ISA BTP, 2◦ann´ee ANN ´EE UNIVERSITAIRE 2010-2011
CONTR ˆOLE CONTINU
Compl´ements d’int´egration
Dur´ee : 1h30. Les calculatrices sont autoris´ees.
Tous les exercices sont ind´ependants.
Il sera tenu compte de la r´edaction et de la pr´esentation.
Exercice 1
On note D le domaine ci contre, d´elimit´e par – l’axe (Ox),
– les droites d’´equations y = x et y = −x, – les paraboles d’´equations y = 6x − x2
et y = −6x − x2.
D 1. Montrer que l’aire du domaine D est A(D) = 91
3 .
2. D´eterminer les coordonn´ees du centre de gravit´e G de D.
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
Exercice 2 Pour tout n ∈ N, on note In=
Z n
0
e−x2dx. Le but de cet exercice est de d´eterminer
I = lim
n→+∞In (not´e I =
Z +∞
0
e−x2dx). Pour cela, on note, pour tout n ∈ N
Dn et montrer que lim n→+∞Jn= π 4. 2. Montrer que ZZ Cn e−x2−y2dxdy = In2. 3. Montrer (par un argument g´eom´etrique) que
Jn6 ZZ Cn e−x2−y2dxdy 6 J2n. 4. En d´eduire la valeur de I. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
Exercice 3 On appelle cyclo¨ıde la courbe d´ecrite par le point d’une roue de v´elo qui avance. Une param´etrisation d’une cyclo¨ıde correspondant `a un tour de roue de rayon a > 0 est
(Ca) :
x(t) = a(t − sin t)
y(t) = a(1 − cos t) , t ∈ [0, 2π]. 1. Calculer la longueur de la cyclo¨ıde Ca d´efinie ci-dessus.
2. On consid`ere le champs de force − →
F : R2 −→
R2 (x, y) 7−→ (x, −y) Calculer le travail de −→F sur Ca.
? ? ?
CORRECTION
Exercice 1 :
1. ON commence par d´eterminer les points d’intersection des paraboles avec les droites d’´equations y = ±x. On trouve P1 = (5, 5) et P2 = (−5, 5).
D’autre part, le domaine ´etant sym´etrique par rapport `a l’axe (Oy), on se contente de mesurer l’aire de la partie de droite, que l’on d´ecoupe en deux parties distinctes :
D1 = {(x, y) ∈ R2/ 0 6 x 6 5, 0 6 y 6 x} et D2 = {(x, y) ∈ R2/ 5 6 x 6 6, 0 6 y 6 6x−x2} Ainsi : A(D1) = ZZ D1 dS = Z 5 0 Z x 0 dy dx = Z 5 0 xdx = 25 2 . et A(D2) = ZZ D2 dS = Z 6 5 Z 6x−x2 0 dy ! dx = Z 6 5 6x − x2dx = 8 3 Ainsi,
A(D) = 2(A(D1) + A(D2)) =
91 3 .
2. Le domaine D ´etant sym´etrique par rapport `a l’axe (Oy), le centre de gravit´e de D est sur l’axe (Oy). Donc x = 0.
D’autre part y = ZZ D ydS ZZ D dS Or d’apr`es la question pr´ec´edente,
ZZ D dS = 91 3 et ZZ D ydS = Z −5 −6 Z −6x−x2 0 ydy ! dx + Z 0 −5 Z −x 0 ydy dx + Z 5 0 Z x 0 ydy dx + Z 6 5 Z 6x−x2 0 ydy ! dx = Z −5 −6 (−6x − x2)2 2 dx + Z 0 −5 x2 2 dx + Z 5 0 x2 2 dx + Z 6 5 (6x − x2)2 2 dx =23 5 + 125 6 + 125 6 + 23 5 = 763 15 Donc y = 763 15. 3 91 = 109 65 ≈ 1.68 et G = (0, 1.68).
Exercice 2 :
1. Dn est le quart de cercle de rayon n pr´esent dans le premier quadrant du plan. Pour
calculer Jn, on passe donc en coordonn´ees polaires (r, θ). Pour effectuer le calcul, on doit
– exprimer Dn en fonction des coordonn´ees polaires,
– d´eterminer la nouvelle fonction `a int´egrer, – d´eterminer le nouvel ´el´ement d’aire. Or – Dn = n (r, θ) ∈ R2 / 0 6 r 6 n, 0 6 θ 6 π 2 o . – Puisque x2+ y2 = r2, on a f (x, y) = e−x2−y2 = e−r2 = ˜f (r, θ).
– En coordonn´ees polaires, on a dS = rdrdθ (que l’on retrouve, le cas ´ech´eant, en calcu-lant le d´eterminant de la jacobienne).
Ainsi, Jn = ZZ Dn e−x2−y2dxdy = Z π2 0 Z n 0 e−r2rdr dθ = π 2 Z n 0 re−r2dr = π 2 −1 2e −r2 n 0 = π 4(1 − e −n2 )
En passant `a la limite n → +∞ dans la derni`ere formule, on obtient lim
+∞Jn= π 4. 2. D’apr`es la d´efinition de Cn, on a ZZ Cn e−x2−y2dxdy = Z n 0 Z n 0 e−x2−y2dx dy = Z n 0 Z n 0 e−x2.e−y2dx dy
Autrement dit, la fonction que l’on int`egre est `a variables s´epar´ees. Puisque les quatre bornes de l’int´egrale sont constantes, on peut s´eparer les int´egrales :
ZZ Cn e−x2−y2dxdy = Z n 0 e−x2dx Z n 0 e−y2dy = In2.
3. Les trois int´egrales Jn,
ZZ
Cn
e−x2−y2dxdy et J2n portent toutes trois sur la mˆeme fonction
f : (x, y) 7→ e−x2−y2.
Or f ´etant strictement positive, chaque int´egrale repr´esente la mesure d’un volume de l’espace. Enfin, le fait que les trois domaines d’int´egration v´erifient Dn ⊂ Cn ⊂ D2n
assure que ces trois volumes sont inclus les uns dans les autres. On obtient donc la chaˆıne d’in´egalit´es cherch´ee.
4. D’apr`es le th´eor`eme des gendarmes, puisque lim +∞Jn= lim+∞J2n = π 4, on a ZZ Cn e−x2−y2dxdy = In2 −→ π 4. D’o`u I2 = π 4 et I = Z +∞ 0 e−x2dx = √ π 2 . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? Exercice 3 : 1. Par d´efinition, L(Ca) = Z Ca p dx2+ dy2 = Z 2π 0 p x0(t)2+ y0(t)2dt. Or x(t) = at − a sin t ⇒ x0(t) = a − a cos t y(t) = a − a cos t ⇒ y0(t) = a sin t D’o`u L(Ca) = Z 2π 0 p (a − a cos t)2+ (a sin t)2dt = a√2 Z 2π 0 √ 1 − cos tdt
Il reste `a calculer cette int´egrale simple `a l’aide de la formule 1 − cos t = 2 sin2 t2 :
L(Ca) = 2a Z 2π 0 sin t 2dt = 2a −2 cos t 2 2π 0 = 8a. 2. Par d´efinition, on a WCa( − → F ) = Z Ca − → F .−→d` = Z Ca xdx − ydy = Z 2π 0 (x(t).x0(t) − y(t)y0(t))dt = 1 2x(t) 2−1 2y(t) 2 2π 0 = 1 2 x(2π) 2− y(2π)2 = 1 2(2aπ) 2 = 2a2π2. ? ? ?
