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Analyse de groupe d’un modèle de la plasticité idéale planaire et sur les solutions en termes d’invariants de Riemann pour les systèmes quasilinéaires du premier ordre

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Texte intégral

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Analyse de groupe d’un modèle de la plasticité

idéale planaire et sur les solutions en termes

d’invariants de Riemann pour les systèmes

quasilinéaires du premier ordre.

par

Vincent Lamothe

Département de mathématiques et de statistique Faculté des arts et des sciences

Thèse présentée à la Faculté des études supérieures en vue de l’obtention du grade de

Philosophiæ Doctor (Ph.D.) en Mathématiques appliquées

novembre 2013

c

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Faculté des études supérieures Cette thèse intitulée

Analyse de groupe d’un modèle de la plasticité

idéale planaire et sur les solutions en termes

d’invariants de Riemann pour les systèmes

quasilinéaires du premier ordre.

présentée par

Vincent Lamothe

a été évaluée par un jury composé des personnes suivantes :

Pavel Winternitz

(président-rapporteur)

Alfred Michel Grundland

(directeur de recherche) Véronique Hussin (membre du jury) Pergiulio Tempesta (examinateur externe) Manu Paranjape

(représentant du doyen de la FES)

Thèse acceptée le:

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SOMMAIRE

Les objets d’étude de cette thèse sont les systèmes d’équations quasilinéaires du premier ordre. Dans une première partie, on fait une analyse du point de vue du groupe de Lie classique des symétries ponctuelles d’un modèle de la plasticité idéale. Les écoulements planaires dans les cas stationnaire et non-stationnaire sont étudiés. Deux nouveaux champs de vecteurs ont été obtenus, complétant ainsi l’algèbre de Lie du cas stationnaire dont les sous-algèbres sont classifiées en classes de conjugaison sous l’action du groupe. Dans le cas non-stationnaire, une classification des algèbres de Lie admissibles selon la force choisie est effectuée. Pour chaque type de force, les champs de vecteurs sont présentés. L’algèbre ayant la dimension la plus élevée possible a été obtenues en considérant les forces monogéniques et elle a été classifiée en classes de conjugaison. La méthode de réduction par symétrie est appliquée pour obte-nir des solutions explicites et implicites de plusieurs types parmi lesquelles certaines s’expriment en termes d’une ou deux fonctions arbitraires d’une va-riable et d’autres en termes de fonctions elliptiques de Jacobi. Plusieurs so-lutions sont interprétées physiquement pour en déduire la forme de filières d’extrusion réalisables. Dans la seconde partie, on s’intéresse aux solutions s’exprimant en fonction d’invariants de Riemann pour les systèmes quasili-néaires du premier ordre. La méthode des caractéristiques généralisées ainsi qu’une méthode basée sur les symétries conditionnelles pour les invariants de Riemann sont étendues pour être applicables à des systèmes dans leurs régions elliptiques. Leur applicabilité est démontrée par des exemples de la plasticité idéale non-stationnaire pour un flot irrotationnel ainsi que les équations de la mécanique des fluides. Une nouvelle approche basée sur l’introduction de matrices de rotation satisfaisant certaines conditions algébriques est dévelop-pée. Elle est applicable directement à des systèmes homogènes et non-autonomes sans avoir besoin de transformations préalables. Son efficacité est illustrée par des exemples comprenant un système qui régit l’interaction non-linéaire d’ondes et de particules. La solution générale est construite de façon explicite.

(6)

Mots clés : équations aux dérivées partielles ; systèmes quasilinéaires du

pre-mier ordre ; analyse des groupes de Lie et algèbres de Lie pour les équations différentielles ; méthode de réduction par symétrie ; méthode des symétries conditionnelles ; méthode des caractéristiques généralisées ; invariants de Rie-mann ; plasticité idéale ; filières d’extrusion.

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SUMMARY

The objects under consideration in this thesis are systems of first-order qua-silinear equations. In the first part of the thesis, a study is made of an ideal plasticity model from the point of view of the classical Lie point symmetry group. Planar flows are investigated in both the stationary and non-stationary cases. Two new vector fields are obtained. They complete the Lie algebra of the stationary case, and the subalgebras are classified into conjugacy classes under the action of the group. In the non-stationary case, a classification of the Lie al-gebras admissible under the chosen force is performed. For each type of force, the vector fields are presented. For monogenic forces, the algebra is of the hi-ghest possible dimension. Its classification into conjugacy classes is made. The symmetry reduction method is used to obtain explicit and implicit solutions of several types. Some of them can be expressed in terms of one or two arbitrary functions of one variable. Others can be expressed in terms of Jacobi elliptic functions. Many solutions are interpreted physically in order to determine the shape of realistic extrusion dies. In the second part of the thesis, we examine solutions expressed in terms of Riemann invariants for first-order quasilinear systems. The generalized method of characteristics, along with a method based on conditional symmetries for Riemann invariants are extended so as to be ap-plicable to systems in their elliptic regions. The applicability of the methods is illustrated by examples such as non-stationary ideal plasticity for an irrotatio-nal flow as well as fluid mechanics equations. A new approach is developed, based on the introduction of rotation matrices which satisfy certain algebraic conditions. It is directly applicable to non-homogeneous and non-autonomous systems. Its efficiency is illustrated by examples which include a system gover-ning the non-linear superposition of waves and particles. The general solution is constructed in explicit form.

(8)

Keywords : partial differential equations ; first-order quasilinear systems ;

ana-lysis of the symmetry Lie group and Lie algebra of differential systems ; sym-metry reduction method ; conditional symsym-metry method ; invariant, partially invariant and conditionally invariant solutions ; generalized method of cha-racteristics ; Riemann invariants ; ideal plasticity ; extrusion dies.

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TABLE DES MATIÈRES

Sommaire . . . . v

Summary . . . vii

Liste des figures . . . xiii

Liste des tableaux. . . xv

Remerciements . . . xvii

Avant-propos . . . . 1

Introduction . . . . 3

Chapitre 1. Symmetry group analysis of an ideal plastic flow . . . 21

1.1. Introduction . . . 21

1.2. Symmetry algebra and classification of its subalgebras. . . 24

1.3. Symmetry reductions and solutions of the reduced systems. . . 25

1.3.1. Solution for θ in the form of a propagation wave. . . 28

1.3.1.1. Additive separation for the velocities u and v. . . 29

1.3.1.2. Multiplicative separation for the velocities u and v. . . 37

1.3.2. Similarity solution for the angle θ and corresponding pressure σ. . . 44

1.3.2.1. Additive separation for the velocities when c1 6= 0.. . . 45

1.3.2.2. Additive separation for the velocities u and v when c1= 0. 48 1.3.2.3. Multiplicative separation for the velocities u and v when c16= 0. . . 51

1.3.2.4. Multiplicative separation for the velocities u and v when c1= 0. . . 54

1.3.3. Solution for θ in terms of the invariant σ(x, y) + a1x+ a2y. . . . 56

(10)

1.4. Concluding remarks and future outlook . . . 59

Acknowledgments. . . 61

Chapitre 2. Group analysis of an ideal plasticity model . . . 67

2.1. Introduction . . . 67

2.2. Symmetry algebra and classification of its subalgebras. . . 70

2.2.1. Classification into conjugacy classes of the subalgebra S. . . 75

2.2.2. Classification with representative subalgebras contained in a subspace Li ⊂ L. . . 77

2.2.2.1. Subalgebras contained in L0. . . 77

2.2.2.2. Subalgebras contained in L1. . . 80

2.3. Invariant and partially invariant solutions. . . 80

2.3.1. Symmetry reduction for the representative subalgebra B1. . . 82

2.3.2. Symmetry reduction for the representative subalgebra K . . . 84

2.3.3. Similarity solution for the angle θ and corresponding pressure σ. . . 85

2.3.3.1. Additive separation for the velocities. . . 87

2.4. Final remarks.. . . 92

Acknowledgments. . . 94

Chapitre 3. Symmetry groups of non-stationary planar ideal plasticity 95 3.1. Introduction . . . 95

3.2. Algebras of symmetries . . . 97

3.2.1. Families of forces and their symmetry algebras when ηx = ηy = 0. . . 99

3.2.2. Families of forces and their symmetry algebras when ηx 6= 0 6= ηy. . . 103

3.3. Classification of the subalgebras in the case of monogenic forces . 105 3.4. Symmetry reductions . . . 106

3.4.1. Monogenic forces . . . 107

3.4.2. Solutions in the presence of frictionnal force . . . 112

(11)

Acknowledgements. . . 118

Chapitre 4. Multimode solutions of first-order quasilinear systems obtained from Riemann invariants. Part I. . . 119

4.1. Introduction . . . 120

4.2. The method of characteristics for complex integral elements. . . 122

4.3. Conditional symmetry method and multimode solutions in terms of Riemann Invariants. . . 127

4.4. The ideal plastic flow. . . 136

4.5. Simple wave solutions of inhomogeneous quasilinear system. . . . 144

4.6. Simple mode solutions for inhomogeneous quasilinear system. . . 148

4.7. Example. Nonlinear interaction of waves and particles. . . 150

4.8. Final remarks.. . . 152

Acknowledgements. . . 153

Chapitre 5. Solutions of first-order quasilinear systems expressed in Riemann invariants. Part II. . . 155

5.1. Introduction . . . 155

5.2. Generalized method of characteristics. . . 158

5.3. Inhomogeneous fluid dynamics equations. . . 161

5.4. Multiwave solutions. . . 168

5.5. Multimode solutions. . . 171

5.6. Multiwave solutions of underdetermined systems. . . 174

5.7. Multimode solutions of underdetermined systems. . . 175

5.8. Examples of appplications. . . 177

5.9. Final remarks.. . . 184

Acknowledgements. . . 185

(12)

Conclusion . . . 187

Remarques finales . . . 187

Sur les solutions de la plasticité idéale . . . 187

Sur les solutions en invariants de Riemann . . . 190

Perspectives . . . 193

Plasticité idéale . . . 193

Solutions en terme d’invariants de Riemann . . . 194

Bibliographie . . . 197 Annexe A. Systèmes décrivant des écoulements planaires de matériaux

à la plasticité idéale . . . A-i

A.0.1. Détermination des filières et des régions de plasticité. . . .A-vi

Annexe B. Fondements des méthodes sur les invariants de Riemann . . B-i

B.1. Les éléments intégraux. . . B-i B.1.1. Les éléments simples. . . B-ii B.1.2. Les ondes simples et les états simples . . . .B-iv B.2. Classification des systèmes d’équations aux dérivées partielles

quasilinéaire du premier ordre . . . .B-ix B.2.1. L’espace Q1. . . .B-ix B.2.2. L’espace Qm . . . B-ix B.2.3. Un théorème pour les systèmes hyperboliques . . . B-ix B.2.4. Classification des systèmes non-homogènes . . . .B-xi B.2.5. Hyperplan L1. . . .B-xi B.2.6. L’hyperplan Lk. . . .B-xi B.2.7. Théorèmes sur les systèmes de type L1. . . .B-xii

(13)

LISTE DES FIGURES

1.1 Extrusion die corresponding to the solution (1.3.14), (1.3.31). . . 32

1.2 Extrusion die corresponding to the solution (1.3.14), (1.3.35). . . 33

1.3 Extrusion die corresponding to the solution (1.3.14), (1.3.77). . . 44

1.4 Extrusion die corresponding to the solution (1.3.14), (1.3.108). . . 49

1.5 Extrusion die corresponding to the solution (1.3.14), (1.3.116). . . 51

2.1 Extrusion die corresponding to the solution (2.3.7). . . 84

2.2 Extrusion die corresponding to the solution (2.3.16). . . 86

2.3 Extrusion die corresponding to the solution (2.3.16). . . 86

2.4 Extrusion die corresponding to the solution given by (2.3.24) and (2.3.47). . . 91

2.5 Extrusion die corresponding to the solution (2.3.24), (2.3.56). . . 93

3.1 Evolution of the vectors field of the solution (3.4.22). . . 112

4.1 Extrusion die corresponding to the solution (4.4.24). . . 143

4.2 Extrusion die corresponding to the solution (4.4.27). . . 144 A.1 Courbe définissant la région de plasticité. . . .A-vii

(14)
(15)

LISTE DES TABLEAUX

1.1 Commutation relations for the algebra L.. . . 24 1.2 List of one-dimensional subalgebras and their invariants. To simplify

the notation, we noted the invariants F1 = F, F2 = G, F3 = H. The index i in Li,j corresponds to the subalgebra dimension and the index j to the number of the subalgebra.. . . 62 1.3 List of two-dimensional subalgebras and their invariants. To simplify

the notation, we denoted the invariants F1 = F, F2 = G, F3 = H. The index i in Li,j corresponds to the subalgebra dimension and the index j to the number of the subalgebra.. . . 63 1.4 List of two-dimensionnal subalgebras and their invariants. To simplify

the notation, we denoted the invariants F1 = F, F2 = G, F3 = H. The index i in Li,j corresponds to the subalgebra dimension and the index j to the number of the subalgebra.. . . 65 1.5 Subalgebra sort by the form of the invariant solution. The functions

f, g, φ, γdepend on x, y and F, G depend on ξ.. . . 65 2.1 Commutation relations for the algebra S.. . . 72 2.2 List of one-dimensional representative subalgebras of S. The parameters are a, λ, λ0 ∈ R, λ > 0, λ0 ≥ 0 and ǫ, ǫ1, ǫ2= ±1. . . 76 2.3 List of two-dimensional representative subalgebras of S. The parameters are ǫ, ǫ1, ǫ2 = ±1 and a, λ, λ0, δ, δ1, δ2 ∈ R, δ, δ21+δ22 6= 0, λ > 0, λ0 ≥ 0. 76 2.4 List of one-dimensional representative subalgebras contained in L0.

The parameters are a, ai, λ, δ∈ R, δ 6= 0, λ > 0. . . 79 2.5 List of two-dimensional representative subalgebras contained in L0.

The parameters are a, ai, λ, δ∈ R, δ 6= 0, λ > 0. . . 79 2.6 List of one-dimensional representative subalgebras contained in L1.

(16)

2.7 List of two-dimensional representative subalgebras contained in L1. The parameters are ai ∈ R and ǫ = ±1.. . . 81 3.1 Commutations relations for L. . . 104 3.2 One-dimensional representatives of the conjugation classes of L. The

parameters are : a, b, c, d, δ, ¯δ ∈ R, δ ≥ 0, ¯δ > 0, ǫ = ±1, ˜ǫ ∈ {−1, 0, 1}106 3.3 Two-dimensional representatives of the conjugacy classes of L. The

parameters are : a, b, c, d, δ, ¯δ ∈ R, δ ≥ 0, ¯δ > 0, ǫ = ±1, ˜ǫ ∈ {−1, 0, 1}107 3.4 Three-dimensional representatives of the conjugacy classes of L. The

parameters are : a, b, c, d, δ, ¯δ ∈ R, δ ≥ 0, ¯δ > 0, ǫ = ±1, ˜ǫ ∈ {−1, 0, 1}107 5.1 The results of superpositions of simple waves determined by (5.3.1)

(17)

REMERCIEMENTS

Tout d’abord, je veux remercier tous les membres du jury d’avoir accepté la responsabilité de l’évaluation de cette thèse, laquelle est essentielle à l’obten-tion du grade de Philosophæ Doctor en mathématiques.

Je veux aussi exprimer ma gratitude envers tous les professeurs de phy-sique et mathématiques qui m’ont enseigné avec rigueur et passion ces deux matières tout au long de mon éducation scientifique.

J’adresse également une grande reconnaissance à mes collègues et amis pour leur soutien, spécialement à Benoit et Rémi.

Je suis redevable à Anne-René d’avoir vérifié la grammaire et l’orthographe de certaines parties de la thèse.

L’appui inconditionnel de mes parents et de mon frère a été un atout incon-testable à ma réussite.

Il va sans dire que l’amour, l’appui et la patience de ma femme Jennifer m’ont été indispensables durant cette période de ma vie.

Finalement, mes plus sincères remerciements vont à mon directeur de thèse et ami Alfred Michel Grundland, à qui je suis redevable pour toutes les connais-sances qu’il m’a transmises, pour la très grande disponibilité dont il a fait preuve et pour toutes les discussions intéressantes que nous avons eues.

(18)
(19)

AVANT-PROPOS

Cette thèse traite de l’application et du développement de méthodes de résolu-tion de systèmes d’équarésolu-tions aux dérivées partielles quasilinéaires du premier ordre. Elle suit un mode de présentation par articles et se scinde en deux vo-lets. Le premier est composé des chapitres 1 à 3 correspondant respectivement aux articles [45] à [47], dont les deux premiers sont déjà publiés et l’autre est en révision. Cette première partie porte sur une analyse du groupe de symé-tries d’un modèle de la plasticité idéale. Son attrait principal réside dans le fait que les solutions obtenues par une telle analyse peuvent conduire à des applications concrètes en industrie pour des procédés se rapportant à des dé-formations plastiques. Le second volet de cette thèse porte sur les méthodes de résolution basées sur l’introduction de variables appelées les invariants de Riemann. Elle est composée des chapitres 4 et 5 correspondant aux articles [32] et [33] qui sont actuellement soumis. On y adapte des méthodes, jusque là applicables à des systèmes hyperboliques autonomes et homogènes, pour les rendre utilisables à des systèmes elliptiques autonomes et homogènes, i.e. la méthode des caractéristiques généralisées et une méthode basée sur la mé-thode des symétries conditionnelles et les invariants de Riemann dévelop-pée dans [30, 31]. On développe également, dans le second volet, une mé-thode s’appliquant directement à des systèmes non-homogènes, autant hy-perboliques qu’elliptiques, mais qui en plus ont le potentiel de s’appliquer à des systèmes non-autonomes. Le mode de présentation choisi implique que chaque chapitre est auto-cohérent. Par conséquent, certaines notations et no-tions peuvent être introduites plus d’une fois dans la thèse.

(20)
(21)

La présente thèse se compose de deux volets principaux. Le premier volet est constitué d’une analyse du groupe de symétries de systèmes décrivant l’écou-lement planaire de matériaux à la plasticité idéale. Ce volet s’étend des cha-pitres 1 à 3. L’objectif de cette l’étude du point de vue du groupe de symé-tries de la plasticité idéale est la caractérisation de la structure de l’algèbre de symétries, l’obtention de nouvelles solutions et leurs interprétations phy-siques, lesquelles peuvent souvent conduire à de nouveaux procédés en indus-trie ou à leur perfectionnement. Les systèmes stationnaire et non-stationnaire sont considérés. Le second volet traite des méthodes de résolution de systèmes d’équations aux dérivées partielles (EDP) quasilinéaires du premier ordre fon-dées sur l’introduction de nouvelles variables appelées les invariants de Rie-mann. L’objectif de ce second volet, qui inclut les chapitres 4 et 5, consiste en l’adaptation et le développement de ces méthodes afin de les rendre appli-cables d’une part à des systèmes quasilinéaires du type elliptique (tout en res-tant applicables aux systèmes hyperboliques) et d’autre part à des systèmes non-homogène. Les sujets de ces deux volets sont reliés puisque dans le se-cond, on établit le lien entre les méthodes basées sur les invariants de Riemann et la méthode des symétries conditionnelles (MSC) (voir e.g. [25, 31]).

En ce qui concerne les méthodes utilisées dans l’analyse de groupe effec-tuée au premier volet, elles sont bien développées dans la littérature. Pour ob-tenir les générateurs du groupe de symétries, les techniques infinitésimales appliquées aux systèmes étudiés dans cette thèse sont présentées, par exemple dans les ouvrages [4, 54, 56]. La méthode de réduction par symétrie (MRS) qui est employée dans les trois premiers chapitres est également bien traitée dans la littérature (e.g. [4, 54, 56]). Elle se base sur l’idée de rechercher des so-lutions invariantes sous l’action d’un sous-groupe du groupe de symétrie G d’un système d’équations différentielles. L’approche fait intervenir les sous-algèbres de l’algèbre de Lie L de symétries, lesquelles sont en correspondance biunivoque avec les sous-groupes de G. Les éléments du groupe de symétrie

(22)

transformant par définition toute solution du système en une autre solution de ce système, il peut arriver que deux solutions invariantes correspondant à deux sous-groupes distincts puissent être reliées par une transformation du groupe G. Ce phénomène survient exactement lorsque les deux sous-groupes sont conjugués par l’action du groupe G. Afin de pouvoir obtenir de façon systématique toutes les solutions invariantes non-équivalentes (à une transfor-mation du groupe près) admises par un système d’équations différentielles, il faut procéder à une classification en classe de conjugaison des sous-groupes de G. De façon équivalente, par l’application de la formule de Baker-Campbell-Hausdorff, on peut effectuer cette classification sur l’algèbre de Lie de symé-tries afin d’obtenir les classes de sous-algèbres qui correspondent aux classes de sous-groupes. Les méthodes et algorithmes de cette classification ont été dé-veloppés par J. Patera, P. Winternitz et H. Zassenhaus dans [57, 58, 60] et sont résumés dans [74]. Elles sont appliquées aux chapitres 1 à 3. L’objectif du pre-mier volet est d’effectuer une étude systématique du point de vue de l’analyse du groupe de symétries de systèmes modélisant l’écoulement planaire de la plasticité idéale. Cette étude débute avec l’analyse d’un écoulement statique-ment déterminé par le système (0.0.1), puis se poursuit avec celle du système dynamique (0.0.6) comprenant des termes de forces et d’accélérations. Dans les deux premiers chapitres, on s’intéresse au système stationnaire [11, 17, 37, 43]

σx− 2k (θxcos(2θ) + θysin(2θ)) = 0, σy− 2k (θxsin(2θ) − θycos(2θ)) = 0, (uy+ vx)sin(2θ) + (ux − vy)cos(2θ) = 0,

ux+ vy = 0,

(0.0.1)

d’EDP quasilinéaires du premier ordre. Il met en relation les quatres variables dépendantes u, v, σ et θ comme fonctions des variables indépendantes x et y. Les grandeurs u et v sont les composantes de la vélocité des éléments de volume du matériau selon l’axe des x et y respectivement. La variable σ re-présente la pression moyenne et θ un angle définissant le tenseur des con-traintes (voir Annexe A). La constante k est nommée la limite d’écoulement et sa valeur dépend du matériau plastique modélisé. Dans le premier chapitre, on traite une certaine sous-algèbre finie de l’algèbre de symétrie du système (0.0.1) que l’on classifie en classes de conjugaison sous l’action de son groupe d’automorphisme. On s’inspire ensuite de la forme des invariants des sous-algèbres pour poser des Ansatzes plus généraux qui englobent simultanément

(23)

plusieurs classes de sous-algèbres. Plus précisément, on solutionne la condi-tion de compatibilité des dérivées mixtes de σ par rapport à x et y en supposant que

θ= J(ξ(x, y)),

où ξ(x, y) est une variable de symétrie correspondant à une sous-algèbre de la liste classifiée (voir les Tableaux 1.2-1.5). La fonction J ne dépendant que d’une seule variable, la condition de compatibilité pour σ se réduit à une équa-tion différentielle ordinaire (EDO) du second ordre pour J. La soluéqua-tion à cette EDO permet l’obtention de σ par quadrature des deux premières équations du système (0.0.1). Par la suite, s’inspirant de la forme des invariants, on pose la forme de la solution pour les composantes u et v de la vélocité, comme par exemple, la forme séparée additivement

u= f(x, y) + F(ξ), v= g(x, y) + G(ξ).

On cherche alors à déterminer les fonctions f et g les plus générales qui permet-tront de réduire les deux dernières équations de (0.0.1) à un système d’EDO pour F et G en fonction de la variable de symétrie ξ. Les solutions ainsi ob-tenues ne sont pas nécessairement invariantes et donc potentiellement plus générales, c’est-à-dire partiellement invariantes ou conditionnellement inva-riantes. Un ensemble de solutions ainsi trouvées sont présentées au chapitre 1. Les symétries utilisées dans ce chapitre étaient connues dans la littérature [2, 26, 68], mais leur classfication en classes de conjugaison discutée plus haut n’avait jamais été effectuée. Toutefois, dans le chapitre 2, deux nouveaux géné-rateurs sont obtenus complétant ainsi l’algèbre de symétrie du système (0.0.1) connue jusqu’alors [2, 26, 68]. Ces deux nouveaux générateurs sont B1et K tels que définis aux équations (2.2.1) du chapitre 2, i.e.

B1= −v∂x + u∂y,

K=(−12xcos 2θ − y(σ + 12sin 2θ))∂x+ ((σ −12sin 2θ)x + 12ycos 2θ)∂y + (1 2ucos 2θ + v( 1 2sin 2θ − σ))∂u+ ((σ + 1 2sin 2θ)u − 1 2vcos 2θ)∂v + θ∂σ+ σ∂θ. (0.0.2) On montre comment la fermeture de l’algèbre sous le crochet de Lie permet de créer une suite de générateurs engendrant un idéal abélien de dimension infinie. Cet idéal est engendré par les crochets de Lie [K, Pi]du nouveau géné-rateur K avec les solutions de base des génégéné-rateurs

(24)

où ξ, η, φ et ψ sont des solutions des EDP quasilinéaires du premier ordre ξσ =cos (2θ) ξθ+sin (2θ) ηθ, ξθ =cos (2θ) ξσ+sin (2θ) ησ, φσ = − (cos (2θ) + sin (2θ) ψθ) , φθ = − (cos (2θ) φσ+sin (2θ) ψσ)

(0.0.4) et les Pi, qui correspondent aux solutions constantes de (0.0.4), sont donnés par P1 = ∂x, P2 = ∂y, P3 = ∂u, P4 = ∂v. (0.0.5) En notant Z0 = {P1, P2, P3, P4}la sous-algèbre abélienne engendrée par les géné-rateurs (0.0.5), on peut produire une sous-algèbre abélienne Z1= [K, Z0] résul-tant du crochet de Lie de K avec chacun des générateurs (0.0.5). Ainsi de suite, on engendre par récurrence les sous-algèbres Zn+1 = [K, Zn]. On montre com-ment les relations de commutation des élécom-ments des sous-algèbres abéliennes Zn avec ceux de la sous-algèbre S, engendrée par les générateurs (2.2.1) du chapitre 2, peuvent être déterminées par récurrence à partir des commutateurs de (0.0.5) avec les éléments de S. Ceci m’a permis de déterminer complète-ment la structure de la sous-algèbre L = S ⊲ Z, où Z = Z0 ⊕ Z1 ⊕ · · · , qui est la sous-algèbre minimale incluant les générateurs (0.0.5). Par la suite, la connaissance de cette structure m’a permi de classifier toutes les classes de sous-algèbres ayant une représentante dans un sous-espace (n’étant pas néces-sairement une sous-algèbre) de dimension finie de l’algèbre de Lie. Ceci per-met de procéder à la classification des sous-algèbres de L de manière itérative. Les premières étapes de cette classification ont été effectuées pour les sous-espaces L0 = S × Z0et L1 = L0× Z1et les résultats sont résumés aux tableaux 2.4-2.7. Des illustrations de solutions invariantes et partiellement invariantes sont données à la section 2.3, ainsi que leurs interprétations physiques per-mettant de déduire la forme de filières d’extrusion potentiellement réalisables. Une filière d’extrusion est un outil comprenant une forme creuse au travers de laquelle on fait passer le matériau plastique pour lui faire prendre cette forme. Pour plus de détails sur les filières d’extrusion et la manière de déter-miner leur formes à partir de solutions explicites, on consultera l’annexe A. Le système (0.0.1) décrit un écoulement statiquement déterminé. Afin de pouvoir considérer des planaires dynamiques, on considère au chapitre 3 le système un peu plus général de la forme

σx− (θxcos(2θ) + θysin(2θ)) − ρ (F1− ut− uux− vuy) = 0, σy− (θxsin(2θ) − θycos(2θ)) − ρ (F2− ut− uvx− vvy) = 0,

(uy+ vx)sin(2θ) + (ux− vy)cos(2θ) = 0, ux+ vy = 0,

(25)

où, pour diminuer le nombre de constantes dans le système, on a supposé que σ est 2k fois la pression moyenne et la constante ρ est la densité divisée par 2k. La constante k garde la même signification, i.e. la limite d’écoulement du matériau. Le système (0.0.6) contient des termes de forces et d’accélérations supplémentaires dans les deux premières équations. Dans le cas où les termes de force (F1, F2) et d’accélération (du/dt, dv/dt) s’annulent (si l’on suppose que la vitesse est indépendante du temps), le système coïncide bien avec celui du cas stationnaire (0.0.1). Il est à noter que les grandeurs (F1, F2)sont en fait les composantes de la force divisées par la constante ρ. Le système (0.0.6) fai-sant intervenir les compofai-santes de la force, l’algèbre de symétries du système (0.0.6) dépend donc de la forme de la force intervenant dans le système. Afin de pouvoir procéder à une analyse de groupe de symétries du système (0.0.6), il est donc nécessaire de choisir le type de force qui intervient. Les algèbres de symétries varient donc selon le type de forces choisi. Par conséquent, il est commode d’effectuer une classification des familles de forces et des algèbres de Lie de symétries du système (0.0.6) qui leurs correspondent. Une étape pré-liminaire à cette tâche est présentée à la section 3.2 où plusieurs types de forces ont été considérés et les algèbres de Lie de symétries associées sont détermi-nées. Parmi les forces considérées, mentionnons l’importance des forces mo-nogéniques. Ce sont des forces dont les composantes sont les dérivées d’une même fonction scalaire des variables indépendantes. Elles sont les forces qui admettent la plus large algèbre de symétries. De plus, des forces dépendant des composantes de la vitesse u et v, incluant certaines qui s’expriment en termes de fonctions arbitraires du module de la vitesse u2 + v2, sont présen-tées à la section 3.2. À la section 3.3, l’algèbre de symétrie du système (0.0.6), lorsque la force est monogénique, est classifiée en classe de conjugaison sous l’action des automorphismes du groupe de symétries. Le chapitre 3 se conclut avec quelques exemples de réduction par symétrie pour différents types de forces qui conduisent à des solutions non-stationnaires présentées à la section 3.4 et quelques remarques à la section 3.5 sur les résultats du chapitre 3. Ceci complète les travaux du premier volet.

Le second volet de la thèse porte sur le développement des méthodes ba-sées sur les invariants de Riemann avec une attention particulière portée sur les systèmes d’EDP quasilinéaires de type elliptique. Il est à noter que très peu de résultats concernant les solutions en termes d’invariants de Riemann existent pour les systèmes elliptiques dans la littérature. Le sujet est principalement développé pour les systèmes hyperboliques. L’idée de simplifier l’intégration d’un système quasilinéaire du premier ordre par l’introduction de nouvelles

(26)

variables (appelées par la suite les invariants de Riemann), ayant la propriété d’être constantes le long de certaines courbes caractéristiques de l’espace des variables indépendantes, a pris naissance dans [66]. Dans cet ouvrage, B. Rie-mann s’est intéressé à la propagation et la superposition d’ondes parallèles dans un gaz idéal modélisé par les équations

∂ρ ∂t + ∂(pu) ∂x = 0, ∂u ∂t + u ∂u ∂x = − φ′(ρ) ρ ∂ρ ∂x, (0.0.7)

où φ(ρ) est une fonction dont la forme dépend de la loi des gaz choisie et φ′(ρ) est sa dérivée. Les équations (0.0.7) sont les équations d’Euler en une dimension spatiale pour lesquelles u = u(t, x) est la vitesse, ρ = ρ(t, x) est la densité et on a fait l’hypothèse que la pression est une fonction différentiable de la densité, i.e. p = φ(ρ). Il a remarqué qu’en effectuant le changement de variables

Z

φ′(ρ)1/2dlog ρ + u = 2r, Z

φ′(ρ)dlog ρ − u = 2s, (0.0.8) il pouvait résoudre le problème plus simple

∂r ∂t = − u + φ ′(ρ)1/2 ∂r ∂x, ∂s ∂t = − u − φ ′(ρ)1/2 ∂s ∂x, (0.0.9)

pour les quantités r et s, où u et ρ sont traités comme des fonctions de r et s via (0.0.8) (après le choix de φ(ρ)). Une observation clé qu’il a émise est que mo-dulo les équations (0.0.9), on déduit que les différentielles dr et ds s’annulent respectivement sur les courbes de l’espace-temps définies par les relations

dx =u + φ′(ρ)1/2 dt et dx = u − φ(ρ)1/2 dt. (0.0.10) Par conséquent, les grandeurs r et s ont la propriété d’être invariantes le long de certaines courbes caractéristiques définies par les équations (0.0.10). Les re-lations (0.0.10) définissent des formes différentielles lorsque tous les termes sont regroupés d’un même côté des équations. Dans des travaux ultérieurs, ces formes différentielles sont appelées les vecteurs d’onde, car elles définissent les trajectoires de propagation des ondes. C’est cette idée générale qui est le fondement de toutes les méthodes se basant sur les invariants de Riemann comme la méthode des caractéristiques généralisée (MCG) pour les systèmes quasilinéaires homogènes hyperboliques. Cette méthode a été introduite pour la première fois par M. Burnat dans [5, 8, 9] (il a introduit la notion d’éléments intégraux simples et a cherché des solutions construites à partir de ces éléments simples) et développée par la suite par Z. Peradzinski dans [63, 64] (il a consi-déré des solutions construites à partir de combinaisons linéaires d’éléments

(27)

intégraux simples). Pour les systèmes du même type mais non-homogènes, la MCG a été adaptée par A.M. Grundland et R. Zelazny dans [29, 36] par l’in-troduction d’états simples correspondant à la partie non-homogène et qui sont les analogues des éléments simples, introduits dans [5] pour les systèmes ho-mogènes. Pour plus de précision sur les notions d’éléments simples et états simples, voir l’annexe B. Comme B. Riemann l’a démontré dans [66], les solu-tions obtenues par de telles approches peuvent être interprétées comme l’inter-action de deux ondes (ou de k ondes), initialement disjointes, qui retrouvent par après leur caractère individuel. Il a aussi constaté que certaines solutions deviennent infinies après un temps fini T > 0 même pour des données initiales arbitrairement petites. Ceci est provoqué par le fait que les dérivées premières de la solution tendent vers l’infini à ce temps T. Ce phénomène est connu comme étant la catastrophe du gradient et s’apparente souvent à la formation d’onde de choc. Le problème des ondes de Riemann et de leur superposition a été bien développé dans la littérature pour les systèmes autonomes quasili-néaires du premier ordre (voir e.g. [15, 52, 48, 75]). Des généralisations des mé-thodes basées sur les invariants de Riemann ont été tentées (e.g. [20, 21, 22]). Plus précisément, la relation entre les méthodes basées sur les invariants de Riemann et celles fondées sur les symétries s’est vue éclaircie pour la première fois par A.M. Grundland et B. Huard dans [30, 31] avec l’utilisation des in-variants de Riemann dans le cadre de la MSC. L’approche qui en a résulté se limitait aux systèmes quasilinéaires hyperboliques du premier ordre. Une adaptation de cette méthode a été utilisée par R. Conte, A.M. Grundland et B. Huard dans [13] pour obtenir des solutions en termes de fonctions elliptiques P de Weierstrass pour un système d’équations de la dynamique des fluides isentropiques de type hyperbolique. Dans cette thèse, elle est étendue de fa-çon à être encore plus générale au sens où elle devient applicable aux systèmes quasilinéaires du premier ordre de type elliptique en plus de rester applicable aux systèmes de type hyperbolique. Les systèmes d’équations aux dérivées partielles de premier ordre et de type quasilinéaire de la forme

Aµiα(u)u α i = b

µ

(u), α= 1, . . . q, µ = 1, . . . , m, i = 1, . . . , p, (0.0.11) où m est le nombre d’équations, q de variables dépendantes et p de variables indépendantes, peuvent être traités à l’aide de différentes méthodes incluant, parmi plusieurs autres, celles s’appuyant sur l’existence de symétries telle que la méthode de réduction par symétrie (MRS) utilisée dans le premier volet de cette thèse. Une autre méthode fréquemment utilisée est la MCG dont l’appli-cation se limite essentiellement aux systèmes hyperboliques. Dans le cas d’une

(28)

onde simple, la MCG repose sur la possibilité de pouvoir décomposer toutes les dérivées partielles des grandeurs cherchées sous la forme factorisable

∂uα

∂xi = ξ(x)γ α(u)λ

i(u), (0.0.12)

c’est-à-dire que la différentielle totale s’exprime comme un produit tensoriel du = ξ(γ ⊗ λ) des deux vecteurs λ et γ. Dans le cas homogène (bµ = 0), une condition nécessaire pour que cette décomposition soit possible est que la relation d’onde

Aµiα(u)λi(u)γα(u) = 0 (0.0.13)

soit satisfaite par les vecteurs d’onde λ et les vecteurs de polarisation γ. Le vecteur d’onde est associé à la direction de propagation de l’onde et le vecteur de polarisation à l’amplitude de l’onde. La relation (0.0.13) peut être résolue pour γ si et seulement si la relation de dispersion

rang Aiλ

i =min {m, q} , Ai ≡ Aµiα ∈ R

m×q, (0.0.14)

peut être résolue pour λ. Pour considérer des solutions du système (0.0.11) représentant la superposition de k ondes à l’aide de la MCG, il faut considérer k paires de vecteurs d’onde λA et γA qui satisfont chacune la relation d’onde (0.0.13), la relation de dispersion (0.0.13) et la condition (0.0.14). Pour qu’une solution de rang k existe, le système doit être en involution. On a montré [35] qu’il est donc nécessaire de satisfaire les conditions

(i) γA, γB ∈ spanγA, γB , (ii) λA

B ∈ span 

λA, λB , (0.0.15) A6= B = 1, . . . , k, imposées aux vecteurs λAet γA, A = 1, . . . , k. Ces conditions sont restrictives, mais néanmoins plusieurs solutions de ce type existent dans la littérature comme par exemple pour les systèmes de type hydrodynamique incluant les équations de la dynamique des fluides, de Maxwell, de la plasticité et de la mécanique continue pour ne nommer que celles-là. Étant généralement intéressé aux solutions réelles pour ce type de système, on fait l’hypothèse que les vecteurs λ et γ sont réels, ce qui rend la méthode applicable aux systèmes hyperboliques seulement. Afin d’élargir les classes de solutions en termes des invariants de Riemann, une méthode applicable aux systèmes hyperboliques a été développée dans [30, 31]. Elle permet l’assouplissement des conditions (0.0.15) et établit le lien entre les solutions en termes d’invariants de Riemann et la MSC. Dans le second volet de cette thèse, on s’applique à développer les méthodes basées sur les invariants de Riemann de manière à les rendre appli-cables non seulement aux systèmes hyperboliques mais également à ceux de type elliptique. Ceci peut se faire par la complexification des vecteurs d’onde

(29)

λet des vecteurs de polarisation γ. Cette idée a été mise de l’avant pour la pre-mière fois dans [71]. Dans le chapitre 4, on discute de cette complexification appliquée à la méthode des caractéristiques ainsi que des conditions qui s’im-posent sur les vecteurs complexes λ et γ. Cette complexification s’effectue en remplaçant la condition (0.0.12) sur la décomposition des dérivées partielles de la solution, par la décomposition de la forme

∂uα

∂xi = ξ(x)γ α(u)λ

i(u) + ¯ξ(x)¯γα(u)¯λi(u), (0.0.16) ou de manière alternative

∂uα

∂xi = i ξ(x)γ α

(u)λi(u) − ¯ξ(x)¯γα(u)¯λi(u) ,

où i est le nombre imaginaire, la fonction des variables indépendantes ξ(x) est complexe, ¯ξ(x) est sa conjuguée complexe et le vecteur d’onde λ(u) et les vec-teurs de polarisation γ(u) sont des solutions complexes de la relation d’onde (0.0.13) et de dispersion (0.0.14). Les vecteurs conjugués complexes ¯λ(u) et ¯γ(u) sont trivialement aussi des solutions de (0.0.13) et (0.0.14). On montre que les conditions nécessaires à l’existence d’une solution, correspondant à l’hypo-thèse (0.0.16) sur la décomposition des dérivées, deviennent pour un mode simple (voir la définition d’un mode simple donnée à la section 4.2)

[γ,¯γ] = αγ − ¯α ¯γ, λ,γ∧ ¯λ ∧ λ= 0, ¯λ,γ∧ λ ∧ ¯λ= 0.

Elles sont très restrictives, ce qui fait en sorte que peu de solutions trouvées de cette manière existent dans la littérature. Les limitations imposées par ces conditions restrictives justifient de porter la complexification à la méthode développée dans [30, 31] afin de permettre l’affaiblissement des conditions (0.0.15) tout en rendant la méthode applicable à des systèmes elliptiques ho-mogènes. Cette tâche est entreprise à la section 4.3 (chapitre correspondant à l’article [32]), où on obtient des conditions nécessaires et suffisantes à l’exis-tence de solutions exprimées en termes d’invariants de Riemann en utilisant le critère de symétrie. On y discute aussi les liens entre ces types de solutions et la MSC. Dans cette complexification de la méthode développée dans [30, 31], l’approche repose sur le fait que l’on suppose la solution sous la forme

u= f(r,¯r) + ¯f(r, ¯r),

où f est une fonction à valeur complexe, ¯f sa conjuguée complexe, qui dé-pendent de k invariants de Riemann

(30)

et leurs conjuguées complexes

¯r = ¯r1, . . . ,¯rk , ¯rA(x, u) = ¯λA(u)xi, (0.0.18) pour remplacer l’hypothèse u = g(r), où g est à valeur réelle. Les vecteurs com-plexes λA et leurs conjugués complexes ¯λA jouent le rôle des vecteurs d’onde dans le cas réel. Dans cette thèse, ces vecteurs sont appelés des vecteurs d’onde par analogie au cas réel même lorsqu’ils sont complexes, mais il faut être cons-cient qu’ils ne peuvent plus être interprétés comme une direction de propaga-tion dans un espace physique. Le fait que l’on suppose que la solupropaga-tion est la partie réelle d’une fonction complexe (de façon alternative, on pourrait la sup-poser être la partie imaginaire) nous assure qu’elle est à valeur réelle tout en nous permettant l’introduction des invariants complexes (0.0.17) (correspon-dants à des vecteurs d’onde et de polarisation complexes). Par une procédure analogue à [30, 31], on peut par la suite utiliser une version du théorème de Cayley-Hamilton pour obtenir des conditions sous forme de trace sur la forme de la solution qui sont nécessaires et suffisantes à l’existence d’une algèbre de symétries conditionnelles et de ses solutions exprimées en termes d’invariants de Riemann. L’utilisation du théorème de Cayley-Hamilton nécessite que le système elliptique étudié soit homogène et quasilinéaire, ce qui implique di-rectement que la méthode s’applique à des systèmes de ce type. Pour pouvoir s’appliquer à des systèmes non-homogènes, la méthode des symétries condi-tionnelles pour les invariants de Riemann doit être adaptée davantage. Cette adaptation est présentée dans les cinquième et sixième sections du chapitre 4 pour les ondes simples de Riemann (pour des vecteurs d’onde réels) et les modes simples (pour les vecteurs d’onde complexes) pour les systèmes non-homogènes. Cette nouvelle approche se base sur l’introduction de fonctions matricielles LA(x, u), des variables indépendantes x et dépendantes u, permet-tant d’exprimer certains vecteurs de dérivées de manière algébrique en termes de la partie non-homogène. Ceci permet d’une part d’obtenir une condition algébrique sur les vecteurs d’onde et les fonctions matricelles et d’autre part d’obtenir le système différentiel en termes des invariants de Riemann sous une forme canonique en ce sens que l’on aura le vecteur de dérivées des inconnues d’un côté de l’équation et un vecteur algébrique de l’autre. Par la suite, l’intro-duction de champs de vecteurs orthogonaux aux vecteurs d’onde permet d’ob-tenir des conditions nécessaires et suffisantes afin que le système en termes des invariants de Riemann soit bien défini. Pour préciser ces notions, considérons le cas le plus simple, c’est-à-dire celui de l’onde simple de Riemann. Soit un

(31)

système quasilinénaire du premier ordre non-homogène de la forme

Aiµα(u)uαi = bµ(u), µ= 1, . . . , m, α = 1, . . . , q, i = 1, . . . , p, (0.0.19) leurs dérivées premières par rapport aux p variables indépendantes. De plus, pour simplifier l’exposé, supposons que le système est bien déterminé, i.e. que le nombre d’équations est m = q. On cherche des solutions de la forme

u= f(r), r= λi(u)xi, i= 1, . . . , p, (0.0.20) où les vecteurs d’onde λ(u) est réel. La matrice jacobienne d’une solution de la forme (0.0.20) est donnée par

∂u= Φ−1df drλ∈ R q×q, (0.0.21) où Φ=  Iq− df dr ∂r ∂u  ∈ Rq×q (0.0.22)

a été supposée inversible et la matrice identité de dimension q × q est notée Iq. Dans cette thèse, on se limitera toujours au cas où la matrice Φ est inversible. En éliminant les éléments de la matrice jacobienne uα

i du système (0.0.19), on obtient le système sous forme matricelle

λiAiΦ−1 df dr = b, (0.0.23) où on a noté Ai = Aµi α  et b = b1, . . . , bqT

. Puisque le système est bien déterminé, Φ−1 df

dr est un vecteur réel de même dimension q que le vecteur b, lui aussi réel. Par conséquent, il existe nécessairement une matrice de rotation L(x, u) (pour rendre les vecteurs colinéaires) et une fonction scalaire Ω(x, u) (pour les rendre de même longueur) qui transforment le vecteur Φ−1 df

dr en le vecteur b, i.e. que la relation

ΩLφ−1df dr = b a lieu. De manière équivalente, on peut écrire

Φ−1df

dr = ΩLb. (0.0.24)

En éliminant le vecteur Φ−1 df

dr de l’équation (0.0.23), on trouve la relation algé-brique

(32)

dans laquelle on a pu factoriser à droite le vecteur b de la partie non-homogène de (0.0.19). Il est à noter qu’on peut généraliser la relation (0.0.24) et décompo-ser le vecteur Φ−1 df

dr sous la forme Φ−1df

dr = ΩLb + τ, (0.0.26)

à la condition que le vecteur τ(x, u) satisfasse la relation

λiAiτ= 0. (0.0.27)

La relation plus générale (0.0.26) peut être utilisée au lieu de la relation (0.0.24) dans la démarche ci-haut et on obtiendra tout de même l’équation (0.0.25). Le vecteur τ est déterminé par la partie homogène du système, c’est pourquoi on l’appellera vecteur caractéristique de la partie homogène. L’équation (0.0.25) représente un problème spectral où le vecteur propre b est connu et la matrice de rotation L(x, u), la fonction scalaire Ω(x, u) et les valeurs propres λi(u)sont à déterminer. Supposons à présent que les conditions algébriques (0.0.25) et (0.0.27) sont satisfaites. En multipliant le système (0.0.26) par la gauche avec la matrice Φ, puis en résolvant algébriquement pour obtenir le vecteur df/dr, on trouve df dr = ΩLb+ τ 1+ ∂λi ∂u (ΩLb + τ) x i, 1+ ∂λi ∂u (ΩLb + τ) x i 6= 0. (0.0.28)

Le fait que les conditions (0.0.25) et (0.0.27) soient vérifiées ne garantit pas que le système (0.0.28) est bien défini en ce sens que le côté droit de l’équation doit s’exprimer en termes de r et u seulement. Toutefois, il s’exprime en termes de la matrice de rotation L, la fonction scalaire Ω et le vecteur d’onde λ qui satisfont les équations (0.0.25) et (0.0.27) qui contiennent généralement des paramètres et fonctions arbitraires nous permettant de s’assurer que le système (0.0.28) est bien défini. Pour se faire, on introduit les champs de vecteurs

Xa = ξia(u)∂ i

x, a= 1, . . . , p − 1, (0.0.29)

satisfaisant la relation d’orthogonalité

ξiaλi = 0, a= 1, . . . , p − 1. (0.0.30) Les champs de vecteurs (0.0.29) annihilent toute fonction de l’invariant de Rie-mann r. Ainsi, leur application sur l’équation (0.0.28) conduit à l’obtention des p− 1conditions Xa  ΩLb+ τ 1+ (∂λi/∂u) (ΩLb + τ) xi  = 0, a= 1, . . . , p − 1, (0.0.31)

(33)

qui sont nécessaires et suffisantes pour que le système (0.0.28) soit bien dé-fini. En résumé, les conditions (0.0.25), (0.0.27) et (0.0.31), avec les champs de vecteurs défini par (0.0.29) et (0.0.30), forment un ensemble de conditions suf-fisantes afin que toute solution du système (0.0.28) fournisse une solution du système (0.0.19) de la forme (0.0.20). Sous l’hypothèse que Aiet b sont des fonc-tions continues de u, les solufonc-tions pour λ, Ω et τ aux condifonc-tions algébriques (0.0.25) et (0.0.27) seront également continues. Si en plus, la fonction λ est de classe C1, le système d’EDO (0.0.28) sera de la forme f(r) = F(r, f(r)) avec F une fonction définie par le côté droit de l’équation (0.0.28) et qui est continue. Par conséquent, la solution existera toujours (voir eg [14, 38]), à la condition que les équations (0.0.25), (0.0.27) et (0.0.31) soient satisfaites. Il est à noter que l’équation (0.0.27) peut être solutionnée pour τ si et seulement si

det λiAi = 0. (0.0.32)

Ainsi, dans le cas homogène (où b = 0), la condition (0.0.25) est identiquement satisfaite et l’équation (0.0.28) se réduit à

df dr =

τ

1+ (∂λ/∂u)τxi

, 1+ (∂λ/∂u)τxi 6= 0. (0.0.33) Les conditions (0.0.27), (0.0.32) et le système d’EDO (0.0.33) correspondent à la méthode des caractéristiques. On peut donc voir la méthode présentée plus haut comme la généralisation naturelle aux systèmes non-homogènes. À la dif-férence de la méthode des caractéristiques généralisées pour les systèmes non-homogènes [36], la méthode discutée plus haut ne requiert pas l’introduction d’un vecteur d’onde supplémentaire correspondant à la partie non-homogène. Il est à souligner qu’il n’est pas nécessaire d’exiger que l’équation (0.0.32) ait lieu dans le cas non-homogène. En effet, la solution τ = 0 à l’équation (0.0.27) est acceptable, mais les solutions aux EDO (0.0.28) obtenues, si elles existent, perdront en généralité. Le système pourra quand même conduire à des solu-tions particulières intéressantes. Le vecteur λ étant associé à la direction de propagation de l’onde, les solutions particulières obtenues lorsque τ = 0 pour-ront représenter des ondes se propageant dans des directions non-admises par la méthode des caractérisques telle qu’appliquée habituellement [36] dû au fait qu’elle exige que l’équation (0.0.32) soit vérifiée et qu’elle corresponde au cas où τ 6= 0.

La méthode peut être généralisée pour rendre possible son application aux systèmes de type elliptique. C’est ce qui est effectué à la section 4.6. L’approche consiste en la complexification des vecteurs λ et τ, ainsi que de la matrice de

(34)

rotation L et de la fonction scalaire Ω. On s’intéressera dans ce cas aux solutions réelles de la forme

u= f(r,¯r), r = λixi, ¯r = λixi, (0.0.34) où ¯λ et ¯r représentent la conjugaison complexe de λ et r respectivement. On appellera, conformément à [71, 64], ce type de solution un mode simple. À une solution de la forme (0.0.34) correspond la matrice jacobienne

∂u= Φ−1 ∂f ∂rλ+ ∂f ∂¯r¯λ  ∈ Rq×p, (0.0.35) où Φ=  Iq− ∂f ∂r ∂r ∂u− ∂f ∂¯r ∂¯r ∂u  ∈ Rq×q. (0.0.36)

Par analogie avec l’onde simple, on introduit une matrice de rotation, cette fois-ci complexe, L(x, u) ∈ SO(q, C), un vecteur complexe τ(x, u) ∈ Cqet une fonc-tion scalaire complexe Ω(x, u) tels que la généralisafonc-tion de la relafonc-tion (0.0.26) ait lieu (où df/dr sont remplacés par ∂f/∂r). Les vecteurs f et b étant réels l’expression conjuguée complexe de (0.0.26) est

φ−1∂f

∂¯r = ¯Ω ¯Lb+ ¯τ, (0.0.37)

puisque Φ est une matrice réelle par sa définition. Les complexifications des équations (0.0.25) et (0.0.27) deviennent respectivement

Ai λiΩL+ ¯λiΩ ¯L − I¯ q b = 0 (0.0.38) et

Ai λiτ+ ¯λi¯τ = 0. (0.0.39)

Le système d’EDP pour f en termes de r et ¯r est ∂f ∂r = (1 +σ¯1)(ΩLb + τ) − σ2( ¯Ω ¯Lb+ ¯τ) |1+ σ1|2− |σ2|2 , ∂f ∂¯r = (1 + σ1)( ¯Ω ¯Lb+ ¯τ) − ¯σ2(ΩLb + τ) |1+ σ1|2− |σ2|2 , (0.0.40)

où les scalaires σ1et σ2sont définis par les équations σ1=

∂r

∂u(ΩLb + τ), σ2 =

∂¯r

∂u(ΩLb + τ).

Le système (0.0.40) est bien défini si les champs de vecteurs (0.0.29) annihilent les côtés droits des équations (0.0.40), où les coefficients ξi

a satisfont les p − 2 relations d’orthogonalité

(35)

Contrairement à l’onde simple, l’hypothèse d’un système homogène (b = 0) ne correspond plus à la méthode des caractéristiques généralisées puisque la condition (0.0.39) est moins restrictive que les conditions sur λ et τ (et leur conjuguées complexes)

Aiλiτ= 0, Ai¯λi¯τ = 0 (0.0.41)

de la MCG. Ceci nous donne de plus nombreux dégrés de liberté qui peuvent être utilisés pour résoudre le système (0.0.40) plus aisément. En particulier, si l’on résout les équations (0.0.38) et (0.0.39), de manière à ce que la matrice de rotation L, le vecteur λ et la fonction scalaire Ω s’expriment en termes de fonc-tions arbitraires (disons g(x,u)), alors ces foncfonc-tions arbitraires g pourront servir à satisfaire identiquement un certain nombre d’équations du système (0.0.40). Ce phénomène est bien illustré par l’exemple d’application de la section 4.7 dans lequel on obtient la solution générale d’un système décrivant la propaga-tion d’onde de choc lors de l’interacpropaga-tion non-linéaire d’ondes et de particules. Il est à noter que la dépendance en x du vecteur γ dans la MCG ne peut se faire qu’au travers d’un facteur scalaire, i.e. τ(x, u) = s(x)γ(u), ¯τ(x, u) = ¯s(x) ¯γ(u) (voir [29]), étant donné que les conditions (0.0.41) doivent être vérifiées. Ceci n’est pas le cas de l’approche présentée ci-haut car l’équation peut être résolue de manière à ce que τ et ¯τ contiennent des fonctions arbitraires de x et u ce qui élargit l’applicabilité de l’approche proposée. Les concepts introduits aux sec-tions 4 et 5 du chapitre 4 pour le cas de l’onde simple et du mode simple sont généralisés aux sections 4 et 5 du chapitre 5 (chapitre correspondant à l’article [33]) afin d’être applicables pour la construction de solutions dépendantes de kinvariants de Riemann. Les ondes multiples de Riemann sont traités à la sec-tion 4 et les modes multiples à la secsec-tion 5. Les ondes multiples de Riemann sont des solutions de la forme

u= f(r1(x, u), . . . , rk(x, u)), rA(x, u) = λAi x i, A

= 1, . . . , k. (0.0.42) En introduisant, les éléments de la matrice jacobienne d’une solution de la forme (0.0.42) (voir l’équation (4.6.2)) dans le système, on obtient l’équation

AiλAi  φ−1 ∂f ∂rA = b, (0.0.43) où Ai = Aµi α  et ∂f

∂rA est le vecteur formé de la colonne d’indice A de la matrice

∂f ∂r =

∂fα

∂rA ∈ Rq×k. On assume que le vecteur b = b1, . . . , bq

T

de la partie ho-mogène dépend seulement des variables dépendantes u. Pour chaque vecteur

(36)

φ−1 ∂f∂rA, A = 1, . . . , k, il s’agit d’effectuer la décomposition

φ−1 ∂f

∂rA = Ω(A)LAb+ τA, (pas de sommation), (0.0.44) où les k matrices de rotation LA ∈ SO(q), les k vecteurs τA et les k fonctions scalaires ΩA sont toutes dépendantes des x et u. Les analogues des conditions (0.0.25) et (0.0.27) sur ΩA, LA et τA, A = 1, . . . , k, sont respectivement

AiλAi τA = 0 (0.0.45) et k X A=1 ΩA AiλAi  LA − Iq b = 0. (0.0.46) Le système en termes des invariants de Riemann prend dans ce cas la forme

∂f ∂r = Lβb β + τ  Ik+ ∂r ∂u Lβb β + τ −1 , (0.0.47)

où les matrices ∂r/∂u, Lβet τ = sont définies par les équations ∂r ∂u =  ∂rA ∂uα  ∈ Rk×q, Lβ= Ω(A)LαAβ ∈ R q×k. (0.0.48)

Le système (0.0.47) est bien défini si les champs de vecteurs

Xa = ξia∂xi, ξiaλAi = 0, a1 =, . . . , p − k, A = 1, . . . , k, (0.0.49)

annihilent le côté droit des équations (0.0.47), i.e. Xa " Lβbβ+ τ   Ik+ ∂r ∂u Lβb β + τ −1# , a= 1, . . . , p − k. (0.0.50) Les conditions (0.0.45), (0.0.46), (0.0.49) et (0.0.50) ne garantissent pas l’intégra-bilité des EDP (0.0.47). Toutefois, si le systèmes (0.0.47) est intégrable modulo les conditions (0.0.45), (0.0.46), (0.0.49) et (0.0.50), alors toute solution du sys-tème (0.0.47) est une solution du syssys-tème (0.0.19) de la forme (0.0.42).

Comparons l’approche présentée avec la MCG. Supposons que l’on a ob-tenu une solution f du système (0.0.47), où ΩA, LAet τA, A = 1, . . . , k, satisfont les conditions (0.0.45), (0.0.46) et (0.0.49), (0.0.50). La solution u de la forme (0.0.42) aura donc une matrice jacobienne dont les éléments prennent la forme

∂uα ∂xi =

X A

(37)

que l’on peut écrire sous la forme ∂uα ∂xi = X A (ηA+ ταA) λ A i, (0.0.52) où ηα

A(x, u) = Ω(A)LαAβbβ. L’équation (0.0.52) peut s’écrire sous la forme matri-cielle

∂u

∂x = (η1+ τ1) ⊗ λ 1

+ · · · + (ηk+ τk) ⊗ λk. (0.0.53) La décomposition (0.0.53) de la matrice jacobienne caractérise la structure des solutions en onde multiple de Riemann. On y constate bien les vecteurs de polarisation du premier terme sont constitués d’un terme τ1de contribution à la partie homogène et d’un terme η1 correspondant à la partie non-homogène b du système. Quoique la MCG se base sur une décomposition de la forme (0.0.53), la condition (0.0.51) sur la décomposition est ici moins restrictive que la condition (0.0.16) de la MCG. En effet, les conditions (0.0.45) et (0.0.46) sont plus faibles que les conditions (0.0.13) et (0.0.14).

La généralisation aux modes multiples s’effectue à partir du mode-simple en procédant par analogie aux ondes multiples. Cette adaptation est discutée à la section 5.5. Les méthodes des sections 5.4 et 5.5 se basent sur le fait que les vecteurs Φ−1 ∂f

∂ret b sont de même dimension, puisque le système a été sup-posé bien-déterminé m = q. Toutefois, elles peuvent être modifiées pour être applicables à des systèmes sous-déterminés. Cette tâche est entreprise dans les sections 5.6 et 5.7 respectivement pour les ondes multiples et les modes mul-tiples. L’idée repose sur une décomposition similaire à celle donnée à l’équa-tion (0.0.44) de l’onde multiple pour les systèmes bien-déterminés. Dans le cas sous-déterminé (m < q) de m équations, la décomposition prend la forme

Φ−1 ∂f

∂rA = PAb+ τA, b= (b

1, . . . , bm)T, A= 1, . . . , k,

où les matrices PA ∈ Rq×m s’expriment en termes de matrices de rotation LA(x, u) ∈ SO(m), où m est le nombre d’équations, de fonctions scalaires ΩαA(x, u)et certaines matrices de sélection Mα = (δαiδj1) ∈ Rq×m

PA = q X

α1

ΩαAMαLA, A= 1, . . . , k.

La suite de cette adaption suit des étapes similaires aux systèmes bien-déterminés et est donnée en détail à la section 5.6. L’adaptation correspondante pour les modes multiples est détaillée à la section 5.7. Le chapitre 5 se conclut avec des exemples d’applications des méthodes introduites. Dans deux de ces exemples, les méthodes sont appliquées sur des systèmes bien-déterminés afin

(38)

d’obtenir des solutions de type mixte en ce sens qu’elles dépendent d’un in-variant de Riemann réel et d’un complexe (et son conjugué complexe). Les solutions trouvées sont de types "bump" solitoniques, ondes cnoïdales et une comprenant une fonction complexe arbitraire H(r, ¯r) dans son expression. De plus, un exemple d’application à un système hydrodynamique sous-déterminé pour des fluides compressibles est donné. La solution obtenue s’exprime en termes d’une fonction complexe arbitraire d’un invariant de Riemann de la forme r = x + iy, de sa dérivée première et de leur conjugaison complexe.

(39)

SYMMETRY GROUP ANALYSIS OF AN IDEAL

PLASTIC FLOW

Référence complète : V. Lamothe, Symmetry group analysis of an ideal plastic

flow. J. Math. Phys., 53, 033704, 2012.

Abstract

In this paper, we study the Lie point symmetry group of a system describing an ideal plastic plane flow in two dimensions in order to find analytical so-lutions. The infinitesimal generators that span the Lie algebra for this system are obtained. We completely classify the subalgebras of up to codimension two in conjugacy classes under the action of the symmetry group. Based on inva-riant forms, we use Ansatzes to compute symmetry reductions in such a way that the obtained solutions cover simultaneously many invariant and partially invariant solutions. We calculate solutions of the algebraic, trigonometric, in-verse trigonometric and elliptic type. Some solutions depending on one or two arbitrary functions of one variable have also been found. In some cases, the shape of a potentially feasible extrusion die corresponding to the solution is deduced. These tools could be used to thin, curve, undulate or shape a ring in an ideal plastic material.

1.1. I

NTRODUCTION

In this paper, we investigate the plane flow of ideal plastic materials [11,

37, 43] modelled by the hyperbolic system of four partial differential equations

(40)

xand y,

(a) σx− 2k (θxcos 2θ + θysin 2θ) = 0, (b) σy− 2k (θxsin 2θ − θycos 2θ) = 0, (c) (uy+ vx)sin 2θ + (ux− vy)cos 2θ = 0, (d) ux+ vy = 0,

(1.1.1)

where σx = ∂σ/∂x, etc. The expressions (1.1.1.a), (1.1.1.b), are the equilibrium equations for the plane problem. In other words they are the Cauchy diffe-rential equations of motion in a continuous medium where we consider that the sought quantities do not depend on z. These two equations involve the dependent variables σ and θ that define the stress tensor ; σ is the mean pres-sure and θ is the angle relative to the x axis in the counterclockwise direction minus π/4. The equation (1.1.1.c) corresponds, in the plane case, to the Saint-Venant-Von Mises plasticity theory equations, where u and v are respectively the velocities in the x axis and y axis directions. Moreover, we assume incom-pressibility of the material and hence the velocity vector is divergenceless. This explains the presence of the equation (1.1.1.d) in the considered system. The positive-definite constant k is named the volumetric compression coefficient and is related to the Poisson coefficient and the Young modulus ν by the for-mula k = (1 − 2ν)E−1.

In order to calculate new solutions of the system consisting of (1.1.1.a) and (1.1.1.b), S.I. Senashov et al.[69, 70] acted with transformations of the symmetry group of this system on known solutions of some boundary value problems, i.e. the Nàdai solution [53] for a circular cavity under normal stress and shear and the Prandtl solution [65] for a bloc compressed between two plates. In addition, Czyz [17] found simple and double wave solutions for the system (1.1.1) using the method of characteristics. However, as it is often the case with this method, his solutions rely on numerical integration for obtaining the velocities u and v. To our knowledge, no systematic Lie group analysis based on a complete subalgebra classification in conjugacy classes under the action of the symmetry group G of the system (1.1.1) has been done before.

The goal of this paper is to systematically investigate the system (1.1.1) from the perspective of the Lie group of point symmetries G in order to obtain analy-tical solutions. That is, we obtain in a systematic way all invariant and partially invariant (of structure defect δ = 1 in the sense defined by Ovsiannikov [56]) solutions under the action of G which are non-equivalent. Invariant solutions are said non-equivalent if they cannot be obtained one from another by a trans-formation of G (the solutions are not in the same orbit). In practice, we apply

(41)

a procedure developed by J. Patera et al. [57, 60, 73] that consists of classifying the subalgebras of L associated with G into conjugacy classes under the action of G. Two subalgebras Li ⊂ L and Li′ ⊂ L are conjugate if GLiG= Li′. For each conjugacy class, we choose a representative subalgebra, find its invariants and use them to reduce the initial system (1.1.1) to a system in terms of the inva-riants which involve fewer variables. According to the approach proposed by Kruskal and Clarkson [12], which is part of the more general framework of conditional symmetries, we propose in this paper some Ansatzes which allow us to cover simultaneously many invariant and partially invariant solutions (PIS). These more general solutions reduce to invariant and partially invariant ones for appropriate parameter values. We illustrate these theoretical conside-rations with many classes of solutions. Thereafter, we draw for some solutions the shape of the corresponding extrusion die. The applied method relies on the fact that the walls of the tools must coincide with the flow lines describe by the velocities u and v of the solutions of the problem. In application, it is convenient to feed in material the extrusion die rectilinearly at constant speed. So, the tools illustrated in this paper were drawn considering this kind of fee-ding. Based on mass conservation and on the incompressibility of the mate-rials, we easily deduce that the curve defining the limit of the plasticity region for constant feeding speed must obey the ordinary differential equation (ODE)

dy dx =

V0− v(x, y) U0− u(x, y)

, (1.1.2)

where U0, V0 are components of the feeding velocity of the die (or extraction velocity at the output of the die) respectively along the x-axis and y-axis. One should note that the conditions (1.1.2) are reduced to those required on the li-mits of the plasticity region in the paper of Czyz [17] when V0 = 0and that the curves defining the limits coincide with slip lines (characteristics), that it when we require dy/dx = tan θ(x, y) or dy/dx = − cot θ(x, y). Thus the condition (1.1.2) can be viewed as a relaxation of the boundary conditions given in the work of Czyz [17]. The reason we can use these relaxed conditions is that we choose the walls of the tool to coincide with the flow lines for a given solu-tion rather than require the flow of material to be parallel to the walls. Using these relaxed conditions, we can choose (in some limits) the feeding speed and direction for a tool and this determines the limits of the plasticity region.

The paper is organized as follows. In section 1.2 we give the infinitesimal generators spanning the Lie algebra of symmetries L for the system (1.1.1) and

(42)

the discrete transformations leaving it invariant. A brief discussion on the clas-sification of subalgebras of L in conjugacy classes follows. Section 1.3 is concer-ned with symmetry reduction. It describes how the symmetry reduction me-thod (SRM) has been applied to the system (1.1.1) and the meme-thod for finding partially invariant solutions. More precisely, we give several results obtained from Ansatzes so that each presented solution includes many invariant and partially invariant solutions corresponding to appropriate choices of the para-meters. We conclude this paper with a discussion on the obtained results and some incoming results.

1.2. S

YMMETRY ALGEBRA AND CLASSIFICATION OF ITS SUBAL

-GEBRAS

In this section we study the symmetries of the system (1.1.1). Following the standard algorithm [54], the Lie symmetry algebra of the system has been determined. It is spanned by the eight infinitesimal generators

D1 = x∂x+ y∂y, D2= u∂u+ v∂v, B= −y∂u+ x∂v, P1 = ∂x, P2 = ∂y, P3= ∂σ, P4 = ∂u, P5 = ∂v,

(1.2.1) where we use the notation ∂x = ∂/∂x, etc. The generators D1 and D2 generate dilations respectively in the space of independent variables {x, y} and the space of dependent variables {u, v}. Moreover, B is associated with a kind of boost and the Pi, i = 1, . . . , 5 generate translations. The commutation relations for the generators (1.2.1) are shown in table 1.1. One should note that the system

TABLE 1.1. Commutation relations for the algebra L.

L D1 D2 B P1 P2 P3 P4 P5 D1 0 0 B −P1 −P2 0 0 0 D2 0 0 −B 0 0 0 −P4 −P5 B −B B 0 −P5 P4 0 0 0 P1 P1 0 P5 0 0 0 0 0 P2 P2 0 −P4 0 0 0 0 0 P3 0 0 0 0 0 0 0 0 P4 0 P4 0 0 0 0 0 0 P5 0 P5 0 0 0 0 0 0

(1.1.1) is invariant under the discrete transformations :

R1 : x 7→ −x, y7→ −y, σ7→ σ, θ7→ θ, u7→ u, v7→ v;

R2 : x 7→ x, y7→ y, σ7→ σ, θ7→ θ, u7→ −u, v7→ −v.

(43)

These reflections induce the automorphisms of the Lie algebra L : R1: D17→ D1, D27→ D2, B7→ −B, P17→ −P1, P2 7→ −P2, P37→ P3, P4 7→ P4, P5 7→ P5; R2: D17→ D1, D27→ D2, B7→ −B, P17→ P1, P2 7→ P2, P3 7→ P3, P4 7→ −P4, P5 7→ −P5. (1.2.3)

Since we seek solutions that are invariant and partially invariant of structure defect δ = 1, we only have to classify the subalgebras of codimension 1 and 2. We have used the following factorization of the Lie algebra L :

L = {{{D1, D2} ⊲ {B}} ⊲ {P1, P2, P4, P5}} ⊕ {P3} , (1.2.4) where ⊲ denotes the semi-direct sum and ⊕ the direct sum of Lie algebras. The Lie algebra L is the direct sum of the center {P3} with the subalgebra {{{D1, D2} ⊲ {B}} ⊲ {P1, P2, P4, P5}}which contains an abelian ideal {P1, P2, P4, P5}. Applying the method [57, 60, 73], we proceed to classify all subalgebras of L in conjugacy classes under the action of the automorphisms generated by G and the discrete transformations (1.2.2). In practice, we can classify the sub-algebras under the automorphisms generated by G and decrease the range of the parameters that appear in the representative subalgebra of a class using the Lie algebra automorphisms (1.2.3). The classification results are shown in table 1.2 for subalgebras of codimension 1 and in tables 1.3 and 1.4 for subalgebras of codimension 2. For each subalgebra in these tables, a complete set of inva-riants is given. Table 1.3 contains the codimension 2 subalgebras which admit a symmetry variable, while table 1.4 lists the codimension 2 subalgebras that have no symmetry variable. Despite the absence of a symmetry variable, the subalgebras in table 1.4 lead to PIS.

1.3. S

YMMETRY REDUCTIONS AND SOLUTIONS OF THE REDUCED

SYSTEMS

.

In this section we use the symmetry reduction method, as presented in [54], to compute invariant solutions under the action of subgroups of the symme-try group G of the initial system (1.1.1). Following the usual reduction proce-dure [54, 56], we consider a subgroup Gd,j ⊂ G associated with a subalgebra Ld,j ⊂ L of dimension d. Then the subgroup Gd,j admits k = p + q − d func-tionally independent invariants I = (I1(x, u), . . . , Ik(x, u)), where x denotes the for independent variables and u the dependent variables. We have to consider three different possibilities.

Figure

Table 1.3 continued L 2,8

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