A HLLC Riemann solver to compute shallow water equations with topography and friction

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equations with topography and friction

Abdou Wahidi Bello, Aurélien Goudjo, Hervé Guillard, Jean-Antoine Desideri

To cite this version:

Abdou Wahidi Bello, Aurélien Goudjo, Hervé Guillard, Jean-Antoine Desideri. A HLLC Riemann

solver to compute shallow water equations with topography and friction. [Rapport de recherche]

RR-6381, INRIA. 2007, pp.26. �inria-00193944v2�

inria-00193944, version 2 - 5 Dec 2007

a p p o r t

d e r e c h e r c h e

9

-6

3

9

9

IS

R

N

IN

R

IA

/R

R

--6

3

8

1

--F

R

+

E

N

G

Thème NUM

Un solveur de Riemann HLLC pour la résolution

numérique des Equations de Saint-Venant avec

topographie et friction

Abdou W. BELLO — Aurélien GOUDJO — Côme GOUDJO — Hervé GUILLARD —

Jean-Antoine DESIDERI

N° 6381

Décembre 2007

topographie et fri tion Abdou W. BELLO

∗

, Aurélien GOUDJO

∗

, CmeGOUDJO

∗

, Hervé GUILLARD

†

,Jean-Antoine DESIDERI

†

ThèmeNUMSystèmesnumériques

ProjetsOpaleet Smash

Rapport dere her he n°6381Dé embre200726pages

Résumé : On s'intéresse i i à la résolution, par une méthode Volumes Finis, du modèle

bidimensionnel des équations de Saint-Venant ave topographie et fri tion. Grâ e à la

propriété d'invarian e parrotationdu ux des équations, l'étude du as 2D dé oule dela

bonnerésolutiondusystèmemonodimensionneldeséquationsdeSaint-Venant.L'implémentation

numériqueestréaliséeparuns hémadevolumesnisdetypeGodunovutilisantunsolveur

appro hédeRiemanndetypeHLLCquipréservelapositivitédelahauteurd'eauetquiest

bienadaptépourletraitementdesondesde ho s.Enn,des astestssontprésentésainsi

qu'un asgrandeurnature : appli ation dumodèleauphénomène d'inondation de laville

deCotonou(BENIN)parles ruesdelalagunedeCotonou.

Mots- lés: EquationsdeSaint-Venant,volumesnis,solveurdeRiemannHLLC,s héma

positif, inondations

∗

Universitéd'Abomey-Calavi,01BP526Cotonou,Bénin

†

Abstra t: We onsidertheresolution, byanite-volumemethod, ofthetwo-dimensional

modeloftheshallowwaterequationswithtopographyandfri tion.Thankstotheproperty

ofinvarian eperrotationoftheuxofshallowwaterequations,weshowthatthestudyof

the2D ase risesfrom the good resolution of the monodimensional system of theshallow

water equations. The numeri al implementation is arried out by a nite volume s heme

ofGodunovtypeusinganRiemann approximate solverofthetypeHLLCwhi h preserves

the positivity height of water and whi h is well adapted for the treatment of the sho k

waves.Lastly,numer alexamplesona ademi problemsarepresentedaswellasareal ase

:appli ationofthemodeltothephenomenon ofoodofthetownofCotonou(BENIN)by

therisingsofthelagoonofCotonou.

Key-words: Shallow water equations, nite volumes, HLLC Riemann solver, positivity

Table des matières

1 Introdu tion 4

2 Modèlemathématique 4

3 Intégration numérique deséquations de Saint-Venant 5

4 Cal uldu ux numérique à travers lesinterfa es des ellules 5

4.1 ProblèmedeRiemann . . . 5

4.2 Algorithmeproposé:détermination delahauteurdelarégionintermédiaire. 9

4.3 LesolveurdeRiemann appro héHLLC . . . 12

4.4 Estimationdesvitessesdedis ontinuité . . . 13

4.5 Traitementdesban s- ouvrants-dé ouvrants. . . 15

5 Traitementdu terme sour e 16

5.1 Termebathymétrique . . . 16

5.2 Termedefrottement . . . 16

6 Résultatsnumériques 16

6.1 Rupturepartielledebarrage. . . 16

6.2 Chuted'eaud'unbassin . . . 19

1 Introdu tion

Les é oulements d'eau à surfa e libre et en eaux peu profondes (shallow water) sont

modélisés par des équations aux dérivées partielles onnues sous le nom d'équations de

Saint-Venant.Le domained'étudeestleprojetésurunplanhorizontalderéféren ede

l'es-pa eo upéparl'eauetleszonesinondables.Pourréaliserunesimulation,leséquationssont

intégréessur haque elluleissued'unmaillagedudomained'étude.Dufaitdelapropriété

d'invarian e par rotation du ux numérique aux interfa es des ellules [1℄, le traitement

numérique de es équations se réduit à la résolution d'un problème de Riemann issu du

modèleunidimensionneldes équationsdeSaint-Venant.Pourrésoudre eproblèmede

Rie-mann, il a été proposé dans [1℄ un solveur appro hé HLLC utilisant l'algorithme itératif

à deux pas introduit par Toro [2℄ en vue de la détermination de la hauteur de la région

intermédiaire du problème de Riemann. Au premier pas, l'algorithme de Toro ne garanti

pasdire tementlapositivitéde ettehauteuret il estproposédans [2,1℄ desmajorations

pour ontourner ettedi ulté. Grâ eàune formulation élérité-vitesses,nous proposons

dans epapierunalgorithmededéterminationdelahauteurdelarégionintermédiairepar

une linéarisationdes équationsqui préservedire tementlapositivité de ette hauteur.La

hauteurainsi obtenueest ensuiteutilisée dans ladétermination desvitesses des ondesles

plusrapidesdusolveurHLLCproposédans[1℄.

2 Modèle mathématique

Les équations de Saint-Venant sont obtenues à partir des équations de Navier-Stokes

pour unuidein ompressible enfaisantl'hypothèsede pressionhydrostatique,devitesses

uniformessuivantlaverti ale,d'unfondetd'unesurfa elibreimperméables.Enabsen ede

frottements,lemodèlepeutêtreé ritsoussaforme onservative ommesuit:

∂w

∂t

+

∂

∂x

F (w) +

∂

∂y

G(w) = S

g

(w) + S

f

(w); (x, y)

∈ Ω, t ≥ 0

(1)

w

=





h

hu

hv



 , F (w) =





q

q

2

h

+

1

2

gh

2

qr

h



 , G(w) =





r

qr

h

r

2

h

+

1

2

gh

2



 , q = hu, r = hv,

S

g

(w) =





0

−gh

∂a

∂x

−gh

∂a

∂y



 , S

f

(w) =









0

−g

N

2

√

u

2

_+v

2

h

4/3

hu

−g

N

2

√

u

2

_+v

2

h

4/3

hv









,

N =

oefdeManningdefrottement.

Ondésignepar

Γ

leborddudomaine

Ω

(domainein luantleszonesinondables)et

−

→

n

la normaleextérieureunitéà

Ω

.Nousutiliserontladénitiondes onditionsauxlimitesfaite dans[1℄.

3 Intégration numérique des équations de Saint-Venant

Ledomainede al ul

Ω

estdis rétiséparunmaillage omposéde ellulesquadrangulaires

K

i

, i

∈ I

.

R

R

R

R

L ≡ Ki

θij

aij

x

y

ξ

η

Fig.1Cellules adja entes

Commedans[1℄,ladis rétisationde(1) onduitaus hémanumériquesuivant:

w

n+1

_i

= w

n

i

−

∆t

|K

i

|

4

X

j=1

|a

ij

|T

θ

ij

[ˆ

F

(W

n

L

, W

n

R

)] + ∆tS

n

g,i

+ ∆tS

n+1

f,i

(2) où

w

n

i

estl'approximationautemps

t

n

_{= n∆t}

de

w

i

et

T

θ

ij

larotationplaned'angle

θ

ij

de

Ω

.Uneanalysedestabilitésurleséquationslinéariséesfournitlarestri tion

CF L

suivante [3℄ :

CF L = ∆t

max(

k~vk +

√

gh)

min(d

L,R

)

≤ 1

(3)

où

d

L,R

est la distan e entre le entre du volume

L

et le entre de sa fa e qui la sépare du volume

R

. Il reste à déterminer pour haque interfa e de la ellule

K

i

hoisie, et à haque instant

t

n

, le ux dis ret

F (W

ˆ

n

L

, W

n

R

)

àtraversl'interfa e onsidérée.Il faut pour elarésoudreà haqueinterfa e leproblèmedeRiemann auquel onduitlemodèle1Ddes

équationsdeSaint-Venant.

4 Cal ul du ux numérique à travers les interfa es des

ellules

4.1 Problème de Riemann

On sedonne unétat

W

L

"à gau he",unétat

W

R

àdroite; nous désignonslavariable normale

η

par

x

.Lo alement(entrelesdeuxétats

W

L

et

W

R

),latopographiepeutêtre on-sidérée ommeplate,l'é oulementsansfri tion; on her healorsunesolutionduproblème

deRiemann:

R(W

L

, W

R

) :















∂W

∂t

+

∂

∂x

F (W ) = 0, x

∈ R, t > 0

W (x, 0) =

(

W

L

, x < 0

W

R

, x > 0

(4)

En dehorsdeszonessè hes

(h > 0)

,l'EDPde(4)estéquivalentà:

∂Y

∂t

+ A(Y )

∂Y

∂x

= 0,

(5) où,pour

W =





hu

h

hv





,onaposé:

Y (W ) =





2c

u

v



 , c =

√

gh

.

A(Y ) =





u

c

0

c

u

0

0

0

u





est lamatri eja obiennede

Y

.

Puisque

h > 0

,

A(Y )

possèdetroisvaleurspropresdeuxàdeux distin tes:

λ

1

(Y ) = u

− c, λ

2

(Y ) = u, λ

3

(Y ) = u + c.

(6)

Pour onstruireunesolution(faible,entropique,autosemblable)

W (

x

t

, W

L

, W

R

)

du prob-lème

R(W

L

, W

R

)

nous allons her herdeux étatsintermédiaires

W

1

et

W

2

tels que(FIG. 2):

(a) :

W

1

estissude

W

L

parune1-onde( ho oudétente) (b):

W

1

et

W

2

sontreliésparune 2-dis ontinuitéde onta t ( ) :

W

2

aboutià

W

R

parune3-onde( ho oudétente)







(7)

x

W

R

W

L

W

1

W

2

(u − a)

(u + a)

: ho oudétente ho oudétente

h

∗

u

∗

h

∗

u

∗

v

L

v

R

(u)

: onta t

t

régionintermédiaire



Analyse du problème

Shallow water est le as parti ulier des équations d'Euler où le rapport des haleurs

spé iquesduuidevaut

γ = 2

.L'analyseduproblèmedeRiemannest lassiqueet onduit auxrésultatssuivants[2℄:

•

Comme

W

1

et

W

2

sont reliés par une 2-dis ontinuité de onta t, alors ils ont une hauteur ommune

h

∗

etunevitesse ommune

u

∗

.

• W

1

étantissude

W

L

parune1-ondealors:

u

∗

=







u

L

− 2(

√

gh

∗

−

√

gh

L

),

si

h

∗

≤ h

L

(

détente

)

u

L

− (h

∗

− h

L

)

r

g(h

∗

+ h

L

)

2h

∗

_h

L

,

si

h

∗

> h

L

(

ho

)

et

v

1

= v

L

.

(8)

• W

2

aboutissantà

W

R

parune 3-onde,alors:

u

∗

=







u

R

+ 2(

√

gh

∗

−

√

gh

R

),

si

h

∗

≤ h

R

(

détente

)

u

R

+ (h

∗

− h

R

)

r

g(h

∗

+ h

R

)

2h

∗

_h

R

,

si

h

∗

_{> h}

R

(

ho

)

et

v

2

= v

R

.

(9)

Ainsi,leproblèmedeRiemann

R(W

L

, W

R

)

seréduitàlare her hedelahauteur

h

∗

et

delavitesse

u

∗

ommunesauxdeuxétatsintermédiaires

W

1

et

W

2

. Proposition 4.1 Lahauteur

h

∗

de la zoneintermédiaireestra ine del'équation:

f (h) = f

L

(h) + f

R

(h) + ∆u = 0

(10)

etla vitesse

u

∗

de la zoneintermédiaireestdonnée par :

u

∗

=

1

2

(u

L

+ u

R

) +

1

2

[f

R

(h

∗

)

_{− f}

L

(h

∗

)]

(11) oùonaposé:

∆u = u

R

− u

L

(12)

f

L

(h) =







2(

√

gh

₋

√

gh

L

),

h

≤ h

L

(détente)

(h

_{− h}

L

)

r

g(h + h

L

)

2hh

L

,

h > h

L

( ho ) (13)

f

R

(h) =







2(

√

gh

₋

√

gh

R

),

h

≤ h

R

(détente)

(h

− h

R

)

r

g(h + h

R

)

2hh

R

,

h > h

R

( ho ) (14) Preuve

Ilyaquatre ongurationspossiblesd'ondes(FIG.3) :

x

ho détente détente détente ho détente ho ho onta t onta t onta t onta t

t

x

t

x

t

x

t

(a) ( ) (b) (d)

Fig.3Congurationspossiblesdesondesdansla solutionduproblèmede Riemann



Cas(a)

D'aprèslesrelations(8)et (9),ona:







u

∗

= u

L

− 2(

√

gh

∗

−

√

gh

L

),

h

∗

≤ h

L

u

∗

= u

R

+ (h

∗

− h

R

)

r

g(h

∗

+ h

R

)

2h

∗

_h

R

, h

∗

> h

R

(

u

∗

_{= u}

L

− f

L

(h

∗

, h

L

)

(α)

u

∗

= u

R

+ f

R

(h

∗

, h

R

)

(β)

(β)

− (α) ⇒ f(h

∗

)

≡ f

L

(h

∗

, h

L

) + f

R

(h

∗

, h

R

) + ∆u = 0

(β) + (α)

_{⇒ u}

∗

₌

1

2

(u

L

+ u

R

) +

1

2

[f

R

(h

∗

_{, h}

R

)

− f

L

(h

∗

, h

L

)]



Proposition 4.2 L'équation (10 ),

f (h) = 0

,admet dans

R

∗

+

uneunique solution

h

∗

si, et seulementsi:

u

R

− u

L

< 2(c

R

+ c

L

)

(15) où

c

K

=

√

gh

K

, K = L, R.

Preuve

Etudions, sur

]0; +

∞[

,lesvariationsdelafon tion

f : h

7→ f(h) = f

L

(h) + f

R

(h) + u

R

− u

L

.

•

Lafon tion

f

K

,

K = L, R

,est ontinue,dérivablesur

]0; +

∞[

et:

f

K

′

(h) =















√

gh

h

,

si

h < h

K

√

_2g(h

2

K

+ hh

K

+ 2h

2

)

4h

p

hh

K

(h + h

K

)

,

si

h > h

K

(Remarque : La fon tion

f

′

K

exprimée sur

]0; +

∞[−{h

K

}

se prolonge par ontinuité en

h

K

; d'oùladérivabilitéde

f

K

sur

]0; +

∞[

.)

∀h ∈ R

∗

+

, f

′

K

(h) > 0

.

f

est alors ontinueet stri tement roissantesur

]0; +

∞[

.

•















lim

h→+∞

f

K

(h) = lim

h→+∞

(h

− h

K

)

s

g(h + h

K

)

2hh

K

= +

∞

lim

h→0

+

f

K

(h) = lim

_h→0

+

2(

p

gh

₋

p

gh

K

) =

−2

p

gh

K

Parsuite,ona:







lim

h→+∞

f (h) = +

∞

lim

h→0

+

f (h) =

−2(

p

gh

L

+

p

gh

R

) + (u

R

− u

L

)

Au total :

f

est une bije tion de

R

∗

+

sur

]

− 2(

√

_gh

L

+

√

gh

R

) + (u

R

− u

L

); +

∞[

. En

onséquen e,pourquel'équation

f (h) = 0

admetune solutiondans

R

∗

+

, il faut et il sut d'avoir

−2(

√

_gh

L

+

√

gh

R

) + (u

R

− u

L

) < 0

,soit:

u

R

− u

L

< 2(c

L

+ c

R

)

.



Note

:

Noussupposonsdanstoutelasuitequela ondition(15)estvériéeparle ouple d'états

(W

L

, W

R

)

.Dansle as ontraire,onprend

h

∗

_{= 0}

.

Remarque4.1 Engénéral,onpro èdenumériquementpourlarésolutiondel'équation(10 )

(re her hede

h

∗

).

4.2 Algorithme proposé : détermination de la hauteur de la région

intermédiaire

Nous supposons la ondition(15),

u

R

− u

L

< 2(c

L

+ c

R

)

, vériée et nous her hons à onstruireuneapproximationde

h

∗

delahauteurdelarégionintermédiaireparuneméthode

Etape 1: Re her he d'une première approximation

Onpartd'unelinéarisationdelaformenon onservativedumodèle1Ddeséquationsde

Saint-Venant:

∂Y

∂t

+ A( ˆ

Y )

∂Y

∂x

= 0,

(16) où

Y =





2c

u

v



 ; A(Y ) =





u

c

u

c

0

0

0

0

u



 , c =

√

gh

.

Y = ˆ

ˆ

Y (Y

L

, Y

R

)

est unétat moyen

dépendantuniquementdesétats

Y

L

= Y (W

L

)

et

Y

R

= Y (W

R

)

.L'état

Y

ˆ

doitenplusvérier la onditionde onsistan e

Y (Y

ˆ

K

, Y

K

) = Y

K

.Nousprenons

Y =

ˆ

Y

L

+ Y

R

2

.

Enposant

F

0

(Y ) = A( ˆ

Y )Y

,lesystème(16)semetsouslaforme onservativesuivante:

∂Y

∂t

+

∂

∂x

F

0

(Y ) = 0.

(17)

A( ˆ

Y )

admettrois valeurspropresréelles deux àdeuxdistin tes

λ

ˆ

1

= ˆ

u

− ˆc

,

ˆ

λ

2

= ˆ

u

et

ˆ

λ

3

= ˆ

u + ˆ

c

.

LasolutionduproblèmedeRiemann















∂Y

∂t

+

∂

∂x

F

0

(Y ) = 0

Y (x, 0) =

(

Y

L

, x < 0

Y

R

, x > 0

(18)

se ompose alors, dans le plan

(x, t)

, de trois états onstants (

Y

L

,

Y

∗

,

Y

R

) séparés par lesdis ontinuitésdevitesses respe tives

λ

ˆ

1

,

λ

ˆ

2

et

λ

ˆ

3

. LesrelationsdeRankine-Hugoniot à traversla1et la3-dis ontinuitéss'é rivent:

F

0

(Y

L

)

− F

0

(Y

∗

) = ˆ

λ

1

(Y

L

− Y

∗

),

F

0

(Y

R

)

− F

0

(Y

∗

) = ˆ

λ

3

(Y

R

− Y

∗

).

(19)

En expli itantlespremièreséquationsdesdeuxsystèmesde(19),onobtient:

(a) :

u(2c

ˆ

L

− 2c

∗

) + ˆ

c(u

L

− u

∗

) = (ˆ

u

− ˆc)(2c

L

− 2c

∗

)

(b) :

u(2c

ˆ

R

− 2c

∗

) + ˆ

c(u

R

− u

∗

) = (ˆ

u + ˆ

c)(2c

R

− 2c

∗

)



(b)

− (a) ⇒

u(2c

ˆ

R

− 2c

L

) + ˆ

c(u

R

− u

L

)

=

u(2c

ˆ

R

− 2c

L

) + ˆ

c(2c

R

+ 2c

L

)

− 4ˆcc

∗

⇒

c

∗

=

1

4

(2c

R

+ 2c

L

+ u

L

− u

R

).

Unepremièreapproximationdelahauteurdelarégionintermédiaireestdon :

h

∗

₀

=

1

16g

(2c

R

+ 2c

L

+ u

L

− u

R

)

2

_.

Etape 2: approximation de

h

∗

On ompare

h

∗

0

à

h

L

et

h

R

.



Premier as:

h

∗

0

≤ min(h

L

, h

R

)

Dans e as, la région intermédiaire est onne tée auxdeux autres régions parune

1-détente etune3-détente.

Onendéduit :

f (h) = 2(c

− c

L

) + 2(c

− c

R

) + u

R

− u

L

.

f (h) = 0

_{⇒ c =}

1

2

(c

L

+ c

R

)

−

1

4

(u

R

− u

L

)

⇒ h =

1

_g



1

2

(c

L

+ c

R

)

−

1

4

(u

R

− u

L

)



2

Onprend alors ommeapproximationde

h

∗

:

h

∗

=

1

g



₁

2

(c

L

+ c

R

)

−

1

4

(u

R

− u

L

)



2

(21)



Se ond as:

h

∗

0

> min(h

L

, h

R

)

Dans e as, onfait l'hypothèse [2℄ que larégionintermédiaire est onne tée auxdeux

autresrégionsparun1- ho et un3- ho .

Onendéduit :

f (h) = (h

− h

L

)

r

g(h + h

L

)

2hh

L

+ (h

_{− h}

R

)

r

g(h + h

R

)

2hh

R

+ u

R

− u

L

.

Onfaitensuitel'approximation

s

g(h + h

K

)

2hh

K

≈ g

K

(h

∗

0

)

≡

s

g(h

∗

0

+ h

K

)

2h

∗

0

h

K

, K = L, R

(22) Ainsi:

f (h) = 0

_{⇒ h =}

g

L

(h

∗

0

)h

L

+ g

R

(h

∗

0

)h

R

+ u

L

− u

R

g

L

(h

∗

0

) + g

R

(h

∗

0

)

Onprend alors ommeapproximationde

h

∗

:

h

∗

=

g

L

(h

∗

0

)h

L

+ g

R

(h

∗

0

)h

R

+ u

L

− u

R

g

L

(h

∗

0

) + g

R

(h

∗

0

)

(23)

Maintenantquenous pouvons onnaîtrel'état intermédiaire, nousdévelopponsdansla

suitedesméthodespermettantde al ulerdire tementleuxnumériqueappro hé

F (W

ˆ

L

, W

R

)

àtraversl'interfa e

x

4.3 Le solveur de Riemann appro hé HLLC

LesolveurdeRiemannappro héHLL onsisteà onsidérerquelasolutionduproblème

de Riemann

R(W

L

, W

R

)

se ompose de trois états onstants

W

L

,

W

hll

,

W

R

séparés par deuxdis ontinuitésdevitessesrespe tives

S

L

et

S

R

(à hoisir onvenablementparlasuite).

Uneévaluation

W

hll

[2℄(proposéeparHarten,LaxetLeer)delamoyennedelasolution

W

duproblèmedeRiemann

R(W

L

, W

R

)

danslarégionintermédiaireest:

W

hll

≡

S

R

W

R

− S

_S

L

W

L

+ F

L

− F

R

R

− S

L

(24)

En utilisantlesrelationsdesautdeRankine-Hugoniotàtraversl'onde devitesse

S

L

ou elledevitesse

S

R

,nousobtenonsleuxHLL:

F

hll

≡ F (W

hll

_{) = F}

L

+ S

L

(W

hll

− W

L

) = F

R

+ S

R

(W

hll

− W

R

)

(25)

F

hll

=

S

R

F

L

− S

L

F

R

+ S

L

S

R

(W

R

− W

L

)

S

R

− S

L

(26)

Dansles hémanumérique(2),leuxàtraversl'interfa eentre

W

L

et

W

R

orrespondant estalors:

ˆ

F

hll

(W

L

, W

R

) =















F

L

,

si

S

L

≥ 0

S

R

F

L

− S

L

F

R

+ S

L

S

R

(W

R

− W

L

)

S

R

− S

L

,

si

S

L

≤ 0 ≤ S

R

F

R

,

si

S

R

≤ 0

(27)

Le solveur appro hé HLLC [2℄ est une modi ation du solveur HLL qui prend

désor-maisen omptelaprésen edel'ondede onta tdanslasolutionduproblèmedeRiemann

R(W

L

, W

R

)

("C"étantmispourConta t).

x

0

t

W

L

W

R

W

_R

∗

W

_L

∗

S

R

S

L

S

∗

Fig.4Solveur de RiemannAppro hé HLLC

Onsuppose onnueslesvitessesd'ondes

S

L

,

S

R

,

S

∗

Posons

F

K

= F (W

K

)

et

F

∗

K

= F (W

∗

K

)

,

K = L, R

.Del'analyseduproblèmedeRiemann

R(W

L

, W

R

)

faiteàlase tion(4.1),nousimposonsles ontraintes:

h

∗

L

= h

∗

R

≡ h

∗

u

∗

L

= u

∗

R

= S

∗

v

∗

L

= v

L

v

∗

R

= v

R















(28)

Ainsilesux

F

∗

L

et

F

∗

R

sontidentiquessaufleurstroisièmes omposantes quidoiventse al ulerenutilisant

v

L

et

v

R

respe tivement:

F

L

∗

=





f

∗

1

f

∗

2

f

∗

1

v

L



 , F

∗

R

=





f

∗

1

f

∗

2

f

∗

1

v

R





L'approximationHLLC onsisteà identier

f

∗

1

et

f

∗

2

aux deuxpremières omposantes respe tivesduux

F

hll

obtenu àlarelation(26).

Dansles hémanumérique(2),leuxàtraversl'interfa eentre

W

L

et

W

R

orrespondant estalors:

ˆ

F

hllc

(W

L

, W

R

) =



















F

L

,

si

S

L

≥ 0

F

∗

_L

,

si

S

L

≤ 0 ≤ S

∗

F

∗

_R

,

si

S

∗

≤ 0 ≤ S

R

F

R

,

si

S

R

≤ 0

(29)

4.4 Estimation des vitesses de dis ontinuité



Estimation de

S

L

et

S

R

Onévaluetoutd'abordlahauteur

h

∗

delarégionintermédiaireparl'heuristiqueproposée

àlase tion4.2.

•

Si

h

∗

≤ h

L

(resp.

h

∗

≤ h

R

)alors l'étatintermédiaire et l'étatàgau he(respl'état à droite)sontséparéspardesdétentes dont laplusrapideest elle devitesse

u

L

− c

L

(resp.

u

R

+ c

R

).Onprenddans e as

S

L

= u

L

− c

L

; (

resp.

S

R

= u

R

+ c

R

).

•

Si

h

∗

_{> h}

L

alors l'état intermédiaire et l'état àgau he sont séparés parun ho de vitesse(RelationdeRankine-Hugoniot):

S =

h

L

u

L

− h

∗

u

∗

h

L

− h

∗

=

(h

L

− h

∗

)u

L

+ (u

L

− u

∗

)h

∗

h

L

− h

∗

= u

L

+

u

L

− u

∗

h

L

− h

∗

h

∗

D'autrepart,d'aprèslarelation(8), ona:

u

L

− u

∗

h

L

− h

∗

=

−

r

g(h

∗

+ h

L

)

2h

∗

_h

L

.

Don

S

=

u

L

− h

∗

r

g(h

∗

_{+ h}

L

)

2h

∗

_h

L

=

u

L

−

s

(gh

L

)(h

∗

+ h

L

)h

∗

2h

2

L

=

u

L

− c

L

s

(h

∗

_{+ h}

L

)h

∗

2h

2

L

Onprend alors ommeaproximationde

S

L

:

S

L

= u

L

− c

L

s

(h

∗

+ h

L

)h

∗

2h

2

L

.

•

Si

h

∗

_{> h}

R

;enraisonnant ommepré édemmentave l'étatàdroite

W

R

,onobtient:

S

R

= u

R

+ c

R

s

(h

∗

+ h

R

)h

∗

2h

2

R

.

Con lusion

Pourl'estimation de

S

L

et

S

R

, onévalue

h

∗

parl'heuristique proposéeàla se tion4.2

etonprend:

S

L

= u

L

− c

L

q

L

,

S

R

= u

R

+ c

R

q

R

ave

q

K

=







1,

h

∗

≤ h

K

(

détente

)

1

h

K

r

(h

∗

_{+ h}

K

)h

∗

2

,

h

∗

_{> h}

K

(

ho

)

, K = L, R

(30)



Estimation de

S

∗

LesrelationsdesautdeRankine-Hugoniotàtraverslestrois dis ontinuitésreprésentées

dansFIG.4s'é rivent:

F (W

L

∗

)

− F (W

L

) = S

L

(W

∗

L

− W

L

)

(31)

F (W

R

∗

)

− F (W

∗

L

) = S

∗

(W

R

∗

− W

∗

L

)

(32)

F (W

R

∗

)

− F (W

R

) = S

R

(W

R

∗

− W

R

)

(33)

Nousdéduisonsdesrelations(31)et (33):

F

R

∗

− S

R

W

R

∗

= F

R

− S

R

W

R

(35) Lesdeuxpremièreséquationsrespe tivesdessystèmes(34)et (35)nousdonne:

(

h

∗

S

∗

− S

L

h

∗

= h

L

u

L

− S

L

h

L

h

∗

_S

∗

− S

R

h

∗

= h

R

u

R

− S

R

h

R

Nousendéduisons:

h

∗

=

h

L

(u

L

− S

L

)

S

∗

− S

L

=

h

R

(u

R

− S

R

)

S

∗

− S

R

(36) et parsuite:

S

∗

=

S

L

h

R

(u

R

− S

R

)

− S

R

h

L

(u

L

− S

L

)

h

R

(u

R

− S

R

)

− h

L

(u

L

− S

L

)

(37)

4.5 Traitement des ban s- ouvrants-dé ouvrants

Onsesituedansle asoùlahauteurdel'état

W

R

ou ellede

W

L

estnulle. I i,dufait qu'uneondede ho nepeutpasêtreadja ente àunétatse ( fProposition 4.6.1de[2℄),

ona:

Si

h

K

= 0

,

K = L, R

,alorsl'état

W

K

estséparédelarégionintermédiaireparuneonde

dedétente.Deplusl'ondelaplusrapidede ettedétenteapourvitesse

S

L

= u

R

− 2c

R

,si

h

L

= 0

et

S

R

= u

L

+ 2c

L

si

h

R

= 0

[2℄.

Ilresteraàdéterminerlase ondevitesse

S

K

dusolveurHLLC.Pour ela,nousproposons le al ul delavitessedelarégionintermédiaireparl'heuristique proposéeàlase tion4.2.

Celadonne:

h

∗

=

1

16g

(2c

R

− u

R

)

2

_,

si

h

L

= 0

et

h

∗

=

1

16g

(2c

L

+ u

L

)

2

_,

si

h

R

= 0.

Lase ondevitesseest al ulée ommeàlase tion4.4:

S

L

= u

L

− c

L

q

L

,

S

R

= u

R

+ c

R

q

R

ave

q

K

=







1,

h

∗

≤ h

K

1

h

K

r

(h

∗

_{+ h}

K

)h

∗

2

, h

∗

_{> h}

K

, K = L, R

5 Traitement du terme sour e

5.1 Terme bathymétrique

Dans le asd'uné oulementsurfondnonplat,(

S

g

6= 0

)nousexploitons laproposition faiteparLeveque[4℄:Letermede topographie estdire tementin lusedansleuxàdroite

F

R

∗

de la région intermédiaire;onappliquetoujourslemêmesolveurHLLCenremplaçant

F

∗

R

par:

e

F

R

∗

= F

∗

R

+





1

0

2

g(h

L

+ h

R

)(a

R

− a

L

)

0



 .

(38) 5.2 Terme de frottement

Pourle terme de fri tion, reprenant [1℄et [5℄,nous utiliserons une dis rétisation

semi-impli iteentempsdénie ommesuit:

S

f,i

n+1

=





















0



−g

N

2

√

_u

2

i

+v

2

i

h

4/3

_i



n

(h

i

u

i

)

n+1



−g

N

2

√

_u

2

i

+v

2

i

h

4/3

_i



n

(h

i

v

i

)

n+1





















(39)

où

N

désignele oe ientdefrottementdeManning.

Y. Loukiliet A.Soulaïmani ontmontrédans[1℄qu'unetelledis rétisationdutermede

fri tionavait l'avantagederéduire lesinstabilités auséespardes hangementsrapidesde

hauteursoudevitesses.

6 Résultats numériques

6.1 Rupture partielle de barrage

Ce as-test onsisteàétudierl'é oulementtorrentieldûàunerupturepartielleetasymétrique

debarrage.IlaétéproposéparFennemaetChaudhry[6℄etestlargementutiliséparde

nom-breuxmodélisateurs([7,1,8, 9, 10℄,...) pour validerleursmodèlesde rupturede barrage.

L'intérêtparti ulierde e problèmeest quesasolutionest ara tériséepar:

1. uneondede ho quisepropageversl'avalenyaugmentantbrusquementlahauteur

d'eauet semodie paruneondederéexion(lorsqu'elleseheurteàlaparoi);

2. uneondederaréfa tion(dedépression),quisedépla eversl'amontenydiminuantla

Nousétudionsunbassinde200mdelarge,200mdelongetdefondplat,sansfrottement.

L'eauest retenuedans lapartiegau hedubassin. Onsuppose qu'à

t = 0

, brusquementle barrageduréservoirest en rupture partielle et non symétrique sur une longueur de 75m.

L'épaisseurdubarrageestde10msurladire tiondesé oulements.LaFigure5donneune

des riptiongéométriquede eproblème.

200m 30m 95m 75m E oulement 90m 100m

Fig.5Rupture partielle de barrage :Géométriedu bassin

Un rapport de

h

2

/h

1

= 0.5

est initialement xéave

h

1

= 10m

omme hauteurd'eau dansleréservoiret

h

2

= 5m

ommehauteurd'eauenavaldubarrage.L'eaudanslebassin estenreposà

t = 0

, 'est-à-dire

u = v = 0

partout.

Lebassinestfermé surlesquatre tés.Une onditionde"nonglissement"estimposée

àtouteslesparois.

Commedans [6℄,le domaineétudiéaété dis rétiséen 1600 arrésdont lepasd'espa e

estrégulièrementxéà

∆x = 5m

.Lepasdetemps

∆t = 0.01s

pourtouteslessimulations. Laduréedesimulationestde

10.2s

omptéeàpartirdelarupturedebarrage.

Lesgures6et7présententlesrésultatsobtenusparlemodèleproposéauxinstants2.2

s, 4.2 s, 6.2 s, 7.1 s, 7.2 s, 8.2 s et 10.2 s, respe tivement.A

t = 7.1s

, le front d'onde est parvenujusqu'àlaparoigau hedubassin;lefrontestbiendéveloppédanslapartie entrale

enaval.Ces résultatssemblenttrès similairesà euxprésentés parlesétudesexistantes et

pré édemmentmentionnées.

Nousremarquonsunhaussementtrèslégerdelasurfa elibreauniveaudufrontd'onde.

Onobserveégalement ehaussementdans[6℄(voirlag.4dans[6℄).Lesrésultatsobtenus

0

50

100

150

200

0

50

100

150

200

5

6

7

8

9

10

(a)à

t

= 0s

0

50

100

150

200

0

50

100

150

200

5

6

7

8

9

10

(b)à

t

= 2.2s

0

50

100

150

200

0

50

100

150

200

5

6

7

8

9

10

( )à

t

= 4.2s

0

50

100

150

200

0

50

100

150

200

5

6

7

8

9

10

(d)à

t

= 6.2s

0

50

100

150

200

0

50

100

150

200

5

6

7

8

9

10

(e)à

t

= 7.1s

0

50

100

150

200

0

50

100

150

200

5

6

7

8

9

10

(f)à

t

= 7.2s

0

50

100

150

200

0

50

100

150

200

5

6

7

8

9

10

(a)à

t

= 8.2s

0

50

100

150

200

0

50

100

150

200

5

6

7

8

9

10

(b)à

t

= 10.2s

Fig.7Rupturepartielle de barrage (suite)

6.2 Chute d'eau d'un bassin

Ledeuxièmeproblèmeestl'undes as-testsdu odedeTelema développésàEDF/LNHE

[11℄;il on erneune baissede l'eaudans unbassin arréet lasolution naleest observée

après quelquesréexions surlesbordsdu bassin.Le bassin est uneboîte

20

× 20 m

2

ave

unfondplat.

Initialement,l'élevationd'eaudubassinestdéniepar:

h(x, y, t = 0) = 2.4

n

1 + e

−0.25

[

(x−10.05)

2

+(y−10.05)

2

]

o

(40)

etl'eaudanslebassinestaurepos, 'est-à-dire

u = v = 0

partout.

Lebassinestfermé surlesquatre tés.Une onditionde"nonglissement"estimposée

àtoutes les parois.Ledomaine étudié aété dis rétisé en 35282triangles grâ e aulogi iel

d'EditiondeMaillageset ContoursBidimentionnelsEMC

2

[12℄.Le pasdetempsest

∆t =

0.001s

.Laduréetotaledesimulationestde

T = 4s

omptéeàpartirdelapremièresolution

(Fig.8).

Les gures de Fig. 9 représententla solution initiale (t = 0s) et les résultats obtenus

parnotremodèleàt=1s,2s,3set 4s, respe tivement.Ces résultatsobtenusparnotre

modèlesonttrès omparablesà euxprésentésdans[11,13℄.

(a)Hauteurd'eauà

t

= 1s

(b)Hauteurd'eauà

t

= 2s

( )Hauteurd'eauà

t

Fig.

= 3s

9Chuted'eau d'un(d)Hauteurbassind'eauà

t

= 4s

6.3 Simulation d'une intrusion d'eau dans la ville de Cotonou

Fig.10Chenalde Cotonou

voied'a èsparlalagune versPorto-Novo.L'obje tifétaitdepouvoiraisément ommer er

et transférer des mar handises des diérents points de l'intérieur dupays vers lesnavires

quimouillentaularge.Cettelagunefaitenviron4000mdelongsur350mdelargeet relie

lela Nokouéàl'o éanAtlantique(Fig.10).

Les quelquesouvrages d'assainissementdontdispose lavillesontgénéralement en

bor-dure desroutes et,pour laplupart, onne tés au henal.Malheureusement, e système de

drainage,aulieud'aideràl'éva uationdeseauxpluviales,sertpluttdeve teuràl'invasion

delavilleparleseauxde ruedu henal.

Il s'agit i i de l'appli ation du modèle au problème d'intrusion d'eau dans la ville de

Cotonou.Leslignesdeniveautopographiquesdelavilleréaliséesparl'InstitutGéographique

National(IGN)Bénin,la artemarineinternationalen o

7062duServi eHydrographiqueet

O éanographiquedelaMarine(SHOM) relativeauGolfedeGuinée,ainsiquelesmesures

issues du Laboratoire d'Etudes des Climats, des Ressour es en Eau et de la Dynamiques

desE osystèmes(LECREDE,Bénin)permettrontunevalidationduprésentmodèle.Cette

validationpourraitprouverlarobustessedumodèlemaisaussilebonfon tionnementdela

te hniquetraitantleszonessè heset mouillées.

Par ailleurs, e sera une o asion d'étudier l'inuen e des paramètres physiques, par

exemple le oe ientde frottement, an d'établir une four hette des valeurspossiblesde

esparamètrespour e as-test.

Ladimensiondudomaineétudiéestde

6000m

× 4000m

.Cedomaineaétédis rétiséen 36685trianglesgrâ eaulogi ield'EditiondeMaillagesetContoursBidimentionnelsEMC

2

Parl'exploitationdestroistypesd'informationstopographiquesànotredisposition,nous

avonspusubdiviserledomained'étudeen 22sous-domainesbathymétriques, haque

sous-domaine orrespondantàunebathymétrie onstantedonnée.Nousavonsobtenuletableau

suivant:

NumérodeSous-Domaine 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Topographie(m) 3,35 1,09 3,91 3,76 3,98 3 0 6,7 7,1 8,7 8,7

NumérodeSous-Domaine 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

Topographie(m) 8,2 6,5 6,9 6,7 7,2 8,7 7,7 6,2 6,7 7,7 6,6

Nousobtenonslatopographiesuivante :

(a)vuedeprol) (b)vueduhaut

Fig.11Topographie du domained'étude

Au temps

t = 0

, nous onsidérons que toutes les zones habitables du domaine sont sè hes.L'eauestàlahauteurduniveaudelamer,

6m

relativementànotreplanhorizontal de référen e. Nous supposons les vitesses nulles à l'entrée de la mer et e sur

1000m

en suivant la lagune. Au delà, la vitesse est de

4m/s

(suivant l'axe des

y

) partout dans la laguneetlela .

LavitessepropredelalagunedeCotonouestde

3

à

5 m/s

.Alafrontièreamontaula , nousavonsalorsimposéundébit onstantégalà:

q

in

₌

_{[(3 + 5)/2)]}

× (6 − a(amont)) × largeur

=

4

× (6 − 3.35) × 4000

=

42400m

3

_/s

Les deux tés de la terre ferme de la ville sont onsidérés omme des parois

imper-méables.Une onditiondefrontièrelibreyestimposée.

La durée de simulation est de

14400s

, après une montée, jusqu'à

6m

, des eaux de la lagune.Diérentes valeursdu oe ientde frottementde Manningsontutiliséespour

ap-pro herles ontraintesaufondet étudierlasensibilitéde eparamètreàlapropagation.

Les gures de Fig. 12 représentent la solution initiale (t = 0s) et le résultat obtenu

par notre modèle à t = 14400s. Trois valeurs de rugosité ont été hoisie à priori :

N =

0, 010; 0, 025; 0, 035

.

(a)t=0s (b)t=14400s;

N = 0, 010

( )t=14400s;

N = 0, 025

(d)t=14400s;

N = 0, 035

Fig.12Intrusion d'eau dans lavillede Cotonou

Notonsquelavaleur

0, 010

ne orrespondpasàuneréalitéphysique(troplisse,surtout pourunelagune!),mais ettevaleurpermetd'illustrer les al ulsdesensibilité.

Globalement,onremarqueenpremièreobservationquelesvariationsdes ara téristiques

derugositén'inuen entpasseulementlavitessedepropagation( equi orrespondà

l'éten-duedelazoneinondéeàuninstantxé, ommesurl'illustration i-dessus).En eet,dans

le asdelarugositélaplusimportante (

N = 0.035

),laquantité d'eau,freinéeparrapport auxdeuxautres as, estmoinsétendueenaval.

Dans une étude opérationnelle, les valeurs de rugosité doivent être justiées par leur

réalisme : onutilise alors les abaques bien onnues [14℄. Les valeurs

N = 0, 025

et

0, 035

donnentdessituationsd'inondationplusréalistes(notremodèle aptebienl'intrusiond'eau

danslavilleàpartirdelalagune); e hoixdu oe ientdeManningestjustiédans[14℄:

0, 025

à

0, 040

pourdesé oulementsnaturelsave galets(pierres usées et poliespar l'eau)

ouherbes.

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Unité de recherche INRIA Futurs : Parc Club Orsay Université - ZAC des Vignes

4, rue Jacques Monod - 91893 ORSAY Cedex (France)

Unité de recherche INRIA Lorraine : LORIA, Technopôle de Nancy-Brabois - Campus scientifique

615, rue du Jardin Botanique - BP 101 - 54602 Villers-lès-Nancy Cedex (France)

Unité de recherche INRIA Rennes : IRISA, Campus universitaire de Beaulieu - 35042 Rennes Cedex (France)

Unité de recherche INRIA Rhône-Alpes : 655, avenue de l’Europe - 38334 Montbonnot Saint-Ismier (France)

Unité de recherche INRIA Rocquencourt : Domaine de Voluceau - Rocquencourt - BP 105 - 78153 Le Chesnay Cedex (France)