Université de Montréal
Évolution dans des populations structurées en classes
par
Cíntia Dalila Soares
Département de mathématiques et de statistique Faculté des arts et des sciences
Thèse présentée à la Faculté des études supérieures et postdoctorales en vue de l’obtention du grade de
Philosophiæ Doctor (Ph.D.) en Mathématiques
Orientation Mathématiques appliquées
mai 2019
c
Université de Montréal
Faculté des études supérieures et postdoctorales
Cette thèse intitulée
Évolution dans des populations structurées en classes
présentée par
Cíntia Dalila Soares
a été évaluée par un jury composé des personnes suivantes :
Jacques Bélair (président-rapporteur) Sabin Lessard (directeur de recherche) Alexander Fribergh (membre du jury) Lea Popovic (examinateur externe) Jacques Bélair
(représentant du doyen de la FESP)
Thèse acceptée le : 3 mai 2019
Sommaire
En premier lieu, nous considérons une population haploïde asexuée structurée par âge avec des paramètres de naissance et de décès (ou de survie) constants par âge pour chaque type. Dans ce cadre simplifié, le taux de changement de la valeur sélective moyenne en temps continu devrait être exactement égal à la variance génétique de la valeur sélective (ou à la variance génétique de la valeur sélective divisée par la valeur sélective moyenne en temps discret), ce qui peut être considéré comme un théorème généralisé du taux de croissance. On montre que le Théorème Fondamental de la Sélection Naturelle (FTNS) de Fisher (1930), et en particulier le développement d’une version explicite du théorème pour une structure d’âge, est valable avec le paramètre Malthusien utilisé comme définition de la valeur sélective.
Ensuite, nous considérons des populations structurées en classes, en temps discret dans la limite de la sélection faible et avec l’inverse de l’intensité de la sélection comme unité de temps. L’objectif est d’établir un modèle continu qui se rapproche du modèle discret. Plus précisément, nous étudions la croissance dépendante de la fréquence dans une popu-lation haploïde infinie structurée en un nombre fini de classes telles que les individus de chaque classe contribuent à un sous-ensemble donné de classes d’un pas de temps au suivant. Ces contributions prennent la forme de paramètres de fécondité généralisés avec des pertur-bations d’ordre 1/N qui dépendent des fréquences dans les classes de chaque type et des fréquences de type. Le résultat principal est que les fréquences des types lorsque N → +∞ obéissent à l’équation de replication avec des taux de croissance instantanés pour les diffé-rents types dépendant uniquement de la fréquence instantanée des classes à l’équilibre et des valeurs reproductives. Une application à la théorie des jeux évolutionnaires complétée par des résultats de simulation est présentée.
Nous déterminons la validité d’une approximation par un processus de diffusion pour les fréquences de différents types sous mutation récurrente et avec les probabilités de survie et
la fécondité dépendantes des fréquences dans une population haploïde avec une structure d’âge fixée dans la limite d’une population de grande taille. L’approximation est utilisée pour étudier, et expliquer en termes de coefficients de sélection, de valeurs reproductives et de coefficients de population structurée par âge, les différences entre les effets de la sélection dans les probabilités de survie et dans la fécondité sur la probabilité de fixation d’un mutant avantageux.
Dans le même contexte, nous déduisons l’effet de premier ordre de la viabilité et de la fécondité dépendant des fréquences sur la probabilité de fixation d’un mutant dans une population haploïde de taille grande et finie avec une structure d’âge fixe en appliquant une technique de petite perturbation au processus généalogique neutre avec deux échelles de temps. Dans le cas d’une sélection constante, les coefficients de valeur sélective de fixation sont fonction des coefficients de sélection de la viabilité et de la fécondité pondérés par les valeurs reproductives des classes d’âge et des coefficients de population structurée par âge. Ceci explique la différence entre les effets de la sélection de la viabilité et de la sélection de la fécondité sur la probabilité de fixation dans une population structurée par âge. Avec une sélection dépendant des fréquences sous la forme d’un jeu de bien commun, les coefficients de valeur sélective de fixation dépendent également de la stratégie d’allocation du jeu de bien commun de la population et des stratégies d’allocation de gains des individus. Dans ce cas, les résultats montrent qu’une sélection faible peut favoriser la fixation de la coopération si les coopérateurs allouent plus de ressources pour la reproduction que pour la survie par rapport aux non coopérateurs.
Mots clés : Populations structurées par âge. Théorème du taux de croissance. Para-mètre Malthusien. Valeur reproductive. Théorème Fondamental de la Sélection Naturelle. Populations structurées en classes. Modèles démographiques. Croissance démographique. Sélection dépendante des fréquences. Séparation par échelle de temps. Équation de répli-cation. Théorie de Perron-Frobenius. Théorie des jeux évolutionnaires. Matrice de Leslie. Approximation par un processus de diffusion. Probabilité de fixation. Deux échelles de temps. Coefficient de population structurée par âge. Coefficient de valeur sélective de fixa-tion. Coefficient d’ascendance. Processus généalogique. Jeu de bien commun.
Summary
Firstly, we consider an age-structured asexual haploid population with constant age-specific birth and death (or survival) parameters for each type. In this simplified framework, the rate of change in mean fitness in continuous time is expected to be exactly equal to the genetic variance in fitness (or to the genetic variance in fitness divided by the mean fitness in discrete time), which can be seen as a generalized growth-rate theorem. Fisher’s (1930) Fundamental Theorem of Natural Selection (FTNS), and in particular the development of an explicit age-structured version of the theorem, is shown to hold with the Malthusian parameter used as the definition of fitness.
Then, we consider class-structured populations, in discrete time in the limit of weak selection and with the inverse of the intensity of selection as unit of time. The aim is to establish a continuous model that approximates the discrete model. More precisely, we study frequency-dependent growth in an infinite haploid population structured into a finite number of classes such that individuals in each class contribute to a given subset of classes from one time step to the next. These contributions take the form of generalized fecundity parameters with perturbations of order 1/N that depends on the class frequencies of each type and the type frequencies. The main result is that the type frequencies as N → +∞ obey the replicator equation with instantaneous growth rates for the different types that depend only on instantaneous equilibrium class frequencies and reproductive values. An application to evolutionary game theory complemented by simulation results is presented.
We ascertain the validity of a diffusion approximation for the frequencies of different types under recurrent mutation and frequency-dependent viability and fertility selection in a haploid population with a fixed age structure in the limit of a large population size. The approximation is used to study, and explain in terms of selection coefficients, reproductive
values and population-age-structure coefficients, the differences in the effects of viability versus fertility selection on the fixation probability of an advantageous mutant.
In the same context, we deduce the first-order effect of frequency-dependent viability and fertility selection on the probability of fixation of a mutant in a large finite haploid population with a fixed age structure by applying a direct small perturbation method to the neutral two-timescale genealogical process. This effect is expressed in terms of fixation-fitness coefficients times ancestry coefficients that are related to the effective population size. In the case of constant selection, the fixation-fitness coefficients are functions of the coefficients of viability and fertility selection weighted by reproductive values and population-structure coefficients for the different age classes. This explains the difference between the effects of viability selection and fertility selection on fixation probability in age-structured populations. With frequency-dependent selection in the form of a public goods game, the fixation-fitness coefficients depend also on the public good allocation strategy of the population and the resource allocation strategies of the individuals. In this case, the results show that weak selection may favor the fixation of cooperation if the cooperators allocate more resources to reproduction versus survival than the defectors.
Keywords: Age-structured populations. Growth-rate theorem. Malthusian parameter. Reproductive value. Fundamental Theorem of Natural Selection. Class-structured popula-tions. Demographic models. Population growth. Frequency-dependent selection. Timescale separation. Replicator equation. Perron-Frobenius theory. Evolutionary game theory. Age-class-structured population Leslie matrix. Diffusion approximation. Fixation probability. Two timescales. Population-structure coefficient. Fixation fitness coefficient. Ancestry coef-ficient. Genealogical process. Public goods game.
Table des matières
Sommaire . . . v
Summary . . . vii
Remerciements . . . xv
Chapitre 0. Introduction . . . 1
Premier article. Definitions of fitness in age-structured populations: Comparison in the haploid case . . . 7
Chapitre 1. . . 7
1.1. Introduction . . . 10
1.2. Increase of mean fitness in discrete-time . . . 16
1.3. Increase of mean fitness in continuous-time . . . 17
1.4. Mean fitness in Grafen’s sense . . . 19
1.5. Fitness in the limit of weak selection . . . 24
1.6. Discussion . . . 27
1.7. Appendix A . . . 31
Acknowledgements . . . 33
Deuxième article. Frequency-dependent growth in class-structured populations: Continuous dynamics in the limit of weak selection . . . 35
Chapitre 2. . . 35
2.1. Introduction . . . 37
2.2. Single-type model . . . 40
2.3. Multi-type model . . . 47
2.4. Application to evolutionary game theory . . . 54
2.4.1. Evolutionary game in an age-structured population. . . 56
2.4.2. Simulation results with two strategies in two age classes . . . 58
2.5. Discussion . . . 60
Acknowledgments . . . 61
2.6. Appendix A: Proofs of Lemmas . . . 62
2.6.1. Proof of Lemma 1. . . 62 2.6.2. Proof of Lemma 2. . . 69 2.6.3. Proof of Lemma 3. . . 72 2.7. Supplementary Material. . . 73 2.7.1. Proof of Fact 1 . . . 73 2.7.2. Proof of Fact 2 . . . 75 2.7.3. Proof of Fact 3 . . . 76 2.7.4. Payoff matrices . . . 76
Troisième article. Diffusion approximation for an age-class-structured population under viability and fertility selection with application to fixation probability of an advantageous mutant . . . 81
Chapitre 3. . . 81
3.1. Introduction . . . 82
3.2. Selection model with age-class structure . . . 85
3.3. Neutral model with age-class structure . . . 89
3.4. Diffusion approximation for the selection model with age-class structure . . . 92
3.5. Selection model with two types in two age classes . . . 95
Selection on fertility . . . 97
Selection on survival . . . 98
Selection on survival and fertility . . . 100
3.6. Discussion . . . 101
Acknowledgments . . . 103
Appendix A : Hard selection . . . 103
Appendix B: Approximations for a multivariate Wallenius’ non-central hypergeometric distribution . . . 105
Definition of Wallenius’ distribution . . . 105
Approximation of the mass function under weak bias . . . 105
Approximation of the k-th moments under weak bias . . . 109
Approximation of the covariances under weak bias . . . 110
Approximations in the case of a large sample size in a large population . . . 110
Appendix C : Conditions for a diffusion approximation . . . 115
Condition I . . . 115 Condition II . . . 115 Condition III . . . 117 Condition IV . . . 120 Condition V . . . 121 Condition VI . . . 121
Appendix D: Analysis of U (f ) with selection on fertility only . . . 122
Appendix E: Derivative of U (f ) with selection on survival . . . 123
Quatrième article. First-order effect of frequency-dependent selection on fixation probability in an age-structured population with
application to a public goods game . . . 125
Chapitre 4. . . 125
4.1. Introduction . . . 127
4.2. Selection model with fixed age structure. . . 130
4.3. First-order effect of selection on fixation probability . . . 136
4.3.1. Two types with constant selection . . . 138
4.3.2. Two types with frequency-dependent selection . . . 138
4.4. Ancestry coefficients in a large neutral population . . . 140
4.5. Effect of weak selection on fixation probability in a large population . . . 143
4.5.1. Constant selection . . . 143
4.5.2. Frequency-dependent selection . . . 144
4.6. Fixation probability with constant selection in two age classes . . . 145
4.6.1. Selection on reproduction only . . . 146
4.6.2. Selection on survival only . . . 148
4.6.3. Selection on both reproduction and survival . . . 149
4.7. Public goods game . . . 149
4.8. Public goods game in two age classes . . . 152
4.9. Discussion . . . 154
Acknowledgments . . . 157
Appendix A : Limit genealogical process in the neutral model . . . 157
Appendix B : Backward transition matrix under neutrality . . . 162
B1. Backward transition matrix in an infinite population . . . 166
B2. First-order effects of population size on backward transition matrix . . . 167
Chapitre 5. Conclusion . . . 171
Bibliographie . . . 173
Appendix A. Supplemental Information : Diffusion approximation for an age-structured haploid population under viability and fertility selection with application to fixation probability for an advantageous mutant . . . A-i First moment . . . .A-ii Induction proof . . . A-ii Second moment . . . .A-ix Induction proof . . . .A-xi Case i 6= j . . . .A-xiii Case i = j . . . .A-xxvi Third moment . . . .A-xxxv Induction proof . . . .A-xxxvii Fourth moment . . . .A-lviii Induction proof . . . .A-lxi
Remerciements
À mon directeur de recherche Sabin Lessard pour sa présence tout au long de mon doctorat, ses remarques, ses corrections, et également son grand intérêt dans son domaine de recherche. À ma famille : mes parents Custódio et Helena, pour ces exemples de vie, pour être des gens tellement aimables et prêts à aider les autres; ma soeur Sarah, pour sa solicitude, sa curiosité en science et sa motivation en recherche; mon frère Renato, pour me tenir compagnie à la fin de mon doctorat; mon parrain et ami Mauro qui nous a toujours appuyé dans nos études avec beaucoup d’enthousiasme; et, mon copain Guillaume, pour m’aider à relever le moral pendant les périodes difficiles et pour m’avoir donné mon plus beau cadeau de fête, mon chien Bonsai.
À mes amis de l’université de Montréal qui ont fait parti de mon parcours : Dung, Toktam, Masoumeh, Marzieh, Sara G. et Sara Z., les soirées de filles, les soupés et les pauses-thé c’était super; Daniel et Marc, mes amis les plus drôles; Mohamed, pour la compagnie et pour avoir avoir partagé son chien Chico avec moi.
Aux services offerts aux étudiants de l’Université de Montréal, en particulier le Centre Soutien à l’Apprentissage - CESAR - et à Josée Sabourin, pour son engagement et son grand intérêt à aider les étudiants en rédaction.
Au Département de mathématiques et de statistique (DMS) de l’UdeM, à tous les profes-seurs et employés, en particulier à Anne-Marie Dupuis, pour son empathie et son attention envers les étudiants et au service d’informatique du DMS pour tout le support technique et spécialement, pour avoir préparé le gabarit en latex permettant d’écrire les mémoires et thèses selon les normes de l’UdeM.
À la Station de biologie des Laurentides de l’UdeM pour ouvrir les portes aux étudiants en rédaction et donner des conditions exceptionnelles de rédaction à un faible prix.
Aux Thèse-Vous / Thèse-Vous Ensemble pour toutes les retraites de rédaction avec un environnement amical et parfait pour la rédaction. Également à la bibliothèque BLSH qui a ouvert un space destiné à la rédaction.
Aux fonds financiers CRSNG du Canada, subvention no. 8833; et à CAPES, l’agence fédérale brésilienne pour l’amélioration du personnel de niveau universitaire, subvention no. 0968-13-7, qui ont financés en partie cette thèse.
« Rendez grâces en toutes choses. » (1 Thessaloniciens 5:18)
Chapitre 0
Introduction
L’objectif ultime est d’expliquer l’évolution de la coopération à partir de jeux de bien com-mun dans des populations structurées en classes, plus particulièrement, en classes d’âge. La coopération ne semble pas a priori avantageuse tant qu’elle demeure rare dans des po-pulations non structurées. Le but est donc de déterminer les conditions favorables pour l’évolution de la coopération. La méthode utilisée c’est d’imaginer des jeux entre des indi-vidus qui peuvent coopérer ou pas. Coopérer signifie payer un coût pour contribuer à un bien commun qui va être distribué à tous sous forme de bénéfice. Le paiement à chaque individu est donc le bénéfice reçu soustrait du coût payé ou pas selon sa stratégie. Il est pos-sible d’étudier les changements de fréquence des stratégies en supposant que les paiements se traduisent en valeur sélective avec un modèle dynamique pour les populations infinies en étudiant la stabilité des points fixes, ou avec un modèle stochastique pour les populations finies en considérant la probabilité de fixation d’un individu coopérateur introduit dans une population de non coopérateurs.
Plusieurs mécanismes peuvent favoriser l’évolution de la coopération. Ils ont été re-groupés en cinq catégories par Nowak (2006) [76] : structure familiale, réciprocité directe, réciprocité indirecte, structure spatiale et structure de groupes. On fait un bref résumé ci-dessous.
Dans une population avec une structure familiale les interactions entre les individus qui appartiennent à la même famille sont plus probables. Cela veut dire qu’on considère une probabilité différente pour un individu d’interagir avec un membre de sa famille que d’interagir avec d’autres individus dans la population.
Si le jeu est répété plus d’une fois, alors les individus peuvent coopérer avec un opposant qui a coopéré avec eux auparavant. Cela est appelé la coopération directe. Habituellement, on considère deux types de joueur avec des stratégies de mémoire de la dernière interaction (qui se souvient seulement de la dernière interaction à chaque interaction) : les coopérateurs, qui coopèrent à moins que l’opposant n’ait pas coopéré à l’interaction précédente (TFT, pour tit-for-tat); et les non coopérateurs : qui ne coopèrent jamais (AllD, pour always defect). D’autres stratégies sont aussi souvent considérés comme : rester avec sa stratégie si on est en train de gagner, ou changer si on est en train de perdre (WSLS, pour win-stay, lose-shift), coopérer tout le temps (AllC, pour always cooperate), TFT généreux qui coopère même si son opposant ne coopère pas parfois; voir [37] pour plus des détails. Une autre classe de stratégies appelées zero-déterminantes (ZD) a été introduite par Press et Dyson (2012) [81], par example la stratégie d’extorsion ZD (extortionate strategy ZD) qui oblige l’opposant à avoir un paiement plus petit ou égal à son propre paiement.
La coopération peut se propager quand on reconnaît les efforts des individus qui co-opèrent en leur donnant une bonne réputation. Cela est appelé la coopération indirecte. La coopération peut se propager si la probabilité de reconnaître la réputation de quelqu’un est assez grande.
On peut aussi considérer une population finie répartie en groupes dans laquelle les inter-actions se font entre les individus qui appartiennent au même groupe. Chaque individu qui coopère paie un coût pour produire un bénéfice pour le bien commun qui est partagé entre les membres du groupe. Les non coopérateurs ne paient aucun coût et ne distribuent pas de bénéfice. Si les conditions sont favorables, on peut avoir des groupes de coopérateurs dans lesquels les individus ont une valeur sélective plus grande que des individus dans des groupes des non cooperateurs. Donc à long terme, on peut s’attendre à ce que toute la population soit formée par des individus qui coopèrent; voir Traulsen et Nowak (2006) [91] pour plus des détails.
Avec une structure spatiale, on suppose par example que les individus occupent les som-mets dans un graphe régulier, de telle sorte que tous les individus ont la même quantité de voisins. Les interactions se font deux à deux. Le paiement d’un individu est la somme des paiements provenant des interactions avec ses voisins. Un individu qui coopère paie un coût
pour que chacun de ses voisins reçoive le bénéfice. Un non coopérateur ne paie rien, donc ses voisins ne reçoivent pas de bénéfice provenant de lui.
Une autre caractéristique de la population à considerer est le modèle de reproduction qui la représente le mieux. Dans le cas des populations de taille finie, les modèles les plus utilisés sont le modèle de Moran et le modèle de Wright-Fisher, ou leurs variantes, avec une structure en groupes [59, 52, 62] ou en classes [48, 88]. On distingue les types d’individus selon leurs stratégies. Dans le modèle de Moran à temps discret, aussi connu par l’appellation événement naissance-mort, un individu est choisi pour se reproduire en faisant une copie identique à lui-même et un individu est choisi pour être remplacé par cette copie. La probabilité de choisir un individu d’un type donné pour se reproduire est proportionnelle à la valeur sélective de ce type, alors que l’individu remplacé est choisi au hasard dans la population. Dans le modèle de Wright-Fisher, la population est de taille fixe, et à chaque génération la nouvelle génération est formée par des tirages avec remplacement de la population précédente. La probabilité de tirer un individu d’un type donné est aussi proportionnelle à la valeur sélective de ce type. Donc, le nombre d’individus d’un certain type en suivant un des ces modèles de reproduction, est une chaîne de Markov à temps discret sur des états discrets pour une population de taille finie. Dans le cas de populations infinies, l’équation de replication est souvent utilisée, et cela suppose que le taux de reproduction d’un type est proportionnel à son paiement [38].
Dans les populations à générations imbriquées, il est possible que la fécondité, la proba-bilité de survie et de mutation varient en fonction de l’âge de l’individu [41]. Un modèle qui prend en considération l’âge de l’individu dans les taux de fertilité et de survie a été introduit par Felsenstein (1971) [26]. C’est un modèle neutre pour une population haploïde avec une structure d’âge fixée et un nombre quelconque de classes d’âge dans lesquelles le nombre d’individus est constant à chaque pas de temps. Plus tard, Emigh et Pollak (1977) [21] ont obtenu la probabilité de fixation d’un type et la taille effective pour une population diploïde. Ce modèle a été étendu par Emigh (1979) [19, 20] en considérant les différences de fécondité, de probabilité de survie et de taux de mutation entre deux types mais dans le cas d’une population haploïde. En utilisant une approximation par un processus de dif-fusion, Emigh (1979) [19, 20] obtient la probabilité de fixation dans le cas de sélection et sans mutation et la distribution stationnaire de la fréquence de l’un des deux types. Dans
ce modèle, dans le cas neutre et avec deux classes d’âge, la probabilité de fixation d’un type qui est introduit dans la première classe d’âge est une fonction décroissante par rapport à la proportion d’individus dans la première classe, f . En utilisant des simulations et pour une population haploïde de taille finie et fixée avec différences de fécondité ou de probabilités de survie entre deux types, Xiang et al. [67] trouvent un point critique, un point au-delà duquel la probabilité de fixation comme fonction de f devient croissante. Cette nouvelle observa-tion nous a amené a reprendre l’étude des résultats théoriques pour essayer de l’expliquer de façon analytique. Quand Emigh [20] obtient l’approximation par un processus diffusion, il suppose, sans vérification autre que numérique, que la fréquence de chaque type dans chaque classe d’âge atteint un équilibre comme c’est le cas dans un modèle neutre. Cependant, il est possible de vérifier les conditions établies par Nagylaki et Ethier (1980) [23, 72] pour jus-tifier rigoureusement cette approximation pour une chaîne de Markov avec deux échelles de temps. On utilise une approximation des moments de la loi hypergéométrique Wallenius non centrée. De façon analytique, on démontre l’approximation de cette loi par la loi binomiale qu’Emigh [20] a utilisé dans un cas spécifique.
Dans une population avec n types d’individu et de taille finie, on est souvent intéressé à calculer la probabilité de fixation d’un type i, dénotée par ui(s), comme fonction de l’intensité
de la sélection s, pour i = 1, . . . ,n. Cela représente la probabilité que la population devienne éventuellement formée seulement par des individus de type i. En absence de sélection, c’est-à-dire s = 0, et pour une populations non structurée, on a que ui(0) = xi(0), où xi(0) représente
la fréquence initiale du type i. Pour une population structurée, la probabilité de fixation d’un type mutant est donnée par une moyenne pondérée de ses fréquences dans les différentes classes d’âge. Les poids dans cette moyenne correspondent aux éléments de la distribution de probabilité stationnaire d’une matrice de transition rétrograde pour l’ascendance de la population.
On dit que la sélection favorise le type i si ui(s) > ui(0). La condition ui(s) > ui(0) se
traduit en u0i(s) > 0 en supposant une sélection faible, où u0i(0) représente l’effet du premier ordre de la sélection sur la probabilité de fixation. Cette condition a été d’abord utilisée par Nowak et al. (2004) [77] dans le cas du modèle de Moran et une population bien mélangée, donnant naissance à la loi du un tiers. Lessard et Ladret (2007) [62] ont démontré la loi du un tiers pour d’autres modèles de reproduction qui étendent les hypothèses de Cannings.
Dans le cas d’une population finie structurée en groupes, Lessard (2011) [59] obtient une condition pour que la sélection soit favorisée qui est moins forte que celle obtenue sans la structure en groupes. Dans cet article, il utilise un modèle en îles. Dans ce modèle, on considère que les individus sont distribués dans D groupes de taille fixe N . Les individus se reproduisent selon le modèle de Wright-Fisher et ensuite, il y a une dispersion partielle uniforme entre les groupes. Après la dispersion, les individus interagissent avec les membres du même groupe, ce qui affecte leur valeur sélective et par ricochet leur chance d’être tiré pour former la génération suivante.
On a utilisé une procédure similaire à celle présentée par Lessard (2011) [59] et Lessard et Ladret (2008) [53] pour obtenir l’approximation au premier ordre de la probabilité de fixation d’un mutant introduit à l’instant initial dans la population qui suit le modèle de Felsenstein (1971) [26]. Dans ce modèle avec sélection et mutation d’intensité inversement proportionnelle à la taille de la population et lorsque la taille de la population tend vers l’infini, on observe la présence de deux échelles de temps. Une échelle rapide avec laquelle la distribution de chaque type dans les différentes classes d’âge entrent en équilibre et une échelle lente avec laquelle la sélection et la mutation provoquent des changements dans les fréquences relatives des types comme dans une population bien mélangée.
Chapitre 1
Premier article.
Definitions of fitness in
age-structured populations:
Comparison in the haploid case
par
Sabin Lessard1, and Cíntia Dalila Soares1
(1) Département de mathématiques et de statistique Université de Montréal
Montréal, Québec H3C 3J7, Canada
Résumé.Le Théorème Fondamental de la Sélection Naturelle (FTNS) de Fisher (1930), et en particulier le développement d’une version explicite du théorème pour une structure d’âge, présente un intérêt permanent. Dans un article récent, Grafen (2015a) affirme que Fisher considérait son théorème comme justifiant l’optimisation de la valeur sélective indi-viduelle plutôt que la valeur sélective de la population. L’argument repose sur une nouvelle définition de valeur sélective dans des populations structurées par âge en termes de taux de natalité et de mortalité individuels et de valeurs reproductives spécifiques à l’âge, conformé-ment à un principe de neutralité. Ces dernières dépendent de la fréquence et sont définies sans référence à la variation génétique. Dans le même article, il est montré que le taux de croissance de la moyenne des valeurs sélectives additives pondérées par les valeurs repro-ductives, mais en maintenant les valeurs additives constantes comme dans Price (1972), est égal à la variance génétique additive de la valeur sélective. Par conséquent, ce changement partiel est obtenu en maintenant constants non seulement les taux génotypiques de natalité et de mortalité, mais également les taux moyens de natalité et de mortalité par âge à partir desquels sont définies les valeurs reproductives par âge. Dans cet article, nous réaffirmons que le paramètre Malthusien, qui mesure le taux relatif d’augmentation ou de diminution de la valeur reproductive de chaque génotype dans une population structurée par âge en temps continu, est la définition de la valeur sélective utilisée dans Fisher (1930) pour le FTNS. Ceci est démontré en considérant une population haploïde asexuée structurée par âge avec des paramètres de naissance et de décès (ou de survie) constants par âge pour chaque type. Bien que l’énoncé initial du FTNS s’applique à une population diploïde, ce modèle haploïde simplifié nous permet d’aborder la définition de la valeur sélective définie dans ce théorème sans les complexités et les effets d’un environnement génique en changement. Dans ce cadre simplifié, le taux de changement de la valeur sélective moyenne en temps continu devrait être exactement égal à la variance génétique de la valeur sélective (ou à la variance génétique de la valeur sélective divisée par la valeur sélective moyenne en temps discret), ce qui peut être considéré comme un théorème généralisé du taux de croissance. On montre que ce théorème est valable avec le paramètre Malthusien utilisé comme définition de la valeur sélective. De plus, dans le même cadre, il est démontré qu’une version à temps discret de la définition de Grafen peut entraîner une diminution de la valeur sélective moyenne. Cependant, dans la limite d’une sélection faible avec l’unité de temps proportionnelle à l’inverse de l’intensité de la sélection, cette définition prédit la dynamique de population appropriée en accord avec le théorème du taux de croissance. Cela clarifie le domaine d’application de la nouvelle défi-nition, du moins en ce qui concerne la dynamique de la population, et réconcilie la nouvelle définition avec la définition originale.
Mots clés : Populations structurées par âge. Théorème du taux de croissance. Paramètre Malthusien. Valeur reproductive. Théorème Fondamental de la Sélection Naturelle.
Abstract.
Fisher’s (1930) Fundamental Theorem of Natural Selection (FTNS), and in particu-lar the development of an explicit age-structured version of the theorem, is of everlasting interest. In a recent paper, Grafen (2015a) argues that Fisher regarded his theorem as justifying individual rather than population fitness maximization. The argument relies on a new definition of fitness in age-structured populations in terms of individual birth and death rates and age-specific reproductive values in agreement with a principle of neutrality. The latter are frequency-dependent and defined without reference to genetic variation. In the same paper, it is shown that the rate of increase in the mean of the breeding values of fitness weighted by the reproductive values, but keeping the breeding values constant as in Price (1972)is equal to the additive genetic variance in fitness. Therefore, this partial change is obtained by keeping constant not only the genotypic birth and death rates but also the mean age-specific birth and death rates from which the age-specific reproductive values are defined. In this paper we reaffirm that the Malthusian parameter which measures the relative rate of increase or decrease in reproductive value of each genotype in a continuous-time age-structured population is the definition of fitness used in Fisher’s (1930) FTNS. This is shown by considering an age-structured asexual haploid population with constant age-specific birth and death (or survival) parameters for each type. Although the original statement of the FTNS is for a diploid population, this simplified haploid model allows us to address the definition of fitness meant in this theorem without the complexities and effects of a changing genic environment. In this simplified framework, the rate of change in mean fitness in continuous time is expected to be exactly equal to the genetic variance in fitness (or to the genetic variance in fitness divided by the mean fitness in discrete time), which can be seen as a generalized growth-rate theorem. This theorem is shown to hold with the Malthusian parameter used as the definition of fitness. Moreover, in the same framework, it is shown that a discrete-time version of Grafen’s definition may lead to a decrease in mean fitness. In the limit of weak selection with the unit of time proportional to the inverse of the intensity of selection, however, this definition predicts the right population dynamics in agreement with the growth-rate theorem. This clarifies the domain of application of the new definition, at least as far as population dynamics is concerned, and reconciles the new definition with the original one.
Keywords: Age-structured populations. Growth-rate theorem. Malthusian parameter. Reproductive value. Fundamental Theorem of Natural Selection.
1.1. Introduction
In an infinite population of asexual haploid individuals in which each individual inde-pendently of all others reproduces at fixed rate b and dies at fixed rate µ, the population size grows at relative rate m = b − µ. If c(t) represents the population size at time t ≥ 0, then bc(t)dt and µc(t)dt are the expected numbers of births and deaths, respectively, in the infinitesimal time interval [t, t + dt], so that the expected change in the population size in the same time interval is
dc(t) = (b − µ)c(t)dt = mc(t)dt, (1.1.1)
from which
c(t) = c(0)emt. (1.1.2)
With n types of individuals having fixed relative growth rates mi and present in numbers
ci(t) in the population at time t ≥ 0 for i = 1, . . . , n, the mean relative growth-rate at this
time is given by ¯ m(t) = n X i=1 mipi(t), (1.1.3) where pi(t) = ci(t) Pn j=1cj(t) (1.1.4)
is the frequency of type i = 1, . . . , n at time t ≥ 0. Differentiating this frequency with respect to time yields dpi(t) dt = mipi(t) − pi(t) n X j=1 mjpj(t), (1.1.5) from which d ¯m(t) dt = n X i=1 m2ipi(t) − ¯m(t)2. (1.1.6)
This can be found in many textbooks (see, e.g., Crow and Kimura, 1970, p. 10 [14]). It was called the growth-rate theorem by Edwards (1994) [16] who stated it as follows: In a subdivided population the rate of change in the overall growth-rate is proportional to the variance in growth rates.
As still recently stated (Ewens and Lessard, 2015)[25], the aim of Fisher (1930, 1958) [27, 29] was likely to find a more subtle statement for genes that takes into account the complexities of the diploid Mendelian hereditary system as well as those for variable birth and death rates of genotypes. This theorem, known as the Fundamental Theorem of Natural Selection (FTNS), states that: The rate of increase in fitness of any organism at any time is equal to its genetic variance in fitness at that time. This is the rate of change, however, obtained by keeping fixed the environment including the genic environment (Fisher, 1941, p. 56 [28]). This means genotypic fitnesses kept constant and changes in genotypic frequencies ascribable only to changes in gene frequencies. These correspond to relative changes in genotypic frequencies as best predicted from the genes present (see Lessard, 1997 [56], and Edwards, 2002 [17], for more details). Therefore, the rate of increase in fitness meant in the FTNS is actually a partial rate of change. Moreover, the genetic variance in the FTNS is known today as the additive genetic variance.
Note that the partial rate of change can alternatively be obtained by substituting the fitness of each genotype with its additive genetic value or its breeding value obtained by adding the average allelic effects, and by keeping this value fixed (Price, 1972 [83]; see Ewens, 1989 [24], for the corresponding partial change in discrete time without age structure). This interpretation, however, cannot be found in Fisher’s (1930, 1941, 1958) [27, 28, 29] writings.
Note also that, in the special case of a constant environment including a constant genic environment, the partial rate of change meant in the FTNS should give the total rate of change as in the growth-rate theorem.
For convenience, a rate of change in continuous time is sometimes simply called a change as in discrete time.
It remains to define fitness. In an age-structured population in continuous time, if l(x) is the probability at conception that an individual will survive to age x and b(x)dx is the expected number of offspring that an individual will produce from age x to age x + dx, then the Malthusian parameter of the population m is defined by Lotka’s (1922) [69] equation
Z ∞
0
e−mxl(x)b(x)dx = 1. (1.1.7)
The Malthusian parameter measures the relative rate of increase or decrease of a population when in the steady state (Fisher, 1958, p. 26 [29]). Moreover, if the reproductive value of an
individual at age x is defined as v(x) = v(0)e mx l(x) Z ∞ x e−myl(y)b(y)dy, (1.1.8)
then whatever may be the age constitution of a population, its total reproductive value will increase or decrease according to the correct Malthusian rate (Fisher, 1958, p. 29 [29]). Here, the reproductive value of an individual is interpreted as the present value of all offspring expected to be produced by the individual in the future. Differentiating the above equation with respect to x yields (Fisher, 1958, p. 30 [29])
mv(x) = dv(x) dx + b(x)v(0) − µ(x)v(x), (1.1.9) where b(x) and µ(x) = − 1 l(x) dl(x) dx (1.1.10)
are the birth and death rates, respectively, of an individual of age x.
The Malthusian parameter implicit in any given system of rates of death and reproduction [. . . ] measures fitness by the objective fact of representation in future generations [and . . . ] will in general be different for each different genotype (Fisher, 1958, p. 26, 37, 50, respectively [29]). This leaves little doubt that this is the definition of fitness meant in the FTNS. If individuals of genotype i at age x have birth and death rates bi(x) and µi(x), respectively, and
reproductive value given by vi(x), then the Malthusian parameter of individuals of genotype
i, denoted by mi, satisfies
mivi(x) =
dvi(x)
dx + bi(x)vi(0) − µi(x)vi(x). (1.1.11) In this equation, birth and death rates and reproductive values are averaged over all individ-uals with the same age for each genotype, while a Malthusian parameter defines fitness for each genotype irrespective of age. This is the classical definition of fitness for a genotype in a continuous-time age-structured population (see, e.g, Crow and Kimura, 1970 [14], Crow, 1979 [13], Charlesworth, 1980, 1994 [10, 11]). This is the definition that was used in Lessard (1997) [56] to interpret Fisher’s (1930) [27] FTNS as a partial change in fitness, actually in the mean fitness obtained by weighting each individual with its reproductive value as suggested in Fisher (1958, p. 38) [29].
Grafen (2015a) [32] proposes to define the fitness mi(x) of an individual of genotype i
and age x having birth and death rates bi(x) and µi(x), respectively, and reproductive value
given by v(x), such that
mi(x)v(x) =
dv(x)
dx + bi(x)v(0) − µi(x)v(x). (1.1.12) Here, the birth and death rates take genotype- and age-specific values as previously, while the reproductive values are age-specific but not genotype-specific. This means that the reproductive values satisfy Eq. (1.1.9) where b(x) and µ(x) are birth and death rates, respectively, averaged over all individuals of age x, and m is the Malthusian parameter for the whole population associated with these rates. Note, however, that this parameter as well as the reproductive values change over time since this is the case for the average age-specific birth and death rates.
Fitness defined by Eq. (1.1.12) differs from fitness defined by Eq. (1.1.11) by the use of reproductive values that are the same for all individuals of the same age irrespective of their genotype. Using the former definition and keeping the breeding values fixed as in Price (1972) [83], which implies here keeping the age-specific reproductive values fixed, Grafen (2015a) [32] shows that the rate of change in the mean of the breeding values weighted by the reproductive values is equal to the additive genetic variance in fitness. Moreover, it is claimed that this is the first satisfactory proof of Fisher’s (1930) [27] FTNS.
The main question is: which of the definitions of fitness, that in Eq. (1.1.11) or Eq. (1.1.12), is the one that Fisher (1930) [27] meant in the statement of the FTNS? An ancillary question is: under what conditions both definitions agree?
In order to answer these questions, we will consider the simplest possible age-structured population, namely an asexual haploid population with constant demographic vital param-eters for each type. It will also be useful to consider discrete-time models since the concepts of Malthusian parameter and reproductive value are best understood in their discrete-time versions.
With time and age measured in number of time intervals of length ∆t, let c(k, τ ) be the number of individuals of age k = 0, 1, . . . , ω − 1 at time step τ ≥ 0. Moreover, from one time step to the next, such an individual survives with probability s(k) and produces an expected number f (k) of offspring of age 0. Note that an individual must survive in order to produce offspring. Assuming s(k) > 0 for k = 0, 1, . . . , ω − 1 and s(ω) = 0 with f (ω − 1) > 0 so
that ω − 1 is the maximum age of reproduction, the population state at time step τ ≥ 0 is represented by c(τ ) = (c(0, τ ), c(1, τ ), . . . , c(ω − 1,τ ))T and satisfies
c(τ + 1) = Ac(τ ), (1.1.13) where A = f (0) f (1) · · · f (ω − 2) f (ω − 1) s(0) 0 · · · 0 0 0 s(1) · · · 0 0 .. . ... . .. ... ... 0 0 · · · s(ω − 2) 0 , (1.1.14)
is a Leslie matrix (Leslie, 1945) [55]. Under the additional assumption that f (ω − 2) > 0 so that the matrix A is necessarily irreducible and aperiodic, the Perron-Frobenius theory for non-negative matrices (see, e.g., Karlin and Taylor, 1975 [43]) guarantees that the leading eigenvalue λ is positive, simple and associated with positive left and right eigenvectors v = (v(0), v(1), . . . , v(ω − 1))T and u = (u(0), u(1), . . . , u(ω − 1))T, respectively (with T for
transpose), which are unique under the conditions Pω−1
k=0 u(k) = 1 and
Pω−1
k=0v(k)u(k) = 1.
The equations
vTA = λvT and Au = λu, (1.1.15)
respectively, imply that vTc(τ + 1) = λvTc(τ ) whatever c(τ ) may be, and c(τ + 1) = λc(τ )
if c(τ ) = cu for some constant c > 0. This means that u is a stationary age distribution. On the other hand, it can be checked that
ω−1 X k=0 l(k)f (k) λk+1 = 1 (1.1.16) and λv(k) = v(0) λ k l(k) ω−1 X j=k l(j)f (j) λj = v(0)f (k) + v(k + 1)s(k), (1.1.17)
with l(0) = 1, v(ω) = 0 and l(k) = s(0) · · · s(k − 1), for k = 1, . . . , ω − 1. The components of the vector v are the reproductive values of the different ages, while λ is the geometric rate of increase or decrease in the total reproductive value of the population: this rate defines its fitness.
The above quantities in the discrete-time model can be obtained for each genotype i to which corresponds a set of age-specific survival probabilities si(k) and fecundities fi(k), for
k = 0, 1, . . . , ω − 1. Note that Eqs. (1.1.7), (1.1.8) and (1.1.9) for each genotype i in the continuous-time model are retrieved by setting
λi = 1 + mi∆t + o(∆t), fi(k) = bi(k∆t)∆t + o(∆t), si(k) = 1 − µi(k∆t)∆t + o(∆t),
(1.1.18)
in the limit k∆t → x as ∆t → 0 (see, e.g., Lessard, 1997 [56]). On the other hand, Eq. (1.1.12) defining fitness in Grafen’s sense in continuous time becomes
λi(k)v(k) = v(0)fi(k) + v(k + 1)si(k) (1.1.19)
in discrete time for individuals of genotype i and age k ≥ 0 with v(k) satisfying (1.1.17) for average age-specific survival probabilities and fecundities. The discrete-time version in Grafen (2015a) [32], namely
mi(k)v(k) = v(k + 1) − v(k) + v(0)bi(k) − v(k + 1)µi(k), (1.1.20)
can be recovered, for instance, by plugging (1.1.18) with ∆t = 1 into (1.1.19) and ignoring terms of order o(∆t).
In this paper, we consider a multi-type age-structured asexual haploid population with constant age-specific birth and death (or survival) parameters for each type. These as-sumptions are expected to guarantee a constant environment, including a constant genic environment, so that in continuous time the actual rate of increase in mean fitness should be equal to the variance in fitness. This corresponds to a generalized growth-rate theorem that can be viewed as a simplified haploid version of Fisher’s (1930) [27] FTNS. Discrete-time versions for which the actual increase in fitness should be equal to the variance in fitness divided by the mean fitness are also considered. These predictions are checked with the Malthusian parameter as definition of fitness and then Grafen’s (2015a) [32] definition, first without further assumptions on the birth and death (or survival) parameters and second, in the limit of weak selection as differences in these parameters become infinitesimally small.
1.2. Increase of mean fitness in discrete-time
In a discrete-time age-structured asexual haploid population, let
Vi(τ ) = vTici(τ ) = ω−1
X
k=0
vi(k)ci(k, τ ) (1.2.1)
be the total reproductive value of haplotype i represented in number ci(k, τ ) in age class
k = 0,1, . . . , ω − 1 at time step τ ≥ 0 with survival probabilities and fecundities given by the entries of the Leslie matrix
Ai = fi(0) fi(1) · · · fi(ω − 2) fi(ω − 1) si(0) 0 · · · 0 0 0 si(1) · · · 0 0 .. . ... . .. ... ... 0 0 · · · si(ω − 2) 0 , (1.2.2) which satisfies vTi Ai = λivTi = λi(vi(0), vi(1), . . . , vi(ω − 1)), (1.2.3)
where λi > 0 and vi(k) > 0 for k = 0,1, . . . , ω − 1, for i = 1, . . . , n. Then we have
Vi(τ + 1) = vTici(τ + 1) = vTi Aici(τ ) = λivTi ci(τ ) = λiVi(τ ), (1.2.4)
which means that λi is the geometric rate of increase or decrease in the total reproductive
value of haplotype i, for i = 1, . . . , n.
Note that the reproductive values associated with the different age classes of each haplo-type are frequency-independent. Moreover, they can be multiplied by any positive constant. Since we will be concerned in the following with the changes in the total reproductive values, the scaling does not matter. A standard scaling is to assume vi(0) = 1. Here, for convenience
(mainly in view of Section 5), it is assumed that vTi ui = 1, where ui is an ω-dimensional
vector with all positive components that sum up to 1, which satisfies Aiui = λiui as in Eq.
(1.1.15). Let λ(τ ) = n X i=1 λipi(τ ), (1.2.5) 16
for τ ≥ 0, where pi(τ ) = Vi(τ ) Pn j=1Vj(τ ) , (1.2.6)
for i = 1, . . . , n. At the next time step, we have
λ(τ + 1) = n X i=1 λipi(τ + 1) = Pn i=1λiVi(τ + 1) Pn i=1Vi(τ + 1) = Pn i=1λ 2 iVi(τ ) Pn i=1λiVi(τ ) = Pn i=1λ 2 ipi(τ ) Pn i=1λipi(τ ) , (1.2.7) from which ∆λ(τ ) = λ(τ + 1) − λ(τ ) = Pn i=1λ2ipi(τ ) − λ(τ )2 λ(τ ) . (1.2.8)
Therefore, with fitness defined as the geometric rate of change in total reproductive value, the change in mean fitness with respect to frequencies in reproductive value is equal to the variance in fitness divided by the mean fitness. This extends the growth-rate theorem to discrete-time age-structured populations.
1.3. Increase of mean fitness in continuous-time
For asexual haploid individuals of type i surviving to age x with probability li(x) and
reproducing at rate bi(x) at that age, let
Vi(t) =
Z ∞
0
vi(x)ci(x,t)dx, (1.3.1)
where vi(x) is the reproductive value of an individual of type i of age x defined by
vi(x) = vi(0) emix li(x) Z ∞ x e−miyl i(y)bi(y)dy (1.3.2) with vi(0) = 1 and Z ∞ 0 e−mixl i(x)bi(x)dx = 1, (1.3.3)
while ci(x, t) is the density of individuals of type i with respect to x at time t. Therefore,
Vi(t) represents the total reproductive value of all individuals of type i in the population.
With n types of individuals in the whole population, let
pi(t) = Vi(t) Pn j=1Vj(t) (1.3.4) 17
be the proportion of reproductive value of all individuals of type i at time t, for i = 1, . . . , n. We will show that
d ¯m(t) dt = n X i=1 m2ipi(t) − ¯m(t)2, (1.3.5)
as stated, and partially proved, in Charlesworth (1980, p. 67-68)[10], where mi is the
Malthusian parameter of type i whose mean at time t is
¯ m(t) = n X i=1 mipi(t), (1.3.6)
with respect to the frequencies of types as defined above. This is the mean Malthusian parameter when individuals are weighted by their reproductive value according to their type and age. In this context, Eq. (1.3.5) can be seen as a generalized growth-rate theorem.
As in the growth-rate theorem, it is enough to show that
dpi(t)
dt = mipi(t) − pi(t) ¯m(t), (1.3.7)
which is the case if
dVi(t)
dt = miVi(t), (1.3.8)
for i = 1, . . . , n. This means that the Malthusian parameter is the relative rate of increase or decrease of the total reproductive value. Since this result does not depend on the type of the individuals, the index i is dropped in the rest of this section to simplify the notation.
First, note that
c(x,t) = B(t − x)l(x), (1.3.9) where B(t) = Z ∞ 0 c(y,t)b(y)dy (1.3.10) if x < t, while c(x,t) = c(x − t,0) l(x) l(x − t) (1.3.11) 18
if x > t. Therefore, we have V (t) = Z ∞ 0 v(x)c(x,t)dx = Z t 0 v(x)B(t − x)l(x)dx + Z ∞ t v(x)c(x − t,0) l(x) l(x − t)dx = Z t 0 v(t − y)B(y)l(t − y)dy + Z ∞ 0 v(t + y)c(y,0)l(t + y) l(y) dy. (1.3.12)
Differentiating with respect to t gives
dV (t) dt = v(0)B(t)l(0) + Z t 0 B(y) l(t − y)dv(t − y) dt + v(t − u) dl(t − y) dt dy + Z ∞ 0 c(y,0) l(y) l(t + y)dv(t + y) dt + v(t + u) dl(t + y) dt dy. (1.3.13)
Using Eqs. (1.1.9) and (1.1.10) with the equality l(0) = 1 leads to
dV (t)
dt = v(0)B(t) + Z t
0
B(y) {mv(t − y) − b(t − y)v(0)} l(t − y)dy
+ Z ∞
0
c(y,0)
l(y) {mv(t + y) − b(t + y)v(0)} l(t + y)dy = v(0)B(t) + Z t 0 B(t − x) {mv(x) − b(x)v(0)} l(x)dx + Z ∞ t c(x − t,0) l(x − t) {mv(x) − b(x)v(0)} l(x)dx = v(0)B(t) + Z ∞ 0 c(x,t) {mv(x) − b(x)v(0)} dx = v(0)B(t) + m Z ∞ 0 c(x,t)v(x)dx − v(0) Z ∞ 0 c(x,t)b(x)dx = v(0)B(t) + mV (t) − v(0)B(t) = mV (t). (1.3.14)
This result is stated, and a verbal argument given, in Crow and Kimura (1970, p. 22) [14]. It is derived from a first-order approximation of the change in the total reproductive value from time t to time t + ∆t in Grafen (2015a, Eq. (10)) [32].
1.4. Mean fitness in Grafen’s sense
In the framework of Section 2, the fitness of an individual of haplotype i = 1, . . . , n in age class k = 0, 1, . . . , ω − 1 at time step τ ≥ 0 according to Grafen’s (2015a) [32], denoted
by λi(k, τ ), is defined by the equation
λi(k, τ )v(k, τ ) = v(0, τ )fi(k) + v(k + 1, τ )si(k), (1.4.1)
where v(ω, τ ) = 0 and v(k, τ ) is the reproductive value of an individual in age class k = 0, 1, . . . , ω − 1 at time step τ ≥ 0. In other words, (v(0, τ ), v(1, τ ), . . . , v(ω − 1, τ ))T is a positive leading left eigenvector of the Leslie matrix
A(τ ) = f (0, τ ) f (1, τ ) · · · f (ω − 2, τ ) f (ω − 1, τ ) s(0, τ ) 0 · · · 0 0 0 s(1, τ ) · · · 0 0 .. . ... . .. ... ... 0 0 · · · s(ω − 2, τ ) 0 , (1.4.2) with f (k, τ ) = Pn i=1fi(k)ci(k, τ ) Pn i=1ci(k, τ ) , (1.4.3) for k = 0, 1, . . . , ω − 1, and s(k, τ ) = Pn i=1si(k)ci(k, τ ) Pn i=1ci(k, τ ) , (1.4.4) for k = 0, 1, . . . , ω − 2. Therefore, λ(τ )v(k, τ ) = v(0, τ )f (k, τ ) + v(k + 1, τ )s(k, τ ), (1.4.5)
for k = 0, 1, . . . , ω − 1 with v(ω, τ ) = 0, where λ(τ ) is the positive leading eigenvalue of A(τ ). Note that the mean fitness at time step τ ≥ 0 using the reproductive values as weights is given by λ(τ ) = Pω−1 k=0 Pn i=1ci(k, τ )v(k, τ )λi(k, τ ) Pω−1 k=0 Pn i=1ci(k, τ )v(k, τ ) = Pω−1 k=0 Pn i=1ci(k, τ ) (v(0, τ )fi(k) + v(k + 1, τ )si(k)) Pω−1 k=0 Pn i=1ci(k, τ )v(k, τ ) = Pω−1 k=0 Pn i=1ci(k, τ ) v(0, τ )f (k, τ ) + s(k, τ )v(k + 1, τ ) Pω−1 k=0 Pn i=1ci(k, τ )v(k, τ ) = Pω−1 k=0 Pn i=1ci(k, τ )λ(τ )v(k, τ ) Pω−1 k=0 Pn i=1ci(k, τ )v(k, τ ) = λ(τ ). (1.4.6) 20
In conclusion, the mean fitness in Grafen’s sense in a discrete-time age-structured haploid population at any time step is equal to the geometric rate of increase or decrease in the total reproductive value of the population with average age-specific survival probabilities and fecundities at this time step.
In a continuous-time version, the fitness of an individual of haplotype i = 1, . . . , n of age x ≥ 0 at time t ≥ 0, denoted by mi(x, t), is defined by
mi(x, t)v(x, t) = dv(x,t) dx + bi(x)v(0,t) − µi(x)v(x,t), (1.4.7) where m(t)v(x, t) = dv(x,t) dx + b(x,t)v(0,t) − µ(x,t)v(x,t), (1.4.8) with b(x, t) = Pn i=1bi(x)ci(x, t) Pn i=1ci(x, t) (1.4.9) and µ(x, t) = Pn i=1µi(x,t)ci(x, t) Pn i=1ci(x, t) (1.4.10)
being the average birth and death rates of the individuals of age x ≥ 0 at time t ≥ 0 (Grafen, 2015a [32]).
As in discrete time, we have
m(t) = R∞ 0 Pn i=1ci(x, t)v(x, t)mi(x, t)dx R∞ 0 Pn i=1ci(x, t)v(x, t)dx = m(t), (1.4.11)
which says that the mean fitness in Grafen’s sense in a continuous-time age-structured haploid population at any time is equal to the Malthusian parameter of the population with average age-specific survival probabilities and fecundities at this time. Owing to the property of the Malthusian parameter given in Eq. (1.1.9), this is also the mean fitness for each age x as shown in Grafen (2015a, Eq. (16)) [32]. This ensures neutrality as defined in Grafen (2015b) [33].
The mean fitness in Grafen’s sense does not necessarily increase with time. This will be illustrated by a discrete-time example with two haplotypes in two age classes. The corresponding Leslie matrices are given by
A1 = 9 4 0.4 0 , A2 = 8 7 0.6 0 , (1.4.12) 21
Fig. 1.1. Example 1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 8.7 8.8 8.9 9 9.1 9.2 9.3 9.4 time step τ λ(n) variance(n)/λ(n)
with λ1 = 9.17 and λ2 = 8.56, respectively, as leading eigenvalue. The initial population
state is chosen to be c1(0) = c1(0,0) c1(1,0) = 1 0 , c2(0) = c2(0,0) c2(1,0) = 0 1 . (1.4.13)
The Leslie matrix for the whole population at time step τ ≥ 0 is given by
A(τ ) = 9c1(0,τ )+8c2(0,τ ) c1(0,τ )+c2(0,τ ) 4c1(1,τ )+7c2(1,τ ) c1(1,τ )+c2(1,τ ) 0.4c1(0,τ )+0.6c2(0,τ ) c1(0,τ )+c2(0,τ ) 0 . (1.4.14)
The leading eigenvalue λ(τ ) of this matrix, which corresponds to the mean fitness in Grafen’s sense, is represented in Figure 1. It sharply decreases in the beginning before increasing rapidly and then slowly to the value λ1.
Another example with
Fig. 1.2. Example 2 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 3.14 3.145 3.15 3.155 3.16 3.165 3.17 time step τ λ(n) variance(n)/λ(n) A1 = 2 4.1 0.9 0 , A2 = 2 4 0.9 0 , (1.4.15) and c1(0) = 0.5 0.5 , c2(0) = 0 1 (1.4.16)
leads to Figure 2. There are oscillations between the values λ1 = 3.1656 and λ2 = 3.1448
followed by a slow increase to λ1.
The increase of the mean fitness in Grafen’s sense for τ large enough observed in Figures 1 and 2 is shown in general for two haplotypes and any number of age classes in Appendix A. This suggests quick convergence to the stable age distribution for each of the two haplotypes followed by differential increases in their sizes.
1.5. Fitness in the limit of weak selection
In order to model weak selection in a discrete-time age-structured asexual haploid pop-ulation, let the Leslie matrix for haplotype i = 1, . . . , n be given in the form
Ai(s) = A + sBi, (1.5.1)
with A as defined in (1.1.14) with leading positive eigenvalue λ = 1 and
Bi = βi(0) βi(1) · · · βi(ω − 2) βi(ω − 1) αi(0) 0 · · · 0 0 0 αi(1) · · · 0 0 .. . ... . .. ... ... 0 0 · · · αi(ω − 2) 0 . (1.5.2)
This means that s > 0 is the intensity of selection and the entries of Bi are the coefficients
of selection with respect to this intensity.
With s−1 time steps as unit of time, the numbers of individuals of haplotype i in the different age classes at time t ≥ 0 are given by
ci(t) = (ci(0, t), ci(1, t), . . . , ci(ω − 1,t))T = Ai(s)bs
−1tc
ci(0), (1.5.3)
where bs−1tc represents the integer part of s−1t. Writing Ai(s) in Jordan normal form yields
Ai(s) = ui(s) Pi(s) λi(s) 0T 0 Ji(s) vi(s)T Ri(s) , (1.5.4) where λi(s) = 1 + mis + o (s) (1.5.5)
is the leading positive eigenvalue of Ai(s) with associated positive left and right eigenvectors
vi(s) and ui(s), respectively, that satisfy
1Tui(s) = 1, vi(s)Tui(s) = 1. (1.5.6)
Here, 1 and 0 designate vectors of all ones and all zeros, respectively. Moreover, Ji(s) is a
Jordan matrix associated with eigenvalues of Ai(s) whose moduli are all less than λi(s) and,
by continuity, less than some quantity strictly smaller than λi(0) = 1 for s small enough.
Finally, we have the equalities
vi(s)TPi(s) = 0T, Ri(s)ui(s) = 0, Ri(s)Pi(s) = I, (1.5.7)
where I designates an identity matrix. Then we get
Ai(s)bs −1tc = ui(s) Pi(s) λi(s)bs −1tc 0T 0 Ji(s)bs −1tc vi(s)T Ri(s) → e mituvT, (1.5.8)
as s tends to 0 for any t > 0, where v = vi(0) and u = ui(0) are positive left and right
eigenvectors, respectively, associated with the eigenvalue 1 of A = Ai(0) that satisfy 1Tu = 1
and vTu = 1. In the same limit,
ci(t) → vTci(0) emitu. (1.5.9)
In particular, this implies a stationary age distribution given by u at any time t > 0 in the limit of weak selection.
It remains to calculate mi which is the derivative of the leading eigenvalue λi(s) of Ai(s)
with respect to the intensity of selection evaluated at s = 0. Since
λi(s) = λi(s)vi(s)Tui(s) = vi(s)TAi(s)ui(s) = vi(s)T(A + sBi)ui(s), (1.5.10) we have mi = λ0i(0) = vi(0)TBiui(0) + v0i(0) T Aui(0) + vi(0)TAu0i(0) = vTBiu + v0i(0)Tui(0) + vi(0)Tu0i(0) = vTBiu, (1.5.11)
owing to (2.6.47). This is in agreement with a well-known result on irreducible aperiodic non-negative matrices (see, e.g., Lancaster and Tismenetsky, 1985 [54]).
Defining Vi(t) = vTci(t), (1.5.12) we have dVi(t) dt = miVi(t), (1.5.13) 25
from which d ¯m(t) dt = n X i=1 m2ipi(t) − ¯m(t)2, (1.5.14) as in Section 3, where ¯ m(t) = n X i=1 mipi(t), (1.5.15) with pi(t) = Vi(t) Pn j=1Vj(t) . (1.5.16)
This means that mi is the relative rate of change of the total reproductive value of haplotype
i and that the rate of change of their mean value is given by their variance. This is the growth-rate theorem in the limit of weak selection.
Finally, (1.5.11) leads to the expression
mi = ω−1
X
k=0
u(k)(v(0)βi(k) + v(k + 1)αi(k)), (1.5.17)
where u(k) and v(k) are the frequency and reproductive value, respectively, of individuals of haplotype i in age class k, with v(ω) = 0. This weighted average can be written into the form mi = ω−1 X k=0 u(k)v(k)mi(k), (1.5.18) where mi(k) = v(0)βi(k) + v(k + 1)αi(k) v(k) . (1.5.19)
This represents the relative rate of change of reproductive value of individuals of haplotype i in age class k.
A discrete-time analogue with ∆t as the time step would lead to a geometric rate of increase or decrease in the total reproductive value of haplotype i given by
λi = 1 + mi∆t + o(∆t) = ω−1 X k=0 u(k)v(k)λi(k), (1.5.20) 26
where, using (1.1.17) with λ = 1, we have λi(k) = 1 + mi(k)∆t + o(∆t) = v(0)f (k) + v(k + 1)s(k) v(k) + v(0)βi(k) + v(k + 1)αi(k) v(k) ∆t + o(∆t) = v(0)(f (k) + βi(k)∆t + o(∆t)) + v(k + 1)(s(k) + αi(k)∆t + o(∆t)) v(k) . (1.5.21)
This is in agreement with Grafen’s definition of fitness in discrete time as described in (1.1.19) with
fi(k) = f (k) + βi(k)∆t + o(∆t), si(k) = s(k) + αi(k)∆t + o(∆t). (1.5.22)
Note that this gives an approximation for ∆t small enough but much larger than the intensity of selection s.
In summary, in a discrete-time age-structured asexual haploid population in the limit of weak selection with the inverse of the intensity of selection as the unit of time, the same stationary age distribution is reached for each type and the growth-rate theorem holds with the relative rate of increase or decrease in reproductive value given by a weighted average of fitnesses in Grafen’s sense as defined in Eq. (1.5.18).
1.6. Discussion
Grafen (2015a) [32] argues that Fisher’s (1930) [27] FTNS in age-structured populations concerns individual rather than population fitness maximization by considering variation in the individual properties, namely birth and death rates in continuous time or fecundities and survival probabilities in discrete time, while keeping fixed the population level proper-ties, namely the age-specific reproductive values defined with respect to mean age-specific birth and death rates. These reproductive values used in the definition of fitness ensure neutrality in mean fitness from one age class to another (Grafen, 2015b [33]). This con-dition can be traced back to a notion of reproductive value introduced in Williams (1966) [93] and agrees with Charlesworth’s (1980, 1994) approximations under the assumption of demographic equilibrium. Then it is shown that the rate of change in the mean of the breed-ing values of fitness weighted by the reproductive values, all kept constant, is equal to the additive genetic variance in fitness.
Fisher (1930) [27] used demographic life tables for a whole population to introduce the concepts of Malthusian parameter and reproductive value. As far as we can see, however, nothing in this book and related further work (Fisher, 1941, 1958 [28, 29] ) suggests anything else than a genotype-specific Malthusian parameter as definition of fitness of a genotype in age-structured populations, which implies age- and genotype-specific reproductive values. We stand behind the interpretation of the FTNS given in Lessard (1997) [56] based on this definition of fitness and the notion of genic environment as part of the environment as explained in Fisher (1941) [28]: it concerns a partial change in the mean of the Malthusian parameters weighted by the reproductive values, all kept constant, with respect to the relative changes in the genotypic frequencies as best predicted from the genes present.
Grafen’s (2015a) [32] and Lessard’s (1997) [56] analyses are both for a diploid population but the two definitions of fitness hold as well for a haploid population. In this paper, we have compared the implications of the these definitions in the extreme case of an asexual haploid population. This allows us to isolate the differences between the two definitions from the differences caused by Mendelian segregation and genetic recombination.
In the framework of an age-structured asexual haploid population with constant demo-graphic vital parameters for each type (namely, constant age-specific birth and death rates in continuous time or constant survival probabilities and fecundities in discrete time), we have recalled in Sections 2 and 3 that defining fitness as a genotype-specific Malthusian pa-rameter and using age- and genotype-specific reproductive values as weights lead to a mean fitness whose rate of change in continous time is exactly equal to the variance in fitness (or whose change in discrete time is exactly equal to the variance in fitness divided by the mean fitness). This is in agreement with a simplified version of Fisher’s (1930) [27] FTNS for an age-structured haploid population in continuous time in a constant environment which includes a constant genic environment (or Ewens’s (1989) [24] version of this theorem for a population in discrete time without age structure). This corresponds to a generalized growth-rate theorem.
In the same simplified framework of an asexual haploid population with constant demo-graphic vital paramters for each type, we have shown in Section 5 that the same stationary age distribution for each type is reached in the limit of weak selection. In this limit, the life-span of an individual can be neglected compared to the inverse of differences in the vital
parameters from one individual to another of the same age. Moreover, in this same limit, Grafen’s (2015a) [32] definition of individual fitness as the relative rate of change in repro-ductive value in continuous time (or the relative change in reprorepro-ductive value in discrete time) by using common age-specific reproductive values is consistent with the growth-rate theorem.
Grafen’s definition of fitness ignores differential age-specific contributions to the popula-tion in the future from one type to another. This assumes that the individuals produced are indistinguishable. Even with constant demographic vital rates and in the absence of genetic recombination and segregation, this fitness is frequency-dependent and its mean obtained by using the population age-specific repoductive values as weights can decrease. This has been shown in Section 4 by numerical iterations for two haplotypes with two age classes in discrete time. Such a decrease is rare, however, and appears to be a transient phenomenon from some given initial population states. These numerical results suggest relatively quick convergence to a stationary age distribution so that Grafen’s definition seems to capture the leading part of fitness in the long run. The increase of the mean fitness in Grafen’s sense in the long run has been confirmed in general for two haplotypes with any number of age classes (Appendix A). This is also in agreement with our weak selection limit for any number of haplotypes which shows that Grafen’s definition predicts the right population dynamics (Section 5).
Note that our numerical results are not counterexamples of the main result in Grafen (2015a) [32] since this result concerns a partial change in mean fitness obtained by keeping the population age-specific reproductive values constant. They show, however, that this partial change captures only a part of the partial change with the Malthusian parameter as definition of fitness. It could be argued that the population age-specific reproductive values are part of the environment. Since changes in the environment are not taken into account in Fisher’s (1930) [27] FTNS, the population age-specific reproductive values are kept constant. This is one of the conditions under which the partial rate of change in mean fitness is obtained in Grafen (2015a) [32]. However, this requires an interpretation of the environment that we have not found anywhere in Fisher’s writings. This interpretation is a consequence of the definition of fitness based on population age-specific reproductive values to satisfy the principle of neutrality (Grafen, 2015b [33]). This definition is such that the
