Scientifique
Université D’Adrar
Faculté des Sciences et de la Technologie
Département de Mathématiques et d’Informatique
MÉMOIRE DE MASTER
Spécialité :
Analyse Fonctionnelle et Applications
Présenté par
BELLAAMA Rachid
Sujet
Étude de quelques propriétés dans les
espaces métriques à cône
Soutenu publiquement le ../../ 2017 devant le jury composé de :
SLAMA Abdeldjalil Maître de conférence B Université d’Adrar Président BOUDAOUI Ahmed Maître de conférence B Université d’Adrar Examinateur MAMOUNI Touhami Maître assistant A Université d’Adrar Encadreur
Je dédie ce modeste travail à :
Mes chers parents, Ahmed et Fatima, qui m’ont donné tout le courage, la patience et la tendresse.
Mes frères, ma sœur et toute ma famille.
Mes amis et toute personne qui m’a aidé de loin et de près. Ma promotion de Master.
En premier lieu, je remercie Allah, le tout puissant, qui m’a donné, durant toutes ces années, la santé, le courage et la volonté pour réaliser ce travail. J’exprime ma profonde gratitude à Monsieur Touhami Mamouni, qui m’a encadré, durant la réalisation ce mémoire. Je lui apporte aussi toute ma reconnaissance pour son aide consistante, ses conseils précieux et ses remarques. C’est grâce à lui mon travail a pris cette forme.
Je souhaiterais exprimer ma gratitude à monsieur Ahmed Boudaoui pour accepter d’examiner ce travail.
Mes remerciements vont également à monsieur Abdeldjalil Slama pour avoir accepté de présidé ce jury de mémoire.
Tout mes sincères remerciements vont également à notre chef de département Monsieur Cheragui, et à l’ensemble des enseignants du département de MI. Je remercie énormément tout mes maitres, de primaire jusqu’à l’université.
In this dissertation we introduce cone metric spaces and cone normed spaces. Among other things, we study the convergence, the concept of Cauchy sequence and we prove some fixed point theorems of contractive mapping. We prove the Baire category theorem and the Banach-Steinhaus theorem in normed spaces.
Dans ce mémoire nous avons introduit les espaces métriques à cône et les espaces normés à cône. Nous avons étudié quelques notions métriques ou topologiques comme la convergence et les suites de Cauchy. Quelques théorèmes du point fixe des applications contractantes à été prouvé. Enfin nous avons donné quelques grands théorèmes de l’analyse fonctionnelle.
Abstract i
Résumé ii
Introduction 2
1 Espaces métrique à cône 5
1.1 Définition et premières propriétés . . . 5
1.2 Quelques propriétés métriques . . . 9
1.3 Suites et convergence . . . 13
1.4 Espaces complets et compacts . . . 18
2 Espaces normé à cône 19 2.1 Définitions et propriétés générales . . . 19
2.2 Continuité . . . 27
3 Théorèmes du point fixe 32 4 Quelques grands Théorèmes 45 4.1 Théorème de Baire et de Banach-Steinhaus . . . 45
La topologie est un domaine extrêmement vaste des mathématiques dont il est difficile de définir avec exactitude l’objet dont il fait l’étude. Ce que nous pouvons dire dans un premier temps, c’est que la topologie est très intimement liée à la théorie des ensembles, à l’analyse fonctionnelle, aux suite et séries, aux calculs intégral, différentiel et vectoriel à la géométrie et encore beaucoup d’autres domaines. Voici cependant un essai de définition de la topologie qui reste toujours compléter.
Linguistiquement, c’est un mot d’origine grec, signifie étude des lieux. Les mathé-maticiens l’ont adopté pour désigner une branche de la géométrie s’intéressant à définir ce qu’est qu’un lieu et à la position d’une chose géométrique par rapport à d’autre, sans prêter attention ni à sa forme ni à son volume. En réalité l’émergence de cette branche des mathématiques remonte au milieu du dix-neuvième siècle. Elle a pris la forme d’une nouvelle orientation de la géométrie analytique. M¨ombius
est le premier à faire les premiers pas dans cette branche. Il est suivi de Listing qui, dans sa lettre de 1836, a utilisé pour la première le mot topologie. Plus tard en 1847, il publia son ouvrage "Vorstudien zur Topologie", qui fut le premier à introduire la notion Topologique. La majorité des mathématiciens considèrent Riemann comme le fondateur de la topologie. Puisqu’il est le premier à essayer de cerner la notion d’espace topologie, et de poser les premier jalons des techniques ayant aidé à l’évolution et développement de cette branche.
L’étude des ensembles numériques, en particulier celui des réels, avec l’avènement des intervalles ouverts et des intervalles fermés, dans la deuxième moitié du dix-neuvième siècle, a permis de donner un nouvel essor à la théorie générale des espaces topologique telle qu’elle est décrite par Riemann.
Cantor, l’inventeur de la théorie des nombres, viens en tête des mathématiciens qui se sont illustrés dans ce domaine. C’est lui qui a posé la définition d’un ensemble ouvert, d’un ensemble fermé et du point d’accumulation sur la droite réelle. Hilbert c’est le premier à avancer la notion de voisinage plus précisément a l’orée du vingtième siècle, autour de l’année 1914, Hausdorff a pu simplifier, sur la base des travaux de Fréchet sur les espaces métrique la "forˆet" d’axiomes qui entouraient
la notion de topologie et à réussi à en extraire trois, portant son nom, qui sont les plus usités à ce jour. C’est, à ce titre, le père fondateur de la théorie de la topologie. Bien entendu, et comme toute science la topologie a connu un développement rapide et une extension à plusieurs autres branches des mathématiques, dépassant toutes les prévision de ses concepteurs. C’est ainsi que sont nées la topologie algébrique et la topologie différentielle entre autres. Bien plus, elle jouit de ramification en algèbre, où on parle de groupes et anneaux topologiques. Quand à l’analyse, son emprise est total : presque aucune étude ne peut se passer d’outils topologiques lui conférant précision. Alors avant de parler de cette nouvelle notion (espace métrique à cône), on va discuter long temps aux espace métrique classique, dont l’apparition été la fin du 19ième siècle (par Hausdorff), mais l’introduction à été grâce à Fréchet. répondait à l’exigence d’une rigueur croissant à l’essor grandissant qu’ont connu, notamment, les notions des espaces, de suite et de fonctions continue sans venus mettre à frein aux nombreuses erreurs et contradictions dans plusieurs domaines de l’analyse, tels que ceux.
C’est ainsi qu’est apparue la notion précise de distance et d’espace métrique due principalement à Fréchet en 1906. Cet outil fondamental répondait aux besoins pressants de cerner la notion de voisinage et de proximité, laquelle permettait de donner une caractérisation rigoureuse de la notion de suites convergentes et de
fonctions continues.
Mais cet espace des fois connu une difficulté pour démontrer un objet de mathéma-tiques, énoncé ou n’importe quel problème de sens topologique. En deuxième moitié de 21ième siècle les chercheurs de domaines ont découverts une nouvelle extension
des espaces métrique usuelle, s’appelle "espaces métriques de cone". Elle a pris la forme d’une nouvelle orientation de notion métrique classique
Ces espaces métrique de cone forment, une catégorie particulière d’espace topologique. De ce fait, il est très important de remarquer que toutes les notions et diverses définitions traitées dans le cadre classique restant valable et gardent.
Le principe de cette généralisation est de remplacer l’ensemble d’arrivé de d (i.e
R+ avec la relation d’ordre total inférieur ou égale), par un cône de Banach noté habituellement P muni par une relation d’ordre partiel.
Ce mémoire contient quatre chapitre, les deux premiers chapitres sont pour pro-priétés topologique d’un cône P, d’espace de Banach E, muni par une relation d’ordre partiel. et comportent, les définitions importants (distances de cone, con-vergence d’une suite, continuité,...), et reprend aussi les notion vues lors de l’étude précédente (l’étude des espace métrique classique), et l’expose dans leur nouveau cadre.
Dans le troisième chapitre on va voir quelques théories de point fixe, notamment des applications contractantes ; particulièrement celle de Picard, dit qu’une contraction d’un espace métrique complet à cône, admet un point fixe unique. Ce théorème par ce nouvelle sens donne un comportement régulier du point fixe. par rapport aux paramètres.
Finalement nous allons voir, une généralisation de deux théories de l’analyse fonctionnelle, où le théorème de Baire et de Banach Steinhaus.
Chapitre
1
Espaces métrique à cône
Dans ce chapitre nous allons donner la définition des espaces métrique à cône et explorer quelques notions bien connus dans le cadre des espaces métrique usuelles. Le lecteur intéressé pourra se référer au [19, 27, 30].
1.1
Définition et premières propriétés
Définition 1.1. Soit E un espace de Banach, on appel cône de E tout ensemble
noté P et satisfait les conditions suivantes
1) P fermé non vide dans E, et P 6= {0E}
2) ∀x, y ∈ P, ∀a, b ∈ R+; ax + by ∈ P
3) ∀x ∈ E; x ∈ −P et x ∈ P =⇒ x = 0E
Exemple 1.1. * L’ensemble des réels positives R+, est un cône sur l’espace
de Banach R.
* En générale les ensembles {(x1, ..., xn) ∈ Rn: xi ≥ 0, i = 1, 2, ..., n} sont des
cônes sur les espaces de Banach Rn.
Proposition 1.1. Un cône P d’un espace de Banach E, est une partie convexe
Démonstration. Soient x et y deux élément de P , ax + by ∈ P , où a et b sont des
réels positives. En particulière quand a ∈ [0, 1], b = 1−a ≥ 0 ; donc ax+bx ∈ P .
Dans toute la suite, supposons que E est un espace de Banach, P un cône d’intérieur non vide, et ≤ est une relation d’ordre partielle définie sur E par rapport à P par
∀x, y ∈ E, x ≤ y ⇐⇒ y − x ∈ P
* x y ⇐⇒ y − x ∈ ˚P , où ˚P désigné l’intérieur de P .
* Lorsque x 6= y on remplace x ≤ y par x < y.
Proposition 1.2. Soit E un espace de Banach ayant un cône noté P , Alors pour
tout x ∈ P
0E ≤ x.
Démonstration.
Supposons qu’il existe x ∈ P , tel que x 6= 0E et x ≤ 0E alors 0 − x = −x ∈ P ,
cela implique que
x ∈ P ∩ (−P ) = {0}
d’où la contradiction.
Proposition 1.3. Soit E un espace de Banach, P un cône de E, et a ∈ P . Si
a ≤ λa avec λ ∈]0, 1[ ; cela entraine que a = 0E
Démonstration.
a ≤ λa ⇒ λa − a ∈ P ⇒ (λ − 1)a ∈ P ⇒ −(1 − λ)a ∈ P
Comme (1 − λ) > 0 et a ∈ P ⇒ (1 − λ)a ∈ P , alors
Proposition 1.4. Soit E un espace de Banach, P un cône de E, (an)n et (bn)n
deux suites d’éléments de E, et soient a, b ∈ E ; supposons que
an ≤ bn et an → a; bn→ b.
Alors
a ≤ b. Démonstration.
D’une parte pour tout n ∈ N bn − an ∈ P , d’autre pare et par passage à la
limite on a bn− an→ b − a. Mais comme P est fermé alors
b − a ∈ P ⇔ a ≤ b
Proposition 1.5. Soit E un espace de Banach, P un cône de E ; soit c ∈ ˚P et
(an) ⊆ E, supposons que 0E ≤ an, telle que an → 0E, Alors il existe n0 ∈ N,
∀n ≥ n0 on a
an ≤ c
Démonstration.
Soit c 0, on choisit un voisinage V de 0E tel que c + V ⊂ P . Comme an→ 0E,
alors il existe n0 tel que an∈ V , pour tout n ≥ n0 nous avons
c ± an ∈ c + V ⊂ P
Définition 1.2. Un cône P de E est dit normal, s’il existe une constante K > 0R
telle que
0 ≤ x ≤ y ⇒ k x kE≤ K k y kE
Où x et y sont des éléments de P .
* Soit E = R2, P = {(x, y) ∈ R2 : x, y ≥ 0}, la constante de ce cône est,
K = 1.
Remarque 1.1. Il n’existe aucun cône normal de constante K < 1.
Autrement dit, les cônes normales ont toujours des constantes supérieur ou égale à 1.
Démonstration.
Par l’absurde, supposons que P est un cône normal, de constante K < 1. Soit
x ∈ P tel que x 6= 0E et ε > 0, avec K < 1 − ε. D’une parte nous avons
K k x k≤ (1 − ε) k x k
Et d’autre part on a
x − (1 − ε)x = x − x − εx = εx ∈ P ⇔ (1 − ε)x ≤ x
Comme P est un cône normal de constante K, on a
(1 − ε) k x k≤ K k x k
d’où la contradictoire avec l’hypothèse.
Remarque 1.2. La condition nécessaire de la définition précédent n’est pas
suff-isante pour la condition suffisant de cette définition.
Exemple 1.3. On muni, l’ensemble suivant E = C1([0, 1]), par la norme définie
comme la suite
k f kE=k f k∞+ k f0 k∞
soit le sous-ensemble P = {f ∈ E : f ≥ 0} de E, il est clair que P est un cône de E. Pour tout k ≥ 1, on pose
f (x) = x et g(x) = x2k
Alors
k k f kE≤k g kE, Cela entraine qu’il n’existe aucun constante K, pour laquelle
k g kE≤ K k f kE
Définition 1.3. Un cône P d’un espace de Banach E est dit régulier si l’une de
deux conditions suivantes est satisfaite.
(1) Toute suite croissant (xn)n∈N de P avec xn ≤ y, où y ∈ E est converge
c’est-à-dire
∀(xn)n∈N⊂ E tq x1 ≤ x2 ≤ ... ≤ xn−1 ≤ xn≤ ... ≤ y
Alors il existe x ∈ E pour lequel, xn→ x.
(2) Toute suite décroissant (xn)n∈N∗, de P est convergente, c’est-à-dire
∀(xn)n∈N∗ ⊂ E tq ... ≤ xn ≤ xn−1≤ ... ≤ x2 ≤ x1
Alors il existe x ∈ E pour lequel, xn→ x.
1.2
Quelques propriétés métriques
Définition 1.4. Soit X un ensemble quelconque, on dit qu’une application notée
et définie par
d : X × X → E
(x, y) 7→ d(x, y)
est une distance (ou métrique) à cône si elle satisfait :
(1) ∀x, y ∈ X tq x 6= y 0E < d(x, y) ; et d(x, x) = 0E
(2) d(x, y) = d(y, x) ∀x, y ∈ X
(3) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) ∀x, y, z ∈ X
* le couple (X, d) s’appelle espace métrique à cône. Qui est une généralisation
Exemple 1.4. Soit E = R2, P = {(x, y) ∈ R2 : x, y ≥ 0} ⊂ R2, considérons
l’application définie par :
d : R2 → R2
(x, y) → d(x, y) = (| x − y |, α | x − y |)
où α est une constante positive. Alors (R, d) est un espace métrique à cône. En effet, soient x, y, z ∈ R 1) d(x, x) = (| x − x |, α | x − x |) = 0R2, Si x 6= y on a 0 <| x − y | et 0 ≤ α | x − y | ⇒ (| x − y |, α | x − y |) ∈ P et (| x − y |, α | x − y |) 6= (0, 0) Alors (0, 0) < d(x, y) 2) d(x, y) = (| x − y |, α | x − y |) = (| y − x |, α | y − x |) = d(y, x). 3) 0 ≤| x − y |=| x − z + z − y |≤| x − z | + | z − y | 0 ≤ α | x − y |= α | x − z + z − y |≤ α | x − z | +α | z − y | ⇒ (| x − z | + | z − y |, α | x − z | +α | z − y |) − (| x − y |, α | x − y |) ∈ P ⇒ d(x, z) + d(y, z) − d(x, y) ∈ P ⇔ d(x, y) ≤ d(x, z) + d(y, z)
Donc d est une distance à cône définie sur R.
Exemple 1.5. Soit E = C, P = {a + ib ∈ C : a ≥ 0, b ≥ 0} ⊂ C, On muni E par
une relation d’ordre partiel définie par
∀x, y ∈ E x ≤ y ⇔ Re(x) ≤ Re(y) et Im(x) ≤ Im(y)
Considérons l’application suivante
d : C2 → C
(x, y) → d(x, y) =| x − y | +i | x − y |
1) Soit x, y ∈ C, d(x, x) =| x − x | +i | x − x |= 0C. Lorsque x 6= y
0 <| x − y | et donc | x − y | +i | x − y |6= 0C, c’est-à-dire 0C < d(x, y).
2) Soient x, y ∈ C on a d(x, y) =| x − y | +i | x − y |=| y − x | +i | y − x |= d(y, x) 3) Pour x, y, z ∈ C 0 ≤| x − y |=| x − z + z − y |≤| x − z | + | z − y | ⇒ (| x − z | + | z − y |) + i(| x − z | + | z − y |) − (| x − y | +i | x − y |) ∈ P ⇒| x − y | +i | x − y | ≤ | x − z | + | z − y | +i(| x − z | + | z − y |) d’où d(x, y) ≤ d(x, z) + d(y, z)
On en déduit que, d est une distance à cône sur C.
Définition 1.5. Soit (X, d) un espace métrique à cône, x ∈ X et c ∈ E avec c 0
On appelle
* Boule ouverte de centre x0 et de rayon c l’ensemble
B(x0, c) = {y ∈ X : d(x0, y) c}
* Boule fermée de centre x0 et de rayon c l’ensemble
B(x0, c) = {y ∈ X : d(x0, y) ≤ c}
* Sphère de centre x0 et de rayon c l’ensemble
S(x0, c) = {y ∈ X : d(x0, y) = c}
Définition 1.6. Soit (X, d) un espace métrique à cône, O ⊂ X on dit que O est
un ouvert de X, si pour tout élément x ∈ O, il existe c ∈ ˚P tel que
Définition 1.7. Soit (X, d) un espace métrique à cône, On appel voisinage d’un
point x0 ∈ X, et on note V , s’il existe une boule ouverte contenant x0, et inclus
dans V .
Autrement dit, ∃c ∈ ˚P tq B(x0, c) ⊂ V .
Proposition 1.6. Soit (X, d) un espace métrique à cône, une partie A de X, est
un ouvert si est un voisinage de tout ses points.
Définition 1.8. Soit (X, d) un espace métrique à cône, et A ⊂ X, un point y ∈ A
est dit point d’intérieur à A (au sens à cône), s’il existe un ouvert O contient y et contenant dans A.
Notons ˙A l’ensemble de tout les points d’intérieurs de A, autrement dire ˙A désigné
la réunion de tout les ouvert qui inclus dans A. c’est-à-dire le plus grand ouvert (au sens à cône) contenant dans A.
Proposition 1.7. Un ouvert A au (sens à cône), n’est autre que ˙A, autrement dit
A = ˙A
Définition 1.9. Soient d1, d2 deux distance à cône sur l’espace X, on dit que d1 et
d2 sont métriquement équivalentes s’il existent deux nombres strictement positives
α, β ∈ R+ tels que
αd1(x, y) ≤ d2(x, y) ≤ βd1(x, y) (1.1)
Proposition 1.8. Si d1, d2 sont deux distances métriquement équivalentes, alors
(X, d1) et (X, d2) sont topologiquement équivalentes.
Démonstration. En effet : si y0 est un point quelconque de (X, d), et c ∈ ˚P nous
avons Bd1(y0, c β) = {y ∈ X : d1(x, y) ≤ c β} ⊆ Bd2(y0, c) = {y ∈ X : d2(x, y) ≤ c} ⊆ Bd1(y0, c) = {y ∈ X : d1(x, y) ≤ c α}.
1.3
Suites et convergence
Définition 1.10. Une suite (xn)n∈Nde l’espace métrique à cône X est dite converge
vers x si
∀c ∈ ˚P , ∃n0, ∀n ≥ n0; d(xn, x) c
Théorèm 1.9. Soit (X, d) un espace métrique à cône, P un cône normé, et K
sa constante. Si la suite (xn)n∈N de X converge vers une limite l ∈ X, alors cette
limite est unique. Démonstration.
Supposons que (xn) converge vers l et vers l
0
. Alors pour tout c ∈ ˚P on a
∃n0, ∀n ≥ n0; d(xn, l) c 2 ∃n1, ∀n ≥ n1; d(xn, l 0 ) c 2 Prenons n2 = max(n0, n1), et n ≥ n2 alors
d(l, l0) ≤ d(l, xn) + d(xn, l 0 ) c 2 + c 2 = c ⇔k d(l, l 0 ) k≤ K k c k
L’arbitraire de c implique que d(l, l0) = 0E donc l = l
0
, d’où l’unicité de la limite.
Théorèm 1.10. Soit (X, d) un espace métrique à cône, P un cône normal, de
constante K. Si la suite (xn)n∈N converge dans X, alors toute sous-suite extraite
de (xn)n∈N, est converge vers la même limite.
Démonstration.
Supposons que la suite (xn)n∈N d’élément de X, converge vers x, et soit (xϕ(n))
une suite extraite de la suite (xn) on va démontrer que (xϕ(n))n converge vers x.
Soit c ∈ ˚P , alors il existe pour ce élément un nombre entier noté n0 ∈ N, pour
lequel, pour tout n ≥ n0 on ait d(xn, x) c, donc pour tout n ≥ n0 on a
d(xϕ(n), x) ≤ d(xϕ(n), xn) + d(xn, x) c + c = 2c
Théorèm 1.11. Soit (X, d) un espace métrique à cône, P normal de constante K.
Pour qu’une suite (xn)n∈N de X soit converge vers x ∈ X il faut et il suffit que
d(xn, x) → 0E quand n tend vers +∞.
Démonstration.
Supposons que (xn)n∈Nconverge vers x, pour ε > 0, on choisit c ∈ E avec 0 c
tel que K k c k< ε. D’après la définition de la convergence d’une suite il existe
n0 ∈ N :
∀n ∈ N, n ≥ n0 d(xn, x) c
donc k d(xn, x) k≤ K k c k< ε. Cela implique que d(xn, x) −→ 0E quand n −→
+∞. Réciproquement supposons que d(xn, x) −→ 0E, lorsque n −→ +∞, pour
c ∈ E avec 0 c , ∃δ > 0 tel que
k y k≤ δ =⇒ c − y ∈ ˚P
Pour δ il existe n0 ∈ N, pour tout n ≥ n0
k d(xn, x) k< δ alors c − d(xn, x) ∈ ˚P ⇔ d(xn, x) c,
d’où la convergence de la suite (xn), vers l’élément x.
Théorèm 1.12. Soit (X, d) un espace métrique à cône, P un cône normal de E,
de constante K, soient (xn)n∈N∗ et (yn)n∈N∗ deux suites d’éléments de X, Converges
respectivement vers x et y. Alors :
d(xn, yn) → d(x, y) quand n → +∞
Démonstration. Pour ε > 0, On choisit c ∈ E avec 0 c, k c k≤ 2K+1ε . Par
définition ∃n0, ∀n ≥ n0; d(xn, l) c 2 ∃n1, ∀n ≥ n1; d(yn, l 0 ) c 2 Prenons n2 = max{n0, n1} donc pour tout n ≥ n2
* d(xn, yn) ≤ d(xn, x) + d(x, y) + d(y, yn) ≤ c2 + d(x, y) + c2 = d(x, y) + c
* d(x, y) ≤ d(x, xn) + d(xn, yn) + d(yn, y) ≤ c2 + d(xn, yn) + 2c = d(xn, yn) + c
Alors de ce dernier inégalité on a
d(x, y) − d(xn, yn) ≤ c Donc on obtient 0 ≤ d(x, y) − d(xn, yn) + c ≤ 2c Et k d(x, y) − d(xn, yn) k≤k d(x, y) + c − d(xn, yn) − c k ≤ k d(x, y) + c − d(xn, yn) k + k −c k ≤ 2K k c k + k c k ≤ (2K + 1) k c k< ε Autrement dit d(xn, yn) → 0 quand n → +∞,
d’où le résultat désiré.
Définition 1.11. Une suite (xn)n∈N de l’espace métrique à cône X est dite de
Cauchy si
∀c ∈ E avec 0E c, ∃n(c) ∈ N ∀m > n ≥ n(c) =⇒ d(xm, xn) c
.
Théorèm 1.13. Soit (X, d) un espace métrique à cône, et (xn)n∈N∗ une suite
d’éléments de X. Si la suite (xn)n∈N∗ est converge dans X, alors (xn)n∈N∗ est de
Cauchy. Démonstration. Pour c ∈ ˚P ∃n0 ∈ N, ∀n ≥ n0; d(xn, x) c 2
Donc pour m et n avec m > n0 et n > n0 on a d(xm, xn) ≤ d(xm, x) + d(x, xn) c 2 + c 2 = c, donc (xn)n∈N∗ est de Cauchy.
Théorèm 1.14. Soit (X, d) un espace métrique à cône, P un cône normal de E,
K sa constante. Pour qu’une suite (xn)n∈N d’éléments de X, est de Cauchy, il faut
et il suffit que, d(xn, xm) → 0E quand n, m → +∞.
Démonstration.
Supposons que (xn)n∈N est de Cauchy, pour ε > 0, on choisit c ∈ E avec 0 c,
telle que K k c k< ε, il existe n0 ∈ N
∀m, n > n0; d(xn, x) c,
donc k d(xm, xn) k K k c k< ε, Cela implique que d(xn, xm) → 0E quand
m, n → +∞ Réciproquement Supposons que d(xn, xm) → 0E quand n, m → +∞,
et montrons que (xn)n∈N est de Cauchy, pour c ∈ E avec 0 c , ∃δ > 0 tel que
k x k≤ δ =⇒ c − x ∈ ˚P
Pour cette δ il existe n0 ∈ N tel que
∀n, m ∈ N, tq m ≥ n > n0 k d(xm, xn) k< δ
Alors
c − d(xm, xn) ∈ ˚P ,
Donc d(xm, xn) c. d’où la suite (xn)n est de Cauchy dans X.
Théorèm 1.15. Soit (X, d) un espace métrique à cône, et (xn)n∈N∗ une suite d’éléments de X, de tel sorte que
d(xn, xm)
c0
n, n ≤ m avec 0 c0 (1.2)
Démonstration.
Soit c 0, il existe α > 0 telle que
c + B(0E, α) = {b ∈ E :k b k< α} ⊆ P
Quand n → ∞ on a
c0
n → 0E.
On choisit n0 ∈ N pour lequel −nc0
0 ∈ B(0E, α), ∀n ≥ n0. Alors
c0
n c, ∀n ≤ n0,
donc grâce à (1.2), on obtient que
d(xn, xm)
c0
n c pour tout m ≥ n > n0.
Théorèm 1.16. Soient (xn)n et (yn)n deux suites de Cauchy de l’espace métrique
à cône X, par rapport à ce cône normal P avec constante K. Alors la limite de la suite d(xn, yn) existe dans (E, k . k).
Démonstration.
Comme (E, k . k) est un espace à cône, il suffit donc, de montre que la suite
d(xn, yn) est de Cauchy. Les suites (xn)n et (yn)n de Cauchy alors ∃n0 ∈ N tels que
d(xi, xj) c et d(yi, yj) c
Pour tout i, j ≥ n0 alors on obtient
d(xi, yi) ≤ d(xi, xj) + d(xj, yj) + d(yj, yi) ≤ d(xj, yj) + 2c (1.3) Et d(xj, yj) ≤ d(xj, xi) + d(xi, yi) + d(yj, yi) ≤ d(xi, yi) + 2c (1.4) De (1.3) et (1.4) on obtient 0 ≤ d(xj, yj) + 2c − d(xi, yi) ≤ d(xi, yi) + 2c + 2c − d(xi, yi) = 4c k d(xj, yj) + 2c − d(xi, yi) k≤ K k 4c k,
l’inégalité triangulaire permis de conclure que E on obtient
k d(xj, yj) − d(xi, yi) k≤k d(xj, yj) + 2c − d(xi, yi) k + k 2c k<≤ (4K + 2) k c k< ε
On en déduit que la suite dn = d(xn, yn) est de Cauchy dans E, Donc elle est
convergent.
1.4
Espaces complets et compacts
Définition 1.12. Un espace métrique à cône est dit complet si toute suite (xn)n∈N
de Cauchy de X converge dans X.
Proposition 1.17. Soit (X, d) un espace métrique complet à cône, et F un sous
ensemble fermé de X. Alors F est complet dans X. Démonstration.
En effet, pour qu’une suite (xn)n est de Cauchy dans F , donc elle est aussi de
Cauchy dans le complet X, et par suite elle est converge vers un élément x de X, et comme (xn)n⊆ F et F fermé, cela désigne que x ∈ F .
D’où la proposition.
Définition 1.13. Soit (X, d) un espace métrique à cône, Si pour toute suite
(xn)n∈N∗ de X, il existe une sous-suite (xϕ(n))n∈N∗ qui converge dans X. Dans ce
cas on dit que X est séquentiellement compact ou tout simplement compact.
Proposition 1.18. Soit (X,d) un espace métrique à cône, séquentiellement
com-pact,
Chapitre
2
Espaces normé à cône
Ce chapitre est consacré à l’étude des espaces métrique à cône. Voir, par exemple, [17].
2.1
Définitions et propriétés générales
Définition 2.1. Soit X un R-espace vectoriel, On dit qu’une application notée
k . kp et définie par
k . kp: X → E
x 7→k x kp
Est une norme à cône si elle satisfait :
(1) k x kp= 0E ⇔ x = 0X et 0E <k x kp ∀x ∈ X
(2) k λx kp=| λ |k x kp ∀x ∈ X, λ ∈ R
(3) k x + y kp≤k x kp + k y kp ∀x, y ∈ X
* le couple (X, k . kp) est dit espace normé à cône.
Exemple 2.1. Soit (R, k . k) est un espace normé, et E = l1, P = {(xn)n ∈ E :
Alors l’application noté et définie par x 7→k x kp= (
kxk
2n)n∈N définie une norme à
cône.
Démonstration. * Montrons d’abord que P est un cône dans E, d’une parte
pour tout x, y ∈ R on a k x − y kp= (
k x − y k
2n )n∈N ≤ (k x − y k)n∈N =k x − y kp
D’où la continuité de k . kp, d’autre par l’image réciproque du fermé [0, +∞[
est égal à P (i.e f−1([0, +∞[) = P ). Alors P est fermé.
* P 6= {0E} car la suite ((13)n)n elle est positive de plus on a Pn∈N31n = 32 donc
converge et par suite appartins à E.
* Soient (xn)n, (yn)n ∈ P et a, b ∈ R+ alors on a X n∈N (axn+ byn) = X n∈N axn+ X n∈N byn = a X n∈N xn+ b X n∈N yn
et on sait que la somme de deux série converge elle converge et le produit par un scalaire il reste aussi converge donc a(xn) + b(yn) ∈ P
P ∩ (−P ) = {(xn)n ∈ E : xn ≥ 0R n ∈ N} ∩ {(−xn)n∈ E : −xn≥ 0R n ∈
N} c’est-à-dire (xn)n ∈ P et (−xn)n∈ P ? nous avons
xn≥ 0R et − xn≥ 0R ∀n ∈ N ⇔ xn = 0R ∀n ∈ N ⇔ (xn)n∈N = 0E,
donc P ∩ (−P ) = {0E}. Donc P est un cône dans E.
Maintenant nous allons montrer que k . kp est une distance à cône
1) Soit x ∈ R, alors on a k x kp= ( k x k 2n )n∈N = 0E ⇔ k x k 2n = 0R, ∀n ∈ N ⇔k x k= 0 ⇔ x = 0 Si x 6= 0R, nous avons 0R< k x k 2n n ∈ N ⇔ 0E < ( k x k 2n )n∈N ⇔ 0R<k x kp
2) Soit λ ∈ R et x ∈ R k λx kp= ( k λx k 2n )n∈N= (| λ | k x k 2n )n∈N =| λ | ( k x k 2n )n∈N=| λ |k x kp
3) Soient x et y deux éléments de R, comme k . k est une norme donc
k x + y k≤k x k + k y k⇔ k x + y k 2n ≤ k x k 2n + k y k 2n ∀n ∈ N
D’une part la série
X n∈N (k x k 2n + k y k 2n − k x + y k 2n ) = 3 2(k x k + k y k − k x + y k)
Alors le terme général de cette série est dans E. D’autre parte ce terme est positive donc appartenant à P . D’où
k x + y kp= (
k x + y k
2n )n∈N≤ (
k x k + k y k
2n )n∈N =k x kp + k y kp
Conclurons que (X, k . kp) est un espace normé à cône.
Exemple 2.2. Soit X = R2 et P = {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0, y ≥ 0} ⊆ E = R2.
Définissons l’application :
k (x, y) kp= (α | x |, β | y |) α, β ∈ R∗+
Alors (X, k . kp) est un espace normé à cône.
Proposition 2.1. Soient (xn)n, (yn)n et (zn)n trois suites de l’espace normé à
cône (X, k . kp) d’un cône pas normal ; avec
xn ≤ yn ≤ zn
Si les deux suites xn et zn converges vers la même limite, cela n’implique pas yn
Démonstration.
Soit E = C1([0, 1]) et P = {f ∈ E : f (x) ≥ 0, ∀x ∈ [0, 1]}, et on définit la
norme à cône suivante
k f kp= (k f k∞+ k f0 k∞)e−t t ∈ [0, 1]
Il est claire que P n’est pas normal. Supposons xn = 0, yn = t
n
n et zn =
1
n, où
n ∈ N∗ donc il est clair que
xn≤ yn≤ zn et lim n→+∞xn = limn→+∞zn = 0 mais lim n→+∞k yn k= ( limn→+∞maxt∈[0,1] | tn n | e −t + lim n→+∞maxt∈[0,1] | t n | e−t ) = ( lim n→+∞ 1 n+1)e −t = e−t
Définition 2.2. Soit x ∈ X, et c ∈ E avec c ≥ 0E, et soient x ∈ X et c ∈ ˚P ; On
appelle
* Boule ouverte de centre x et de rayon c l’ensemble
B(x, c) = {y ∈ X :k x − y kp< c}
* Boule fermée de centre x et de rayon c l’ensemble
B(x, c) = {y ∈ X :k x − y kp≤ c}
* Sphère de centre x et de rayon c l’ensemble
S(x, c) = {y ∈ X : c− k x − y kp= 0E}
Définition 2.3. Soit X un espace normé à cône, et y ∈ X, on dit que Vy est un
voisinage au sens à cône, du point y, s’il existe c ∈ ˚P tel que
Proposition 2.2. Soit (X, k . kp) un espace normé à cône et x ∈ X, c ∈ ˚P alors
y ∈ Bc(x) ⇐⇒ ∃(xn)n∈N⊂ Bc(x) tq xn→ y
Démonstration. Soit y ∈ Bc(x) alors pour tout n ∈ N on ait
y ∈ B c
2n(y) ∩ Bc(x) 6= ∅
Alors il existe zn∈ B2nc (y) ∩ Bc(x), d’autre part et par passage à la limite on a
B c
2n(y) ∩ Bc(x) → {y} quand n → ∞
Puisque 2cn → {y} quand n → ∞, donc zn→ y.
Réciproquement supposons que (zn)n∈N ⊂ Bc(x) avec zn→ y et soit W un ouvert
tel que Bc0(y) ⊂ W . on choisir n ∈ N de tel sorte que
k zn− y kp c
0
Et par suite zn∈ Bc0(y), d’après l’hypothèse ((xn)n∈N⊂ Bc(x), xn→ y) alors on
obtient que :
Bc0(y) ∩ Bc(x) 6= ∅ ⇒ W ∩ Bc(x) 6= ∅ car B
c0(y) ⊂ W,
d’où la preuve de y ∈ Bc(x).
Lemme 2.3.
Soit x ∈ P , alors pour tout z ∈ P , Bp(x, r) + {z} est une boule ouverte. où
B(x, r) = {y ∈ X :k x − y k< r}; 0 < r
Démonstration.
Soient x, z ∈ X, et r > 0 ; On a
Bp(x, r) + {z} = {z} + {y ∈ X :k x − y k< r} = {z + y ∈ X :k x − y k< r}
Corollaire 2.4. Si P est un cône de l’espace de Banach E, alors on a
P + ˚P ⊆ ˚P Démonstration.
Soit z ∈ P + ˚P , alors il existe z1 ∈ P , et z2 ∈ ˚P , tel que z = z1 + z2.
z2 ∈ ˚P , alors il existe une boule ouvert, Bp(z2, r) contenant dans ˚P . D’une parte
{z1} + Bp(z2, r) = Bp(z2+ z1, r), est une boule ouvert contient z. D’autre parte ˚P ,
contient tout les partis ouvert de P . Alors on en déduit que z ∈ ˚P .
Lemme 2.5.
Soient x, y, c1 et c2 sont des éléments de E tels que, c1 x et c2 y alors on
a
c1+ c2 x + y
Démonstration.
En effet, x c1 ⇒ c1−x ∈ ˚P , et y c2 ⇒ c2−y ∈ ˚P , donc c1+c2−(x+y) =
(c1− x) + (c2− y) ∈ ˚P + ˚P ⊆ P + ˚P ⊆ ˚P . Alors, c1+ c2− (x + y) ∈ ˚P , d’où
c1+ c2 x + y
Théorèm 2.6. Soit (xn)n, une suite de l’espace normé à cône (X, k . kp), converges
vers x, et (λn)n, une suite réelle converge vers λ, Alors λnxn→ λx.
Démonstration.
Soient ε > 0Ret 0E c, comme xn → x et λn → λ, alors ils existes (n0, n1) ∈ N2
tels que
| λn− λ |< ε et k xn− x kp
c M
Prenons η = (n0, n1), alors pour n ≥ η
Comme la suite (λn)n converge, donc elle est bornée, ∃M > 0 tq | λn |< M pour
tout n ∈ N donc :
k xnλn− xλ kp M
c
M + ε k x kp= c + ε k x kp
Lorsque ε → 0, on obtient k xnλn−xλ kp c, ainsi le résultat de la convergence.
Théorèm 2.7. Soient (xn)n, (yn)ndeux suites de l’espace normé à cône (X, k . kp),
converges respectivement vers x et y. Alors la suite (xn+ yn)n converge dans X
vers x + y.
Définition 2.4. Une partie F de l’espace normé à cône (X, k . kp), est dit fermé,
si toute suite (xn)n d’éléments de F converge vers x, cette limite reste toujours
dans F .
Définition 2.5. Une partie F de l’espace normé à cône (X, k . kp), est dense dans
X, si et seulement si l’adhérence de F n’est autre que X.
Définition 2.6. Soient (X, k . kp), (Y, k . kp) deux espaces normés à cône, et
f : X → Y une application, Alors on dit que f est continue en x0 ∈ X si :
∀c 0E, ∃δ 0E tq k x − x0 kp δ ⇒k f (x) − f (x0) kp c
Proposition 2.8. Soient x et y deux éléments de l’espace normé à cône (X, k . kp)
, alors on a
k y kp − k x kp≤k x − y kp (2.1)
k x kp − k y kp≤k x − y kp (2.2)
Démonstration.
Pour la première inégalité (2.1) :
k x kp=k x + y − y kp ≤ k x − y kp + k y kp
⇒ k x − y kp −(k x kp − k y kp) ∈ P
⇒ k x kp − k y kp ≤ k x − y kp
De même pour la deuxième inégalité :
k y kp=k y + x − x kp ≤ k y − x kp + k x kp
⇒ k y − x kp + k x kp − k y kp∈ P
⇒ k x − y kp −(k y kp − k x kp) ∈ P
⇒ k y kp − k x kp ≤ k x − y kp
Lemme 2.9. : Soient x, y et z, sont des éléments de E de tels sorte que, x ≤ y et
y z alors x z. Démonstration.
En effet, x ≤ y ⇒ y − x ∈ P et y z ⇒ z − y ∈ ˚P . Donc z − x = z − y + y − x =
˚
P + P , Alors il existe c1 ∈ P et c2 ∈ ˚P tels que z − x = c1+ c2. c1 un élément de
l’ouvert ˚P , alors il existe une boule ouvert, B(c1, r), telle que
c1 ∈ B(c1, r) ⊆ P
Et par suite on a : c1+ c2 = c2+ c1 ∈ c2+ B(c1, r), d’après le lemme (??)
c2+ c1 ∈ B(c1+ c2, r)
Mais ˚P contient tout les ouvert de P , alors z − x ∈ ˚P , d’où x z.
Définition 2.7. Un espace normé à cône (X, k . kp) est dit de Banach s’il est
complet par ce norme à cône.
Théorèm 2.10. Supposons que (X, k . kp) est un espace normé à cône. τp la
topologie de Hausdorff au sens à cône sur X, supposons
T x =k x kp ∀x ∈ X
Proposition 2.11. Supposons que dans un espace normé à cône (X, k . kp), Pour
toute suite (xn)n∈N de Cauchy, on peut extrait une sous suite de (xn)n∈N, converge
dans X.
Alors (X, k . kp) est complet.
Démonstration.
Soit (xn)n∈N une suite quelconque de Cauchy, telle que (xϕ(n))n converge vers
x ∈ X. Alors par définition, pour c ∈ E avec ∀c 0 :
∃n0, ∀n ≥ n0 k xϕ(n)− x kp c 2 ∃n1, ∀n, m ≥ n0 k xn− xm kp c 2 Pour n2 = max{n0, n1}, alors ∀n ≥ n2 :
k xn− x kp=k xn− xϕ(n)+ xϕ(n)− x kp≤k xn− xϕ(n)kp + k xϕ(n)− x kp
c 2+
c
2 = c Cela désigné la convergence, de la suite de Cauchy.
Définition 2.8. Un espace normé à cône (X, k . kp) est dit de Banach si X est
complet par cette norme.
2.2
Continuité
Définition 2.9. Soient (X, d1) et (Y, d2) deux espaces métriques à cône, A un
sous-ensemble non vide de X, T : X → Y ; un élément y ∈ Y est dit limite de T , lorsque x tend vers x0 ∈ ¯A si
∀c ∈ ˚P , ∃α ˚P ∀x ∈ X d1(x, x0) α ⇒ d2(T x, y) c
Proposition 2.12. Soient (X, d1), (Y, d2) et (Z, d3) trois espaces métriques à cône,
A et B deux sous-ensembles non vides de X et Y respectivement.
f : A → Y, g : B → Z
Deux applications, x0 un point de ¯A et y0 un point de ¯B, on suppose que
f (A) ⊆ B, lim
x→x0
f (x) = y0, y→ylim
0
g(y) = z0 o`u z0 ∈ Z
Alors l’application composé g ◦ f , vérifié
lim x→x0 g ◦ f (x) = z0. Démonstration. Rappelons d’abord lim x→x0 f (x) = y0 ⇔ ∀δ ∈ ˚P , ∃α ˚P f (A ∩ B(x0, α)) ⊂ B(y0, δ))
Soit c ∈ ˚P , ∃ρ ∈ ˚P telle que
g(B ∩ B(y0, δ)) ⊆ B(z0, c)
De mˆeme, il existe α 0E tel que
f (A ∩ B(x0, α)) ⊆ B(y0, δ)
Or f (A) ⊂ B, alors
f (A ∩ B(x0, α)) ⊆ B ∩ B(y0, δ)
D’où
(g ◦ f )(A ∩ B(x0, α)) ⊆ B(z0, c).
Définition 2.10. Soient (X, d1) et (Y, d2) deux espaces métriques à cône, On dit
qu’une application T : X → Y est continue en point x0 ∈ X, si
Définition 2.11. Soient (X, d1) et (Y, d2) deux espaces métriques à cône, On dit
qu’une application T : X → Y est continue sur X tout entier, si elle continue en tout point x de X.
Définition 2.12. Soit T : (X, d1) → (Y, d2), On dit que T est uniformément
continue sur une partie non vide A de X, si :
∀c ∈ ˚P , ∃α ˚P ∀x, y ∈ A : d1(T x, T y) α ⇒ d2(T x, T y) c
Proposition 2.13. 1) Tout fonction T uniformément continue sur X, est
continue sur X.
2) L’application identité idX : (X, d) → (Y, d) est, uniformément continue sur
X.
Démonstration. 1) Il suffit de fixer y = x0 dans la définition ce-dessus.
2) Il suffit de prendre α = c dans la définition ce-dessus.
Exemple 2.3. Soit l’application suivant
T : (X, d1) → (Y, d2)
x 7→ T x = x2
o`u X=R, E = R2, P = {(x, y) ∈ R2 : x, y ≥ 0}, et d(x, y) = (| x − y |, | x − y |)
T n’est pas uniformément continue sur R. Démonstration.
En effet, si l’on choisit c = (1, 1) ∈ ˚P et considérons pour tout α = (ρ, ρ) où ρ > 0R, construirons deux éléments xρ = 1ρ et yρ = 1ρ+ ρ2 on va trouve :
d(xρ, yρ) = (| yρ− xρ|, | yρ− xρ|) = (| 1 ρ + ρ 2 − 1 ρ |, | 1 ρ + ρ 2− 1 ρ |) = (ρ 2, ρ 2) (ρ, ρ)
De plus on a : d(T xρ, T yρ) = (| y2ρ− x2ρ|, | y2ρ− x2ρ |) = (| ( 1 ρ+ ρ 2) 2 − (1 ρ) 2 |, | (1 ρ + ρ 2) 2− (1 ρ) 2 |) d(T xρ, T yρ) = (1 + ρ2 4 , 1 + ρ2 4 ) > (1, 1)
Définition 2.13. Soient (X, d) et (Y, δ) deux espaces métriques à cône, T une
application de X dans Y .
On dit que T est Lipschitzienne de rapport k ou k-lipschitzienne si
δ(T x, T y) ≤ kd(x, y), (x, y) ∈ X2, k ≥ 0R
O`u ≤ est une relation d’ordre partiel définie par :
∀x, y ∈ E x ≤ y ⇔ y − x ∈ P.
Exemple 2.4. Soit E = C1[0, 1], P = {ψ ∈ E : ψ ≥ 0}, et X = R. Soit le distance
à cône suivante :
d(x, y) =| x − y | (t2+ 1)
L’application T est 2-lipschitzienne au sens de cône, où T x = 2(x + 1). En effet : soit x, y ∈ R, alors
d(T x, T y) =| T x − T y | (t2+ 1) =| 2x + 2 − 2x − 2 | (t2+ 1) =| 2x − 2y | (t2+ 1)
Cela implique que :
d(T x, T y) ≤ 2d(x, y) avec k = 2
Définition 2.14. Soit (X, k . kp) un espace normés à cône, un sous-ensemble A
de X, est dit borné au sens à cône si
{k x kp: x ∈ A} (2.3)
Autrement dit admet un borne supérieur au sens à cône i.e
Définition 2.15. Soit (X, k . kp) et (Y, k . kp0) deux espaces normés à cône et
T : X → Y , une application linéaire. Alors T est dit borné au sens à cône si,
T (B(0X, c)) où c ∈ ˚P , est un ensemble borné au sens à cône dans Y .
∃t ∈ ˚P , ∀b ∈ T (B(0X, c)) ⇒ b ≤ t
Exemple 2.5. Soit E=R2, P = {(x, y) ∈ R2 : x, y ≥ 0}, c
0 = (1, 1) et soit X :
l’ensemble des polynômes de variable définie sur [0, 1]. k . kp=k . k∞c0 une norme
à cône, où k f k∞= sup{| f (x) |: x ∈ [0, 1], f ∈ X}, la norme usuelle de la
convergence uniforme. Supposons que
D : X → X
f → D(f ) = f0
Chapitre
3
Théorèmes du point fixe
Dans ce paragraphe, on va démontrer certain théorèmes du point fixe d’une application contractante, basant sur la méthode des approximations successifs de Picard, ces théorème donnent l’existence et l’unicité d’un point fixe pour une contraction sur un espace métrique complet au sens à cône. voir par exemple [1, 19, 22, 23, 27, 29, 30].
Théorèm 3.1. Soit (X, d) un espace métrique à cône complet, P un cône normal
de constante K, et soit T une contraction de X dans X c’est-à-dire
d(T x, T y) ≤ td(x, y) o`u t ∈ [0, 1[ (3.1)
Alors T admet une unique point fixe dans X noté x∗, de plus pour toute itérative
(Tnx)n∈N, elle est aussi converge vers x∗.
Démonstration.
On choisit x0 ∈ X, de tel sorte que x1 = T x0, x2 = T x1 = T ◦ T x0 = T2x0, ...,
xn= T xn−1= Tnx0, xn+1 = T xn= Tn+1(x0), ... D’une parte
d(xn+1, xn) = d(T xn, T xn−1) ≤ td(xn, xn−1) ≤ t2d(xn−1, xn−2) ≤ ... ≤ tnd(x1, x0)
Donc on obtient pour tout n > m
≤ tn−1d(x 1, x0) + tn−2d(x1, x0) + ... + tmd(x1, x0) ≤ (tn−1+ tn−2+ ... + tm)d(x 1, x0) ≤ tm 1 − td(x1, x0) Alors k d(xn, xm) k≤ Kt m
1−t k d(x1, x0) k, Cela entraine que :
d(xn, xm) → 0E lorsque n, m → ∞
D’où (xn)n∈N est une suite de Cauchy dans l’espace complet X, Alors il existe un
élément x∗ ∈ X, tel que xn→ x∗.
D’autre parte :
d(T x∗, x∗) ≤ d(T x∗, T xn) + d(T xn), x∗)
≤ td(x∗, x
n) + d(xn+1, x∗)
Comme P un cône normal de constante K, donc on ait
k d(T x∗, x∗) k≤ K(k td(x∗, xn) + d(xn+1, x∗) k)
≤ K(t k d(x∗, xn) k + k d(xn+1, x∗) k)
Par passage à la limite on obtient
K(t k d(x∗, xn) k + k d(xn+1, x∗) k) → 0E
Donc k d(T x∗, x∗) k= 0
R ⇔ d(T x
∗, x∗) = 0
E ⇔ f (x∗) = x∗, alors x∗ est un point
fixe de l’application T . Soit y∗ un autre point fixe de f on a
d(x∗, y∗) = d(T x∗, T x∗) ≤ td(x∗, y∗)
Alors
td(x∗, y∗) − d(x∗, y∗) ∈ P ⇔ −(1 − t)d(x∗, y∗) ∈ P
Mais (1 − t)d(x∗, y∗) ∈ P donc
d(x∗, y∗) ∈ P ∩ (−P ) = {0} ⇔ d(x∗, y∗) = 0E ⇔ x∗ = y∗,
Corollaire 3.2. Soit (X, d) un espace métrique à cône complet, P un cône normal
de constante K, Pour c ∈ ˚P et x0 ∈ X, On pose
B(x0, c) = {y ∈ X : d(x0, y) ≤ c}
Supposons T comme application de X dans X, satisfaite l’inégalité (3.1) sur la boule précédent, et
d(T x0, x0) ≤ (1 − t)c o`u x, y ∈ B(x0, c) (3.2)
avec t est une constante positive inférieur ou égale à 1. Alors T admet une unique point fixe dans B(x0, c).
Démonstration.
Il s’agit de montre que B(x0, c) est complet, et T x ∈ B(x0, y) pour tout
x ∈ B(x0, c).
Soit (xn)n∈N une suite de Cauchy de B(x0, c), Donc elle est aussi de Cauchy dans
l’espace complet X, il existe x∗ ∈ X tel que xn → x∗, Alors on a
d(x0, x∗) ≤ d(x0, xn) + d(xn, x∗) ≤ c + d(xn, x∗)
Comme xn → x∗, on en déduit que d(xn, x∗) → 0E, et par suite
d(x0, x∗) ≤ c ⇒ x∗ ∈ B(x0, c) En suite pour x ∈ B(x0, c) d(x0, T x) ≤ d(x0, T x0) + d(T x0, T x) ≤ d(T x0, x0) + td(x0, x) (1 − t)c + tc = c D’où T x ∈ B(x0, c).
Théorèm 3.3. Soit a un réel positive avec a > 1 et soit (X, d) un espace métrique
à cône complet, soit T une application inversible de X dans lui même, et satisfaite
d(T x, T y) ≥ ad(x, y) (3.3)
Alors, T admet une seul point fixe. Démonstration.
Soit x 6= y et T x = T y alors 0E ≥ ad(x, y) et sa contradiction ; Comme T
inversible d’inverse noté S ; Posons pour tout x, x2, y, y2 ∈ X
T x = y, T x2 = y2 ⇔ Sy = x, Sy2 = x2
d(y2, y) = d(T x2, T x) ≥ ad(x2, x) = ad(Sy2, Sy) ⇔ d(Sy2, Sy) ≤
1
ad(y2, y)
Donc
d(T Sx, T Sy) ≥ ad(Sx, Sy) ⇔ d(Sx, Sy) ≤ 1
ad(x, y) (3.4)
o`u 1a < 1, donc d’après (3.1), donc l’application inverse S de T admet un seul point
fixe noté x∗.
Sx∗ = x∗ ⇔ T Sx∗ = T x∗ ⇔ x∗ = T x∗ Cela équivaut de dire T admet un seule point fixe.
Corollaire 3.4. Si T est contraction et bijective de X sur X, où X est un espace
métrique au sens à cône, alors T et T−1 admets un unique point fixe commun entre
eux.
Corollaire 3.5. Soit (X, d) un espace métrique à cône complet, P un cône normal
avec K sa constante, et soit T une application de X dans X, vérifié :
d(Tnx, Tny) ≤ td(x, y) ∀x, y ∈ X, 0 ≤ t < 1, n ∈ N (3.5)
Démonstration.
D’après le théorème (3.1) Tn admet une seul point fixe dans X noté x∗. Mais
TnT x∗ = T Tnx∗ = T x∗
Alors T x∗ est un point fixe de Tn. Et par suite T x∗ = x∗, cela désigne que x∗ est
un point fixe de T .
Le point fixe de T est aussi de Tn, donc le point fixe de T est unique.
Théorèm 3.6. Soit (X, d) un espace métrique à cône, séquentiellement compact,
P un cône régulier, et soit T une application de X dans X vérifier
d(T x, T y) < d(x, y) ∀x, y ∈ X, x 6= y (3.6)
Alors T admet une unique point fixe noté x∗, de plus la suite (Tn(x))n∈N elle est
aussi converge vers x∗ pour tout x ∈ X.
Démonstration. On choisir x0 ∈ X, de tel sorte que x1 = T x0 x2 = T x1 = T ◦T x0 =
T2x
0, ... ,xn = T xn−1 = Tnx0, xn+1 = T xn = Tn+1x0, ... Si pour chaque n ∈ N
xn+1 = xn; est trivial. Sinon i.e xn+1 6= xn, On pose
dn+1 = d(xn+1, xn+2) = d(T xn, T xn+1) < d(xn, xn+1) = dn
Puisque P est régulier, Alors il existe d∗ ∈ E, tel que dn → d∗. et aussi il existe
(xϕ(n))n∈N de (xn)n∈N converge dans X, par exemple vers x∗. Alors on a
d(T xϕ(n), T x∗) ≤ d(xϕ(n), x∗)
Comme P régulier, Alors P normal de constante noté par exemple K, donc
k d(T xϕ(n), T x∗) k≤ K k d(xϕ(n), x∗) k
Cette dernière étape entraine que : T xϕ(n) → T x∗ quand n → +∞, et on a aussi
T2x
ϕ(n)→ T2x∗, et on sait que.
Donc on obtient
d(T xϕ(n), xϕ(n)) → d(T x∗, x∗) et d(T2xϕ(n), T xϕ(n)) → d(T2x∗, T x∗)
C’est-à-dire
d(T xϕ(n), xϕ(n)) = dϕ(n) → d∗ = d(T x∗, x∗)
Ensuite prouvons que T x∗ = x∗, Si T x∗ 6= x∗ alors d∗ 6= 0
E et on
d∗ = d(T x∗, x∗) > d(T2x, T x∗) = lim
n→∞d(T
2x
ϕ(n), T xϕ(n)) = limn→∞dϕ(n)+1 = d∗
Et ça contradictoire, donc T∗x = x∗, D’où x∗ est un point fixe de T . Supposons que y∗ un autre point fixe de T différent de x∗ on a
d(x∗, y∗) = d(T x∗, T x∗) < d(x∗, y∗) ⇔ d(x∗, y∗) − d(x∗, y∗) ∈ P \ {0},
d’où la contredit désiré. Donc T admet un unique point fixe.
Théorèm 3.7. Soit (X, d) un espace métrique à cône complet, P un cône normal
de constante K, et soit T une application de X dans X satisfait
d(T x, T y) ≤ t(d(T x, x) + d(T y, y)) o`u t ∈ [0,1
2[ (3.7)
Alors T admet une unique point fixe dans X noté x∗, de plus pour toute itérative
(Tnx)
n∈N elle est aussi converge vers x∗.
Démonstration.
On choisit x0 ∈ X, de tel sorte que x1 = T x0 x2 = T x1 = T ◦ T x0 = T2x0, ...
,xn= T xn−1= Tnx0, xn+1 = T xn= Tn+1x0, ... D’une parte d(xn+1, xn) = d(T xn, T xn−1) ≤ t(d(T xn, xn) + d(T xn−1, xn−1)) ≤ d(xn+1, xn) ≤ t(d(xn+1, xn) + d(xn, xn−1)) Alors d(xn+1, xn) ≤ t 1 − td(xn, xn−1)
Posons h = 1−tt , comme t ∈ [0,12[ alors 0 ≤ h < 1. Pour n > m d(xn, xm) ≤ d(xn, xn−1) + d(xn−1, xn−2) + ... + d(xm+1, xm) ≤ hn−1d(x 1, x0) + hn−2d(x1, x0) + ... + hmd(x1, x0) ≤ (hn−1+ hn−2+ ... + hm)d(x 1, x0) ≤ hm 1 − hd(x1, x0)
Donc (xn)n est de Cauchy dans le complet X, et par suite il existe x∗ ∈ X, tel que
xn→ x∗. x∗ ∈ X, tel que xn→ x∗. D’autre parte d(T x∗, x∗) ≤ d(T x∗, T xn) + d(T xn, x∗) ≤ t(d(T x∗, x∗) + d(T xn, xn)) + d(xn+1, x∗) d(T x∗, x∗) ≤ 1 1 − t(td(T xn, xn) + d(xn+1, x ∗ )) ⇒ k d(T x∗, x∗) k≤ K 1−t(t k d(xn+1, xn) k + k d(xn+1, x ∗) k) → 0 Donc k d(T x∗, x∗) k= 0 R⇔ T x
∗ = x∗, Cela désigne l’existence de ce point fixe.
Supposons que y∗ un autre point fixe de T alors
d(x∗, y∗) = d(T x∗, T x∗) ≤ t(d(T x∗, x∗) + d(T y∗, y∗)) = 0E
Cela désigne que y∗ = x∗. D’où l’unicité de x∗.
Théorèm 3.8. Soit (X, d) un espace métrique à cône complet, P un cône normal
de constante K, et soit T une application de X dans X satisfait :
d(T x, T y) ≤ t(d(T x, y) + d(T y, x)) o`u t ∈ [0,1
2[ (3.8)
Alors f admet une unique point fixe dans X noté x∗, de plus pour toute suite
itérative (Tnx)
n∈N elle est aussi converge vers x∗.
Démonstration.
On choisir x0 ∈ X, de tel sorte que x1 = T x0 x2 = T x1 = T ◦ T x0 = T2x0, ...
,xn= T xn−1= Tnx0, xn+1 = T xn= Tn+1x0, ... D’une parte
d(xn+1, xn) ≤ t(d(xn+1, xn−1) + d(xn, xn)) = td(xn+1, xn−1) ≤ t(d(xn+1, xn) + d(xn, xn−1)) Alors d(xn+1, xn) ≤ t 1 − td(xn, xn−1) Pour n > m d(xn, xm) ≤ d(xn, xn−1) + d(xn−1, xn−2) + ... + d(xm+1, xm) ≤ hn−1d(x 1, x0) + hn−2d(x1, x0) + ... + hmd(x1, x0) ≤ (hn−1+ hn−2+ ... + hm)d(x 1, x0) ≤ hm 1 − hd(x1, x0) Alors k d(xn, xm) k≤ Kh m
1−h k d(x1, x0) k→ 0 lorsque n, m → ∞ et par suite xn est
Cauchy, Alors il existe x∗ ∈ X, de tel sorte que xn → x∗.
D’autre parte d(T x∗, x∗) ≤ d(T x∗, T xn) + d(T xn, x∗) ≤ t(d(T x∗, xn) + d(T xn, x∗)) + d(xn+1, x∗) d(T x∗, x∗) ≤ t(d(T x∗, x∗) + d(x∗, xn) + d(T xn, x∗)) + d(xn+1, x∗) d(T x∗, x∗) ≤ 1 1 − t(td(x ∗ , xn) + (1 + t)d(T xn+1, x∗)) ⇒ k d(T x∗, x∗) k≤ K 1−t(t k d(x ∗, x n) k +(1 + t) k d(T xn+1, x∗) k) Donc k d(T x∗, x∗) k= 0 R⇔ T x
∗ = x∗, Cela désigne l’existence de ce point fixe.
Supposons que y∗ un autre point fixe de T on a
d(x∗, y∗) = d(T x∗, T x∗) ≤ t(d(T x∗, y∗) + d(T y∗, x∗)) ≤ t(d(T x∗, x∗) + d(x∗, y∗) + d(T y∗, y∗) + d(T y∗, x∗)) = 2td(x∗, y∗) 2td(x∗, y∗) − d(x∗, y∗) ∈ P ⇔ −(1 − 2t)d(x∗, y∗) ∈ P Donc (1 − 2t)d(x∗, y∗) ∈ P ∩ (−P ) = {0} ⇔ d(x∗, y∗) = 0E, d’où l’unicité de x∗.
Exemple 3.1. Soit E = R2 le plant euclidien et P = {(x, y) ∈ R2 : x, y ≥ 0}, il
est claire que P est une cône normal de constante K = 1.
Soit X = {(x, 0) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1} ∪ {(0, y) ∈ R2 : 0 ≤ y ≤ 1}. On considère l’application d définie de X dans X par
d((x, 0), (y, 0)) = (4 3 | x − y |, | x − y |) d((0, x), (0, y)) = (| x − y |,2 3 | x − y |) d((x, 0), (0, y)) = d((0, y), (x, 0)) = (4 3x + y, x + 2 3y)
Alors (X, d) est un espace métrique complet à cône. En effet, comme X est une réunion de deux parties fermés donc il est fermé dans le complet R2, et par suite il
est complet. En suite on va montrer que d est une distance à cône.
1) Il y a deux cas
* x = (a, 0), 0 ≤ a ≤ 1 ⇒ d((a, 0), (a, 0)) = 0R2 ⇔ (4
3 | a |, | a |) = 0R2 ⇔
x = 0R2
* x = (0, a), 0 ≤ a ≤ 1 ⇒ d((0, a), (0, a)) = 0R2 ⇔ (| a |,2
3 | a |) = 0R2 ⇔
x = 0R2
2) Soient x, y ∈ X, tels que x 6= y. D’une parte tout les cas de cette application
d, les uples sont définies par la valeur absolue donc ils sont positives, d’autre parte, comme x 6= y alors au moins l’une des uples différentes à l’autre par exemple a 6= b et par suite, | a − b |> 0. Conclurons que d(x, y) > 0.
3) Soient x, y ∈ X, il est simple de vérifier que d(x, y) = d(y, x).
4) Soient x, y et z trois éléments de X, en fonction de a, b et c respectivement. Il
y a trois cas possible, on va montrer seulement le cas x = (a, 0) et y = (b, 0), et les autre de mˆeme manière.
d((a, 0), (b, 0)) = (4 3 | a−b |, | a−b |) ≤ ( 4 3 | a−c | + 4 3 | c−b |, | a−c | + | c−b |) (4 3 | a − c |, | a − c |) + ( 4 3 | c − b |, | c − b |) = d((a, 0), (c, 0)) + d((c, 0), (b, 0)), d’où d((a, 0), (b, 0)) ≤ d((a, 0), (c, 0)) + d((c, 0), (b, 0)).
Considérons l’application T définie de X dans X comme suit
T ((x, 0)) = (0, x) T ((0, x)) = (1
2x, 0) Comme T est contractante au sens à cône, puisque
d(T (x1, x2), T (y1, y2)) ≤
3
4d(x1, x2), (y1, y2)) ∀(x1, x2), (y1, y2) ∈ X
Donc d’après (3.1), T admet un unique point fixe noté x∗, plus précisément x∗ = (0, 0) ∈ X.
Remarque 3.1. T n’est pas contractante, par la norme euclidien (i.e k . k2). Ceci
montre une importance de cette généralisation de l’espaces métrique usuelles à l’espace métrique à cône.
Théorèm 3.9. Soit C un fermé d’un espace à cône de Banach X, k x kp= d(x, 0)
et T : C → C où T est un application satisfait
d(T x, x) + d(T y, y) ≤ qd(x, y) 2 ≤ q < 4 (3.9)
Alors T admet au moins un point fixe.
Démonstration. Soit x0 un élément arbitraire de X, on définit la suite
xn+1= T xn+ xn 2 ; n ∈ N (3.10) On a xn− T xn = xn− 2xn+1+ xn= 2(xn− xn+1) Alors d(T xn, xn) =k xn− T xn kp= 2 k xn− xn+1kp= 2d(xn+1, xn) (3.11) De (3.9) nous avons d(T xn, xn) + d(T xn−1, xn−1) ≤ qd(xn, xn−1)
D’après (3.11) on obtient 2sd(xn, xn+1) + 2d(xn−1, xn) ≤ qd(xn, xn−1) Donc d(xn, xn+1) ≤ q − 2 2 d(xn, xn−1), 0 ≤ q − 2 2 < 1
Cela désigne que (xn) est de Cauchy, et par suite il existe x∗ ∈ C de tel sorte que
xn→ x∗. De plus nous avons
d(T x∗, xn) + d(T xn, x∗) ≤ qd(xn, x∗)
Nous allons assurer par passage à la limite que d(xn, x∗) → 0E. Alors
d(T x∗, xn) → 0E et d(T xn, x∗) → 0E)
Donc
T xn → x∗
Comme T continue au sens à cône alors
x∗ = lim
n→∞T xn = T limn→∞xn = T x
∗
Alors T admet au moins un point fixe.
Théorèm 3.10. Soit C un fermé d’un espace X de Banach au sens à cône, et
T : C → C où T est un application vérifie
d(T x, y) + d(T y, x) ≤ qd(x, y) et 0 ≤ q < 2 (3.12)
Alors T admet un point. Démonstration.
Soit x0 un élément de C, on considère la suite d’éléments de C définie par
xn+1 =
xn+ T xn
On a d(T xn, xn) = 2d(xn+1, xn) (3.14) Et d(T xn−1, xn) = d(xn−1, xn) (3.15) Alors d’après (3.12) d(T xn, xn−1) + d(T xn−1, xn) ≤ qd(xn, xn−1)
Cela implique que
d(T xn, xn−1) + d(xn−1, xn) ≤ qd(xn, xn−1)
On sait que : d(T xn, xn) = 2d(xn+1, xn) ≤ d(T xn, xn−1) + d(xn−1, xn), donc
d(xn, xn+1) ≤
q
2d(xn, xn−1)
Cela entraine que la suite (xn)n ∈ N est de Cauchy dans le complet C, alors il
existe x∗ ∈ C tq xn→ x∗.
De plus nous avons
d(T x∗, xn) + d(T xn, x∗) ≤ d(x∗, xn)
Par passage à la limite on trouve d(x∗, xn) → 0E cela implique que
xn→ T x∗ mais xn→ x∗
donc l’unicité de la limite confirme que T x∗ = x∗. Donc T admet au moins un point fixe noté x∗.
Théorèm 3.11. Soit C un fermé d’un espace de Banach X, et T : C → C où T
est un application vérifie
d(T x, T y) + d(x, T x) + d(y, T y) ≤ rd(x, y) 1 ≤ r < 5 (3.16)
