2012-2013

ISA BTP, 1◦ann´ee ANN ´EE UNIVERSITAIRE 2012-2013

CONTR ˆOLE CONTINU

Suites num´eriques

Dur´ee : 1h30. Les calculatrices sont autoris´ees.

Tous les exercices sont ind´ependants.

Il sera tenu compte de la r´edaction et de la pr´esentation.

Exercice 1 Soient (en) et (εn) les suites d´efinies par

∀n ∈ N, en= n X k=0 1 k! et εn= en+ 1 n.n!. (on rappelle que pour tout n ∈ N∗, n! = 1 × 2 × · · · × n et que 0! = 1).

1. (a) ´Ecrire e0, e1, e2 et e3 sous forme ´etendue.

(b) Calculer e1− e0, e2− e1 et e3− e2.

(c) Montrer que, de fa¸con g´en´erale

en+1− en=

1 (n + 1)! et en d´eduire le sens de variation de la suite (en).

2. Montrer que la suite (εn) est d´ecroissante.

3. Montrer que lim

n→+∞εn− en = 0.

4. Montrer que les suites (en) et (εn) convergent et ont la mˆeme limite. On admettra que

cette limite commune est e.

5. Compl´eter l’algorithme Sage ci-dessous afin que la fonction e approx(n) renvoie une ap-proximation de e `a 10−n pr`es. def e approx(n): e = 1 k = 1 while 1/(k*factorial(k)) ... : e = ... k = ... return ... ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

Exercice 2 1. Soit (un) une suite v´erifiant (un) :  u0 > 0 un+1 = f (un) avec f : x 7−→ 3x + 1 2x + 1 (a) Montrer par r´ecurrence que un> 0 pour tout n ∈ N.

(b) Montrer que f est strictement croissante sur ]0, +∞[. (c) Montrer que f admet x∗ = 1+

√ 3

2 pour seul point fixe dans l’intervalle ]0, +∞[ et

dresser le tableau de signe de f (x) − x sur cet intervalle. (d) Sur le graphe ci-joint,

i. placer le point fixe de f ,

ii. dessiner le parcours de (un) dans le cas o`u u0 = 0.5,

iii. dessiner le parcours de (un) dans le cas o`u u0 = 2.

(e) On suppose ici que u0 ∈

i 0,1+ √ 3 2 h .

i. Montrer que pour tout n ∈ N, on a un∈

i 0,1+ √ 3 2 h . ii. Montrer que (un) est croissante.

iii. En d´eduire la nature de (un) et la valeur de sa limite.

(f) On suppose maintenant que u0 > 1+ √

3 2 .

i. Montrer que pour tout n ∈ N, on a un> 1+ √

3 2 .

ii. Montrer que (un) est d´ecroissante.

iii. En d´eduire la nature de (un) et la valeur de sa limite.

(g) Que dire de (un) si u0 = 1+ √

3 2 ?

2. Soit (vn) la suite d´efinie par

 v₀ = 3 vn+1= g(vn)

o`u

g : x 7−→ 1 + 1 2x. (a) Montrer que vn> 0 pour tout n ∈ N.

(b) Montrer que pour tout x > 0, on a g ◦ g(x) = f (x). (c) Montrer que les deux suites (an) et (bn) d´efinies par

∀n ∈ N, an= v2n et bn = v2n+1

sont associ´ees `a la fonction f .

(d) Montrer que (an) converge et donner sa limite.

(e) Calculer b0 et en d´eduire le comportement de la suite (bn).

(f) En d´eduire le comportement et la limite de (vn).

? ? ?

ISA BTP 1◦ann´ee Contrˆole continu 2012-2013 Nom : ... Pr´enom : ...

x

y

y

=

f

(

x

)

y

=

x

CORRECTION

Exercice 1 : 1. (a) e0 = 0 X k=0 1 k! = 1 0! e1 = 1 X k=0 1 k! = 1 0! + 1 1! e2 = 2 X k=0 1 k! = 1 0! + 1 1! + 1 2! e3 = 3 X k=0 1 k! = 1 0! + 1 1! + 1 2!+ 1 3! (b) e1− e0 = 1 0!+ 1 1! − 1 0! = 1 1! e2− e1 = 1 0!+ 1 1! + 1 2! −  1 0!+ 1 1!  = 1 2! e3− e2 = 1 0!+ 1 1! + 1 2! + 1 3! −  1 0! + 1 1! + 1 2!  = 1 3! (c) De fa¸con g´en´erale :

en+1− en= n+1 X k=0 1 k! − n X k=0 1 k! = 1 0!+ 1 1! + . . . + 1 n! + 1 (n + 1)! −  1 0! + 1 1! + . . . + 1 n!  = 1 (n + 1)!

2. Le sens de variation de la suite (εn) est donn´e par le signe de εn+1− εn. Or εn+1− εn = en+1+ 1 (n + 1).(n + 1)! − en− 1 n.n! = en+1− en+ 1 (n + 1).(n + 1)! − 1 n.n! = 1 (n + 1)! + n − (n + 1)2 n(n + 1)(n + 1)! = n(n + 1) + n − (n + 1) 2 n(n + 1)(n + 1)! = n 2 _{+ n + n − n}2_{− 2n − 1} n(n + 1)(n + 1)! = − 1 n(n + 1)(n + 1)! < 0 Donc (εn) est d´ecroissante.

3. εn− en=

1

n.n! −→ 0.

4. D’apr`es les trois questions pr´ec´edente, les suites (en) et (εn) sont adjacentes. Elles sont

donc toutes deux convergentes et ont la mˆeme limite. 5. def e approx(n): e = 1 k = 1 while 1/(k*factorial(k)) > 10**(-n) : e = e + 1/factorial(k) k = k + 1 return e ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? Exercice 2 : 1. (a) Soit P(n) : un> 0.

– Initialisation : par hypoth`ese u0 > 0. Donc P(0) est vraie.

– H´er´edit´_{e : supposons qu’il existe un entier n ∈ N tel que u}n> 0. Alors 3un+ 1 > 0

et 2un+ 1 > 0 et

un+1 = f (un) =

3un+ 1

2un+ 1

> 0 comme quotient de deux termes strictement positifs. Donc P(n + 1) est vraie.

– Conclusion : P(n) ´etant vraie pour n = 0 et h´er´editaire, elle est vraie pour tout n ∈ N.

(b) f est d´erivable sur ]0, +∞[ et

∀x ∈]0, +∞[, f0(x) = 3(2x + 1) − 2(3x + 1)

(2x + 1)2 =

1

(c) Pour d´eterminer les points fixes de f , on r´esout l’´equation f (x) − x = 0 : f (x) − x = 0 ⇔ 3x + 1 2x + 1 − x = 0 ⇔ 3x + 1 − x(2x + 1) 2x + 1 = 0 ⇔ −2x 2_{+ 2x + 1} 2x + 1 = 0

Les points fixes de f sont donc les racines du polynˆome −2x2 _{+ 2x + 1. Un}

cal-cul de discriminant donne deux racines x1,2 =

1 ±√3

2 dont une seule est

posi-tive : x∗ = 1 + √

3

2 .

D’autre part, un polynˆome ´etant du signe de son coefficient dominant `a l’ext´erieur des racines, on en d´eduit le signe de f (x) − x :

f (x) − x ( > 0 si 0 < x < 1+ √ 3 2 < 0 si x > 1+ √ 3 2 (d)

x

y

y

=

f

(

x

)

y

=

x

x

∗

0

.

5

2

L´egende

:

i

.

ii

.

iii

.

(e) i. D’apr`es la question 1a, un > 0 pour tout n. Il suffit donc de montrer que si

u0 < 1+ √

3

2 , alors un< 1+√3

2 pour tout n. Or, l`a encore, la d´emonstration se fait

par r´ecurrence en appliquant la fonction f (croissante) `a l’in´egalit´e un < 1+ √

3 2

et en exploitant le fait que x∗ = 1+

√ 3

2 est un point fixe de f .

ii. D’apr`es l’´etude du signe de f (x) − x, on sait que f (x) − x > 0 sur i0,1+

√ 3 2

h . Donc pour tout n ∈ N, on a

Donc (un) est croissante.

iii. ´Etant croissante et major´ee (par x∗), la suite (un) converge. Puisque f est

conti-nue, (un) converge n´ecessairement vers un point fixe de f . Donc

lim

n→+∞un=

1 +√3

2 .

(f) i. Comme pour les questions pr´ec´edentes, on r´epond `a cette question par un rai-sonnement par r´ecurrence en exploitant le fait que f est croissante et que 1+

√ 3 2

est un point fixe de f .

ii. Puisque f (x) − x < 0 suri1+

√ 3 2 , +∞

h

, la diff´erence un+1− unest n´egative pour

tout n ∈ N et (un) d´ecroit.

iii. (un) est d´ecroissante et minor´ee donc elle converge. Sa limite est un point fixe

de f , donc l`a encore lim

n→+∞un = 1 +√3 2 . (g) Puisque x∗ = 1+ √ 3

2 est un point fixe de f , on montre ais´ement par r´ecurrence que si

u0 = x∗, la suite (un) est constante ´egale `a x∗.

2. (a) Par r´ecurrence en exploitant le fait que si vn> 0, alors vn+1 = 1 +_2vn1 > 0.

(b) ∀x > 0, g ◦ g(x) = g(g(x)) = g  1 + 1 2x  = 1 + 1 2 1 + _2x1
= 1 + 1 2 + 1_x = 1 + x 2x + 1 = 2x + 1 + x 2x + 1 = 3x + 1 2x + 1 = f (x) (c) Pour tout n ∈ N, on a an+1= v2(n+1) = v2n+2 = g(v2n+1) = g(g(v2n)) = f (an).

(an) est donc bien associ´ee `a la fonction f .

De mˆeme,

bn+1 = v2(n+1)+1 = v2n+3 = g(v2n+2) = g(g(v2n+1)) = f (bn).

(d) D’apr`es la question 1, le comportement de (an) d´epend de la position de a0 = v0 = 3

par rapport `a x∗. Puisque 3 > 1+

√ 3

2 , on se r´ef`ere au traitement de la question 1f

pour conclure que an → 1+ √

3 2 .

(e) Comme `a la question pr´ec´edente, le comportement de la suite (bn) d´epend de la

valeur de b0. Or b0 = v1 = g(3) = 7₆ < x∗. Donc (bn) converge vers x∗.

(f) Les deux suites extraites (v2n) et (v2n+1) convergent toutes deux vers x∗. Puisqu’`a

elles deux elles recouvrent l’ensemble des termes de la suite (vn), on en conclue que

(vn) converge ´egalement vers x∗.

? ? ?