Nombres complexes / 3e_niveau avancé  / 20-21

NOMBRES

COMPLEXES *

3

ème

_{année (niveau avancé)}

4.1 Construction du corps des nombres

complexes *

1

4.2 Opérations dans



*

2

4.3 Plan complexe (plan de Gauss) *

7

4.4 Forme trigonométrique d’un nombre

complexe *

10

4.5 Forme exponentielle d’un nombre

complexe *

15

4.6 Puissances et racines *

17

4.7 Théorème fondamental de l’algèbre *

22

4.8 Méthode de Cardano-Tartaglia *

26

4.9 Ce qu’il faut absolument savoir *

30

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4.1 Construction du corps des nombres

complexes *

Le mathématicien Léopold Kronecker (1823 - 1891) exprime l’idée qu’il est possible de construire, à partir des entiers naturels, de nouveau nombres, par extensions successives de l’ensemble  .

L’équation x 7+ =4 n’a pas de solution dans  , mais dans  , S= − .

{ }

3

L’équation 3x=2 n’a pas de solution dans  , mais dans , S 2 3

  =  

 . L’équation x2 = n’a pas de solution dans 2  , mais dans  , S = −

{

2; 2

}

. L’équation 2

x = − n’a pas de solution dans 1 , mais elle en a dans l’ensemble  que voici : Définitions *

• On admet l’existence d’un nombre « imaginaire », noté i, vérifiant 2

i = −1.

• Un nombre complexe z est un nombre de la forme z= +a bi, où a et b sont deux nombres réels. (forme algébrique)

•z= +a bi, a est la partie réelle de z, notée Re(z)

b est la partie imaginaire de z, notée Im(z)

• L’ensemble des nombres complexes est noté  .

Exemples *

1 1 1

z = − +2 3i avec Re( z )= −2 et Im( z )=3

2 2 2

2 2

z 3i avec Re( z ) et Im( z ) 3

3 3

= − + = − =

3 3 3

z = − = − 0 i i z est appelé imaginaire pur quand Re( z )=0

4 4 4

z = + ⋅ = 7 0 i 7 z est appelé réel quand Im( z )=0

Remarques *

a) On a les inclusions suivantes :  ⊂    ⊂ ⊂ ⊂ L’application suivante explique l’inclusion :  ⊂

a a 0i

→ → +

 

b) Dans ce chapitre, un nombre réel doit être vu comme un nombre complexe avec une partie imaginaire nulle.

c) Soit z = a +b i et _{1 1 1} z = a +b i alors 2 2 2 z1=z2 ⇔ a1 =a et b2 1 =b2.

Autrement dit, deux nombres complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles et imaginaires sont égales.

d) Dans ce nouvel ensemble  , des nombres complexes, toute équation polynomiale du 2ème degré admet deux solutions.

En effet, par exemple l’équation z2 = −4 se résout de la manière suivante :

z2 = − ⇔4 z2 = − ⋅ ⇔( 1 ) 4 z2 =22⋅ ⇔i2 z2−

( )

2i 2 = ⇔0

(

z−2i

)(

z+2i

)

= ⇔ = ±0 z 2i S =

{

0+2i ;0−2i;

}

e) Proposition : Le nombre complexe i≠ − . 1

Démonstration (par l’absurde) : Par définition 2 i = −1 Supposons que :

( )

Def de i 2 2 i= − ⇔ =1 i −1 ⇔ − = − ⋅ −1 1 1

( ) ( )

Pr opriété de la racine 1 1 1 1 1 1 1 contradiction ⇔ − = − ⋅ − ⇔ − = ⇔ − =

4.2 Opérations dans  *

Soit z = a +b i et 1 1 1 z = a +b i deux nombres complexes. On définit deux opérations dans 2 2 2  : • la somme : z1+z2 =( a1+b i ) ( a1 + 2+b i )2 =a1+b i1 +a2+b i2 =( a1+a ) ( b2 + 1+b )i2 • le produit : 2

(

) (

)

1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 z ⋅z =( a +b i )( a +b i )=a a +a b i+a b i+b b i = a a −b b + a b +a b i Exemples * Si z1 = −2 3i et z2 = + 3 i alors z₁+z₂ =( 2−3i ) ( 3 i )+ + = − 5 2i z₁⋅ =z₂ ( 2−3i ) ( 3 i )⋅ + = ⋅ + − ⋅ −2 3 2i 3 3i 3i2 = − 9 7i

• L’opposé de z = a + bi est le nombre complexe noté z' tel que z+z'= + =z' z 0 (élément neutre pour l’addition). Alors z'= − −a bi et on le note usuellement : z'= −z.

Exemple : Si z= −2 3i alors − = − +z 2 3i et z +

( ) ( )

−z = −z + z = + ⋅0 0 i • Comme tout nombre z∈ possède un opposé, on définit la soustraction z1−z2

comme la somme : z₁+ −

( )

z₂

Exemple : Si z₁= −2 3i et z₂ = +3 i alors z₁−z₂ = + −z₁

( )

z₂ =( 2−3i ) ( 3 i )+ − − = − −1 4i

Remarque *

En pratique, on effectue la somme et le produit de nombres complexes en appliquant les propriétés de l’addition et de la multiplication dans  et en remplaçant 2

i par −1.

• Pour tout nombre complexe z= +a bi (forme algébrique), le conjugué de z est le nombre complexe a−bi, noté z .

Remarque : z z⋅ =

(

a+bi

)(

a−bi

)

=a2+abi−abi−i b2 2 =a2 +b2∈ Exemple : Si z= −2 3i alors z= +2 3i et z z⋅ =22+ −

( )

3 2 =13

• L’inverse de z = a + bi est le nombre complexe z' tel que z z' = z' z = 1 ⋅ ⋅ (élément neutre pour la multiplication). Alors z' 1 z ₂ 1 ₂

(

a bi

)

₂a _{2 2} b ₂ i a b a b a b z z = ⋅ = ⋅ − = − + + + ⋅ et on le note usuellement z' 1 z 1 z − = = . Exemple : Si z= −2 3i alors 1 z ₂ 1 ₂

(

2 3i

)

2 3 i z = z z⋅ = 2 +3 + =13+13 et z 1

(

2 3i

)

2 3 i 1 0i z 13 13   ⋅ = − ⋅_ + _= +  

• Comme tout z'≠ ∈0  possède un inverse, on définit la division 1 2 z z comme le produit 1 ₂ 1 z z ⋅ . Exemple : Si z₁= −2 3i et z₂ = +3 i alors 1

(

)

(

) (

)

1 1 2 2 2 2 2 z 1 1 1 3 1 3 11 z z z 2 3i 3 i 2 3i i i z z z z 10 10 10 10 10   = ⋅ = ⋅ ⋅ = − ⋅ − = − ⋅_ − _= − ⋅   Remarque *

On ne peut pas comparer des nombres complexes : z₁<z ou z_{2 1}>z₂ n’a pas de sens ! Propriétés des nombres complexes *

Les nombres complexes jouissent des propriétés ci-dessous, c’est-à-dire que quelles que soient les nombres complexes z, v et w , les relations suivantes sont toujours vraies :

1) La somme de deux nombres complexes est un nombre complexe (loi de composition interne). 2) Le produit de deux nombres complexes est un nombre complexe (loi de composition

interne).

3) z+ = +v v z z v⋅ = ⋅v z commutativité. 4) z+( v+w )=( z+v )+w z ( v w )⋅ ⋅ =( z v ) w⋅ ⋅ associativité.

5) 0+ = + =z z 0 z 1 z⋅ = ⋅ =z 1 z existence d’un élément neutre. 6) z+ − = − + =( z ) ( z ) z 0 z z⋅ -1 = z-1⋅ =z 1 existence d’un élément symétrique. 7) z ( v⋅ +w )= ⋅ + ⋅z v z w distributivité de la multiplication par rapport à l’addition.

En mathématique, un ensemble muni de deux opérations qui satisfont toutes les propriétés énoncées ci-dessus est appelé un corps commutatif.

Remarques *

a) 0= + ⋅0 0 i (élément neutre pour l’addition) 1= + ⋅1 0 i (élément neutre pour la multiplication)

b) <; ;+ ⋅ > , <; ;+ ⋅ > et <; ;+ ⋅ > sont des corps commutatifs mais pas <; ;+ ⋅ > et <; ;+ ⋅ >.

Exercice 1 *

Effectuer chacune des opérations indiquées :

a) ( 3+2i ) ( 7+ − − =i ) b) ( 7− − +i ) ( 3+2i )= c) ( 8−6i ) ( 7− − +2i )= d) ( 7− +2i ) ( 8− −6i )= e) ( 5+3i )+ − +

(

( 1 2i ) (7+ −5i )

)

= f)

(

( 5+3i ) ( 1 2i )+ − +

)

+(7−5i )= g) ( 3+2i ) ( 7⋅ − − =i ) h) ( 7− − ⋅i ) ( 3+2i )= i) ( 5+3i ) ( 1 2i ) (7⋅ − +

(

⋅ −5i )

)

= j)

(

( 5+3i ) ( 1 2i ) (7⋅ − +

)

⋅ −5i )= k) ( 5+3i ) ( 1 2i ) (7⋅ − +

(

+ −5i )

)

= l)

(

( 5+3i ) ( 1 2i )⋅ − +

) (

+ ( 5+3i ) (7⋅ −5i )

)

= Exercice 2 *

a) Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de chacun des nombres complexes suivants : 1) z 10 5i 1 2i + = + 2) 8 z 1 i = + 3) 3 z=2( 1 i )− 4) z 5i 4 3i 4 i 1 2i − − = + − b) Mettre le nombre complexe z 13

3 2i =

+ sous la forme z= +a ib, puis vérifier que z est une solution de l'équation polynomiale : 3 2

z −8 z +25z−26 =0. Exercice 3 *

Calculer dans  : a) i ,i , i ,i , i ,i , i ,i , ,...,i1 2 3 4 5 6 7 8 28 ,i29 ,i ,i30 31 ,...,i1001,... b) i i+ + + +2 i3 i4 ... i+ 1995+i1996

Exercice 4 *

a) Monter que si z = a + bi alors son opposé est : − = − −z a bi .

b) Monter que si z = a + bi alors son inverse est : 1 z i ₂a _{2 2}b ₂ z = z z⋅ =a +b −a +b .

Exercice 5 *

Rappel : pour tout nombre complexe z = a+bi, le conjugué de z est z = −a bi.

Soit z= a+bi et w= c+di deux nombres complexes. Démontrer les propriétés du conjugué suivantes :

1) z =z 2) Re(z)=z z 2 + 3) Im(z) z z 2i − =

4) z z⋅ =a2+b2 5) z est réel ⇔ z =z 6) z est imaginaire pur ⇔ z = −z 7) z+ = + w z w 8) z w⋅ = ⋅z w 9) si z 0 : 1 1 z z   ≠ _{ }=   10) si w 0 : z z w w   ≠ _{ }=  

Exercice 6 *

Montrer que si le nombre complexe z est solution de l’équation z2+2z+ =5 0 alors z est aussi solution de l’équation.

Indication : utiliser les propriétés du conjugué.

Exemples de résolution d’équations dans



• Equation polynomiale de degré 1

(

3−i z

)

+ +1 5i=0

(

)

1 5i

(

₍

1 5i

₎₍

)(

3 i

₎

)

3 i z 1 5i z z 3 i 3 i 3 i 2 16i 1 8 1 8 z i S i 10 5 5 5 5 − − + − − ⇔ − = − − ⇔ = ⇔ = − − + −   ⇔ = = − =_ − _  

• Equations polynomiales de degré 2 a) 2

z +2z+ =5 0

Avec la formule de Viète :

a=1 ;b=2 ;c=5 et ∆ =b2 −4ac= −16<0 2 1,2 b 2 16 2 16 i 2 16 i 2 4i z 1 2i 2a 2 2 2 2 ∆ − ± − ± − − ± ⋅ − ± ⋅ − ± = = = = = = − ±

Vérifions que z₁= − +1 2i est bien solution de notre équation :

2 2 4 ( 1 2i ) 2( 1 2i ) 5 1 4i 4i 2 4i 5 0 − − + + − + + = − + − + + = Idem pour z₂ = − −1 2i. S = − +

{

1 2i ;− −1 2i

}

b) az2 +bz+ =c 0 ( cas général ) avec a,b,c∈ et a≠0

2 2 b c b 2 b 2 c az bz c 0 a z z 0 a z 0 a a 2a 2a a          + + = ⇔ _ + + _= ⇔ _ + _ −__ _ − _=      2 2 2 _{b 4 ac} 2 2 2 2 2 b b 4ac b b a z 0 a z 0 z 0 2a 4a 2a 4a 2a 4a ∆= − ∆ ∆ _{  −}  _{ }  _{ } ⇔ _ + _ − _= ⇔ _ + _ − _= ⇔_ + _ − =              

• Si ∆>0 alors l’équation admet deux solutions réelles distinctes 2 2 b b b z 0 z z 0 2a 2a 2a 2a 2a 2a ∆ ∆ ∆       ₊  _{− = ⇔ + − + + =}          _{    } z b z b 0 2a 2a ∆ ∆  _{− +}  _{− −}  ⇔_ − _ − _= ⇔    1 2 b b z ou z 2a 2a ∆ ∆ − + − − = =

• Si ∆=0 alors l’équation admet une solution réelle double 2 2 2 b 0 b b z 0 0 z 0 z 0 2a 4a 2a 2a  ₊  _{− = = ⇔} ₊  _{= ⇔ + = ⇔}         b z 2a = − • Si ∆<0 alors l’équation admet deux solutions non réelles conjuguées 2 2 2 _{2 0} 2 ₂ 2 2 b i b i b i z 0 z 0 z 0 2a 4a 2a 2a 2a 2a ∆ ∆ − >  ∆   ∆  − ⋅ − ⋅ − ⋅  ₊  _{− = ⇔}  ₊  _{−  = ⇔} ₊  _{− =}       _{ }   _{ }     _{ }   _{ } b i b i b i b i z z 0 z z 0 2a 2a 2a 2a 2a 2a ∆ ∆ ∆ ∆  − ⋅  − ⋅   − + − ⋅  − − − ⋅  ⇔_ + − _ + + _= ⇔_ − _ − _=       ⇔ z₁ b i ou z₂ b i 2a 2a ∆ ∆ − + − ⋅ − − − ⋅ = =

• Equations avec des conjugués a)

(

1 i z−

)

− + = 2 i 0

(

1 i z

)

2 i z 2 i z 2 i 1 i 3 i 3 1i z 3 1i 1 i 1 i 1 i 2 2 2 2 2 − − + + ⇔ − = − ⇔ = ⇔ = ⋅ = = + ⇔ = − − − + 3 1 S i 2 2   =_ − _   b)

(

3+2i z

) (

+ 1 i z−

)

= 1 • Posons z= +a bi : ⇔

(

3+2i

)(

a+bi

) (

+ −1 i

)(

a+bi

)

= +1 0i ⇔

(

3+2i

)(

a+bi

) (

+ −1 i

)(

a−bi

)

= +1 0i ⇔

(

4a−3b

) (

+ a+2b i

)

= +1 0i

• Comparons les parties réelles et imaginaires :

(

)

1 b 4 2b 3b 1 4a 3b 1 11 donc 1 2 a 2b 0 a 2b a 2 11 11  = −  − − =  − =  _{⇔ ⇔}  _{+ =}   _{ } = −   _{ = − ⋅ − =}     2 1 S i 11 11   =_ − _   Exercice 7 *

Résoudre les équations et systèmes d’équations suivants dans  : (Réponse en valeur exacte)

a) 3z( z+ =−i ) iz b) −i 1 5i z

(

+

) (

+ z−1 i

)(

− =2

)

4 z−i c) w 1 4i i w 3 − ₌ + d) 3z= −i 4 e) 2z+ ⋅ =i z 3 f) − ⋅ +z z 3z+ =2 6i g) z iw 2 i iz 2w 1 + = −   − =  h) z iw 1 3iz 4w 0 + = −   _{− =}  i) 2 w = −7 j) 2 w =3 k) 2 z +2iz+ =3 0 l) 2 z + + =z 1 0

4.3 Plan complexe

(plan de Gauss) *

On peut représenter tout nombre complexe z= +a ib dans un plan complexe en lui faisant correspondre le point P a; b

( )

ou un vecteur

( )

OP = a; b , de la manière suivante :

Exemple *

Plaçons dans le plan complexe ci-dessous les nombres:

z 3 i w 1 2i = + = +

(

) (

)

(

) (

)

z w 3 i 1 2i 4 3i z w 3 i 1 2i 2 i + = + + + = + − = + − + = −

(

)

(

)

w 1 2i 1 2i 2z 2 3 i 6 2i − = − + = − − = + = + Remarques *

a) L’addition entre deux nombres complexes et la multiplication entre un scalaire et un nombre complexe, correspond aux opérations entre vecteurs dans 2 (règle du parallélogramme, etc.). b) Pour calculer et placer le produit z w ⋅ ou le quotient z / w de deux nombres complexes, on utilisera plutôt la représentation exponentielle des nombres complexes (voir chapitre suivant).

Axe réel Axe imaginaire a b 0 -a -b Axe réel Axe imaginaire z w z+w z-w -w 2z

Exercice 8 *

a) Dans le plan complexe (muni d’un repère orthonormé), placer les points (vecteurs) correspondant à :

z₁ =1 ; z₂ =i ; z₃ = −1 ; z₄ = −i ; z₅ = −2 i ; z₆ =2i ; z₇ = + 1 i ; z₈ = − −3 2i. b) Effectuer les opérations indiquées, à la fois analytiquement et graphiquement :

z₂+z ; z_{8 5}+z ; z_{7 3}+z ; z_{7 6} −z ; ₅ − ⋅4 z ₂

c) Les nombres réels sont-ils des nombres complexes ? Comment se notent-ils ? d) Sur quel axe de coordonnées du plan complexe se représentent-ils ?

e) Où se représentent les nombres complexes de la forme 0+bi, ou encore bi ? f) Comment sont appelés les nombres complexes de la forme 0+bi, ou encore bi ?

Rappel * Cercle trigonométrique et quelques valeurs exactes pour cos(α), sin(α) et tan(α)

• On appelle cercle trigonométrique un cercle de rayon 1 centré à l'origine d'un système d'axe orthonormé. • Le cosinus de l'angle α (noté cos(α)) est la première coordonnée du point P.

• Le sinus de l'angle α (noté sin(α)) est la deuxième coordonnée du point P. • Le tangente de l'angle α (noté tan(α)) est la deuxième coordonnée du point T.

0 1 -1 -1 1 0° = 0 x y

P

•

T

•

Remarques : 3 1,73 3 0,87 2 2 0,71 2 3 0,58 3 ≅ ≅ ≅ ≅ Exemple : 1 cos 3 2 3 sin 3 2 tan 3 3 π π π   =       =       =    

4.4 Forme trigonométrique d’un nombre

complexe *

Définitions * Soit z = a + ib un nombre complexe quelconque (forme algébrique). a) On appelle norme ou module de z, noté z , la longueur r du segment

[ ]

OP . b) On appelle argument de z, noté arg z

( )

, la mesure en radian de l’angle orienté θ entre l’axe horizontal et le segment

[ ]

OP à un multiple de2π près. Autrement dit : arg( z )= +θ k 2π k∈ .

Proposition *

Tout nombre complexe z= +a bi (forme algébrique) peut s’écrire sous la forme trigonométrique suivante : z=r cos(

(

θ )+i sin(θ )

)

avec z = >r 0 et arg( z )=θ

Démonstration *

Soit z= +a ib un nombre complexe quelconque (forme algébrique). On a a=r cos

( )

θ et b=r sin

( )

θ (trigo. dans le triangle rectangle) Et donc z= + =a ib r cos(θ) i r sin(+ θ)=r cos(

(

θ) i sin(+ θ)

)

Exemples *

a) z= 3+i avec a= 3 et b=1 (forme algébrique). tan

( )

b arctan b et r a2 b2 2

a a 6

π

θ = ⇔ =θ  _{ }= = + =

  Donc z 2 cos i sin

6 6 π π      = _{  }+ _{ }       (forme trigonométrique). b) w 4 cos i sin 3 3 π π      = _{ }− _+ _− _       avec r 4 et 3 π θ = = − (forme trigonométrique). a=r cos(θ)=2 b=r sin(θ )= −2 3

Donc w= −2 2 3i (forme algébrique).

Relations : 2 2 r= a +b tan( ) b a θ = a cos( ) r θ = sin( ) b r θ = Axe réel Axe imaginaire a b r O 0 2 y x 4 Z W 2 1

Théorème *

Soit z et w deux nombres complexes quelconques. a) arg z w

(

⋅

)

=arg z

( )

+arg w

( )

z w⋅ = ⋅z w b) arg z arg z

( )

arg w

( )

z z

w w w

  = − =

   

Autrement dit :

• Multiplier deux nombres complexes revient à multiplier leurs modules et à additionner leurs arguments.

• Diviser deux nombres complexes revient à diviser leurs modules et à soustraire leurs arguments. Exemples *

( )

( )

1 1

cos i sin arg z z

2 4 4 4 2

et

2 cos i sin arg w w 2

2 2 2 π π π π π π      = _{  }+ _{ } = =            = _{  }+ _{ } = =       z w

(

)

( )

( )

( )

( )

3 3 1 cos i sin 4 4 3 car arg z w arg z arg w

4 2 4 1 z w z w 2 1 2 1 cos i sin 4 4 4 z

car arg arg z arg w

w 4 2 4 z z 1 / 2 1 w w 2 4 π π π π π π π π π π      = ⋅_{  }+ _{ }       ⋅ = + = + = ⋅ = ⋅ = ⋅ =      = _{ }− _+ _− _         = − = − = −     = = = zw z w Remarques *

( )

( )

( )

( )

(

)

( )

( )

( )

Thm. Thm. Thm. 2 Thm. 2 2 1

arg arg 1 arg z arg z z

1

1 1

z z z

arg z arg z z arg z arg z 2 arg z z z z z z z   • _{ } = − = −   • = = • = ⋅ = + = ⋅ • = ⋅ = ⋅ = Axe réel Axe imaginaire z r 0 α β w s 0 2 -2 -2 2 y x 1 1 -1 -1 z w z⋅w z/w

Démonstration *

Soit z=r cos(

(

α) i sin(+ α)

)

et w=s cos(

(

β ) i sin(+ β)

)

deux nombres complexes quelconques. z =r arg z

( )

=α w =s arg w

( )

=β

Rappel : Pour α et β ∈  :

i) sin( + )= sin( ) cos(α β α ⋅ β ) cos(+ α) sin(⋅ β) ii) cos( + )=cos( ) cos(α β α ⋅ β) sin(− α) sin(⋅ β) iii) sin(α β− ) sin(= α) cos(⋅ β ) cos(− α) sin(⋅ β) iv) cos(α β− ) cos(= α) cos(⋅ β) sin(+ α) sin(⋅ β) v) cos (2 α)+ sin (2 α)=1 a) Multiplication :

(

)

(

) (

)

2 i ) ii )

z w r cos( ) i sin( ) s(cos( ) i sin( ))

r s cos( ) cos( ) i cos( ) sin( ) i sin( ) cos( ) i sin( ) sin( ) r s cos( ) cos( ) sin( ) sin( ) i cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) r s cos( ) i sin( α α β β α β α β α β α β α β α β α β α β α β α ⋅ = + ⋅ + =   = ⋅ ⋅_ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ _   = ⋅ ⋅_ ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ _ = ⋅ ⋅

[

+ + +β)

]

Finalement : arg z w

(

⋅

)

= + =α β arg z

( )

+arg w

( )

et z w⋅ = ⋅ = ⋅r s z w b) Division :

(

)

(

)

(

) (

)

2 2 iii ) iv ) r cos( ) i sin( ) z w s(cos( ) i sin( ))

r cos( ) i sin( ) cos( ) i sin( ) s (cos( ) i sin( )) cos( ) i sin( )

cos( )cos( ) sin( ) sin( ) i sin( )cos( ) cos( ) sin( ) r s cos ( ) sin ( ) r cos( ) i sin( s α α β β α α β β β β β β α β α β α β α β β β α β + = + + − = ⋅ = + − + + −   = ⋅  ₊    − + = ⋅

[

]

2 2 v ) ) cos ( ) sin ( ) r cos( ) i sin( ) s α β β β α β α β  −   ₊    = ⋅ − + −

Finalement : arg z arg z

( )

arg w

( )

et z r z

w α β w s w

  = − = − = =

 

 

Corollaire * (Formule de Moivre (1667-1754))

(

) (

n

)

cos(α) i sin(+ α) = cos( n ) i sin( n )α + α α∈ et n∈

Exercice 9 *

a) Déterminer le module et l'argument de chacun des nombres complexes suivant.

(Si possible, répondre en valeur exacte)

b) Écrire chacun des nombres complexes sous la forme algébrique et trigonométrique.

(Si possible, répondre en valeur exacte)

Exercice 10 *

a) Écrire les nombres complexes suivants sous la forme trigonométrique : (Réponse en valeur exacte)

z 2 2i ; w 1 3i ; z ; z ; 1 ; z w ; w ; z ; z2 3 ; z4

2 2 z z

= + = + − ⋅

b) Placer ces nombres dans le plan complexe ci-dessous. -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 y z1 z3 z5 z7 z8 z2 z6 z4 0 2 -2 -2 2 x 1 1 -1 -1 y

Exercice 11 *

Démontrer la formule de Moivre :

(

) (

n

)

cos(α) i sin(+ α) = cos( n ) i sin( n )α + α α∈ et n∈

Exercice 12 *

Considérons la suite de nombres complexes : z , z , z , z ,....,z ,...1 2 3 4 n n∈* z∈ Démontrer que : a) Si z =1 alors n n lim z 1 →∞ = b) Si z >1 alors n n lim z →∞ = +∞ c) Si z <1 alors n n lim z 0 →∞ = Exercice 13 *

a) Développer

(

cos(α) i sin(+ α)

)

2 en utilisant : i) la formule de Moivre.

ii) la formule du binôme de Newton (identités remarquables). iii) Comparer la partie réelle et imaginaire de i) et ii).

iv) Exprimer cos( 2 )α en fonction de cos(α) et, sin( 2 )α en fonction de sin(α). b) Développer

(

cos(α) i sin(+ α)

)

3 en utilisant :

i) la formule de Moivre.

ii) la formule du binôme de Newton (identités remarquables). iii) Comparer la partie réelle et imaginaire de i) et ii).

4.5 Forme exponentielle d’un nombre

complexe *

Proposition * (Formule d’Euler)

Tout nombre complexe z= +a bi(forme algébrique) peut s’écrire sous la forme exponentielle suivante : z= ⋅r ei⋅θ avec z = >r 0 , arg( z )= et θ e le nombre d’Euler

Exemples *

a) Forme : algébrique → trigonométrique → exponentielle

( )

2 2 z 3 i avec a 3 et b 1 b b tan arctan et r a b 2 a a 6 π θ θ = + = =   = ⇔ = _{ }= = + =   i 6

Donc z 3 i 2 cos i sin 2 e

6 6 π π π      = + = _{  }+ _{ }= ⋅      

b) Forme : exponentielle → trigonométrique → algébrique i 3 i 3 z e avec r 1 et 3 1 3 Donc z 1 e 1 cos i sin i

3 3 2 2 π π π θ π π − − = = = −      = ⋅ = _{ }− _+ _− _= −       c) i0 1 i 2 i 3 3 i 2 4 3 i 4 5 3 i 4 6 i 6 7 z 2 e z e z e z e 1 z e 2 3 z e 2 z 2e π π π π π π − − = ⋅ = = = = = = 0 2 -2 -2 2 y x 1 1 -1 -1 z1 z2 z4 z3 z6 z5 z7

Démonstration *

Soit z=r cos(

(

θ) i sin(+ θ)

)

, un nombre complexe sous forme trigonométrique avec z =r et arg( z )= . θ

Montrons que : ei⋅θ =cos(θ )+i sin(θ ) ∀ ∈θ  . (formule d’Euler (1707-1783))

Considérons la fonction f définie par f ( ) cos( ) i sin( )_i (i est une constante) eθ

θ θ

θ = +

Calculons la dérivée de f par rapport à θ :

(

)

(

)

( )

( )

(

)

(

)

(

)

 ' ' i i 2 i _i i i i 2 1 i i i 2 i i 2 i 2

cos( ) i sin( ) e cos( ) i sin( ) e cos( ) i sin( )

f '( ) '

e _e

sin( ) i cos( ) e cos( ) i sin( ) i e e

sin( ) e i cos( ) e i cos( ) e i sin( ) e 0 0 e e θ θ θ _θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ =− + ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ +   =_{ } =   − + ⋅ − + ⋅ ⋅ ⋅ = − ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ = = = i0 donc f ( ) cte . cos( 0 ) i sin( 0 ) Si 0 alors f ( 0 ) 1 e θ θ θ = ∀ ∈ + = = = 

Finalement : f ( ) cos( ) i sin( )_i 1 ei cos( ) i sin( ) e

θ θ

θ θ

θ = + = ∀ ∈θ  ⇒ = θ + θ

Conclusion : z=r cos( ) i sin( )

(

θ + θ

)

=reiθ ∀ ∈θ  Proposition * (Relations d’Euler)

a) i i e e cos( ) 2 θ θ θ = + − b) i i e e sin( ) 2i θ θ θ = − − ∀ ∈θ  Démonstration en exercice. Remarque

Deux nombres complexes z= ⋅r ei⋅θ et w= ⋅s ei⋅α sont égaux si : i) r= s

4.6 Puissances et racines *

Puissance n

ième

_{d’un nombre complexe *}

Exemples * a) On veut calculer :

(

) (

6

) (

)

(

)

6 fois 2+2i = 2+2i ⋅ +2 2i ⋅... 2⋅ +2i  1 2 z 2 2i avec a 2 et b 2 z 8 8 et arg( z ) 4 π = + = = ⇒ = = =

( )

(

)

6 6 6 1 _Thm 1 _Thm 1 3 i i 6 i6 i 6 _{2 4 2 4 2 4 2} z 8 e 8 e 8 e 512 e 3 3 512 cos i sin 512 0 i 1 0 512 i 2 2 π π π π π π ⋅ ⋅         =_ ⋅ _ = _{ } ⋅_{ } = _{ }⋅ = ⋅              = ⋅_{  }+ _{ } = ⋅ + − = − ⋅       b) On veut calculer :

(

)

(

) (

) (

)

(

)

8 8 8 fois 1 1 1 i 1 i 1 i ... 1 i 1 i − − + = = − + ⋅ − + ⋅ ⋅ − + − + _{} 1 2 3 z 1 i avec a 1 et b 1 z 2 2 et arg( z ) 4 π = − + = − = ⇒ = = = ( )

(

)

(

)

(

)

(

)

8 8 3 3 1 _Thm 1 i i 8 8 _{2 4 2 4} 4 6 i z 2 e 2 e 2 e 1 1 1 cos 6 i sin 6 1 0i 0i 16 16 16 π π π π π − − ⋅ − − ₌ _⋅  ₌   _⋅ ₌ − _⋅ −             = ⋅ − + − = ⋅ + = + Remarques *

a) Pour calculer efficacement la puissance nième _{d’un nombre complexe on utilise le principe} suivant :

La puissance nième _{d’un nombre complexe z se calcule facilement sous forme exponentielle} grâce au théorème sur le module et l’argument d’un produit de nombres complexes.

b) Pour calculer efficacement la somme de nombres complexes on utilisera la forme algébrique.

z sous forme algébrique. z sous forme exponentielle. zn _{sous forme} algébrique. zn _{sous forme} exponentielle. Théorème

sur les arguments et modules. Transformation

Cas général *

Soit z= ⋅r eiθ un nombre complexe avec z = >r 0, arg( z )= et θ e le nombre d’Euler.

(

)

( )

( ) ( ) Thm. n n i n i n Thm. n i n n n in n n _i n in n in Avec n : z r e r e 1 1 1 1 1 Avec n : z r e r e z _re r e r e θ θ θ θ θ θ θ ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ − − − − ∈ = ⋅ = ⋅ − ∈ = = = = ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅    Autrement dit : n n i n z =r ⋅e⋅ ⋅θ ∀ ∈n 

Calculer la nième _{puissance d’un nombre complexe revient à calculer la n}ième

Racine n

ième

_{d’un nombre complexe *}

Exemple *

On veut calculer : 2+2 3i

Posons z= +2 2 3i et w la racine carrée de z.

D’où z = ⇔w w2 = (par définition de la racine carrée). z

On cherche toutes les solutions w∈ de l’équation en écrivant z et w sous forme exponentielle :

( )

2 i 2 i ₃ i 2 i 2 3 2 w z se 4e s e 4e Donc s 4 et 2 k 2 k 3 s 2 et k k 6 π β π β π β π π β π = ⇔ = ⇔ = = = + ∈ ⇔ = = + ∈   i 0 i 6 6 0 Si k 0 w 2e 2e 2 cos i sin 3 i 6 6 π _π π _{π π}  _{+ ⋅}           = → = = = _{  }+ _{ }= +       7 i 1 i 6 6 1 7 7 Si k = 1 w 2e 2e 2 cos i sin 3 i 6 6 π _π π _{π π}  _{+ ⋅}           → = = = _{  }+ _{ }= − −       Vérification :

(

3+i

)

2 = +2 2 3i et

(

− 3−i

)

2 = +2 2 3i S=

{

3+ −i ; 3− i

}

Cas général *

Soit z= ⋅r eiα on cherche w= ⋅s eiβ tel que w= n z ⇔wn = . z

Autrement dit, on cherche toutes les solutions (complexes) de l’équation polynomiale de degré n : wn =z

(

)

n n i i n in i n n k 2 2 2 i i i k i i k i n n n n n n n n w z s e r e s e r e k 2 Donc s r et n k 2 k s r et k n Finalement : w s e r e r e r e e β α β α α π α π α π β α π β α π β + _{⋅ + ⋅ ⋅ ⋅} = ⇔ ⋅ = ⋅ ⇔ ⋅ = ⋅ + = = + ∈ ⇔ = = ∈ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅  

On obtient les n racines nièmes de z :

{

}

arg( z ) 2 i i k n n n n w z z e e k 0,1, 2,...,n 1 et n π ⋅ ⋅ _∗ = = ⋅ ⋅ ∈ − ∈_ 0 2 -2 -2 2 y x 1 1 -1 -1 w0 w1

Remarques *

a) Tout nombre complexe non nul admet dans  n racines nièmes_.

Elles sont « les sommets » d’un polygone régulier à n côtés dont le centre est l’origine du repère. b) Les racines nièmes d’un nombre réel sont deux à deux conjuguées (c.-à-d. le polygone est

symétrique par rapport à l’axe réel)

c) Les solutions de l’équation wn =1 sont appelées racines nièmes _{de l’unité.}

Exercice 14 *

a) Écrire les nombres complexes suivants sous la forme exponentielle : (Réponse en valeur exacte)

z 3 1i ; w 1 3 i ; z ; z ; 1 ; z w ; w ; w ;2 1₂

2 2 z z w

= + = − − ⋅

b) Placer ces nombres dans le plan complexe ci-dessous :

Exercice 15 *

Soit z= ⋅r eiθ un nombre complexe avec z = >r 0 et arg( z )= . θ Considérons l’application f : _i

z f ( z ) z eα

→

→ = ⋅

 

Quelle est la transformation du plan associée à cette application linéaire f ? Justifier à l’aide d’un dessin et d’un calcul.

0 2 -2 -2 2 y x 1 1 -1 -1

Exercice 16 *

a) Démontrer algébriquement les relations suivantes.

b) Démontrer géométriquement les relations suivantes (faire un dessin dans le plan complexe). 1) i i e e cos( ) 2 α α α = + − ∀ ∈α _ 2) i i e e sin( ) 2i α α α = − − ∀ ∈α _ Exercice 17 *

Simplifier l’écriture : (Réponse en valeur exacte)

1) _3e i2 _4ei3 _2ei3 π π π −               2) 3 i 3 5 i 8 3e 2e π π       ₃₎ i eπ + 1 4) 4 2 i i 3 3 e e π ₋ π + 5) _ei2 _ei2 2 _ei2 4 π π_{+ π} π_+π + + 6) eiπ +e−iπ +ei 3π +e−i 3π 7) ei 9π − 1 8) 3 i i i0 ₂ i ₂ i 2 e e e e e π π π _{+ +} π _{+ +} π 9) 2 2 i i 9 9 e e 2 π ₋ π + 10) 2 2 i i 9 9 e e 2i π ₋ π − 11) i0 i0 5 e +3 e− 12) 2 4 i i 3 3 5 e 3 e π π + 13) i i r e⋅ α + ⋅s e−α 14) 2 4 i i 3 3 r e r e π π α α  ₊  _{− +}          ⋅ + ⋅ 15) ( ) ( ) i i i e e e α β γ γ α β + + − − + ⋅ Exercice 18 *

a) Soit le nombre complexe v= − −1 i.

Écrire sous forme algébrique les nombres : 15 15 15 15 15 1 v ; v ; v ; v ; v − ₋ (Réponse en valeur exacte)

b) Soit le nombre complexe z= 3−i.

i) Déterminer, la plus petite des puissances entières positives de z, qui permet l’obtention d'un réel.

ii) Déterminer, la plus petite des puissances entières positives de z, de façon à ce que son module soit plus grand que 1000.

Exercice 19 * a) Calculer dans  : 1) 3 1 2) 3_{i 3)} 4_{1 i}+ ₄₎ 4 1 − 5) 5 1

(Réponse en valeur exacte et sous forme exponentielle)

b) Représenter dans le plan complexe les solutions de ces équations. c) Démontrer que :

Tout nombre complexe non nul admet dans  n racines nièmes_.

Elles sont « les sommets » d’un polygone régulier à n côtés dont le centre est l’origine du plan complexe.

4.7 Théorème fondamental de l’algèbre *

Définition *

• On appelle polynôme (à coefficients complexes) de degré n≥0 une expression de la forme : P( z )=a z_n n+a z_n-1 n-1+ ... a z+ ₂ 2 +a z₁ + avec a₀ a , a , ... , a_{0 1 n}∈ et an ≠0 n∈ • z est racine de P si P z 0

( )

=

Exemples *

a) P( z )=

(

1 i z+

)

2+ +iz 3 deg( P )=2 b) P( z )=z2+2z+5 deg( P )=2 c) P( z )=z3 +3i z2−2z 6+ deg( P )=3 d) P( z )= z5 +2z+

(

3+2i

)

deg( P )=5 Théorème fondamental de l’algèbre *

Dans  , tout polynôme de degré n≥1 peut être écrit comme un produit de polynômes du premier degré et de façon unique.

La démonstration de ce théorème, sort du cadre de ce cours et ne sera donc pas exposée ici.

Exemples * a) P(z) z 1= + deg(P)=1 b)



2

(

)(

)

0 Q(z)= z 4 z 2i z 2i ∆< + = + − deg(Q)=2 c) R z

( )

=z2 −10 z+25= −

(

z 5 z 5

)(

−

)

deg(R)= 2 d) S( z )=z3+z2−26 z+24 =( z+6 ) ( z⋅ − ⋅1 ) ( z−4 ) deg(S)=3 d) T ( z )= z3+3i z2−2z=z z

(

+i

)(

z+2i

)

deg(T)=3 e) 4 2

(

2

)(

2

)

(

)(

)(

)(

)

0 0 U( z ) z 5z 4 z 1 z 4 z i z i z 2i z 2i ∆< ∆< = + + = + + = + − + −   deg(U)=4 Remarque *

Dans  , les seuls polynômes qui ne soient pas factorisables sont ceux de degré un.

Corollaire * (conséquence du théorème fondamental de l’algèbre)

Dans  , une équation polynomiale de degré n admet exactement n racines complexes (en tenant compte de leur multiplicité).

Exemples *

a) L’équation polynomiale de degré 3 : z3+3i z2−2z = ⇔0 z z

(

+i

)(

z+2i

)

=0 possède 3 racines complexes.

0 est de multiplicité 1, -i est de multiplicité 1 et -2i est de multiplicité 1. b) L’équation polynomiale de degré 7 :

(

z 3−

) (

2 z+3i

) (

4 z+2i

)

=0

possède 7 racines complexes.

3 est de multiplicité 2, −3i est de multiplicité 4 et −2i est de multiplicité 1.

c) L’équation polynomiale de degré 1000 : z1000+3iz 1 0− = possède 1000 racines complexes. Démonstration *

Chaque facteur du 1er degré donne une solution et il y en a exactement n dans la décomposition d'un polynôme de degré n.

Remarques *

a) Remarquons que le théorème fondamental de l’algèbre ne donne pas de méthode de calcul pour trouver les racines d'une équation polynomiale de degré n ; c’est un théorème d’existence ! b) Dans  , une équation polynomiale (à coefficients réels) de degré n admet au plus n racines réelles (en tenant compte de leur multiplicité).

Théorème *

Dans  , les racines d’un polynôme P à coefficients réels apparaissent par couples de racines conjuguées.

Autrement dit : si P(z)=0⇔P z =0

( )

Démonstration * Soit z une racine de P.

On a P( z )=a₀ +a z₁ +a z₂ 2 + +... a z_n n =0 et a₀ , a₁ , .... , a_n∈ et a_n≠0. n∈ En prenant les conjugués : a₀ +a z₁ +a z₂ 2+ +... a z_n n = = . 0 0

Propriétés du conjugué : z+ = +w z w et z w⋅ = ⋅z w. Ce qui nous permet d’écrire :

(

)

( ) ( )

( )

2 n 2 n 0 1 2 n 0 1 2 n i i i 2 n 2 n 0 1 2 n 0 1 2 n a a z a z ... a z 0 a a z a z ... a z 0 a a a a a z a z .... a z 0 a a z a z .... a z 0 P( z ) 0 + + + + = ⇔ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ = ∈ ⇔ = ⇔ + + + + = ⇔ + + + + = ⇔ = 

Ce qui montre que z est également racine deP. Remarque *

Exemples *

a) z + 2z + 5 = 02 (Équation polynomiale de degré 2 à coefficients réels)

2 2 2 2 1,2 Viète : a 1 ; b 2 ; c 5 b 4ac 2 4 1 5 16 0 b 2 16 2 i 16 2 i 16 z 1 2i 2 a 2 2 2 = = = ∆ = − = − ⋅ ⋅ = − < − ± ∆ − ± − − ± ⋅ − ± ⋅ = = = = = − ± ⋅

S= − −

{

1 2i ; 1 2i− +

} (

2 solutions complexes,deux à deux conjuguées

)

b) z + iz + 1 = 02 (Équation polynomiale de degré 2 à coefficients complexes)

2 2 2 2 1,2 Viète : a 1 ; b i ; c 1 b 4ac i 4 1 1 5 0 b i 5 i i 5 i i 5 i i 5 1 5 z i 2 a 2 2 2 2 2 = = = ∆ = − = − ⋅ ⋅ = − < − ± ∆ − ± − − ± ⋅ − ± ⋅ − ± ⋅ − ± = = = = = = ⋅

S 0 1 5 i ;0 1 5 i

(

2 solutions complexes qui ne sont pas conjuguées

)

2 2  − +  − −     =_ +_{ } +_{  }        

c) 3 2 (Équation polynomiale de degré 3 à coefficients réels)

z -z + z - 1 = 0 P( 1 ) 0 P z= ⇔

( ) (

= z− ⋅1 Q z

) ( )

Divisons P z par z

( )

−1 :

(

)

(

)

(

)

(

)

3 2 3 2 2 3 2 2 z z z 1 z 1 z z z 1 Q( z ) z 1 z 1 0 R( z ) Donc : P( z ) z z z 1 z 1 z 1 − + − − − − + = − − − = = − + − = − ⋅ +

(

)

(

)

{

} (

)

2 2 2 2 2 z 1 0 z 1 z 1 z 1 D' ou : z 1 z 1 0 z i z 1 0 z 1 z i

S 1 0i ; 0 i ; 0 i 3 solutions complexes, deux à deux conjuguées

− = = = =     − ⋅ + = ⇔ _ ⇔ _ ⇔ _ ⇔ _{ = ±} + = = − = _    = ± + − Corollaire *

Si P est un polynôme à coefficients réels de degré impair, alors celui-ci possède au moins une racine réelle.

Exemple * 3 2

P( z )= z − + −z z 1 est un polynôme à coefficients réels de degré impair (degré 3), et il possède une racine réelle qui est z=1.

Exercice 20 *

a) Résoudre dans  les équations polynomiales suivantes :

Répondre sous forme algébrique et en valeur exacte.

1) 2z3+6i z2 +8 z=0 2) z3+2z2+ + =z 2 0 3) z3+ + =z2 z 0

4) w4−w2− =6 0 Indication : utiliser la substitution y = w2 5) w4 −3w2 + =1 0 Indication : utiliser la substitution y = w2

b) Que peut-on dire sur le nombre de racines complexes d'un polynôme P de degré n ? Exercice 21 *

a) Résoudre dans  les équations polynomiales suivantes :

Répondre sous forme exponentielle et en valeur exacte.

1) z2 49 2 2i 2 2   = _ − _   2) 3 3 1 z 64 i 2 2   = _ − _   Indication : poser i z=ρeθ

3) z6 +4z3+ =8 0 Indication : utiliser la substitutiony=z3et ensuite poserz=ρeiθ

b) Que peut-on dire sur le nombre de racines complexes d'un polynôme P de degré n ? Exercice 22 *

Résoudre dans  les équations polynomiales suivantes :

Répondre sous forme algébrique et en valeur exacte.

1) 2z2 − +

(

8 10i z

) (

− −2 26i

)

= 0 2)

(

1 2i z+

)

2 + −

(

9 2i z

) (

− +7 9i

)

= 0

Exercice 23 *

Sachant que :

• Dans  , une équation polynomiale de degré n admet exactement n racines complexes (en tenant compte de leur multiplicité).

• Dans  , les racines d’un polynôme P à coefficients réels apparaissent par couples de racines conjuguées.

Démontrer que :

« Si P est un polynôme à coefficients réels de degré impair alors celui ci possède au moins une racine réelle. »

4.8 Méthode de Cardano-Tartaglia *

Lorsqu’ils sont traduits algébriquement, de nombreux problèmes classiques se ramènent à la résolution d’équations du troisième degré. Il en est ainsi, par exemple, de la trisection de l’angle, de la duplication du cube, ou de la construction de certains polygones réguliers.

Au début du XVIe siècle, Antonio Fior, de Venise, défie Nicolas Tartaglia, mathématicien de Brescia, sur la résolution d’une trentaine d’équations du type : 3

x px= +q où p et q sont des nombres réels.

Tartaglia y réussit en 1535, mais son adversaire échoue. Quatre ans après, Jérôme Cardan,

médecin, physicien, astrologue, mathématicien, né à Pavie, parvient à persuader Tartaglia de lui livrer le secret de ses techniques. En 1545 Jérôme Cardan brise la loi du silence imposée par

Tartaglia, et, avec la publication de son Ars Magna, il offre aux savants de l’époque de

nombreuses résolutions de divers types d’équations du troisième degré.

Description de la méthode de Cardano-Tartaglia *

• Problème :

Déterminer une solution réelle d’une équation du troisième degré du type : 3

x = px+q avec p,q∈.

• Idée (1) : Poser x= +u v (substitution) pour avoir plus de liberté avec deux inconnues. • On obtient :

(

)

(

)

3 3 3 2 2 3 3 3 ( u v ) p( u v ) q ( u v ) p( u v ) q u 3u v 3uv v pu pv q u v 3uv u v p u v q + = + + ⇔ + = + + ⇔ + + + = + + ⇔ + + + = + +

• On obtient le système d’équation non linéaire :

3 3 3 3 3 3 3 3 3 u v q u v q u v q p p 3uv p uv u v 3 27  + =  + =  + = _⇔ _⇔    = = ⋅ =  _ _

Niccolò Fontana dit Tartaglia (Brescia 1499 – Venise 1557)

• Idée (2) : Poser 3 3 1 2 y =u et y =v (substitution) et on obtient : 1 2 3 1 2 y y q p y y 27 + =    ⋅ = 

• y et y_{1 2} sont solutions de l’équation de degré 2 :

3 2 p y q y 0 27 − + = car

(

)

1 2 2 1 3 3 2 3 3 1 1 1 1 1 2 1 2 y y q y q y p p y q y y q y 0 p p 27 27 y y y y 27 27 + = = −    _⇔ _{⇔ ⋅ − = ⇔ − + =}   ⋅ = ⋅ =     (Idem pour y₂)

• Résolvons l’équation du 2ème _{degré « associée » :}

3

2 p

y qy 0 27

− + = à l’aide de la formule de Viète.

3 p a 1 ; b q ; c 27 = = − = avec 3 2 2 4 p b 4ac q 27 ∆ = − = − et

( )

2 3 2 3 1,2 4 p q q b ₂₇ q q p y 2a 2 2 2 3 ∆ − − ± − − ±     = = = ± _{ } −_{ }     . • Finalement : 3 3 1 2 2 3 2 3 3 3 2 3 2 3 3 3 u y et v y q q p q q p u et v 2 2 3 2 2 3 q q p q q p u et v 2 2 3 2 2 3 = =         ⇔ = + _{ } −_{ } = − _{ } −_{ }                 ⇒ = + _{ } −_{ } = − _{ } −_{ }         Et 2 3 2 3 3 q q p 3 q q p x u v 2 2 3 2 2 3         = + = + _{ } −_{ } + − _{ } −_{ }         Exemples * a) x3 =6 x 6+ avec p=6 et q=6. • Substitutions : 3 3 1 2 x= +u v ; y =u ; y =v • Équation du 2ème _{degré associée :} 2

y −6 y+ =8 0 3 2 p y qy 0 27   − + =     avec ∆ = >4 0 ⇒ y₁ =4 et y₂ =2 • Finalement : _u3=_{4 et v}3 =₂ ⇒ _u=3_{4 et v}= 3 ₂ ⇒ _x= + =_{u v} 3 ₄ +3 ₂ • Remarque :

Dans ce cas, nous obtenons avec la méthode de Cardano-Tartaglia une solution réelle. Nous savons selon le théorème fondamental de l’algèbre qu’il y a encore deux solutions complexes. Comment les obtenir ? (voir exercice 24*)