Problèmes de contrôle et équations hyperboliques non-linéaires

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Problèmes de contrôle et équations hyperboliques

non-linéaires

Perrollaz Vincent

To cite this version:

Perrollaz Vincent. Problèmes de contrôle et équations hyperboliques non-linéaires. Equations aux

dérivées partielles [math.AP]. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2011. Français.

�tel-00872271�

Universit´

e de Paris VI Pierre et Marie Curie

U.F.R. de Math´

ematiques

Probl`

emes de contrˆ

ole et ´

equations

hyperboliques non-lin´

eaires.

TH`

ESE

pr´esent´ee et soutenue publiquement le Vendredi 9 D´ecembre 2011

pour l’obtention du diplˆ

ome de

Doctorat de l’universit´

e Paris VI Pierre et Marie Curie

(sp´

ecialit´

e math´

ematiques)

par

Vincent PERROLLAZ

sous la direction d’Olivier Glass

aprèsavisdes rapporteurs:

Andrea MARSON

Marius TUCSNAK

devant le jury compos´

e de

Jean-Pierre RAYMOND

Pr´esident du jury

Fatiha ALABAU-BOUSSOUIRA Examinateur

Jean-Michel CORON

Examinateur

Olivier GLASS

Directeur de th`ese

Emmanuel TR´

ELAT

Examinateur

Marius TUCSNAK

Rapporteur

Remer iements

Jetienstoutd'abordàremer iermondire teurdethèseOlivier Glass,pour sadisponibilitésans failleduranttoute laduréede mathèse,pour son almeolympien fa eàtoutes mesdigressions, pour lesérieux ave lequel il a her hé à répondreà toutes mes questions, aussi naïves qu'elles aientpuêtreetennpouravoirtoujoursfaitsemblant deme roirequandjeluidisaisquej'avais presquenide taper unarti le etquej'allaislelui envoyer avant lande lasemaine.

Je suis également très re onnaissant à Jean-Mi hel Coron d'avoir a epté de faire partie de mon jury mais aussi de m'avoir introduit dans le domaine du ontrle des EDPs lors de mon stagede master2etenn pouravoir ontinué à s'intéresser àmontravail et àmeprodiguer ses en ouragements etses onseils avisés.

Andrea Marson et Marius Tu snak ont gra ieusement a epté de rapporter ma thèse et je les remer ie pour le temps qu'ils y ont onsa ré et pour les remarques bienveillantes dont ils m'ont gratié. Je suis enn très heureux que Fatiha Alabau-Boussouira, Jean-Pierre Raymond etEmmanuel Trélat m'aient fait l'honneurde parti iper à monjury.

Je tiens également à remer ier les enseignants sans lesquels je n'aurais sans doute pas été amenéàréaliser etravail:Jean-Lu Bris houxquifutmonprofesseurdemathématiquesdurant mestroisannéesdely éeetbiensûraussiNi olasTosel quim'a transmisdénitivement legoût desmathématiquesenmathsspé.JesuiségalementredevableàBenoitPerthameetYvonMaday dem'avoir (ré)orienté versl'étudedes EDPslorsque j'étaisà l'ENS.

J'aieula han edebéné ierdurant esannéesdethèsedelatrèsbonneambian eduLJLL, etje tiens à remer ier parti ulièrement mes amarades de bureau (Charles, Mamadou, Ni ole, Dorian,Anne-Céline,MayaetépisodiquementLise-Marie),mesan iens amaradesdeChevaleret (Étienne, Rim, Thomas, Ja ques, Ni olas R., Ni olas L., Alexandra, Cu , Baver, Sylvain), les piliersduGTT(donttouslesorganisateurssu essifs)et plusgénéralementtoutesles personnes que j'ai pu toyer. Un grand mer i à Laurent, la syn hronisation de ma thèse ave sa HDR m'a permis de proter de son expertise administrative et ainsi de ne pas me perdre dans les paperasses, les délais, les signatures à obtenir, et d'éviterainsi la rise de nerf qui a ompagne toutes es joyeusetés.

Je souhaiteégalement remer ier Floren e,Salima, MmeBouli etMmeRupre ht dont l'e- a itém'a permisde ne onsa rerque le stri t minimum de montemps etde mes eorts à des tâ hes administratives. Christian David a réalisé toutes les impressions, dépannages et autres oup de mains multiples dont j'ai pu avoir besoin ave un soin etune élérité dont j'aurais été bienin apable etbien entendu sansjamais sedépartir de sabonne humeur, qu'il en soit i i re-mer ié.Ennun grandmer iàKhash pour touslesservi esinformatiquesqu'ilapumerendre, maisaussitoutsimplement pour êtreun ex ellent ami.

Je ne peux bien évidemment pas manquer de saluer les membres de la ommunauté du ontrle (et non pas les spé ialistes de la poussette- anne omme ertaines mauvaises langues nous appellent) ave lesquels j'ai le plaisir d'é hanger lors des nombreux séminaires (qui a dit goûters?), olloques,é olesd'étéetautrestrimestresIHP,ainsietenvra je iterais:Marianne, Mathieu, Pierre, Malik, Peipei, Zhiqiang, Sergio, Eduardo, Camille, Morgan, Julien, Ja ques, Sébastien, Sylvain, Julie, Karine, Romain, Jérme, Khai, Fabio, Thierry... je pourrais en ore ontinuerlongtemps tant ette ommunautéest a ueillante et haleureuse maisj'en oublierais toujours.Que eux queje n'aipas itésne m'en tiennent pastroprigueur.

Jesalueégalementtoutelabandedes astors(ilssere onnaitront)etjelesremer iepourtous lesbonsmomentspassésàParis,àToulouse,en Bourgogne,dansl'Aveyron...et emalgré l'éloi-gnement géographiquede esdernièresannées (provin epour ertains,20earrondissement pour

quel'on a puavoir, etlesautres pour leurtoléran e visàvisde esmêmes onversations. Je tiens aussi à saluer le petit groupe de Haut-Savoyards (et Savoyards) expatriés à Paris et grâ e auquel je me souviens que, oui, les montagnes existent vraiment, et pas seulement la montagne Sainte-Geneviève etles Buttes-Chaumont.

Pour nir,jesouhaiteexprimertoutemagratitudeàmamère,monpèreetpluslargementà mafamille pour m'avoir onstamment soutenu pendant toutes esannées d'étudeset e malgré leur perplexitéquant à" equ'il pouvait bienresterà trouver enmath...".

Cequej'aimedans lesmathématiquesappliquées, 'estqu'ellesont pourambition de donnerdu monde dessystèmesunereprésentationqui permette de omprendre et d'agir.Et, detoutes les représentations, lareprésentationmathématique,lorsqu'elleest possible,est ellequiest laplus souple etlameilleure. Ja ques-Louis Lions

Introdu tion générale 1

1 Théorie du ontrle . . . 1

1.1 Des ription mathématique de deuxproblèmes. . . 1

1.2 Contrle etéquations auxdérivéespartielles. . . 2

2 Résultats prin ipaux de lathèse. . . 3

2.1 Équation deCamassa-Holm . . . 3

2.2 Lois de onservation s alairesetsolutions entropiques. . . 7

3 Méthodologie. . . 15

4 Perspe tives . . . 21

Chapitre 1 Problème mixte et stabilisation de Camassa-Holm. 1.1 Introdu tion . . . 25

1.1.1 Origins of theequationand presentation oftheproblems . . . 25

1.1.2 Results . . . 27

1.2 Initial boundary valueproblem . . . 29

1.2.1 Strategy . . . 29

1.2.2 The operator

F

. . . 30

1.2.3 The domain . . . 33

1.2.4 Continuity of

F

and propertiesof thexedpoints . . . 34

1.2.5 Uniqueness . . . 36

1.3 Stabilization . . . 37

1.3.1 Strategy . . . 38

1.3.2 Existen e of a solutionto the losed loop system . . . 39

1.3.3 Stabilization and global existen e . . . 43

1.4 Initial boundary valueproblemfor a lineartransportequation . . . 44

1.4.1 Properties of theow . . . 44

1.4.3 Weak solutions . . . 47

1.4.4 Uniquenessof theweaksolution. . . 48

1.4.5 Additionalproperties of

y

. . . 49

Chapitre 2 Contrlabilité des lois s alaires. 2.1 Introdu tion . . . 53

2.2 Statement of the results. . . 55

2.3 Control toward a onstant.. . . 58

2.4 Proofof Theorem 9. . . 62

2.5 Proofof Theorem 7. . . 64

2.6 Proofof Theorem 8. . . 65

2.7 Wave-front tra king approximations. . . 68

Chapitre 3 Stabilisation des lois s alaires. 3.1 Introdu tion. . . 73

3.1.1 Generalities andprevious results. . . 73

3.1.2 Results. . . 75

3.2 Cau hyproblemfor the losed loopsystem. . . 79

3.3 Generalized hara teristi s and boundary onditions. . . 85

3.4 Proofof Theorem 10 . . . 97

3.5 Proofof Theorem 11 . . . 102

1 Théorie du ontrle

Lathéoriedu ontrletrouvesesoriginesdansdesproblèmesd'ingénierie on retsquiétaient au départrésoluspardesméthodesempiriques.Lapremièreappro he mathématiquedesproblèmes de ontrle est sans doute à trouver dans l'arti le de J. C. Maxwell [85℄ datant de 1867. Il y dé ritmathématiquement lespropriétésdestabilisationdurégulateurdeWattquiétaitemployé entre autres danslesma hines à vapeur.

1.1 Des ription mathématique de deux problèmes.

Considéronsunsystème dynamiquegénéral :

( ˙

_{X(t) = F (X(t), U (t)),}

X(0) = X

0

,

(1)

où

X ∈ X

désignel'étatdusystèmeet

U ∈ U

le ontrle.Unaspe t lédel'analysemathématique onsistera à bien hoisir l'espa e des états

X

et l'espa e des ontrles

U

. Dans la pratique, le système dynamique (1) sera une équation diérentielle ordinaire ou une équation aux dérivées partielles d'évolution. L'idée estde modéliser un système physique représentépar l'état

X

,sur lequelona uneinuen eviale ontrle

U

.Laquestionestde savoir ommentutiliserle ontrle pour obtenir un omportement souhaité dusystème. Dans ette optique, on va introduire deux problèmes lassiques(parmi d'autres)de lathéorie du ontrle.

1. Leproblèmeleplusnaturelest eluidela ontrlabilitéexa te.Ils'agitd'amenerlesystème dansunétatdésiréenuntempsxéetdepuisunétatinitialquel onque.Pluspré isément, pour deux états

X

0

∈ X

et

X

1

∈ X

et un temps

T > 0

, il faut trouver un ontrle

t ∈ [0, T ] 7→ U (t) ∈ U

tel quelasolutionde (1) satisfait

X(T ) = X1

.

2. Supposons maintenant l'on ait un état

(Xe, Ue) ∈ X × U

tel que

F (Xe, Ue) = 0

. C'est à dire qu'on a un état d'équilibre du système. Ce sont dessolutions naturelles importantes de (1). Cependant on ne peut dans la pratique observer que les états d'équilibre stables du système.C'est le aspar exempledupendulesimple pour lequell'état d'équilibrehaut n'est jamais observé dans la nature, ar il s'agit d'un équilibre instable. Pour ompenser e défaut,on pourrait her herun ontrle

t ∈ [0, T ] 7→ U (t) ∈ U

tel quelasolution de(1) satisfait

X(T ) = X

e

etque

U (T ) = U

e

.Cependant, etteméthodesoured'undéfaut,elle

esttrèssensibleauxperturbationsetauxin ertitudes:surlemodèle,surle ontrleousur la onnaissan e de l'étatinitial. Pour desquestionsde robustesseon luipréféreradon un ontrle en bou le fermée. Plus pré isément le problème de lastabilisation asymptotique demande detrouverunefon tion

U

: U → X

,satisfaisant

U

(Xe) = Ue

ettelle que,pour le systèmediten bou lefermée :

( ˙

_{X(t) = F (X(t), U(X(t)))}

X(0) = X

0

,

(2)

l'état

Xe

soit asymptotiquement stable. Rappelons que ela signie qu'on a les deux pro-priétés suivantes.

•

Pour tout

ǫ > 0

,il existe

ν > 0

tel quesi

X0

est unétat satisfaisant

||X0

− Xe|| ≤ ν

etsi

X

estune solutionmaximale de (2) ,alors elle est globaleen tempset satisfait:

∀t ≥ 0,

||X(t) − Xe|| ≤ ǫ.

•

Pourtoutétatinitial

X

0

,unesolutionmaximalede(2)estglobaleentempsetsatisfait,

||X(t) − Xe|| →

t→+∞

0.

Onaénon éi ilespropriétés globalesde stabilisationasymptotiqueetde ontrlabilité exa te. Desvariantes diteslo ales existentlorsque lesdonnéesinitiales(etnales pour la ontrlabilité) ne sont prisesquedansde petitsouverts.

Dansles as où le système dynamique(1) est régi par une équation diérentielle ordinaire, lathéorieest désormaismûre etdeste hniques robustesexistent (voir par exemple[96 ℄, [34 ℄).

1.2 Contrle et équations aux dérivées partielles.

Con ernant l'étudedesproblèmes de ontrlabilité exa teetdestabilisation asymptotiquedans le adre des équations aux dérivées partielles, les ontrles agiront le plus souvent via les don-nées au bord et sur une partie de elui- i, ou éventuellement omme un terme sour e lo alisé dansunsousdomaine.Plusieursméthodesgénéralesexistentpourleséquations linéaires.Parmi les méthodes dire tes on itera la méthode de ontrlabilité par extension de Russell [92℄ dont une variante non-linéaire sera partiellement utilisée dans le hapitre 2. Une autre méthode très généraleestlaméthodeHUMdeLions etRussellquipro èdepardualité.L'élément essentielen est l'équivalen e entre la propriétéde ontrlabilité sur une ertaineE.D.P. et l'existen ed'une inégalité d'observabilité sur le système adjoint. On rempla e ainsi un problème non standard onsistant à trouver une fon tion, par un problème standard onsistant à établir une ertaine inégalité, enouveauproblèmen'étantpasfa ilepourautant.Onpourra onsulter[78 ℄pourplus dedétails.Ilfaut noterpar ontrequedenombreusesméthodes(dépendantdel'E.D.P. onsidé-rée)peuvent êtreutiliséespourmontrer l'inégalité d'observabilité :par exempleles inégalitésde Carleman, laméthode desmultipli ateurs, l'analysemi rolo ale...

Pour ontrler/stabiliserune équationauxdérivéespartiellesnon-linéaire, une premièreidée est de s'appuyer sur les méthodes linéaires. Si l'équation linéarisée est ontrlable/stabilisable, onpeutespérerobtenir despropriétéslo ale de ontrle/stabilisationsurl'équationnon-linéaire par exemplevia une méthode depoint xe.Cependant,ilest important de remarquerque ette ondition est seulement susante. En eet,il peut arriver dans ertains asque le linéarisé ne

lesystèmenon-linéaire, lui,l'est. Lesproblème abordésdans e manus rit appartiennent tous à ette atégorie. Diérentes méthodes existent pour utiliser la non-linéarité (voir en parti ulier lelivre [34℄). Nousallons dé rire, pour lesystème (1), laméthode duretour queJ.-M. Coron a introduite dans[33℄etqui est elleque l'onutilisera danslasuite.

Laméthode onsisteàtrouverunetraje toireparti ulière

( ¯

X, ¯

U )

de(1)(autrequela traje -toire stationnaire

(Xe, Ue)

) tellequel'on ait

¯

X(T ) = ¯

X(0) = Xe

et

U (T ) = ¯

¯

U (0) = Ue,

maisaussiquelesystèmelinéarisé lelongde ette solution:

( ˙

_{X(t) = ∂X}

_{F ( ¯}

_{X(t), ¯}

_{U (t))X(t) + ∂U}

_{F ( ¯}

_{X(t), ¯}

_{U (t))U (t),}

X(0) = X0,

(3)

soit ontrlable. On peut alors généralement en déduire un résultat de ontrlabilité lo ale au voisinage de

Xe

. Dans le as où la linéarisation est problématique ( e qui sera le as dans les hapitres 2 et3), ondemandera pluttque ertaines propriétés assurant la ontrlabilité soient satisfaitesprèsde

( ¯

X, ¯

U )

.Intuitivement elasigniequemêmesilesétatsinitiauxetnauxsont petits,iln'yapasderaisonpourquelatailledesétats intermédiairessoientfor ément dumême ordre. Cette méthode a été utilisée ave su ès pour résoudre des problèmes de ontrlabilité exa teetdestabilisationasymptotiquedansdenombreux as:l'équationd'Eulerin ompressible endeuxdimensions([37℄,[38℄,[59℄)etendimension3[60℄,l'équationdeCamassa-Holmsurletore [58℄,lesystèmed'Euler isentropique [57 ℄,l'équationdeNavier-Stokes[40 ℄,l'équation deBurgers ([69℄,[20℄,[72℄),l'équationde Saint-Venant [36 ℄,lesystèmedeVlasov-Poisson[61 ℄,l'équationde S hrödinger ([13 ℄,[14℄), l'équationdeKorteweg-de Vries[21 ℄ etdessystèmes hyperboliques [39 ℄. Pour tout e qui on erne ette partie onpourra onsulter [35 ℄.

2 Résultats prin ipaux de la thèse.

Nousallonsmaintenant présenter les prin ipaux résultatsobtenus durant lathèse.

2.1 Équation de Camassa-Holm

Dansle hapitre1,ons'intéresseauproblèmemixtenonhomogène,àla ontrlabilitéexa teetà lastabilisationasymptotiquedel'équationdeCamassa-Holm surunintervalle.Danslapratique ontravaillera sur

(0, 1)

maislesrésultatss'étendent lairementàunintervalle bornéquel onque. Ave

κ

unnombre réell'équation Camassa-Holm s'é rit :

∂tv − ∂

_txx

3

v + 2κ∂xv + 3v∂xv = 2∂xv∂

_xx

2

v + v∂

_xxx

3

v

ave

(t, x) ∈ (0, T ) × (0, 1).

(4)

Cette équation dé ritdes ondesunidimensionnelles se propageant à lasurfa e de l'eau sous l'a tiondelagravitélorsquelaprofondeurd'eauestpetite.Lafon tion

v(t, x)

représentelavitesse de l'onde au point

x

età l'instant

t

. Mais d'après Camassa etHolm [22℄ la fon tion représente aussil'élévationdelasurfa ed'eaudansl'approximationd'eaupeuprofonde.L'équation(4)aété introduitepourlapremièrefoisparFokasetFu hssteiner[56℄entantquemodèlebi-Hamiltonien. Ce n'est que plus tard qu'elle a étéutilisée pour modéliser la propagation d'ondes à la surfa e del'eau par Camassa etHolm [22℄,etlelong d'unetigerigide ylindrique par Dai[48℄.

[29 ℄, [32℄, [56℄, [76 ℄). Cependant, (4) modélise aussi un nouveau phénomène via l'apparition de singularitésentempsni: 'estledéferlementdesvagues.Ainsi,dans

H

s

_(T)

(

s >

3

2

)lessolutions développent dessingularités entemps nide façon générale([26℄,[27 ℄, [28 ℄).

Le problème de Cau hy asso ié à l'équation (4) posée sur le tore ou sur la droite a été beau oupétudié esdernières années([17 ℄, [23 ℄ ,[30 ℄,[49 ℄, [50 ℄,[67 ℄,[79 ℄,[98 ℄). Il ya par ontre beau oupmoins de résultats on ernant le problème mixte. Le as homogène, 'est à dire ave

v = 0

aux bords, a été traité grâ e à des arguments de symétrie dans [53 ℄ et de manière plus générale dans [54 ℄. Et un as parti ulier du problème non-homogène sur la droite entière est onsidéré dans [101 ℄ : la" ondition au bord" onsistant à demander qu'il existe une onstante

C

telle quel'on ait:

∀t ≥ 0,

v(t, x)

→

|x|→+∞

C.

Dupointde vuede lathéoriedu ontrle, denombreux résultatsexistent pour l'équationde KdV([6 ℄, [24℄,[25℄, [41 ℄,[42℄,[63 ℄, [64 ℄,[90℄,[91 ℄, [93 ℄,[94℄,[100 ℄). En omparaison les premiers résultats on ernant(4)ontétédonnésparO.Glassdans[58℄.Ilyprouveenutilisantun ontrle distribué surun intervalle arbitrairedu er le:

•

la ontrlabilité exa tedans

H

s

_(T)

pour

s >

3

2

en temps arbitraire,

•

lastabilisationasymptotiquedel'état

v = −κ

dans

H

2

_(T)

viauneloideretourstationnaire à valeursdans

H

−1

_(T)

.

Pour l'équation (4) posée surun intervalle, après avoir montré que l'on a une bonne notion de solutionfaiblepourleproblèmemixte,lerésultatdeGlassde ontrlabilité exa tesurletorevia un ontrle distribué sur unintervalle

ω

assurequel'on a ontrlabilité exa te surunintervalle enutilisant des ontrlesagissant surlesbords:ilsut d'identier

(0, 1)

à

T

\ ω

.Par ontreon ne peutpasfaire de même pour trouverune loide retour stationnairestabilisant

−κ

.

Avant d'expli iter nos onditions au bord pour (1.1), remarquons que l'équation (1.1) peut être reformulée en :

(

∂ty + v∂xy = −2y∂xv,

y − κ = (1 − ∂

_xx

2

)v.

(5)

Sous ette forme, l'équationde Camassa-Holm aune analogie au moinsformelle ave la formu-lationde l'équationd'Euler utilisant lavorti ité

ω

:

en dimension 2:











∂tω + (U.∇)ω = 0,

div

U = 0,

rot

U = ω,

(6)

eten oreplus endimension 3 :











∂tω + (U.∇)ω = (ω.∇)U,

div

U = 0,

rot

U = ω.

(7)

On a un ouplage entre une équation de transport et une équation stationnaire elliptique. Le problèmemixte pour etteéquation aétéétudié dans[99℄pour le as2Det[74℄pourle as3D, et le problème de la stabilisation asymptotique dans [37℄ et [59℄ pour le as 2D. On a her hé à adapter leurs méthodes à notre as, sa hant qu'on a un terme d'étirement dans l'équation de transport à l'instar du as d'Euler 3D, mais que la géométrie du problème est plus simple.

la donnée de la omposante normale de la vorti ité sur la partie du bord où du uide rentre (

{U (t, x).n(t, x) < 0}

), alors que dans notre as (resp. pour Euler 2D) on a une équation de transport s alaire etla donnéeau bord est

y

( resp.

ω

pour Euler 2D)sur lapartie du bord ou duuiderentre :

{(t, 0) | vl(t) > 0} ∪ {(t, 1) | vr(t) < 0}

(resp.

{U (t, x).n(t, x) < 0}

).

Introduisonsmaintenant desdénitions né essairesà l'énon édesrésultats. On hoisit

T

un nombrestri tement positif. Danstoute ettepartie onnotera

ΩT

= [0, T ] × [0, 1]

.Soient

vl

et

vr

deuxfon tionsde

C

0

_{([0, T ], R)}

et

y

0

∈ L

∞

_{(0, 1)}

.Posons

Γ

l

= {t ∈ [0, T ] | v

l

(t) > 0}

et

Γ

r

= {t ∈ [0, T ] | v

r

(t) < 0}.

Nousallonsfaire l'hypothèse queles ensembles

Pl

= {t ∈ [0, T ] | vl(t) = 0}

et

Pr

= {t ∈ [0, T ] | vr(t) = 0},

(8)

ont un nombre nide omposantes onnexes. Nous hoisissons enn

yl

∈ L

∞

_(Γl)

et aussi

yr

∈

L

∞

(Γr)

.Lesfon tions

vl

,

vr

,

yl

et

yr

seront lesdonnées auxbords et

y

0

sera ladonnéeinitiale. Nousintroduisonsmaintenant lerelèvement

A

de

v

l

et

v

r

qui estdéni par :

(

(1 − ∂

2

xx

)A(t, x) = 0, ∀(t, x) ∈ ΩT

,

A(t, 0) = vl(t),

A(t, 1) = vr(t),

∀t ∈ [0, T ].

(9)

Ennotant

v = u + A,

onpeutréé rire (5) ommesuit :

(

y(t, x) − κ = (1 − ∂

2

xx

)u(t, x), ,

u(t, 0) = u(t, 1) = 0, dt p.p.,

(10)

(

∂

t

y + (u + A)∂

x

y = −2y∂

x

(u + A),

y(0, .) = y

0

, y(., 0)

|Γ

l

= yl

et

y(., 1)

|Γ

r

= yr.

(11)

Le sens faible de l'équation (10) ne pose pas de problème, nous allons don juste dénir les solutions faibles de l'équation (11) . On va d'abord ommen er par introduire l'espa e des fon tionstest.

Adm(ΩT

) = {ψ ∈ C

1

(ΩT

) | ψ(t, x) = 0

sur

[0, T ]\Γl×{0} ∪ [0, T ]\Γr

×{0} ∪ {T }×[0, 1]}.

(12) Denition 1. Lorsque

u ∈ L

∞

_{((0, T ); Lip([0, 1]))}

, une fon tion

y ∈ L

∞

_(ΩT

₎

est une solution faible de (1.12) si

∀ψ ∈ Adm(ΩT

)

:

Z Z

Ω

T

y(∂tψ + (u + A)∂xψ − ∂x(u + A)ψ)dtdx = −

Z

1

0

y0(x)ψ(0, x)dx

+

Z

T

0

(ψ(t, 1)vr

(t)yr(t) − ψ(t, 0)vl(t)yl(t))dt.

Ilestévidentque

C

1

0

(ΩT

) ⊂ Adm(ΩT

)

don unesolutionfaiblede(1.12)estaussiunesolution de(1.12)au sensdesdistributions.Etàpartir delà, onvoitqu'unesolution faiblesusamment régulière estbienune solution forte.

Théorème 1. Soit

T > 0

˜

,

vl, vr

∈ C

0

_{([0, ˜}

_{T ])}

tels que les ensembles

Pl

et

Pr

n'ont qu'un nombre ni de omposantes onnexes. Soient

y

0

∈ L

∞

_{(0, 1)}

,

y

l

∈ L

∞

_(Γ

l

)

et

y

r

∈ L

∞

_(Γ

r

)

. Il existe un temps

T > 0

, et un ouple de fon tions

(u, y)

solution faible de (10)-(11) ave

u ∈ L

∞

(0, T ); C

1,1

([0, 1])
∩ Lip [0, T ]; H

1

0

(0, 1)

et

y ∈ L

∞

_(ΩT

₎

. De plus,toute solution

u

ap-partient à

C

0

_{([0, T ]; W}

2,p

_{(0, 1)) ∩ C}

1

_{([0, 1]; W}

1,p

0

(0, 1)), ∀p < +∞

. De plus, le temps d'existen e d'unesolution maximale est plus grand que

min( ˜

T , T

∗

₎

, où :

T

∗

= max

β>0



ln(1 + β/C

0

)

2(C

1

+ (2 + sinh(1))(C

0

+ |κ| + β))



,

(13)

C

0

= max ||y

0||L

∞

_(0,1)

, ||y

l||L

∞

_(Γ

l

)

, ||y

r||L

∞

(Γ

l

)

,

(14)

C

1

=

1

tanh(1)

(||v

r||L

∞

(0,T )

+ ||v

l||L

∞

(0,T )

).

(15)

Onprouveraégalement lerésultat d'uni ité fort-faible suivant :

Théorème2. Soit

(u, y) ∈ L

∞

_{(0, T ); C}

1,1

_{([0, 1])
∩Lip [0, T ]; H}

1

0

(0, 1)
×L

∞

([0, T ]; Lip([0, 1]))

une solutionfaible de (10)et (11) . Elle est unique dans

L

∞

_{(0, T ); C}

1,1

_{([0, 1])
× L}

∞

_(ΩT

₎

.

Ayant maintenant une bonne théorie du problème mixte non-homogène, on s'intéresse au problème de la stabilisation asymptotique de (4) par une loi de retour stationnaire agissant au bord. Soient

A

l

> 2 sinh(1)

,

A

r

> A

l

cosh(1) + sinh(2)

,

M > 0

et

T > 0

.On hoisit pour (5) la loi deretour :

y ∈ C

0

([0, 1]) 7→











vl(y) = Al||y||

_C

0

_([0,1])

− κ,

vr(y) = Ar||y||

C

0

_([0,1])

− κ,

˙yl(t) + M yl(t) = 0.

(16)

Onpeutalors montrer lerésultatsuivant.

Théorème 3. Quelque soit

y

0

∈ C

0

_{([0, 1])}

il existe

(y, v) ∈ C

0

_(ΩT

_{) × C}

0

_{([0, T ], C}

2

_{([0, 1]))}

une solution faible de (5) and (16) satisfaisant

∀x ∈ [0, 1],

y(0, x) = y

0

(x).

(17)

De plustoute solution maximale de (5),(16) et (17) est globale en temps, etsi on prend

c = min(A

l

− 2 sinh(1),

Ar

− Al

cosh(1) − sinh(2)

sinh(1)

)

et

τ =

1

M

ln(

2c||y

0||

C

0

_([0,1])

M

),

on a :

∀t ≥ τ

||y(t, .)||

_C

0

_([0,1])

≤

M

2c

1

1 + M (t − τ )

.

On a stabilisé

y = 0

dans

C

0

_{([0, 1])}

, en onsidérant la dénition du relèvement

A

, ela orrespond pour l'équationoriginale (4)à stabiliser

v = u + A = −κ

dans

C

2

_{([0, 1])}

. Cerésultat est résolument dans la lignée des résultats de stabilisation de Coron [37℄ et Glass [59 ℄ pour l'équation d'Euler in ompressible et de Glass [58 ℄ pour l'équation de Camassa-Holm sur letore ave ontrle interne : il utilise une forme de la méthode du retour adapté au problème de la stabilisation asymptotique. On exposera les idées essentielles de la preuve dans la partie 3 de

2.2 Lois de onservation s alaires et solutions entropiques.

Dansles hapitres 2 et3, on étudie respe tivement les problèmes de ontrlabilité exa teet de stabilisationasymptotiquepour lesystèmesuivant:

∂tu + ∂xf (u) = g(t),

u(0, x) = u

0

(x),

u(t, 0) = ul(t),

u(t, 1) = ur(t).

(t, x) ∈ (0, T ) × (0, 1),

(18) La fon tion de ux

f ∈ C

1

_{(R, R)}

est onvexe,

u

0

∈ BV(0, 1)

est ladonnée initiale, et enn

ul

,

ur

et

g

sont les ontrles. Si on imagine que l'équation (18) modélise le hamp de vitesse d'un uidedansuntuyau,onpeutpenser auterme

g

ommeàune for eagissant dire tement sur e tuyau rigide.

Quelques généralités sur les lois de onservation.

Lesloisde onservations alaires tellesque :

∂tu + ∂x(f (u)) = 0,

(19)

sont utilisées par exemple pour modéliser le tra routier ou les réseaux de distribution de gaz. Cependant leur étude est aussi intéressante en tant que première étape en dire tion de l'analysedessystèmesdeloisde onservation.Cetypedesystèmeapparaîtnaturellementdansla modélisationdetrèsnombreuxproblèmesphysiques:ladynamiquedesgaz,l'éle tromagnétisme, lamagnéto-hydrodynamique, lapropagation desondesen eau peu profonde, lesphénomènes de ombustion... Onpourra onsulter[45℄ ou [95 ℄pour plusde détails.

Pour detelleséquations,onpeutmontrerquepourunedonnéeinitialerégulière(parexemple

C

1

), ilexiste une solutionrégulière en temps ourt. Cependant, es solutions développent géné-ralement dessingularités en temps ni.Ainsi, pour l'équation de Burgers:

∂

t

u + ∂

x

(

u

2

2

) = 0,

(20)

lesseulesdonnées initialesengendrant unesolution régulièreglobaleen temps sont lesfon tions roissantes de

C

1

_(R)

. Onpeutmême montrer par la méthode des ara téristiques que letemps maximald'existen e d'unesolution régulière pour une donnéeinitiale

u

0

dans

C

1

_(R)

vaut:

sup

x

∈R

−

1

u

′

₀

(x)

.

Ce imontrelané essitéd'introduireune notiondesolution faiblepourespérerobtenirun théo-rème d'existen e globale.Grâ e àla formeparti ulière de l'équation, onobtient après une inté-gration par partie en

x

qu'une solution forte

u

de l'équation (19) satisfait pour toute fon tion test

φ

dans

C

1

c

(R

2

)

:

Z

+∞

0

Z

+∞

−∞

u(t, x)∂tφ(t, x) + f (u(t, x))∂xφ(t, x)dxdt =

Z

+∞

−∞

u

0

(x)φ(0, x)dx.

(21)

Cetteégalitéaunsensàunniveauderégularitéde

u

beau oupplusfaiblequepré édemment,par exemple

u ∈ L

∞

de laformulation parti ulière desloisde onservation :ladérivation suivant

x

porte surtout le terme

f (u)

.Par ontre,l'équationlinéariséen'apaslamêmeforme,etilseradi ilededénirle produit

f

′

_(u)∂xu

.A eniveauderégularité,onnepourradon pluss'appuyersurdeste hniques linéaires.

Onpeutaussi onstater quesionsedonneunefon tion

c ∈ C

1

_(R

+

₎

etdeuxfon tions

C

1

,

u

+

et

u

−

telles quel'on ait:

∀t > 0,

et

∀x > c(t),

∂tu

+

_{(t, x) + ∂x(f (u}

+

_{))(t, x) = 0,}

(22)

∀t > 0,

et

∀x < c(t),

∂

t

u

−

_{(t, x) + ∂}

x

(f (u

−

))(t, x) = 0,

(23) alors lafon tion

u

égaleà

u

−

sur

{x < c(t)}

età

u

+

sur

{x < c(t)}

satisfait(21)sietseulement sila onditionditede Rankine-Hugoniot est vériée :

∀t > 0, f (u

+

(t, c(t)

+

)) − f (u

−

(t, c(t)

−

)) = ˙c(t)(u

+

(t, c(t)

+

) − u

−

(t, c(t)

−

)).

(24)

Cependantonnepeutse ontenterd'adopterl'égalité(21) ommedénitiond'unesolutionfaible ar dans e as il serait impossible d'obtenir un résultat d'uni ité, omme le montre l'exemple suivant.

Onva à nouveau onsidérer l'équation de Burgers (20) . Prenons

a

et

b

deux nombres réels tels que

a < b

,ondénit

u

0

par :

u

0

(x) =

(

a

si

x < 0,

b

si

x > 0.

(25)

Onpeutalors voirqueles fon tions

u

et

v

dénies par :

u(t, x) =

(

a

si

x <

b

2

_−a

2

b−a

t,

b

si

x <

b

2

−a

2

b−a

t,

(26)

v(t, x) =











a

si

x < at,

b

si

x > bt,

x

t

autrement

,

(27)

sont,toutes les deux, dessolutions faiblesde (20)pour ladonnéeinitiale

u

0

.

Unpremierrésultatimportant pour larésolution de e problèmeaété eluid'Oleinik [87 ℄en 1956.Elle a montréque pour un ux

f ∈ C

2

_(R)

tel quel'on ait:

∀z ∈ R,

f

′′

(z) > 0,

etpourunefon tion

u

0

dans

L

∞

_(R)

,ilexisteuneuniquefon tion

u

dans

L

∞

_(R

2

₎

(qu'onappellera lasolution entropique) satisfaisant (21)etl'inégalité dite d'Oleinik :

∀x ∈ R, ∀t > 0, ∀a > 0,

u(t, x + a) − u(t, x)

a

≤

E

t

,

(28)

où

E

estune onstantedépendantdesquantités

inf(f

′′

₎

et

sup(f

′

₎

prisessur

[−||u0||L

∞

, ||u0||L

∞

]

. En1970, Kruzkov généralisele résultat d'Oleinik aux loisde onservation s alaires multidi-mensionnellesetave un ux

f

de lasse

C

1

qui n'est plusné essairement onvexe:

∂

t

u + div(f (t, x, u)) = g(t, x, u),

pour

t > 0, x ∈ R

Il introduit au passage une dénition équivalente d'une solution entropique via une inégalité intégrale. Dansle asde l'équation (19) ette dénitionestlasuivante:

∀k ∈ R, ∀φ ∈ C

1

c

(R

2

) ≥ 0,

Z

+∞

0

Z

R

|u − k|φt

+ sgn(u − k)(f (u) − f (k))φ

x

dxdt +

Z

R

u

0

(x)φ(0, x)dx ≥ 0.

(29)

Leproblèmeauxlimites,quantàlui,aétéétudiéparLeroux[80 ℄pourle asunidimensionnel ave données initiales et aux bords dans

BV

, par Bardos, Leroux et Nédéle [15℄ pour le as multidimensionnel ave desdonnées

C

2

et nettement plus tard par Otto [88 ℄ pour des données initiales et aux bords

L

∞

. Le point lé est qu'on ne peut pas espérer obtenir une égalité de la solution ave les données aux bords au sens de Diri hlet. A la pla e, on a de nouveau une onditiond'entropie que nousallonsmaintenant dé rire.

Commençons parintroduirelanotation suivante:

∀α, β ∈ R

I(α, β) = [min(α, β), max(α, β)].

(30)

Onva s'intéresser à l'équationsuivante :























∂tu + ∂x(f (u)) = g(t)

sur

(0, +∞) × (0, 1),

u(0, .) = u

0

sur

(0, 1),

sgn(u(t, 1

−

) − ur(t))(f (u(t, 1

−

)) − f (k)) ≥ 0

∀k ∈ I(ur(t), u(t, 1

−

)), dt p.p.,

sgn(u(t, 0

+

_{) − u}

l

(t))(f (u(t, 0

+

)) − f (k)) ≤ 0

∀k ∈ I(ul

(t), u(t, 0

+

)), dt p.p.,

(31)

oùlesdeuxdernièreséquationsrempla ent

u(t, 1

−

_{) = ur(t)}

et

u(t, 0

+

_{) = ul(t)}

.Alorsd'après[80℄ et[15 ℄ on dit qu'une fon tion

u ∈ L

∞

_{((0, +∞), BV((0, 1))}

est une solution entropique de (31) lorsquequelquessoient lenombre

k ∈ R

etlafon tion positive

φ ∈ C

1

c

(R

2

)

on a:

Z

+∞

0

Z

1

0

|u − k|φt

+ sgn(u − k)(f (u) − f (k))φ

x

+ sgn(u − k)g(t)φdxdt +

Z

1

0

|u0

(x) − k|φ(0, x)dx

+

Z

+∞

0

sgn(ur(t) − k)(f (k)−f (u(t, 1

−

)))φ(t, 1)−sgn(ul(t) − k)(f (k)−f (u(t, 0

+

))φ(t, 0)dt ≥ 0.

(32)

Pour une lasse d'équivalen e

u

¯

à lafois dans l'espa e

L

∞

_{((0, +∞); BV(0, 1))}

et aussidans

Lip([0, +∞) ; L

1

(0, 1))

onpeuttrouverunefon tion

u

mesurable sur

(0, T ) × (0, 1)

,représentant ette lasse etquisatisfait :

∀t ≥ 0,

u(t, .) ∈ BV(0, 1).

Lestra esde

u

¯

auxpoints

x = 0

et

x = 1

sontalors leslimitesde ereprésentant en

0

+

eten

1

−

pourtouttemps.Maisalorsles onditionsauxbordsde(3.14)sontvériéesuniquementpresque partoutpour ereprésentant privilegié.Ce ivarendrel'analysedel'inuen edes onditionsaux bordssur lasolutionplus di ile, ommeon leverra au hapitre 3.

Résultats de ontrle.

Dansle adredessolutionsfortesdesloisde onservation,ilyaeudenombreuxtravaux onsa rés auxproblèmes dela ontrlabilité exa teetdelastabilisationasymptotiqueparmi eux- i nous iterons seulement les arti les[8 ℄,[9℄,[65℄, [66℄,[39℄et lelivre[77℄.

Dansle ontexte dessolutions entropiques, il n'y a quepeu de résultats surle problème de la ontrlabilité exa te et il semble qu'il n'y en ait au un sur le problème de la stabilisation asymptotique par bou le fermée. On va maintenant détailler quelques résultats onnus. Dans l'arti le [4 ℄, Fabio An onaet Andrea Marsondé rivent exa tement l'ensemble atteignable pour l'équation s alaire suivante :

(

∂tu + ∂x(f (u)) = 0,

t > 0,

x > 0,

u(0, x) = 0,

x > 0,

u(t, 0) = c(t),

t > 0.

(33)

ave

f : R 7→ R

stri tement onvexe et un ontrle au bord

c

. Un état

w ∈ L

∞

_{(0, +∞)}

est atteignable en temps

T

si etseulement siles onditions suivantes sontsatisfaites :

w(x) 6= 0 ⇒ f

′

(w(x)) ≥

x

T

,

w(x

−

) 6= 0

etpour tout

y > x, w(y) = 0
⇒ f

′

_(w(x

−

_{)) >}

x

T

,

(34)

lim sup

h→0

w(x + h) − w(x)

h

≤

f

′

_(w(x))

xf

′′

_(w(x))

,

pour tout

x > 0

.Les deuxpremières onditionssont liéesà lavitessenie de propagationpour les solutions de (33) et la troisième est une variation de l'inégalité d'Oleinik (28) en présen e d'unbord.

Thierry Horsina apporté dans[69 ℄ des onditions susantes (liées à (34)) pour qu'un état soit atteignable par une solution de l'équation de Burgers (20) sur un intervalle ompa t, ave une donnéeinitialequel onque et oùles ontrles sont les donnéesauxbords.

Il existe également des résultats de Bressan et Co lite [17 ℄, An ona et Co lite [3 ℄, An ona et Marson [5 ℄ et Glass [57℄ sur la ontrlabilité et la non- ontrlabilité des systèmes de lois de onservationdansle ontextedessolutions entropiques.Danstouslesrésultatsévoqués,ilyade nombreux étatsnaturelsquine peuvent êtreatteintset equelque soitletemps xéenutilisant justedes ontrles aubord.Ainsil'état onstant

0

ne peutêtre atteint par les solutions de(20) en temps quel onque pour lamajorité des onditions initiales.

Par ontre, si on utilise, en plus des données aux bords, un nouveau ontrle

g(t)

tel qu'il est présenté dans (18) , Marianne Chapouly a prouvé dans [20℄ que pour l'équation de Burgers et ave dessolutions régulières on peut atteindre n'importe quel état régulier depuis n'importe quelle donnée initiale régulière et en temps arbitraire. Il faut noter que dans le ontexte des solutions lassiques, les ontrles doivent aussi empê her l'explosion des solutions, e qui n'est pasun problèmedansle adre dessolutions entropiques.

Contrlabilité exa te.

En e qui on erne la ontrlabilité exa te, les ontrles aux bords peuvent être onsidérés ommedesindéterminées.Eneetpourdeuxfon tions

u

0

, u

1

∈ BV(0, 1)

etuntempsstri tement positif

T

,sil'on arrive àtrouverdeux fon tions:

g ∈ C

0

([0, T ])

et

u ∈ L

tellesquel'on ait :

∀k ∈ R, ∀φ ∈ C

c

1

((0, T ) × (0, 1)) ≥ 0,

(35)

Z

+∞

0

Z

1

0

|u − k|φt

+ sgn(u − k)(f (u) − f (k))φx

+ sgn(u − k)g(t)φdxdt ≥ 0,

(36)

u(0, .0) = u

0

,

u(T, .) = u

1

,

(37)

alors

u

estenfaitl'uniquesolutionentropiquede(31)ave lesdonnéesauxbord

u

l

(t) = u(t, 0

+

₎

et

ur(t) = u(t, 1

−

₎

.Onva don se on entrer surl'équationsous-déterminée :

(

∂tu + ∂x(f (u)) = g(t)

sur

(0, T ) × (0, 1),

u(0, .) = u

0

sur

(0, 1).

(38)

Comme une solution entropique satisfait lo alement une inégalité telle que (28) , on ne peut espéreratteindren'importequellefon tiondans

BV(0, 1)

.Onvadon fournirquelques onditions susantespourqu'unefon tionde

BV(0, 1)

soitatteignableentemps

T

.Dansle hapitre2nous montreronsles résultatssuivant :

Théorème4. Soit

u

1

∈ BV(0, 1)

telleque :

sup

0<h<1

0<x<1−h

u

1

(x + h) − u

1

(x)

h

< +∞,

(39)

etsupposonsquelafon tionux

f

soit

C

2

, onvexeetsatisfasseaumoinsunedesdeux onditions suivantes:

f

′

(M )

sup

z∈[0,M ]

f

′′

_(z)

_M

_→+∞

→

+∞

ou

f

′

(M )

sup

z∈[M,0]

f

′′

_(z)

_M→−∞

→

−∞.

(40)

Alors quelque soient le temps

T > 0

et la donnée initiale

u

0

∈ BV(0, 1)

, on peut trouver deux fon tions

g

et

u

appartenant respe tivement aux espa es

C

1

_{([0, T ])}

et

L

∞

_{((0, T ); BV(0, 1)) ∩}

Lip([0, T ]; L

1

_{(0, 1))}

, telles que

u

soit une solution entropique de (38)sur

(0, T ) × (0, 1)

etqu'on aitégalement :

u(0, .) = u

0

et

u(T, .) = u

1

sur

(0, 1).

En omparaison ave les résultat pré édemment itésonpeutnoterque :

•

les inégalités (39) et (28) sont relativement semblables, mais (2.13) est nettement moins restri tive puisquelesupremumpeutêtre arbitrairement grandet e indépendamment de

t

et

f

,

•

les deux premières onditions de (34) sont i i rempla ées par (40) qui ne on erne que le ux. De e fait on peut atteindre beau oup plus d'états grâ e au ontrle

g

. De plus, on peutlefaire en tempsarbitrairement petit.

Onpeutaméliorerlerésultatenpermettantunedégénéres en edela ondition(39)prèsd'un bord.Onexpli itera justele asoùladégénéres en e seproduit en

0

.Pour e faireintroduisons lafon tion

K

déniepar :

∀x ∈ (0, 1),

K(x) =







sup

x≤y<1

0<h<1−y

u

1

(y + h) − u

1

(y)

h







+

.

(41)

Théorème 5. Soit

u

1

∈ BV(0, 1)

satisfaisant à la fois :

K(x) = O

 1

x

p



et



u

1

(0) − inf

0<y≤x

u

1

(y)



= O(x

2p

)

lorsque

x → 0

+

_.

(42) Dénissons ensuite :

∀M > 0, IM

= [ inf

x∈(0,1)

u

1

(x), sup

_x∈(0,1)

u

1

(x) + M ],

(43)

etsupposons que pour un ertain

q > 0

, telque

p(2q + 1) ≤ 1

,la fon tionux

f

soit

C

2

, onvexe et vérie les deux onditions suivantes :

M

q

sup

z∈I

M

f

′′

_(z)

−−−−−→

_M

_→+∞

+∞

et

|h|

q

|f

′

_(u

1

(0) + h)|

= O(1)

en

0

et en

+ ∞.

(44)

Alors pour n'importe quels temps

T > 0

, et donnée initiale

u

0

∈ BV(0, 1)

, il existe deux fon tions

g

et

u

appartenant respe tivement aux espa es

C

1

_{([0, T ])}

et

L

∞

_{((0, T ); BV(0, 1)) ∩}

Lip([0, T ]; L

1

(0, 1))

telles que l'onait les propriétés suivantes :

• u

est une solutionentropique de (38)sur

(0, T ) × (0, 1)

ave

u(0, .) = u0

sur

(0, 1)

,

•

au temps nal

T

on a à la fois

u(T, .) = u1

et

g(T ) = 0

.

Onnitmaintenant ette partie ave la ondition laplusgénérale destroisprésentées.

Théorème 6. Nous supposons que

f

est

C

2

, onvexe et que

f

′

_(z)

tend vers

+∞

ave

z

. Soient

u

1

∈ BV(0, 1)

et

T > 0

¯

. Introduisons la notation :

∀x ∈ (0, 1), τ (x) = min







¯

T ,

1

2K(x)

1

sup

z∈I

M

f

′′

_(z)







.

(45)

Supposons qu'il existe une fon tion

g ∈ C

¯

1

_{([0, ¯}

_{T ])}

telle que :

lim inf

β→0

+

_3β

sup

2

≤α<1

α −

Z

T

¯

¯

T

−τ (α−β)

f

′

inf

α−β≤x≤α

u

1

(x) −

Z

T

¯

s

¯

g(r)dr

!

ds

!

≤ 0.

(46)

Alors pour tout temps

T > ¯

T

et pour toute donnée initiale

u

0

∈ BV(0, 1)

, on peut trouver deux fon tions

g ∈ C

1

_{([0, T ])}

et

u ∈ L

∞

_{((0, T ); BV(0, 1)) ∩ Lip([0, T ]; L}

1

_{(0, 1))}

telles que :

u

est une solution entropique de (38)sur

(0, T ) × (0, 1)

,

u(0, .) = u

0

et

u(T, .) = u

1

sur

(0, 1).

Dansle hapitre 2,nous montreronsd'abord lethéorème 6 puis nousen déduirons les deux pré édents.Les onditionsde eux- isontmoinsgénéralesmaisontl'avantaged'êtrepluslisibles. On pourra regarder la partie 3 de ette introdu tion pour des détails sur la stratégie de la démonstration.

Stabilisation asymptotique. Dans le hapitre 3 nous nous intéresserons au problème de la stabilisation asymptotique des états onstants de (31) par une loi de retour stationnaire. Les fon tions

g

,

u

l

et

u

r

nedépendront plus dutemps maisde l'étatdu système:

u(t, .)

.

Pour un ertain

u ∈ R

¯

,il est lairque lafon tion

u

dénie par :

∀(t, x) ∈ R + ×(0, 1),

u(t, x) = ¯

u,

estune solutionentropiquede (31)ave desdonnéesinitialesetauxbords onstanteségalesà

u

¯

. Dans equi suitnousallonsintroduire deuxloisderetour (suivantque

f

′

_(¯

_{u) 6= 0}

ou

f

′

_(¯

_{u) = 0}

), telles que la solution onstante pré édente soit asymptotiquement stable pour le système en bou le fermée.Nousallons ommen er parle premier as.

Si

f

′

_(¯

_{u) 6= 0}

,on utilise laloi deretour stationnaire donnéepar :

∀W ∈ L

1

(0, 1),

G1

(W ) =

f

′

_(¯

_u)

2

||W − ¯

u||

L

1

(0,1)

,

(47)

∀W ∈ L

1

(0, 1),

ul(W ) = ur(W ) = ¯

u.

(48)

Dans l'équation (31) , on va don substituer :

g(t)

par

G1

(u(t, .))

,

u

l

(t)

par

u

l

(u(t, .))

et enn

ur(t)

par

ur(u(t, .))

an d'obtenir un systèmeen bou le fermée où laseule donnéedu problème estladonnéeinitiale

u

0

.

Danstoute ettepartie,onvasupposerquelafon tionux

f

est

C

1

, stri tement onvexe. Onaurabesoin de distinguer deux omportements diérents pour

f

.

Denition 2.

•

Ondira que

f

est detype I s'ilexiste

u

∗

telque :

f

′

(u

∗

) = 0.

(49)

L'équation de Burgers a par exemple un uxde type I.

•

On dira que

f

est detype IIautrement,et dans e as on aura for ément:

∀z ∈ R,

f

′

(z) > 0,

(50)

ou

∀z ∈ R,

f

′

(z) < 0.

(51)

Le ux

f (z) = e

z

est de type II.

Sileux

f

est detype I, on peuten déduire enutilisant également sastri te onvexité :

lim

z→+∞

f (z) = lim

z→−∞

f (z) = +∞.

(52)

Sideplus

f

′

_(¯

_{u) 6= 0}

,on aurafor ément

u 6= ¯

ˆ

u

telque

f (¯

u) = f (ˆ

u)

.Onpeut alors reformuler les onditionsaux bords(3.14) omme suit(on traite le as

f

′

_(¯

_{u) > 0}

) :

u(t, 1

−

) ∈ [u

∗

; +∞) dt p.p.,

(53)

u(t, 0

+

) ∈ (−∞, ˆ

u] ∪ {¯

u} dt p.p..

(54) L'idée estque soit lalimiteau bord estégale à ladonnéeau bord,soit lasolution du problème de Riemann entre es deux valeurs n'admet que desondes qui quittent ledomaine. Onpourra onsulter[51 ℄pourplusderenseignementssurles onditionsauxbordsquel'onpeut hoisirpour lesloiss alaires maiségalement pour les systèmes.

Théorème 7. Quelque soit

u

0

∈ BV(0, 1)

, le système en bou le fermée (3.14) où

ul

,

ur

et

g

sontdonnées par les lois de retour (3.17) et (3.16) a une unique solution entropique

u

. Elle est globale entemps,appartientàl'espa e

L

∞

_{((0, +∞); BV(0, 1)) ∩ Lip([0, +∞) ; L}

1

_{(0, 1))}

etdépend ontinûment dela donnée initiale.Deplussileux

f

est detype I ona les propriétés suivantes.

•

Il existe deux onstantes

C

1

et

C

2

quidépendent uniquementde

¯

u

et telles que

u

satisfait:

∀t ≥ 0,

||u(t, .) − ¯

u||

_L

1

_(0,1)

≤ C1

e

−

f

′

( ¯

u)

2

t

||u0

− ¯

u||

_L

1

_(0,1)

,

(55)

∀t ≥ 0,

||u(t, .) − ¯

u||

L

∞

_(0,1)

≤ C2

e

−

f

′

( ¯

u)

2

t

||u0

− ¯

u||

_L

∞

_(0,1)

.

(56)

•

Il existe untemps

T

qui dépendseulement de

u

¯

tel que

u

est régulière sur

(T, +∞) × [0, 1]

. Si par ontre le ux

f

est de type IIon a seulement les propriétés suivantes :

•

il existe une onstante

C

3

qui dépend de

u

¯

etde

||u0

− ¯

u||

L

∞

(0,1)

telleque

u

satisfait:

∀t ≥ 0,

||u(t, .) − ¯

u||

L

∞

_(0,1)

≤ C3

e

−

f

′

( ¯

u)

2

t

||u0

− ¯

u||

_L

∞

_(0,1)

.

(57)

•

Il existe un temps

T

′

qui dépend de

u

¯

et de

||u0

− ¯

u||

L

∞

(0,1)

tel que

u

est régulière sur

(T

′

, +∞) × [0, 1]

.

Ona don établiunrésultat destabilisabilité asymptotique ommeannon é.Ajoutons aussi que:

•

dansle hapitre 3,on donnerades onstantesexpli ites pour

C1

,

C2

,

C3

,

T

et

T

′

,

•

si ette loi de retour utilisant la norme

L

1

permet d'assurer une stabilisation au sens de la norme

L

∞

, l'utilisation d'une loi de retour utilisant la norme

L

∞

pourrait se révéler problématique. En raison de sonabsen e de régularité en temps (déjà en bou le ouverte) maisaussià ause del'impossibilitéde passeràlalimitedans

||.||

L

∞

(0,1)

lorsqu'onajuste onvergen e pon tuelle d'unesuite de fon tions.

Nousallons maintenant onsidérer ledeuxième as, à savoir que

f

′

_(¯

_{u) = 0}

. Introduisons la fon tion auxiliaire

A

:

A(z) =

(

_f

_(¯

_{u+z)−f (¯}

_u)

2

si

0 ≤ z ≤ 1,

f

′

_(¯

_u+1)

2

(z − 1) +

f(¯

u+1)−f (¯

u)

2

si

z ≥ 1.

(58)

Nousallonsde nouveau utiliser laloide retour stationnaire :

∀W ∈ L

1

(0, 1),

ul(W ) = ¯

u = ur(W ),

pour les termes debord.Par ontre pourle termesour e onvaplutt utiliser:

∀W ∈ L

1

(0, 1),

G2

(W ) = A(||W − ¯

u||

_L

1

_(0,1)

),

(59)

Commepré édemmentoné hangera

g(t)

et

G2(u(t, .))

dans(3.14) .Onaalorslerésultatsuivant. Théorème 8. Le système en bou le fermée (3.14) où

ul

,

ur

et

g

sont fournis par les lois de

•

Quelque soit

u

0

∈ BV(0, 1)

, il existe une unique solution entropique

u

. Celle- i est globale en temps, etappartient à l'espa e

L

∞

((0, +∞); BV(0, 1)) ∩ Lip([0, +∞) ; L

1

(0, 1)).

De plus elledépend ontinûment dela donnée initiale.

•

La solution

u

satisfaitégalement :

||u(t, .) − ¯

u||

L

∞

_(0,1)

→

t→+∞

0.

(60)

•

Si on a l'hypothèse supplémentaire :

α = inf

z

∈R

f

′′

_{(z) > 0,}

alors il existe une fon tionuniformément lips hitzienne

R

telleque :

R(0) =

f

′

_{(1 + ¯}

_u)

2α

r

2e

e − 1

+ A

−1

 e(f

′

(1 + ¯

u))

2

4α(e − 1)



,

(61)

∀t ≥ 0,

||u(t, .) − ¯

u||

L

∞

_(0,1)

≤ R(||u0

− ¯

u||

_L

∞

_(0,1)

).

(62)

La dernière propriétéest plus faible que lastabilité, on ne peut don pasdire qu'on stabili-sation asymptotiquede

u

¯

.Cependant en prenant

c > 0

eten ajustant lafon tion

A

de lafaçon suivante:

A(z) =

(

_f(¯

_{u+z)−f (¯}

_u)

2

si

0 ≤ z ≤ c,

f

′

(¯

u+c)

2

(z − c) +

f(¯

u+c)−f (¯

u)

2

si

z ≥ c,

(63)

onpeutvoirque

f

′

_(¯

_u+c)

2

tendvers

0

ave

c

etdon que

R(0)

peutêtre arbitrairement petit. Nousallonsmaintenantdé riredanslesgrandesligneslesméthodesquinouspermettront de prouver esrésultats.

3 Méthodologie.

Avant d'exposer les stratégies de ontrle spé iques permettant d'obtenir les résultats pré é-demment présentés, nousallons ommen erparprésenterlesidées ommunesauxtrois hapitres etpour ela,fairedesrappelssurleséquationsdetransportlinéaires.Lele teurpourra onsulter [43℄pour plusdétails sur elles- i.

Considéronsl'équation :

∂tY (t, x) + a(t, x)∂xY (t, x) = b(t, x)Y (t, x) + f (t, x),

(t, x) ∈ R

+

× (0, 1),

(64)

où

Y

,

a

,

b

et

f

sont desfon tionsdénies sur

R

+

_{× [0, 1]}

àvaleursréelles,quenoussupposerons régulièrespourl'instant.Laméthodedes ara téristiques onsisteàintroduireleot

φ

du hamp

a

omme suit. Pour tout

(t, x) ∈ R

+

_{× (0, 1)}

on a deux nombres positifs

e(t, x)

et

h(t, x)

telle quelafon tion

s 7→ φ(s, t, x)

est lasolutionmaximale de l'équationdiérentielle suivante:

(

∂sφ(s, t, x) = a(s, φ(s, t, x)),

s ∈ (e(t, x), h(t, x))

φ(t, t, x) = x.

Les fon tions

e(t, x)

et

h(t, x)

sont respe tivement les temps d'entrée et de sortie de la ara -téristique (la ourbe

s 7→ φ(s, t, x)

) passant par le point

(t, x)

. En eet, on a les propriétés suivantes :

e(t, x) > 0

implique que

φ(e(t, x), t, x) ∈ {0, 1},

(66)

h(t, x) < +∞

impliqueque

φ(h(t, x), t, x) ∈ {0, 1}.

(67) Onpeutalors onstaterquesi

Y

estsolutionforte de (64)alors pour tout

(t, x) ∈ R

+

_{× (0, 1)}

:

∀s ∈ (e(t, x), h(t, x)),

d

ds

Y (s, φ(s, t, x)) = b(s, φ(s, t, x))Y (s, φ(s, t, x)) + f (s, φ(s, t, x)).

(68) Pour obtenir la valeur de

Y

au point

(t, x)

il sut don de remonter la ara téristique passant par e pointjusqu'à eque elle- itou he

x = 1

,

x = 0

ou

t = 0

puisutiliserunedonnéeaubord ou la donnée initiale et l'équation diérentielle (68). On pourra trier les points de

R

+

_{× (0, 1)}

suivant que la ara téristique remonte jusqu'à

x = 0

,

x = 1

ou

t = 0

. An de pouvoir dé rire larégularité de lasolution

Y

,il faudraaussiidentier un ensemble problématique

P

qui fait la transitionentredeszones oùles ara téristiquesse omportent diéremment. Tout elaaboutit à ladénitionde lapartition de

R

+

_{× (0, 1)}

suivante.

P = {(t, x) ∈ R

+

×(0, 1) | ∃s ∈ [e(t, x), h(t, x)]

tel que

φ(s, t, x) ∈ {0, 1}

et

a(s, φ(s, t, x)) = 0}

∪ {(s, φ(s, 0, 0)) | ∀s ∈ [0, T ]} ∪ {(s, φ(s, 0, 1)) | ∀s ∈ [0, T ]},

I = {(t, x) ∈ R

+

× (0, 1) \ P | e(t, x) = 0},

L = {(t, x) ∈ R

+

× (0, 1) \ P | φ(e(t, x), t, x) = 0},

R = {(t, x) ∈ R

+

× (0, 1) \ P | φ(e(t, x), t, x) = 1}.

Lesrésultats surlessolutions faibles de(64) sontréunis danslapartie 1.4du hapitre 1. Du point de vuede la ontrlabilité, siles données aux bords sont des ontrles, il est lair qu'on nepourrainuen er lasolution

Y

quesur l'ensemble

L ∪ R

,il yauradon des onditions géométriques sur

a

pour obtenir la ontrlabilité exa te. Dans les résultats énon és dans les parties 2.1 et 2.2 de ette introdu tion, on se ramène à ontrler des équations de transport tellesque(64)ave lanuan equ'ilyadésormaisun ouplageentrelasolution

Y

etlafon tion

a

. C'estgrâ eà e ouplagequ'onobtiendradebonnespropriétésde ontrlabilité.Demanièreplus pré ise,onutiliseralaméthodeduretourdeJean-Mi helCoron(voir[33 ℄,[34℄):dansunpremier tempsonutilise les ontrlespourqu'aprèsun ertain

T

toutesles ara téristiquestrouventleur originesurle même oté :

x = 0

ou

x = 1

(voirlagure1).Un telrégime eststablevisàvisde petites perturbations, don on a lo alement de bonnespropriétés de ontrlabilité. Nous allons maintenant dé rireles spé i itésdesdiérents problèmes.

Équation de Camassa-Holm

Pour l'équation de Camassa-Holm étudiée dans le hapitre 1,on a

f = 0

,

b = −2∂xa

.De plus, les fon tions

a

et

Y

sont ouplées vial'équation stationnairesuivante:

(

(1 − ∂

xx

2

)a = Y − κ,

a(t, 1) = dr(t)

a(t, 0) = d

l

(t).

(69)

Les données au bord

dl

et

dr

étant également des ontrles, on va agir sur lagéométrie du ot de

a

via es ontrles, puison ontrlera lesvaleursde

Y

viales donnéesaubord de(64).Cette

ou

x

x

t

t

1

1

T

T

Figure 1 

stratégie de ontrle pour un système ouplé onstitué d'une équation de transport et d'une équation elliptique stationnaire a déjà été utilisée par J.-M. Coron dans [34 ℄ pour stabiliser les états onstantsde l'équation d'Euler bidimensionnelle.

Pour établir lerésultatd'existen e entemps petitpourleproblèmemixte auxlimites, onva utiliserunthéorèmedepointxe.Eneet,onadeuxéquations ouplées:l'équationdetransport (64) etl'équation stationnaire (69) . On va les résoudre su essivement pour obtenir un ertain opérateurdon toutpointxeseraunesolutionsimultanéedesdeuxéquations.Pluspré isément pour unefon tion

a

dans

L

∞

_{(0, T ); C}

1,1

_{([0, 1])
∩ Lip [0, T ]; H}

1

0

(0, 1)

onregarde lasolution

Y

del'équation :

∂tY (t, x) + a(t, x)∂xY (t, x) = −2∂xa(t, x)Y (t, x),

(t, x) ∈ R

+

× (0, 1),

(70)

àlaquelleona rajoutédes onditions auxbord etinitialestelles quepré iséesdanslapartie 1.4 du hapitre 1.On onstruit ensuitelafon tion

˜

a

solution de:

(1 − ∂

_xx

2

)˜

a = Y − κ,

(71)

ave les onditions de Diri hlet lassiquesauxbords. Grâ eà de bonnesestimées linéaires(voir 1.4 hapitre 1) sur es deux équations l'opérateur qui, à la fon tion

a

, asso ie la fon tion

˜

a

est ontinue pour la norme

||.||

L

∞

((0,T );Lip([0,1]))

. De plus, l'espa e

L

∞

_{(0, T ); C}

1,1

_{([0, 1])
∩}

Lip [0, T ]; H

1

0

(0, 1)

s'inje te de manière ompa te dans

L

∞

_{((0, T ); Lip([0, 1]))}

. Ce i permet d'appliquerlethéorème dupoint xede S hauder.

Pour établir le résultat de stabilisation asymptotique de l'état

Y = 0

,

a = −κ

, on utilise la loide retour :

dr(Y ) = Ar||Y ||

C

0

_([0,1])

,

(72)

dl(Y ) = Al||Y ||

_C

0

_([0,1])

,

(73)

˙

Yl

+ M Yl

= 0.

(74)

Les onstantes

A

l

et

Ar

sont hoisies de façon à utiliser les propriétés provenant de l'équation elliptique (69):

(

a(t, x) ≥ (A

l

− 2 sinh(1))||Y (t, .)||

C

0

_[0,1])

,

∂xa(t, x) ≥

A

r

−2 cosh(1)A

l

−sinh(2)

sinh(1)

||Y (t, .)||

C

0

[0,1])

.

Lapremière inégalitégarantit queleotde

a

orrespondbienàlasituationdé riteparlapartie gau he de la gure1 dès l'instant initial. La se onde inégalité implique quant à elle que l'on a dé roissan ede

|Y |

lelongdes ara téristiques de

a

.Combiné àladé roissan e de

Yl

impliquée par (72)quand

M

estpositive, elapermetd'obtenir :

||Y (t, .)||

C

0

_([0,1])

→

t→+∞

0.

(76)

Pour montrer l'existen ed'unesolutionde l'équationdeCamassa-Holm enbou le ferméemunie delaloide retour(72),on pro èdede lamême manièrequepour leproblèmemixteauxlimites. A e i près que le gain de régularité est plus faible arles données aux bords sont maintenant des in onnues. La ompa ité sera obtenue dans

C

0

_{([0, 1])}

par le théorème d'As oli grâ e à la propagationdumodulede ontinuitédeladonnéeinitialeetdesdonnéesauxbordsparl'équation de transport (70).

Lois de onservation s alaires.

Pour une loi de onservation s alaire dotée d'un ux

f

telle que dans les hapitres 2 et 3, le ouplage entre

a

et

Y

prendralaforme suivante :

∀(t, x) ∈ R

+

× (0, 1),

a(t, x) = f

′

(Y (t, x)).

(77) Sa hantqu'ona

b = 0

,

f (t, x) = g(t)

,où

g

estun ontrle supplémentaire,onarriveàl'équation:

∂

t

Y + ∂

x

(f (Y )) = g(t).

(78)

La stratégie de ontrle onsistera à agir à la fois sur la géométrie des ara téristiques de

f

′

(Y (t, x))

etsurl'état

Y

.Cependant,et ontrairement à e quis'estproduitpourl'équationde Camassa-Holm,le ouplagene permeti iau un gainderégularitéen espa e.Ce ioblige de tra-vaillerave

Y (t, .) ∈ BV(0, 1)

,orà eniveau derégularité, la onstru tion duot de

f

′

_{(Y (t, x))}

estbeau oupplusdéli ateetl'existen eduotn'est pasgarantie.Onpourraregarder [43℄pour plus d'informationà e sujet.Enpratique ladouble a tiondes ontrles surlagéométrie et sur l'étatsera miseen pla evia l'algorithmede suivide frontspourle problèmede la ontrlabilité exa tedansle hapitre2etparlathéoriedes ara téristiquesgénéraliséesdeDafermos[44℄dans le hapitre 3.

Contrlabilité exa te.

Classiquementl'algorithmedesuividefrontsintroduitparDafermos[44 ℄etdéveloppéégalement parBressan[16 ℄ onsisteàtrouverdesapproximations onstantesparmor eauxsurdesdomaines polygonaux en utilisant les relations de Rankine-Hugoniot et les onditions d'entropie de Lax. Onpasseensuiteàlalimite par ompa itédans

L

1

viadesestimationsuniformessurlavariation totale. Onintroduira dansle hapitre 2 unepetitemodi ation del'algorithme permettant une analyse géométrique plus fa ile de l'a tion du ontrle

g

sur les solutions de (78) . Le point de départpour l'algorithmede suivide front estlarésolution appro hée duproblème deRiemann. Pour unedonnéeinitiale

Y

0

telleque:

∀x ∈ R,

Y

0

(x) =

(

Y

−

si

x < 0,

Y

+

si

x > 0,

(79)

on résout approximativement l'équation(78) de lafaçon suivante.Si

Y

−

_{≥ Y}

+

,on introduit la ourbe :

γ(t) =

Z

t

0

f (Y

−

₊

R

s

0

g(r)dr) − f (Y

+

+

R

s

0

g(r)dr)

Y

−

_{− Y}

+

ds.

(80)