D.S. n°5 : Suites et dérivabilité - PCSI-PSI AUX ULIS

PCSI 28 janvier 2017

Devoir surveillé n

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Exercice 1: Questions de cours :

1. Soit q ∈ R. Enoncer et démontrer la formule pour la somme des n premiers termes de la suite géométrique de raison q et de premier terme u0.

2. Donner la définition de suites adjacentes. 3. Donner la définition de suites équivalentes.

4. Soit (un)n∈N une suite réelle telle que lim_n→+∞un = 0. Enoncer tous les équivalents que vous connaissez

pour (f (un))n∈N où f est une fonction de référence.

5. Soit f : I → R. Donner la définition de f est dérivable en a ∈ I.

6. Rappeler le théorème qui assure la dérivabilité d’une bijection réciproque ainsi que la formule. Rappeler (ou retrouver) les dérivées des fonctions arccos, arcsin et arctan.

7. Enoncer le théorème de Rolle.

8. Enoncer l’inégalité des accroissements finis.

Exercice 2: Effectuer la division euclidienne de A = 2X4_{− 3X}3_{+ 4X}2_{− 5X + 6 par B = X}2_{− 3X + 1.}

Exercice 3: Posons A =    1 0 1 −1 0 2 0 1 −1   . 1. Montrer que A3_{− 3A + 3I} 3 = 0.

2. En déduire que A est inversible et la valeur de son inverse.

Exercice 4: Soit la fonction f définie sur R par f (x) = ln(1 + x2_).

1. Montrer que f est de classe C1 _{sur R et calculer sa dérivée.}

2. Montrer que ∀x ∈ R, −1 ≤ f0(x) ≤ 1. 3. En déduire que :

∀(x, y) ∈ R

,

ln

≤ |x − y|

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Problème 1: Algorithme de Babylone

Le but du problème est d’étudier deux suites qui convergent vers √2 et de comparer leur vitesse de convergence.

Partie I - Etude d’une première suite

On considère les suites (pn)n∈N et (qn)n∈N définies par p0 = q0 = 1 et ∀n ∈ N,

(

pn+1 = pn+ 2qn

qn+1 = pn+ qn

1. _{(a) Montrer que ∀n ∈ N, les nombres p}n et qn sont des entiers strictement positifs.

(b) Montrer que ∀n ∈ N, pn≥ qn.

2. On définit une nouvelle suite (un)n∈N en posant ∀n ∈ N, un= p_qnn.

(a) Pour n ∈ N, exprimer un+1 en fonction de un.

(b) Montrer que

∀n ∈ N, |u

−

√

2|≤

√

2 − 1

2

|u

−

√

2|

3. _{(a) Déterminer (a, b) ∈ R}2 _{tel que ∀n ∈ N, p}

n+2= apn+1+ bpn.

(b) En déduire l’expression du terme général de la suite p. (c) Donner un équivalent en +∞ de pn.

4. Faire de même pour déterminer un équivalent en +∞ de qn.

5. En déduire un équivalent en +∞ de un et retrouver le résultat de la question 2.c).

Partie II - Etude d’une seconde suite

On considère la suite (vn)n∈N définie par v0 = 1 et ∀n ∈ N, vn+1 = 1₂ vn+ _v2_n

!

1. Montrer que ∀n ∈ N, le nombre vn est bien défini, que c’est un nombre rationnel (vn ∈ Q) et que

vn∈ [1; 2]. 2. Montrer que

∀n ∈ N, v

−

√

2 =

∀n ∈ N, |v

−

√

2| ≤

2 et que la suite v converge vers

√ 2.

Partie III - Comparaison des vitesses de convergence

On considère la suite (tn)n∈N définie par ∀n ∈ N, tn= vn−

√ 2

un− √

2.

1. Pour n ∈ N, exprimer tn+1 en fonction de un, vn et tn.

2. Montrer que :

∃N ∈ N, ∀n ≥ N, |t

| ≤

|t

|

3. Laquelle des deux suites convergent le plus vite vers√2 ?

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Problème 2: Dérivées successives et polynômes

On souhaite étudier les fonctions f et g définies sur R par

f (x) = ( ₁ x2e −1 x pour x 6= 0 0 pour x = 0 et g(x) = x 2_{f (x).} 1. Etude de la fonction f

(a) Etudier la continuité à gauche et à droite de f en 0. (b) Etudier la dérivabilité à gauche et à droite de f en 0.

(c) Justifier que f est de classe C2 _{sur ]0; +∞[ et montrer que}

∀x ∈ R∗+, f 0 (x) = P1(x) x4 e −1 x et f00(x) = P2(x) x6 e −1 x

où P1 et P2 sont des polynômes à déterminer.

On va montrer que cette forme est vraie pour toutes les dérivées successives.

2. Dérivées successives

(a) Justifier que f est de classe C∞ sur ]0; +∞[.

(b) Montrer que pour n ∈ N, il existe un polynôme Pn tel que

∀x ∈ R∗+, f(n)(x) = Pn(x) x2n+2e −1 x et que, de plus, Pn+1(x) = x2Pn0(x) + [1 − 2(n + 1)x]Pn(x). 3. Etude de la fonction g

(a) Justifier que g est de classe C∞ sur ]0; +∞[. (b) Montrer que pour n ∈ N, g(n+1)_{= f}(n)_.

4. Rappeler avec les hypothèses le théorème de Leibniz.

5. En appliquant cette formule à la fonction g, donner, pour n ∈ N, une autre expression de la fonction

g(n+1) et en déduire que

Pn+1(x) = [1 − 2(n + 1)x]Pn(x) − n(n + 1)x2Pn−1(x)

6. Déterminer le degré, le coefficient dominant et le terme constant du polynôme Pn pour n ∈ N.