L65 [V2-VàC] – Exemples d’algorithmes

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Exemples d’algorithmes

65

Prérequis notions de programmation, notions d’arithmétique (PGCD), notions d’analyse(fonctions, croissance), notions de probabilités (calcul de probabilités et loi forte des grands nombres)

Références [169], [170], [171], [172], [?], [173]

65.1

Définition d’un algorithme

Définition 65.1 — Algorithme. Un algorithme est une suite finie d’opérations et d’instructions per-mettant de résoudre un problème.

Exemple 65.2 On donne l’exemple d’un algorithme (un peu tordu) pour savoir ce qu’on doit faire

quand une lampe ne fonctionne plus mis sous forme d’un organigramme.



Dans ce qui va suivre, les algorithmes seront programmés grâce au logiciel de calcul formel, Xcas.

65.2

Algorithmes en arithmétique

65.2.1 Algorithme d’Euclide

Soient a et b deux entiers relatifs. L’algorithme d’Euclide permet de calculer le plus grand commun diviseur des entiers a et b.

R 65.3 Puisque l’algorithme a pour objet le calcul d’unPGCD, il est possible de se restreindre aux entiers positifs, unPGCD de deux entiers relatifs étant égal au PGCD de leurs valeurs absolues.

Description de l’algorithme.

— On définit une suite(an)n∈N par récurrence telle que a0 = a et a1 = b puis tant que an+1

n’est pas nul, an+2est défini comme le reste de la division euclidienne de anpar an+1.

On commence donc par calculer le reste de la division de a par b, qu’on note r ; puis on remplace a par b, puis b par r et on réapplique le procédé depuis le début.

On obtient ainsi une suite, qui vaut0 à un certain rang ; le PGCD cherché est le terme précé-dent de la suite.

Dv

•Démonstration —On montre que l’algorithme s’arrête à un moment donné.

La définition meme de la suite(an) par division euclidienne montre que, pour tout n tel que

an+1est non nul, il existe un entier qn+2 tel que an = qn+2× an+1+ an+2avec de plus

0 ≤ an+2< an+1pour tout n tel que an+1non nul. La suite d’entiers naturels(an) est donc

strictement décroissante (tant qu’elle est non nulle) à partir du rang 1, et donc vaut 0 à un certain rang. L’existence d’un dernier reste non nul est ainsi établie. •

 Exemple 65.4 On calcule, par exemple, le PGCD de 1071 et de 1029 à l’aide de l’algorithme

d’Euclide :

1071 = 1029 × 1 + 42 1029 = 42 × 24 + 21

42 = 21 × 2 + 0

Il faut prendre le dernier reste avant le zéro doncPGCD(1071, 1029) = 21. 

Voici l’algorithme implémenté sur Xcas :

pgcdeuclide(a,b):={ local r; tantque b <> 0 faire r := irem(a,b) a := b b := r ftantque retourne(a) } pgcdeuclide(1071,1029) 21 65.2.2 Crible d’Eratosthène

Pour dresser la liste des nombres premiers entre 2 et 100, la méthode du crible d’Eratosthène consiste à :

— écrire la liste des nombres entiers inférieurs ou égal à100 ;

— éliminer successivement les multiples propres de2, de 3, . . . puis ceux de p, où p est le premier nombre non encore élimié, etc.

Les entiers éliminés (en rouge) sont les entiers non premiers entre2 et 100. Les entiers (en vert) sont donc les nombres premiers inférieur à100.

65.3 Algorithmes en analyse et probabilités 11

FIGURE65.1 – Crible d’Erastosthène pour les entiers inférieurs ou égaux à100

1. Pour éliminer les multiples propres de 7, commencer à 72_{, car les multiples inférieurs ont déjà été} éliminés.

2. Il est possible de savoir à l’avance « jusqu’où aller ». En effet, grâce au critère d’arrêt, tout entier composé n admet un diviseur premier p tel que :

2 ≤ p ≤ n.

Si n ≤ 10, alors √n _≤ √100 = 10. Tous les entier non premier sera éliminé en tant que multiple propre de2, 3, 5, 7 et 11.

On peut écrire un algorithme qui permet d’établir le crible d’Eratosthène (qu’on peut implémenter sur Xcas) :

erato(n):={

local j,k,P;

P:=[seq(k,k=1..n)]; P[0]:=0;

pour j de 2 jusque floor(sqrt(n)) faire si P[j-1]>=1 alors

pour k de 2 jusque floor(n/j) faire

P[j*k-1]:=0; fpour; fsi; fpour; retourne(select(x->(x>=1),P)); }:; erato(100) [2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97]

65.3

Algorithmes en analyse et probabilités

65.3.1 Dichotomie Problème

Soient I = [a, b] un intervalle de R et f : I → R une fonction continue telle que f(a) < f(b). On veut calculer m tel que f(m) = 0. Pour cela, on construit deux suites (an) et (bn) convergentes vers

Principe

— On pose a0 = a et b0= b. — Soit m0le milieu de[a, b] :

— Si f(m0) > 0 alors on pose a1 = a0 et b1= m0 — Sinon on pose a1 = m0et b1 = b0.

— Ainsi de suite, si on veut construire le ke _{terme de la suite, on pose m}

k−1 le milieu de [ak−1, bk−1] :

— Si f(mk−1) > 0 alors ak= ak−1et bk= mk−1 — Sinon on pose ak = mk−1et bk= bk−1. L’algorithme sur Xcas

dicho(F,p,a,b):={ local aa,bb,k,f; aa:=a; bb:=b; epsilon:=1e-100; f:=unapply(F,x); k:=0;

tantque evalf(bb-aa,p)>10^(-p) faire

si sign(evalf(f((bb+aa)/2),p))==sign(evalf(f(bb),p))

alors bb:=evalf((aa+bb)/2,p);

sinon aa:=evalf((aa+bb)/2,p); k:=k+1;

fsi;

ftantque;

retourne evalf((bb+aa)/2,p)+" est la solution trouvée apres " +k+ " itérations"; }:;

dicho(x^4-x^2+x-4,5,0,5)

1.47198 est la solution trouvée apres 11 itérations et sa version récursive :

dicho_rec(f,a,b,eps,compteur):={

si evalf(b-a)<eps alors 0.5*(b+a),compteur+1

sinon si f(a)*f(0.5*(b+a))>0 alors dicho_rec(f,0.5*(b+a),b,eps,compteur+1) sinon dicho_rec(f,a,0.5*(b+a),eps,compteur+1) fsi fsi }:; dicho_rec(x->x^4-x^2+x-4,0,5,10^(-6),0) (1.47198408842,24) Le théorème des valeurs intermédiaires

Théorème 65.6— Théorème des valeurs intermédiaires. Soient I un intervalle, a et b dans I tels que a < b. Soit f une application continue sur l’intervalle I. Soit λ, un réel compris entre f(a) et f(b). Alors il existe (au moins) un réel c dans[a , b] tel que f(c) = λ.

65.3 Algorithmes en analyse et probabilités 13

Dv

•Démonstration du théorème65.6—Supposons f(a) < f(b). Nous allons construire deux suites adjacentes(an)n∈N∗et(bn)n∈N∗par l’algorithme suivant :

— Si le milieu m de l’intervalle[a , b] est tel que f(m) ≥ m alors on pose a1= a et b1= m. — Sinon, on pose a1= m et b1= b.

On recommence le découpage :

— Si le milieu m de l’intervalle[a1, b1] est tel que f(m) ≥ λ alors on pose a2 = a1 et b2= m. — Sinon, on pose a2= m et b2= b1. On a ainsi : a≤ a1≤ a2≤ b2≤ b1≤ b et f(a2) ≤ λ ≤ f(b2). a f (a) b f (b) ? λ Cf b1 a1 ? b2 b1

En réitérant le procédé, on construit ainsi une suite de segments emboîtésa_: [a , b] ⊃ [a1, b1] ⊃ · · · ⊃ [an, bn] ⊃ · · · .

De plus, par construction, la longueur de[an, bn] est b₂−an . Les segments [an, bn] ont donc

des longueurs qui tendent vers0. Les suites (an)n∈N∗et(bn)n∈N∗sont donc adjacentes. Notons c leur limite commune (ce réel c est dans l’intervalle[a , b]). Montrons que f(c) = λ. On a, pour tout n ∈ N∗_:

f(an) ≤ λ ≤ f(bn)

et par passage à la limite :

lim

n→+∞f(an)λ ≤ limn→+∞f(bn). Or, f est continue en c donc :

f(c) ≤ λ ≤ f(c)

et ainsi f(c) = λ. On a bien montré qu’il existe un réel c dans [a , b] tel que f(c) = λ. •

a. Il s’agit d’une méthode de dichotomie.

R 65.7

1. Le théorème des valeurs intermédiaires nous dit que l’équation f(x) = λ (f(a) < λ < f(b)) admet au moins une solution dans[a , b].

2. L’hypothèse de continuité est indispensable dans le théorème. Essayer d’applique le théorème des valeurs intermédiaires à la fonction « partie entière » avec a= 0, b = 1 et λ = 1

2. . . a f (a) b f (b) c λ Cf

FIGURE65.2 – Cas d’une fonction monotone

a f (a) b f (b) c λ Cf

FIGURE65.3 – Cas d’une fonction non monotone

Exemple 65.8 Tout polynôme de polynôme P (à coefficients réels) de degré impair admet (au moins)

une racine réelle. En effet, comme le degré de P est impair, on a : lim

x→−∞P(x) = −∞ et x→+∞lim P(x) = +∞.

En conséquence, il existe un réel a ∈ R tel que pour tout x < a, on ait P (x) < 0 et un réel b ∈ R tel que pour tout x > b, on ait P(x) > 0. Comme P est une fonction continue, le théorème des valeurs intermédiaires permet d’affirmer l’existence d’un réel c ∈ ]a , b[ tel que P (c) = 0. 

R 65.9 Le théorème des valeurs intermédiaires n’admet pas de réciproque. Une fonction f peut très bien vérifier la propriété des valeurs intermédiaires sans être continue. Considérer par exemple la fonction f définie sur I= R par : f(x) = ( sin1 x si x 6= 0 x0 si x= 0 où x0∈ [−1 , 1].

65.3 Algorithmes en analyse et probabilités 15

On peut montrer (en exercice) que la fonction f est non continue en0 et vérifie pourtant la propriété des valeurs intermédiaires. En effet, soient a et b deux réels avec a < b.

— Si a et b sont non nuls et de même signe, alors c’est immédiat (puisque dans ce cas f est continue sur [a , b]).

— Si a= 0 (et b > 0) alors on prend un réel λ compris entre f(a) = x0et f(b). Comme λ ∈ [−1 , 1], on peut toujours trouver un réel X ≥ 1b tel quesin X = λ. En posant x = X1, il vient bien f(x) = λ avec

x_{∈ [a , b].}

— On raisonne de même si on a un intervalle[a , 0] ou [a , b] lorsqu’il contient 0.

C’est plus, c’est moins !

L’utilisateur du programme choisit un nombre au hasard entre1 et 100. Donner un algorithme qui permet à l’ordinateur de détecter le nombre choisi par l’utilisateur.

Pour cela, on va utiliser la méthode de dichotomie.

plusmoins(n) fonction local a,b,m; a := 0; b := 100; m := (a+b)/2; tantque m <> n faire si m < n alors a := m+1; m := floor((a+b)/2) sinon b := m-1; m := floor((a+b)/2) fsi ftantque retourne(m) ffonction:; plusmoins(80) 80 65.3.2 Le lièvre et la tortue

Le jeu du lièvre et de la tortue est le suivant : — À chaque tour, on lance un dé,

— si le6 sort, le lièvre gagne la partie, sinon la tortue avance d’une case, — la tortue gagne quand elle a avance6 fois.

Sous Xcas, on peut programmer le jeu de la manière suivante :

jeutortue():={

local T,k; T := 0;

pour k de 1 jusque 6 faire

si floor(hasard(1,7)) <> 6 alors

T := T+1;

fsi;

fpour;

si T <> 6 alors

sinon

retourne("le gagnant est la tortue")

fsi

} :;

jeutortue()

le gagnant est le lièvre

La question se pose : quelle est la probabilité pour que la tortue gagne ? On note TGl’événement :

TG= {la tortue gagne la partie} .

Pour que la tortue avance d’une case, il faut que le dé ne tombe pas sur le6 donc sur, 1, 2, 3, 4 et 5. Donc, si on note :

TC = {la tortue avance d’une case} ,

la probabilité que l’événement TCait lieu est de :

P(TC) = 5₆. Ainsi, P(TG) = P (TC)6 = ₅ 6 6 = 5₆6₆ ≈ 0, 335.

On peut vérifier le résultat en lançant un grand nombre de fois l’algorithme et en calculant la proportion de jeux gagnants pour la tortue. La loi forte des grands nombres nous dira que plus le nombre de jeux est grand, plus cette proportion tend vers la probabilité P(TG).

probatortue(n):={

local g,T,k,simu,pourcent; T := 0;

pour simu de 1 jusque n faire

g := 0;

pour k de 1 jusque 6 faire

si floor(hasard(1,7)) <> 6 alors

g := g+1; fsi; fpour; si g == 6 alors T := T+1; fsi fpour pourcent := evalf(T/n*100);

retourne("la tortue gagne " +pourcent+ "% des parties") }

:;

probatortue(20000)

Temps mis pour l’évaluation: 5.68

65.4 Algorithme de tri 17

65.4

Algorithme de tri

On se donne une liste numérique que l’on suppose ou non désordonnée. Le but de cette section est de donner des algorithmes qui permettent de tri dans l’ordre croissant la liste numérique.

65.4.1 Tri à bulles

Le principe du tri à bulles est de tester si le ke_{élément de la liste est plus grand que le(k + 1)}e

élément de la liste. S’il est plus grand, on transpose les deux éléments et on vérifie avec les éléments précédents de la liste s’il est plus petit.

On s’arrête dès que tous les éléments de la liste sont rangés par ordre croissant.

La complexité de cet algorithme est en O(n2). On donne un algorithme implémenté sur Xcas :

bulle(L):={

local LT,compteur,k,temp; LT:=L;

compteur:=0;

pour k de 0 jusque size(LT)-2 faire si LT[k]>LT[k+1] alors temp:=LT[k]; LT[k]:=LT[k+1]; LT[k+1]:=temp; k:=-1; compteur:=compteur+1; fsi; fpour; retourne(LT,compteur); }:; L := [4,3,2,1] [4,3,2,1] bulle(L) ([1,2,3,4],6)

65.4.2 Tri par insertion

On part d’une liste non triée et on veut créer une liste L dans laquelle on va insérer les éléments de l’ancienne liste mais cette fois-ci dans l’ordre croissant.

Pour le premier élément de la liste, on l’insère dans la nouvelle liste L sans restriction.

Pour les suivants (appelons k cet élément), on teste si l’élément de tête de liste L est supérieur à k. Si oui, alors on insère l’élément k en tête de liste, sinon on enlève la tête de liste (ce qui nous donne une liste L0_{) et on teste si l’élément de tete de la liste L}0_{est supérieur à k.}

L’algorithme s’arrête si tous les éléments de l’ancienne liste ont été mise dans la nouvelle liste (cette fois-ci, cette nouvelle est triée dans l’ordre croissant).

On dit que cet algorithme est un algorithme récursif.

La complexité de cet algorithme est en O(n log(n)). On donne un algorithme implémenté sur Xcas :

insere(element,liste):={

if(liste==[])

then{[element]}

else{

if(element<=head(liste))

then{prepend(liste,element)}

else{prepend(insere(element,tail(liste)),head(liste))}

} }:;

tri_insertion(liste):={

if(liste==[])

then{[]}

else{insere(head(liste),tri_insertion(tail(liste)))} }:;

tri_insertion([1,2,3,1])

[1,1,2,3]

65.5

Cryptographie : Le code César

Le code César est la méthode de cryptographie qui consiste en une substitution mono-alphébtique, où la substitution est définie par un décalage de lettres. Par exemple, si on remplace A par D, on

65.5 Cryptographie : Le code César 19

remplace B par E, C par F, D par G et ainsi de suite. Donnons un exemple à partir de ce décalage de3 lettres.

On donne un algorithme implémenté sur Xcas :

code:= (c)->{ return(asc(c)-32) }:; decode:= (k)->{return(char(k+32)) }:; jules_cesar:= (message,cle)->

{ local s,j,messcode; s:=size(message); messcode:="";

for (j:=0;j<s;j:=j+1) {

messcode:=append(messcode,decode(irem(cle+code(message[j]),95))); };

return(messcode); }:;

Par exemple, on code le texte « lecontermine » en code César avec un décalage de3 lettres.

jules_cesar("lecontermine",3)

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