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ARTheque - STEF - ENS Cachan | L'expérience Alma : une utilisation de la démarche informatique dans l'enseignement des mathématiques

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Academic year: 2021

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L'EXPERIENCE ALMA UNE UTILISATION DE LA DEMARCHE INFORMATIQUE DANS L'ENSEIGNEMENT DES MATH~MATIQUES

Ghislaine DUFOURD IREM de Lorraine

Résumé: L'expérience ALMA, mise en oeuvre par un groupe de recherche INRP-IREM de Lorraine, a pour objectif d'améliorer l'enseigne-ment de certaines notions mathématiques en utilisant la démar-che informatique comme outil pédagogique. Elle consiste à partir de situations concrètes et à aider les élèves à poser, puis à

résoudre, les problèmes qui s'en dégagent en leur faisant utiliser une méthode structurée d'analyse informatique et la programmation. La phase d'axiomatisation des notions mathématiques sous-jacentes n'intervient qu'ensuite.

(2)

- 238 - 1. INTRODUCTION

~lalgré les nombreuses recherches sur l'enseignement des mathématiques, il

reste encore bon nombre de concepts en face desquels le professeur se sent démuni lorsqu'il s'agit de les faire comprendre et assimiler à ses élèves. L'introduction récente de l'informatique apporte un outil pédagogique trés puissant: non seulement l'ordinateur, mais aussi, et nous avons tendance à dire "surtout", un mode d'analyse et de résolution des problèmes qui ap-paraît comme une aide très efficace pour l'acquisition de nombreuses no-tions mathématiques.

Dans cet article, nous décrivons l'expérience ALMA qui util ise la démarche informatique comme outil pédagogique dans l'enseignement des mathématiques. Actuellement, elle se déroule surtout dans des classes de quatrième, pour lesquelles nous avons publié un recueil de 9 thèmes sous le titre "Algo-rithmique et Mathématique" (ce fascicule peut être demandé à l' IREM de Lorraine-Université de Nancy I-BP 239-54506-Vandoeuvre Cedex). Mais la même approche peut s'utiliser dés la sixième et tout au long de l'enseignement secondaire. Nous poursuivons d'ailleurs notre recherche dans ce sens. 2. POURQUOI L'INFORMATIQUE PEUT AIDER L'ENSEIGNEMENT DES MATHEMATIQUES?

De manièr€ très schématique, l'objet essentiel des mathématiques est de fournir des concepts et des méthodes pour résoudre des problèmes issus de situations concrètes: d'où la nêcessitê d'un langage formel pour traduire les problèmes et le besoin d'outils pour aboutir à leur résolution, outils déduits de l'étude des propriétés des "objets" formels introduits.

Or, la démarche qui a dominé dans l'enseignement des mathématiques pendant la fin des années 60 et le début des années 70 était surtout axiomatique, c'est-à-dire essentiellement descriptive: le concept et ses propriétés étaient étudiés a priori, puis utilisés dans les problémes dans un deuxième temps seulement.

Les tendances récentes de la pédagogie -mais également des mouvements plus anciens, l'Ecole de Freinet par exemple- font prêcêder ces êtapes d'une phase d'utilisation non consciente du concept. La démarche dans l'enseigne-ment redevient constructive puisqu'elle part d'une situation concrète pour aboutir progressivement à la solution effective du problème formalisé entre temps.

Mais cette dernière dêmarche est également très proche de celle de l'infmaticien dont l'objectif est la résolution automatique de problèmes sur or-dinateur, même s'il ne s'agit pas de la même classe de problèmes et si le degré de résolution est différent.

Cette communauté d'objectifs entre mathématique et informatique nous a ame-nés à étudier comment une méthode "informatique" de résolution de problèmes pouvait être utilisée dans l'enseignement des mathématiques. La méthode

(3)

uti-lisée est la méthode déductive, méthode de programmation structurée dévelop~ ?,C -oée par Monsieur le Professeur C. PAIR et son équipe de recherche.

3. LA METHODE DEDUCTIVE DE PROGRAMMATION ET SES APPORTS A L'ENSEIGNEMENT DES MATHEMATIQUES

Les principes de cette méthode sont issus d'une analyse de l'activité de programmation: son but est de passer d'un probléme

a

un programme qui dé-crive les calculs amenant au résultat. Ce travail peut se décomposer en quatre étapes :

- expliciter le problème pour aboutir

a

ce qu'on appelle un énoncé; décrire les calculs résolvant cet énoncé on obtient un algorithme - traduire cet algorithme dans le langage de programmation choisi; - exécuter ce programme pour obtenir le résultat.

L'activité de programmation peut donc se schématiser comme suit:

Problème ~ Enoncé - - - 7 Algorithme ~ Programme ~Résultat

'----v---' l

Analyse Programmation Exécution

Précisons ces différentes étapes et leur apport

a

l'enseignement des mathé-matiques, en les illustrant

a

l'aide d'un exemple simplifié: soit

a

calcu-ler le montant d'une livraison de fuel en fonction du nombre de litres li-vrés et du nombre de kilomètres parcourus.

3.1. Du problème

a

son énoncé

Il s'agit d'énoncer de la manière la plus précise possible le problème avec ses données, mais surtout son résultat qui, étant ce que l'on cerne

gènérale~entle mieux, sera le point de départ de la résolution. Pour notre

exemple, il s'agit du montant de la facture, auquel on attribue l'identi-ficateur M.

L'élève prend ainsi l 'habitude de se poser avant tout la question: "que dois-je obteni r ?". Cel al' amène

a

préciser le cadre dans lequel il va travai 11er et lui évite de traiter un problème autre que celui qui est posé, erreur malheureusement fréquente dans nos classes.

3.2. De l'énoncé

a

l'algorithme

Il s'agit cette fois-ci de résoudre effectivement le problème. La méthode déductive permet de proposer

a

l'élève un guide dans sa recherche du pro-cédé de résolution qu'il ignore et un langage précis d'expression de son algorithme: Partant de la définition explicite du résultat, on introduit des résultats intermédiaires dont on donne

a

leur tour une définition ex-plicite et ainsi de suite jusqu'aux données. L'ordre de recherche est donc totalement indépendant de l'ordre des calculs dont on ne se préoccupe que dans un dernier temps.

Lors de l'élaboration de cet algorithme, la disposition standardisée sous forme de table permet de n'avoir

a

répondre, a chaque instant, qu'a une question

a

la fois, la question suivante s'obtenant ensuite de façon

(4)

"dé-- 240 - ductive" en consultant le lexique. Pour notre exemple, cette table s'éla-bore progressivement: pour aboutir à LEXIQUE 1·1 : montant de l a facture 1 IDEFINITIONS FORMELLES 1 Irésultat=M

LtxlQUE DEFINITIONS FORMELLES

*M : montant de résultat - M l a facture 7 M= PF + PL *PF : prix du fuel 5 PF = NF x PLF *PL : prix de la 6 PL = NK x PK livraison *NF : nombre de 3 NF = donnée -litres de fuel 1 PLF = donnée livrés 4 NK = donnée -*PLF : prix du -2 PK = donnée litre de fue l -*NK : nombre de kilomètres parcourus âK: prix du kilomètre

La résolution du problème se termine lorsque tous les identificateurs du lexique ont été étudiés: il ne reste plus alors qu'à numéroter les défi-ni·tions dans l'ordre dans lequel elles doivent être effectuées.

3.3. De l'algorithme au programme:

Puisqu'il s'agit de petits problèmes, la traduction en un langage de pro-grammation est quasi automatique et ne surcharge pas le travail de l'éléve. Mais lui faire réaliser cette troisième étape est cependant important car elle contribue à développer des qualités de rigueur syntaxique dont béné-ficiera la rédaction de ses autres travaux.

Notons que le choix du langage de programmation est tout à fait secondaire. Nous avons cependant retenu le LSE qui a l'avantage d'être en français: ceci évite certaines difficultés qui ne seraient dues ni aux mathématiques ni à l'informatique.

3.4. Du programme au résultat

L'exécution de ce programme sur l'ordinateur est avant tout une motivation très forte pour l'élève et une stimulation pour mener son travail jusqu'au bout. Mais elle lui apporte en outre une vision dynamique de son algorith-mique qui n'apparaît que rarement dans l'enseignement des mathématiques et ne peut que contribuer à leur bonne compréhension.

4. EXEMPLE D'APPLICATION DE LA METHODE DEDUCTIVE A L'ENSEIGNEMENT DES MATHEMA-TIQUES

(5)

les idées exposées ci-dessus ont été appliquées avec des élèves de la classe _?~l_ de quatrième. Mais, d'une façon générale, la démarche que nous avons suivie peut ètre schématisée comme suit:

_ _ _ _ _ _Ob_I_"'_'_dl --1 o_"_"_"._"_'o_n ._ _---1f__I._'_""'-C.90et~thoJ.

:0;Kl,'p€-_1ago~jqu~;ntrodu.ction d'Un :.::,r;ce~!m..iiIthérTl4lttque

____ U1'cul de solu1ionl

" " ttud.rnat Mma1jque

1 .

étudeelT'plflque pUIS forrralls.atlOn

1.~noncé

préc;s "'Jir. forme! 1

• introduction du concept 6hudll~'r langage mathérnalique

méthode de;X09r8oT1~'lon ftraisonnement mathématiQUe

Exemple: les règles de simplification d'écriture.

Cette leçon se place au début de la classe de quatrième, dans le cadre des rèvisions des opérations dans l'ensemble des nombres décimaux. Son objectif est de faire le point sur les différentes règles de simplification d'écri-ture des expressions algébriques parenthésées. Avant cette récapitulation, il nous paraît indispensable de sensibiliser les élèves au rôle des paren-thèses et nous leur proposons une série de petits problèmes en leur deman-dant à chaque fois de :

(1) donner un algorithme de résolution dans lequel ils s'imposent de ne faire qu'une seule opération à chaque ligne.

(2) transcrire cet algorithme, dont la manipulation ne correspond pas aux habitudes d'écriture, en une phrase linéaire à l'aide de parenthèses:

à chaque ligne de l'algorithme correspond le résultat entre parenthèses. (3) évaluer, pour différentes valeurs numériques données, cette expression

totalement parenthésée.

(4) traduire en L.S.E. l'algorithme obtenu à l'étape (1).

(5) écrire un programme en L.S.E. effectuant les calculs en utilisant di-rectement l'expression parenthésée obtenue à l'étape (2).

(6) comparer les résultats obtenus quand ces deux programmes sont exécutés pour différentes valeurs numériques.

Ainsi, pour l'exercice: soit à calculer le montant Mde la facture d'un client qui a acheté et fait installer une machine à laver. La machine 2. laver ccüte P francs, mais le client a bénéficié d'une remise de 400 F sur ce prix. D'autre part, l'installation a nécessité N heures de travail pour 2 ouvriers et l 'heul'e de main d'oeuvre est facturée à 72 F TTC par ouvl'iel'.

(6)

- 242 - L'élève peut proposer l'algorithme suivant

LEXIQUE DEFINITIONS FOME[[[Sl

*['1 : montant de resultat 1'1 1a facture 6 M=Î~L + MI *ML : montant de la 2 ML = P - 400 machine à 1aver 5 MI = 72 x NT *MI : montant de l'installation 1 P= donnée -*P : prix de la 4 NT =Nx 2 machine à laver 3 N = donnée *tn : nombre d' heures

-de travail

*N : nombre d' heures de travail par ouvrier

qui se traduit en l'ex~ression parenthésée: r1 = (P-400) + (72 x (Nx2)) Les deux programmes correspondants en L.S.E. peuvent s'écrire:

1 LIRE P 1 LIRE P, N 2 ML +- P - 400 2 t1 <- (P-400) + (72 * (N*2) ) 3 LIRE N 3 AFFICHER t1 4 NT +- N* 2 4 TERMIi~ER 5 t~1 +- 72 * N 6 M~ML + MI 7 AFFICHER ~1 8 TERMINER

et la comparaison des résultats obtenus lors de leur exécution permet aux élèves de contrôler eux-mèmes l'exactitude de leur travail.

Dans la suite de cette leçon, les expressions parenthésées dégagées de cette série d'exercices nous permet de dresser un bilan des règles de simplifica-tion d'écriture qui sont alors mises en oeuvre dans des exercices d'entraî-nement de différents types.

5. QUELQUES EXEMPLES DE RETOMBEES DE CETTE DEMARCHE

Cette démarche est utilisée dans différents chapitres du cours de mathéma-tiques, réparties sur l'ensemble de l'année de quatriéme selon une progres-sion qui permet d'intégrer, de maniére cohérente et pédagogique, l'initiation informatique à la formation mathématique. Les notions ainsi traitées sont

NOTIONS MATHEMATIQUES

- Simplification d'écriture des ex-pression algébriques parenthésées - Composition des applications - Valeur absolue

- Puissances entières - Puissances entières de dix

- Relations - Applications - Bijections

NOTIONS INFORMATIQUES - Traitement séquentiel - Procédure (utilisation)

Traitement itératif simple - Traitement conditionnel

- Traitement itératifsur une suite récurrente (variable informatique) - Traitement itératif avec test d'arrêt

(7)

- Equations - Géométrie de la droite - Vecteurs 21>.3 -- Instructions conditionnelles i mbri quées - Procédures

L'élaboration et la programmation des algorithmes introduisent des outils pédagogiques nouveaux dont voici quelques exemples:

L'utilisation des identificateurs, choisis librement par les éléves, contri-bue à l'assimilation de la notion de variable mathématique et l'instruction d'affectation prépare à la notion fondamentale de substitution. De plus, la distinction du traitement des identificateurs de type chaîne et des identi-ficateurs de type nombre clarifie l'étude de certaines notions dont l'inté-rêt réside au niveau de l'écriture: par exemple, une puissance de dix à exposant entier positif n s'écrit "1 suivi de n zéros" et les deux types d'identificateurs différencient la notation du nombre et sa valeur. Le traitement conditionnel permet, par exemple, de manipuler une notion abstraite telle que la valeur aDsolue, en l'introduisant à partir d'exer-cices concrets comme:

Soit n le nombre d'étages parcourus par un ascenseur qui se déplace de l'étage 3à l'étage x. Trouver un algorithme qui calcule n connaissant x. La définition de n peut s'écrire:

n : si x '" 3 a lors n = x - 3 sinon n = 3 - x

Un autre apport est l'introduction du traitement itératif chaque fois qu'un calcul ou qu'une recherche s'effectuent suivant le même mécanisme. Ceci contribue par exemple à la compréhension de la notion d'application (par le calcul systématique de l'image des éléments d'un ensemble par une applica-tion donnée) ou de la noapplica-tion d'équaapplica-tion (par la recherche par balayage des solutions d'une équation donnée dans un ensemble fini). De même, une itéra-tion permet d'introduire la noitéra-tion de puissance:

Soit a un nombre rêel non nul et n un entier naturel. Ecrire un algorithme qui calcule p tel que p =an et le nombre mu de multiplications par a effec-tuées dans ce calcul (la valeur initiale de pest 1 et celle de mu est 0). Les définitions de p et de mu peuvent s'écrire:

p, mu : répéter n fois (p = p x a ; mu

=

mu + 1)

Le compteur amène alors la définition de an et les conventions aO 1 et al = 1. Lors du calcul de an à partir de an-1 apparaît la notion de récur-rence mathématique, approfDndie lors de l'étude de la puissance d'un produit par exemple.

Les sous-programmes ont aussi un intérêt pédagogique car ils contribuent à

décomposer un problème complexe en problèmes plus simples et à habituer les élèves à avoir une vue synthétique d'une situation donnée.

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- 244 - 6. QUELQUES REMARQUES EN GUISE DE CDNCLUSION

Les prelniéres expérimentations de cette démarche dans les classes aménent les constatations suivantes:

Si, pour certaines leçons, le temps de présentation par la méthode informa-tique est plus long que par la méthode traditionnelle, il apparaît qu'en contrepartie la bonne assimilation des notions ainsi traitées permet une progression plus rapide dans d'autres chapitres du programme. Par exemple, dans des problèmes de géométrie pour lesquels il n'est pas question d'écrire un programme pour l'ordinateur, les élèves utilisent spontanément la méthode déductive pour chercher une démonstration. Notre démarche ne contribue donc pas seulement à mieux faire comprendre les notions étudiées, mais elle apporte une nouvelle façon de penser à l'ensemble de notre enseignement. Elle infl ue également beaucoup sur le comportement des élèves qui, très mo-tivés par l'utilisation de l'informatique, deviennent progressivement plus actifs et plus rigoureux dans l'ensemble de leur travail. Cette démarche permet aussi de "débloquer" certains èlèves en difficulté qui rejettent un enseignement plus classique.

Son utilisation se solde donc par un bilan tout à fait positif et serait encore pl us profitable si on l'appliquait sur plusieurs années d'études, dès l.a classe de sixième par exemple.

Ainsi, l'utilisation d'une mèthode informatique d'analyse non seulement peut s'intégrer dans les cours de mathématiques, mais aussi contribue pleinement

à la formation des élèves dans cette discipl ine. BIBLIOGRAPHIE

C. BANA, G. DUFOURD, B. DURAND, B. JARAY, Algorithmique et Mathématiques, IREM de Lorraine et INRP, 1979.

C. BANA, G. DUFOURD, J.P. FINANCE, B. JARAY, Using Computer Science in Order to Teach Mathematics, Proceedin9s of the IFIP TC-3, 3rd World Conference on Computer in Education - WCCE 81, Lausanne, 1981.

F. BELLEGARDE, J.P. FINAi~CE, B. HUC, J.M. PIERREL, A. QUERE, J.L. REMY, Initia-tion à une construction méthodique de programmes, Rapport du Centre de Recherche en Informatique de Nancy, 78-E-81.

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Références

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