Contributions à l'étude du vertex topologique en théorie des cordes
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Texte intégral
(2) Table des matières 1 Introduction Générale. 11. 2 Variétés de CY et Géométrie Torique. 23. 2.1. 2.2. 2.3. Généralités sur les variétés de CY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 23. 2.1.1. Variétés complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 24. 2.1.2. Variétés de Calabi-Yau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 26. 2.1.3. Exemples des variétés de Calabi-Yau . . . . . . . . . . . . . . . . .. 27. Conifold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 30. 2.2.1. Conifold singulier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 30. 2.2.2. Conifold déformé et conifold résolu . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 31. 2.2.3. Transitions géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 33. Variétés de CY toriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 34. 2.3.1. Variétés toriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 35. 2.3.2. Variétés de Calabi-Yau toriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 36. 2.3.3. Sous-variétés spéciales lagrangiennes (SSL) . . . . . . . . . . . . . .. 37. 2.3.4. Diagrammes toriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 39. 3 Cordes et Invariants Topologiques 3.1. 3.2. 47. Théorie des cordes topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 47. 3.1.1. Modèle sigma non linéaire N = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 48. 3.1.2. Modèles A et B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 52. 3.1.3. Modèle sigma linéaire jaugé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 57. 3.1.4. Branes topologiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 58. Dualité corde ouverte / corde fermée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 59. 3.2.1. Dualité jauge/ gravité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 60. 3.2.2. Dualité de Gopakumar-Vafa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 60. 1.
(3) TABLE DES MATIÈRES. 3.3. 3.4. Invariants topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 62. 3.3.1. Invariants de Gromov-Witten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 63. 3.3.2. Invariants de Gopakumar-Vafa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 64. 3.3.3. Boucle de Wilson, invariants de noeuds et d’entrelacs . . . . . . . .. 66. Modèle B et espace twistoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 70. 3.4.1. Espace Twistoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 70. 3.4.2. Contribution : Pure fermionic twistor like model . . . . . . . . . . .. 72. 3.4.3. Contribution : Théorie des cordes twistorielles . . . . . . . . . . . .. 72. 4 Modèle Cristallin du Vertex C3 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 4.6. 105. Variétés de CY toriques et cristal fondu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 4.1.1. Variété de Calabi-Yau quantique. 4.1.2. Cristal de CY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107. 4.1.3. Matrice de transfert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108. Fonction de partition perpendiculaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 4.2.1. Formule Pλ,µ,ν (q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112. 4.2.2. Calcul de la fonction de partition perpendiculaire . . . . . . . . . . 113. La fonction perpendiculaire raffinée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 4.3.1. Fonction de partition avec un nombre infini de paramètres . . . . . 116. 4.3.2. Pλµν (q, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118. Modèle du cristal fondu et conifold résolu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 4.4.1. Modèle cristallin avec un seul mur. 4.4.2. Modèle cubique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121. Invariants topologiques dans le modèle cristallin . . . . . . . . . . . . . . . 123 4.5.1. Invariant unknot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124. 4.5.2. Invariant Entrelacs de Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125. Contribution : Generalized MacMahon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126. 5 Vertex Topologique Usuel 5.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106. 157. Vertex topologique I : formalisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 5.1.1. Vertex et amplitude de la corde ouverte . . . . . . . . . . . . . . . . 158. 5.1.2. Symétrie de vertex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159. 5.1.3. Collage des vertex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160. 5.1.4. Règles de collage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 2.
(4) TABLE DES MATIÈRES. 5.2. 5.3. 5.4. Vertex topologique II : Calcul des amplitudes . . . . . . . . . . . . . . . . 163 5.2.1. L’espace complexe C3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163. 5.2.2. Variété locale P2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163. 5.2.3. Les branes non-compactes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164. 5.2.4. La ”casquette” et le ”pantalon” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167. Vertex Topologique et Théorie de Chern-Simons . . . . . . . . . . . . . . . 171 5.3.1. Ingrédients de Chern-Simons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171. 5.3.2. Expression de l’amplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172. Contributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 5.4.1. Topological String on Toric CY3s in Large Complex Structure Limit 174. 5.4.2. Non Planar Topological 3-Vertex Formalism . . . . . . . . . . . . . 175. 6 Vertex Topologique Raffiné 6.1. Formalisme du vertex raffiné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 6.1.1. 6.2. 210. Vertex raffiné et fonction de partition de la corde ouverte . . . . . . 212. Fonctions de partitions raffinées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 6.2.1. O(−1) ⊕ O(−1) 7→ P1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214. 6.2.2. O(0) ⊕ O(−2) → P1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215. 6.2.3. Variété P1 × P1 locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217. 6.3. Vertex topologique sous la transition de flop . . . . . . . . . . . . . . . . . 218. 6.4. Vertex raffiné et homologie des entrelacs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220. 6.5. 6.4.1. Unknot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223. 6.4.2. Entrelac de Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224. Contribution : Refining the Shifted 3-Vertex . . . . . . . . . . . . . . . . . 225. 7 Conclusion et Perspectives. 238. 8 Annexe : Fonctions de Schur et MacMahon. 243. 8.1. Diagrammes et tableaux de Young. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243. 8.1.1. Définitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244. 8.1.2. Diagrammes de Young et groupes de symétrie . . . . . . . . . . . . 249. 8.1.3. Notation de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250. 8.1.4. Diagramme de Maya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251. 8.1.5. Partitions planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252. 8.1.6. Partitions strictes et diagramme de Young shifté . . . . . . . . . . . 253 3.
(5) TABLE DES MATIÈRES. 8.2. 8.3. Fonctions de Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 8.2.1. Propriétés de la fonction de Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258. 8.2.2. Opétareurs vertex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259. Fonction de MacMahon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 8.3.1. Conjecture de MacMahon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264. 8.3.2. Fonctions génératrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265. 4.
(6) Je dédie cette thèse à. A mes très chers parents qui m’ont accompagnée tout au long de ce parcours périlleux ; qui ont toujours été là dans mes moments de détresse, qui se sont toujours dévoués et sacrifiés pour moi. Merci pour leur amour inconditionnel et pour avoir toujours cru en moi. Je ne trouverai jamais les mots suffisants pour dire merci. Mes réussites sont aussi les leurs. Enfin ! Merci tout simplement d’être… mes parents.. A mes très chères sœurs Mounia et Safae qui m’ont toujours aidée, écoutée, soutenue et encouragée tout au long de mon parcours ; qui ont toujours été présentes pour moi..
(7) Avant Propos Ce travail à été effectué au Laboratoire/ UFR de Physique des Hautes Energies à la Faculté des Sciences de Rabat et sous la direction de Mr le professeur El Hassan Saidi. Ce travail n’aurait pu être réalisé sans l’accord, le soutien et l’aide de plusieurs personnes. Mes plus sincères remerciements vont à mon directeur de thèse, Mr El Hassan Saidi, professeur à la Faculté des sciences de Rabat. Je le remercie de m’avoir accueillie et intégrée dans l’équipe de recherche au sein du Laboratoire/ UFR Physique des Hautes Energies et de m’avoir très vite encouragée à participer à des échanges scientifiques qui m’ont été bénéfiques. Ses conseils, sa disponibilité et ses connaissances ont largement contribué à la réussite de cette thèse. Je le remercie pour sa rigueur et son souci de clarté qui m’ont aidé à aller plus loin. J’ai particulièrement apprécié l’intérêt qu’il a porté à mes travaux et la réelle collaboration qu’il entretient avec l’équipe de recherche du Laboratoire/ UFR Physique des Hautes Energies. Ces encouragements constants m’ont donné suffisamment de confiance en moi pour mener cette thèse à bout. Soyez assuré, Monsieur, de toute mon estime et de mon profond respect. J’adresse mes vifs remerciements à Monsieur M. Daoud Professeur à la Faculté des Sciences, Agadir qui m’a fait l’honneur d’accepter la présidence du jury. Veuillez agréer, Monsieur, l’assurance de mon profond respect. Je tiens à exprimer ma très vive reconnaissance envers Madame T. Lhallabi Professeur à la Faculté des Sciences, Rabat. De me faire l’honneur de participer au jury de cette thèse et pour l’intérêt qu’elle a porté à ce travail. Sa grandeur scientifique et sa gentillesse ont été 6.
(8) Avant Propos. pour moi de véritables atouts. Veuillez recevoir, Madame, l’expression de mes respectueux sentiments. Un grand merci à M. Ait Ben Haddou Professeur à la Faculté des Sciences, Meknès, qui a investi beaucoup de temps dans une lecture minutieuse de la thèse, ses remarques ont permis de corriger des erreurs et d’apporter des précisions en vue d’améliorer la qualité de ce document. Veuillez recevoir, Professeur, l’assurance de ma considération distinguée. J’adresse mes remerciements à Monsieur E. H. El Kinani Professeur à la Faculté des Sciences et Techniques, Errachidia, qui a bien voulu faire partie du jury et d’apporter leurs vives contributions à l’enrichissement de ce travail. Veuillez agréer, Monsieur, l’assurance de mon profond respect. Je tiens également à adresser mes remerciements à Monsieur A. Jellal Professeur à la Faculté des Sciences El Jadida, pour l’honneur et le privilège qu’il me fait de juger ce modeste travail. Veuillez recevoir, Monsieur, l’expression de mes respectueux sentiments. Je tiens également à remercier Monsieur J. Zerouaoui Professeur à la Faculté des Sciences, Kenitra. Pour l’intérêt qu’il a porté à ce travail et dont les remarques et les suggestions m’ont permis d’améliorer le présent manuscrit. Veuillez agréer, Monsieur, l’expression de mon respect et de ma profonde gratitude. J’adresse mes remerciements aussi à Monsieur A. Belhaj Docteur Chercheur, CNESTEN à Rabat, pour avoir accepté de faire partie de mon jury de thèse et d’avoir relu et commenté des chapitres de ma thèse de manière si approfondie. Merci aussi pour ses conseils scientifiques, et son regard critique. Veuillez trouver ici l’expression de ma respectueuse considération. Je voudrais adresser un remerciement particulier à tous le corps professoral du DESA, pour leur soutien et pour leur patience. A Prof M. Ait Ben Haddou, Dr A. Belhaj, Dr L.B Drissi, Prof A. El Kenz, Dr M. Kessabi, Prof T. Lhallabi, Dr A. Moujib, Prof E.H. Saidi, Prof M.B. Sedra, Prof J.Zerouaoui. Ils ont contribué à nous transmettre leur savoir pour assurer notre formation... 7.
(9) Lab/UFR PHE. Une thèse représente un parcours long et difficile, mais dans mon cas il fut agrémenté par une atmosphère détendue. A Lalla Btissam Drissi, je tiens à te témoigner toute ma reconnaissance pour la qualité de sa collaboration. C’est à cette occasion que je te remercier pour tout ce que tu as fait pour moi pendant mon DESA, puis ma thèse. Je tiens enfin à te remercier pour ton implication dans ce travail de thèse, pour ton aide, ta disponibilité, tes nombreux conseils et ton soutien sans faille. Sois assuré, Btissam, de ma profonde gratitude et de toute mon amitié. A Asmaâ Moujib, Je t’exprime ma reconnaissance pour le temps passé à corriger des erreurs et d’apporter des précisions en vue d’améliorer la qualité de ce document. Je te remercie également pour tes nombreux conseils amicaux et pour tous ces bons moments passés. Sois assuré, Asmaâ, de toute mon amitié.. Si j’en suis arrivée là aujourd’hui, c’est sans doute parce que j’ai rencontré sur mon chemin des personnes qui m’ont apporté beaucoup. Je remercie l’ensemble de l’équipe de recherche du Laboratoire/ UFR Physique des Hautes Energies pour les nombreuses et toujours fructueuses discussions. Travailler avec eux a été un réel plaisir. Plus particulièrement à Rachid Ahl Laamara, Adil Belhaj, Abdelouahed Jraifi, Aziz Rhalami, Hanane Sebatta, A. Soumili. Abdou qui ont également contribué à cette thèse par des réflexions, des précisions et des appuis technique. Je ne peux pas oublier tous mes amies qui m’ont accompagnée tout au long de ce parcours et qui n’ont pas cessé de me soutenir moralement et de m’encourager, et plus particulièrement à Fatimazahra Elhassani, Nabila Mamouni, Souad Nekhlaoui. Je tiens aussi à remercier l’ensemble de l’équipe de recherche du Laboratoire de Magnétisme et Physique des Hautes Energies.. Ne pouvant malheureusement pas citer toutes les personnes que j’ai rencontré durant mon parcours et qui ont contribué d’une façon ou d’une autre, de près ou de loin, à l’aboutissement de cette thèse, je leur dis à toutes merci d’avoir été là à cette instant précis où je 8.
(10) Avant Propos. les ai rencontrées et où ils m’ont apportée cette aide qui a surement contribuée à aller au bout de cette thèse. Je tiens à remercier -. Le programme de la bourse d’excellence, CNRST. Grâce à cet appui stimulant,. j’ai été capable de me concentrer davantage sur mes études. -. Le programme Protars III D12/25 CNRST.. -. Le groupement national de Physique des Hautes Energies GNPHE.. -. Le centre international de Physique Théorique, ICTP.. Je ne pourrais trouver un épanouissement complet dans le travail si ma vie privée n’était pas elle-même épanouie. Je tiens donc à remercier mes chers parents qui rendent tout simplement ma vie belle au quotidien, pour leurs encouragements inestimables, pour leurs patiences, leurs présences a mes côtes, leurs contributions à l’élaboration de ce manuscrit. Ma chère Safae, merci d’être toujours là, même quand le temps est plus maussade. Un grand merci à Mounia et son mari Jamal, à mon frère Rachid. Et Enfin Merci Marwa et Imane de me faire sourire chaque jour. Je suis seul à signer cette thèse et pourtant de nombreuses personnes ont contribué par leur aide, leur soutien et leurs conseils à la faire exister. Je tiens à remercier très sincèrement tous ceux qui ont participé de près ou de loin à ce travail. Je terminerai en disant que “Scientific thought is the common heritage of mankind” Abdus Salam. 9.
(11) Lab/UFR PHE. 10.
(12) Chapitre 1 Introduction Générale L’une des grandes quêtes de la physique des hautes énergies est l’unification des quatre forces fondamentales (électromagnétique, faible, forte et gravitationnelle) en une seule théorie. A l’heure actuelle, seule la théorie des supercordes propose un cadre assez large pour unifier de manière cohérente ces quatre interactions de la nature [1]-[10]. La théorie des supercordes, depuis son apparition dans le monde de la physique, ne cesse de surprendre par des applications dans des domaines très variés des sciences fondamentales ; en particulier en physique des particules élémentaires, la physique mathématique, la physique statistique des phénomènes critiques [11, 12, 13], les théories des champs conformes à deux dimensions [14, 15], la physique des branes, la physique des trous noirs [16, 17] et la théorie des noeuds [18, 19]. Avant de passer à la présentation du contenu de ce mémoire de thèse, qui traite certains aspects des modèles des supercordes tout en s’appuyant sur la théorie des cordes topologiques et en faisant usage de la méthode du 3-vertex topologique et son lien avec des modèles critiques de la physique statistique, il est utile de commencer par rappeler brièvement des résultats fondamentaux en théorie de supercorde permettant à la fois d’introduire rapidement certains concepts facilitant la lecture de ce travail de recherche et situant le cadre générale de cette étude. Théorie des supercordes Généralement, on distingue differents types de cordes dont certaines sont physiques et d’autres non physiques comme c’est le cas de la corde bosonique X µ (τ , σ) vivant dans un espace temps à 26 dimensions (µ = 0, .., 25) [20]-[30] et la corde topologique sur des variétés de Calabi-Yau 3-folds que nous aurons l’occasion d’analyser avec détails dans ce travail de thèse. Dans toutes ces théories, les cordes lors de leurs mouvements dans l’espace temps décrivent une surface d’univers à deux dimensions (dont la version euclidienne cor11.
(13) Contributions à l’Etude du Vertex Topologique en Théorie des Cordes. respond à une surface de Riemann) paramétrisée par des coordonnées locales ξ α = (τ , σ). La dynamique d’une corde libre bosonique représentée par les champs X µ (ξ) est donnée par l’action SN G de Nambu-Goto [2, 7]. Cette dernière est décrite de façon plus appropriée par l’action de Polyakov SP olyakov faisant usage de champs auxiliaires portés par le champ gravitationelle hαβ (ξ) à 2D [20, 21]. Les cordes bosoniques (ouvertes avec 0 ≤ σ ≤ π et fermées avec 0 ≤ σ ≤ 2π ) présentent des modes de vibration αµn qui donnent naissance à des particules similaires à celles qui transportent les interactions de jauge Aµ (x) ou de gravitation Gµν (x). Les cordes X µ (ξ) peuvent être alors ouvertes avec des extrémités X µ (ξ) |σ=0,π libres ou fermées lorsque les deux extrémités se bouclent l’une sur l’autre ; c.à.d X µ (τ , σ = 0) = X µ (τ , σ = 2π). Dans le cas des cordes ouvertes, il est nécessaire de specifier la nature des conditions à leurs extrémités. On distingue essentiellement deux types de conditions aux bords ; il s’agit : (i) condition de Dirichlet : X µ (τ , σ)|éxtrémités = constante, et (ii) condition de Neumann, ∂σ X µ (τ , σ)|éxtrémités = 0.. (1.1). La quantification de la corde bosonique libre fait apparaître un état tachyonique (de masse carrée négative m2 < 0). Ce problème est surmonté si des fermions ψ µ± (τ , σ), convenablement associés aux bosons par supersymétrie sont introduits sur la surface d’univers de la corde conduisant ainsi à la théorie des supercordes de dimension critique réduite à D = 10. Selon le nombre de charges supersymétriques, on distingue cinq théories de supercordes comme il est mentionné dans le tableau suivant [1]-[22] : hétérotique. hétérotique. SO (32). E8 × E8. supercorde. type IIA. type IIB. type I. nature. fermée. fermée. fermée. fermée. # de supersymétries. 32. 32. 16. 16. 16. symétrie de jauge. −. −. SO (32). E8 × E8. SO (32). fermée ouverte. Finalement, à cause de l’absence de divergences ultraviolettes et de l’existence d’une particule de spin 2 et de masse nulle (graviton Gµν ) dans leurs spectres perturbatifs, les théories des supercordes sont actuellement les seules candidats pour une théorie quantique de gravitation. Ces théories, qui existent seulement à 10-dimensions, mais pouvant être aussi 12.
(14) Introduction Générale. réduites vers des dimensions inférieures par compactification, sont étroitement reliées les unes aux autres par des relations de dualité [2]. Il existe essentiellement trois types de relations de dualité : – dualité S qui relie le régime de couplage faible d’une première théorie est au régime de couplage fort d’une seconde théorie. Cette symétrie S inverse la constante de couplage S : g ←→ 1/g, – dualité T : Deux théories de supercordes compactifiées sur un cercles de rayon R sont dites T- duales si elles sont invariantes sous la transformation R ←→ 1/R. La dualité T agit par inversion du rayon de compactification R. – dualité U : échange les dualités S et T, soit U : g ←→ 1/R. Les théories de supercordes type IIA et type IIB compactifiées sur un cercle sont T duales. C’est le cas aussi des supercordes hétérotiques E8 × E8 et SO(32) à 9 dimensions. La supercorde hétérotique SO(32) et la supercorde de type I sont S duales : la limite de couplage faible de la théorie effective de l’une correspond à la limite de couplage fort de l’autre. La limite de couplage fort de la corde de type IIB s’identifie à elle-même.. Fig. 1.1 – Quelques dualités entre les cinq types de théories des supercordes à 10D et 9D. Dans le régime perturbatif des théories de supercordes de type IIA et type IIB, il existe dans le spectre des états de masse nulle des (p + 1)-formes Cp+1 = Cµ0 ..µp dxµ0 ∧ .. ∧ dxµp qui généralisent le champ de Maxwell et qui admettent une interprétation remarquable. 13.
(15) Contributions à l’Etude du Vertex Topologique en Théorie des Cordes. Les champs Cµ0 ..µp sont antisymétriques en les (p + 1) indices et sont associés à des états non perturbatifs en occurence les branes Dp auxquelles nous nous référons par Dp- branes. Ces objets solitoniques ont aussi la propriété d’être des états BPS de la théorie, c’est à dire qu’elles préservent la moitié des charges supersymétriques de la théorie des supercordes [130]. Pour se faire une idée plus précise sur ces objets, nous donnons dans ce qui suit certaines de leurs propriétés caractéristiques. D-branes Une D-brane, ou plus exactement, une Dp-brane avec p entier positif prenant des valeurs entre zero et 7 est un objet étendu apparaissant dans le spectre non perturbatif de la théorie des supercordes type II. Le nombre p est le nombre de dimensions spatiales dans lesquelles la brane a des extensions. Il faut rajouter à ce nombre une dimension temporelle pour obtenir le nombre total de (p + 1) dimensions. Une des propriétés remarquables des D-branes est qu’elles sont intimement liées aux supercordes ouvertes. Une D-brane est une brane sur laquelle sont fixées les extrémités des supercordes ouvertes qui sont à l’origine de la matière qu’elle contient et et offre ainsi un lien avec le modèle standard de la physique des particules. Signalons au passage que le suffix "D" dans la terminologie D-brane réfère à la condition de Dirichlet (1.1). Il est également possible que les deux extrémités d’une supercorde ouverte soient fixées dans deux D-branes distinctes n’ayant pas forcément le même nombre de dimensions. Lorsqu’on veut préciser le nombre de dimensions dans lequel la D-brane a des extensions, on parle alors de Dp-brane qui engendre un volume d’univers de dimension p + 1. Notons aussi que les D- branes dans la théorie des de supercorde IIA sont : D0, D2, D4, D6. Celles de la supercorde IIB sont : D1, D3, D5 et D7. Il existe d’autres types de branes ; en particulier celles admettant des dimensions compactes enroulant des cycles de variétés de compactifications. Avec ces outils en main, nous sommes maintenant en position d’aborder la théorie des cordes topologiques constituant un des objectifs principaux de memoire de thèse. Théorie des cordes topologiques A partir de la théorie des supercordes sur une variété Calabi-Yau non compacte et avec des D-branes qui enroulent certaines p-cycles des variétés, les propriétés de la théorie de jauge sont alors exprimées dans la structure géométrique de la variété Calabi-Yau. A priori, on peut calculer plusieurs quantités physiques à basses énergies dans le cadre de cette théorie ; en particulier le superpotentiel effectif qui décrit la structure des vides de la théorie de jauge. Il se trouve que ces calculs ont des interprétations remarquables dans le cadre de la théorie des cordes topologiques que nous décrivons rapidement dans ce qui suit. 14.
(16) Introduction Générale. La théorie des cordes topologiques à été introduite par Witten dans [34]- [37] comme un modèle simplifié de la théorie des supercordes qui contient des informations topologiques de l’espace cible. Elle est considérée comme un sous secteur de la théorie des supercordes muni de plusieurs applications physiques et mathématiques. Les amplitudes de la théorie des cordes topologiques sont profondément liées aux amplitudes de la théorie des supercordes de type II. La description d’espace-temps des cordes topologiques en termes de théorie des champs se réduit essentiellement à des théories de jauge. On peut obtenir une théorie des cordes topologiques à partir d’un modèle sigma non linéaire supersymétrique N = 2 à deux dimensions par le biais de twist topologique. Ce dernier peut être effectué de deux manières différentes [34]- [36] et conduit à deux modèles différents à savoir le modèle topologique A et le modèle topologique B (en anglais topological A-model et topological B- model) [37]-[39]. La richesse des domaines liés aux théories de cordes topologiques constitue un objet d’étude passionnant. L’étude de la théorie des cordes topologiques a connu un grand intérêt après la découverte de la conjecture de Maldacena qui relie la théorie des supercordes type IIB vivant sur l’espace AdS5 × S 5 (AdS = Anti de Sitter ) à la théorie de jauge supersymétrique conforme N = 4 à 4 dimensions d’espace temps [40]. On parle aussi de dualité AdS/CFT [41] qui ouvre des issues pour l’examen d’autres conjectures au niveau des supercordes. Face aux difficultés majeures liées au tests de ces conjectures, un certain nombre de travaux se sont consacrés à l’étude des équivalences entre des théories de jauge topologiques et des modèles de théorie des cordes topologiques [42]-[44]. Ces modèles sont plus simples que les théories de supercordes usuelles [8]-[9] constituant ainsi un laboratoire pour tester ces conjectures de dualités. L’étude des cordes topologiques a également permis de mieux comprendre le calcul microscopique de l’entropie des trous noirs en théorie des supercordes [45]-[50]. Le succès majeur de l’étude de la théorie des cordes topologiques a été largement dû à la conjecture de Ooguri, Strominger, et Vafa [46] qui relie la fonction de partition du trou noir ZT R et celle de la théorie des cordes topologiques Ztop comme suit [46, 47] ZT R = |Ztop |2 . L’étude des amplitudes Ztop des théories de cordes topologiques a connu des avancées majeures ces dix dernières années [51, 52, 53, 54]. Dans le cas de la théorie de corde topologique type A, les amplitudes Ztop sont utilisées pour calculer les prepotentiels des théories de jauge supersymétriques N = 2 à quatre et à cinq dimensions. Tandis que les 15.
(17) Contributions à l’Etude du Vertex Topologique en Théorie des Cordes. amplitudes de la théorie des cordes topologiques du modèle B, avec des flux et/ou branes, sont utilisées pour calculer les superpotentiels des théories de jauge supersymétriques N = 1 à quatre dimensions. Il se trouve qu’il y a un accord entre la fonction de partition du modèle-A associé à la variété de Calabi-Yau torique et la fonction de partition de la théorie de jauge de Nekrasov N = 2 SU (N ) [55]-[57]. (A). L’approche standard du calcul des amplitudes Ztop de la théorie des cordes topologiques de type A qui donne accès au calcul des invariants Ng,nA de Gromov-Witten (voir eq(1.3)) est définie sur une variété de Calabi-Yau 3-folds comme suit (A) Ztop. =e. Ftop. = exp. ∞ X. ~2g−2 Fg (ti ) ,. (1.2). g=0. où ~ est le couplage de la corde, ti sont les paramètres de Kahler et Fg est la fonction de partition de la théorie des cordes topologiques de surface d’univers de genre g. Notons au passage que l’énergie libre Ftop de la corde topologique est exprimée en terme des invariants de Gromov-Witten comme Ftop =. X. X. 2g−2 −n.t Ng,nA gtop e .. (1.3). g≥0 nA ≥0∈H2. L’utilisation de ces fonctions de partition qui contiennent toutes les informations sur la physique du système, nous a permis de compter les états BPS de la théorie de supercorde type IIA sur la variété de Calabi-Yau 3-folds torique en présence de graviphoton self dual F12 = F34 = ~. Bien que cette procédure soit très bien connue, la complexité du calcul augmente, ce qui nous a permis d’introduire plusieurs dualités remarquables qui peuvent aider à résoudre ce problème. Au cours de la dernière décennie, Vafa et ses collaborateurs ont élaboré une technique puissante pour le calcul des amplitudes de la théorie des cordes topologiques. En utilisant les variétés de Calabi-Yau toriques [58, 59], ils ont exprimé les fonctions de partition en termes des invariants topologiques. De cette manière, ils ont pu déterminer les invariants de Gromov-Witten, Gopakumar-Vafa et Donaldson-Thomas de la variété de Calabi-Yau torique. Dans ce cadre, la fonction de partition du modèle de corde topologique A sur le conifold résolu n’est autre que la fonction de partition de la théorie de Chern-Simons sur S 3 [60]. C’est une conséquence de la transition géométrique entre le conifold résolu et celui déformé [62]. Les amplitudes des théories des cordes topologiques, en particulier celle du modèle A, fournissent ainsi une nouvelle technique pour approcher les calculs complexes en théorie des supercordes. C’est dans cette optique que s’inscrit en 16.
(18) Introduction Générale. partie le travail de ce mémoire de thèse qui consiste à étudier certains aspects de la théorie des cordes topologiques sur des variétés de Calabi-Yau toriques à trois dimensions avec un accent particulier sur la dualité entre la théorie des cordes topologiques, le vertex topologique et le modèle statistique du cristal fondu. Rappelons au passage que le calcul de la fonction de partition Ztop du modèle A peut être fait de deux façons ; soit par le biais du vertex topologique CR1 R2 R3 [63, 64, 65] ou par usage du formalisme de la matrice de transfert T qui sera développée dans une de nos contributions. Le lien entre ces deux méthodes est à l’origine d’une dualité entre le modèle de la physique statistique et la théorie des cordes topologiques [66, 69, 70]. Pour se faire une idée sur ces méthodes, nous rappelons brièvement dans ce qui suit les grandes lignes de ces méthodes. Du cristal fondu à la corde topologique Dans une récente et belle contribution de A.Okounkov, N.Reshetikhin, et C.Vafa [91], il a été montré qu’il existe un lien remarquable entre l’étude de la physique de la fusion des cristaux et la théorie des cordes topologiques. Dans le premier lieu, le calcul de fonction de partition Zcristal repose sur le comptage des différentes configurations {n} du système canonique, Zcristal =. X. e−. En T. (1.4). n. où En est l’énergie de la configuration n. A.Okounkov, N.Reshetikhin et C.Vafa ont montré que les différentes amplitudes du modèle topologique type A sur l’espace complexe C3 pourront être exprimées en termes de la fonction Zcristal du cristal fondu. La relation avec le cristal repose sur le fait que la fusion se manifeste par des départs progressifs d’atomes du cristal.. Fig. 1.2 – Cristal fondu et la partition plane 3d. 17.
(19) Contributions à l’Etude du Vertex Topologique en Théorie des Cordes. Une configuration du cristal fondu est décrite par une partition π, représentée par un diagramme de Young à 3 dimensions généralisant le diagramme de Young usuel. Chaque partition contribue par un facteur q=e. −µ T. où µ est le potentiel chimique. La fonction de partition génératrice Zcristal de la fusion cristal est alors Zcristal =. X. q |π| .. (1.5). π. Cette fonction, qui dépend de la température et du potentiel chimique, est aussi celle de la corde topologique du modèle A conduisant ainsi à l’identification suivante Zcristal (q) = Ztop (q) ,. (1.6). où la constante de couplage de la corde gs est maintenant interprétée en terme de température. 1 . T Notons que le paramètre q qui satisfait la condition 0 < q < 1 joue le rôle du potentiel chiP |π| mique ; soit l’énergie de l’arrachement d’un atome du cristal. La fonction q représente gs =. la somme de toutes les partitions planaires π. Une telle fonction est bien connue dans la littérature et est égale à la fonction de MacMahon à trois dimensions Z3D = M (q) =. ∞ Y. (1 − q n )−n .. (1.7). n=1. L’un des résultats principaux de la dualité cristal/corde (1.6) est l’emergence du vertex topologique CR1 R2 R3 comme objet fondamental à l’instar des vertex de la théorie quantique des champs. Les trois pattes externes suivant les directions x, y et z de ce vertex sont interprétées en termes de représentations R1 , R2 , R3 du groupe SU (N ) ; soit aussi en termes des diagrammes de Young à 2 dimensions. L’expression explicite du vertex topologique CR1 R2 R3 peut être obtenu en utilisant le formalisme de la matrice de transfert [91] CR1 R2 R3 = M (q)−1. X. q |π| .. (1.8). π→{R1 R2 R3 }. Dans le cas le plus simple du vertex topologique C∅∅∅ , qui est aussi la fonction de partition de C3 , où les représentations portées par les pattes externes sont des représentations 18.
(20) Introduction Générale. triviales c.à.d R1 = R2 = R3 = ∅, on retrouve précisément la fonction de MacMahon qui décrit l’amplitude de la théorie de corde fermée du modèle A sur C3 , C∅∅∅ = M3 (q) =. ∞ Y. (1 − q n )−n .. (1.9). n=1. Cet objet, qui fut conjecturé par MacMahon en 1912 [92], est également la fonction génératrice pour toutes les fonctions indexées par les partitions vides. En fait la relation M3 (q) est un cas particulier de la généralisation Md (q) associée avec l’octant positif du cube à d-dimensions et dont l’expression conjecturée est donnée par : Md (q) =. Q. (i+d−3)!. − (i−1)!(d−2)!. (1 − q i ). i≥1. (1.10). En ce qui est de la fonction de MacMahon à 3 dimensions, elle intervient dans plusieurs domaines physiques et mathématiques. Elle apparaît comme la fonction génératrice de degré zéro dans l’étude des invariants de Donaldson-Thomas de la variété de Calabi-Yau X dont la fonction de partition est donnée par Z (q) = M (q)χ(X). (1.11). et où χ (X) est la caractéristique d’Euler classique. Les fonctions de partition du modèle cristallin à 1D et 2D sont [93, 94] Z1D Z2D. = (1 − q)−1 ∞ Q (1 − q n )−1 =. , .. (1.12). n=1. Celle à 3D est donnée par la relation (1.9) mais les expressions de ZpD pour p > 4 restent encore une question ouverte. Concernant les relations conjecturées (1.10), nous avons démontré dans [93] l’origine de ces relations en utilisant la méthode de matrice de transfert et nous avons donné une interprétation de ces objets en théorie des champs conformes à 2 dimensions. Toutefois, il faut noter que ces fonctions ne peuvent être des fonctions de partition des ”hypersolides” de dimension supérieure. Avant de clôturer cette introduction générale, il est utile de dire quelques mots sur la méthode du vertex topologique CR1 R2 R3 vu que c’est un outil très puissant pour étudier également l’équivalence entre la théorie de jauge N = 2 à 4D et la fonction de partition de la corde topologique [71], [72]. Cette puissance découle de la ressemblance formelle avec la méthode des diagrammes de Feynman de la théorie quantique des champs. Le vertex 19.
(21) Contributions à l’Etude du Vertex Topologique en Théorie des Cordes. topologique permet, ensemble avec le propagateur, de calculer toutes les amplitudes de la corde topologique en présence des branes [73]-[76]. Ici les diagrammes de Feynman ne sont autre que les diagrammes toriques des variétés locales de Calabi-Yau dont les lignes générent les cycles de la fibration torique et dont les sommets sont des vertex trivalents. Ces diagrammes toriques forment la base de la variété de Calabi-Yau torique C3 [77], [78]. Le vertex CR1 R2 R3 avec Ri 6= ∅ représente des cordes ouvertes qui se terminent sur des empilements de branes, dont les configurations sont codées par des diagrammes de Young Ri , i = 1, 2, 3. Le calcul des amplitudes topologiques utilise CR1 R2 R3 qui est fonction de q = e−gs et qui peut être exprimé sous plusieurs formes ; soit en terme de fonctions de Schur comme Cλ,µ,ν (q) = q k(µ) sν t (q −ρ ). X. sλt /η (q −ν−ρ )sµ/η (q −ν. t −ρ. ) ,. (1.13). η. définissant une fonction génératrice des invariants de Gromov-Witten, soit en fonction des invariants topologiques donnés par la relation suivante [80, 88] : Cλµt ∅ (q) = q −. k(µ) 2. Wλµ (q). ,. (1.14). où λ, µ et ν sont des partitions 2d et Wλµ (q) est une expression combinatoire reliée à l’invariant d’entrelac de Hopf. L’éq(1.14) est remarquable dans le sens où elle établit une relation naturelle entre les invariants de Gromov-Witten [83, 84, 85, 86] et les invariants de la théorie de Chern Simons [87]. Signalons également que le vertex topologique Cλ,µ,ν (q) peut être généralisé en une fonction dépendant de deux arguments q et t, q = ei²1. t = e−i²2. ,. ,. pour donner naissance au vertex topologique raffiné Cλµν (q, t). La fonction de partition de deux paramètres ²1,2 avec ²1 + ²2 6= 0 est la fonction de partition raffiné de la corde topologique fournissant à son tour un raffinement des théories de Gromov-Witten et DonaldsonThomas de la variété de CY3 torique. Cet axe de recherche connaît actuellement une grande importance à la fois en physique théorique et en mathématique. Nous aurons donc affaire à différentes connections entre des propriétés mathématiques et des applications physiques où s’entremêlent plusieurs objets tels que la fonction de partition, les fonctions de Schur, les diagrammes de Young à 2D et 3D, le cristal fondu et la théorie des cordes topologiques. Tous ces objets constituent un champ de recherche très prometteur. 20.
(22) Introduction Générale. Plan de thèse Ce mémoire de thèse est composé de cinq chapitres, une conclusion et une annexe. Des contributions sont reportées à la fin des chapitres. Dans le chapitre 2 nous présentons des outils de base dont nous avons besoin. Nous commençons par une introduction sur les variétés de Calabi-Yau (CY) et la géométrie torique dont les propriétés essentielles sont illustrées sur des exemples explicites. C’est le cas de plusieurs notion telle que la condition de CY ou encore la transition géométrique qui joue un rôle crucial dans l’obtention de plusieurs résultats et que nous illustrons sur l’exemple du conifold. Nous terminons le chapitre par introduire les variétés toriques qui permettent le calcul explicite des fonctions de partition et en général des amplitudes topologiques. Dans le chapitre 3, nous traitons dans la première section la théorie des cordes topologiques avec ses deux versions A et B et les D-branes topologiques. La dualité des cordes ouverte / fermée sont présentées dans la deuxième section. Ensuite, nous étudions de près les invariants topologiques intervenant dans la description des fonctions de partition des cordes topologiques. Nous terminons ce chapitre par l’une de nos contributions intitulée ”Pure fermionic twistor like model & target space supersymmetry” dans laquelle nous avons étudié la théorie des cordes twistorielles. Dans le chapitre 4, nous étudions la dualité entre le modèle statistique et la théorie des cordes topologiques. Les propriétés du modèle cristallin sont exprimées dans la structure géométrique de la variété de Calabi-Yau, d’où le nom de variété de Calabi-Yau cristalline ( en anglais Calabi-Yau crystal). Nous nous contenterons ici de montrer comment le modèle du cristal fondu peut être mis en correspondance avec les partitions à 3 dimensions. Par la suite, nous explicitons le calcul de la fonction de partition en utilisant la méthode de la matrice de transfert. Dans cette logique des choses, nous discuterons le modèle du cristal fondu en présence de D-branes placées aux bords. Ce modèle permet ainsi d’obtenir des résultats qui servent à comprendre le rôle que joue les modèles cristallins dans la description des invariants de la théorie topologique. A la fin du chapitre, nous présenterons notre contribution "Generalized MacMahon G(q) as q-deformed CFT Correlation Function” où nous avons réussi à démontrer la conjecture de MacMahon en utilisant la dualité entre le modèle cristallin et la théorie de corde topologique. Dans le chapitre 5, nous introduisons une approche basée sur les variétés de Calabi-Yau toriques et les règles de collage. Cette approche originale part de la bonne connaissance des espaces de Calabi-Yau toriques et vise à en extraire plus d’information à partir des diagrammes toriques. Dans ce cas, nous calculons les amplitudes et les fonctions de partition des cordes topologiques sur les espaces de Calabi-Yau toriques en utilisant juste 21.
(23) Contributions à l’Etude du Vertex Topologique en Théorie des Cordes. le formalisme de vertex topologique. Ce chapitre se termine par nos deux contributions ”Topological String on Toric CY3s in Large Complex Structure Limit” et ”Non Planar Topological 3-Vertex Formalism”. Dans le chapitre 6, on montre comment le raffinement de vertex topologique permet d’établir les expressions des amplitudes et les fonctions de partitions à deux paramètres ainsi que les relations avec les invariants de la théorie de Chern-Simons. Finalement, nous introduisons notre contribution ”Refining the Shifted Topological Vertex” qui a pour but d’étudier la version raffinée de vertex topologique shifté. Nous achevons ce mémoire de thèse par une conclusion où nous résumons nos principaux résultats et où nous examinons quelques perspectives et des applications. Pour plus de détails sur le calcul des amplitudes et les fonctions de partitions, nous avons juger utile de collecter quelques notions fondamentales en annexe. Ce travail de thèse a donné lieu à plusieurs résultats dont certains sont déjà parus sous forme de publications de recherche. Dans la liste ci-dessous, nous présentons nos travaux originaux : - Topological String on Toric CY3s in Large Complex Structure Limit, Nuclear Physics B, Volume 813, Issue 3, 1 June 2009, Pages 315-348, arXiv :0812.0526. - Refining the Shifted Topological Vertex, J.Math.Phys.50 :013509,2009, arXiv : 0812.0513. - Generalized MacMahon G(q) as q-deformed CFT Correlation Function, Nuclear Physics B, Volume 801, Issue 3, 1 October 2008, Pages 316-345, arXiv :0801.2661. - Non Planar Topological 3-Vertex Formalism, Nuclear Physics B, Volume 804, Issue 3, 1 December 2008, Pages 307-341, arXiv : 0712.4249. - De la théorie des cordes twistorielles à la Supergravité Conforme N=4, D=4 African Journal of Mathematical physics Volume 4 Number (2007) pages 65-96. - Pure fermionic twistor like model & target space supersymmetry, http ://xxx.lanl.gov/hep-th/0605167.. 22.
(24) Chapitre 2 Variétés de CY et Géométrie Torique L’étude des variétés de Calabi-Yau est devenue un domaine de recherche très passionnant et constitue une des plus importantes collaborations entre physiciens théoriciens et mathématiciens. Non seulement ces variétés sont considérées comme un type particulier de variétés complexes intervenant dans des domaines comme la géométrie algébrique [95][96], mais elles apparaissent également en physique des hautes énergies notamment dans la théorie des supercordes où elles jouent le rôle d’espace de compactification [97]. Dans ce chapitre, nous présentons différentes propriétés géométriques et homologiques sur les variétés de Calabi-Yau toriques. Dans la première section, nous considérons les variétés de Calabi-Yau comme étant des variétés complexes Kahleriennes ayant un groupe d’holonomie SU (n) et une première classe de Chern nulle. Dans la deuxième section de ce chapitre, nous introduisons la transition géométrique entre le conifold résolu et celui déformé et dans la section 3, nous exposons les variétés de Calabi-Yau toriques qui forment une classe d’espaces jouant un grand rôle dans plusieurs domaines physiques notamment dans l’étude du vertex topologique qui sera considéré avec détails dans le chapitre 5 de ce mémoire. Nous terminons ce chapitre par la construction des diagrammes toriques tout en donnant des exemples d’applications.. 2.1. Généralités sur les variétés de CY. Nous nous intéressons dans cette section aux structures géométriques sur les variétés complexes compactes admettant une métrique de Kähler à courbure de Ricci nulle [95]. Mais avant d’aborder les propriétés remarquables de ces variétés, il est intéressant de commencer par rappeler quelques notions géométriques utiles. 23.
(25) 2.1 Généralités sur les variétés de CY. 2.1.1. Variétés complexes. a) Généralités : Les variétés complexes M de dimension complexe n (dimC = n) sont avant tout des variétés de dimension réelle dimR = 2n où chaque point (x1 , ..., x2n ) peut être décrit par n coordonnées locales complexes (z1 , . . . zn ) avec zk = xk + ixn+k . Sur ces variétés complexes M, vivent entre autres, les objets suivants : i) Une structure presque complexe portée par un champ d’opérateur J vérifiant J 2 = −Id ; il définit une transformation linéaire globale dans l’espace tangent à M en tout point P : J : Tp M → Tp M ∀ P ∈ M. ii) Une métrique hérmitienne G satisfait la condition : G(X, Y ) = G(JX, JY ), où X, Y sont des champs de vecteurs sur M. En coordonnées complexes (z1 , . . . zn ), la métrique G peut être réalisée comme suit : ¯. G = Gj k¯ dz j ∧ d¯ zk .. (2.1). Nous allons nous intéresser surtout aux variétés complexes compactes dont les plus étudiées dans la littérature sont les variétés algébriques projectives X . Ces variétés sont des sous variétés de l’espace projectif complexe à n dimensions X ⊂ CPn avec : © ª CPn = {droites vectorielles de Cn }= Cn+1 \ {0} /C∗ .. (2.2). A titre d’exemple, signalons que les courbes complexes compactes, qui ne sont autres que les surfaces réelles de Riemann, sont des sous variétés compactes à une dimension complexe qui se réalisent comme des hypercourbes dans CP2 . b) Variétés Kahlériennes : Une variété Kahlérienne K ou variété de Kahler tout court est la donnée d’une structure presque complexe J sur une variété différentielle M et d’une métrique hermitienne G. La 2- forme antisymétrique K associée à K définie par : K(X, Y ) = G(X, JY ),. (2.3). vérifie la condition de fermeture suivante : dK = 0.. (2.4). La forme de Kahler K, qui s’écrit en coordonnées réelles comme K = 21 J[µν] dxµ ∧ dxν avec µ, ν = 1, · · · , 2n, peut être exprimée en coordonnées complexes comme : i K = Gj k¯ dz j ∧ d¯ z, 2 24. j, k = 1, · · · , n,. (2.5).
(26) Variétés de CY et Géométrie Torique. où la métrique G vérifiant (2.4) est définie localement en terme du potentiel de Kahler K comme suit : Gi¯j = ∂i ∂¯j K.. (2.6). Les composantes Gij et leurs complexes conjuguées G¯ı¯j sont nulles. c) Formes différentielles sur M : Sur une variété complexe Kahlerienne M , on définit généralement les formes différentielles réelles ω = ω [µ1 ···µs ] dxµ1 · · · dxµs de degré s ≤ 2n avec les (p, r)-formes de degré d’holomorphicité p ≤ n et d’antiholomorphicité r ≤ n sont données par : ω. ¯. ¯. = ω i1 ···ip j1 ···jr dz i1 ∧ · · · ∧ dz ip ∧ d¯ z j1 ∧ · · · ∧ d¯ z jr. (2.7). Par conséquent, il est possible de décomposer l’espace Λs (M ) des s-formes differentiables réelles en une somme directe de (p, r)- espaces Ωp,r (M ) comme suit : Λs (M ) = ⊕ Ωp,r (M ),. (2.8). s=p+r. conduisant à une décomposition du groupe de cohomologie H s (M ) en une somme directe des groupes H p,r (M ) [58, 59], H s (M ) = ⊕ H p,r (M ). (2.9). s=p+r. et leurs dimensions sont notées par bs = dim H s (M ). ,. hp,r = dim H p,r (M ) , P bs = s=p+r hp,r ,. (2.10). avec bs connu sous le nom de nombre de Betti et vérifie les conditions : hp,r = hr,p. ,. hp,r = hn−p,n−r. ,. dimC M = n. ,. (2.11). Pour le cas de H 3 (M, R), nous avons H 3 (M, C) = H 3,0 ⊕ H 2,1 ⊕ H 1,2 ⊕ H 0,3 ,. (2.12). Une autre propriété importante de la variété M est la caractéristique d’Euler notée χ(M ) qui est un nombre associé à tout espace topologique. C’est un invariant topologique donné par la somme alternée des nombres de Betti : X X χ(M ) = (−1)s bs = (−1)p+r hp,r s. p,r. 25. (2.13).
(27) 2.1 Généralités sur les variétés de CY. La caractéristique d’Euler χ(M ) est assez facile à calculer si on exprime ce nombre pour les polyèdres selon la formule : χ(M ) = V − E + F. Les nombres V , E et F sont respectivement le nombre de sommets (vertex), d’arêtes (”edges”) et de faces dans un polyèdre donné. Pour un cristal cubique avec huit sommets, douze arrêtes et six faces, la caractéristique d’Euler est χ(M ) = V − E + F = 8 − 12 + 6 = 2 Ce nombre peut être identifié avec la caractéristique d’Euler du cristal de Calabi-Yau [91]. Nous terminons cette sous section par rappeler également les paramètres ti de Kähler qui sont donnés par le volume des 2- cycles Si de la variété M : ti. =. R Si. K. ,. i = 1, · · · b2 (M ) ,. Les Si définissent une base du groupe d’homologie H2 (M, Z) des 2-cycles réelles de M.. 2.1.2. Variétés de Calabi-Yau. Les variétés de Calabi-Yau sont particulièrement utilisées en théorie des supercordes [97]. Elles préservent une partie des charges supersymétriques de la théorie originale à 10 dimensions compactifiées vers des dimensions d’espaces temps inférieures. Initialement introduite par le mathématicien E. Calabi qui a conjecturé en 1957 que ces variétés admettent nécessairement une métrique avec un tenseur de Ricci nul. Cette conjecture fut démontrée par S.Yau en 1977 [98]. Dès lors, la définition précise de ces variétés est devenue très technique dont les lignes de base sont comme suit : Les variétés de Calabi-Yau M de dimension n sont des espaces complexes, Kahlériens, compacts ayant un tenseur de Ricci nul Ri¯j = 0. Cette condition de courbure de Ricci nulle est équivalente aux équations suivantes : i) Le groupe d’holonomie de M est SU (n). ii) La première classe de Chern c1 est nulle ; c1 (T M ) = 0. Les variétés de Calabi-Yau admettent de types de déformations : déformations de Kahler K et déformation de la structure complexe Ω(n,0) . Les déformations de la structure Kahlerienne d’une variété de Calabi-Yau M de dimension n sont associées au groupe d’homologie H (1,1) de dimension h(1,1) qui classifie les formes avec un indice holomorphique et 26.
(28) Variétés de CY et Géométrie Torique. anti-holomorphique. Par ailleurs, sachant que les variétés de Calabi-Yau sont classifiées par les nombres de Betti déterminant le nombre de formes harmoniques de divers rangs [98], on peut donc décrire explicitement l’ensemble des paramètres qui caractérisent la structure cohomologique de la variété en considérant le diamant de Hodge : h0,0 h1,0. h0,1 ... hn,0. h0,n. ··· ... . (2.14). . hn,m−1. hn−1,n hn,n. Parmi les différentes classes des variétés de Calabi-Yau qui ont été utilisées en théorie des supercordes, on trouve des variétés non compactes qui sont des variétés de Calabi-Yau locales correspondant à la limite de découplage des degrés de liberté supergravitationnels.. 2.1.3. Exemples des variétés de Calabi-Yau. Il n’existe relativement que quelques exemples de variétés de Calabi-Yau connues. Leurs constructions sont généralement justifiées par des applications physiques notamment dans le cadre de la conjecture de symétrie miroir [37],[99] reliant les supercordes type IIA et type IIB. Dans cette sous section, nous donnons trois exemples. 1) Courbes complexes L’exemple le plus simple des variétés de Calabi-Yau compactes de dimension dimC = 1 est donné par les courbes complexes (surfaces de Riemann) dont la ligne projective CP1 isomorphe à la sphère S 2 réelle et le tore T 2 = S 1 × S 1 constituent les deux premiers éléments. Le diagramme de Hodge du tore est donné par : 1 1. 1 1. Il a un seul paramètre de Kahler t puisque h1,1 = 1 et un paramètre complexe τ . 27. (2.15).
(29) 2.1 Généralités sur les variétés de CY. 2) Surfaces complexes Au dimension complexe 2, il n’existe que deux variétés de Calabi-Yau à isomorphisme près. Il s’agit du tore T 4 et de l’espace K3. Sur ce dernier, aucune métrique explicite de Ricci n’est connue. Il en va de même pour tous les Calabi-Yau de dimensions supérieures non-triviales. Le diagramme de Hodge de la surface K3 est : 1 0 1. 0 20. 0. 1 0. (2.16). 1. A partir de ce tableau on apprend que h1,1 = 20 et le nombre de Betti b2 = 22.. 3) Dimension complexe 3 A partir de la dimension complexe 3 (6 dimensions réelles), le nombre de variétés de Calabi-Yau devient infini et il n’existe pas encore une classification générale. On peut construire toutefois un grand nombre de variétés possédant, en plus, la propriété d’être des variétés toriques. i) Variété locale CP1 De la même façon, la variété complexe locale CP1 est représentée par quatre coordonnées (x1 , x2 , z1 , z2 ) soumises à la condition (z1 , z2 ) = 6 (0, 0) où C∗ est une action torique qui agit sur C2 de la façon suivante (x1 , x2 , z1 , z2 ) ∼ (λ−1 x1 , λ−1 x2 , λz1 , λz2 ). L’espace total résultant est donné par la fibration de la surface O(−1) ⊕ O(−1) au dessus de la base CP1 ; soit : O(−1) ⊕ O(−1) → CP1 et peut être vu comme la somme de deux fibrés en ligne sur la courbe projective complexe CP1 paramétrisée par les deux variables (z1 , z2 ) en ajoutant 4 directions non compactes portées par les variables (x1 , x2 ) . Signalons au passage que cet exemple représente le conifold résolu qui sera examiné en détail lors de la prochaine section. ii) Variété locale CP2 C’est une variété de Calabi-Yau non compacte à trois dimensions complexes pramétrisée 28.
(30) Variétés de CY et Géométrie Torique. Fig. 2-1 – Une représentation géométrique de la courbe locale de base CP1 et de fibre O(−1) ⊕ O(−1). par quatre coordonnées complexes (x, z1 , z2 , z3 ) modulo la relation d’équivalence : ©. ¡ ¢ ª (z1 , z2 , z3 ) 6= (0, 0, 0) | (x, z1 , z2 , z3 ) ∼ λ−3 x, λz1 , λz2 , λz3 , λ ∈ C∗. (2.17). Fig. 2-2 – Représentation de la géométrie CP2 locale. Cet espace peut être considéré mathématiquement comme l’espace total du fibré en ligne O(−3) → CP2 . Autrement dit, la variété locale CP2 peut être vu localement comme étant le produit de CP2 × C où la base CP2 est paramétrisée par les coordonnées (z1 , z2 , z3 ) sur lesquelles vit une courbe complexe C paramétrisée par la coordonnée complexe x. Dans ce cas, on a quatre directions réelles compactes et deux non compactes. iii) Variété locale CP1 ×CP1 Pour décrire la variété locale CP1 ×CP1 , il faut utiliser cinq coordonnées complexes (x, y1 , y2 , z1 , z2 ) 29.
(31) 2.2 Conifold. avec (y1 , y2 ) 6= (0, 0), (z1 , z2 ) 6= (0, 0) et l’identification (x, y1 , y2 , z1 , z2 ) ∼ (λ−1 µ−1 x, y1 , y2 , µz1 , µz2 ). L’espace total donné par O(−2, −2) → CP1 ×CP1 ; est paramétrisé par quatre directions compactes et deux directions non-compactes dont le fibré normal est isomorphe à O(−2, −2).. 2.2. Conifold. Une autre classe des exemples concernant les variétés de Calabi-Yau est étalée dans [108, 111] dont les grandes lignes sont présentées comme suit. Nous présentons dans un premier temps le conifold singulier et ses déformations de Kahler et complexe. Ensuite, nous considérons la transition géométrique qui permet de relier les deux versions du conifold.. 2.2.1. Conifold singulier. Le conifold singulier est une variété algébrique définie par la relation suivante [111], z12 + z22 + z32 + z42 = 0.. (2.18). C’est donc une hypersurface de l’espace complexe de C4 ∼ R8 . En décomposant z en partie réelle et partie imaginaire zi = xi + iyi , l’équation ci-dessus se scinde comme suit : P4 k=1. 2i. P4. (x2k − yk2 ). = 0. ,. xk y k. = 0. .. k=1. (2.19). Pour déterminer la base du conifold, nous considérons l’intersection entre l’équation (2.18) et la sphère réelle S 7 de dimension 7 et de rayon r contenue dans l’espace réelle R8 , |z1 |2 + |z2 |2 + |z3 |2 + |z4 |2 = r2 .. (2.20). qui s’écrit également sous la forme : P4 k=1. (x2k + yk2 ) =. r2. ,. avec zi = xi + iyi. (2.21). les équations de l’intersection peuvent être exprimées comme suit : ~x2 =. r2 2. et ~y 2 = 30. r2 , 2. ~x.~y = 0.. (2.22).
(32) Variétés de CY et Géométrie Torique. Le premier terme de ces relations décrit la sphère S 3 d’équation ~x2 =. r2 . 2. L’équation ~y 2 =. r2 2 3. avec ~x.~y = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 + x4 y4 = 0 paramétrise la sphère S 2 fibrée sur la sphère S . Ainsi, nous interprétons les variables xk comme des coordonnées de la sphère S 3 ∼ SU (2) √ (2) et les yk comme celles de la sphère S 2 ∼ SU de rayon r/ 2. En fixant les xk , les variables U (1) yk doivent être orthogonales à ~x et se déplacent sur la sphère S 2 . Ainsi, le conifold singulier est un cône de base S 3 × S 2 et la singularité correspond au point x = y = 0 comme le montre la figure (2-3) suivante. Fig. 2-3 – Conifold singulier La base S 3 × S 2 du conifold singulier peut alors être vue comme la variété : SU (2) B = SU (2) × , U (1) qui est isomorphe à. SO(4) . U (1). (2.23). Après avoir décrit la singularité du conifold, nous étudions. maintenant la levée de la dégénérescence qui peut être déformée de deux façons : (i) par remplacement du point singulier en utilisant une sphère S 2 , ce qui conduit au conifold résolu. (ii) en remplaçant le point singulier par une sphère S 3 , ce qui conduit au conifold déformé [60, 97, 99, 111, 112].. 2.2.2. Conifold déformé et conifold résolu. Dans ce paragraphe, nous étudions les deux façons de résoudre la singularité du conifold, à savoir la déformation de la structure complexe et la résolution de la structure de Kahler. a) Conifold déformé Dans le système de coordonnées locales (zi ), la déformation complexe de la singularité du conifold correspond tout simplement à la déformation de l’éq.(2.18) qui devient alors : z12 + z22 + z32 + z42 = µ, 31. (2.24).
(33) 2.2 Conifold. où µ est un nombre complexe. Cette hypersurface algébrique de C4 décrit précisément le conifold déformé T ∗ S 3 dont la base S 3 est donnée par la partie réelle de cette relation. Par une transformation linéaire des coordonnées w1,3 = z3 ∓ iz4 et w2,4 = iz1 ∓ z2 , on peut ramener l’equation ci-dessus à la forme usuelle suivante : w1 w2 − w3 w4 = µ.. (2.25). En outre, le fait que la base S 3 est obtenue en posant w2 = w¯1 , w4 = −w¯3 , cette relation est généralement invariante sous l’action ¡ ¢ (w1 , w2 , w3 , w4 ) → e−iα w1 , eiα w2 , e−iβ w3 , eiβ w4. (2.26). où les paramètres α et β sont associés respectivement aux 1-cycles (1, 0) et (0, 1) de T 2 . Ces deux 1-cycles se dégénèrent respectivement aux lieux w1 = w2 = 0 ou w3 = w4 = 0 qui correspondent aux deux géométries cylindriques suivantes : w3 w4. = −µ. ,. w1 w2. = +µ. .. (2.27). Ces géométries décrivent des courbes complexes ; soit des surfaces de Riemann non compactes. La structure de la fibration du conifold déformée est donnée par la base R3 paramétrisée par les axes de ces cylindres et Re (w1 w2 ) . Ainsi la fibre T 2 × R du conifold est représentée par les cycles α et β et l’imaginaire de w1 w2 .. Fig. 2-4 – Conifold déformé. 32.
(34) Variétés de CY et Géométrie Torique. b) Conifold résolu La singularité conique peut également être résolu par déformation de la structure de Kahler. Cette résolution consiste à remplacer le conifold singulier z12 + z22 + z32 + z42 = 0 par une variété lisse appelée conifold résolu dont l’expression est défini par : − |z1 |2 − |z2 |2 + |z3 |2 + |z4 |2 = t,. (2.28). ensemble avec une action U (1) ¡ ¢ (z1 , z2 , z3 , z4 ) → e−iα z1 , e−iα z2 , eiα z3 , eiα z4 .. (2.29). Le conifold résolu est donné par O(−1) ⊕ O(−1) → P1 où la droite projective P1 est identifiée à S 2 . Les deux pièces O(−1) correspondent aux ouverts U123 = (z1 , z2 , z3 ) avec z4 6= 0 et U124 = (z1 , z2 , z4 ) avec z3 6= 0.. Fig. 2-5 – Conifold résolu Dans ce qui suit nous fixons notre attention sur l’étude de la transition géométrique du conifold vue ses nombreuses applications en théorie des cordes topologiques et dans la compréhension de certaines dualités en théorie des supercordes type II [107, 108].. 2.2.3. Transitions géométriques. Une transition géométrique de l’espace de compactification d’une théorie des supercordes est un changement de sa topologie pour lequel la physique est inchangée. On distingue essentiellement deux types de transitions : la transition du conifold et la transition de flop (flop transition). 33.
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