Théorie des invariants d’une particule chargée dans un potentiel Aharonov-Bohm

République Algérienne Démocratique et Populaire

Ministère de l’enseignement supérieur et de la recherche scientifique

UNIVERSITE FERHAT ABBAS-SETIF

(ALGERIE)

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Présenté à la faculté des sciences

Département de Physique

Pour l’obtention du diplôme de

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En : Physique

Option : Physique théorique

Par

MEDJEDEL SOHEYB

Thème

Théorie des Invariants d’une Particule Chargée dans un

Potentiel Aharonov-Bohm

Soutenu

Publiquement le : / /2007 devant la commission d’examen :

Président :

M. Nekab

Professeur

(UFAS – Sétif)

Rapporteur :

M. Maâmache

Professeur

(UFAS – Sétif)

République Algérienne Démocratique et Populaire

Ministère de l’enseignement supérieur et de la recherche scientifique

UNIVERSITE FERHAT ABBAS-SETIF

(ALGERIE)

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Présenté à la faculté des sciences

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MEDJEDEL SOHEYB

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L’effet de la diffusion des particules chargées par un solénoïde droit infiniment long qui enferme un flux magnétique constant, appelé effet Aharonov-Bohm, présente un intérêt primordial en mécanique quantique. Notre objectif ici est de traiter ce même problème en utilisant la théorie des invariants. En fait, c’est en introduisant un paramètre dépendant du temps que nous puissions rendre le problème l’est, d’où la possibilité de l’application de cette théorie. En outre, nous trouvons que les solutions obtenues ne sont pas uniquement de diffusion (spectre continu), mais présentent aussi des états liés (spectre discret), Ce qui est inattendu et défie la convention que seuls les états non liés existent dans un phénomène de diffusion.

Mots clés :

Potentiel d’Aharonov-Bohm, particule chargée,théorie des invariants, diffusion, équation de Schrödinger,Lewis-Riesenfeld.

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The effect of the scattering of charged particles by an infinitely long straight solenoid that encloses a magnetic flux, known as the Aharonov-Bohm effect, is of paramount interest in quantum physics. Our object here is to deal with this same problem by using the invariants theory. In fact, it is by introducing a time-dependent parameter that we can return the problem as time-dependent, so that the possibility of the application of this theory. Moreover, we will find that the obtained solutions are not only of scattering (continuous spectrum), but presents also bound states (discrete spectrum), what is unexpected and defies the convention that only the scattering states exists in a scattering phenomenon.

Keywords:

Aharonov-Bohm potential, charged particle, invariants theory

,

scattering, Schrödinger equation, Lewis- Riesenfeld.

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SSSS

i je suis arrivé à écrire ces mots dans mon mémoire de Magister, C’est grâce à mon dieu, le tout-puissant, alors je dis avant tout et après tout Elhamde Lillahe rabbi el’âalamine. Dieu merci pour ses faveurs.

JJJJ

e voudrais exprimer chaleureusement mes plus sincères remerciements à mon promoteur, le professeur Mustapha Maâmache, premièrement, pour sa direction de ce travail, deuxièmement, pour ses nombreuses qualités scientifiques et humaines qui m’était d’un grand support tant dans mes années d’études à l’université Ferhat Abbas de Sétif que durant ce travail. Il retrouve ici un autre remerciement pour ses conseils, sa patience, son aide qui font de lui un encadreur qui mérite toutes mes considérations.

JJJJ

e remercie également les professeurs, membres de jury, qui ont accepté de juger ce travail, et dont leur présence me fait l’honneur.

U

U

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n merci au professeur M. Nekab pour sa présidence de mon jury, il me fait l’honneur et me rend très content. Merci au professeur K.

Bencheikh ainsi qu’au H. Bekkar, maître de conférence d’y participer.

JJJJ

e veux exprimer mes considérations au professeur K.Bencheikh que

je respecte beaucoup, il trouve ici un merci particulier pour ses cours en mécanique quantique qui m’ont donné l’idée comment enseigner d’une manière systématique et pédagogique, ainsi aux autres enseignants, merci à tout ce qui m’a appris n’importe quelle chose dans le monde de la physique.

JJJJ

e voudrais aussi exprimer ma profonde gratitude envers tout le corps du département de la physique que je suis aujourd’hui très reconnaissant et heureux par le fait que j’était un de ses étudiants que je leurs souhaite le bien dans leurs travails et leurs vies.

CCCC

e travail n’aurait pas pu être mené à bien sans la collaboration de mes deux collègues et amis Yahia Saâdi et Nadir Chaâbi dont je tiens à remercier profondément chacun d’eux.

CCCC

e que la physique ne peut pas me donner, c’est vous, mon père et ma mère, c’est votre tendresse, Dieu merci que vous êtes mes parents, Ce travail est pour vous.

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e dédie ce travail à :

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es très chers parents

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on frère et mes sœurs

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oute ma famille

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ous mes amis chacun de son nom, surtout :

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ourad,

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akhlouf,

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brahim.

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t beaucoup d’autres que j’aime et m’aiment et que ce petit espace ne suffit pas de les citer tous.

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Introduction générale ………..3

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Effet Aharonov-Bohm ………...9

2.1 Qu’est ce qu’un effet Aharonov-Bohm ?

………9

2.1.1 Effet Aharonov-Bohm magnétique

………9

2.1.2 Effet Aharonov-Bohm électrique

………...14

2.2 La diffusion des particules chargées en présence du potentiel Aharonov- Bohm

……….………....16

2.3 Signification de l’effet Aharonov-Bohm

………...19

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La théorie des invariant de Lewis-Riesenfeld………...22

3.1 Exposition de la théorie des invariants

………...…...22

3.2 Pour un spectre continu (états de diffusion) ?

………...26

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Retour vers la diffusion en présence de l’effet

Aharonov-Bohm……….30

4.1 L’application de la théorie des invariants

……….34

4.2 Calcul des sections efficaces pour les états de diffusion

………..48

4.3 Des états discrets dans un problème de diffusion ?

………...51

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………...………....65

« Il est faux de croire que le rôle de la physique consiste à déterminer ce qui est la nature, la physique a pour objet ce que nous pouvons dire de la nature. »

N.Bohr

Chapitre I

Chapitre I

Introduction générale

L’effet de la diffusion des particules chargées par un solénoïde droit infiniment long qui enferme un flux magnétique, appelé effet Aharonov-Bohm, présente un intérêt primordial en mécanique quantique [1,2]. Son importance est reflétée dans le grand nombre d'analyses qui sont apparu dans la littérature [3-18].

La plupart des physiciens supposaient pendant un certain temps que l'électromagnétisme est complètement décrit par les champs électromagnétiques. Ils n’ont jamais cru qu’une particule chargée peut subir une influence physique quand elle traverse une région où il n’existe aucun type de champs.

Cependant, Y. Aharonov et D. Bohm ont prévu, En 1959, un phénomène paradoxal qui a rencontré des controverses. Un phénomène qui décrit comment les électrons peuvent être soumis physiquement à une influence, sous forme de déphasage, par les champs électromagnétiques existants dans des régions inaccessibles aux électrons. Bien qu’il soit inconcevable dans le cadre de l’électrodynamique classique, Aharonov et Bohm ont résolu l'équation de Schrödinger pour prouver que c'est le cas dans la mécanique quantique. Peu après leur prévision, plusieurs expériences impressionnantes ont été effectuées pour démontrer l'existence réelle de cet effet [16]. L'influence de ces champs éloignés est portée dans cette théorie par le quadrivecteur potentiel, qui apparaît dans le hamiltonien et donc dans l'équation de Schrödinger. Ce phénomène est surprenant pour beaucoup de physiciens parce qu'il n'a aucun analogue classique et parce qu'il défie la perception conventionnelle que les quantités physiques dans l'électromagnétisme sont portées par les champs locaux de maxwell, pas par les potentiels.

Introduction générale

Cet effet est lié à la question légitime de la réalité physique du potentiel électromagnétique

( )

µ

µ x

A plutôt que simplement celle évidente des champs électrique

et magnétique associés. La réalité de ces derniers est immédiate, puisque ces deux champs déterminent, à travers de l’équation de Lorentz, les forces électromagnétiques s’appliquant à une particule chargée, confirmant ainsi leur réalité physique. Cependant pour le potentiel vecteur

( )

µ

µ x

A , d’ailleurs défini à une transformation de jauge près,

( ) ( )

( )

µ µ µ µ µ µ x A x x

A = + , la réalité physique de cette quantité est beaucoup difficile à être

directement admissible, et nécessite en fait de considérer les propriétés de non localité des systèmes quantiques afin de la mettre en évidence.

En effet, sur le simple plan de la construction des solutions aux équations homogènes de Maxwell en terme du potentiel vecteur

( )

µ

µ x

A , il peut paraître que

l’introduction de cette dernière grandeur n’est qu’un artifice mathématique avec ses avantages calculatoires et mathématiques, mais sans support physique, alors que seuls les champs électrique et magnétique, que définit ce potentiel vecteurA_µ, sont physiquement réels. Ceci est en fait la situation pour l’électrodynamique classique, sans inclusion des propriétés quantiques de l’électromagnétisme: seuls les champs électrique et magnétiques suffisent. Néanmoins, en mécanique quantique, les potentiels ne peuvent pas être éliminés de l'équation de Schrödinger et par conséquent sembler avoir une signification physique. Y. Aharonov et D. Bohm sont allés au delà de la supposition en proposant des expériences réelles d'interférence des électrons. Ces expériences auraient pour objet de clarifier comment les potentiels affectent les trajectoires des électrons passants par des régions vides des champs. Ce phénomène, que les deux auteurs ont décrit, s'appelle « effet Aharonov-Bohm » en leur honneur.

Au milieu des années 70, la signification de l'effet Aharonov-Bohm a augmenté considérablement étant donné que la théorie des champs de jauge, formulée dans les années cinquante a été considérée en tant que candidat le plus probable pour une théorie unifiée des interactions physiques fondamentales. Dans cette théorie, les

Introduction générale

champs de jauge sont regardés comme les entités physiques fondamentales, juste comme leur nom indique. L'évidence directe de leur réalité physique est fournie par l'effet Aharonov-Bohm. Selon cette théorie, ce sont les champs de jauge, ou les potentiels vecteurs dans ce cas particulier, qui exercent une influence physique sur des électrons dans une région vide de champs pour produire l'effet Aharonov-Bohm.

Ces considérations ont stimulé un effort théorique et expérimental animé pendant les années qui ont suivi la prédiction de cet effet, avec toute possibilité disponible et avec beaucoup de discussions en ce qui concerne les conditions des expériences et des calculs. Maintenant, on est convenu que l'effet Aharonov-Bohm est confirmé par l’expérience et que c'est une caractéristique véritable de la mécanique quantique standard.

Y. Aharonov et D. Bohm ont traité, en plus de leur prévision de cet effet, le problème de la diffusion d’une particule chargée par un champ magnétique (qui est confiné à l’intérieur d’un solénoïde droit infiniment long de rayonR, centré dans l’origine et dirigé suivant l’axe des z.) dans la limite où le rayonR tend vers zéro, tandis que le flux magnétique total reste fixe. Notre objectif ici est de traiter ce même problème en utilisant la théorie des invariants. En fait, c’est en introduisant un paramètre dépendant du temps que nous puissions rendre le problème l’est, d’où la possibilité de l’application de cette théorie. En outre, nous trouverons que les solutions obtenues ne sont pas uniquement de diffusion (spectre continu), mais présentent aussi des états liés (spectre discret), Ce qui est inattendu et défie la convention que seuls les états non liés existent dans un phénomène de diffusion.

Alors, il est sans doute intéressant de connaître qu’est ce qu’un effet Aharonov-Bohm ? ainsi de donner une vue sur quelques expériences qui ont révélé l’existence de cet effet, ce qui fait l’objet du deuxième chapitre.

La théorie des invariants [19,20], qui fournit des solutions exactes de l’équation de Schrödinger dans un problème dépendant du temps, constitue une méthode puissante pour traiter beaucoup de problèmes où apparaissent des paramètres

Introduction générale

dépendants du temps [21,22]. Un rappel de l’essentiel de cette théorie forme l’objet du troisième chapitre.

L’application de cette théorie à l’étude du problème de la diffusion des particules chargées en présence de l’effet Aharonov-Bohm ainsi que les résultats obtenus en utilisant cette théorie constitue le quatrième chapitre.

Chapitre II

Chapitre II

Effet Aharonov-Bohm

Il est sans doute intéressant de discuter un phénomène particulièrement fascinant allant au coeur des propriétés de non localité de la théorie quantique, le célèbre effet Aharonov-Bohm du nom des deux personnes qui ont remarqué en 1959, sur le plan théorique, la nécessité de l’existence de ce phénomène, dans leur article intitulé "Significance of Electromagnetic Potentials in Quantum Theory " [1].

II.1 Qu’est ce qu’un effet Aharonov-Bohm ?

Aharonov et Bohm ont donc imaginé une situation expérimentale spécifique à la mécanique quantique, mettant en évidence les propriétés de non localité de cette mécanique, et donc par ici, l’existence physique réelle du potentiel vecteur Ar, défini aux transformations de jauge près. L’effet Aharonov-Bohm a une double nature, il peut être classifié dans des effets électriques et magnétiques.

II.1.1 Effet Aharonov-Bohm magnétique :

Il ne s’agit de rien de plus que la célèbre expérience des fentes de Young, utilisée pour établir les propriétés ondulatoires de la lumière, et donc également de toute particule quantique, telle l’électron pour prendre le cas d’un faisceau de particules chargées (voir Fig.2.1). Il est parfaitement bien connu qu’en raison des propriétés ondulatoires de la matière quantique, le faisceau de particules présente une figure d’interférence sur l’écran situé au-delà des fentes de Young.

L’idée alors proposée par Aharonov et Bohm est d’imaginer avoir placé juste derrière les deux fentes un solénoïde de longueur infinie perpendiculairement au plan

Effet Aharonov-Bohm

( )

= e dx A x S r r r h . Faisceau d’électrons S ou rc e Plaque d’interférence Solénoïde Br

de la figure, définissant ainsi une région de l’espace restant inaccessible aux électrons du faisceau.

Fig.2.1 L’effet Aharonov-Bohm magnétique.

Le solénoïde étant infini, le champ magnétique créé par celui-ci reste confiné à l’intérieur de son volume, tandis que dans la région de l’espace dans laquelle les électrons peuvent se propager, ce champ magnétique est identiquement nul, impliquant donc une force de Lorentz identiquement nulle s’appliquant à ceux-ci. Cependant, même dans une situation indépendante du temps telle que supposée ici, le potentiel vecteur Ar correspondant est alors nécessairement non nul même dans cette région. En effet, le flux magnétique régnant dans le solénoïde est donné par les intégrales de surface et de ligne :

( )

S d x B dx A

[ ]

C C S = = = 2 r. r r. r (2-1) A Br = r × r _(2-2)

S étant une surface quelconque s’appuyant sur un contour fermé C entourant le solénoïde. Remarquons en particulier que cette expression est effectivement invariante

Effet Aharonov-Bohm

sous les transformations de jaugeAr = Ar r . Par conséquent, le flux magnétique

[ ]

C ne peut être nul pour un champ magnétique non nul, et donc, prenant le contour

C à l’extérieur du solénoïde, nécessairement le potentiel vecteurAr, bien que de

rotationnel nul dans cette région de l’espace, ne peut être identiquement nul.

Nous avons donc la situation suivante: Dans la région de l’espace dans laquelle les électrons sont admis, ceux-ci ne subissent aucune force de Lorentz, le champ magnétiqueBr y étant nul. Par conséquent, si effectivement seul celui-ci, et non le potentiel vecteurAr, a une existence physique, la présence du champ magnétique

confiné au volume du solénoïde ne peut avoir aucune influence sur le comportement des électrons, et donc en particulier sur leur figure d’interférence sur l’écran au-delà des fentes de Young. Par contre, si le potentiel vecteur Ar possède effectivement une existence physique réelle et tangible, bien que non invariante de jauge, sa valeur non nulle dans la région de l’espace accessible aux électrons peut avoir une influence sur ceux-ci, et donc en particulier sur leur figure d’interférence. La question qui se pose donc est de savoir si effectivement, sur la base de l’équation de Schrödinger pour les électrons quantiques -par exemple- couplés au champ électromagnétique, l’on peut prédire un effet de la présence du flux magnétique confiné au volume du solénoïde sur la figure d’interférence sur l’écran.

Pour répondre à cette question, il faut donc considérer la différence de chemin pour deux trajectoires classiques d’électrons passant par l’une ou l’autre des deux fentes. Afin d’identifier la différence de phase entre ces deux chemins, considérons l’équation de Schrödinger suivante (c=1) :

( )

( ) ( )

iq

( ) ( )

x t x t t i t x x V t x A q i m , , , , 2 2 2 r r h h r r r r h r h _{+ = + (2-3)}

Où

( )

x,r t est le potentiel électrique. Lorsque aucune dépendance temporelle n’est impliquée, et en l’absence de tout champ électrique, et donc

( )

xr,t =0, ainsi que pour un chemin dans l’espace C, et en introduisant alors la fonction d’onde suivante :

Effet Aharonov-Bohm

( )

x e Cdx A( )x

( )

x q i C r r r r r h = . (2-4)

L’équation de Schrödinger prend alors la forme :

( ) ( )

( )

x t t i t x x V m C , C , 2 2 2 r h r r r h _{+ = (2-5)}

Qui coïncide avec celle d’une particule quantique qui n’est plus soumise à l’interaction électromagnétique. En d’autres termes par une transformation de jauge appropriée donnée par la redéfinition de phase ci-dessus, il est apparemment possible de faire disparaître toute influence du champ électromagnétique

( )

µ

µ x

A , et de construire la

solution de l’équation de Schrödinger en présence du champ électromagnétique à partir de celle en l’absence de ce champ [3,26].

L’intérêt de cette discussion pour l’effet Aharonov-Bohm est le suivant : Imaginons maintenant que nous avons établi la solution de l’équation de Schrödinger pour le système des fentes de Young, en l’absence de tout champ magnétique dans le solénoïde, le potentiel V

( )

x représente donc les conditions définissant les régions de l’espace desquelles le faisceau d’électrons est exclu. Dans une telle situation, le potentiel vecteur Ar reste identiquement nul dans tout l’espace, ne conduit donc à aucune différence entre les fonctions _C

( )

xr et

( )

xr . Néanmoins, dès qu’un champ

magnétique est instauré dans le solénoïde, le potentiel vecteur Ar

( )

x devient non nul, avec ses valeurs d’intégrales curvilignes non nulles. Par conséquent, la solution de l’équation de Schrödinger acquiert alors une dépendance dans le champ Ar

( )

x telle que la figure d’interférence observée sur l’écran pour deux chemins distincts passant par les deux fentes soit modifiée en raison de la phase relative entre ces deux chemin, qui, sur la base de (2-4), est donnée par :

( ) Cdx A x q i

e

r r r h . _(2-6)

Effet Aharonov-Bohm

Où C est un contour fermé quelconque passant par les deux fentes et entourant le solénoïde. En effet, pour deux contours distincts C₁ et C₂ tels C, la différence entre

les phases correspondantes est donnée par :

0 . . . 2 1 2 = = _Ad x B A x d A x d C C r r r r r r _(2-7)

Où A désigne une surface annulaire arbitraire dans l’espace s’appuyant sur les contours C1 et C2et restant située à l’extérieur du solénoïde. Par conséquent, le choix

du contour C considéré pour l’évaluation de la différence de phase n’importe pas. Or, l’intégrale de contour apparaissant ici est précisément celle qui évalue le flux de champ magnétique régnant dans le solénoïde, soit :

( ) B .

=

h r r r h q i x A x d q i

e

e

C (2-8) Par conséquent, on est forcé de conclure que bien que le champ magnétique soit identiquement nul dans la région de l’espace où les électrons du faisceau sont contraints de se déplacer, y subissant donc une force de Lorentz identiquement nulle, néanmoins, en raison de leurs propriétés quantiques, leurs propriétés physiques sont affectées par la présence d’un potentiel vecteur non nul Ar de rotationnel nul :

0r r r r = × = A B (2-9)

Cependant, cet effet quantique ne se manifeste qu’au travers du facteur de phase ci-dessus, fonction uniquement du flux magnétique _B, une grandeur laissée invariante

par les transformations de jauge du potentiel électromagnétique

( )

µ µ x

A . Depuis 1959,

cet effet d’Aharonov-Bohm a été confirmé expérimentalement dans un grand nombre de situations différentes, affirmant ainsi le caractère physique réel du potentiel électromagnétiqueA_µ

( )

xµ , dont les champs électrique et magnétique sont donc des grandeurs dérivées [16].

Notons que les effets du flux _B du champ magnétique confiné sont nécessairement périodiques dans ce flux, en raison de l’expression de la phase relative

Effet Aharonov-Bohm

ci-dessus. Ainsi, lorsque les valeurs de ce flux _B sont modifiées, la figure d’interférence sur l’écran est modifiée en conséquence d’une manière périodique dans les valeurs de B avec :

0

+n

B

B , n=0,±1,±2,±3,..., (2-10)

0 Étant le quantum de flux magnétique défini par :

q h

q =

= 2!h

0 (2-11)

Cette notion de quantum de flux est donc fort importante pour caractériser les propriétés magnétiques des particules chargées électriquement. En particulier pour les électrons, le quantum de flux prend donc la valeur :

15 0 4.14.10 2 " = e h ! Weber (2-12)

II.1.2 Effet Aharonov-Bohm électrique :

On utilise un faisceau d’électrons pour réaliser l’expérience d’interférences des trous de Young. Les électrons monocinétiques passant par les deux trous T1 et T2

arrivent dans deux cylindres métalliques servant de cages de Faraday qui sont respectivement aux potentiels ₁

( )

t et ₂

( )

t . Le champ électrique est nul à l’intérieur des cylindres.

Quand les potentiels des deux cylindres sont nuls, on observe un modèle d'interférence qui est déterminé seulement par la différence dans la longueur des deux chemins. Lorsque les électrons sont bien à l'intérieur des deux cylindres, On applique auxquels les potentiels électriques ₁

( )

t et ₂

( )

t dépendant du temps. Puisque les champs électriques disparaissent toujours dans les deux cylindres, aucune force n'est exercée sur les électrons.

Effet Aharonov-Bohm

( )

t 1

( )

( )

(

)

= e t t dt S _{1 2} h S ou rc e Cylindres métalliques

( )

t 2 Plaque d’interférence Faisceau d’électrons T1 T2

Fig.2.2 L’effet Aharonov-Bohm électrique.

Cependant, un calcul quantique prouve qu’un déphasage relatif est produit entre les deux paquets. La valeur de ce décalage, S est donnée par :

( )

( )

(

)

= e t t dt

S _{1 2}

h (2-13)

En fait, L'équation de Schrödinger pour ce système est :

(

H e

)

t

ih = 0 (2-14)

Où H₀ est le hamiltonien en l'absence des potentiels. Dans le cas des potentiels zéro :

( )

₂

( )

0

1 t = t = , (2-15)

La fonction d'onde globale peuvent être représentés comme une superposition des fonctions d'onde des deux des paquets non perturbés 1 et 2, de tel sorte que :

( )

r,t 2

( )

r,t 0 1

0

0 = + (2-16)

Quand les deux potentiels ₁

( )

t et ₂

( )

t sont appliqués aux cylindres, la fonction d'onde devient :

Effet Aharonov-Bohm Particules incidentes Particules diffusées Solénoïde # r Le champ magnétique Br

( )

, 1 2

( )

, 2 0 1 0 iS iS _{r t e} e t r + = (2-17) Où :

( )

= e t dt S_{i i} h , (i=1,2). (2-18)

En conséquence le déphasage relatif, S, entre les deux paquets est donné par l'équation (2-13).

II.2 La diffusion des particules chargées en présence du potentiel AB :

La solution exacte du problème de la diffusion des électrons par un solénoïde droit infiniment long a été également trouvée par Y.Aharonov et D.Bohm, dans la limite où le rayon de la région contenant le champ magnétique ou du solénoïde tend vers zéro (cf. fig.2.3), comme suivant :

Fig.2.3 la diffusion des particules chargées par un solénoïde.

L’équation de Schrödinger, pour le système considéré, dans les coordonnées polaires, est (c=1) : 0 1 1 2 2 2 2 2 = + + + + $ # i k r r r r (2-19)

Effet Aharonov-Bohm h ! $ 2 e

= est le flux numérique ou le paramètre de flux, est le flux magnétique :

=

= Br.dsr Ar.drr (2-20)

Le potentiel vecteur utilisé est tel que :

%& % ' ( = = = = 0 2 . r A u r u r e u eA A e _{# # #} $ _# ! ) _{r h r} r r (2-21)

Où ur_#est le vecteur unitaire.

La solution de l’équation précédente est :

( )

*

[

( )

( )

( )

( )

]

++ + = + + + = -m m m m m m _{a J kr b J kr} e r i $ $ # # , (2-22)

Où amet bmsont des constantes arbitraires et J(m+$)

( )

kr est la fonction de Bessel, en

générale d’ordre fractionnel (dépendant de ). La solution (2-22) est trouvée pourr,R, pourr-R (particule plongée dans un champ magnétique) est traité dans d’autres travails1.en raccordant les solutions en r=R, Aharonov et Bohm ont montré que seules les fonctions de Bessel d’ordre positif sont acceptées quand R 0. Ce qui implique que la probabilité de trouver la particule dans la région qui contient le champ magnétique tend vers zéro avecR tend vers zéro, par suite la fonction d’onde ne sera donc pas changée si on empêche les électrons de rapprocher à la région du champ magnétique en utilisant un barrière qui tend vers zéro avec R. La fonction d’onde totale, solution de (2-19) est donnée par:

( )

r a ei J

( )

kr $ # # ++ ₊ + =

*

= m _m -m m , (2-23)

On doit choisir les constantes amde telle sorte que la fonction représente un faisceau

d’électrons incidents de la droite de l’axe (Ox). En plus, il est important de satisfaire la

Effet Aharonov-Bohm

condition initiale pour laquelle la densité de courant du faisceau d'électrons est constante dans cette direction. On vérifie que la fonction d’onde incidente, est alors:

( +$#)

=_e ikx _(2-24)

Cette fonction est, en général, multiforme . Ce fait ne produit aucun problème puisque cette fonction se tient seulement dans la droite de l'origine. La solution finale obtenue par Aharonov et Bohm est :

( )

r i ei J

( )

kr $ # $ # ++ ₊ + = +

*

= m m -m m ) ( , (2-25)

En appliquant la méthode dite “prescription de Dirac “, M.V Berry [3], a obtenu une fonction d’onde exacte et uniforme, telle la fonction (2-25), en sommant, sur toutes les contributions, les fonctions d’ondes, solutions de l’équation de Schrödinger en l’absence du champ magnétique, multipliées par "un facteur de phase magnétique" introduit par Dirac (1931). Ces fonctions d’ondes représentent différents enroulements autour de la ligne du flux (whirling waves). Il est également possible d'obtenir le même résultat en introduisant le facteur de la phase géométrique (la phase de Berry) [4].

L'amplitude de diffusion a été calculée, la première fois, par Y. Aharonov et D. Bohm, en décomposant la fonction d’onde (2-25) sur les composantes positives, négatives, et zéro du moment angulaire, qui ont été calculées séparément. La forme de la fonction d’onde diffusée à l’infini, donnée par :

( # $#) _f

_{( )}

_# r e e ikr kr i r 12 cos ₊₊ . . . + + (2-26)

Où f

( )

# définit l'amplitude de diffusion qui porte leurs noms :

( )= ( ) _{( )} 2 2 1 1₂ 2 # $! ! # # cos e sin ik f i AB (2-27)

Effet Aharonov-Bohm

( )

( )

( )

_{( )}

2 1 2 2 # ! $! # # / 2 ₂ cos k sin f = = (2-28)

Quand $ est un nombre entier, la fonction d’onde peut être obtenue avec précision

(kx+$#) i

e

et donc :

( )

# =0

/ (2-29)

En évitant la restriction $ -1, imposée par le calcule de AB, et en séparant la partie entière de la partie fractionnelle contenues dans$ , Hagen a obtenu le même comportement asymptotique de la fonction d’onde, trouvé par AB, sauf que le terme contenant l’amplitude de diffusion soit multiplié par un facteur de phase ( _ie iN(# !) _{), ce que ne change pas la valeur de la section efficace calculée par}

AB [6].

III.3 Signification de l’effet Aharonov-Bohm :

Une question obsédante se pose ici : comment une particule chargée peut subir l’existence d’un champ magnétique caché si elle n’interagit pas avec lui ? Y.Aharonov et D.Bohm discute ce problème comme suivant : Les potentiels électromagnétiques étaient adoptés seulement comme une aide mathématique et pour leurs avantages calculatoires dans la mécanique classique. Cependant, en mécanique quantique, ce n'est pas le cas. L’effet AB ne peut pas être interprété simplement comme suite de l'interaction locale d'un électron avec des champs électromagnétiques. Si le principe de la localité des interactions, survenant des exigences relativistes, est respecté, il n’y a aucune autre voie que de considérer que les potentiels sont les entités les plus fondamentales physiquement que les champs.

Chapitre III

Chapitre III

La théorie des invariants de Lewis-Riesenfeld

La théorie invariants de Lewis-Riesenfeld [19,20] s’applique en générale pour trouver les solutions de l'équation de Schrödinger dépendante du temps. Ils ont dérivé une simple relation entre les états propres de l’invariant I et les solutions de l'équation de Schrödinger dépendante du temps et l’ont appliqué pour résoudre le problème de l’oscillateur quantique de fréquence dépendante du temps et pour une particule dans un champ élécromagnétique. Cette théorie a été largement utilisée pour traiter beaucoup de problème sur le plan théorique [12, 20, 21, 22].

III.1 Exposition de la théorie des invariants:

Afin d'illustrer cette théorie d’une manière simple, nous considérons un système dont le hamiltonien H

( )

t est dépendant du temps. La fonction d’onde qui décrit l’évolution au cours du temps de ce système est soumise à l’équation de Schrödinger :

( )

t H t

ih = (3-1)

le formalisme originale de cette théorie est le suivant :supposons qu’il existe un opérateur hermitique dépendant explicitement du tempsI

( )

t qu'on appelle invariant et qu’il satisfait l'équation suivante (équation de Liouville-Von Neumann) :

[

,

]

0 1 = + 0 H I i t I dt dI h (3-2) Ou

[

H I

]

t I ih = , (3-3)

La théorie des invariants de Lewis-Riesefeld

L’hermiticité de cet opérateur assure que :

I

I+ = _(3-4)

En appliquant (3-3) sur le vecteur d’état solution de l’équation de Schrödinger (3-1), on obtient :

( )

I

(

H

) ( )

H I t I i I t i t I i_h = _{h h} = D’après (3-1) :

( ) ( )

I H I t ih = (3-5)

Ce qui signifie que l’action de cet opérateur invariant sur un vecteur d’état, solution de l’équation de Schrödinger, produit une autre solution de cette équation. Ce résultat est valide pour n’importe quel invariant, même si ce dernier inclut une opération de différentiation par rapport au temps. Si l’invariant I

( )

t ne contient pas de telle opération, on peut dériver une simple règle pour choisir les phases des vecteurs propres de I

( )

t de telle sorte qu’ils soient, eux-mêmes, solutions de l’équation de Schrödinger. Dans ce qui suit, on suppose que I

( )

t ne comporte pas des différentiation par rapport au temps. Supposons que cet opérateur invariant a un ensemble complet de vecteurs propres. L’équation aux valeurs propres dépendant du temps de cet invariant est:

( )

& ' ( = = k k k k k k t I

1

1

2

2

2

2

2

2 2 , , , , (3-6)

Où 2 désigne les valeurs propres de I

( )

t et 2,k sont les vecteurs propres associés à 2,

k est un indice exprimant les nombres quantiques autres que 2.

En vertu de l’hermiticité deI

( )

t , les valeurs propres 2 sont réelles. En outre, il est facile de montrer que elles sont indépendantes du temps. En effet, en dérivant par rapport au temps l’équation (3-6) on obtient :

La théorie des invariants de Lewis-Riesefeld k t k t k t I k t I , , , , 2 2 2 2 2 2 + = + (3-7)

En appliquant (3-2) sur 2,k pour obtenir :

0 , , ,k +IH k H k = t I i_h 2 2 2 2 (3-8)

Multipliant à gauche l’équation (3-8) par 2 ,k , alors :

(

)

, , 0 , , k + k H k = t I k i_h 2 2 2 2 2 2 (3-9) Pour 2 =2 on aura : 0 , , k = t I k 2 2 (3-10)

D’autre part, si on multiplie (3-7) à gauche par 2,k on obtient :

0 , , = = k t I k t 2 2 2 (3-11)

Par suite les valeurs propres 2 sont indépendantes du temps, alors que les vecteurs propres dépendent du temps.

Dans le but de chercher la relation qui existe entre les vecteurs propres de l’invariant I

( )

t et les solutions de l’équation de Schrödinger, on écrit tout d’abord l’équation d’évolution de 2,k , pour cela on commence à partir de l’équation (3-7) tout en utilisant l’équation (3-11) :

(

)

k t I k t I 2, 2, 2 = (3-12)

En prenant le produit scalaire avec 2,k et utilisant l’équation (3-9) pour éliminer

k t I k , , 2 2 On trouve :

La théorie des invariants de Lewis-Riesefeld

(

)

k

(

)

k H k

t k

i_h 2 2 2, 2, = 2 2 2, 2, (3-13)

Alors, pour 2 32 on aura :

k H k k t k ih 2, 2, = 2, 2, (3-14)

Evidement, l’équation (3-13) n’implique pas que :

k H k k t k i_h 2, 2, = 2, 2,

Mais ne l’empêche pas d’être vrai. Si l’équation (3-14) serait vérifiée pour 2 =2

comme pour2 32, alors on déduit que 2,k satisfasse l’équation de Schrödinger, autrement dit c’est une solution spéciale pour .

La phase de 2,k n’est pas fixé par des conditions préalables. On suppose qu’une phase quelconque est choisie, mais il reste toujours la possibilité de multiplier

k

,

2 par un facteur de phase arbitraire dépendant du temps. Alors, on peut définir un nouveau ensemble de vecteurs propres de l’invariant I

( )

t relié par le premier ensemble par une transformation de jauge dépendant du temps :

( )

(

i t

)

k

k exp _k ,

, 4 2

2 ₄ = ₂ (3-15)

Où les 4_2k

( )

t sont des fonctions réelles arbitraires du temps. Le fait que I

( )

t ne contient pas, par supposition, des opérateurs dérivatifs par rapport au temps, implique que

4

2,k sont des vecteurs propres orthonormalisés de l’invariantI

( )

t :

( )

(

)

(

)

(

( )

)

(

)

(

(

( )

)

)

%& % ' ( = = = = k k k k k k k k t i k I t i k t i I k I 1 1 2 2 2 4 2 2 4 2 4 2 2 2 4 4 2 2 2 4 , , , exp , exp , exp , (3-16)

Pour2 32, l’équation (3-14) reste vraie pour les éléments de matrice construits par les nouveaux vecteurs propres. Chacun de ces nouveaux vecteurs propres satisfait l’équation de Schrödinger si on choisit les phases 4_2k

( )

t d’une manière où l’équation

La théorie des invariants de Lewis-Riesefeld

(3-14) soit vérifiée pour2 =2. Ce qui équivalent à l’équation différentielle du premier ordre pour4_2k

( )

t , provenant de l’injection de (3-15) dans (3-1):

( )

H k t i k t k k k 4 2, 2, 1 &2 = h h (3-17)

Pour satisfaire cette équation, les états 2,k doivent être choisis de telle sorte que le membre droit de (3-17) s’annule pourk 3k. Cette diagonalisation est toujours possible

puisque l’opérateur H

t

ih est hermitien. Alors les phases 4_2k

( )

t sont choisies pour satisfaire l’équation :

( )

H k t i k t k 2, 2, 4&2 = h h (3-18)

Tant que chacun du nouveau ensemble des vecteurs propres deI

( )

t , 2,k ₄ , vérifie l’équation de Schrödinger, la solution générale est :

( )

(

)

*

= k k k i t k t C 2 2 2 2 4 , ; exp (3-19)

Où les C2k sont des cœfficients indépendant du temps. Où t indique la dépendance en temps

des vecteurs propres de l’invariant I

( )

t ainsi que la solution .

L’exposé décrit ci-dessus présente le contenu essentiel de la théorie des invariants de Lewis-Riesenfeld.

3.2 Pour un spectre continu (états de diffusion) ?

Dans le cas d’un spectre discret, 4_2k

( )

t peut prendre, d’après la relation (3-18), la forme suivante :

( )

= t k H k t dt t i t k t 0 ; , ; , 1 _{2 2} 4_{2 h} h (3-20)

Alors que la solution générale de L’équation de Schrödinger dépendante du temps est donnée par (3-19).

La théorie des invariants de Lewis-Riesefeld

La question qui se pose maintenant et qui nous rencontre lors de notre étude faite ici, est la suivante: que se passe-t-il quand on traite un cas d’un spectre continu (états de diffusion) en utilisant la théorie des invariants?. En fait, la relation qui donne l’expression générale de la phase dans le cas d’un spectre continu est :

( )

H t t i t t t t ₅; ₅; ₅; ₅; 5 2 2 2 2 4& = h h (3-21)

Où 5 est un indice qui varie de façon continu dans les valeurs réelles. et les fonctions

t

, 5

2 sont orthonormalisés de tel sorte que :

(

2 2

) (

1 5 5

)

1 2

2₅,t ₅,t = _{5 5} = (3-22) Il apparaît dan ce cas, dans l’expression (3-21), une fonction delta de Dirac, l’idée pour que cette fonction puisse être débarrassée c’est que d’intégrer sur toutes les valeurs de l’indice 5 cette expression. On a donc :

( ) (

)

H t t i t t ₅, ₅ , 5 1 5 5 2 2 4& = h h (3-23) Alors :

( ) (

1 5 5

)

5 = 2 2 5 4_{5 5} H ₅ d t i d t _{,m h ,m} & h

( )

= _{, ,} . 6 4₅ 2₅ H 2₅ d5 t i t _{m h m} & h (3-24)

Une fois trouvée l’expression de la phase4₅

( )

t , on peut écrire la solution particulière de l’équation de Schrödinger comme:

( ) _t

ei t _,

5 4

5 = 5 2 (3-16)

Notre étude présente un exemple sur ce cas important. Il est à noter qu’il y a une forte ressemblance entre l’expression de la phase obtenue dans le cas d’un spectre discret et celle obtenue dans le cas d’un spectre continu.

C

C

h

h

a

a

p

p

i

i

t

t

r

r

e

e

I

I

V

V

R

R

e

e

t

t

o

o

u

u

r

r

v

v

e

e

r

r

s

s

l

l

a

a

d

d

i

i

f

f

f

f

u

u

s

s

i

i

o

o

n

n

e

e

n

n

p

p

r

r

é

é

s

s

e

e

n

n

c

c

e

e

d

d

e

e

l

l

’

’

e

e

f

f

f

f

e

e

t

t

A

A

h

h

a

a

r

r

o

o

n

n

o

o

v

v

-

-

B

B

o

o

h

h

m

m

Chapitre IV

Retour vers la diffusion en présence de l’effet

Aharonov-Bohm

Dans leur célèbre article [1], Y. Aharonov et D. Bohm ont traité, en plus de leur prévision de cet effet, le problème de la diffusion d’une particule chargée par un champ magnétique - confiné à l’intérieur d’un solénoïde droit infiniment long de rayon

R centré dans l’origine et dirigé suivant l’axe des z- dans la limite où le rayon R tend vers zéro, tandis que le flux magnétique total donné par (2-20) reste fixe. En résolvant l’équation de Schrödinger dans les deux régions et en raccordant les solutions obtenues en r=R , Aharonov et Bohm sont arrivé à montrer que, dans limite où

0

R , seules les solutions régulières sont acceptées pour représenter la fonction d’onde, Ce qui signifie que la probabilité de trouver la particule dans la région qui contient le champ magnétique tend vers zéro avec R. Pour le but de mettre en évidence, sur le plan théorique, comment le potentiel vecteur peut influencer, d’une manière observable, sur la diffusion des particules chargées par le champ décri ci-dessus sans entre en interaction avec lui, Aharonov et Bohm ont considéré le cas d’un solénoïde enveloppé par une plaque fine servant une barrière en vue d’éviter aucune intervention ou contacte des particules avec ce champ. Cette dernière considération est équivalente au cas où il n’y a pas de telle barrière puisque elle conduit aussi à une probabilité nulle de trouver la particule dans la région du champ. Mais cette dernière disposition, faite pour examiner l’influence du potentiel vecteur sur la section efficace de diffusion des particules chargées, ne tient pas en compte la modification des résultats que peut produire l’inclusion du spin de la particule.

Retour vers la diffusion en présence de l’effet Aharonov-Bohm

C. R. Hagen [7, 8, 9], dans le but de montrer qu’il y aura un changement dans les résultats d’AB (l’amplitude de diffusion et par suite la section efficace) dès que le spin de la particule soit mis en jeu, a considéré le cas où le champ magnétique est restreint dans un tube de flux de rayon zéro, de sorte qu’il prenne la forme :

( )

r uz

r B

er = h$1 r (4-1)

Le potentiel vecteur correspondant est

%& % ' ( = = = = 0 2 . r A u r u r e u eA A e _{# # #} $ _# ! ) _{r h r} r r (4-2)

Où $ est le paramètre de flux (flux numérique) défini par :

h ! $ 2 e =

En vue de trouver la fonction d’onde qui décrit l’évolution au cours du temps de ce système (diffusion d’une particule chargée de spin s avec le champ (4-1)), on doit résoudre l’équation de Pauli ou de Dirac, suivant le cas considéré (relativiste ou non relativiste). Ces deux équations fait intervenir le terme qui exprime l’interaction du moment magnétique de la particule avec le champ magnétique, d’après l’expression (4-1), ce terme présente une singularité dans l’équation différentielle correspondante.

Pour résoudre le problème de la singularité, Hagen avait l’idée de remplacer le tube de flux de rayon zéro par un tube possédant un rayon R non nul, avec la

condition que le champ magnétique soit confiné dans la surface du cylindre, on résout le problème dans les deux région (à l’intérieur et l’extérieur du cylindre) puis on raccorde les deux solutions en appliquant des conditions de raccordement appropriées, qui tiennent en compte l’existence du spin de la particule, en faisant tendre R vers

zéro on revient à la solution cherchée (la fonction d’onde décrivant le système considéré) et qui dépend de la nature du problème traité (particule de spin nul ou non, relativiste ou non relativiste,…etc).

Retour vers la diffusion en présence de l’effet Aharonov-Bohm

L’expression du champ magnétique se trouve alors modifiée de telle sorte que elle soit :

(

r R

)

uz

r B

er = h$1 r (4-3)

Une fonction saut de Heaviside apparaît dans celle du potentiel vecteur pour qu’il devienne :

(

)

(

)

%& % ' ( = 7 = 7 = = 0 2 . r A u R r r u R r r e u eA A e _{# # #} $ _# ! ) _{r h r} r r (4-4) #

ur est le vecteur unitaire, et 7

(

r R

)

est la fonction saut de Heaviside définie par :

(

)

& ' ( -, = 7 R r si R r si R r 0 1 (4-5)

Mais ce qui est important à signaler ici, c’est que Hagen avait apporté cette idée pour le but d’élever la singularité due à l’existence de la fonction delta de Dirac, produite par le terme d’interaction du champ magnétique avec le moment magnétique de la particule, dans l’équation de Dirac.

Cependant, pour le système que nous considérons ici, à savoir la diffusion d’une particule chargée de spin zéro en présence du potentiel Aharonov-Bohm, nous n’avons pas un problème de singularité. Notre objectif ici est d’étudier ce problème en utilisant la même astuce mais pour un autre but que celui de Hagen. L’idée est que cette fois on fait varier les bords de la région avec le temps, ce que veut dire que cette région -contenant dans sa surface (perpendiculaire au plan (x,y)) le champ magnétique- devienne dynamique. Une possibilité que nous puissions la disposer par l’introduction d’un paramètre dépendant du temps, comme nous le verrons juste après, de telle sorte que le problème soit dépendant du temps. Étant faite cette première étape, nous serons donc avec un système dont l’évolution est régie par un hamiltonien comportant un paramètre dépendant du temps. Pour l’obtention de la fonction d’onde

Retour vers la diffusion en présence de l’effet Aharonov-Bohm

décrivant l’évolution au cours du temps de ce système, la théorie des invariants apparaît la plus commode et convenable.

L’idée dans son contenu et son développement est originale, et il est facile de voir que la solution d’Aharonov-Bohm est incluse dans celle obtenue ici, puisqu’on peut la retrouver directement en tendant le rayon du solénoïde vers zéro et de rendre notre paramètre constante dans le temps. Cette originalité peut paraître aussi dans les résultats obtenus lors de la résolution de ce problème, qui défient par sa nature ce qui est connu dans ce type de phénomènes.

Commençons alors par le problème considéré tout d’abord par Aharonov et Bohm [1], mais avec la condition (4-3), qui entraîne de son côté les expressions (4-4), (4-5). L’hamiltonien qui décrit ce système (la diffusion des particules chargées en présence du potentiel Aharonov-Bohm), est :

(

)

(

)

8 9 : & ' ( 7 + + = 2 2 2 2 2 1 4 2 1 R r p r r p M H _r h _{# h}$ (4-6) Avec : + r r i p_r 2 1 h (4-6-a) # # = ih p (4-6-b)

On introduit maintenant notre paramètre dépendant du temps de telle sorte que :

(

)

(

)

& ' ( -, = 7 7 R r si R r si R r R r ; ; ; 0 1 (4-7)

Où ; =;

( )

t est une fonction réelle du temps. D’après (4-7) et (4-4), il est facile de voir la variation de la région où règne le potentiel vecteur ainsi que celle qui contient le champ magnétique en fonction du temps. L’hamiltonien qui régit l’évolution du système au cours du temps est par suite dépendant du temps, d’où la possibilité de résoudre le problème en utilisant la méthode des invariants.

Retour vers la diffusion en présence de l’effet Aharonov-Bohm

4.1 L’application de la théorie des invariants :

L’équation de Schrödinger d’une particule de masse M et de charge e se mouvant, à deux dimensions, dans un potentiel Aharonov-Bohm s’écrit comme :

H t

ih = (4-8)

Où H est l’hamiltonien du système, avec :

( )

(

)

2 2 1 ) ( p eA t M t H = r r

Ar est le potentiel vecteur que nous écrivons, d’après (4-4) et ((4-7), en coordonnées polaires comme: %& % ' ( = 7 = 7 = = 0 . . 2 r A u R r v r u R r r e u eA A e _{# # # #} ; $ ; ! ) _{r h r} r r (4-9) Avec :

(

_x2 _y2

)

r= +

L’hamiltonien H s’écrit en coordonnées polaires comme:

%8 % 9 : %& % ' ( 7 < + + = 2 2 2 2 2 1 4 2 1 ) ( p r R r r p M t H _r ; $ # h h _(4-10)

En fait, pour construire l’invariant exacte pour le système quantique décrit par l’hamiltonien (4-10), Nous utilisons l’approche de l’algèbre de Lie (Maâmache [21]) qui consiste à chercher un invariant qui peut s’écrire sous la forme:

*

= = 3 1 ) ( i i i t T I = (4-11)

Où les= sont des fonctions réelles du temps, et _i

{ }

T_i est l’ensemble des opérateurs hermitique définis comme suivant :