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Séries entières

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Academic year: 2021

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Texte intégral

(1)

Séries entières. PSI. Janvier 2008.

Exercice 1 Pour tout n ∈ N∗, on note

fn(x) = (−1)n

x2n+1

4n2− 1

1. Déterminer le rayon de convergence R de la série entière Pn>1fn(x). La série

converge-t-elle pour x = R, x = −R 2. Montrer que ∀ x ∈ R, |x| < 1 ⇒ ∞ X n=1 fn0(x) = −x arctan x 3. En déduire la somme f = P∞ n=1fn.

Exercice 2 Donner le rayon de convergence de chacune des séries suivantes, puis en s'ai-dant des DSE des fonctions classiques, donner les fonctions sommes correspons'ai-dantes :

a) X n>1 (−1)nx 4n−1 4n , b) X n>0 n2+ n + 1 n! x n . Exercice 3 Soit f(x) = 5x3− 2x2+ x (1 − 2x)(1 − 3x)(1 − x)2.

1. Déterminer les réels a, b, c et d tels que pour tout x ∈ R\{1/3, 1/2, 1}, on ait f (x) = a 1 − 3x + b 1 − 2x + c 1 − x+ d (1 − x)2.

2. En déduire le développement en séries entières de f au voisinage de 0. On précisera le rayon de convergence de la série obtenue, ainsi que le domaine de validité de ce développement.

(2)

Exercice 4 Pour tout n ∈ N∗, on note f n(x) =

xn+1

n(n + 1) et l'on note f la somme P fn. 1. Calculer le rayon de convergence de la série P fn.

2. Montrer que f est continue sur [−R, R] et dérivable sur ] − R, R[. 3. Donner une expression simple de f0 puis de f sur ] − R, R[.

4. En déduire l'égalité

X

n>1

(−1)n+1

n(n + 1) = 2 log 2 − 1.

Exercice 5 Pour tout x 6= 1, on note f(x) = ex 1 − x.

1. Montrer que f est développable en série entière au voisinage de 0. On note P+∞

n=0anx

n ce développement et R son rayon de convergence.

2. Montrer que ∀n ∈ N, an = n X k=0 1 k!.

3. Montrer que R = 1 et que pour tout x ∈] − 1, 1[, on a f (x) = n X k=0 anxn. Exercice 6 Soit S(x) = +∞ X n=2 n n2− 1x n.

1. Déterminer le rayon de convergence R de S.

2. Exprimer S(x) à l'aide des fonctions usuelles. (On pourra décomposer n n2− 1 en

éléments simples et se ramener au DSE classiques). 3. La série converge-t-elle pour x = ±R ?

(3)

Exercice 7 On considère la série entiere Pn>0fn(x)où fn(x) = n+11 2nnxn+1. (On notera

f sa somme).

1. Calculer son rayon de convergence. 2. Etablir l'égalité 2 n + 1 2n n  = 42n n  −2n + 2 n + 1  .

En déduire une équation diérentielle linéaire du premier ordre vériée par f. 3. Résoudre cette équation pour obtenir une expression de f(x) à l'interieur de

l'inter-valle de convergence.

Exercice 8 Soit (an)n∈N la suite récurrente dénie par

( a0 = a1 = a2 = 1

an+1= an−

an−2

2(n + 1)

1. Montrer que la suite (an) est décroissante et que la suite (nan) est croissante.

2. En déduire le rayon de convergence de la série P anxn.

3. Soit f la somme de la série entière P anxn. Montrer que f est solution d'un équation

diérentielle à déterminer.

4. En déduire une expression de f à l'aide des fonctions usuelles.

Exercice 9 1. On considère le problème diérentiel suivant : (S) :  (E) : xy

00+ 2y0+ xy = 0

(CI) : y(0) = 1

(a) Montrer qu'il existe une unique solution de (S) développable en série entière au-tour de 0. (On pourra chercher y sous la forme y(x) = Pn>0anxn, et déterminer

des conditions sur la suite (an).

(b) Quel est l'intervalle de dénition de y ? (c) Calculer y.

2. Mêmes questions avec le système (S0) :  x

2y00+ 4xy0+ (2 − x2)y = 1

y(0) = 1/2, y0(0) = 0

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