Méthodes de Galerkin Discontinu pour la résolution du système de Maxwell sur des maillages localement raffinés non-conformes
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Texte intégral
(2) Ecole Nationale des Ponts et Chauss´ ees. M´ ethodes de Galerkin Discontinu pour la r´ esolution du syst` eme de Maxwell sur des maillages localement raffin´ es non-conformes ` THESE pr´esent´ee et soutenue publiquement le 15 d´ecembre 2003 pour l’obtention du. Diplˆ ome de Doctorat Sp´ ecialit´ e: Math´ ematiques Appliqu´ ees par. . Composition du jury Pr´esident :. Jean-Michel Ghidaglia. Rapporteurs :. Eliane B´ecache Peter Monk. Directeur de th`ese :. Loula F´ezoui. Examinateurs :. Isabelle Terrasse Claude Dedeban.
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(543) . % ) k ∆x ←− .
(544) ) π + k ∆x ← ) " −k ∆y −→ . % ) π − k ∆y ,→ −. −. −. +. . . +. . . + '",. + + unj+1/2 = eiωn∆t T e−ik j∆y + (−1)j Qe−ik j∆y , j ≥ 0, v n+1/2 = eiωn∆t T e−ik+ j∆y − (−1)j Qe−ik+ j∆y . j+1/2. . . u v x = 0 ! % n+1/2 n+1/2 un−1/2 + un1/2 n+1/2 v−1/2 + v1/2 unx=0 = vx=0 = . 2 2 α α 6= 0 % α 6= 1 vn+1/2 = αvn+1/2 + (1 − α)vn+1/2 . unx=0 = αun−1/2 + (1 − α)un1/2 x=0 −1/2 1/2 . j = −1 j = 0 %
(545) . .. +. ∆x n+1 n+1/2 n+1/2 n+1/2 n+1/2 (u−1/2 − un−1/2 ) + αv−1/2 + (1 − α)v1/2 − (v−1/2 + v−3/2 )/2 = 0, ∆t ∆x n+3/2 n+1/2 n+1 n+1 n+1 (v − v−1/2 ) + αun+1 −1/2 + (1 − α)u1/2 − (u−1/2 + u−3/2 )/2 = 0, ∆t −1/2 ∆y n+1 n+1/2 n+1/2 n+1/2 n+1/2 (u1/2 − un1/2 ) − αv−1/2 − (1 − α)v1/2 + (v1/2 + v3/2 )/2 = 0, ∆t ∆y n+3/2 n+1/2 n+1 n+1 n+1 (v1/2 − v1/2 ) − αun+1 −1/2 − (1 − α)u1/2 + (u1/2 + u3/2 )/2 = 0. ∆t. , + '%, + '',. + ' , + '",
(546) + '',% 2i∆x sin(ω∆t/2) 1 1 U−1/2 + α − V−1/2 + (1 − α)V1/2 − V−3/2 = 0, ∆t 2 2 2i∆x sin(ω∆t/2) 1 1 V−1/2 + α − U−1/2 + (1 − α)U1/2 − U−3/2 = 0, ∆t 2 2 2i∆y sin(ω∆t/2) 1 1 U1/2 + α − V1/2 − αV−1/2 + V3/2 = 0, ∆t 2 2 2i∆y sin(ω∆t/2) 1 1 V1/2 + α − U1/2 − αU−1/2 + U3/2 = 0, ∆t 2 2. + '!, &.
(547) . . . . − − − − U−3/2 = e−ik 3∆x/2 + eik 3∆x/2 (R + iP ), V−3/2 = e−ik 3∆x/2 + eik 3∆x/2 (−R + iP ), U−1/2 = e−ik− ∆x/2 + eik− 3∆x/2 (R + iP ), V−1/2 = e−ik− ∆x/2 + eik− 3∆x/2 (−R + iP ), + U1/2 = e−ik ∆y/2 (T − iQ), U = e−ik+ ∆y/2 (T + iQ), 3/2. (. V1/2 = e−ik. + ∆y/2. (T + iQ),. V3/2 = e−ik. + ∆y/2. (T − iQ).. + '!, ,. ( R % P % T Q % R % P % T % Q
(548) . -. +. 1/2. α − 1/2 0 −α. α − 1/2 1/2 −α 0. 1−α. 0. . 1 + R + iP. 1 − R + iP 1/2 α − 1/2 T − iQ α − 1/2 1/2 T + iQ 1−α. 0. . . . 1. . 1 = . 0 0. + '*,. + '*, α α % T = 1 % P = 0 % Q = 0 R = 0
(549) ∀α 6= 0 T = 1 + O(∆),. + '#,. P = O(∆), Q = O(∆), R = O(∆)..
(550)
(551) .
(552)
(553)
(554)
(555) % % Q R % P % T Q R PT. "
(556). ∗. ∗. ∗. ∗.
(557) . " + '!, . ∆x/2. (α − 1/2)∆x 0 −α∆x. (α − 1/2)∆x ∆x/2 −α∆x 0. (1 − α)∆y. 0. . . . −ik− ∆x/2(1 + R∗ + iP ∗ ). −ik− ∆x/2(1 − R∗ + iP ∗ ) ∆y/2 (α − 1/2)∆x T ∗ − iQ∗ (α − 1/2)∆y ∆y/2 T ∗ + iQ∗ (1 − α)∆y. 0. . 0. 0 = −ik+ ∆y/2 −ik+ ∆y/2. . . . + '$,. # α 6= 0 α 6= 1 % + '$,
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