ARTheque - STEF - ENS Cachan | Un simple modèle prédateur/proie comme exemple de construction de modèles en logo

UN SIMPLE MODELE PREDATEUR/PROIE

COMME EXEMPLE DE CONSTRUCTION DE

MODELES EN LOGO

Bruno VITALE

Centre International d'Eplstémologle Génétique,

Université de Genève. Institut de Psychologie,

Université de Fribourg

MOTS CLEF: LOGO, MODELES, POPULATIONS, BIOLOGIE, LOTKA/VOLTERRA

RESUME:

Un modèle très simple, qui part de la'formalisation de la

dynamique d'une population pour en arriver b des formes complexes d' intéraction entre deux populations, est prograrn mé en

LOGO.

L'emphase est sur les nouveautés et les obsta-cles cognitifs en jeux. (++)

SUW~ARY: A simple model, which can be deployed from the case of a single population to the mutual interaction of two popula-tions in a predator/prey relation, la programmed in

LOGO

by using the most elementary program:n:ng skills. The de-ploymant is followed step by step, by emphasizing the 8le-ments of cognitive novelty and the possible cognitive oL-structions, more than the possible programminlj difficul-ties. Th;s model is useJ to model a WQy of introducinG, through programming experience, open and exploratory pré-blems in the classroom.

(+) en cong~ sabbatique de l'UnLversité de Naples.

(++) un rapport plus détaillé (en anglais) est disponible; contacter l'auteur (B, Bugnons - 1211 ~eyrin CH) ; ce rapport contient

1. Introduction: ,jouer avec LOGO et compri?ndre quelque chose

Dans les ~coles, on util'se en g~n~ral les ordinateurs pour enseigner des choses que l'enseignant (au moins) cannait dajil, "u qui pourraient être trouvaes facilement sur un livre.

Nais on pourrait les utiliser pour explorer des domaines dans lesquels les enseignants connaissent peut-être lU! peu pl; s que I d ] Jlèves, mais ne connaissent pas toutes les réponses. Des domaines qu'ils pourraient modéliser avec leur ~lèves, pour partager des mo-ments intiressants et importants d'exploration et de dacouverte.

On croi t souvent ,'.ue les instruments de programmation (par ex., LOGO) il disposition des alèves d'une dcole secondaire ne puissent 0as être adiquaUil une telle exploration. Cette fausse impression nait du fait que LOGO est souvent utilisé longtemps pour dessiner des carr,.ss elilboî tis e t des rosace s ou pour se faire demander par la machine: "Goliunent lia va? .•. ". Les problèmes complexes (par ex., la tour J'HanoI) SOEt alors vu\corrune trop difficiles et ne sont pas dloJil Lsas par les ..§lèves eux-mêmes.

re crois que les difficultSs rencontr,jes ne djrivent pas du laI! cage de programmation, mais essentiellement des obstacles CQgUit:jJs liSs (. l'ùctiviti de modjlLsation, obstacles qui transforment faci-lement toute "lctivitS de formalisation dans un cauchemar pour 1'<5-làve [J). Le modèle que Je prisente ici (dynamique des populations) est un eXLmple de ces situations, où les nouveauL§s et les obstruc-t Lons cogniobstruc-tives pl'imenobstruc-t sur les 6venobstruc-tuelles difficulobstruc-tis de program-,:Ièltion. Il s'ugit d'Ull problème pour lequel, en g,~niral, on ne con-nait pas cie solution analytique (au moins, pour les CElS les plus

c ù,nplexes et dOllC les plLs illtir"ssants), ce qui Jonne i, cet te act [-viti le c3ruct::rc: J'e::plol'ation cI'une mandr.latique (et biologIe,

:coloCie, ... ) ouverte.

C.)lrune tou jours, quand on lllodailse, on gagne ql;elque chose et on en p.ol'j d"s uutres. Toute introduction de l'l tilisation de

1'01'-d;nateur Jans les icoles seconJdires doit garder ce d.)uble aspect en .;vdence: pouvoir et l.Lllites Je la mod,il'sation et Je l'ordina-teur. La I,Jeillel;re façon pOUl' ne pas oublier cet aspect est je don-ner beElllcoup d'importance i. l'=alise qualitative (et, quand

possi-b le, dimens ionnell e) du propossi-blème, avant de pas ser El sa j3rogramllli. tian et pendant toutes les dtapes de l'expérimentation.

2. D~TIamLqued'un système en évolution

Il s'agit j'en arriver à reconnaître la nature ricursive de toute function qui dicrive l'évolution d'un système par rapport à un parwnètre (en gin~ral, mais certainement pas toujours, le temps).

Je parts d'un phanomène présent dans la vie quotidienne: le changement avec le temps d'une population (habitants d'une ville, mauvaises herbee dans un champ, microbes sur une plaque de culture, ••• ). On peut s'intéresser aux changements de densi t,j de la popula-t ion, ou aux changemenpopula-ts de nombre popula-topopula-tal d'individu. Le po inpopula-t clef: corrment une population change? et, si elle change, pourquoi elle chag

[je?

Le concept clef ici est la proportionalité (c'est-~-dire,la dépendance fonctionnelle linéaire et homogène); en paroles plus sim-ples: le nombre d'enfants qui nait chaque jour dans une (grande) vil le est proportionnel (plus ou moins, pourquoi?) au nombre d'hèJ.bitants de la ville (mais vous trouverez des jeunes ~ des adultes qui

pro-test~rons à ce point, en disant qu'il y a évidemment proportionali-té par rapport aux nombre de couples - ou a.u nombre d'habitantl divi-sé par deux - et pas des habitants). Pas par pas, on passera ainsi de (I) ( 2)

0)

I:!.

pt t) Â p(t) Â p(t) K p( t) K(A t) p(t) Â t p(t), et plus tard fi

un modèle qui. permet de discuter du rôle de la constante de dévelop-pement (.,ais, est-ce qu'elle est constante? i l n'y a pas plus d'enfants qui naissent en été qu'en hiver? à Rio qu'à New York?).

On analyse (3) en termes qualitatifs; on rend explicite le fait que pet) est déterministe: une fois donnÉ p(O) et j pet) est implicLte.nel1t l,fini par (3) pour toujours. Et on discute aussi le rôle du signe de j. Et on programme en LOGO l'expression (J) pour voir ce qu'elle donne, pour tous :es détails qu'on n'aurait pas pu

+ s sin ot

1l

t, privoir qualitativement ou qu'on disire confirmer par le calcul et le graphisme.

Mals. une fols gouti au plaisir de modiliser, privair, contro-1er, explorer. pourquoi s'en tenIr là? Le modèle est trop simple: ou la population explose (j

>

0), ou elle reste constante (i ~ 0) ,

ou elle meurt (j

<

0).

Et si on compliquait le modèle?

Voici, par exemple, l'effet densiti: quand les membres d'une po~)ulat.ion sont trop denses. Ils se g~nent mutuellement et la repro-duction en ressent; il faut donc un terme qui ne gêne pas quand la densiti est baisse, et gêne beaucoup quand elle est assez grande. Par exemple:

(4)

~p(t) ~

j pet) Lit {p2(t) I d .

avec

f,

naturellement, positif.

On modifie le programme LOGO, on explore avec des couples de vtlleurs des paramètres j et 1 (mais, qu'est-ce qu'on aurait pu pr,;-hlir par l'llnalyse qualitative? [1 y aura-t-elle une po;'ulati.');l f Lnie et tisYlnptotique?),

·~o'<;1, par eX!l1nple, l'effe. lunG: sur certaines popl11ations Je poissons ql'i se nouriseJent Je planLton (vie orGanique flottante sur les ociuns et les ..itani];s), la lune et sa lumière nocturne il un effet pirLodiCjue (lm rno' s); COiiUnent le mod.Hiser?

Par exemple:

(5)

~

pet)

~;

p(t)iJt -

f

p2(t)

Li

t

où, malheurese;ilent, l'analyse 'Jual'tative n'est plus facile

r.:ai

s le progranliile LOGO est ifllinidiat. VOl ci un pre.nier exemple de

math.i:natique ouverte, où les difficultSs analytiques sont très gri'n-des mais l'uspect algorithmique de la progrrunmatian est trivIal. La piriùde de la Il ne (l;Se il la valeur du paramètre 0, comment?) entrllfne Lille piriodicitS forc.3e dans p( t): ~' a-t-il un rapport entre les deux pSriodes? l'analyse dimensionnelle peut ici aider?

3. Deu:, pünulutiüns en interaction: cycles, spireles, catastrophes

C0ilLne on a r,Sussi à prograrn;ner et explorer le changement d'1

-ne population. on peut se poser le problème (germe de l'Jcologie et de la Jynalilique Jes systèmes) des interactions iventuelles.

Tout d'abord, par une interaction de proportional itS et non s~nStri­ quel les pradateurs mangent les proies, mais les proies ne peuvent pas manger leurs prédateurs (on trouvera beaucoup de cas pareil~

dans la vie quotidienne, même en dehors de la biologie des popula-tions!). ~a donne:

( 6)

i:.

pet) = Cg p( t) - h) pet)

A

pet) = (j - k pet) ) pet)

.1

t

/)"t

( 7)

ou une autre forme du même type (.tci les possibilittisde simplifica-tion et de modalisasimplifica-tion sont évidemment très larges). Mals (6) est classique, parce ~ue, dans sa forme différentielle, elle correspond au système d'équations différentielles de Lotka-Volterra

fl.J.

A partir des Squ:Üions diff;rcmtielle!l une L!nalY88 qualitative est possible, et elle amène

&

reconna!tre la présence de cycles de .iquilibre dynamique autour d'une configuration d'équilibre stutique. L'analyse dimensionnelle aide à comprendre la genèse de ces cycles et la dépendance fonctionnelle de leurs périodes. Mais, dans le cas de (6) (une ciquation aux différences finies), l'analyse qualitative est difficile. Plus facile programmer (6) en LOGO et se rSjouir de voir les cycles de Lotl~a-Volterra na!tre sur l'écran.

Encore une fois, on peut tout compliquer: ajouter Jes effects densitti (pour les prédateurs, les proies, les deux); ajouter l'effet Je la lune sur les proies (cul pourraient se nourrir essentiellement de planLton), ou sur les pr.~dateurs (qui pourraient manquer d 'apiti t lors de la pleine lune •.. ); imaginer d'autres effects, sp5cifique-ment lUs au type de population dont on s'occupe. Voici le modèle plus complexe avec lequel ~'ai expérimenté:

~P(L)

(gp(t) - h - m P ( t ) ) pet) l 1 t

Ap(t) (j (1 + n sin o t ) - k pet) - 1 p(t)) pet)

At.

Les risultats sont étonnants: périodicités partielles de pet) et de p(t), entrainées par la présence du terme p8riodique lunaire; véritables explosions des populations par resonnance; cycles très longs superposés aux cycles brefs de Lotta-Volterra, etc. etc.

Une expression corune (7), immédiate dans sa lecture - une fois préparé correctement le terrain par l'analyse d'une population iso-lée - et dans sa programmation LOGO, est un laboratoire incroyable

d'expJrimentution et d'analyse Gritique: rôle des paramètres, créa-tion d'ordre ~ partir du desordre, interaction mutuelle d'un systL-me écologique (en passant, avec grande facilité, de 2 à 3 ou 4 ou plus pour le nombre de populations en jeux; le prograrrune n'en devient pas particulièrement plus compliqué, même si l'analyse qualitative devient de plus en plus obscure)._ Une classe pourrait y passer un long temps d'exparimentation sur des problèmes de physique, de chimie (réactions périodiques enzimatiques), de biolog;e, de

soci8-tt5, .•.

4. Aspects psychocognitifs de la modélisation

Tout ce qui préd:de, centr·j sur les as~"cts scientifiques et de prog:-ammld.tion, ne doi t pas faire oublier les aspects essentiels de toute activité de simulation et modélisation: les nouveautés et les obstructions cognitives que risquent de rendre complétement vaine toute discussion scientifique en classe (pour ne pas parler des aspects affectifs associés!).

Ce qu'on explore, c'est le changement.

Y

a-t-il un comment du changement (en physique: cinJmatique)? Peut-on le dScrire, et par quels instruments et modalités représentatives (par exemple, dan3 quel espace?)? Est-ce que ces modalités représentatives (ge-stes, description verbale, dessin, calcul formel) sont équivalentes?

y a-t-il lm pourquoi du changement (en physique: dynamique). E:t comment le mo9.éliser? Gonunent reconnaîil!e son caractère recur-sif (= déterministe)?

Comment maîtriser le paramètre d'évolution? Conunent l ' inté-grer à l'~space représentatif (cas des diagrammes popu1ation/temps). Coaunent gérer la dép"ndance fonctionnelle du paramètre d' Jvolution et des autres paramètres qui définissent l'état du système?

l S.Dionnet, E.r,larti, B.V'tale, A.Wellsl Revue Fran<.:a;se de Péda-gOGie, no.72, 13-2a, 1905

2 G.Nicolis, J.Prigogine: Self-organization in nonequilibrium sy-stems; From Jissipative structures to order through fluctuations, lViley, t:ew York, 1977, pp.l.60 ss