Développement et validation d’un élément quadrilatère à 4 nœuds et 12 D.L en éléments finis

\

REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE

====***Jtfc=; = = = =

MINISTERE DE L'ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE

~===***·~t=====

UNIVERSITE DE ANNABA

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INSTITUT DE GENIE CIVIL

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r/lESt'

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2 ((1":, l i ___ _

Présentée

à

l'Institut de GENIE CIVIL

Pour l'obtention du grade de MAGISTER

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Par

Mr. BOURAS FAOUl!

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THE M E

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OEVELOPPEAIENT ET VALIOATION 0 'UN ELERENT

QUAORILATERE A 4 NOEUOS ET /2 0, L

EN ELERENTS fINIS

Soutenu publiquement le: /

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Devant le Jury:

REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE

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ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE =======***~-========

UNIVERSITE DE ANNABA

INSTITUT DE GENIE CIVIL

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Présentée

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Pour l'obtention du grade de MAGISTER

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Par

Mr. BOURAS FAOUl!

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DEVELOPPERENT ET VALIDATION D'UN ELENENT

QUADRILATERE A"I NOEUDS ET

/2

0, L

EN ELENENTS fINIS

Soutenu publiquement le: / / Devant le Jury:

Président:

Mr. A.BOUMEKIK M.C U. ANNABA

Raporteur:

Mr. M.GUENFOUD Dr C.U.GUELMA

Examinateurs:

Mr. A.SERIDI Pr C.U.GUELMA

Mr. K.DJEGHABA Dr U. ANNABA

REMERCIEMENTS

Ce travail a été fait sous la direction de Mr _{M. GUENFOUD}

pour qui j'adresse tous mes remerciements de m'avoir encouragé tout au long de cette étude et pour m'avoir soutenu et éclairé de ces precieux conseils.

Je remercie vivement Monsieur A. BOUMEKIK maître de

•

conférence à l'université d'Annaba pour l'honneur qu'il me fait en

acceptant de présider le jury.

Messieurs A. SERIDI, O. HARIRECHE et K. DJEGHABA pour

l'intérêt qu'ils ont porté a ce travail en acceptant d'être

membres du jury, qu'ils trouvent ici l'expression de ma profonde gratitude.

DEDICACES

Je dédie ce

h~mble

travail

à

Ma très .chen:: mère

Mon père

Toute ma famille

Et

à

tous mes amis

RESUME

Nous présentons dans ce mémoire la formulation et

l'évaluation d'un élément fini de plaque pour l'analyse statique et dynamique de plaques minces élastiques de formes quelconques.

L'élément développé est un élément quadrangulaire, possédant

4 noeuds et 3 degrés de liberté (D.L) par noeud, soit le

déplacement transversal et les deux rotations par ,rapport à deux coordonnées curvilignes orthogonales.

Nous décrivons les différentes étapes de la formulation de l'élément fondée sur une théorie linéaire des plaques, valable pour les petits déplacements , petites déformations et rotations

modé rées, et sur les hypothèses cinématiques de _~~E~~t::.~_~~

introduites sous forme discrète.

La matrice de rigidité linéaire, le vecteur sollicitation et la matrice de masse sont évalués par une intégration numérique de Gauss 2x2.

L'étude de nombreux problèmes statiques et dynamiques nous permet de mettre en évidence l'efficacité et la fiabilité de l'élément.

SOMMAIRE

*

INTRODUCTION

CHAPITRE

l

7

, ~-~, \ Il

ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE

1- 1

ELEMENTSQUADRILATERAUX A

12

D.L

1-1-2

DIFFERENTS ELEMENTS RECTANGULAIRES

1-1-3

ELEMENTS QUADRILATERAUX

CHAPITRE

II: FORMULATION ENERGETIQUE

11-1

11-2

FORMULATION ENERGETIQUE

PRINCIPES VARRIATIONNELS

CHAPITRE

III: CONSTRUCTION DE L'ELEMENT

Page 1 4 4 4 6 10 14 111-1

CONSTRUCTION DE Ku

22

111-2

CONSTRUCTION DU VECTEUR CHARGE EQUIVALENT

27

111-3

CALCUL DES EFFORTS RESULTANTS

27

CHAPITRE IV: VALIDATION ET TESTS NUMERIQUES

IV-l PATCH-TEST 31

VI-2 TESTS DE ROBINSON 33 VI-3 T~STS DE CONVERGENCE POUR PLAQUES CARREES

ET RECTANGULAIRES 37

VI-4 PLAQUE COURBE AVEC RESULTATS EXPERIMENTAUX 50 VI-5 PLAQUE ENCASTREE AVEC RESULTATS EXPERIMENTAUX 59

CHAPITRE V: COMPORTEMENT DYNAMIQUE

V- COMPORTEMENT DE L'ELEMENT DKQ DANS LE DOMAINE DYNAMIQUE

CONCLUSIONS REFERENCES

CHAPITRE VI: ANNEXES

62

64 65

INTRODUCTION

Les plaques et coques constituent une catégorie importante de l'ensemble des structures rencontrées en génie civil. Leur analyse

nécessite une modélisation faite à partir d~éléments plats

triangulaires" ou quadrilatéraux. La méthode des éléments finis s'est avérée efficace dans l'analyse de la flexion des plaques

minces; offrant une grande souplesse d'emploi.

Une modélisation des plaques en éléments discrets présente un

grand intéret, vu que ces derniers possèdent comme degré de

liberté (DL) les variables essentielles des calculs à savoir: le

déplacement transversal ~ et les rotations ex et ey autour de X et

y ( fig .1 ) "\r'

Au cours de cette étude nous essayons de formuler un élément quadrilatéral nommé DKQ (Discret Kirchhoff Quadrilateral). Comme son nom" l'indique , cet élément nécessite une évaluation numérique

basée sur les hypothèses de Kirchhoff sous forme discrète.

L'élément quadrilatère est à 4 noeuds et douze degrés de liberté.

Ini tialement, nous allons présenté une petite synthèse des

différents éléments à 4 noeuds et à 12 DL ,ensuite nous présentons

la théorie de calcul afin de définir les fonctions d'interpolation

(~x et f3y) en fonction des variables nodales (les douze DL). La

partie théorique se terminera par l'établi~sement de la matrice de

rigidité et du vecteur charge équivalente ainsi que le calcul des efforts de flexion. Les tests en fin de travail auront pour but de démontrer la validité et les performances de l'élément formulé

(DKQ) .

1-%,w

_-,

;---~--.~

--

,

-

-noeuo ...

[~~

9:1

1

•

,~ \

,

\ \

CHAPITRE l

1- ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE

1-1 ELEMENTS QUADRILATEREAUX A 12 DL

L'intéret et l'importance de la flexion des plaques ont été à

l'origine de la formulation de plusieurs éléments plaques de flexion.Parmi les articles et les ouvrages qui présentent l'examen

de ces éléments, on se limitera bien sur aux éléments

quadr ilatéraux à 4 noeuds et douze DL soient: w, ex et ey au

niveau des 4 noeuds.

Notre interet portera sur les solutions pour plaques minces

associées au modèle de Kirchhoff-Love. où

,M

cisaillement

transversal est négligeable. ~

.=--1-1-2 DIFFERENTS ELEMENTS RECTANGULAIRES

Les éléments rectangulaires ont été les premiers éléments à

quatre noeuds à être proposés pour l'étude de la flexion des plaques . L'un des premiers éléments rectangulaires fut proposé par Melos~ [21]. C'est un élément de type hybride (deplacement et contrainte), basé sur des considérations physiques en analogie

--7

avec le comportement des poutres croisées. L'ACM [22] [23]est un ~

élément rectangulaire utilisant une fonction d'interpolation

cUbique complète en plus de deux termes d'ordre quatre (x 3y et

y3X ). Il

~st

implanté dans de très nombreux codes bien qu'il est

incompatible. Certains tests de convergence marchent bien pour cet

élément. Dawe [24]va utiliser ensuite d'autres polynomes à 12

termes. Clough et Tocher [25]ainsi que Bogner .et Al.[26] proposent un élément compatible mais incomplet. En faisant intervenir quatre sous-régions triangulaires(fig.2), Deak et Pian [27]proposeront un élément rectangulaire compatible.

fig.2. Elément rectangulaire faisant intervenir quatre sous-regions triangulaires.

"

Les travaux de Kikuchi et Ando [28] sur ce type d'élément

utilisent des modèles déplacements hybrides. Leurs produits

présentent une convergence généralement meilleure ·que celle de' l' ACM. Les critiques des auteurs ( Mang et Gallagher ) [29] font douter de la fiabilité de ces éléments. Pian [30], et Severn et

Taylor [31] proposent également des éléments rectangulaires à

partir de fonctionnelles hybrides de type contraintes. Un autre

~ élément rectangulaire QC [32] a été proposé par Dhatt et qui est

basé sur l'introduction des hypothèses de Kirchhof f sous forme discrète.

L'objet de notre étude qui est le DKQ est justement une

généralisation de l'élément QC.

I-1-3 ELEMENTS QUADRILATERAUX

Ce type d'éléments peut être obtenu par assemblage d'éléments triangulaires à 9 D.L. Des matrices différentes seront cependant obtenues suivant l'orientation du découpage. (fig. 3)

Un élément quadrilatère Q-19 [33] de formulation identique à l'élément triangulaire HCT est complet et conforme. Il est obtenu par assemblage de quatre éléments triangulaires (eux-mêmes obtenus par trois sous-triangles) et nécessite une condensation statique de 7 D.L.

Des éléments quadrilatéraux basés sur un modèle hybride

contrainte ont été présenté par Allwood et Cornes [34] avec champ de contraintes linéaire, quadratique ou cubique, par Torbe et Church [35] avec champ de contrainte quadratique. Horrigmoe [36] utilise un

-F,s.

3.

f./Ult'tls

q

u,u'rtl ..

/~r

dU' 0

bhf!

uS par

OSSt",h/1I5"

dt.

frià'J

9

ILS

élément avec champ de contraintes (moments) linéaire et déplacement transversal cubique pour l'analyse non linéaire de coques par facettes planes. Cook [37] étudie une grande variété d'éléments quadrilatéraux à 12 D.L de type hybride contrainte; qui sont obtenus par assemblage de quatre éléments triangulaires avec élimination du noeud milieu par condensation statique. Ces éléments sont basés sur la théorie des plaques avec cisaillement transversal et des polynomes différents sont utilisés pour représenter les contraintes et les déplacements (le long des

~

contours). Ces éléments permettent l'étude des plaques épaisses, sandwich, et minces mais les critiques des auteurs vont à l'encontre de leur fiabilité.

Dans la théorie de K1rchhoff, la compatibilité des éléments à formuler de type déplacement exige une continuité de type Cl (continuité de la 1è~e dérivée ) du déplacement transversal. Par contre la théorie des plaques épaisses (c.à.d. avec cisaillement. ) permet de formuler des éléments où la continuité nécesaire du déplacement w et des rotations de la normale de type Co. Si un modèle se comporte normalement pour les plaques minces où les cisaillements sont nuls, il y a avantage à utiliser cette dernière approche (dite de Mindlin ).

Le QUS4 est basé sur cette approche et a été proposé par Hughes et al [38]. Il se caractérise par une formulation simple et ses performances pour certaines plaques carrées; mais hélas leur comportement n'est pas garanti pour toutes les situations. Un élément isoparamétrique (avec cisaillement transversal ) QUAD 4 de Nastran proposé par Mac Neal [39] est modif ié par un ensemble de techniques telles que: intégration réduite, séléctive, addition de termes correctifs pour la flexion ... Ces techniques sont basées sur des résultats effectifs remarqués sur un élément de poutre.Cet élément ne se comporte pas bien aux deux tests proposés par Robinson mais atteint une très bonne performance pour l'analyse des plaques carrées et rectangulaires.

-Enfin, Robinson et Haggenmacher [40] proposent un élément LORA de type contrainte (force à 9 paramètres indéterminés.Des transformations permettront de repasser à des D.L. de type déplacement. La formulation est faite à partir d'une série de tests de Robinson. La performance de cet élément est bonne pour l'ensemble des tests sauf un.( flexion génée

CHAPITRE II

B

II 1- FORMULATION ENERGITIQUE

Dans ce chapitre, nous allons rappeler brièvement le principe

énergétique de base pour la formulation de l'élément DKQ.

Les résultats de la théorie linéaire de l' élastici té des

plaques ne font pas l'objet de cette partie

1

ils seront donc

utilisés sans démonstration.

On définit l'énergie de déformation d'un corps élastique

déformable soumis

à

un système de forces exterieures; comme étant

le travail emmagasiné dans le corps sous forme d'énergie:

U

= 1/2

J<

a • t:: + a • t:: + a

.

( + L _{• '1 +} L _{. '1} + 1: _{. '1}

). dV

x x y y z z xy xy xz xz yz yz

V

U

Energie de déformation totale pour un élément 3-D.

De

façon

générale pour

N éléments et en

tenant compte

du

cisaillement

N / U

=

L \'

U;m + e" 1 ( 2 ) e

U

_{fm :}

Energie interieure de déformation de flexion de membrane au

niveau de l'élément.

Energie interieure de

déformation due

au cisaillement au

niveau de l'élément.

Nous allons donc écrire pour les plaques :

U:

=

1/2

J

< "1 >. [D c ] .

{'I }.

dA

e

A

e

(2.a)

Pour le cas des plaques bi-dimensionnelles, homogène et isotrope

avec un problème de contraintes planes nous avons :

[ D _m ]

₌

[ 2 12(1-v ) E h 1 v

[

~

v

[

1 (1_v2 ) 0 0 D

] =

E h k c 2.(1+v) v 1

o

0 0 (1-v)/2

P

q

]

( 3 )

Avec E,

v,

h, k respectivement: module de Young, coefficent de

Poisson, épaisseur et le facteur de correction du cisaillement

transversal ( pris généralement égal

à 5/6 ),

vu la distribution

non uniforme du cisaillement

à

travers l'épaisseur.

Ae:l'aire de l'élément.

Nous allons maintenant définir les déformations dûes aux

effets de

flexion~de

membrane et de cisaillement.

Considerons une plaque (fig.

4 )

soumise

à

des charges axiales de

compression ou de tension en plus de charges transversales et est

rapportée

à

un système d'axe cartésien. Le plan

X Y est le plan moyen

de la plaque. Les déplacements d'un point de

peuvent s'écrire en série de Taylor:

coordonnées ( x, y,

z )

2 U( x, y, z = U ( x, y, 0 ) + (

~ ~

)o.z + V( x, y, z )

=

V (

x,

y, 0 ) + .(

a

a V

z )

~.

z

+ 1/2

En supposant que:

W (

x,

y,

z )

=

W (

x, y,

0

Et en posant

t--

_{L~_~~~_=_}

a

U "--"-~-~---~av~-~

..

_{~~~(_}

..

_{~z_}

U

)

~

=

J3

yI

x,

y, 0

=

U V (

x,

y, 0 )

=

V

et W (

x,

y,

0 )

=

W

! . - 11

.. ~

On aura en limitant les développement aux termes linéaires et en

négligeant

c _z (à

partir des relations d'élasticité) ce qui suit

a

fJ

=

a

u

+

z

x

a

x .

ax

x 8 fJ _y

ay

( 6 ) lXY

a

u

a

v

=

a

y + a

x

+

z.

""xz

=

fJ x

a

w

=

fJy +

a

y L~~, <.'"

Où

c i e _{x yi} "" _{xy 1} lyZ

et

""xz

sont les déformations en un

point .de coordonnées ( x, y, z

et

fJ"{,

fJt ~ont

yles rot a tions

de la normale ( ou bien rotation des plans YZ et XY autour de X

et Y respectivement) (fig 5 ).

W étant le déplacement transversal.

D'après les relations cinématiques

décomposition suivante :

6 ) et ( 7 ) on aura la

Déformation de membrane

- - -

-

--< C RI 8 U >

=

< 8

x

8 V _{8 Y}

Déformation de flexion

- - - -

-8 fJ _x 8 fJ _y

-< (.

>

=

<

-8 -,-f

x

ay

Déformation de cisaillemnt

- - - -

--( "" >

=

< fJ _x + - -8 W 8

x

( 8. a ) 8 fJ 8 fJ x + _ _

y>

ay

8

x

( 8. b ) > ( 8.

c )

Suivant les hypothèses de la théorie des plaques on néglige les

effets d'interaction de membrane et de flexion. Ce qui

\ à

ignorer les contraintes dans la surfaçe moyenne

~

( membrane ), donc nos déformations se réduisent

à :

.

.:::

)

'"

- 13

a

{3 . x

ax-a

{3 y

ay

( 9 )

a

{3

a

{3 x + _ _ y

ay

a

x

Et les moments de flexion et les efforts de cisaillement

{ H } ; (

:J ; [

D f 1 .

{< }

(10

a)

=[D

c ]

.

( 10 b )

(voir fig. 4 )

II 2- PRINCIPES VARRIATIONNELS

I I 2-1

Principes variationnels usuels en élasticité

Les problèmes de physique mathématique ou appliquée se posent

à

l'ingénieur de deux manières de formulation: locale ou globale.

Alors que certaines méthodes numériques, comme celle des

différences finies s'appliquent aux problèmes physiques sous forme

locale, nous nous sommes intéressés

à

la méthode des éléments

finis pour une formulation globale. Cette dernière fait appel aux

principe variationnels dont voici les plus importants et les plus

connus.

al Principe de variation des déplacements,

appelé aUSSl

"pr,incipe du minimum de l'énergie totale

y

\\\,1-,.\

bl principe de variation des tensions qui est le "principe du

m~um de l'énergie complémentaire "

j'

Du fait de la nature de nos travaux nous utiliseront le

_{" ' . .}

-principe du minimum de l'énergie totale.

z,w

..

1

J ' ( , "

"or ... ~ t GCtor '" c(.

'j,v

II 2-2 Equations d'élasticité linéaire:

Soit un corps solide déformable, dont la géométrie définit un

domaine V et une surface extérieure( S ).

Le contour se compose de :

-Une partie S sur laquelle les déplacements sont imposés

u

-Une partie complémentaire notée

Sa

sur laquelle sont imposés

des forces exterieures

~.

( voir fig.

6 ).

1

Un rappel des équations d'élasticité est fait tout en les classant

en trois

catégo~ies

i /

Equation de compatibilité : Elles définissent un champ de

déformation et des conditions aux limites sur S

~

i j , k 1 + ~ le l , i j - E. i k , j 1

=

0

En d'autres termes plus simples

( = 1/2 . ( D .. U. + D .. U i j 1 J J U

=

U _i

sur S

_u

/

(--( 11 ) 11. a ) ( 12 )

Les équations

11

et

1 2 )

exigent un champ de

déplacement continu et différentiable.

(1.

Remarque: Les déformations et les déplacements sont Eetits.

--,----,--~-~--''" ~

i i /

Equations d'équilibre

Elles définissent un champ de

contraintes et les conditons aux limites sur

_Sa

D.o .. + f.

=

0

}

1 1 J . 1

Dans

V ( 13 ) a _{i j} = a _{j i} cp _{= CP.}

_-

a

.n.

sur

_Sa ( 14 ) 1 1 i j _J

Avec

f. )

et

i. )

sont respectivement les forces de

1

1

volume et les forces exterieures de surface imposées.

i i i /

Lois de

comportement du milieu

Dans le cas de matériaux

à

comportement linéaire élastique;

on a une approche par modèle élastique linéaire de la loi de Hooke

qui est la suivante

(;

"FIGuQ.t -

06

-Avec C

_ijk1

:composantes du tenseur élasticité.

En notation matricielle les équations précédentes s'écrivent

-Equations de compatibilité

{ E }

= [

1n

J. {

u }

{ u }

= {

u }

-Equation d'équilibre

~ [a

J {

a } + { fi }

= {

0 } {

~i

}

= {

~

1 }

-Loi de comportement

Dans

V

( 16 )

Dans

V ( 17 ) ( 17 ) ( 18 )

~

Par application du ;"Principe!'des travaux -virtuels on aura le

résultat suivant :

J

4> i ' 8 u i

ds

+

J

sa

v

Où 8 u. est le

1

f .

8

u dv

=

J

a '. 8

u

'. dv

( 1 9 ) i i _ V iJ i ,J /

- -- -, -vi

J.,,(~---'

--- -- -- \...

},\:t)

~

champ~

de déplacement cinématlquement

~---.

admissible.

En notant W le potentiel de déformation il vient

( 20 )

Pour

un

corps

solide

en

équilibre,

l'accroissement

de

l'énergie de déformation ( U

=

J

W. dv ) est égal

à

la somme des

v

travaux virtuels des forces de volume

et de

surface pour

tout

accroissement virtuel admissible du champs des déplacements.

Remarque:

On

peut voir que

le potentiel de

déformation W

représente une densité volumique d'énergie de déformation W

=

~ ~

Ce résultat peut s'exprimer sous forme d'une condition d'extremum

si l'on admet que les forces de volume et'de surface dérivent de

potentiels.

POS

L

1:ton d'iquL(ibre

-7

~/\,G.

/ ,~

.

~,ri cp,

= -

a-l u. 1

.

Le travail

't

des forces appliquées est alors

Iv

t

...

"';," _ ...

't

=

-

G. dv

-

g. ds "

ou bien : 0 U

=

0

't ( 21 )

Ce qui nous amène en introduisant l'énergie potentielle totale V :

o

V

=

0 ( U - 't )

=

0 ( 22 )

L'équation (

22 )

est une formulation du potentiel d'énergie sous

forme d'extremum ( stationnarité ).

II 2-3-

Principe de l'énergie potentielle:

Le principe de variation des déplacements s'annonce comme

suit

Il

_Pour

_un

cinématiquements

état

d'équilibre

admissibles

qui

stable,

les

déplacements

satisfont

les

conditions

d'équilibre, sont ceux qui minimisent l'énergie potentielle et

réciproquement ".

E:, , • lJ

Soit : 0 ( U -

't )

=

0

Où :U

=

J

0 " . V lJ

ou, ,. dv

l , J

=

J

V

W (

E:" lJ ) .

dv

est l'énergie totale de déformation exprimée

- 19

-( 23 )

Et

~

= -

I

f, .b

u,.

dv -

I

~,.

b

u,.

ds ( 24

1 1 1 1

V

sa

~ est l'énergie potentielle des charges imposées à partir du

champ de déplacement compatible satisfaisant donc, aux conditions i/, ii/, 'iii/.

Dans notre thèse en discrétisant les équations ( 22 ), ( 23 )

et (24 nous parviendront à la construction de la matrice de

CHAPITRE I I I

-~. ' L - / ~

III 1- CONSTRUCTION DE Ko:

Etant donné que notre étude porte sur un élément de plaque mince, alors l'énergie interne de cisaillement transversal Usera

c

négligée devant l'énergie interne dûe à _{la flexion Uf .}

Donc comme il a été cité auparavant, la formulation de l'élément DKQ est basée sur la discrétisation de l'énergie interne de déformation dûe à la flexion uniquement

~ Uf

=

L

Ue f e Au niveau élémentaire Ue

₌

_1/2.

J

< f. >. [ Df ]

.

{

[

}

dx. dy ( 25 ) f A

{ c } et [ Df ] sont données respectivement par les expressions

(9

et

3).

allons essayer et le

{J, fJ

-"~ y

de trouver une relation entre les déplacement transversal w,

Nous rotations

recherchant un élément qui représente les caractéristiqu€~

tout en de type

.,

Kirchhoff i. e.- : d'une part les var iables nodales finales doivent être le déplacement transversal

w

et ses dérivées par rapport à x et à y (

w,

w et

w

)

aux quatre noeuds de l'élément; d'autre part

., " . ,X,. . .. , y

l'_~ypothè~~ ~,e Kirch.h.9ff doit être satisf ai te le long du contour de l'élément.

l' \

l'>: ,.(Î( ]

\ ~ \

Par souci de compatibilité de l'élément, les conditions ci-dessous sont retenues pour formuler la matrice de rigidité du DKQ

8

f3

x et

f3

y sont définies par des polynomes quadra,tl.ç;l.uessur

un élément 8

f3

x = _~ \' N _{i '} f3 _xi i = 1 Où N. sont l coordonnées € et Tl qui l'élément de référence ). 8

LN,.

fJ . hl 1 Y l ( 26 )

les fonctions d'interpolation des sont les paramètres classiques sur

et j :: 2.. ~ • 41 1

'j ~ l2.,

2 3 .

-5 4 1 4 1

-affeC?\eS aux noeuds sommets et aux noeuds milieux (

~J

En introduisant l'hypothèse de Kirchhoff on

al Aux noeuds sommets:

voir fig. 7 )

qJ2.t

iJillt ... ':'

+ W

{

'1

_}i

=

r

x ; , x i

} =

0 ( 27 )

fJ

Yi

+ W , y i = 1, 2, 3, 4

bl

Aux noeuds milieux

( 28 ) k = 5, 6, 7, B

S La

coordonnée le long du contour

(W,s

=

~ ~

)

au point

k

du déplacement

Ci)

W, s k

représente la dér i vée

transversal

w,

dont la variation est choisie cubique le long du

'''--'---''''

côté dont

k

est le point milieu

w _{, 8} k

=

-3/2.

l ... ( _{1 J}

w

_{, l}

.- w .) -

_{, J} 114 (

w

( voir Annexe

l

Avec

K

=

5, 6, 7, B

milieu des côtés

i j .

Où i j

=

1, 2, 3, 4

respectivement.

1 .. est la longueur

i j (

fig. 5 )

o

~n

varie linéairement le long des côtés " 2, " , ,

f3 k = 1/2. ( f3 .+ fJ .

n nI nJ

29 )

k

toujours égal

à 5, 6, 7, B

est milieu des côtés

1, 2, 3, 4

Le vecteur des variables nodales d'un élément DKQ est donc

<Un >. = < _{W 1}

e

x1

e

Y1

En posant

W 2 ex 2

~:L2""""

W 4 ; x 4 W,y

et

e

y = .. ~~

e

y4 > ( 30 )/ ( 31 ) ,---~--~-~~,-~~~,~-'""",...".---~ < . . ->-<~~~----~.-...-~._~

e

et

e

sont les rotations autour

des

axes

x

et y

x y

respectivement (fig.

4 ).

Ainsi nous avons établi des expressions de (

27 ) à (.31 )

qui

vont nous permettre de trouver des variables nodales temporaires

fJX!

et

f3_yi ( 26 )

en foncton des composantes du vecteur {

Un }.

Ce qui nous amène

à

écrire pour les fonctions d'interpolation

#

et

fJy :

ç,

T) ) >

J. {

Un } ( 32 )

ç,

T) ) >

Ou' < H

_>=<

Hl

_...

Hl 2

_>e

t

_<

H _{> r}

_{< H ... H}

1 1~ _>

_sont

x x x y y y

les douze composantes du nouveau vecteur d'interpolation obtnues-

à·~.-partir des coordonnées des noeuds et des

< N >. ( voir Annexe

I I

fonctions d'interpolation

i Hl

₌

_{3/2 (}

as·N s

-

as,N s

Hl

=

3/2

ds,N

_s -

ds,N

_B x y HZ

_{= bs,Ns}

+

_{bs,N s}

H2

_{= -N}

₊

_e

S

,N

5 +

es,Ns

( 33 ) x y 1 3

N -

(

_c

₅

_·N

₅

_{cs·N s}

H3

_{b .. N}

_be·N

s H

=

+

=

- -x 1 y !ci S

Les

fonctions

H4 HS Hb H4 HS , H6 ,

sont

obtenues

des

x' x' x' y' y y

expressions (

33 )

en remplaçant N

₁

par

N~

et les indices s et

5

par

Les

les

5

et

6

respectivement.

, 7 S 9 7

fonct10ns

H , H , H , H , x x x y

indices s et

5

par

6

et 7.

en remplaçant N

1

par N

4

et

E

f'

H10 _Hl1 _H12 _H10 _Hl1

_et

_H1Z

_{sont obtenues en remplaçant}

n 1n

x ' x ' x ' y ' Y Y

N

1

par N

3

et les indices

5

et s par

7

et

respectivement.

Les facteurs rentrant dans les expréssions (

33 )

sont :

x ..

1 J 2 2 2 CL

=

(1/4

x .. -

1/2 y .. )/1 .. .. I J IJ 1J

e

=

(-1/2

x

2 _{.+ 1/4 2 )/1}2 le I J Yij i j 3/4

x .

y . 1 j i J 1. ) 1 J 2

et

Avec

k = 5, 6, 7, S

pour les côtés

12, 23, 34, 41 (

fig. 7

Un calcul précis de < H

X _>

_{est présenté en Annexe II.}

Ainsi une combinaison des expressions ( 33 ) et ( 9 ) donne

[ B ] matrice reliant les gradients aux

variables nodales.

-Elle est égale à : < H _x,x

>

_{jll < H} x.'

ç

> + j12< H x ,1/ > [ B ] = < H _{y , y}

>

₌

_{j 21 < H y , ç} > + j22< H _{y ,1/} > <H _{x, y ; H Y,x}

>

_{jl1<Hy,ç> + j12<Hy ,1/>}

J

j _Zl< +j22 <

Où j .. sont les termes inverses de la matrice jacobienne de la

l J

transformation géométrique: [ j ]

= [

J ]-1.

[ J

[ _J

~

Nous avons donc :

[

x 12+ x34 + 1/ (X 12 + X34 ) y 21+

] =

X3Z+ X 4 l + E, (X12 + x 34 ) Y32 +

] ₌

[

J 11 J 12 ]

J 21 J 22

On tire les expréssions de j 11 ' j 12 / j 11 J₂₂ j12 - J 12 = _{det [J ]}

=

_{det [J} j 21 - J 21 j 22 J 11

=

_det [J ] = det [J

,

Où : det [J ]

=

J_{11 · J 22 - J 21} 0 J 12 et Xi j

=

Xi - X j et Yi j

=

Yi - Y j Les termes de < H 1:> / x,,> < H x/Tl > / Y34+ 1/ _{Y 12 + Y34}

]

=

Y41 + TI Y 1~: + Y:l4 ( 34 ) j 21 / j 22

)

] ] 35 et < H > y,1/ sont

fonctions de N. 1: etN. noElles sont définies en Annexe

II.

l ,':, l ,"

L'élément DKQ aura une matrice de rigidité définie par

. \.

,

l

1

l

1 ,\[ K ] = o -1-1 \ ' \, ' T [ B ] . [ D ]. [ B ]. det [ J ]. dE,. dT) 0 \!

i

cette'intégrale sera evaluée par la méthode de Gauss-Legendre nécessitant quatre points d'intégration ( 2x2 )

III 2- CONSTRUCTION DU VECTEUR CHARGE EQUIVALENT:

L'énergie potentielle pour une charge à distribution uniforme q suivant z s'écrit pour un élément: _z

U e

ext

=

qz

J

_Ae W dAe

=

< U _n >

L'interpolation de

w

n'étant pas définie sur l'élément lors de

-

-la formu-lation de sa matrice de rigidité, nous aurions pu choisir une interpolation linéaire simple de w pour le vecteur charge équivalent.

Ainsi donc, nous avons considéré une interpolation plus plus deux termes du complet

complète avec un polynôme quatrième ordre, soit

ç

q3

avec la formulation de la

cubique 3 et f, D,

matrice

ce qui apparai t plus cohérent de rigidité où des fonctions cUbiques ont été retenues pour w sur le contour de l'élément.

<

fe

>

=

q

J

1

J

1

<

N

>

det [J

]d~

di'

z -1 -1

( 36 )

Cette intégrale est évaluée numériquement et les fonctions < N >

sont données en Annexe

IV

III 3- CALCUL DES EFFORTS RESULTANTS

Le vecteur { M } des moments (Eq. 10 a) est lié au vecteur de courbure { E } par la matrice élastique [ Dr ] .

{ M }

= [

Dr ] { E } ( 37 )

Pour un point M de coordonnées x et y d'un élément, le vecteur { M } est obtenu connaisant le vecteur < U > : _n

{ M }

= [

Dr ] { E }

= [

Dr ] [ B (x ,y) ] { Un }

Des valeurs différentes sont obtenues le long des frontières des éléments.

-Dans notre programme, le calcul de

{

M } est effectué au

centre de gravité, et/ou aux noeuds sommets de l'élément et/ou au

milieu des côtés de l'élément.

III 4- CONSTRUCTION DE LA MATRICE MASSE

L'expression de la matrice masse élementaire s'obtient en

considérant le travail virtuel des forces d'inertie

OW

_{a .}

( 38)

avec

p:

Masse volumique

.. e ( ) U. i=l,4

1

Composantes du vecteur accélération dans le repère

local lié

à

l'élément.

Comme l'expression

37

,nous allons écrire

( 39)

N :Fonctions d'interpolation données en annexe IV.

{ti

e}T

= { ü , ' y . , ·w·

,ex'

e

_Y1

e

z}

Le travail des efforts d'inertie peut alors se mettre sous la

forme matricielle suivante:

La matrice masse élémentaire [ Me] est telle que

[ Me]

=

f

p

<

N > T

<

N >

dv

ve

Ayant une épaisseur constante:

(40)

(41 )

1 1

,~~

\ .

La flèche w ( x, y ) n'étant pas définie de manière

continue

sur l'élément DKQ, il est alors nécessaire dans ce cas de

choisir

une interpolation pour celle-ci. Un

po~yn~l!'e

Hermit:ien peut

ce rôle. Ce dernier est basé sur le quadrilatère

à

quatre

de continuité semi-C

1

_{qui a comme pôlynome de base}

jouer

noeuds

<

P

>

=

<

1 1; 11 1;2 1;11 112 1;3 1;211 1;112 _{11 3 1;311 1;11} 3 _>

Les fonctions de forme ainsi que

leur~

dérivées résultant' de

cette base p6lynomiale sont données en annèxe IV .

c.

L1l-\-h...r

l'Y) \.

~"

Z;-'

~

IV- TESTS NUMERIQUES DE L'ELEMENT DKQ:

Dans ce chapitre, nous allons présenter les ré sul tats de

plusieurs

test~

numériques standards pour la convergence du DKQ et

d'analyses de cas pratiques. Une comparaison avec des résultats

expérimentaux est faite pour certains exemples.

Les résultats des tests numér iques font intervenir un ou

plusieurs

éléments

DKQ.

Parmi

les

problèmes

étudiés

les

l(;-o,..pS?J?j,tions de

~obinson

sont incluses. Notre intéret porte sur

les déplacements et les efforts M , M , M . Ces derniers peuvent

x y xy

être évalués en neuf points par élément

(au centre de gravité,

aux noeuds sommets et aux milieux des côtés.

IV-l PATCH-TEST

La formulation. théorique assure la compatibilité de l'élément

DKQ car les variables

(3x

et

f3

_y

intervenant dans le

"principe"-"'~

variationnel" sont continues. Donc, le problème proposé en (fig.8)

-conf irme la compatibilité de l'élément. C'est un assemblage de

cinq éléments DKQ qui modélisent une plaque rectangulaire reposant

sur trois appuis ( en 1,2,

I_.J-~

Cette plaque est sollicitée aux

quatre coins de manière

à

générer une distribution ( théorique )

unitaire des efforts M , M

1

et M

x y xy

En résultat, nous obtenons

une répartition uniforme effective et unitaire pour

M

1

pour différente valeurs de

v

ainsi que pour

xy

géométries.

- 31 -M, M 1

et

x y

différentes

Y

1

JJ N

l

1

.0.-

1·-~.

5

6

13

L-Conditioni limitei ~ W·

0

OU~'l\oeUaS '.~ el 7

SoLlitÎ1otàon. : My

=

b QU~ noeuds

2

er

B

MI • .&. .. "',. IUIII",d .. . t 1

""1

""aJ

M.sQ

""li-

noeeud .. ct

2-M~ : - Q QUX ()oaud~ 1 et 8 p ~ -;

"

'lu oocCAd 8 ~

...

p Cl lJ

•

1(

Ré~,"tofS: M" :1\\) -.: M4~ .. 1 co tou1 pOlot du r~ctal)9le lindép&od.ot d~ V)

lPou("

Q;'ZO, b-::.IO.

E='COO.

h::l,wa:: 1'2..4B aVec.

IV-2 TEST DE ROBINSON :

-Dans cette partie, on s'intéresse aux deux problèmes proposés par Robinson. On prend un seul élément rectangulaire encastré le long d'un côté (fig. 9 ). les caractéristiques sont: largeur b =1 épaisseur h

=

0.05, E

=

107 , V

=

0.25. L'influence du rapport L/h

allant de 1 à 104 _{est étudiée pour deux types de}

sollicitations.L~ test A est défini par l'action de deux couples M

=

1 appliqués aux noeuds 2 et 3 pour la flexion génée. Le test

y

B est caractérisé par l'action de deux charges concentrées p

=

1

x

agissant en sens opposé aux noeuds 2 et 3 ( torsion génée ). les

valeurs obtenues pour W J suivant L /h sont reportées dans les

graphes des figures 10 et 11 pour les deux types de sollicitations.

-7

WX1000

100~---~

80

60

40

20

- + -

16R16(Ref)

+-.

OKQ

-j-

LORA

-B- QUA04-MSC/NASTRAN

o

L . . - - . . . L . - - - - L - - - - L _ - ' - - - - L - - - I . . . - . l . . - - . . . L . - - - - L - - - L -.--L _ _ ..L_-'--~

o

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

L/h

FIGURE 10- TEST A ( FLEXION GENEE) POUR

DIFFERENTS ELEMENTS A 4 NOEUDS

-WX1000

45~---~

- - 16R16

40 .

-+

LORA

35

30

25

20

15

10

5

-+-

OKa

~

aUAD4MSC/NASTRAN

O~~~--~~~--~~--~~~--~~~

. 0

1 2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13

L/h

Nous présentons les résultats d'une série d'analyse de

plaques carrées et rectangulaires encastrées et simplement

supportées, soumises à une charge concentrée au centre .Les

maillages sur un quart de plaque sont associés à un découpage en N

=

l, 2, 3, 4 et 8 sections identiques le long d'un côté. les

résultats obt~nus ( déplacement au centre et moments de flexion et

réaction ) sont comparés aux résultats que nous avons pu relever dans la littérature et concerant des éléments rectangulaires ou

quadrilatéraux à 12 D.L.( fig 12 et 13). Les solutions de

référence sont extraites de TIMOSHENKO

.(l'V-elL....s\)7""v-...:,.L,'-~

~ -\

Les Figures 14 à 20 concernent les variations et les erreurs

---sur le déplacement au centre en fonction du découpage suivant les

différentes configurations géométriques, le chargement et les

condi tions aux bords, alors que les figures 21 à 23 concernent l'erreur sur les moments de flexion ou de torsion significatifs.

-0.72 . - - - ,

0.69

0.66

Wc

0.63

- - 0 K

Q

W Analy.- 0.6116 0.6~--~----~--~----~--~----~--~ f

1

'---

2

.~

4-

5

-6

7

8

Wc

1 . 6 5 . . . - - - ,

1.5

1.35

1.2

1

2

3

4

5

6

7

Wc réf. - 1.266

N

1

~DKQ

-+-

LORA

-+-

QUAD4

-8-

QUS41

FIGURE 13-PLAQUE SIMPLEMENT APPUYEE

(b/a-1).CHARGE CONCENTREE.DEPLACEMENT CENTRAL

- 39

- - OKT(A)

-+-

OKT(B)

4--

OKQ

0/0

Erreur

35~---~

30

y

y

25

DKT(A) DKT(B)

x

c

x

20

y

15

DKQ

10

_c

x

5

OL----L----~==~====d===~----~--~

1

2

3

4

5

6

7

N.

8

0/0

Erreur

16~---~

~

OKT(A)

-+-

_DKT(B)

-+-

_OKQ

14

12

10

8

6

4

2

o~~·~----~----~----~----~----~---1

2

3

4

5

6

7

N

FIGURE 16-COMPARAISON SUR L'ERREUR DE LA

FLECHE ENTRE OKT ET DKQ.PLAQUE ENCASTREE CHARGE CONCENTREE (b/a-1)

- 41

Wc

2.1

1.9

1.7

1.5

'---_-'--_---L-_~ _ ___'_ _ _ _'____~ _ ___'

1

2

3

4

5

6

7

W analy. • 1.803

N

OKa

-t-

LORA

-+-

aUAD4

-8-

ACM

-*-

PIAN

Wc

1~---~

0.,8

~---0.6

b

c

y

a

W Analy. • 0.788

_N

_el

₂

_V=

_a,?>

_x

0.4 '--__

~

_

_ _ L . _ _ _ _ _ L _ _ _ _ _ ' _ _ _ ~ _ _ _ " _ _ _ _ _ '

1

2

3

4

5

6

7

8

N

- - OKa

-+-

LORA

4-

aUAD4

-8-

aUS4

--*"

ACM

FIGURE 17- PLAQUE ENCASTREE(b/a-2).

CHARGE ENCASTREE.DEPLACEMENT CENTRAL.

-"0

Erreur

10

---o~~---~---~

-10

-20

-30~--~----~--~----~--~----~--~

1

2

3

4

6

N

-

LORA

-t-

aUA04

-+-

ACM

-8-

aUS4

--*-

OKa

Wc

2.5

'1 ~ -N-2

2.3

b

w-0.3

c. A )(

2.1

1.9

1.7

1.

5

1 - - - : . - - 1 -_ _ --1--_ _ L - - - _ - - 1 -_ _ - L -_ _ L - - - _ - - - I

1

2

3

4

5

6

7

W réf. • 1.8.509

N

1

~

OKQ

-+-

LORA

-+-

PIAN

FIGURE 19-PLAQUE RECTANGULAIRE (b/a-3)

SIMPLEMENT SUPPORTEE SOUS CHARGE CONCEN-TREE. DEPLACEMENT CçNTRAL

. - 45

W

0.9~---~

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

L - - - _ - - ' -_ _ ....J.-_ _ L - - - _ - - - ' -_ _ ~ _ _ l . . _ _ _ _ l

1

2

3

4

5

6

7

8

N

W Analy.- 0.791

IMxyl

0.06

f-~

-~l

1

0.04

'1

0.02

o

-0.02

1

1 ₁ \1/ \l, .." _{' l '} ' l ' Mxy Analy.(b/a-1)-0.0609 Mxy Analy.(b/a-2)· -0.03 Mxy ~naly.(b/,.·3)· -0.Q9

2

3

4

. 1 1 1

5

6

7

N

--- b/

a-

1

-+-

b/

a-

2

--*-

b/

a-

3

FIGURE 21-PLAQUE SIMPLEMENT APPUYEE SOUS

CHARGE CONCENTREE REACTION AU COIN

-- 47

-\V

1·

~

OKQ

-+-

ACM

---*-

KA

%

Erreur sur R

16~---~ y R-12Mxy/PI

-

B

12

f

-I

..

8

4

2

3

4

5

6

7

8

9

N

10

My

0.2~---~

0.18

0.16

0.14

0.12

My Analy.(b/a-1)- 0.1267 My Analy.(b/a-2)- 0.164

---

---~---

_---...

\ My Analy.(b/a-3)· 0.168 0.1~--~----~--~----~----~--~--~

1

.2

3

4

5

6

7

N

~

b/a-1

-+-

b/a-2

--+-

b / 4

FIGURE 23-PLAQUE ENCASTREE SOUS CHARGE

CONCENTREE-MOMENT D'ENCASTREMENT (My)

- 49

,

--r-

IV.::4_P~A.QU~ fOQR~E_AyEf gEÊ.U~T~T_EXPEgI!:!EN!AQX_:

COUL et DAS ont proposé une méthode analytique et ont

accompli des essais expérimentaux sur un pont courbe simplement

supporté le long de deux rayons et soumis à trois types de charge

concontrées. Les données mécaniques sont celles d'un matériau en plexiglas et sont indiquées sur la Fig.( 24 ). Cette plaque a été

étudiée égalemertt par ALLWOOD et CORNES qui ont fourni des

résultats numériques en considérant un maillage de 60 éléments

hybrides quadrilatéraux à 12 D.L ..

Nous avons également modélisé

découpage régulier en 60 élements DKQ

la dalle

(10 x 6

cCLŒbe avec un

entièr~. Les résultats reportés sur les Figures

sur la plaque

25 à 27

concernent les variations des déplacements w le long du rayon

central pour les trois cas de charge concentrée Fig. 24 ) et

les variations des moments de flexion M et M le long du rayon

f· t

B A

~roy/

V

1 CoractùistiqIJe!): _E :r. 4.6 x. 105 _Ib/po2. h =O./ü8po V:: o. j j Cf\Ot"gements: PA -=p{)-=p(..

₌₁

_lb

FiS

2.4-_

PLAQUE COUf\8E. _{OONNE~S ET DEc.oUPAGE.}

-w/100,

po

1.7

1.2 '--_ _

. . J . - -_ _ - - ' - - -_ _ - - L -_ _ - - L . _ _ - - - - ' _ _ - - - '

7

8

9

10

11

12

13

rayon, po

Experience

-t-

OKa

w/100,

po

5

3

1~----~---~----~---~----~----~

7

8

9

10

11

12

13

rayon, po

Experie~ce

-+-

OKa'

-+-

Sol. Analytique

-B-

Eléments hybrides

FIGURE 26- PLAQUE COURBE.DEPLACEMENT

SUIVANT ABC- CHARGE AU POINT B

-

~-1

1-w/100,

po

5

3

1~· ----~---~----~---~----~---~

7

8

9

10

11

12

13

rayon, po

--

Experience

-t- OKa

Mt, Ib.po/po

1.2 , - - - ,

0.9

0.6

8

9

10

11

12

13

rayon, po

--

Experience

-+-

OKa

*""

Sol. Analytique

-tt-

Eléments hybrides

FIGURE 28- PLAQUE COURBE MOMENT Mt

SUIVANT ABC CHARGE AU POINT A

-Mt,lb.pO/po

0.8~---~

0.6

0.4

0.2

'---~---~---'---~----'

7

8

9

10

11

12

13

rayon, po

- - Experience

-t-

OKa

-*- .

Sol. Analytique

-8-

Eléments hybrides

FIGURE 29- PLAQUE COURBE. MOMENT Mt

-Mr,lb.po/po

0.4

0.2

0

7

8

9

10

11

12

13

rayon, po

---

Experience

-f--

OKa

-*-

Sol. Analytique

-B-

Eléments hybrides

FIGURE 30- PLAQUE COURBE.MOMENT Mr

SUIVANT ABC CHARGE AU POINT B

-Mt,lb.po/po

1.2~---~

0.8

0.4

o~----~----~----~---~----~----~

7

8

9

10

11

12

13

rayon, po

Experience

+-

OKa

Nous présentons sur la Fig. 32 les résultats de l'analyse statique d'une plaque encastrée sur un côté, de forme parallélipédique et soumise à une charge uniforme répartie. Les flèches obtenues en six points sont comparées aux valeurs obtenues avec l'élément rectangulaire ACM avec les éléments triangulaires DKT et HSM. L'élément rectangulaire conduit à une erreur de discétisation géométrique relativement importante et il est de plus incompatible.

-ELEMENT MAILLAGE POINT 1 DKT 4 X 4 0.304

*

(41], [42] ( 2 . 4 ) HSM 4 X 4 0.264 [41],[42'] (11.1) ACM 6 X 8 0.296 [25] ( 0 .3 ) DKQ 4

x

8 0.280 (6.1) VALEURS EXPERIMENTALES [25] 0.297 mo;II098 4 x

a

avec:

OKQ DEPLACEMENT TRAVERSAL

POINT 2 POINT

:3

POINT 4 POINT 5 POINT 6

0.198 0.113 0.121 0.056 0.023 ( 2 . 9 ) ( 6 . 6 ) ( 6 . 2 ) ( 0 . 7 ) ( 2 . 3 )

.

0.173 0.100 0.095 0.043 0.021 (15.2) (17.8) (26.4) (22.5) ( 5 . 5 ) 0.198 0.114 0.114 0.052 0.02 ( 2 . 9 ) ( 6 . 2 ) ( 6 . 2 ) ( 7 .1) (10.45) 0.202 0.114 0.114 0.053 0.02 ( 6 . 5 ) (6.2) ( 6 . 2 ) ( 7 .0) (10.45) 0.204 0.121 0.129 0.056 0.022

*

Pourcentage d'erreur (en valeur absolue) par rapport aux ~aleurs

experimentales.

FIGURE 32- PLAQUE ENCASTREE AVEC RESULTATS EXPERIMENTAUX.

CHAPITRE V

v-

COMPORTEMENT DE L'ELEMENT DKQ DANS LE DOMAINE DYNAMIQUE

Pour vérifier l'aptitude de l'élément à considérer les problèmes dynamiques, nous avons calculé dans ce chapitre les premières fréquences propres de deux structures pour lesquelles nous disposons de solutions analytiques ou expérimentales.

- La première structure considerée est une plaque carrée appuyée

simplement s~r les bords. Le tableau 1 donne les résultats

obtenus pour les modes (1,1), (1,3), (3,1) et (3,3) avec

différents maillages.

Il est à remarquer que notre élément présente une convergence satisfaisante vers la solution de référence.

- La seconde structure considérée est une plaque rectangulaire

encastrée sur tout le contour.

Nous pouvons également constater que les résultats concordent bien avec les solutions de référence.

* -

Présentation des deux exemples :

- Plaque carrée simplement appuyée sur tout le contour

E

=

la

f) h

₌

0,0 a

₌

1 v

₌

0,3 a _p 0,91575

=

a

- Plaque rectangulaire encastrée sur son contour

1

[1

L

=

0,18 l = 0,13 h

=

6 x 10-4 E

₌

2,07 X 10 ·11

-L

p

=

_0,3 p

₌

7700 L - 63

-CONCLUSIONS

Nous pouvons constater à travers la série de tests effectués

que l'élément (DKQ) évalué présente les caractéristiques

suivantes:

-Les résultats de l'élément DKQ pour l'analyse élastique

statique des plaques minces associée à la théor ie de Kirchhof f

sont performant~ et ce independamment du rapport longueur sur

épaisseur ( tests de Robinson )

-Le Patch-test est là pour verifier que la compatibilité de l'élément est assurée.

-Des rapports diverses pour des plaques rectangulaires

b/ a = 1, 2 , 3 présents dans l t analyse de celles-ci sous differents cas de charges et de conditions aux bords, donnent des résultats très fiables.

pqr

-Nous observons en fin, qu'un bon

le cas de plaque courbe et que

comportement est constaté

l'élément DKQ est très

intéréssant dans son comportement dans le domaine dynamique

( vibration libre ).

-En conclusion, nous pouvons remarquer que l'élément DKQ est très simple dans sa formulation et fiable e.t eff icace dans son comportement.

REFERNCES

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