. Là, Poin aré ne fait au un ommentaire sur les termes qu'il emploie.Desindi espeuvent ependantfaireapparaîtreunusageparti ulierde ertainesexpressions.Ilspermettentainsiàl'historiendedémontrerqu'ils'agit d'uneterminologiespé i que,et del'interpréterdefaçonrigoureuse.
Unpremier ritèreestlaré urren eduvo abulaire.Eneet,lorsqu'iltou he àunmême ordre de phénomènes,un auteur peut hoisir d'employer systéma-tiquementununiqueterme.Ilpeutégalementutiliserindiéremmentlesmots d'une olle tion de synonymes, par exemple parti ulier, ex eptionnel, rare, ou en ore, en tournant la phrase autrement, en général, plus général, leplussouvent.
Mais e ritère ne su t pas. Lamême expression employée à plusieurs re-prisesdansunmêmetextepeutêtresimplementune expression ourante, em-ployée dans des ontextes et ave des sens divers. C'est le as de l'expression engénéral danslemémoiredeBriotetBouquet[1856b℄.Ils nemettent au- una entsur ettelo ution,qui apparaît ommeune remarquea essoire.À l'inverse,l'expression asparti ulierouplusparti uliern'apparaîtpasun grandnombredefoisdanslemémoiredePoin aréSurles ourbes.Maistoutes leso urren es surviennentdans le même ontexte. De pluselles sont a om-pagnéesd'autresremarquesqui en soulignentl'importan e.Les mêmestermes sontreprisparPoin arédansdespassagesdesestravauxdemé anique éleste, oùilmeten÷uvrelamêmeformederé exionsurlagénéralitédeplusieurs as. Ces pointspermettent dere onnaître qu'ils'agitd'uneterminologiespé i que hezPoin aré,et non hezBriotet Bouquet.
Cetexemplemontre ombienilestné essaired'établir s'ilyaspé ialisation duvo abulaireounon,etpluslargementd'étudierpré isémentlafaçondontun auteurutiliseunvo abulairedonné.Cetravailestrendudéli atdanslestextes qui nous intéressent parlefait que lesénon és génériques, ausens des proba-bilités oude latopologie,sesont largementrépandusdans lesmathématiques a tuelles.Ilenrésulteque 'estsouventl'interprétationqui vientlapremièreà l'espritàlale ture,parexemple,del'expressionengénéral.Nousdonnons alorsà etteexpressionunsenspré isette hnique.Orellepeutaussirenvoyer
deBriotetBouquet.
Ce quenous venonsde voiràl'é helle des motsse retrouve àl'é helle des énon és; 'estunaspe tdeladimensionpragmatiquedutexteoududis ours. Un texte est inséparable d'une ulture parréféren e àlaquelle il fait sens.En mathématiques,lestypesd'énon ésquelesmathémati iensutilisent habituelle-mentàuneépoqueoudansundomainedonnéformentunepartimportantedu fondsur lequeluntextenouveaus'appuie.Ces typesd'énon és sesont onsti-tués progressivement. Ainsi le travail mathématique ne donne pas seulement naissan eàdesrésultatsdésin arnés,maisil omprendégalementl'élaboration determinologiesetdeformestextuellesqui permettentd'énon er esrésultats. L'historien doit prendre en ompte et aspe t dans l'interprétation des textes pourplusieursraisons.
D'abordilé laire ertainesspé i itésdestextes.Ainsilatradition d'étude des traje toires de la mé anique éleste à l'aide de développements en séries trigonométriquesesten oretrèsprésentedansletravaildePoin aré,alorsmême qu'ilemploiedenouvellesméthodes.Orla omparaisonentrelesrésultatsqu'il obtient et ertaines ara téristiquesde es développements est un des points qui évoluent orrélativementaux réé rituresduthéorème deré urren e. Nous verronsqu'ilestfru tueuxdeprendreen ompte etaspe tpour onstruireune interprétationargumentéede estextes.
D'autre part, une le ture adaptée est né essaire.Isoler un théorème de la tradition dans laquelle il aété énon é et établi, 'est risquerd'en donnerune interprétation ana hronique. Ledanger est grandde projeterune ompréhen-sionmodernedesphénomènesétudiéssur unénon équi noussembles'en rap-pro her: 'est un phénomènesemblable que j'ai dé rit plus haut àproposde l'expressionengénéral.
En n, ignorerletravaild'élaborationd'untyped'énon éreviendraità res-treindre sans raison le hamp de notre étude de l'a tivité mathématique. Or le asduthéorèmederé urren enouspermet justementd'observerla réation d'un nouveau type d'énon é. Ce pro essus de réation se laisse appréhender prin ipalementau ldes hangementsdeformulationdanslestextessu essifs, et e sont don es modi ations textuelles que je her herai àdégager. Ce i mepermettrademontrer ommentelless'arti ulentave l'évolutiondurésultat mathématique démontré par Poin aré. Nous auronsainsiun double é lairage, mathématiqueet textuel,dutravailsous-ja entdenotreauteur.
J'ailimité mon étudeauxmémoiresdePoin aré.Ilseraitintéressant d'ob-serverde la même façon l'apparitiondes énon és modernes orrespondants,à savoirl'ensembledesénon ésfaisantintervenirl'expressionpresquetoutX ou une lo ution semblable. On peut aussi s'interroger sur la façondont ette formed'énon és'estrépandue,lessymbolismesgraphiquesquiontétéélaborés pourlatraduiredefaçonen oreplus ompa teet pré ise,et .
1.3.2 Organisation lo ale des textes
Undeuxièmeaxed'étudedestextess'estimposéàmoipourtraiter ertaines questions.On l'oublie fa ilement, tant ony est habitué : lestextes mathéma-tiquesnesontpashomogènes,ilssont onstituésdepassages ontrastés.Cha un
sés.Un ommentairehistorique,unedémonstrationet unthéorèmenesontpas àliresurlemêmeplan.
Ces diérentspassages destextes peuvent, ou non, être identi és parleur miseenformematérielledansletexte.Ainsi ertainsparagraphessontmarqués parlatypographie:italique,retrait,espa ementavantetaprès,et .Ilspeuvent re evoir en outre une dénomination qui indique leur atégorie: lemme, théo-rème, orollaire,remarque,exemple,démonstration,et . J'appellerai rubriques esespè esparti ulièresdetitres.Detelsindi ateursintroduisentdesrelations, etparfoisunehiérar hie,entre diérentsénon és.
Monétudeduthéorèmederé urren em'a onduiteànoterl'importan e de esrubriques sousunpremierrapport.Je mesuisintéressée eneetàlapla e duthéorèmederé urren edanslesmémoiressu essifssurleproblèmedestrois orps,pourmontrer qu'elleévoluedefaçon orrélativeave l'étudedes traje -toiresnonré urrentes.Laseuleprésen ed'unénon édansuntextedonnéest,à etégard,uneinformationtrès insu sante.Un résultatqui apparaîtaudétour d'uneremarquenepeutpasêtre interprété ommes'il onstituait l'unique théorèmeidenti é ommeteldansletexte.Lorsquedeuxrésultatssonttels quel'unpermetdedémontrerl'autre,leurrelationpeutelleaussiêtreprésentée de diverses façons. Il n'est pas indiérent d'appeler l'un lemme et l'autre théorème, ou de désigner le premier omme théorème et le deuxième omme orollaire.Ces indi ationsdonnentdesrenseignementspré ieuxsur lafaçondontl'auteur onsidère es propriétés,lapla e qu'ildonne à ha une, etlesrésultatsqu'ilpla eau entredesontravail.
Enoutre, lafaçondontPoin aréutilise esrubriquesm'estapparue omme une des ara téristiquesde safaçonde travailler. À e titre, une atégorie de passagesmesembleparti ulièrementimportantedansle orpusquej'aiétudié.Il s'agitdel'interprétationgéométrique.Dansl'undestextes[Poin aré1879℄, elleapparaît ommeune rubriqueaumême titre queremarque ou hypo-thèse. Or il s'agit d'une rubrique très parti ulière : elle n'est pas purement fon tionnelle ommethéorème, hypothèse,remarque, ou démons-tration. Ces dernièresindi ations neportent quesur la fon tion dupassage qu'ilsdésignentdansletexte,tandisqu'en intitulantunese tiondutexte in-terprétation géométrique, on indique également sa teneur. L'interprétation géométrique, de préféren e à toute autre forme d'interprétation, semble ainsi o uper une pla e de hoix dans e mémoire de Poin aré. Or, s'il ne reprend pas systématiquement e type de marques, on peut égalementidenti er dans d'autrestextes,enparti ulierlemémoireSurlesgéodésiques,despassages d'in-terprétationgéométrique.Nousverronsque ette ara téristiquede l'organisa-tiondes textesrenvoie àunmodede travailimportant hezlemathémati ien Poin aré.
Je reviendraipar ailleurs en on lusion sur la façon dont Poin aré hoisit les résultats qu'ilintitule théorèmes : non les résultats les plus forts qu'il obtient,mais euxquisontleplusillustratifsde equ'ilveutmettreenéviden e. Sur epointégalement,jemontreraiqu'ils'agitd'unphénomèneré urrentdans le orpusétudié,quinousinformedelafaçondontPoin arétravaille.
Une autreformedestru turationdestextess'est révélée apitaledansmes re her hes, en parti ulierpour l'étude du mémoire Sur les ourbes : la stru -tureénumérative.C'est eneetsouslaformed'uneénumérationquePoin aré
indi ations sur leurs degrés de généralité respe tifs. Comme il n'expli ite pas les ritèresàl'aidedesquels il évalueainsi leurgénéralité, laseuleressour eà notre disposition est le texte même dans lequel il énumère les diérents as. On pourrait désespérer d'arriver ave si peu de moyens à dé eler les raisons qui pouvaient onduire Poin aré à a rmer qu'un as est plus parti ulier qu'unautre.Maislefaitque epassagesoittrèsfortementstru turésousforme d'énumérationdonnea ès àdesinformationspré ieusessursadémar he.
À première vue, une énumération semble être un objet simple : une liste d'items,éventuellementnumérotés.Defait,leslinguistesquis'ysontintéressés se sont rendus ompte de la diversité qu'on peut ren ontrer en étudiant e typedetextes
7
.Ils ontrelevéplusieursélémentsparlesquelsdesénumérations peuventsedistinguer, etqui onstituentdon des ara téristiquesimportantes d'une énumération donnée. Certains m'ont été utiles pour étudier le texte de Poin aré.
Ainsi,le lassi eurutiliséparPoin arés'estrévéléimportant.Par eterme, leslinguistesdésignentlanaturedesobjetsénumérés:dans l'énumérationqui nous intéresse, le lassi eurest le as, puisque Poin aré onsidère un premier as,undeuxième as,et .Jemontreraiqu'iln'estpasindiérentdere enserdes asplut t quedessortes ou genres,types, lasses,et . de points singuliers:le lassi euremployéparPoin arésouligneladémar hequipréside àl'énumération.
Nousverronsparailleursqu'elles'organiseenénumérationsemboîtées. L'exa-mendelastru turearbores entequiapparaîtainsimetenéviden eunepremière formedehiérar hisationentrelesdiérents as.
Pluslargement,leslinguistesontobservéquebiensouventlesdiérentsitems d'une énumération ne sont pas ou pas tous traités de façon identique ou parallèle : soit au point de vue de leur syntaxe, soit au point de vue de leur disposition visuelle, soit en ore au point de vue de leur ontenu. Nous verronsquel'étude duparallélismeetdes défautsde parallélismeentreles as demêmeniveaudansl'arbores en efaitressortir ertainsélémentsparlesquels les as sediéren ient, orrélativement aux indi ations de généralité données par Poin aré. De la sorte, l'étude de la stru ture de l'énumération donne des indi espré ieuxenvuedemettreaujourles ritèresutilisésparPoin arépour déterminerledegrédegénéralitédesdiérents as.
Cesélémentstextuels, onsidérésenlienave lafaçondontPoin aréanalyse haque as,nousdonnerontainsia èsautravailmathématiquequiaprésidéà l'élaborationdel'énumération.
1.3.3 Organisation globale
Les éléments de stru turation des textes que je viens de présenter jouent essentiellementàl'é helledepetitesportionsde textes,endeçàdu hapitreou delase tion.J'aieure ourségalement,enparti ulierpourétudierlapla edu théorèmede ré urren edans lesmémoiresde Poin aré,àl'examende moyens de stru turationassez similaires,mais àl'é hellede textesentiers,voire entre diérentstextesdenotreauteur.
7
d'un même mémoirese trouventliéesest le renvoi àdes résultatsétablis pré- édemment. Lethéorèmederé urren eest-ilemployépourdémontrerd'autres résultats?Est-ilprésenté omme onséquen ed'unautrethéorème?L'étudede es questions permet de mieux erner lesr les diérents quePoin aré assigne au théorème de ré urren e dans les mémoires su essifs où il l'énon e. Or la formulation de e résultat se transforme de façon orrélée à l'évolution de la pla e que Poin aré lui donne. L'analyse de ette orrélation met au jour des motivationsquile onduisentàajouterle orollaireselonlequellestraje toires nonré urrentessontex eptionnelles.
Cependant, lerepérage desliens établis ave d'autres résultatsn'est qu'un premierpas.Lorsqu'unthéorèmen'estpasutilisédanslespagesquisuivent,sa présen epeutindiquerquel'auteurluiatrouvéunintérêtpropre.Maislemême résultatpeutaussiêtreprésentéplut t ommeuneillustrationdel'intérêtdela méthode qui sertà l'établir,ou delapuissan e d'un autrerésultat dontil est déduit.Inversement,unénon équisertàladémonstrationd'unautrepeutêtre orienté vers e deuxième résultat, et être ainsi moins valorisé pour lui-même. Ouilpeutêtresuivi d'unesérie de onséquen es quimontrentsafé ondité.
Il faut don en ore élu ider la nature des rapports entre les résultats qui dé oulent l'un de l'autre.La formulation de es liens est une première sour e d'indi esquenousutiliseronsdans ebut.
Nous examineronségalementlastru ture proprementdite dutexte.Parlà en eet,l'auteur propose une organisation desrésultats qu'ilprésente.Elle se manifeste en parti ulier dans le dé oupage en hapitreset en se tions. Ainsi, le statut d'un énon é peut hanger suivant qu'il apparaît dans une partie de préliminairesoudanslapartieprin ipaled'unmémoire.
Parailleurs,l'auteurproposesouventdansl'introdu tionunele ture stru tu-réedumémoireoudesesparties.Cesindi ationspeuvent ompléterlastru ture oerte parle dé oupageense tions et par leurstitres. Un é lairagedumême ordreseprésente lorsqu'un mémoire,ouunepartie, setermineparunereprise desrésultats, une on lusion,et . L'introdu tion, ou la on lusionpeuvent de plusfaireressortir ertainsénon és,lesdésigner ommeélémentsderéponse à unequestiondonnée,et dégagerdesliensentre ertainsd'entreeux.
Cependant, l'organisationdes résultatsainsi proposéene se superpose pas toujours exa tement àla stru ture matérielle du texte. Ainsi, dans un de ses mémoires,Poin arémetl'a entenintrodu tionsurlethéorèmederé urren e, qui apparaît, de fait, seulement omme un résultat parmi d'autres dans une se tion dela partie préliminaire. Nous verrons que e dé alagetémoigne d'un pro essusderéorganisationdesrésultatsau oursduquellethéorèmede ré ur-ren e hange depla e. Lemémoireétudiéest publiéalorsque epro essusest toutjusteengagé,sansavoirétémenéjusqu'aubout.
Demêmequeplushaut, esphénomènesquipeuventseproduireàl'intérieur d'unmémoiresemanifestentégalemententrediverstextesdePoin aré.Ainsi,il avaitl'habitudedesoumettrelesrésultatsdesesre her hesd'abordsousforme d'une ourteNote,sansdémonstration,auxComptesrendusde l'A adémiedes S ien es. Souvent l'année suivante paraissait un mémoire reprenant le même problèmede façonplusdétaillée. Nous disposonsalors dedeux textesportant sur le même sujet, qui peuvent présenter des variationsnon seulement par la formulationdesrésultats,maiségalementparl'ordredanslequelilssontexposés,
l'évolution de la ré exion dans le laps de temps entre les deux publi ations. Mais elle peuvent égalementrelever, ommeles nuan es entre introdu tion et orpsdutexte,d'uné artentrele heminquipermetdedémontrerunrésultat, et lafaçondont erésultatest appréhendé,lapla equi luiestdonnéedansun édi ethéorique.Nousenverronsunexempleen omparantlemémoireSurles ourbes et laNote quil'apré édé.
Ledossierforméautourduthéorèmederé urren e ontientdeuxrésumésdu mémoireprin ipal,é ritsàl'attentiondepubli smoinsspé ialistes,dontles dé-monstrationssontabsentes.Euxaussiproposentuneorganisationdesrésultats, quel'onpeut omparerà elledumémoiredontilsdérivent.Lestransformations quel'onpeutreleverentre estexteset lemémoireprin ipal sontdeséléments dé isifs pour dé rire pré isément l'évolution de laré exion dePoin aré sur le théorèmederé urren e.
Underniertexte,é ritparPoin aréen1901,permetuntravailde omparai-sonsemblable.À lademandedeMittag-Le er,l'éditeurdeA ta mathemati a, l'un desgrandsjournaux mathématiques de l'époque,Poin aré yproposeune analyse synthétique de toutes les re her hes qu'il a publiées avant 1901. Ce textedonnedon àvoir ommentPoin aréenvisage,quelquesannéesplustard, equ'ilaé rit, ommentilarti uleentreeuxlesdiérentsmémoiresqu'ila pu-bliés,et ommentillesrépartitentrediérentsdomaines.Nousyauronsre ours enparti ulierdansle hapitre2.
Ainsi,en her hantà omprendre ommentPoin arédistinguedes as par-ti uliers, et omment il évalueleur degré de généralité, nous serons amenésà étudiersafaçondetravailler ommemathémati ien.Ce ipasseparl'étudedes textesqu'ilaproduits.Ilssontd'abordlesupport de ommuni ationdes résul-tats obtenus parPoin aré.Mais ils onstituent également, en tantque textes, desfruitsdesaré exionmathématique:onytrouvelesformesd'expressionque Poin aréaélaboréespourtraduiresesre her hesetensaisirlesobjets.Ils sont spé ialementlestra esdesontravailvisantàévaluerlagénéralitédediérents as,et à ara tériserles asparti uliersex eptionnels.
Un travail sur le degré de
généralité qui se révèle dans
l'organisation des
énumérations
Ce hapitrevise àdégager et àétudier une démar he qui émerge dans les premiers textes de Poin aré sur les équations diérentielles. Au ours de es re her hes, Poin aré é arte des as qu'il dit plus parti uliers, en argüant du fait qu'ils ne se produisent pas si les polyn mes [dé nissant l'équation diérentielle étudiée℄ sont les plus généraux de leur degré. Je me propose de montrer qu'on peut y lire la marque d'une ré exion menée sur le degré de généralité des phénomènes étudiés. Cette ré exion est asso iée àun hoix délibéré de Poin aré d'étudier e qui sepasse dans l'essentiel des as, plut t que dans tous les as. Nous verrons que ette orientation de son travail vers l'essentiel ontinue à se manifester dans ses travaux ultérieurs en mé anique éleste.
Cependant,dans emémoire,laré exiondePoin arésurlagénéralitén'est pasthématisée.Ellenedébou hepassurladé nition d'undegrédegénéralité, nisurl'expli itationd'un ritère quipermettraitde ara tériser equi estplus général. Il s'agit plut t d'une démar he qui pro ède en distinguant diérents aset enlesexplorantparordredé roissantdegénéralité. Delasorte,les der-niers asenvisagéssontre onnus ommetrès parti uliers,etnonessentielsàla ompréhensionduproblèmeétudié.Cettete hniquedetravail,dontje montre-raique Poin aré lamobilise de façonré urrente,setraduit parune te hnique d'é riturespé i que,et 'estparlestra esqu'ellelaisseainsidanslestextesque nouspourronsl'étudier.
2.1 Textes et ontexte
Poin aréins ritsestravauxsurleséquationsdiérentiellesdanslasuitedes travauxdeCau hy[1842a,b, ,d,1843℄,ainsiquedeBriotetBouquet[1856℄.
leséquations diérentielles oules systèmes d'équationsdiérentielles de laforme
1 D
t
x =X(x;t), oùX est une fon tion analytique dex et t [Cau hy 1842 ,d℄.Il montre que silavaleur delasolution orrespondantàune valeur t
0
xéede lavariablet est donnée, ette solutionest déterminée parunesérie onvergenteauvoisinagedet
0
.Ilappliqueensuitelamêmeméthodepour mon-trer l'existen e des solutions d'équationsaux dérivées partielles lorsqu'on xe les onditionsinitiales[Cau hy1842a,b,1843℄.
Briot et Bouquet reprennent en 1856 es re her hes de Cau hy pour les prolonger.Jem'intéresseraisurtoutaudeuxièmedetroismémoirespubliés en-semble.
Le premier,Étude desfon tions d'une variable imaginaire, sert d'introdu -tionauxdeux autres.BriotetBouquetentendentyprésenterleséléments fon-damentaux de la théorie des fon tions d'une variable omplexe. Ils pré isent enparti ulierles onditionspourqu'unefon tiondevariable omplexe soit dé-veloppable en série entière. Dans le troisième, Mémoire sur l'intégration des équations diérentielles aumoyen desfon tions elliptiques, ils montrent qu'on peut,sousdeshypothèsespré ises,exprimerlasolutiondeséquations diéren-tiellesd'une ertaine lasseàl'aidedefon tions onnues,fra tionsrationnelles, fon tionsmonodromes
2
simplementoudoublementpériodiques.
Dans le mémoirequi nousintéresse, ledeuxième [BriotetBouquet1856b℄, les auteurs étudient les équations diérentielles de la forme
du dz
= f(u;z). Ils ommen entpardonnerune nouvelledémonstration,plussimple,duthéorème deCau hy:sile oe ientdiérentielf(u;z)estunefon tion nie, ontinue, monodromeetmonogène
3
pourlesvaleursdeuetdez voisinesdeu 0
etdez 0
, lafon tionintégraleu[admettantlavaleuru
0
pourz=z 0
℄estelle-même nie, ontinue,monodromeetmonogènepourlesvaleursdez voisinesdez
0 . Il s'intéressentensuiteà e quedevientune solutiondel'équation diéren-tielle auvoisinaged'unpoint oùlafon tionf(u;z)devient in nie,seprésente souslaforme
0 0
,ou essed'êtremonodrome.Autrementdit,ilsétudientles so-lutionsdel'équationdiérentielleauvoisinagedepointsqu'onpeutquali erde pointssinguliers,selonlaterminologiequ'emploieraPoin aré.
Plusieurs textesde Poin aréserontutilesàmon analyse.Son tout premier arti le,[Poin aré1878℄,viseàpré iserlesrésultatsobtenusparBriotetBouquet dansle asoùle oe ientdiérentielseprésentesouslaforme
0 0
.Ildonnedes développementsensérie de ertainessolutionsnon holomorphesdont Briotet Bouquetavaientseulementmontré l'existen e.
L'année suivante, Poin aré soutient sa thèse devant un jury omposé de Bouquet, Bonnet et Darboux, sous le titre : Sur les propriétés des fon tions dé niesparleséquationsauxdérivéespartielles [Poin aré1879℄.Ilprésenteson
1
Dtxdésigneladérivéedexparrapportàt.Lesdeuxvariablesxettsontimaginaires. 2
Lesfon tions onsidéréesàl'époquepeuventavoirplusieursdéterminationsasso iéesà lamêmevaleurdelavariable,ainsiparexemplef(z)=
n p
z.Unefon tiondevariable omplexe estditeparCau hy,etàsasuiteparBriotetBouquet,monodromedansune ertaineportion duplan omplexesielleprendtoujourslamêmevaleuraumêmepoint,quelquesoitle hemin suivipouryarriversanssortirdelaportionduplan onsidérée.
3
Unefon tionestditemonogènelorsqu'elleadmetunedérivéedansC.Onditaujourd'hui qu'elleestholomorphe(AR).
menée par Briot et Bouquet pour les équations diérentielles ordinaires : il s'agit, dans e nouveau adre,de onsidérerles as oùle théorèmede Cau hy nes'appliqueplus.
En 1880, Poin aré dépose à l'A adémie des S ien es un mémoire Sur les ourbes dé nies par une équation diérentielle. Ce mémoire est annon é par une Note aux CRAS [Poin aré1880a℄. Il est retiré de l'A adémie sans que la ommission désignée ait fait son rapport, et publié en deux parties dans le JournaldeLiouville [Poin aré1881a,1882℄.Deuxpartiessupplémentairessont ensuitepubliéesdanslemêmejournalpeudetempsaprès[Poin aré1885,1886℄. Des résultats de es deux dernières parties sontannon és dans des notes aux CRASen1881,1882et1884(voir[Gilain1977,p.37et 53℄).
Je m'intéresserai surtout à la première partie du mémoire, omposée des hapitres I àIV, et parue en 1881. Poin aré part duthéorème de Cau hy et des résultats sur le omportement des solutionsau voisinagede points singu-liers obtenus par Briot, Bouquet, et par lui-même. Tous es travaux étudient les fon tions dé nies par les équations diérentielles prin ipalement dans le voisinage d'undespointsduplan [Poin aré1881a,p.3℄.Poin arésepropose quant àluide lesétudier dans toutel'étendue du plan . Le hangement de perspe tivesigni épartoutel'étendueduplanestdouble.D'unepart Poin- arés'intéresseauxsolutionsde l'équationdiérentielle surtoutleur intervalle de dé nition, et non plus seulement au voisinaged'un point. D'autre part, il onsidèrel'ensemble detoutes lessolutions,plut t qu'une solutiondé nie par une onditioninitiale.Surunautreplan,ils'intéresseauxsolutionsréelles,qui peuventêtrereprésentéespardes ourbes,etendonneuneétudequalitative.À partirdel'étudedessolutionsauvoisinagedespointssinguliers,pourlaquelleil mobiliselesrésultatsdeBriotetBouquetd'unepart,etdesathèsed'autrepart, il démontre une formule qui lie lesnombres de pointssinguliers de diérentes sortes.Ilobtientensuitedesrésultats surlesformes géométriquesglobalesque peuventavoirles ourbessolutions.
Cesre her hesmenéesparCau hy,BriotetBouqueteten nPoin arépeuvent êtreétudiéesselondiversangles.
La thèse de C. Gilainexplore un premieraspe t : le passage,ave les mé-moiresdePoin aréSurles ourbes,d'uneproblématiqueanalytiqueet lo aleà uneétudeglobalequifaitappelàlagéométrie[Gilain 1977,p.35,115℄.L'étude de e hangementdeproblématique, apitalpourl'histoiredel'étudedes équa-tionsdiérentielles,a onduit C.Gilain àmettre parti ulièrementenéviden e lanouveautédutravailprésentéàpartirde1880danslaNoteetlemémoireSur les ourbes.De epointdevue,enrevan he,l'arti lede1878ainsiquelathèse de1879relèventen oredel'étudeanalytiqueet lo ale.Revenantsur estextes enexaminantlafaçondontlesauteurs travaillentvis-à-visdelagénéralité,j'ai été onduiteàproposerunepériodisationdiérente.Parplusieurstraitseneet, lestravauxdePoin arésedistinguentde euxdesesprédé esseurs,dès1878et nonpasseulementaprès1880danslemémoireSurles ourbes.
Mon travail sera entré sur un deuxième aspe t des re her hes de Briot, BouquetetPoin aré:letraitementdes asparti uliers.
Avant d'entrer dans l'analyse de ette dimension, je voudrais dégager une ara téristique ommune à es travaux de nos quatre auteurs, quoiqu'elle se
mepermettradesouligneruntraitdutravaildePoin arédanslemémoireSur les ourbes, quiauradel'importan e pourmonanalyse.
Touslestravauxquenousavonsprésentésrelèventde equeC.Gilainappelle l'étudegénéraledeséquationsdiérentielles,àlaquelleilrestreintsonanalyse j'enferaiautant.Cettedémar he onsisteàétudierdire tementsurl'équation lespropriétésdes solutions,plut tqu'à tenter d'exprimerlessolutionsàl'aide de fon tions onnues. Elle est exposée et motivée dès les premières lignes du mémoiredeBriotet Bouquet
4 :
Les asoùl'onpeutintégrerune équationdiérentiellesont ex-trêmementraresetdoiventêtreregardés ommedesex eptions.Mais onpeut onsidéreruneéquationdiérentielle ommedé nissantune fon tion,etseproposerd'étudierlespropriétésde ettefon tionsur l'équation diérentielleelle-même.[Briotet Bouquet1856b,p.133℄ Cetteattitudes'ins ritdanslasuitedesre her hesdeCau hyqui,lui-même, nerevendiquaitpas etteappro he ommeoriginale:
Depuis longtemps les géomètres, en supposant, sans le démon-trer, quetoute équationdiérentielle ouauxdérivéespartielles ad-metuneintégralegénérale,ontregardélaformuledeTaylor omme un moyen dedévelopper ette intégrale ommeune série ordonnée suivant les puissan esas endantes et entières d'un a roissementi attribué à une variableindépendante t,qui peut êtresensée repré-senterletemps.[Cau hy18821974,s.1,t.6,p. 462℄
I i le développementen sérieest présenté omme unmoyend'étudier dans unmême mouvementtoute équationdiérentielle, et nonseulement elles qu'onsait intégrerpardesexpressionsalgébriques,ouàl'aidede quadratures. Cau hy s'atta he à ombler un défaut des re her hes antérieures : on n'a pas démontré l'existen e des solutions, mais ons'est ontenté de her her des dé-veloppementsen série des solutions supposéesexister, sans toujours s'assurer dela onvergen ede esséries.Cau hydémontre ette onvergen eàpartirde l'équationdiérentielleelle-même, equiassure,d'aprèsdestravauxpré édents, quelesfon tionsainsidé niessontsolutions.
Poin aré exprime au début de l'introdu tion du premier mémoire Sur les ourbes lemêmeintérêtpourl'étudegénéraledeséquationsdiérentielles.Ilen donnelamêmemotivationqueBriotetBouquet:
Malheureusement, il est évident que, dans la grande généralité des as qui se présentent, on ne peut intégrer[les équations dié-rentielles℄à l'aidedes fon tionsdéjà onnues, par exempleàl'aide des fon tions dé nies par les quadratures. Si l'on voulait don se restreindreaux asquel'onpeutétudierave desintégralesdé nies ouindé nies,le hampdenosre her hesseraitsingulièrement dimi-nué, et l'immensemajoritédesquestions qui seprésententdans les appli ations demeureraientinsolubles.
4
Jem'intéresseraipresqueex lusivementdanstoutmontravailaudeuxièmemémoirede esauteurs,[BriotetBouquet1856b℄.C'estdon de elui-làqu'ilseraquestionenl'absen e depré isionsupplémentaire.
