ARTheque - STEF - ENS Cachan | Une séance de travaux dirigés de Mathématiques en troisième année.

ÉCOLES NATIONALES D'INGÉNIEURS DES ARTS ET MÉTIERS

Une Séance de Travaux dirigés de Mathématiques

en Troisième Année

Le cours de mathématiques, dans les Ecoles nationales d'Inç/énieurs des Arts et Métiers, s'étend sur la première et la deuxième année d'enseignement, afin que les élèves disposent le plus tôt possible de l'outil mathématique qui leur est indispensable pour l'étude des autres disciplines scientifiques et techniques. Les travaux dirigés de mathématiques de troisième année donnent aux élèves

l'occasion de révisions.

fi est particulièrement fructueux que le professeur associe la révision mélho-(lique. d'une question de mathématiques à un problème posé par la technique. L'utilité de la théorie se trouve ainsi, une fois de plus, confirmée. Et la critique de la représentation symbolique des phénomènes, de la validité des résultats obtenus et de leur interprétation peut être faite à loisir et de façon approfondie. C'est un bon exemple de séance de travaux dirigés, conçue dans cet esj)rit, qui

PSt présenté dans les pages qui suivent.

L. COUFFIGNAL,

Inspecteur général de l'Instruction publique.

Les élèves avaient à réviser la leçon sur l'inté-gration des équation s différentielles du second o r d r e faite en p r e m i è r e année .

Le p r o b l è m e suivant leur est p r o p o s é : Une poutre A B verticale, de section droite uniforme, encastrée à son extrémité inférieure A, supporte une charge P verticale à son extrémité supérieure B. L'encastrement A est imparfait. On admet que le couple cl'encastrement qui tend à ramener la poutre à la verticale au voisinage de A a la valeur G = — ko proportionnelle à l'angle en A de la poutre avec la verticale. Montrer que le flambement peut se produire dès que la lon-gueur L de la poutre dépasse une longueur criti-que L0. Déterminer par une équation Lc, en

fonc-tion de P, du moment d'inertie I de la section droite par rapport à l'axe de flexion, du coeffi-cient d'élasticité E et de k. Tracer la courbe re-présentent Lc en fonction de k pour une charge P

donnée. Examiner le cas d'un encastrement par-fait ou d'une articulation parfaite en A.

Les élèves constatent d ' a b o r d que le p r o b l è m e peut effectivement se pose r sous cette f o r m e lors-qu'on a s c h é m a t i s é et simplifié un p r o b l è m e con-cret. Ils r e m a r q u e n t en outre que les f o r m u l a i r e s ne leur d o n n e n t pas la solution.

Us s o n t ensuite appelés à c a r a c t é r i s e r la dif-f é r e n c e dif-f o n d a m e n t a l e e n t r e un p r o b l è m e de dif-flexion et un p r o b l è m e de flambement. D a n s un pro-blème de flexion, une petite d é f o r m a t i o n est inévi-table. La r e c h e r c h e des c o n d i t i o n s de sécurité re-66

vient à r e c h e r c h e r d a n s quelles c o n d i t i o n s l'allon-gement u n i t a i r e d ' u n e fibre r e s t e r a i n f é r i e u r à celui qui est toléré p o u r le m a t é r i a u considéré. Dans un p r o b l è m e de f l a m b e m e n t, a u c u n e défor-mation, aussi petite soit-elle, n'est admise. Dès qu'une d é f o r m a t i o n s'amorce, il y a f l a m b e m e n t et l ' a m p l i t u d e de cette d é f o r m a t i o n est essentiel-lement i n d é t e r m i n é e . Dans le p r o b l è m e p r o p o s é , P étant d o n n é, il faut t r o u v e r Lc en f o n c t i o n de k

de telle m a n i è r e que si L est i n f é r i e u r à Lc, il n ' y

ait pas de flambement. La m é t h o d e de r e c h e r c h e procède du r a i s o n n e m e n t p a r l ' a b s u r d e . On sup-posera d o n c qu'il y a f l a m b e m e n t, et p l u s exac-tement f l a m b e m e n t « naissant ». Cette h y p o t h è s e conduit à c o n s i d é r e r que la d é f o r m a t i o n est lente, ce qui p e r m e t de négliger les a c c é l é r a t i o n s et de traiter u n p r o b l è m e de statique. On r e c h e r c h e r a , k étant d o n n é , la valeur m i n i m u m de L p o u r qu'il y ait e f f e c t i v e m e n t f l a m b e m e n t « n a i s s a n t », et, en v e r t u du p r i n c i p e de c o n t i n u i t é, on a d m e t t r a que cette valeur m i n i m u m de L p o u r qu'il y ait ilambement est égala à la valeur m a x i m u m de L pour qu'il n'y ait p a s f l a m b e m e n t. P u i s q u ' o n né-glige les accélérations, les vitesses s e r o n t elles aussi négligeables (on p a r t du r e p o s ). E c r i v o n s donc les é q u a t i o n s d ' é q u i l i b r e à un instant donné, c'est-à-dire p o u r une v a l e ur de cp donnée. Soit ;/1 le

déplacement h o r i z o n t a l de B. On a

RA = P et Py1 = A-cp

RA étant la r é a c t i o n en A; la s e c o n d e équatio n

ex-p r i m e (ex-pie le m o m e n t des f o r c e s ex-p a r r a ex-p ex-p o r t à O est nul. Le m o m e n t fléchissant J)L en u n p o i n t M (x, g) d e la d é f o r m é e est :

_ M = — A'cp + P y (2)

Quand la d é f o r m a t i o n existe, la p o u t r e tra-vaille à la flexion. On négligera les autres défor-mations. On r e m a r q u e r a qu'il n'est pas p a r a d o x a l d'affirmer que les p h é n o m è n e s de flexion et ceux du f l a m b e m e nt sont d i f f é r e n t s et de dire que, dès qu'il y a flambement, la p o u t r e travaille à la flexion. Les élèves savent que l'équatio n différen-tielle de la d é f o r m é e est :

J

_El

(Si on a d m e t que la p o u t r e était droite, ce qui était le cas, et que la d é f o r m a t i o n est suffisam-ment petite p o u r qu'o n puisse négliger g'2 _{•— ce}

qu'on a supposé). On a : g"

= _ o>- (;/ — i/

_n

)

En p o s a n t : . _ E l (3) En r e m a r q u a n t ([lie : g" = (g — î/o>" On a :

y = i/o + A sin u>x + B cos u>x

Les c o n d i t i o n s a u x limites d o n n e n t les cons-tantes d ' i n t é g r a t i o n : P o u r x = 0, on a : g = 0 et g' = tg cp P o u r x = L, on a : g =

î/i

On trouve successivement : B = _{g0 = —}

_{-|r (* = 0,}

_{g = 0)} A = — (x = 0, g' = cp) (4) Il f a u t r e m a r q u e r que, p o u r une position de la d é f o r m é e , la dérivée g' en A est une constante.

On a d o n c :

cp

g = -=— (1 — cos cox) + sin tox

I

w

On voit que g est u n i n f i n i m e n t petit du m ê m e o r d r e que cp tout le- long de la p o u t r e .

Il reste à é c r i r e que, p o u r x — L, g = gv Cette

c o n d i t i o n est vérifiée si l'une des deux relations suivantes est vérifiée :

cp = 0 t g wL = ~ (5)

Nous avons suppos é q u e cp n'était pas nul, c'est d o n c la relation (5) qui doit exister. Elle relie

P L et k p u i s q u e l'on a posé o>2 _{= ^}

T On peut

EI.

e c r i r e

tg o>L = -K

"(6)

Si k est donné, K est u n e constante .

D

Su) Lr Fie. 2.

1

/ A-o)

L = — a r c tg <0 L est u n e f o n c t i o n no n u n i f o r m e de k. Il con-vient de choisir la d é t e r m i n a t i o n qui d o n n e à L la valeur positive m i n i m u m , soit L„. La r e p r é s e n -tation g r a p h i q u e est alors i m m é d i a t e et on voit que, lorsque k v a r ie de 0 à l'infini, Lc v a r i e de 0

à —— (À- est n é c e s s a i r e m e n t positif, car — k<? I

<0

doit être un c o u p l e de r a p p e l ) .

Ainsi, à u n e v a l e ur positive de k, P étant d o n n é , il c o r r e s p o n d une valeur positive et u n e seule de L, soit Lc, définie p a r l'équation (6).

E n r é s i s t a n c e des m a t é r i a u x , il est d'usage d ' a d m e t t r e que la charge finale P croît progres-s i v e m e n t de O à P.

11 esl intuitif d'affirmer f|iic, si la longueur I, de la p o u t r e est supérieure à L„, le llambement se p r o d u i r a , ou p o u r r a se p r o d u i r e , u fortiori. Il revient au même de dire que cette nouvelle va-leur 1, c o r r e s p o n d à une longueur critique rela-tive à une charge Px inférieur e à P. Comme la charge est appliquée progressivement de 0 à P, elle p a s s e ra p a r la valeur Pr

Montrons que le calcul confirme cette propo-sition..

Différencions les deux membres de ((>L K étant une constante :

1

cos2 _(oL (<or/L + Lf/oi) = • —-<IM co-Soit

dL

(loi

— 1 (0 \ co-/ K — - cos2 coL + L

Comme K et L sont nécessairement positifs, le second membr e est négatif. Si L augmente, io et P diminuent. Au contraire, si L diminue, P augmente. Il en résulte que, P étant donné,' si Lc est la longueur critique qui lui correspond , le flambement « n a i s s a n t » ne peut pas avoir lieu quan d la poutr e a une longueur i n f é r i e u r e à

Lc. La charge critique associée à cette longueur

serait, en effet, supérieur e à P et p a r hypothèse la charge v a r i e progressivement de 0 à P.

Cas limites : Revenons au cas où P est d o n n é

et À-,variable.

Si k tend vers zéro, Lc tend vers zéro et

l'en-castrement i m p a r f a i t devient une articulation; comme l'extrémité B n'est pas guidée, le pro-blème est différent du p r o b l è m e classique d'Euler (articulation en A et p a r t i e guidée en B) qui conduit à la formule :

TC2_{E I} L 2

_{< p}

-Nous avons d'ailleurs supposé que la position d'équilibre est stable et, quand k tend vers zéro, cette hypothèse n'est justifiée (pie si L tend vers zéro.

Si k t e n d vers l'infini (encastrement p a r f a i t ), 9 est identiquement nul et Lc tend vers ——

2 u.

On doit avoir :

T C2_{E I}

ce qui est c o n f o r m e à la théorie d'Euler. Il convient c e p e n d a n t de r e m a r q u e r que l'on a supposé que <? n'était pas identiquement nul. Il y a donc lieu de r e p r e n d r e la mise en équation du p r o b l è m e en supposant l'encastrement parlait. Appelons m le moment d'encastrement , les équa-tions d'équilibre (1) deviennent :

liA = P et Py i + m = 0

La f o r m e i n d é t e r m i n é e kf (cr . 0) a pour vraie valeur m. L e m o m e n t fléchissant est 'tl = m + P y. On trouve ensuite facilement que la constante d'intégration A est nulle et que l'on doit avoir cos wl. = (I, ce qui d o n ne bien Ec = (L, esl

L - ' <

4P

la plus petite des valeurs positives qui vérifie l'équation cos oj L = 0).

Des r e m a r q u e s d ' o r d r e général t e r m i n e n t la leçon. Les élèves sont amenes à f a i r e un certain n o m b r e d'observations relatives à ta validité des calculs et a ia n a t u r e des a p p r o x i m a t i o n s qui uni ete introduites. Notamment, comme 1 o r d r e ue g r a n d e u r des diverses a p p r o x i m a t i o n s est mîhciie a uvaluer, te résultat oDienu doit être considéré comme une

indication,

et il est nécessaire de lui alfecter un coetiicient de sécurité qui couvre lar-gement la marge u i n d é t e r m i n a t i o n due a ces ap-p r o x i m a t i o n s . H est d usage ue u o n n e r a L une valeur i n f é r i e u r e à 0,4 Lc.

On peut alors se d e m a n d er s'il est bien utile de taire un tel calcul p o u r i n t r o d u i r e ensuite un tel coetiicient de sécurité. Sans hésitation u uiui r é p o n d r e p a r l'affirmative. H est d ' a b o r d éviuent que î analyse mathématiqu e uu p r o b l è m e nous oblige à pousser le plus loin possible l'analyse un p h é n o m è n e , ce qui est déjà xructueux. En outre, une indication sur l ' o r d r e de g r a n d e u r de L vaut beaucou p mieux qu'aucun e indication. P o u r se c o n v a i n c r e de l'intérêt d'un calcul qui donne une indication à 50 % près, il suffit de r e m a r q u e r qu'il existe encore de n o m b r e u x organes de ma-chines qui ne travaillent peut-être pas au dixième de l'effort qu'on p e u t leur d e m a n d e r , p a r c e qu'ils ont été construits empiriquement.

R. BOSSUT,

Professeur à l'Ecole nationale d'ingénieurs des Arts et Métiers de Lille.